4 Von Q bis S"

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Bayer. Staatsbibliothek 


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* Mathematiſches 


Woͤrterbuch 


oder 
Erklaͤrung 
der 


Begriffe, Lehrſaͤtze, Aufgaben und Methoden 


der Mathematik 


mit Den noͤthigen Beweiſen 
und literariſchen Nachrichten begleitet 
in alphabetiſcher Ordnung, 
angefangen 
von 
Georg Simon Klügel, 
ehemals Profeffor der Mathematil und Phyfit zu Halle, Kr 


fortgejegt 
von 


Earl Brandon Mollmweide, 
Profeffor der Mathematik zm Leipzig. 
Erfte AbtHeilung. 

Die reine Mathematik 





Vierter Theil 
von I bis ©. 
Mit fieben Kupfertafeln. 





Leipzig, 1823, 
Bey €. B. Schwickert. 





Vorrede 





Es wird nicht noͤthig ſeyn, den Leſern mit 
Aufzaͤhlung der Hinderniſſe, welche das Erſchei⸗ 
nen der mir aufgetragenen Fortſetzung und 
Beendigung des Kluͤgelſchen mathematiſchen 
Woͤrterbuchs ſo lange verzoͤgert haben, beſchwer⸗ 
lich zu fallen. Dem vornehmſten derſelben, 
Mangel an litterariſchen Huͤlfsmitteln, iſt ziem⸗ 
lich abgeholfen worden, und es iſt die Ausſicht 
vorhanden, daß ſolches noch mehr geſchehen 
wird. Ich werde kuͤnftighin nicht bloß von 
dieſer, ſondern auch von anderen Seiten unge⸗ 
hinderter fortarbeiten koͤnnen, um den Leſern 
den fuͤnften und letzten Theil der erſten, die 
reine Mathematik umfaſſenden, Abtheilung die— 
ſes Werkes ſobald als moͤglich in die Haͤnde 
zu bringen, und hoffe ſolches ſchon zu Mi— 
chaelis naͤchſten Jahres leiſten zu koͤnnen. 


iv — Vorrede. 


Die Reichhaltigkeit mancher der noch ruͤck— 
ſtaͤndigen, mitunter nicht zu leichten, Artikel 
machte naͤmlich eine Trennung und Abſon— 

derung in zwey Theile nothwendig, obgleich das 

Werk urſpruͤnglich nur auf vier Theile ange— 

legt und berechnet war. Die Leſer ſollen, wie 

ich Hoffe, ‚Bey der getroffenen Einrichtung nicht 
verloren haben, indem auf diefe Weife die Ent- 
wickelung und Darftellung - wichtiger Gegen 

“fände mit der noͤthigen a und 
Deutlichkeit gefchehen kann. 

| Bey dem großen Zumachfe, den die — 

matik, insbeſondere die Analyſis, vorzuͤglich im 

Auslande, faſt taͤglich erhaͤlt, iſt auch ſchon 

Stoff genug zu Ergaͤnzungen, ſowohl der vo— 

rigen Theile, als des gegenwaͤrtigen Theils die— 

ſes Woͤrterbuchs vorhanden, zu geſchweigen, 
daß manches ſchon fruͤher vorhandene aus leicht 
begreiflichen Urſachen uͤberſehen worden iſt. 

Ich bin, wenn es von mir gewuͤnſcht wird, 

und Leben und Geſundheit es verſtatten, nicht 

abgeneigt, in der Folge auch einen Supple— 
mentband dieſes Werks, welcher Nachtraͤge und 

Ergaͤnzungen enthaͤlt, zu liefern. 


Vorrede. 


Ich habe nur noch mit wenigen Worten 
den Antheil anzuzeigen, den ich an ber Aus: 
arbeitung des vorliegenden Theils des mathe⸗ 
matiſchen Woͤrterbuchs habe. | 

Die Artifele Magiſches Quadrat, und 
alle des Buchſtabens S., von dem: Stereo: 
grapbifche Proiection an, bis auf “die 
Artikel: Subtraction, Summe und Sym 
theſis, worüber. ber Herewigte Kluͤgel einiges 
aufgefest Hatte, mas ich ergänzt. habe, rühren 
ganz von mir her, Die andern Artikel find 
größtentheild noch Kluͤgels Arbeit, welche ‚aber 
einer Reviſion, und mitunter ſehr der Ergän- 
zung bedurften. Die Artikel: Quadratwur— 
zel, Quadratur, Hectification und 
Sphäroid, haben beträchtliche Zufäge durch 
mich erhalten, Der borlegte unter den genann- 
ten Artikeln war ſchon abgedruckt, als ich erſt 
Kenntniß von der vortsefflichen Methode des 
Herrn Hofrath Gauß zur Kectification der 
ganzen Ellipfe ſowohl, als einzelner elfiptifchen 
Bogen, welche aus defien Abhandlung: Deter- 
minatio attractionis, etc. $. 16—18, ſich 
ergiebt, erhielt, Ich würde fie fonft ftatt der 
Legendreſchen meil fie vorzüglicher iſt, aufge: 


yı Vorrede. 


nommen haben. Ob der kleine Zuſatz, welchen 
ich in dem Art. Quadratur, 145, bey der 
von dieſem großen Geometer angegebenen Mes 
thode der mechanifchen Quadraturen angebracht 
habe, fo bedeutend iſt, daß es fich der. Mühe 
verlohnt, ihn auf die Fälle von mehr Als drey 
Drdinaten auszubehnen, muß ich Dem Urtheile 
der Sachverſtaͤndigen uͤberlaſſen. 

Die Weitlaͤufigkeit des Artikels: Summi⸗ 
rung der Reihen, wird man nach Durch⸗ 
leſung deſſelben vermuthlich nicht tadeln, zumal, 
wenn man erwägt, mie wichtig dieſer Gegen= 
fand iſt, und daß man ſelbſt in dem großen, 
hierher einfchlagenden Werke von Lacroie nicht 
alles denſelben betreffende . bekannte in einer 
ſchicklichen Ordnung beyſammen findet. 

Hiermit empfehle ich dieſe Arbeit der guͤti⸗ 

gen und nachli chtsvollen Aufnahme der geneigten 
Leſer, mich felbft aber der Gemogenheit der⸗ 
felben. | 


Gefchrieben an ber Leipziger 
Subilate » Mefie, 1823: 








 Harfenatifäee beten j 


Erklärung ber Begriffe, Lehrfate— Aufgaben und 
Methoden der Mathematik, mit, ſiterariſchen Nach— 
richten in alyhabetiſcher Ordnung. 





Ebſte Abtheitung— 
ae Analpfi 8 und Geometrie, die Niebete und 
+ Die höhere, 


AL. 


O indraseriani y j Bird Sk, ſ. Bi TA 

Quadrant ift der vierte Theil des Umfanges ei⸗ 
sed Kreifes z3 auch ein Sector, welcher der vierte Theil 
der Kreisſtlaͤche iſt. Es ‚gehört dazu ein techter Wintel 
am Mittelpuncte. 

Quadrant heiße auch ein Inſlrument zur DI? 
fung der Winkel in der Aftronomie und praktiſchen Geo⸗ 
metrie. Es wird auf verfchiedene Arten eingerichtet. 
Bon der Eintheilung des Quadranten ſ. die Bere 

fel, Grad und Maß, Th. UL©. 00 

Duadrantal:Dreyed, ſobaͤriſches, iſt ein ot h 
ches, worin eine der Seiten ein Quadrant iſt. 

Quadrat ift eine ebene geradfinichte Figur mie vier 
gleihen Seiten und vier rechten Winkeln — Wie,ein 
Quadrat über einer — Anie gezeichnet wird, deigt 
Euflides, B. L ©. 46 ii, 

Ein. Quadrat zu zeichnen, welches (6 groß if als 
zw eij.gegebene ——— folge aus dem pytha⸗ 
goriſchem Ichrfage, — 
B; 


* 


2... _uadtat 
Ein Quadrat zu zeichnen, welches der Unterſchied 
zwenyer gegebenen Quadrate fey, befchreibe man über des 
größern Seite, a, einen Halbkreis, trage in denfelben von 
dem einen Endpunete die Seite b des zwenten Duadrats 
als Chorde, und ziehe dann. die, Chötde, c. des’ Comples 
mente zum Halbfreife, fo:ift Diefe Die Seite des verlangs 
ten Quadrats. — Denn die beiden Ehorden. machen mit 
einander einen rechten Winkel (Kreis, 20.); daher ift bb- 
+ ecc= aa, das iſt cc—=aa—bb. — 
Die Diagonale eines Quadrats iſt mit der 
Seite der Laͤnge nach incommenſurabel, d.i. verhält ſich zu 
derſelben nicht; wie eine ganze Zahl zu einer ganzen. — 
Dieſes beweiſet Euklides, erſt am Ende feiner arirhmetis 
ſchen Elemente, auf zweherley Weiſe, durch den Wider⸗ 
ſpruch, worauf die Annahme der Nationalität des Vers 
haͤltniſſes fuͤhrt. | | | 
Allgemein ift der Satz: das Verhältniß ber Ka: 
theten eines, rechtwinklichten Dreyecks ſey — ı ; p, ‚und 
p eine ganze Zahl, ſo iſt das Verhältnig der Hyporenufe 
au jeder der Katheren ein irrationales. — Geſetzt, das 
Verhaͤltniß der Fleinern Kathete zu der Hopotenuſe Fönne 
je ein retionales,/m:m + n- ſeyn, fo ift nz + p* 
‘—zm’;(m+ nm), daher ı:p = m?:2amn+n®, 


- andm’ pt = (2m + n)n, ff das Verhäftniß, m: 


an + n, indenfleinften ganzen Zahlen ausgedrückt, fo has 
ben auch m und m feinen gemeinjchaftlichen Theiler. Nun 
müßre das Product (am -+ n) n durch m theilbar ſeyn, 
mie es das gleiche m? p? ift. Da aber der eine Faetor n 
weder Durch aa felbft) noch durch-einen Factor don m 
‚ tbeilbar ift, „fo müßte der andere Kactor, am + n, durch 
za theilbar ſeyn. Die, Divifion giebt den Quotienten, 


27 —, welcher Feine ganze Zahl iſt. Das Verhaͤlt⸗ 


niß der Fleinern Kathete zu der Smpotenufe ift alfo ein 
irrationales, Daher ift auch das Verhaͤltniß der groͤßern 
Kathete, welche ein Vielfaches der kleinern iſt, zu der / 
Hypotenuſe ein irrationales. — en 


| Auabratgrad. 3 
Quaͤdratgrad iſt eine Meß⸗ Einheit, die auf 


— Art beſtimmt werden mag. 

Erftlich für ebene Flächen ift fie ein Quadrat, zu 
deſſen Seite die Laͤnge des Bogens von einem Grade auf 
dem Umfange eines gegebenen Kreiſes genommen wird, 
auf ähnliche Art, wie Quadratfuß, Quadratzoll die Qua⸗ 
drate über einem Fuß, einem Zoll, bedeuten. Der Halbs 
meffer des Kreifes ſey = — 8, ® iff der halbe —— * 


wa (Coflemetrie, Th. ae Alſo iſt * —=Y 





Kreis, Grab, und re — ı Quadratgrad. Die 


Kreisfläche, durch den Halbmeffer a ausgedrückt, iſt — 
raa. Gie Hält alfo ‚103134 Quadratgrade naͤch⸗ 
ſtens. 


Von dieſer Meß + Einheit wird man ſchwerlich 
Gebrauch zu machen‘ Anden, da mar nicht leicht geraolis 
nichfe dängen durch Kreisbogen mefjen wird. Wenn ei⸗ 
ne Kreisfläche zur Meß-Einheit dient, fo Fönnte der Qua⸗ 
dratgrad für den Bruchtheil zur Einheit genommen wers 
den, 


Zweytens: Theile einer Rugelfläche laſſen fich bes 
quem durch ein Hleichfeitiges und gleichwinfliges Iphäris 
ſches Viereck angeben, auf ähnliche Art wie ebene Flaͤ⸗ 


chen durch das Quadrat einer beftimmten geraden Line. s 


Nimmt man zu den Seiten des ſphaͤriſchen Vierecks ei⸗ 
nen Bogen von Einem Grad, ſo wird ein ſolches ſchickli⸗ 
her ein Quadratgrad genannt werden, als vorher das 
ebene Viereck, Die Winkel deſſelben find 90° 01 15,"17. 
naͤchſtens. (Trigonomerrie, ſphaͤriſche). Es verhält ſich 
zu der Rugelfläche, wie ver Überſchuß ſeiner Winkel uͤber 
vier Rechte zu acht Rechten, nahe wie 62 ‚84 Se. zu 720 
Grad, Das iſt, wie zu 412482. ©» | 
*% Drittens ; Eigentlicher] wird — der K⸗gelflãche 
ein " feeisförmiger Raum, deſſen Durchmeffer dem Bo⸗ 
gen nah — ı Grad iſt, ein a heißen 
! 2 


1:0 > Quadratgrad. 


Der Halbmeſſer der Kugel ſey — a, fo iſt dieſer Flaͤchen⸗ 
raum — 2” aa (1cos 30°) = 4 aa (sin 159*, Com⸗ 
planation TH. I. ©. 515. Da die ganze Kugelfläche — 
4 maa ift, fo verhält fich diefer Duadratgrad zu der Ku: 
gelfläche, wie (sin 15’) : ı, das iſt, wie 1: 52525. 

Der vierfeitige Quadratgrad und der kreis foͤrmige 
verhalten ſich wie 52525: 41248, oder wie 4:3,141165. 
Das Verhaͤltniß eines ebenen Quadrats zu dem einges 
fchriebenen Kreifeift 4 : me .4 : 3,141592. 

Das ebene Quadrat und das fphärifche, deren 
Seiten die Jänge eines Grades von dem Umfange eines 
‚gegebenen Kreifes haben, verhalten fich wie 5 m : 15,71 
näcjtens, d. i. wie. 15,70796 : ı 571 oder wie 1:— 
1,00013 — 0,9987 : 1. 

Derebene Kreis und der fphärifche, deren Durchmeff er 
die Laͤnge eines Grades von dem Ulmfange eines gegebes 
- ‚nen Kreifes haben, verhalten fi) wie m*3720*(sin. 15°)", 
d. i. wie m: (3,141582 2... — Die fphärifche 
Kreisfläche ift Fleiner als die ebene, weil der Umfang 
Feiner ift; hingegen ift das fphärifche Quadrat größer 
als das ebene, weil der Umfang derfelbe ift wie im dieſem. 


Zum B yſpiele diefer Art logarithmiſch⸗ trigonome⸗ 
iſher Rechnungen diene folgendes, wobey der Artikel, 
Logarithmus, 8. 88, nachzuſehen ſeyn mag. 

log. — = 7,6398160 — 10 

2log. sin ı5’ = 5,2796320 — 10 

Somplement = 4,7203680 

Zahl — 52525,2, 
Man ſehe auch Kaͤſtners geometriſche Abhandlun⸗ 
gen, zweyte Sammlung, ©. 205 — 213 und ©, 487 
— 493: Das indiefens Artikel vorgetragene ift daraus 
nicht genommen. 


Quadratmaßſtab ift ein eingetheilte gerade Li⸗ 
‚nte, worauf die Theilungszahlen die Verhaͤltniſſe der Qua⸗ 
drate von den zugehoͤrigen gingen angeben. Er * fol⸗ 
ROH gezeichnet, 


Quadratmaßſtab. re: 


Man fett zwey gerade Linien, AB, AC, (Fig. ı:) 
sechtwinfliche zufammen, nimmt auf AB bie $änge AD 
fo groß als die Einheit für die Längen feyn-foll, wodurch 
das Quadrat von AD die Einheit für die Flaͤchen wird. 
Auf AC nehme man Ar. — AD, und ziehe Dı ; dann 
nehme man A2 — Dı und ziehe Da; darauf nehme 
man A3 —Dz2 und jiefe D3. Go fahre man fort, 
fo weit ald der Maßſtab reichen fol. Den Grund der 
Eintheilung giebt der pythagorifche Lehrfas. Ba 

Der Maßſtab wird zur Vergleichung des Flächens - 
Inhalts ähnlicher Kiguren, beſonders der Kreisflächen, 
beymBifiren oder Ausmeſſen der Säffer, gebraudht. 

Man Fann-die Jängen auch von einem gleichtheilis 
gen —** auftragen. Mur muß man die Qua⸗ 
dratwurzeln aus den ganzen Zahlen, von 2 bis zu ber 
festen Zahl auf dem Maaßſtabe haben. Es ifl, wenn 
AD == 1000 genommen wird, 


Ar = ıo00 .  . AT = 2646 — 
A2 = ı414 + AS = 28238 + 
A3 = 1732 + Ag Z='3000 „. 
As= 2000 ,„Aıo = 3ı62 + 
As; = 2236 + Aıtr = 3317 — 
‚A6 = 2449 + Aı2 = 3464 + 


In Schuljes Sammlung logarithmiſcher, trigo⸗ 
nometriſcher und anderer Tafeln, findet ſich im zten Ban⸗ 
de auf ©. 288 — 295 cine Tafel der Quadrat⸗ und Cu⸗ 
bifwurzeln aus den eriten 1000 ganzen Zahlen bid auf 
die fiebente Deeimalftelle von Roͤhl berechnet. Bis zur 
fechöten Decimalftelle giebt eben dieſelben Boͤbert in feis 
nen Tafeln der Quadrat» und Cubikzahlen ©. 141.— 
150, Auch Vega har in feine logarichmifchen und tri⸗ 
gonometrifchen Tafeln B.IL ©. 162 die Quadrat⸗ und 
Eubifwurzeln der Zahlen von ı His 100 aufgenommen, 
Hiervon kann die Tafel der Duabratwurzeln zur Anferti⸗ 
gung des Quadratmaßſtabes benugt werden, 

Die Tafel der Eubifwurzeln diene auf. gleiche 
» Weife zur Verfertigung eines Maßſtabes für ähnliche 


6 Quadratwüurzel. 


Koͤrper. Der Durchmeſſer einer Kugel z. B. ſey ih 
1000 Theile getheilt, fo haͤlt der Durchmeſſer einer dop⸗ 
pelt fo großen 1260 —; einer dreymahl fo großen 
1442 +35 einer viermal fo großen 1587 +3; ... der 
Durchmeffer einer achtmahl fo großen 2000 Theile, 


Quadratwurzel und Quadratzahl ſind re⸗ 
lative Begriffe. Jene iſt einer der beiden gleichen Factor, 
ren (rationalen oder irrationalen), worin fich eine gegebes 
ne Zahl auflöfen läßt; eine Quadratzahl ift eine Zahl, fo 
fern fie als ein Product aus zwey gleichen Factoren, den 
Wurzeln, gedacht wird, In Beziehung auf biefe heiße 
fie das Quadrat der Wurzelzahl. 


2, Aus einer gegebenen Zahl die Quadratmurzel 
zu ziehen, verfähre man umgefehrt, wıe ben der Syntheſis 
oder der Zufammenfegung bes Quadrats aus den Theilen 

der Wurzel, 


2. Eine Zahl werde erftlich allgemein aus irgend 
welchen Theilen zuſammengeſetzt, naͤmlich 
N=zatb+c+d+tre+ft,..., 
fo befteht ihr Quadrat aus den Quadraten jedes Theils 
und den doppelten Producken jedes der Theile in jeden ans 
dern. Denn da das Quadrat ein Product aus zwey gleis 
en Sactoren ift, fo wird jeder Theil von N in jeden 
Theil von N multiplicirt. Sind die zu dem Partialpros 
ducte genommenen Factoren dieſelben, ſo iſt ihr Produet 
nur einmahl vorhanden, wie aa, bb, cc, u. ſ. f. Sind 
die Kactoren verfhieden, wie a, b, fo entitehen daraus 
zwey gleiche Producte, ab, ba. Die Form: bes Quadrate 
einer wehrtheilgen Zahl N ift alſo 
N! —= faa + 2/ab, F 
wo das vorgeſetzte Zeichen / die Summe aller äßnlichen 
Verbindungen bedeutet. S. Polynomifcher Lehrſatz, 
Ss. Enthält die Zahl N ſubtraetive Theile, fo werden die 
Produete aus zwey Theilen mit entgegengefesten Vorzei⸗ 
hen ſubtractiv. Th. J. ©. 375. Th. II. S. 109. 


3. Die Theile einer Zahl koͤnnen zweyt ens auch 


Quadratwurzel. 9 


nech den Potenjen einer beliebigen: Größe: 2, geordnet 
werden, + i Wein” 1.” AR ai | ni? J IR 
N=az" 4 bzur: 4 02” + d2W75 4 ezut 46otot 
wie es mir unſern Zahlen geſchieht, wenn z = 15 ger‘ 
nommen wird. Die Reihe geht da in die Decimalbrir 
che über, wenn ber. Syponent von zinegativ wird, 
Gem yet teh 
N* = aaz"" 
+ 2 abzt=": | u 
” + (2ac + bb) zen 
+ (zad+ abezems 
+ (2ae +2bd -+ cc) 2° 
+ (2af + 2be-+ 2cd) z1”° 
etc * 


4. Exempel. Es ſey N = 478,35, ſo iſt m 
=2; a — 43 b=7. uf, fr und das Quadrat von 
478,35 iſt: | Ze 2 


16.40, 
56.» 
49 .. 
752 
64 
2868. 55 
9.. 
41783. 
| 25 





228775 ,6755 ı — — 
Der Strich ſcheidet die Einer von den Decimaltheilen. 


5. Um aus. einee.. gegebenen Zahl, wie hier, 
228775,675 5, die Quadratwurzel zu ziehen, nimmt man 
die Theile nach einander weg, wie fie hier zufammenges 
ſetzt find. Die Quadrate fangen mit der niedrigften Zife 
fer in einer ungeraden Stelle an, von der Stelle der Eis 
net an gerechnet, die doppelten Producte in einer geraden 
Stelle. Da in jedem Lehrbuche der Arithmetik daruͤber 
Unterricht erteilt wird, fo ift es nicht nörhig, dieſen hier 
zu wiederholen. Ä 


J 


„6 


** 
u 


a  Onabratsoucjel, 


6. Um eine ireationale Wurzel: auf piele Stellen: 
iu finden, muß man den binomifchen Lehrſatz anwenden. 
Dig, gegebene Zahl N jerlege man in zwey Theile von der“ 
Form, at b.0der.a® — b, wo man a fo nahe an bie: 
Wurzel zu nehmen hat, als es vorläufig bequem angeht; 
Dazu find die Tafeln der Quadrate ganzer Zahlen. behülfs: 
id, Es iſt (Binomiſcher Zehrfas, To u. 13.) 


J ıb ı.ı b n.rig“bs 
a’ b ’— — —— — — — — — — 
ra een 
1.1.3.5, b⸗ 1.41.3. 5.7 b$ 
— — — — — · — 
2,4,0, 8 * as 2,4 6. 8. 10 ale 
I .1 Be) b$ 


24. 128° 2 


Kann man ben Bruch - nicht Flein genug machen, fo 
feße man zu der nufgegebenen Zahl ein ſolches Quadrat 
als Factor hinzu, wodurch jener Bruch Flein genug werde, 
‚und dividire hernach Die gefundene Wurzel durch bie 
Wurzel aus dem angewandten Multiplicator. Man mag. 
auch b ſubtractiv nehmen, wenn dadurch a Der Wurzel 
näher gebracht wird, - Die Glieder ver Reihe nach ı find 
dann alle fubrrastiv, 


7. Mach der Kormel, daf, 17. ift 


_.T,ı b ig be 
A DE — — — 
+ r “8 ee) 2.4 (a 4b) 


1.3.5 , b8 MRS 5:23 Di DR b+ 


— — 1 — - — — — — 
?.4:6 
* 244 2 6.8.10 4 (@ + b)5 oc. | 9 
Diefe Reihe mag vorzuͤglich brauchbar ſeyn, wenn der 
Theil b gegen den a* ſich nicht klein genug nehmen läßt, 
8. Stirling bar in feiner Erläuterung von Mens 
fon$ Methodus differentialis eine, wie es ſcheint, we 


Quadratwutzell 9 


nig beachtetete und daher faſt unbekannte, Form des bino⸗ 
miſchen Lehrſatzes angegeben. Aus dieſer folgt: 
— 4 * * Were Aa + 3b: b. —* 
ke =a[: 2.4 ab a®!- - 
ne Babe 
2.4.6.8  (arbe o * — 
1.1.1 34.3 #5 ji ı2a° + 7b [8 
© 2.4.0.8: 10,12: (a® + b)® i a® 
L,Leo..3 «5. u; 162° + ob br ‘ 
— — —— — 10 
2.4..,.10,12.14.10 (a? + b)* as 
"7,1.,25,7..7.9. 2aoa--ııb b9 2) 
+———-—— m etc. | 





— — 


2.4...14,16.18,20 .(a® + b)° ——— 
welche Reihe unter denſelben Umſtaͤnden eine weit ſchnel⸗ 
lere Convergenz gewaͤhrt, als jede der beiden vorigen. 


9. Exempel. Aus der Zahl 12 die Quadratwur⸗ 
zel zu ziehen. Sie wird zur Berechnung des Umfanges 
eines Kreifes aus dem Halbmeffer gebraucht. Cyhklotech⸗ 
nie, Th. I. ©. 660. — Man multiplicire fie durch 4, 
und fische die. Wurzel aus 48 = 49 — 1, wo az 7. 
b= — ı if. "Die Nechnung giebt 
V(4g—ı)= 7 li — 0010204 081632 653... 

u -Oys 0.52 061640 983 ++» 
| Opieerss 531241 234 v0. 
O,o.+% Fer‘ ..6776 036 .» 
OÖ, PT +96 -BOL .» 
'Opsaemue wre rel 4814- 
O, RT .. ... pr .2A vr 


'etc,] 


* 


1144441 


Daraus wird — ——— 

2 02V 48°72:6,928 203 230 275 516... 

“. ,V 12 =.3,464 101 615 137 758 + - > 
Die letzte: Ziffer ift fehlerhaft, roegem der-abgebrochenen 
Rechnung. In Sherwin's mathemasical tables, wo 
V- 12. bie zur 7aften Deeimalftelle angegeben iſt, iſt die 
en ei, 


40 Quadratwurzel. 


A or Mit eben den berechneten Zahlen hat man 
auch die Quadratwurzel aus 50,.da.50 = 49 + 
Die Glieder der Reihe nach der Emheit ſind wechſelnd ad⸗ 
ditiv und ſubtraetiv, wie in der Formel ſelbſt. Es iſt 
V 50 = 7071067 811865. 484. 
11. Mach der zweyten Formel (2). ift-- 
a - 
| Fr d,..15 
J2 u + O,#.r 25 
— ’ + —R& Az375 
— Or sesa 0 ee 7875 — 
JE Opiest ent 214437 
Die BE TEILEN RER TET 1): IT 8 


+ etc. ]; 
— iR, | 
V 50 = 1,011067 811865 435: | 
Diefe zweyte Rechnung müßte noch einen oder zwey Schritte 
mehr hun, um mit der eriten ganz überein zu finmen. 
Beide find in den legten Ziffern mangelhaft. .. 


12. Die Tormel in (8) giebt: 
V (49—ı) = 7 [ı, 000 000 000 000 000 
— 0,010 ‘257,227 891/156. 
Tree rer 546 545-547 
me Que wos .ıe «43.008 


r + 09... -—.-..r2 0°%%+ +4] 


V48 = 6, 928 203. 230 275 509 

: und V ı2 = 3,464, 108. 615 137 754 
wird... Man ſieht, daß. hier nur durch cat halb fo viel 
Glieder, als in (9) doch eine eben fo große, oder vielmehr 
größere, Genauigkeit erhalten ift, als dort. 

73. Die Würjel ans’ 2 wird durch die Wurzel 
aus 50, die aus Fi ducchdie Wurzel aus 48 ste gefuns 
den, da 50 = 2:085, und 48 — 3: ‚isift. Die 
Wurzel aus 5 zu ergalten; fuche man die V 5 .ı6 = 
V 32.ZuyV (Brida Ferner it :V Tg — 
v.53=V 4m), C A.9* V so =) 


ı 


Quadratwurzel. | tt: 


V i3. 25 V (Gꝛ24 + 1) V 17.64 = 
(1089 - i EI. SE BTL 
14, Eine abgekuͤrzte I in allgemeinen Rechnungen 
brauchba:e, Formel iſt | | 
2 b — | ad — 
vatbyactaotae) 
Exempel. Es iſt 48 = 49 — ı, alfo nacht 
dieſer Sormel, - — 
| vs8= (: — ) | 
RETTET 95 3764708 I" 
15. Das folgende ZTäfelchen zeigt die Nefte, wel⸗ 
che das Quadrat einer ganzen Zahl bey der Divifion durch 


9 oder durch 11 läßt, zufolge des Reſtes, en bie 
Wurzel giebt. 


e . 
der EEE ER I ER 





Nee |L-4:0.7.7.0.4. L,0Ö« 8 .: 
Quadrate. | + 4.9 . 5. 3. 3-59 . 4.1 

Das Verzeichniß iſt behuͤlflich, die in den Tafeln 

der Quadratjahlen angegebenen zu prüfen. Ein Seh: 


ler in einer einzelnen Ziffer wird durch jede der — 
immer entdeckt. S. Rechnungsprobe. 


— 168. Die griechiſchen Mathematiker haben ß ch kei 
mitber Aufgabe befchäftigt, rechtwinflige Dreyecke anzuge⸗ 
ben, deren Seiten ſich wie ganze Zahlen verhalten. Ei⸗ 
ne Regel, dergleichen zu finden, wird dem Pythagoras, 
eine andere dem Plato zugeſchrieben. Proklus fuͤhrt ſie in 
ſeinem Commentar uͤber das erſte Buch des Euklides, zum 
47. S. an. Eine allgemeinere, jene beiden unter ſich ent⸗ 
haltende Regel hat Euklides in dem erſten Schnfage zum - 
30. ©, des 10. Buchs feiner Elemente gegeben. ° Dior 
phantus zeige in feinen Arithmeticis, L.IL Qu,g. und 
9. wie eine gegebene Quadratzahl in zwey Quadrate von ra⸗ 
tionalen, wenn auch gebrochenen, Wurzeln zerlegt wird, 
zwar nur an einem einzelnen Sale, aber doch auf eine 


42... Dabratwurgel, 


Art, die ſich dem Verfahren in ber neuen Analnfıs nd: 
bert. Die Trage gehört in die unbeffimmre Analytik, 
mag aber auch ganz ſchicklich Hier ihre Auflöfung erhalten. 


17. Die Aufgabe, analyrifch ausgedruͤckt, iſt, fir 
die unbeftimmre Gleichung. 
xx tr yy = zz 
die Formen der drey veränderlichen; Größen anzugeben, 
wodurch, für jeden rationalen Werth der einen, die Wers 
the der beiden andern auch rational werden. Davon iſt 
die Auflöfung in ganzen Zahlen ein beſonderer Fall. 


I. Es ſind, für.ein gegebenes z, die Formen der 
‚rationalen Werthe von x und y zu finden, — Mit der. 
Gleichung, xx + yy = zz, verbinde man eine vom 
erften-Grade, mx + y = z, in welcher der Werth 
von m fleiner als die Einheit it. Diefe quadrirt iſt 
m!xx + amxy + yy = zz Aus beiden Glei⸗ 
chungen folge die neue, (tr — m’) x — 2my. Diefe 
und die angenommene Gleichung geben ; = 


2m 
u 2) yo — 2 
..ı+ m’ rt m’ | 


Die angenommene Gleichung vom erften Grade 
kann auch feyn, mx — y = z,:wo m größer als die, 
Einheit if. Derfelbe Gang der Rechnung liefert : 


— 
x oz ya Z. 
m’ +1 m’-+ 4 


— — u Ä 
Diele Werthe enrftehen aus jenen, wenn m mit = ver⸗ 
tauſcht und die gehoͤrige Reduction vorgenommen wird. 


=... Damit für ein ganzes z ganze Werthe von x und 
y&tatt haben: muß entweder z oder 2 z.felbft oder aber 
ein: Factor von z oder. 22 die Form m? + ı haben, 
da:dann für m der gehörige Werth gehommen wird, 3% 
B. Es ſey z 15 Z3s. Bells tr 
alſo m == 2, und 


Quadratwurʒel. 4: 


zu ‚1512; + 159 

| —— 2 

Es ſey z — 39 — 3. 13, und ars, 26, 109 
26 die Form m? + ı hat. Diefe ale m’ 


Dadurch uw erhalten: 


tn 
— — 39 2 155 * =, 
II, Sür eine gegebene Kathete x werden die For⸗ 
men der rationalen Werthe der andern Kathete y und der 
Hnpotenufe.z unmittelbar aus den in. für x und y ges 
fundenen Kormen hergeleitet. Es 
m’ — ı | —* I 
ya x u — * 
Kür jeden ganzen Werth von X e Taffen ich die Werthe 
vony it, z immer in ganzen Zahlen angeben. Iſt x unges 
rade, fo nehmerman m = x; iſt x gerade, ſe it m = 
EZ xoder 2m x" nehmen. Ä 
In dem erften Kalle ift 
yÄıı-ı), ze; + ei 
In dem zweyten iſt 
M x - 9. 
Zum Exempel 
x41 7, 8, 9 10, 10, 12, 13, 14 
y 24 15, 40, 24.60, 35, 84, 48 
25, 17, 4lı 26, 61, 37, 85, 59 
"Die Erfindung der Megel für ein ungerabes x wird bem 
Fr Jigeſchrieben; ; die für ein geraded x Dem 
ato. 





Quadrat, magiſches, i ein in gleiche gecher 
abgetheiltes Quadrat, worein die Glieder einer beliebigen 
arithmetiſchen Progreſſion fo eingetragen find, daß ihre 
"Summen, iin jedem mit dem Seiten parallelen Streifen 
und. längs jeber Diagonale, gleich zu werden. 


14 Quadrat/ magiſches. 


| Zum | Denfpiel RR: 
11 j24} 7 |a0| 3° 





Fa elrslala| 

(174 v r ng d 

| Er —— 4 tıal2s!1g [ı6 
1126| 719 aan 
slıolııls ft DR aid 


— 5 ARTE ar olıs| x [14122] 
= ı3|3 | 216) . aa BE 
— u nn 23|6|19] 2 |r, 


Die Zahl der Rächer an einer Geite heißt die 
Geitenzahl oder Wurzel des Quadrats, und man 
unterſcheidet hiernach magifche Quadrate gerader und 
ungerader Geitenjahlen, die man auch wohl fur; ‚ges 
rade und ungerade Quadrate nennt. 


1. Die magifchen Quadrate find, — dem et⸗ 
wa in der Steganographie moͤglichen Gebrauche, von kei⸗ 
nem weitern Nutzen, als es jedes ſinnreiche und ſchwieri⸗ 
ge Raͤthſel iſt. Sie dienen zur Uebung des arithmetiſchen 
Geiſtes, und nur das Vergnuͤgen der Auflöfung kann fie 
intereffant machen, je weniger man bey der erjten Betrach⸗ 
tung, gleich einfieht,. wie man, auch bey einer mäßigen 
Menge Zahlen, die verlangte Anordnung werde freffen 
koͤnnen. Sie haben vermurhlich ihren Urfprung in In⸗ 
dien; denn Ja Lonbere hat ihre Kenntniß im Ditindien, 
befonters in Gurate, fehr verbreitet gefunden. Von den 
Indiern mögen fie zugleich mit den Zahlzeichen zu den 
Arabern, und von diefen zu den Griechen und Dceidentas 
len gefommen ſeyn. Ihre Benennung haben fie ohne 


Zweifel von dem- Öebrauche, den man ehemals von diefen 
stunftlichen Anordnungen einer Zahlenreihe als Zalisınas 


nen machte. In dieſer Hinſicht waren die erften ſieben 
magifchen Quadrate, zu den Geitenzahlen 3, 4, 5,6, 


778, 9; deren Fächer mit der natuͤrlichen Progreffion bes 
:feßt find, befonders wichtig. Gie [hießen Planetenfier 
:gel, das von 3 insbefondere Sigillum Saturni, und- fo 


‚Die übrigen, nach der. Kolge der Planeten im Prolemäifchen 
Syſtem von oben herunter Sigilla Jovis, Martis, So- 
lis, Veneris, Mercurü, Lunae. Won diefem Gebraus 


Quadrat; magifches. 45 


che ober vielmehr. Mißbrauche der magischen. Quadrate 
handelt Kircher: in feiner: Arithmologia ausführlich. 
Schon in Indien, dem Lande ihrer: Entſtehung, fheinen 
fie auf ähntiche Weife angewandt worden zu ſeyn. 

: 2. Emanuel Mofhopulos, der um 1400 
lebte, ift, fo viel man weiß, der erfte, welcher Aber die 
magifchen Quadrate gefchrieben hat. Sein Auffag dar⸗ 
aber ift im Manüfcripte auf der Föniglichen Bibliothek 
in Paris vorhanden. Unter den. Abendländerh wird 
Agrippa von Mettesheim (+ 1535) der erite 
fenn, der ber magifchen Quadrate erwähnt in feinen Büchern 
de occulta philosophia, Bon ihm lernte Bacher de 
Meziriae fie fennen, und verfuchte die Regel ihrer Zu. 
fammenfesung zu entdecken, welches ihm auch bey den uns 
‚geraden Quadraten glückte, für welche er eine allgemeirte 
Methode in, feinen Problemes plaisants, 1613, bekannt 
machte, aber it den geraden Quadraten fam er nicht zus 
Stande. Mach Bachet beſchaͤftigte ſich Arnaud mit 
den magiſchen Duadraten, und gab in den zuerſt 1667 zu 
Paris ohne feinen Namen erfchienenen Nouveaux Ele- 
mens de Geometrie «ine Anweifung, fowohl ungerade 
als gerade magifhe Quadrate nach einer gleichförmigen 
Methode, naͤmlich durch Anfegung von Einfafjungen 
(enceintes) an dergleichen Quadrate von 9 und 16 Faͤ⸗ 


ern zu bilden. 


Freniele, ber durch feine Gefchicklichfeit, mit 
den verworrenften Tragen der Arithmetik fertig.zu twerben, 
ausgezeichnet iſt, ging viel weiter als Bacher und Arnaud. 
Er lehrte nicht allein die nach der Merhode des erfteren 
verfertigten magifchen Quadrate: ungerader Geitenzahlen 
auf mancherlen Weiſe verändern, fondern zeigte auch ins⸗ 
befondere gegen Arnaud, welcher die. Zahl der Veraͤnde⸗ 
rungen des magiſchen Quadrats von 4 auf 16 geſetzt hat⸗ 
te, daß folches 880 mahl verändert werden könne. Die 
durch Einfaffungen -gebilderen magifchen Quadrate ‚wies 
er auf eine viel allgemeinere Art als Arnaud zu verferrigen 
und zu ‚verändern ans... Lind da die nach Arnauds Ver⸗ 


16 Quadrat, magiſches. 


fahren conſtruirten magiſchen Quadrate die, Eigenſchaft 
Haben, daß man bie Einfaſſungen von außen nad) inneh 
zu, ohne die 'magifche Anordnung zu verlegen, nach und 
nad wegnehmen kann, fo fchränfte Frenicle, dem bie 
Aufgabe unter dieſer Geftale noch nicht ſchwer genug war, 
bie weg zu neßmenden Finfaffungen atıf eine oder mehrere 
‚beffimmte ein. Ja er kehrte die Bedingung fogar um: 
‚gemiffe Einfafjungen follten von dem magifchen Quadra⸗ 
fe unzertrennlich ſeyn, das heißt, das magiſche Quadrat 
‚follte aufhören, ein ſolches zu feyn, wenn jerie Einfafjuns 
gen weggenommen wuͤrden, ed aber bleiben, wenn died 
‚mit andern geſchaͤhe. Seine ‚Abhandlung über die mas 
gifchen Quadrate iſt den Liebhabern diefer Kuͤnſteleyen von 
‚de la Hire mirgerheile worden, und befindet fi) in den 
Divers ouvrages de Mathematique et de Physique | 
‚par Msrs de P’Ac, Roy. des Sc. Par. 1695, auch im 
zweyten Bande der Altern Abhandlungen . der Pariſer 
Akademie. ER 

Poignard, Canonicus zu Brüffel, gab in J. 
1703 eine Schrift über die magifchen Quadrate heraus, 
die er, der Dabey angebrachten neuen Kunſtſtuͤcke wegen, 
sublimes nennt, Dadurch ward de la Hire veranlaßt, 
zwey ansführliche Abhandlungen über dieſen geometriſch⸗ 
arithmetiſchen Gegenſtand zu verfaſſen, welche in den 
Schriften der Akademie vom Jahre 1705 befindlich find, | 
“ Su dem Zahrgange derfelben von 1710 iſt ein Auffag 
von Sauveur enthalten, welcher die Vereinfachung 
amd Verallgemeinerung der bis dahin befannten Metho⸗ 
den jur Anfertigung der magiſchen Quadrate und die Ders 
mehrung derfelben mit ‚neuen zum Zweif hat. Der Auf 
fat ift aber fehr-unordentlich abgefaßt, und zum heil 
nur Entwurf. Ein. neues Verfahren für. die Quadrate 
gerader Seitenzahlen wird in einer Abhandlung von 
Ons⸗en⸗Brap, welhe in den Mem.,vom J. 1750 
ftebt, gelehrt. Die doppelt geraden Quadrate werden 
nämlich aus mehreren magifchen Partialquadraten, deren 
jedes 16 Rächer bat, zuſammengeſetzt; Die einfach -geras 


den aber aus einem Quadrtate der vorigen Gattung, wor⸗ 
S an 


Quadrat, magifchee, 17 


‚an eine Einfaſſung imagifcher Art. gefegr wird, - Noch eih 
Auffag über die Conſtruetion der magifhen Quadrate 
überhaupt von Rallier des Durmes ift in den vier: 
ten Band der Mém. presentes aufgenommen und mit 
vieler Klarheit und Präcıfion gefchrieben. | 6 
Deſn deutſchen Rechenmeiſtern und Coſſiſten find 
die magiſchen Quadrate nicht unbefannt geblieben. Stis 
fel handele davon in feiner Arithmetica integra Lib, 
IL. cap. 3. jedoch nicht "unter der Benennunq magifcher 
Duadrate. Beine. Metbhode if die der Einfaffungen um 
ein Mittelquadrat von Einem Face oder von fechsjchn 
Fachern. Er hat folche alfo früher als Arnaud und Fre⸗ 
nice angewandt ; auch ift fein Verfahren einfacher und 
netter. Adam Rieſe lehrt in feinem 1550 in 4 ge⸗ 
dructen Rechenbuche S. 103 und folgg. die Verfertigung 
magifcher Quadrate ungerader Geitenzahlen nach der er⸗ 
ften Pegel von Mofchopulos, und, heile noch die Qua: 
drate zu ben Geitenzaplen 4, 6, 8, doch ohne ihre Con: 
. firuction gehörig zu zeigen, mit, Nah Stifels und Pie: 
ſens Vorgange, haben die Rechenmeifter des 17ten Jahr⸗ 
hunderts und der erſten Haͤlfte des 18ten, in ihren Mes 
chenbuͤchern der magiſchen Quadrate größtentheils ere 
wähnt, doch fehränfen fie fih mehrentheils ‚auf die unge: 
raden, als welche am leichteften zu verfertigen find, ein. 
Elausberg giebt zwar in feiner demonfteativen Me: 
henfunft $: 1505 die magifchen Quadrare von 4, 6, 8, 
‘zo, aber Feine Anleitung zu ihrer Conftruction, welche 
nad Stifel, den er nicht nennt, ausgeführt iſt. Cine 
befondere Schrift von Cornelius Eapito, alle mas 
giſche Duadrartafeln zu verferfigen und viele 100, 1000 
ja millionenmahl zu verändern, Gluͤckſtadt, 1767. 8. 
ſcheint wenig befannt geworden, und unbenußt geblieben 
gu ſeyn. Daher finder man in neueren deutſchen 
mashemarifchen Schriften wenig blatetricht über dieſen 
Gegenſtand. Denn was Wierh in dem Leipziger Mas 
gazine für reine und angewandte Mathematik Jahrg. 
88. ©. 228 umd folgg. und Lorenz in feinem Lehrbegrif⸗ 
fe der Syntaktik davon gelehrt haben, iſt unzureichend 
B 


18 Quadrat, magifches. 


und zum Theil mangelhaft, Ich habe deswegen in einer 


akademiſchen Gelegenheitsſchrift, welche auch in den Buch⸗ 
handel gekommen iſt, die Conſtruction der magiſchen 
Quadrate etwas ausfuͤhrlicher abgehandelt. und beſonders 
die Zufammenfesung derſelben aus Einfaſſungen und die 


Verfertigung der. Quadrate gerader Seitenzahlen einfas 


‚cher und leichter zu machen gefucht. Auf diefe Schrift 
muß ich mich, der Kürze halben, megen der Beweiſe und 
der weitern Ausführung beziehen, indent ich hier die Mes 
‚geln zur Eonftruction-magifcher Quadrate bloß hiſtoriſch 


‚und zwar haupffächlich nur folche mittheilen werde, mels 


che zierliche und fommerrifche Anordnungen gewähren. 
‚Die Vorfchriften ſelbſt werden fich auf jede beliebige arith: 
‚metifche Progreffion beziehen, zunaͤchſt aber in den zur 
Erläuterung beygefuͤgten Erempeln-nur auf die natuͤrliche 


Zahlenreihe angewandt werden, 


1. Gewoͤhnliche magifche Quadrate, 
DR 9 ungerade. 


3. Für die Conſtruction magiſcher Quadrate von 
ungeraden Seitenzahlen giebt" es Fein einfacheres Ber 
fahren, als das der Inder zu Surate. Mach demfelben 
“werden Die auf einander folgenden Glieder der Progreflion 
in die Fächer eingerragen, deren von der linken zur rech⸗ 
ten’ aufwaͤrts gehende Diagonalen eine einzige aerade dis 
nie bilden, indem man beym Eintragen diefer Nichtung 
der Diagonalen folgt, d. i., vonder linfen zur rechten aufs 
waͤrts ſteigt. Iſt man dabey in den erſten oder oberften 
Horizontalſtreifen gekommen, fo gebt man mit dem naͤch⸗ 
fern Gliede der Progreffion in das unrerfte Fach des fols 
genden Berticalitreifeng über, fo wie, wenn man in’den 
Testen oder aͤußerſten Verticalitreifen Zur rechten gefoms 
men iſt, man ın das erfte Fach des naͤchſthoͤheren Horizon⸗ 
talſtreifens zurücfaeht. Komme man auf ein ſchon beſetz⸗ 
tes Fach, welches eintrifft, wenn die Stellenzahl des zu⸗ 
letzt eingetragenen Gliedes der Seitenzahl des Quadrats 


Quadrat, magiſches. | 19 


-Hleich, oder ein Vielfaches derſelben ift, fo: fest man das 
folgende Glied in das nächte Fach unter dem zuletzt ber 


festen. Das erite Glied der Progreſſion, mit welchem 


der Anfang des Fintragens gemacht wird, kommt in 
das mittelſte Tach des oberiten oder eften Hocigontalfkreis 
fens zu. jteben. 

Das nad dieſer Methode conſtruirte Be 
Quadrat zur Seitenzahl 7 faͤllt ſo aus 


30 39148 430 19 28 
38147 7 "glıgl27|29 \ 


— — ſJſJ — — | en — | — 
— — — — | — — ſJ — 
— —— —— —— 
— — 


a 


a2 31 49 49 2 17 20 


4. Mofchopulus lehrt in der oben (a) angefuͤhr⸗ 
ten Schrift ein doppeltes Verfahren zur Eonftruction eis 


nes’ ungeraden magifchen Duadrats. Das erfte, dem 


Verfahren der Tfnder Ähnliche, ift folgendes, Man träge 
die Glieder der ‘Progreffion nach ihrer Folge in die Räs 
cher ein, deren von der linfen zur rechten abwärts gehen: 
de Diagonalen eine zufammenhängente gerade Linie aus⸗ 
machen, und zwar ſo, daß man beym Eintragen jener 
Richtung der Diagonalen nachgeht, oder von der linken 
zur rechten abwaͤrts ſteigt. Von dem unterſten Fache ei⸗ 
nes Verticalſtreifens geht man in das oberſte des naͤch⸗ 
ſten Streifens, und von dem letzten Fache eines Horizon⸗ 
talſtreifens in das erſte des naͤchſtfo lgenden Streifens über, 
Verfaͤllt man hierbey auf ein ſchon beſetztes Fach, mels 
ches geſchieht, wenn die Zahl der eingetragenen Glieder 
der Seitenzahl des Quadrats oder einem Vielfachen ders 
felben gleich ift, fo fest man das einzurragende Glied in 
demfelben Berticalftreifen zwey Rächer tiefer als das zu⸗ 
legt eingetragene, und wenn es Dadurch ad des 


20 Quadrat; magifches, = 


Quadrats zu ftehen kaͤme, in das hoͤchſte noch unbeſetzte 
Fach des Streifens. Den Anfang des Eintragens macht 
man mit dem erſten Gliede der Progreffion, und ſetzt fol, 
ches in das naͤchſte Fach unter dem mittelſten des ganzen 
Quadrats. 


Nach Moſchopulos zweyter Methode geht man, 
wenn ein Fach mit einem Gliede der Progreſſion beſetzt 
iſt, mit dem naͤchſten Gliede allemal zwey Faͤcher tiefer 
und in den naͤchſten Verticalſtreifen. Hierbey ſind der 
erſte Vertical- und Horizontalſtreifen als die naͤchſten an 
den letzten und als an ſolche anſchließend zu betrachten. 
Kommt man hierdurch auf ein ſchon beſetztes Fach, wels 
ches auch hier gefchieht, wenn. die Anzahl der eingeträges 

nen Glieder fo groß ift, ald die Seitenzahl des Quadrats 
oder ein Vielfaches verfelben, fo fest man das einzutra⸗ 
gende Glied in demfelben Verticalftreifen vier Fächer tie: 
fer, als das julegt eingetragene, woben man dem vorigen 
‚zufolge im Zähten der Fächer das erfte Fach des Ötreis 
fens auf das legre folgen laͤßt. Das erfte Glied der Pro- 
„greffion, womit das. Eintragen anfängt, wird in das 
‚mittelfte Sach des er oder höchiten Horizontalſtreifens 
geſetzt. 
Sina. fommen bie beiden folgenden Anoer⸗ 
nungen des magiſchen Quadrats von 7 


* 
Ten — 


jaeje7|ıp[e: 10/35 4|. (jiaßz[=[po]aujzs 


ir 2 1 a Dee Ba 3 unten (men £ — uam 5 — — 


— — ——— —— — ſ — — — — — J — 


30) 6j24]49|:8]36|12| |21/39| 8|33] 22745 


4131314 742554319537) 130) 6j24149,18136,125 
38114132| zfa6lgalaol le F 3/28 


ee 0 — — ſj — — — J — — 


— — — — — — — — — — | a wu — — 


In den nach der Methode der Inder und nach der erſten 
Regel von Moſchopulos conſtruirten magiſchen Quadraten 


Quadrat, magifches. 21 


machen je zwey Glieder in Kächern, welche von dem mits 
telften in der geraden Linie durch die Mitte der Kächer 
gleichmweit abftehen, zufammengenommen das Doppelte 
des mittelſten Gliedes aus. Z. 48 +2 —=2, 
25. Die nach der zweyten Megel von Mofchopulos ans 
gefertigten Quadrate, deren Geitenzahl eine Primzahl zu 
3 ift, Haben die Kigenfchaft, daß auch je zwey einer Dias 
gonale parallel Iaufende Reihen, deren Gliederanzahl fg 
groß ift, als die GSeitenzakl des Quadrats, diefelbe Sums 
me mic den Horizontal: Vertical und Diagonalreihen 
geben. &o iſt in der zweyten der beyden vorigen Anords 
nungen 26.+ 1 +45 + 30:+ 15 #7 + 
= ı5 = 1475445 +36 +34 + 
25 + 16, Etwas dem ähnliches hat unter derfelben 
Bedingung in den nad) dem Werfahren der Tinder con: _ 
firuirten Quadraten ſtatt, Doch nur bey den Reihen, die 
der don der linfen zur rechten abwärts gehenden Diagos 
nale parallel find. 


B, Gerade und zwar 
a) Geradgerad®. 


5. Um ein. magifches Quadrat von einer Doppelt 
geraden Geitenzahl, welche — 4m feyn mag, zu con⸗ 
firuiren, formire man juerft das nafürliche Quadrat, d. 
i. dasjenige, mworein Die Öliever der in das magifche Qua⸗ 
drat zu bringenden Progreffion nach der Ordnung einges 
tragen find. Man bejeichne ſowohl die horizontalen als 
verticalen Streifen deſſelben nach der Meihe durch daneben 
und darüber oder darunter gefegte Zahlen 1,2, 3....4m, 
fo wird jedes Tach, fo wie das in ihm befindliche Glied, 
durch die beiden Zahlen beflimmt, welche anzeigen, ‚bie 
wie vielten in ihrer Ordnung die Streifen find, welchen 
das Fach gemeinfhaftlih if. Man fann diefe Zahlen 
neben oder auch über einander fchreiben, fodaß bie erfte oder 
untere den horizontalen Streifen, die’ andere oder obere 
aber den verticalen Streifen anzeige. Wir werben dies 
aberim Folgenden nicht brauchen. Nun ſetze man die Zah: 


‚22 | Quadrat, magiſches. 


len von ı bis 2m in irgend welcher Ordnung ‚man, will in 
einer Columne unter einander, toben es nicht noͤthig iſt, ein 
anderes Anfangsglied als 1 zu wählen, und neben ı in 
einer Zeile noch m der übrigen Glieder, als, Anfangsglie⸗ 
der fo vieler Columnen. Alnter - jedes Mnfangsglied 
fchreibe man die übrigen, wie fie in der eriten Columne 
auf einander folgen, indem man das erſte, Glied als auf 
das letzte folgend anfieht. Jeder Zahl der einzelnen Eos 
lumnen füge man noch ihre Ergänzung zu /m 1 
bey, und laffe num die Zahlen der eriten Solumne, Anzeis 
ger der horizontalen Streifen, die der: m übrigen aber 
Anzeiger der verticalen Streifen feyn, fo merden durch 
die Verbindung jedes der beiden horizontalen Anzeiger 
einer Zeile mit jedem der nebenitehenden verticalen An⸗ 
zeiger, 4m Kächer oder Glieder des narürlıhen Qua— 
drars, überhaupt aber durch den ganzen Typus gmm 
Fächer oder Glieder bezeichnet. Diefe Glieder flreiche 
man in dem narürlichen Quadrate durch, und frage die 
übrigen in ein andres Quadrat von fo viel Fächern, als 
das natürliche, hat, und zwar in die Ahnlıd liegenden 
Fächer ein. In die Teer gebliebenen Fächer nach der 
Reihe trage man die durchgeftrichenen Glieder in umges 
fehrter Ordnungeoder rückwärts gelefen ein, oder, wels 
ches dafjelbe ift, man. feße ftart jedes durchgeſtrichenen 
Gliedes feine Ergänzung zu der Summe der beiden aufs 
ferften, d. i. ‚iu 16mm + 1, fo iſt das magifche Qua⸗ 

drat fertig. 


Das Verfahren zu erlaͤutern dienen die beiden fol⸗ 
genden Schemata, wovon das erſte das matuͤrliche Qua⸗ 
drat zur — 8, das andere das daraus nach der 
Formel 


1,812, 713,6 
4,7 4,5 1,8 
4,51 3,61|12,7 
3, 6 1,8'45 


| abgeleitete magifche Quadrat iſt. 


Quadrat, magiſches. “ 23° 


'(1)@)@) (4 (5) (6) (7) 8 


— | — Jj — — J — 


a 
— | — — / — — — — — 


#8|50]51|::|8 ss 





Zus 35 ale 
‚133) 21130]36,37|27126|40 
* 42|43| :1 20 46 Mi 17 


nn re ne En 


; 2 air si] 3 ‚2164 


» — 


6. Man formire auch bier. zuerſt das natuͤrliche 


Quabrat, und bezeichne die Streifen deſſelben, wie: in 
(5). Auch mache man hier einen Typusvon am + ı 
Zeilen, wenn 4m -H 2. die Geitenzahl des Quadrats 
it, und von.m -+ 2 Eolummen, auf diefelbe Weiſe, 
wie dort gezeigt iſt, nur daß man hier den Zahlen ihre 
Ergänzungen zu am + 3 beyfuͤgt. Die Glieder des natuͤr⸗ 
lichen Duadrats, welche durch die Verbindung der Anzeiger 
der horizontalen Streifen in der erften Columne mit den 


in berfelben Zeile befinblichen Anzeigern der vertigalen: 


Streifen in. der letzten Columne beftimmt werden, ber 


jeichne man durch darunter gefeste Puncte, und eben fo 


4 \ 


24 Quadrat, magiſches. 


bezeichne man die Glieder, welche der MWerbindung der 
horizontalen: Anzeiger mit den verricalen der vorlegten 
Eolumne entiprechen, durch darüber geſetzte Puncte. 
Die uͤbrigen durch den Typus beſtimmten Glieder des na⸗ 
tuͤrlichen Quadrats durchſtreiche man, ſo wird man in 
allem gm + 4-unten punctirte, eben fo. viel oben punc⸗ 
firte und (8m + 4)(m — 1) durchgeftrichene Glie⸗ 
der haben. Je vier punctirten Gliedern, welche zufams 
mengehören, ‘€ 8.) d. i., in zwey Streifen befindlich 
ſind, welche von den. einander gegen uͤber liegenden Geiz | 
ten des Quadrats gleich weit abjtehen, gebe man in den 
' gleichliegenden Faͤchern des magifchen Duadrats, wenn 


‚ fie oben punctirt find, diefe Stellung (% * ) oder auch 


( ) ſind ſie aber unten punckirt, dieſe ( ) 
oder — X Man kann auch die letzte Stellungs⸗ | 


änderung bey den-oben punctirten Gliedern, und die ers 
fte bey den .unten punctirten anbringen. Mir den uͤbri— 
gen Gliedern, den durchgeftrichenen und den gar nicht be⸗ 
zeichneten, verfahre man. nach der Anmweifung in (5), fo 
erhält man ein magifches Quadrat. | 
Zur Erläuterung diefer Vorfchriften folgen Bier 
die magifchen Quadrate von 6 und von 10. Erjlereg 
iſt mach der Formel 007 | 
ei oe] 255 a 
2,51 3,4 | 16 
ne ‚314 1,6 | 2,5 
Tegteres nach dieſer 


* 


— 


Quadrat, magiſches. 25 


confhrmirt. Bey den punctirten Gliedern ſind die zu — 
erſt angegebenen Veraͤnderungen der Stellung. gewaͤhlt 
worden, - — — 


t 
— — — — 


301 8 


— — — — 


28|27I|tı! 7 
24123 15,16, 14 19 
— — — — — — 
131721222018 


| u — | — — — 








— | u | — — [ —— | 





— — — — — — 







— — — — — — — — — 4— 


3197195| 5194|.,8]92| 20 


4186185|17183]19| vu 


— — — — 1 — 


m — — — — 


21139173|27|7°|76 
20 928 84\15|16]% 





55 
nel 


— — — — * 


Es bedarf uͤbrigens wohl kaum einer Erinnerung, daß 
man ſtatt des Durchſtreichens und Punctirens jede an- 
dere Art diedurch die Formel angedeuteten Ölieder zu bes 
jeichnen und zu unterfcheiven gebrauchen fünne, 


7: Die bisher (3 + 6) vorgefragenen Methoden 
zur Gonftruction magifcher Quadrate laſſen eine merk: 
würdige Erweiterung zu. - Darüber fehe man die oben 
(2) angeführte Commentatio de quadratis magicis, 
art.. 47. 


8. Eine finnreiche, einfache, und dabeh doch fehr 


a‘ 


26 Quadrat, magiſches. 


allgemeine Methode zur Eonſtruetion magiſcher Quadrare, 
welche hier noch eine kurze Erklaͤrung verdient, iſt die von 
Poignard und de la Hire. Nach dieſer formirt man zu⸗ 
erſt zwey Huͤlfsquadrate, deren jedes für ſich mas 
giſch, aber leicht conſtruirbar iſt, aus welchen dann das 
verlangte magiſche Quadrat zuſammengeſetzt wird. Die 
leichte Aufertigung der Huͤlfsquadrate hängt davon ab, 

daß jedes nur fo viel verfchiedene Glieder enthält, als die 
Seitenzahl Einheiten hat, und daß, diefe Glieder in den 
verichiedenen Streifen wiederhohlt werben. Zu dem eis . 
nem diefer Quadrate werden die erften Wieder der in das 

maaifche Quatrat-einzurragenden Progre ſſion in der ges 
börigen Anzahl. genommen, zu dem andern. koͤmmen 'die 
Vielfachen von dem. Producte der Seitenzahl in die 
Differenz der Progreffion nach der Meihe, o nicht aus: 
geichlojfen. Iſt nun die Seitenzahl ungerade, fo träge 
man die Glieder jedes Hülfsquadrats in die Faͤcher des 
erften oder höchiten Horizontalftreif.ng eines jeden in eis 
ner beliebigen Folge ein, und füllt die noch leeren Rächer 
des erften Werticalftreifens beider Quadrate nach der 
Heihe dadurch aus, das man die Ölieder des eriten Ho— 
rizontalſtreifens, von dem erften anzufangen, mach einer 
für beide Quadrare vericyiedene Zahl, welche größer als 
2, und um eins vermindert eine Primzahl zu der Seiten: 
zabl des Duadrats läßt, abzähle, inden man das erfte 
Glied ald an das legte anfchließend betrachtet, und jedes⸗ 
mahl das Glied, wobey eine Zaͤhlung ſich endigt und eine 
neue ſich anfängt, in den erſten Verticalſtreifen ſetzt. 
MNeben jedes Glied ſetzt man die übrigen in derſelben 
Drdnung, wie in dem erften Horizontalftreifen, wobey 
wieder dad erſte ala auf das legte folgend angefehen wird: 
Sind auf dieſe Weife alle. Horizontalſtreifen angefülle, 
fo darf man nur ein Duadrat machen, in welchem jedes 
Glied eines Faches die Summe der Glieder in den gleiche 
liegenden Fächern ver beiden Hälfsquadrate iſt, fo zente 
fteht ein magifches Quadrat, welches die gegebene Pros 
greffion in feinen Fächern enthält. 


Quadrat, magifches, 27 


Beyſpiel. Fuͤr das magiſche Quadrat zur, 
Geitenzahl 5 mit der natürlichen Progreffion ſind die 
Glieder des erften Hülfsquadrats 1, 2, 3, 4, 55 die 
des andern ©, 5, 10, 15, 20. Setzt man jene in der 
Kolge 5, 1, 2,3, 45 diefe fo: 15, 10, 20, 0, 5 in, 
die. erften Horizontalitreifen,, fo entitehen, wem man 
jene nach 3, diefe nach 4 abzaͤhlt, die folgenden beiden: 
Hulfsquadrate Ä | ar 


[EIGENES — — — — — 


ıslsol2o0o| o| 5 


J 


5.1, 2.12.1314 


—— | —— —— —— 











2131734 15 | 1 c| 5! ı5|ro|l 20. 
4 5jı 12 |]3 11020p o| 3]15 _.) 
— — — — — — — — — — 
4213 4 15 5 ı5] ıo} 20| o 
|; 415 |: |2 2c| ol Sl ısj ıc 











— — 
J 


Aus beiden kommt dieſes magiſche Quadrat von 5 


5 221 31-9 


— — J — — — 


— — — — — 


22 
231 4 





Der Grund, warum die Abzählung nach einer größern 
Zahl als 2 gefchehen muß, ift, die Wiederhohlung des 
in dem letzten Sache des erjten Horizontaljtreifens bes 
findlichen Gliedes in der einen Diagonale zu vermeiden, | 
Darum darf man auch nicht nach der Seitenzahl abs 
zählen, es fen denn, daß das mittlere Glied in dem er 
ſten oder legten Sache, ſich befindet, bey welchem vie 
Wiederhohlung allerdings geſtattet ift, wie diefe beiden 

Huͤlfs quadrate zeigen, | 


28 | Quadrat, magiſches. 




















olız 20 5|ıo 


757%]3]3|. %[515%]5 
sjalejale] Iselelsie 
 KELEIST IT METER 
et eos 
3 


1].51:41 2 


wo in dem erften Quadrate die Summe der Diagonas 
le, welche bloß das Glied 3 enthält, auch 15, wie bie 
der übrigen Reihen, ift: In dem andern giebt bie 
Diagonale mit dem Gliede 10 zur Summe 50, gleich 
den andern Reihen. 

Daf die um x verminderte Zahl, nach welcher 
man abzählt, eine Primzahl zu der Seitenzahl fen, ift 
noͤthig, damit nicht in demfelben Verticalftreifen einers 
ley Glied mehrmahl zu ftehen fomme. Übrigens erkelle 
die magifche Befchaffenheit der Hülfsquadrate aus ihe 
rer Conftruction felbft, nach welcher alle Reihen diefel: 
‚ben Sliedgg enthalten. Diefe Beſchaffenheit bleibt auch 
in dem daraus zufammengefeßten Quadrate, in welchem, 
wegen der verfchiedenen Abzählungen in den Hülfsquadras 
ten, Fein Blied der Progreffion wiederhohlt werden fann. 
Da die von de la Hire vorgefchriebene Mes 
thode zur Conſtrucetion gerader magiſcher Quadrate kaum 
andere Anorbnungen liefern möchte, als das ım Vor: 
hergehenden angegebene und gehörig erweiterte Verfah⸗ 
ren , fo verweife ich die Liebhaber derentwegen auf de 


. 
— 


la Hire’s Auffag felbit, zumahl da es nach dem bishe⸗ 


rigen nicht ſchwer ſeyn duͤrfte, auch ohne denſelben jene 
Methode mit Zuziehung der obigen Quadrate von 6, 
8 und 10 zu entwickeln. 


u U, Magiſche Quadrate mit, magite Ein: 
| faſſungen. 


10. So koͤnnen diejenigen — Quadrate 
heißen, von welchen man eine oder mehrere der aͤußern 


Quadrat, magiſches. 29 


Einfaſſungen wegnehmen kann, ohne daß das uͤbrig blei⸗ 
bende Quadrat aufhoͤrt magiſch zu ſeyn. Dergleichen iſt 
das hier beygefuͤgte Quadrat von 7. 
A 
; ‚515 371 36| 18] 19845 45 
| 6 16 22|29| 24 348.44 
43] 33] 27 25 23 7 7 
‚395 30 26 21l28 2odıı 
38431] 13] 14]:3 2|35lı2} .... 
I — — —— 
Nimmt man hier die aͤußerſte Einfaſſung, welche die 
Glieder 1, 2,3%... 32, und 38, 39, 40 ... 49 


in ihren Faͤchern enthaͤlt, weg, ſo bleibt ein magifches X 


Quadrat von 25 Faͤchern uͤbrig. Wird auch von die⸗ 
ſem die Einfaſſung mit den Gliedern 13, 14 ... 20 
und 30, 31. % 0». 37 weggenommen, fo bleibt ein 
neunfächeriges .magifches Quadrat übrig. Lind nimmt 
man endlich auch von. diefem die Kinfafjung mit 
den ©lievern 21, 22,.23, 24 und 26, 27,28, 29 
"weg, fo bleibt das einfächerige Quadrat mit dem Glie⸗ 

de 25 übrig, welces die Mitte des ganzen Duadrats_ 

bilder, und gleichfalls als“ ein magifches anzufehen ift. 


ır. An jeder Einfafjung fommen vier Strei⸗ 
‚fen, zwey ‚horizontale und zwey verticale, vor, wovon je . 
zwey zufammenjtoßende ein Eckfach gemeinfhaftlich ha⸗ 
ben. Die zwiſchen den Eeffächern liegenden Fächer Fön: 
nen fur, Zwifchenfächer heißen. Iſt die Zahl der Fächer 
eines Streifens ungerade, fo giebt es ein mittelftes Fach. 
"Die Rächer felbft werden in den horizontalen Streifen 
von der linken zur rechten, in den verticalen von oben 
nad) unten gezählt werden. Jedes Eckfach wird zwey⸗ 
mahl gezaͤhlt; es kann z. B. das letzte in einem Ver⸗ 
tical und das erſte in einem Horijontafftreifen feyn. 
Die Einfoffungen wollm wir, wenn nicht das Gegen⸗ 


30° Quadrat, magiſches. 


stheil erinnert wird, von außen nad) innen zu zählen, fo 

Ddaß die aͤußerſte die erfte und die innerſte die letzte ift. 
Diefes voransgeſetzt, laͤßt ſich nun die Conſtruction der 
bier befrachteten magifchen Quadrate zeigen. 


- A; Ungerade, - 


12. , Man unterfcheide Eleinere und größere Glie⸗ 
der ber in das magifche Quadrat einzutragenden Progreſ⸗ 
ſion. Jene ſind Fleiner, dieſe größer als dag mittlere 

Glied, oder, als die halbe Summe der beiden Außerften 
‘ Glieder. Ferner nenne man Ergänzungsglieder diejeniz 
‚gen, welche von den Außerften gleich weit abftchen, deren , 
Summe alfe fo groß als das doppelre mittlere Glied oder 
als die Summe der. beiden aͤußerſten iſt. Iſt nun die 
Seitenzahl des Duadrat® — 2n.+ ı, fo ift die Ans 
zahl der Fleinern Glieder — znn +.2n. Bon diefen 
-Fommen die an erften auf die erſte -Einfaffung, die 
an’— 4 folgenden auf die, zweyte, die an — 8 näd): 
ften auf die. dritte u. f. w., auf jede folgende Eınfaffung _ 
4 weniger, als auf die nächftvorhergehende, ‚bis fie alle 
“unter die n Einfaſſungen .vertheile find. | 
Aus den für jede‘ Einfaffung beſtimmten, der Ord⸗ 
nung nach auf einander folgenden Fleineren Gliedern ma: 
he man vier Abrheilungen, jede von gleich vielen verfels 
ben, und frage bie Glieder der erſten Abtheilung in die 
erſten Zwifchenfächer des unteren Horizontalitreifens der 
KEinfaffung bis zum Mittelfache, dieſes mir eingefchloffen, 
ein. Das erfte Glied. der zweyten Abrheilung kommt in 
das obere Eckfach des vorderen Verticalitreifens (des. zur 
linfen) zu ftehen, die übrigen in die darauf .folgenden, Zwi⸗ 
‚fhenfacher bis zum Mirtelfache, doch ohne diefes, Das 
erſte Glied der dritten Abtheilung feße man in das Mit: 
telfach des hintern Berricalftreifens (desjenigen zur rech⸗ 
ten), die übrigen aber in die auf Das Mirtelfach folgennen 
Zwifchenfächer des oberen Horizontalftreifens, Endlich 
trage man das erite Glied der vierten und: legten Abthei⸗ 
lung in das obere Eckfach des ‚hinteren Verticalftreifens, 


Quadrat, magiſches. 81 


die — aber in die auf das Mittelfach folgenden Zwi⸗ | 
fehenfächer deffelben ein, fo iſt die eetbeilnn der klei⸗ 
neren Glieber geſchehen. Jedem kleineren Gliede ſetze 
man, welchee ohne Rechnung, durch eine aus zwei) Rei⸗ 
hen beitehende Lifte der Fleineren und ‚größeren Glieder, 
worin diefelben gehðrig Fa einander ſtehen, geſchehen 
kann, ſein li gerade oder ins Kreuz gegen: 
über, je nachdem das kleinere Glied in einem Zwiſchen⸗ 
oder Eckfache befindlich iſt, ſo iſt auch die: Vertheilung 
der auf die Einfaſſung kommenden größeren Glieder ge⸗ 
macht. Man kann“dieſe aber duch ganz fo wie die klei⸗ 
neren Glieder, nur in umgefehrter Ordnung, eintragen. 
Sind auf diefe Weife alle Einfaffungen befeßt, fo trage 
man nod) das mittlere Glied der Progreffi on ‘in das mite 
‚telfte Nach des ganzen Quadrats ein, ſe iſt das Ma 
‚Quadrat fertig, ' * 
Das obige Quadrat von 7 kann dieſen Vorſchrifs 
ten zut Erlaͤuterung dienen. Die Liſten der Glieder find 
- für Die 2 Einfaffung BE iet — 
ı 2 45 6|5 7 Sg g Io IT 12 
49 48 r 46 45 44 | 43 4241. | 40 39 38°, 
für die zweyte el Be 
'13 14. 1 15 16 | 17.18 | 19 20 
37 36 | 35 54 | 33.32 | 38 30 
für die dritte und = ; 


>. ur 


Die lee a * — dem Mittel⸗ 
fache jedes Streifens weiter keine Zwiſchenfaͤcher; in 
jeder Abtheilung der kleineren Glieder für dieſelbe bes 
findee ſich aber auch nur ein Glied. 


Übrigens Fönnen die Fleineren Glieder, welche 
in bie Zwifchenfächer eines Streifens zu ftehen fommen, 
in diefelben beliebig, und im welcher Ordnung man 
will, vertheilt — wenn man nur immer das gleich⸗ 


32 Quadrat, magiſches. 


Megende Fach des gegenuͤber liegenden Streifens für $ 
das —B Miet laͤßt. 


N Ba RL 'B. Gerade 


yes 13 Bey — giebt. es fein mittelſtes Fach des gan⸗ 

gen: Quadrats ‚aber, auch Fein mittleres Glied der Pros 
greſſion. Die, Stetleides Mittelfachs vertritt ein ſechs⸗ 
sgehnfächeriges Quadrat. In den Einfaſſungen fallen eben⸗ 
falls die Mittelfächer weg, und es giebt bloß Zwiſchenfaͤ⸗ 
cher, Der Unterſchied zwiſchen groͤßern und kleinern 
Gliedern bleibt. Wenn an die Seitenzahl des Qua- 
drats oder der Außerften Einfaffung ift, fo. fommen auf 
die erfte Einfaffung.die erſten 4n. — 2 fleineren Glie⸗ 
‚der. der Progreffion, auf die zweyte die folgenden an — 6, 
auf die dritte die nächiten an — 10 u. ſ. w., auf die 
letzte endlich, welche. das fechrjehnfächerige Duadrat zus 
naͤchſt unigiebt, die To legten Fleineren Glieder, außer 
acht, welche in das innere Quadrat von 16 Fächern ver: 
theilt werden.‘ Die Conftruetion der Kinfaffungen ift 
perfchieden, je nachdem die Faͤcherzahl —— — 4 
oder 8 theilbar iſt. 


14. Iſt die Faͤcherzahl der Cinfafung bloß € ein 
Geviertes, fo eheile man die ganze Reihe der in die Ein 
faſſung zu bringenden Fleineren Glieder in zwen Hälften, _ 

und trage die Glieder der erften „Hälfte, mit Ausflug 
der beiden letzten, in die Kächer der beiden Horizontals 
fireifen folgenvdergeftalt «ein, Das erfte Glied fee man 
in das erfte oder vordere Eckfach des oberen Streifeng, 
‚die ;beiden folgenden in die beiden erften Zwifchenfächer 
des untern, die beiden nächften in das dritte und vierte 
Zwiſchenfach des obern, und fo fahre man mit dem Eins 
fragen der Glieder fort, indem man. fie immer paarmweife, 
und mit den Streifen abwechjelnd, fo in die auf einander 
folgenden Fächer derſelben einrrägt, daß bloß diejenigen 
Rächer eines Streifens leer bleiben, denen in dem andern 
beſetzte Rächer gerade ‘gegenüber fliegen, Endlich fete 
man das — She der erſten Halfte, in das a 
mis 


Quadrat, — — 33 | 
Zwiſchenfach des Vertiealſtreifens zur rechten, das letzte 


Glied aber in daͤs letzte Zwiſchenfach des oberen Horizon⸗ 
talſtreifens. Mir den Gliedern der jweuten Hälfte ver⸗ 
fahre man fo. Das erfte fee man in das legte oder hin⸗ 
tere Eckfach des oberen, das zwente. ım das vorlegte Zwi⸗ 
ſchenfach des unteren Horizontalſtreifens, das dritte 


fommt in das zweyte Zwiſchenfach des Verticalſtreifens 
zur linken zu ſtehen, die uͤbrigen, bis auf die beiden letzten, 


werden Paarweiſe, die beiden letzten einzeln, in die unbe: 
‚festen Zwifchenfächer der beiden Verticalitreifen, indem 


man von dem dritten Rache des Verticalitreifens zur rechs 


ten anfängt, auf die eben befchriebene Art eingetragen. 


15. Laͤßt ſich die Faͤcherzahl der Einfaſſung durch 
8 theilen, fo theile man wieder die ganze Reihe der Eleine- 
ren Öliever, welche in diefelbe fommen follen, in ihre 
beiden Hälften, und trage Die Glieder der eriten Hälfte, 
feins ausgenommen, in die beiden Horizontalftreifen auf 
die Art ein, wie die Glieder der erften Hälfte ohne zwey 


* 


in die in (14) betrachteten Einfaſſungen eingetragen wer: 


den. Die beiden leßten Glieder fommen daben in die 
beiden legten Zmwifchenfächer des untern Horizontalſtrei⸗ 
fens zu ſtehen. Die Glieder der zweyten Haͤlfte werden 


in die beiden Verticalſtreifen, indem man von oben in dem 


Verticalſtreifen zur rechten anfaͤngt, eben ſo, wie die 
Glieder der erſten in die Horizontalſtreifen, eingetragen, 
nur mit der Ausnahme, daß man die beiden erſten Glie— 
. der, welche paarweiſe eingetragen werden, das zweyte und 
dritte Glied der ganzen Reihe nämlıch, ſogleich unter das 
erite feßt, und das (4p + 4)te und (4p + 5te Glied, 
wo p aus der Hlieveranzahl der zweyten Halfte sp+ 3 
oder gp + 7 zu beitimmen iſt, einzeln, fonit aber in der 
Drdnung mit den übrıgen Gliedern einträgt. 


16. ind die Fleineren Glieder auf die eine oder 
andere Art in eine Einfaſſung eingetragen, ſo werden die 
leer gebliebenen Faͤcher mit den groͤßeren Glieden eben ſo 
wie bey den ungeraden Quadraten, nach der Anweiſung 
in (12) ausgefuͤllt. Es iſt nun zur Vollendung des 

€ 


34 Quadrat, magifihes. 


‚ganzen Duadrats bloß noch die Conſtruction bes imnern 
fechszel,nfächerigen Duadrats übrig, welche, da die acht 


groͤßern Gliedern deſſelben unmittelbar auf die acht Fleis 


neren in der Progreffion folgen, nah (5) ausgeführt 
wird. Ober man orbne, um die Anfertigung des Typus 
zu erfparen, wenn a, b,c,d, e, f,g, h’ die Fleineren 
Glieder in der gehörigen Folge, und A,B, C, D, E, F, 
G,.H ihre Ergänzungsglieder find, fo daß die in das 
innere Quadrat zu bringende Progrefion a,b,....g,h, 
H, G, .... B, A iſt, diefe Glieder auf eine diefer beiden 
Arten zu einem magifchen Quadrate | 


a |BIcjd]  Talsle 
Elfleln]l [ALDIble 
h|G|F|e G|F{nle 
D|c |bjA felflalE| | 








fo ift das aus demfelben und aus den Finfaffungen zu⸗ | 
fammengefeste Totalquadrat gleichfalls magiſch, 


Hier ift als Erempel zur Erläuterung das magis 
fche Duadrat von 8, welches man mit der in.(5) ges 
gebenen Anordnung vergleichen Fann. _ 

Sielalalsisie[s 


— | ww — — — | — — ] 


—J———— — 


—— 


— — | mem | une | — — | 


53j42 34135)32 29,23112 


— — — — — — — — 


13|24/31130]33136f41|5 2] 


— — wm [| mine | — — — [ — 


sz| >]. 3162]&2]21 2] 2 
Nimmt man hier die äußere Einfaffung weg, und vers 
mindert jedes Glied in dem übrigbleibenden Duadrate 
um 14, fo bat man ein magıfches Quadrat’ der Geis 


.. 


Quadrat, magifches; 35 
tenzahl 6. Auf diefe Weiſe enthalten alſo die Qua⸗ 
drate dieſer Art alle magiſche Quadrate kleinerer Sei⸗ | 
tenzahlen in fid. 

17: Man fann die Vertheilung ber flöineren 
Glieder in die Einfaffungen und in das innere Quadrat 
‘ auch anders. machen, und überhaupe noch mancherley ' 
Veränderungen bep den aus Einfaffungen gebildeten 
Duadraten anbringen. Darüber ſebe man die angefuͤhrte 
a ia: 


IT, Dasithe Dnadrate ı mit ſymmetriſchen | 
Abtheilungen. 


| 18. Es wird an ein Paar Benfpielen- Pr ‘die 
Beſchaffenheit und- die Eonftruction diefer Quadrare 
am beften zeigen laſſen. Zuerſt ein ungerades, das von 
ber Seitenzahl . 

Man denke ſich dieſes Quadrat n 9 neunfaͤche⸗ 
tige Quadrate, deren jedes für ſich magiſch iſt, zerlege, 
und es ſeyn a, b,c....h, k die mittleren Glie— 
ber diefer Quadrate, welche fib in den mittelſten Faͤ⸗ 
chern Bee befinden, in pipe D Ordnung geftelle 

aA 
d e £ 
g h k 
In jedem der Partialguadrare ift die Neihenfumme 3 
mapl fo groß als das. mittlere Glied, Soll alfo das 
ne magifch feyn, fo muß 

3a+s3b+ 3c=3a-+3e+ 3k - 
— | — 34 +3dr 38 u. ſ. w. 
a+b+ce a 4 e —* kK 

= -a + d+rguf.m 
fenn, d. i., bie mittleren Glieder der Partialquadrate 
müffen für fich ein magifches Quadrat geben, Man 
theile num die ganze Meihe der in das Toralquadrar zu 
bringenden Glieder 1, 2,30 0.0.0... 8ı in 9 Pros 
greſſionen Ab, welche find he 


‚36 © Quadrat; magiſches. 


HB Bee Bed 
10, IT a a I 

ML Tree) + 

J 


« 


. * E) Ag + 


® ” = ® 


— . . . . Bor SE F 
fo bilden die mittleren Glieder derſelben 5, 14 .4 
77 gleichfalls, eine arirhmerifche Progreffion, find alfo 
der magiſchen Anordnung fähig, und das aus ihnen 
nach) der Methode der Inder formirte magifche Qua⸗ 
— 
R lesl5lsol 
Zu 


Pa 
— 


32 778% ra) 
Da jest "die mittleren Glieder der Partialquadrate bes 
dtinsme find, fo ift es leicht die Fächer, welche das mit⸗ 
fehlte in jedem Quadrate umgeben, mit den. zu. jedem 
mittleren Gliede gehörigen übrigen Gliedern der einzels 
nen Progreffionen auszufüllen, da denn das nachites 
bende Quadrat fich ergiebt, - fe | 





⸗ 


— — —— — 
— 116,06] 8] ı 
>27 B 1 — 

66 







— — ç — — — 


68 








34175177 


— — — 





— | — — — — 


79l12|14 1 








2 . 
® ö I ,/ 
. 


Quadrat; magiſches. 88 


Es iſt leicht zu fehen, daß, wenn eins der Partialqua⸗ 
drate conſtruirt iſt, die uͤbrigen bloß durch Vermehrung 
— le, er DANKE TIERE werben 
koͤnnen. 


19. Fuͤr bie Eiuflenetion der geraden Diradrrb 
obiger Art ift noch zu beimerfen, daß: die in (16) mitges 
theilten, aus den Gliedern a,b, c.. hSund A, B, 
C....H gebildeten Quadrate auch dann‘ noch magiſch 
find, wenn nur a, b; .c, darithmetiſch proportional, und 
e, f, g, h nach der Ordnung ‚um gleichviel größer oder 
feiner, MBH — beziehungsweiſe die, 
gaͤnzungen von a, b en. h,ju derfelben ahl find. 
Die Neipenfumme-in dem manifchen Quadrate ift als⸗ 
dan 2 A+a)=2(B+b)uf.w. So geben bie 
Zuhlen 1,2,3 .... 16 in dieſe Ordnung gebracht, “ 

6 wi nr 34 
ET Dur F une, DEE I Deren 
2330. 02 244512 | 
42.412 8 16 = 


wo die angejeigten Bedingungen Star Siten, bie magi⸗ 
ſchen Anordnungen Xv 


— 


bs|ro| 6] 3 E J 
146 SE hl ee 


20, - Im jest das magifche Quadrat von 8 aus 
vier Partialquadraten zuſammenzuſetzen, theile man die 
ganze Reihe der kleineren Glieder von x bis 32 in8 Te⸗ 
traden, und ‚nehme zu jedem ver Partialquadrate zwey 
derfelben, welche man will. Man füge ihnen noch die 
größeren Glieder, welche fie zu 65 ergänzen, ben, fü wird 
die Reihenſumme in jedem der Partialquadrate 2 . 65 
over 130, alfo in dem aus demfelben gebildeten — 
drate 260 fi yn, wie erfordert wird, 


\ 


% Quadrat, magifches. 


Sind v S: ‚bie: lleineren Glieder fuͤr — en 
| —* Ir 


Muss | — on 3, 4 At 
21, 22, 23, 24 
FEIR)N sr, a | 6, Tr. 8 
ale E ’ 291.30 31, 3%. 
für das dritte ; $ IE 
Gau gan IHR, 13, 16 oe: Bu 
act * X RT) 25): 26, 27, 28 ir 3 


fi Bad Biere 
lm — 
am Aa Ei = 20 





27126137 =: 19118 45 48 


21. Man ſieht aus den bisherigen Venfpielen, 
baß ſich nur die Quadrate zufammengefegter Seitenzah⸗ 
len, bie einfady geraden’ ausgenommen, auf diefe Weife 
zuſammen ſetzen laſſen. Je mehr Kactoren die Seiten⸗ 
zahl>hat,- deſto mannichfaltiger iſt die Zuſammenſetzung. 
Dos Quabrat von.ı2 läßt ſich z. B. zuſammenſetzen 1) aus 4 
Quabraten von 36 Fächern; 2) aus 9 Quadraten von 
16 Fächern mit einerlen oder verfchiedenen Reihenſum⸗ 
men; 3) aus 16 Quadraten von 9 Faͤchern. Nimmt 
man. die Reihenſummen der Partialquadrate alle gleich, 
wie in dem legten Exempel, fo giebt das eine fehr einfache 


* F 


Quadrat, magiſches. 39 


und doch großer Abaͤnderungen faͤhige Conſtruetion 'der 
doppelt geraden Quadrate. Daß die einfach geraden ſich 
auf dieſe Weiſe nicht zuſammenſetzen laſſen, erhellt dar⸗ 
aus, daß es fein vierfelderiges magiſches Quadrat giebt. 
Man kann dieſe Quadrate aber immer, wenn ihre Sei⸗ 
tenzahl groͤßer iſt als 6, aus einem Quadrate der vorigen 
Gattung, um welches eine Einfaſſung magiſcher Art geſetzt 
wird, bilden. Davon ſtehe hier noch ein Exempel an 
dem magiſchen Quadrate zur Seitenzahl 10, 


rloolosl 4] 5lo:l53lacl | ro 


93]19]22]81j80]27]360]73172 


12182179]20|21[7417,1j28]29 = 


es]76]77126123]58169] 3231| "3 


187425124173'78]33'32167)70| 14 
11 135138]65164 ar 57156] 86 










—— — 


52 


— ER ee he ed Kl 





— — — | — 





s3|sojaz| #7 


asisılsaf 83 





Bienen der — Quadrate. 


Das magiſche Quadrat zur Seitenzahl 3 
laͤßt —** mehr als eine Anordnung zu, welches fo er⸗ 
heilt. Die Neihenfumme diefes Duadrars ift 15, und 
diefe läßt fich nur auf achterley Weiſe aus je dreyen ber 
Elemente 1, 2, 3... ...9, ohne eins zu we — 
zuſammenſetzen. Cs if nämlich Is zı+5 + 
er TER I 
= 2 +60+7=3+4+8=5+9» +7 
= 4+35-+:6. Unter diefen acht gleichen Summen 
find nur vier, welche in die Diagonalen und Mittelftreie 
fen gefegt werden Fünnen, nämlich diefe + 5-+ 9 


40 Quadrat, magifches, 


a+ 548 3 +5 +74 + 5+ 6, denen das 
Glied 5 gemeinfchaftlich iſt. "Da die Diagonalen mit jes 
dem Streifen ein Glied gemeinfchaftlich haben, fo dienen 
von jenen vier Summen bloß die beiden 2 + 5 + 8, 
4-4 5-+ 6, welcye mit jeder dervier Summen ı+6+8, 


.2+4+9%2+6+7,3+4+ 8 cin lie 


‚ gemein haben, in die Diagonalen, folglich. bilden die beiz 
den andern — 5 + g und 3 +35 + 7 die Mittel⸗ 
ftreifen. Das Glied 5 fommt alfo in das mittelſte Fach 
des ganzen Quadrats die Glieder 2, 4, 6: und 8 aber in 
die Eckfaͤcher zu ſtehen. Durch die Stellung der Glieder 
in den Eckfaͤchern werden die Glieder in den Zwiſchenfaͤ⸗ 
chern ‚beitimmt, fo daß 9 zwiſchen 2 und 4, 7 zwiſchen 
2 und 6, 3 zwifchen 4 und 8, und ı zwiſchen 6 und 8 
zu ſtehen kommt. Deswegen bleibt in den horizontalen 
und verticaten Streifen ſowohl ale längs den Diagonalen 
immer dieſelbe Verbindung von Zahlen, wie auch ihre 
Stellung ſonſt ſich aͤndern mag, welches aber für feine 
wefencliche Veränderung zu rechnen iſt. 


. 22. Mir dem Quadrate von 4 verhält es ſich 
ſchon anders. Die Reihenſumme in demſelben iſt 34, 
welche auf 86erley Arten aus je vier von den Elementen 
1,2, 3... 16 ſich zuſammenſetzen läßt, fo daß keins 
berfelben wiederhohle wird. Das magifche Quadrar von 
4 erfordert nur 10 folder Zufammenfegungen, von Des 
nen vier unter fich Fein Element, mit jeder der übrigen 
ſechs aber ein Glied gemeinfchaftlich haben muͤſſen. Es 
laͤßt fich bey der verhältnigmäßig großen Anzahl möglis 
cher Zufammenfegungen gegen diejenige der erforderlichen 
erwarten, daß der Forderung auf cine vielfache Weife Ges 
nüge geſchehen kann. Wirklich hat auch Frenicle, wie 
oben angefuͤhrt iſt, 880 verſchiedene Anordnungen des 
magiſchen Quadrats von 4 geliefert. 


24. Bey den Quadraten hoͤherer Seitenzahlen 
wird die Anzahl der möglichen Veraͤnderungen noch groͤ⸗ 
fer. Ein einziges Quadrat von 6, beſtehend aus einem 
innern fechszehnfächerigen magifchen Quadrate und einer 


| | Quadrat, magiſches. 4 


magifchen Einfaffung von 20° Fächern, wie dieſes nad 
(13 und 14) conjtruirte, ee 


lzslalac| s| 6 
338ı1ı1lı4l25j24] 4 


'g]26]23|12[13]29 
28120121 


— J — — 


10117416 


18411549 OR 

ıgtazla7l - , ©. . 
SEZER TTS an war u — \ 

31) 2| 3| 7|32|36 


..... Y — — — — — — — — 





2 
>». 


verftattet bey denſelben Eckzahlen ı, 6,31, 36 und den⸗ 
felben Gliedern des innern Quadrat IL, 12, 13....26 
durch bloße Verſetzung der Glieder in den Zwifchenfäs 
chern der Einfaffung und Abänderung des inneren Quaz 
drats an 4055 040 Veränderungen. Denn das einges 
fchloffene Quadrat leitet wenigftens 880 Veränderungen, 
und jede Seite deffelben fann an einen Streifen der Eins 
faffung zweymahl gelegt werden, z. E. Die Seite 11,14, 
25,24 an den Streifen 1:6 fo 24, 25, 14, rı. . Died 
giebt 2. 4. 880 oder 7040 Arten der Verbindung des ins 
nern Duadrats mit derfelben Einfafjung. Nun find in 
den Zwilchenfächern der Horizontalftreifen der Einfafjung 
4 Paar Ergaͤnzungsglieder, welche 1. 2. 3. 4. = 24 
mahl verfegt-werden koͤnnen. Eben fo oft aber Fönnen 
auch die in den Zwifchenfächern der Berticalftreifen ber 
finvlichen. 4 Paar Ergänzungsglieber verfegt, werden. 
Dies. giebt bey denfelben Eckzahlen 24.24 = 576 Ver⸗ 
änderungen in der Stellung der. Zahlen in den Zwifchens 
fächern der Einfaffung. Daher ift die Zahl der Veraͤn⸗ 
derungen des ‘ganzen Duadrats — 576 . 7040 
‘4 055 040. 


Laͤßt man das Eckglied ı der Einfaſſung und das 
mit auch des ihm gegenüberliegende,. fo wie bie Glieder 
des innern Quadtats ungeändert, fo kann man die beiden 


42 Quadrat; magiſches. 
andern Eckglieder, und die Glieder in ben Zwifchenfächern 
der Einfaffung auf 2ıerlen Weife verändern. Folglich 
ift die Zahl ver Veränderungen, bey demfelben Eckgliede 
1 und denſelben Gliedern des innern Quadrats 11, 12 
... 26, = 4 055 040. 21 85 155 840. Äns 
‚dert man auch das Eckglied ı und die innern Glieder des 
Quadrats, fo wird diefe Zahl noch bedeutend vermehrt, 
Und in diefer großen Menge von Veränderungen jind 
noch nicht diejenigen. begriffen, welche das gemöhpliche 
magiſche Quadrat von 6 zulaͤßt. | — 
25. Don’ dem magiſchen Quadrate zur Seiten⸗ 
zahl 7 laſſen ſich nach de la Hire's Methode, welche die 
der —5* und von Mofchopulos unter ſich begreift, 363 
9:16 800 verſchiedene Anordnungen finden. Denn bey 
‚einer beftimmten Folge der Zahlen in den oberften Horis 
zontalftreifen der beiden Huͤlfsquadrate find 4 Kolgen 
ber Zahlen in den erften Verricalitreifen möglich. Jede 
Anordnung in dem einen Huͤlfsquadrate laͤßt ſich mit 
drenen des andern zu einem magifchen Quadrate, worin 
fein Glied miederhohle wird, verbinden. Alfo entftehen 
bey derfelben Kolge ver Zahlen in den erften Horizontal: 
ftreifen der beiden Hülfsquadrare 4.3 DBeränderungen. 
Die Kolge der Zahlen in dem erfien Horizontalitreifen 
‚jedes Hülfsquadrars läßt fich aber 1- 2. 3.4.5. 6.7. abs 
ändern; daher ift die Zahl ver hieraus und aus der bets 
fchiedenen Kolge Der Zahlen in den erften Verticalſtreifen, 
hervorgehenden — | 
122:4.4:4.0,0° 1,3 304819200. | 
Wird das mittlere Glied der Progreffion in eınem der 
beiden Huͤlfsquadrate in der einen oder andern Diago⸗ 
nale wiederhohlt, fo iſt die Zahl der Veraͤnderungen eis 
nes ſolchen Quadrats 1.2.3.4 5.6.2. Die Zahl 
der Veränderungen, welche durch Verbindung eines fols 
chen Hülfsquadrats mit einem der vorigen Art entſtehen, 
iſt alſo 
(1.3:8:4 31.6: y® „..+s3- 2'= 38060800, 
Endlich iſt die Zah der Veränderungen, welche durch die 


Quadrat, magiſches. 43 


Verbindung der Hilfsquadrate von der legten Art unter 
fich hervorgebracht werden; 00... 
| (1.2. 3. 4. . 6. 2 1036800. 

Die Zahl aller Veraͤnderungen uͤberhaupt iſt alſo 

3048 19200 + 58060800 +. 1636800 = 363916800, 
wie angegeben ift. : Diefe Angabe erikrecke ſich aber noch 
nit mit auf die Duadrate mit magifchen Einfafjungen, 
Jeder Entwurf diefer Art, welcher aus einem innern ma⸗ 
gifhen Quadrate von: 9 Fächern und zwey Einfaſſungen 
von 16 und 24 Fächern befteht, leidet durch Verſetzung 
der Glieder in den Zwifchenfächern der Einfaſſungen und 
durch Drehen und Wenden der. Quadrate van 9 und 25 
Faͤchen ah 
(1.2.3);(1.2.3.4.5)°. 8°. 8% =:33 177600 
Veränderungen. Gebt man aber das Quadrat von 7 
aus einem fünf und zwanzig fächerigen magiichen Qua⸗ 
drate mit einer Einfafjung gleicher Art von 24 Faͤchern 
jufammen, ſo verſtattet jede folche "Anordnung, weil das 
innere Quadrat nach de fa Hire's Methode auf 41472 
Arten zufammengefegt werden kann, nn 
41472. (1.2.3°4.5)°.8== 4777574409 
Veränderungen.. Bedenft man die große- Menge der 
Entwürfe beider Arten, fo erregt die ungeheure Menge 


von Veränderungen alterdings Erſtaunen. Mit der Zahl .... 


der aus den Elementen ı, 2, 3... 49 zu formirenden, 
magifchen oder nicht magiſchen Quadrate, welche zwischen, 
6082 .1059 und 6053.1059 fälle, ift fie indeß -faum zu. 
vergleichen. Non ; 


Noch einige andere Arten magifcher Quadrate: 


26. Anftate einer arithmerifchen Progreifion Eannn 
auch eine geometrifche. in die Rächer eines Quadrars fo 
eingetragen werden, daß das Product der Zahlen in den 
Horizontals Vertisals und Diagonalreihen dafjelbe iſt. 


” Auadrat 


A. Quadrat, magifches, 


Zum Beyſpiel. “ 
| -Ar2s| ıl 22]. | 
“elasel al 

1 — — nn 








a 8116394 : 8792 














. 432768) 4096| 21. 4 














.512| 2024) 128 216 
‘ sa) 32| 256) 2048 


— — 

















Dieſe Quadrate entſtehen, wenn: ſtatt der Glieber 
12, 3 2.. der natuͤrlichen arithmetiſchen Progreffion,; 
die zugehörigen Glieder einer geomerrifchen Neihe, in den 
obigen Beyſpielen 1, 2, 4, 8.» «, gefeßt werden. Die 
Gleichheit der Producte beruht auf den Eigenfchaften der 
Logarithmen. 


27. No kann man die Glieder einer — 
niſchen Progreffion in die Faͤcher eines Quadrats 
fo eintragen, daß die Zahlen in horizontaler, verticaler 
um diagonaler Richtung harmonifch proportional -find, 
d. h. daß für je drey naͤchſt auf einander folgenden lies 


. .  Dergleihen iſt das 


b, —— — 
ber a, b, c iſt e: — 


FT 


BEE 
| 315] 280) 252| 


u en 


Quadrat; magiſches. 46 


Dieſe Quadrate haben gar nichts kuͤnſtliches. Denn da 
die reciproken ‚der Glieder einer arithmetiſchen Progreſ⸗ 
ſion eine harmoniſche Progreſſion bilden, ſo darf man nur 
die re einer. arithmetiſchen Progreffion, z. Erempel, 
2,3, 4... 10, fo in ein Quadrat eintragen, daß die 
Zahlen in > horigonaler, verticalee und diagonaler Rich— 
tung ſtetig arithmetiſch Propostinir find, welches leicht 
if. Zum Beyſpiel. 


55 44 — 
- 315,3, 
8| 9 [ro 


Yun fuche man zu den. Zahlen 2, 3,4..... ro den 
kleinſten gemeinfchaftlihen Dividuus, welcher iff 2520, 
Die Duotienten deffelben durch die Glieder 2, 3,4, .... 
10 geben die in dns Quadrat flat diefer zu fegenden Slie: 
der einer harmoniſchen Progreſſion. 


2. Rine eigene Art magifcher Quadrate, welde 
dur Subtraction immer einerlev Zahl liefern, finder ſich 
in den Actis Eruditor. 1686. p. 393 von Kochanski bee 
ſchtieben. Sauveur (Mém. de l’Acad. des Sc. 1710) 
hat noch dad magifhe Kreuz, das magiſche Gitter), 
und den magifchen Würfel Hinzugethan, In Sränfe 
ling fämmtlichen Werfen 2 B. ©. 307 und folgg. 
der deurfchen Üüberſetzung kommen ein Paar. magifche 
Duadrate von befonderer — auch ein magiſchez 
Cirkel vor. | 


29. Euler at in der Comm. Acad. Petro- 
pol. T. XV. eine ſchwere, mit der von den magifchen 
Duadraten etwas Abereinftimmende Aufgabe aufgelöfer. 
Sie heißt: Es follen neun in ein Quadrat A, B, C, 
fo zu ftellende Zahlen gefunden werben, daß D, E, F, 
folgende zwölf Re erfuͤllt werden: G, H, I, 


6 Quadrat, magifches. 


vn AA+DD+ GG: 
2 BB + EE + HH= ı. 
2.:CC >- FF+ I 1. 
4. AB+-DE+C6CH= 0. 

5. AOHDF+ GI=o 
6. BE+EF$ HI=Sc, 


7. A+BB+CC=ı, 
g DD-EE-+FF=rn 
9. G®+HH+FUI = 1. 
ı0. AD-+ BE + CFi=o. 
‚11. AG+ BH+ CI=o, 
12. DG + EH + FI=o 


Die Unterfuchung ift für die Lehre von den krum⸗ 
men Slächen und Linien von doppelter Krümmung wichtig, 
wenn man bon einem Syſtem rechtwinfliger Eoordinaten x, 
y, zjuweinemandernder CoordinatenX,Y,Z übergeht, ohne 
den Anfangspunet zu verändern. In diefem Kalle wers 
den nämlich die X, Y, Z durch x, y,z fo ausg:brlckt 


X = Ax + By + G_| 
Y=Dx+ E+ Fz 
2 x + by + I 
und x, y z duch X, Y, Z auf diefe Arc 
x — AX + DY + 62 
y = BX + EY + HZ 
"z2:=CcX + FY + 2 


und es haben alsdann die angezeigten Nelarionen nebft 
"oc andern zwifchen den neun Größen A,B, C,D,E, 
F,G,H,1 flat. Die Aufgabe, wie fie vorgetragen iſt, 
ſcheint mehr als beftimme zu feyn, ift aber wirklich eine 
unbeftimmte. Die legten ſechs Gleichungen folgen naͤm⸗ 
li aug den erften ſechs. Übrigens dient die. Stellung 
der neun. Größen ins Viereck in der That nur zur Ver⸗ 
finnlichung der Relationen zwiſchen denfelben. 


Quadratifche Gleichung ift eine Gleichung 
vom zweyten Grade, fü Gleichung. 


Quadrato⸗ cubiſche Zahl. 47 
Quadrato⸗ cubiſche Zahl iſt die fünfte Po: 


tenz einer Grundzahl, fo wie dieſe die quadrato : cubifche 
Wurzel in Abfiche auf die Potenz als Grundzapl iſt. 
©. Potenz,’ 5. — — 
Quadrato⸗ quadratifche Gleichung iſt eis 
ne Gleichung vom vierten Grade. ni, 
Quadrato⸗ quadratifche. Zahl ift die vierte 
Potenz einer Grundzahl, welche hinwiederum die eben fo 
genannte Wurzel aus der Potenz iſt. u 


Quadratrix ift eine krumme Linie, die über dere 
felben Are mit einer gegebenen krummen Linie befchrieben 
it, und durch ihre Ordinaten vie Slächenräume dieſer 
angiebt. Ihre Ordinaten nemlich verhalten ſich wie die zu 
den Abſciſſen gehörigen Flaͤchenraͤume der gegebenen Linie, 
‚ oder es find auch die Quadrate ihrer Ordinaten, oder: die 
Rechtecke aus der Abfriffe und Ordinate, den Flaͤchen⸗ 
raͤumen der vorgegebenen Linie gleich. Da man durch 
die Integralrechnung den Inhalt der Figuren bequemer 
und faßlicher angeben kann, als durch die Conſtruction 
einer zwepten Linie, fo macht man jegt Eaum Gebrauch 
bon diefer Art zu quadriren, rl 

1. Die ältefte Quadratrix ift die des Dinoftras 
tus, eines Zeitgenofjen des Plato. Es ift (Fig. 2.) 
AB der Quadrane eines Kreifes, der mit dem Halbe 
meſſer CA Befchrieben ift, und Mein Puncr def 
felben. Auf AC fey ein Punct P fo genommen, daß 
‚AB: AM =AC: APfey. In diefem Puncte P. wer 
beauf AC bie fenfrechte PN. errichtet, welche den Halb: 
mefier CM in N fchneider, fo ift N ein Punct der Quas 
dratrix. RZ 
an 2. Man ziehe NQ fenfrecht auf den Halbmeſſer 
CB, fo folgt aus der angenommenen Proportion, daß 
AB:BM = AC:NO if. Nun fege man’ AC. oder 
BE =4,C00=x. N =y; ber Winfel BCM 
\ 2 
perhalce ſich zu zwey Nechten, wie ©: m, fo ift y= F a, 


48 Quadratrix. 


die —— fuͤr die SPAREN. any iſt y Zxitang 59; 
© 9 
tan 
Fuͤr den Punet D, wo bie Sue den Halbe 
| —— BC ſchneidet, it O S Oo und tang =o, alſo 


alſo x 


km Encwickelt man tang Pi in eine Reihe ® + 
A6 + * etc. (Spflometrie, 14.), fo it «= 
* "ir Werth r9=o 


”(i + AQ® + BO* + etc.) 
wird C BE —— — Die Graͤnze * — welche 
tan 


u iſt, wird in dieſem Falle fuͤr den Qureienten ge⸗ 
ſetzt. 

3. Die Curbe iſt nicht auf den Bogen AD eins 
geſchraͤnkt. Sie erſtreckt fih auf der andern Geite von 
AC ins Unendliche fort, indem für 9 =, x unende 
lih gudß, und y = 2a wird. Kür negative O von o 
bis x iſt die Curve unterhalb der Abſciſſenlinie BZ Dies 
ſelbe wie oberhalb. Für die Winfel O von m, bis 2r 
kommt die Curve von dem unendlich weit entfernten 
Puncte auf der Alpmptote, deren Abftand von der Ab⸗ 
ferffenlinie — 2.a ift, her ;urück, und erſtreckt fich wieder 
ins Unendliche auf der Seite CX, wo die Graͤnze von 
y iſt 4a. Golder Hin» und Herzänge giebt e8 unend⸗ 
lich viele, jeden mir einer Afymptote der Abſeiſſenlinie pas 
tallel, in dem Abftande 2a. von einander, ſowohl auf 
der einen Geite der Abfeiffenlinie ale auf der andern, fo 
wie eine Spirale, insbefondere die archimediſche, auch 
unzäplig biele Umgänge madır. , 

er Es ſey NT die in.N berüßrente, welche die 
N? 


— d —— 
es iſt die Subtangente OT = — er (beruͤhrende Li⸗ 
mnie 


Quadratiin 00.749 








Fr xdy — ydx —— 

nie, 12,15) und CT = ren: Da = tg 9 
‚„. xdy — ydx do 

ift, fo ift — a (Dilferentialfor, 

meln, 38.) — iſt | . 

xx OÖ Gm: _ CN? 

== .— CN’. — = _. CN __ 

m cos$*? dy dy 2a 2 CD, 


alfo die dritte Proportionale zu der Baſis ver Duadras 
trir CD und dem Radius vector CN. 


5: In Diſt die Subtangente = CD, alſo die berüßs 
eende fenfrecht auf die Are; in Aift fie — = ma, dem 


Quadranten. Für P= =, wo CN unendlich groß iſt, 
iſt ſie auch unendlich. —J 


6. Da die Ordinaten NQ fich wie die zugehoͤri⸗ 
gen Bogen verhalten, und der Quadrant des Kreiſes 
e 


B Bar 
=D ift, fo Fann durch dieſe Linie, fo fern man fie 


als gezeichnet annimmt, der Kreis umd jeder Gertor 
defjelben quadrirt werden, Daher hat dieie Linie bey 
den Alten ihren Namen, rergaywvıdovoa, quadra- 
trix, erhalten. Gie dient auch zur Zheilung eines 
Kreisbogens AM oder Winfels ACM in jede Anzapl 
von Theilen durch die Theilung. der zugehörigen Aofeiffe 
AP, Es läßt fich diefes auch durch Theilung der Or— 
dinate NQ bewerfitelligen, 


7. Pappud, der fih in dem sten Buche feis 
ner Sammlung, Gas 25 ff. mit diefer Linie. befchäf- 
tigt, erinnert mit Recht, daß das gefuchte daben als 
bekannt angenommen wird. Man miüffe ja, um jeden 
Punct N der frummen Linie zu beſtimmen, fchon das 
Verhaͤltniß des Umfanges zum Halbmeffer wiffen. . Die 
dinie fen eine mechanifche (HyXavızwrepy) und in der 
Ausübung den Künftlern (uyxavızoıs) ju vielen ae 


50 | Quadratrir. 


ben nüslih. Man kann nämlich durch forfgefegte Hals 

birungen des Ouadranten AB und des Halbmeſſers AC 
viele Puncte wie N finden, und durch deren Hülfe die 
frumme "Linie zur Anwendung genau genug zeichnen, 
Doch auch dieſe Muͤhe erſparen unſere Winkelinſtru— 
mente. Pappus zeige noch, mie ſich verſchiedene Aufs 
gaben durch diefe ‚Linie auflöfen laſſen. — Der griechi— 
ſche Text von ©. 25 — 29 ift aus einer Vaticaniſchen 
Handſchrift abgedruckt in des Josephi Torelli Geo- 
mietricis, ‘Veronae 1769. 


8 Den Gab, daß AB: CB = CB: : CD | 
iſt, erweiſet Pappus, nah Art der Alten, padurch, 
daß er zeigt, CT koͤnne meder größer noch, Fleiner feyn 
ale.die drirce Proportionale zu AB und.CB. Mäms 
lich es fen nicht AB:CB=CB:CD, fo ift die 
dritte Proporrionale ju AB und CB entweder groͤßer 
oder Fleiner als CD, Gie fen zuerſt größer und —= CE, 
Man befchreibe mit dem Halbmefjer CE einen Kreise 
bogen, welcher die Quadratrix irgendwo in N fihneide, 
und ziehe NQ fenfredt auf CB, fo it AB: CB 
—BM:OQN. un fol auch ſeyn AB:CB=CB:CE, 
folglich it CB:CE = ='BM: QON. Wegen der cone 
eentrifchen Bogen it CB: CE —= BM:EN. Kolgs 
lib wäre der Bogen EN gleich der fenfrechten NQ, 
welches unmöglich if. Alſo ift CD nicht Fleiner als 
jene dritte Proportionale. Auf ähnliche Art wird er: 
wirfen, daß CD nicht größer if. Folglich iſt CD ihr 
gleich. — Wie aber diefer Sa gefunden 1 ſagt 
Pappus nicht. 


9. Tſchirnhauſen hat die Quadratrix für den 
| Kreis er Es bleibt AB:AM = AC:AP, 
aber er zieht. durch M eine parallele mit AC, welche 
durch ihren Durchſchnitt mit der auf AC in P ſenkrech⸗ 
ten einen Punct feiner Duadratrir angiebt. 


10. Newton nennt Quädratrices überhaupt 
die Sinien, deren Ordinaten NQ (Fig. 2) eine Func— 


Quadratrir. 51 


tion des zugehörigen Kreisbogens ſind. Opuscula T.I, 
p. 102. In einem Briefe an Oldenburg, ibid. p. 318. 
giebt er die Abfeiffe CQ durch die Ordinate NQ mittelſt 
einer Reihe an, deren Grund aus nn 16. ſich 
gleich ergiebr. 


ob. Bernoulli bemerkt, daß die Eykloide 
dient, Kreisſegmente leicht in einem gegebenen Verhaͤlt⸗ 
niſſe zu theilen. Operum T. Ip 199. 

Diefer Geometer giebt noch eine Conſtruetion an, 
eine gerade Linie im einen Kreisbogen zu verwandeln, 
durch welche zugleich Punere einer Quadratrix der Alten 
gefunden werden, Opp. T.I. p. 446. Davon ir. dem - 
folgenden Artifel, Duadratur. 


Wallis mwender auf die Ditadratrir ber Alten 
die lehre von der Zufammenfegung äwener Bewegungen 
an. Opp. T. II. p. 663. Er irrt fich aber, daß er 
die ganze Quadratrix aus.vier folchen Bogen, wie AD, 
in den vier Quadranten des Kreifes zuſammenſetzt. 


Montuͤcha fchränft den ganzen kauf der Duas - 
dratrir auf den Raum zwifchen zwey Aſymptoten ein, 
Geſch. der Marhematif, IH. ©. 78. Ausführlich han⸗ 
delt von dieſer Linie, befonders ihren Afymproren, Kaͤſt⸗ 
ner in den gevm, Samml. II. S. 218 — 24. — 


Quadratur (Tetragonismus) iſt bie Ver⸗ 
wandlung einer ktummlinichten ebenen Fläche m eıne gleich 
große geradlinichre Figur, imsbn,ondere in ein gleich 
großes Duadrat. Bisweilen besßt auh Duadratur die 
Berwandlung einer geradlinichten Figur in ein Quadrat, 
— Auch Eomplanation einer krummen Flaͤche wird Qua⸗ 
dratur en | | 

. Archimedes war der erfte. welcher frummlis 
nichfe Sauren quadrirte.. Zu der Ouadrarur des Kreis 
fes that er zwar nur den eriten Schritt, allein er quas 
drirte die Parabel, wie in dem Artıfel, Exhauſtions— 
Methode, Th. II. ©. 167. ff. erzählt it; er verglich 
die Släche einer Ellipfe mit. einer Kreisfläche (von Kos 


52 | Quadratur. | 


noiden und Sphäroiden, 5.6. Sat ), auch die Flaͤ⸗ 
chenräume an feinee Spirale für jeden Umlauf des 


Halbmeſſers mit einer a fläche, (von den Spiralen, 


14. ff. ©.). 

Vor Archimedes hatten zwey griechifche Geome⸗ 
ter, Bryſon und Antipho, die Kreisflaͤche zu meſſen 
geſucht, jener auf eine ganz irrige Art, dieſer auf eine 
beſſere, durch die Berechnung eines kleinen Sectors, den 


er als geradlinicht anſah. 


2. Cavbaleri, deſſen Methode des untfeifßaren 
im erſten Theile, erflärt it, fam damit ın dem Werfe, 
worin erfie aus einander feßt, in Beziehung auf Slächenräus 
me nicht weiter als bis zu der Quadrarur der ‘Parabel und 
der Spirale, bey der letztern durch eine Vergleihung 
mit einem parabolifchen Raume. Aber in dein everci- 
tationibus geometricis, die 1647 herausgekommen 
find, giebt er Die Quadratur hoͤherer Parabeln, von der 
Form ayn —b"x, Sein Ordensgenoſſe, Stephanus“ 


de Angelis, leitete daraus noch manche Saͤtze die 


Quadratur dieſer Linien betreffend her, und zeigte auch, 
wie ihre Cubirung und die Lage des Gchwerpunires ge: 
funden werden. De infinitis parabolis, Venetiis, 
1659. — Fermat quadrirre Die apolloniſche Parabel 
auf eine finnreiche Art. Er nabın die Abf:ijfen in geos- 
tietrifcher Progreffion, wodurch die Droinaren auch in 
einer folchen, etwas verfchiedenen, ſtehen, und die Mecht: 
erfe aus den Ordinaten in die zugehörigen Unterſchiede 
der Abfeiffen, ebenfalls eine geometrifche Progreflion auss 
machen, Werden dieje Linterfchiede ohne Ende vermins 
dert, fo ift eine unendliche geometrifche Reihe au fummiz 
ren, deren Summe die Släche der Parabel giebt, Huf 
ähnliche Art quadrirte er eine Parabel, deren Wleichung 
it b5x? —a?yd, Auch erdachte er eine Spirale, an 


welcher die Winkel, welche der fich drehende Radms bes 


fhhreibe, fih mie die Quadrate der Radiorum verbul: 
fen, und quadrirfe diefe Spirale. — Roberval, ver 
Fermat die Aufgabe, dieſe Curve zu auadriren, vorgelegt 


Quadratur. 53 


f 
hate, Fam damit auch zu Stande. Descartes fand 
ebenfalls ihre Duadratur. Roberval berechnete die 
Slächenräume einer Curve, die man Limagon nannte, 
ſ. 29.1. ©. 543. Er beftimmte auch den Flächens 
raum auf einer Eylinderfläche, der durch die Herumführ 
rung der Spitze eines Zirfeld darauf abgefchnirten wird, 
wenn der Zirfel den Durchmefjer des Enlinders befpannt, 
Merkwuͤrdig ift es, daß er auch die Enfloiden jeder Art 
quadeirte, nämlidy Den ganzen zwiſchen der Baſis und 
dem Scheitel enthaltenen Rauum. Sluͤſe (Slusius) qua⸗ 
dritte die krummen Linien, deren Gleichung iſt am y" — 
x” (a — x)", in dem Auhange zu feinem Mecisbum 
betitelt Miscellanea Cap. II. Auch quadrirt er Spi⸗ 
talen, deren Gleichung auf eine gleiche Art allgemein 
gemacht wird. _ Cap. IIE Torricelli fand für ſich 
die Kläche der gemeinen Eykloide, Pascal fogar bie 
Abfchnitte derfelben. — Gregorius von Et. Vin⸗ 
cent erdachte fehr viele Arten die Parabel zu quadris 
ren. Miemand unter den ausgezeichneten Geometern 
Bat die Duadratur des Kreifes eifriger ‚gefucht als dies 
fer, wiewopl fie auch ihm mislang. Davon nachher. 


3. Huy gens fand den Gchwerpunct eines hy⸗ 
perbalifchen und elliptifchen Abfchnitts aus, und war 
dadurch im Stande, einen falchen Abſchnitt mit einem 
über der Ehorde eingefchriebenen Dreyeck zu vergleichen. 
Zu gleicher Zeit mie ihm, im Jahre 1651, leitete auch) 
talouere die QDuadratur des Kreifes und der Hy—⸗ 
perbel aus der Beſtimmung ihres Schwerpunctes her, 
und ahmte dabey den ‚ftatifchen Beweis des Archimes 
des für die Parabel nah. Allein Huygens griff die 
Sache gerade zu an, wiewol feine Deduction noch zu 
mweitläuftig ift. Ferner fand er, Daß der unendlich 
lange Flaͤchenraum zwifchen der Eiffoide, ihrer Aſymp⸗ 
tote und dem Durchmefjer des erzeugenden HalbFreifes 
dreymahl fo groß ift als die Rläche dieſes Halbkreiſes, 
(Opera reliqua, T. I. p. 226.). In einem Anhange 
zu ver Abhandlung über die Lirfache der Schwere, 1690, 


\ - 
Po, 


54 Quadratur. 


zeigte er unter andern Saͤtzen über die Logiſtica auch 
die Vergleichung ihrer Flaͤche zwiſchen irgend zwey Or⸗ 
dinaten. Sogar quadrirte Hungens eine Linie vom drit⸗ 
ten Grade, die blattaͤhnliche, Folium benannte, von wel⸗ 
cher unten (109) gehandelt wırd. Er fand die Area 
der Dvale, ferner die Gleichheit des Klächenraums 
derfelben, und desjenigen zwifchen den beiden unendlis 
chen Zweigen der Curve und der Aſpmptote, endlich, daß 
der Inhalt eines Abichnirtes durch ein einziges Glied 
ausgedruckt werde. Opp. var. p. 514. | * 


4. Jacob Gregory gab 1667 zu Padua eis 
ne fehr nert gefchriebene Abhandlung heraus > Vera 
eirculi et hyperbolae quadratura, worin er zu zeigen 
fuchre, daß dieſe durch Annäherung nur immer. genauer, 
“ aber nicht vollfommen gefunden werden fönne. Er fins 
det eine gut conpergirende Reihe von ordentlichen Viel 
ecken, die theils um den Kreis, theils in demſelben bes 
fhrıeben werden. Durch ı3 ſolcher Paare berechnet er 
den Umfang bis auf die ıste Decimalftelle nach den 
Einern. Für die Hyperbel if feine Methode der für 
den Kreis ganz gleichförmig. Much finder er dadurch 
zuerſt den log, nat, 10, und dann den log, 2 mittelft 
des Jo (: + *) oder log, IE, ig 
3 1000 “ 1000 
1024 — 2° if, Mun giebt er für jede Prims 
zahl von 3 bis 97 zwey große Zahlen an, die nur 
um x verfchieden, und Producte von Primzahlen find, 
deren Logarırhımen, bis auf eine derfelben ſchon gefuns 
den feyn, Daher aus dem leicht zu findenden | 
er 





Ios( ı + ) oder log wenn ber Loga⸗ 
rithmus von nm 4 ı oder von n fhon befannt iſt, der 
Logarithmus der andern Zahl fogleich fich ergiebe, da⸗ 
Durch auch der verlangte Logarithmus der noch übrigen 
Primzahl, wie in dem Artikel, Logarithmus, gezeigt 
iſt. Allein feine Reihe von Polygonen iſt doch muͤh⸗ 


| Quadratur.. | 55 


fam zu berechnen. In den Exercitationibus geome- 
tricis, die 1668 zu London herausfamen, bat er eine 


mit ber Hate, 2(y + - ys +. r y’+ ec. ) | 





I + de 
für log — ¶bereinſtimmende angegeben. 


5. Die Arithmetica infinitorum von Wal— 
lid (vom Jahre 1655) war ein wichtiger Fortſchritt 
in der hoͤhern Mathematik. Sie iſt eine Summirungss 
merhode und. in fofern eine Erweiterung der Cavaleri⸗ 
fhen., Wallis gebrauchte die Induction auf eine fehr 
gefchicfte Art, und wußte das Geſetz der Analogie gut 

I 

anzuwenden, da er z. B. die Quotienten = als. Muls 
tiplcatoren, x”=, behandelte, und auf fie das anwand⸗ 
te, was er für Potenzen mit pofitiven Exponenten ges 
funden hatte. Auch auf gebrohne Erponenten dehnte 
er diefes aus, und fand überhaupt den Inhalt der Fi⸗ 
guren, in welchen die Ordinate fich mie eine Potenz ir⸗ 
gend einer Art von der Abfeiffe verhält. In dem Kal: 
le, da der Erponent größer als die Einheit iſt, geräch 
er auf Slächenräume, die negativ find, welche er daher 
für größer. ald unendlich erflärt, weil das Verhaͤltniß 
n:o eine unendlih große Größe in Beziehung auf 
die mit n correfpondirende Größe andeuter, alfe 
n:—m eine noch größere (Arith. infin. Prop. 104). 
Er hat nicht beachtet, daß eine Conſtante zu der ne 
gativen Größe fommen muß, und daß man, wenn diefe 
unendlich groß ift, das Complement der Area. zu x—a 
(wo a eine gegebene Abſciſſe ift) ftatt der Area zu x 
fuchen müffe. In einem Briefe an Huygens (Opp. T. II, 
p. 545) zeigt er, wie, durch feine Methode die von leg: 
term gefundene Quadratur der Eiffoide auch beſtimmt 
wird. Die Enfloide zu quadriren zeichner er erftlich in» 
nerhalb derfelben und des erjeugenden Kreiſes, in jener 
Trapezia, in diefem Dreyecke, von melden jene mehr 


56 — Quadratur. 


als dreymahl ſo groß ſind als die correſpondirenden 
Dreyecke. Dann jeichnet er auch Trapezia und Drey⸗ 
ecke die Über die Cykloide und den Kreis Hinausreis 
hen, und zeigt, daß jedes der Trapezien Eleiner ift als 
das dreyfache des zugehörigen Dreyecks. Daher iſt 
bie Eyfloide dreymahl größer als die Kreisflaͤche. Die 
Öränzen der eingezeichneten und umfchriebenen Figuren 
fallen in den Umfang der Cykloide und des Kreifes, 
Daher ift für die Flaͤche derfelben das Verhaͤltniß mes 
ber ‚größer noch Eleiner als 3 : 1, d. ir es iſt 321 
ſelbſt. 


6 Von Brounders Reihe fuͤr die Hyperbel 
f. den davon handelnden Artikel; von Mercators 
Quadratur der Hyperbel f. Logarithmus 139 — 142. 


7. Alle die bis zu Newtons Zeit gebrauchten 
finnreichen, aber auch mühfamen befondern Methoden, 
den Slächenraum einer Figur zu finden,. wurden unnd: 
thig, als diefer fcharffinnige Geometer feine Analyfis 
des Unendlichen erfand, und Leibnitz noch früher als 
Mewron feine Differentialrechnung und deren Anwen⸗ 
dung auf die Beftimmung der Slächenräume einer Cur⸗ 
ve befannt machte. | | 


F 8. Es fen ZCMZ (Fig. 3.) irgend eine Curve, 
BC, eine gegebene Ordinate verfelben für die Abfeiffe 
' AB und PM irgend eine andere Ordinale zu der Abs 
ciſſe AP. Die Eoordinaten feven rechtwinklichte. Es 
ſey AP=x; PM=y, fo ilt die Slähe BCMP 
= Sydx, wo das integral: fo genommen werden muß, 
daß es ==-o fey, wenn x — AB und y=zBCif, 
Dieſe Bedingung beftimme die Conftante, 


Denn man ziehe noch eine Orbinate ON. Diefe 
fen gleich y + Ay, fo wie bie zugehörige Abfeiffe. 
AQ=x-+ Ax. Durh M jiehe man Mn parale 
lel mit AQ bis an NQ, und durch N die Nm parals 
lel mit derfelden bis’an MP, Die Area BCMP fey 
— 2, fo it AZ> yAx, und AZ < (y+Ay) Ax, 


Duadratur. 87 


. AZ .. AZ Er 
ober = >y; x: <y * Ay. Der Quo— 
tient haͤngt alſo ſowohl von der Groͤße der Differenz 
Ay als von der Ordinate y ab. Go fern der Quoti— 
ent von der Größe der Differenz unabhaͤngig ſeyn foll, 


ift derfelbe —= y, das peißt, — = y, oder dG = 
ydx, und Z = /ydx. Wenn die Veränderungen von 
x und Z ungleichnamig find, fo it dA = — ydıı 
Das Integral [ydx, in welchem der Werrh von x 
und der zugehörigen Ordinate y unbeflimmt gelajjen 
wird, heißt Die unbeffimmte Duadratur, im Ges 
genfag der beſtimmten, für zwey beftimmte Werthe 
von x und y, bey welchen die Area anfängt: und ſich 
endiät,, wie die Area BCMP. zwiſchen den Ordi⸗ 
naten BC, PM, wenn die Abſeiſſen AB, AP beſtimmte 

Werthe erhalten, | 


9. In der Differentialformel ydx bat man aus 
der Gleichung zwifchen x und y entweder y durch x 
auszudrucken, oder dag Differential durch dy und eine 
Function von y anzugeben. Alsdann iſt die Aufgabe 
von der Quadratur blos eine Sache der Jntegralrech⸗ 
nung. 


In den. eritern Zeiten nach der Erfindung der 
Integralrechnung gebrauchte man die Quadratur der 
frummen dinien als ein Mittel zur Integration. Man 
fuchte die Curve zu conflruiren, deren Ordinate der 
Differentialfactor in der Differentialformel ydx if, 
So mochte man für jeden Werth von x die zugehöris 
ge Area meſſen, welche das ſydx angab. Allein diefe 
Methode ift zu mühfam und zu wenig genau, dagegen 
die Rechnung leichter und zuverläffig it. Sie wird des« 
halb ſchon lange nicht mehr gebraucht, und die ugs 
dratur einer Curve wird blos ihretwegen ſelbſt durch 
Integrirung gefunden. Die Integralformeln werden 


58 Quadratur. 


uͤbrigens dadurch deutlicher, wenn man ſie als Quadra⸗ 
turen einer Curve betrachtet. 


10. Sind die Coordinaten nicht ſenkrecht auf 
einander, fo hat man die Formel ydx noch mit dem 
Sinus des Ordinatenwinfels zu multipliciren. 


. ım Wenn die Ordinaten aus einem Puncte P 
(Fig. 4.) gejogen werden, fo fey die Ordinate durch 
den Anfangspunt, PA =4a, eine unbeftimmte, 
FM = u; APM — 9,‘ PN =u-+ Au, APN 
— 09 + AO, Man befchreibe vurh M und N aus 
P die Kreisbogen Mn, Nm, fo it Mn = uA9; 
Nn = (u + Au)A®, ar der Gertor MPn = 


- uuAG, ar: NPm = - - (u-+ Au AO. Die 

Area APM ſey — Z, :f if Area mn + AZ. 

N > > d Au)⸗ 
un iſt * uu, un 10“ - = (u + 


Der Duorient, fo fern derfelbe von der — der 
Differenzen Au gi unabhängig Sen foll, it = 


I 
u das 5 2 : uu und dZ = - = uudQ, als 


do 
bz= = fuud$. Hier muß ebenfalld entweder u. 


durch eine Function von P oder AP durch du mit eis 
ner Funetion von u. ausgedruckt werden. Beyſpiele 
f unten, 76 — 79; 86. 105. 


12. Ehe wir zu diefen. Differentialformeln Bey: 
fpiele nehmen, äh von der Quadratur des Kreifes, 
der berüchtigten Klippe, woran fo manche Hoffnung etwas 
größes zu leiften, gefceitert ift, etwas ausführlicher 
zu reden fegn. Montücla har in einer befondern 
Schrift: Histoire des recherches sur la quadra- 
ture du cercle, a Paris 1754, die Werfuche, dieſe 
Aufgabe aufzulöfen, erzähle. Ich habe diefes Buch 
nicht erhalten koͤnnen. 


Quadratur. 69 
Quadratur des Kreiſes. 


13. Die Quadratur' des Kreiſes haͤngt von der 
Mectificarion deffelben ab. Denn Archimedes hat bes 
wiefen, daß die Kreisfläche gleich iff eiriem Dreyeck, 
defien Grundlinie dem Umfange des Kreifed und die 
Höhe dem Halbmeffer gleich ift. 


14. Der Beweis des Hechimedes gründet fich 
darauf, daß in einem Kreife ein gleichfeitiges Vieleck 
gejeichnet werden Fann, defjen Unterſchied von der Kreise 
fläche Kleiner als eine gegebene Größe it, und daß um ° 
den Kreis ein gleichfeitiges Vieleck befchrieben werden 
fann, welches den Kreis um weniger als eine gegebene 
Größe übertrifft. Denn es. fen der Kreis — C, das 
angegebene Dreyeck D . Oft diefes nicht dem Kreife 
gleich, fo ift es entweder Eleiner oder ‚größer. Iſt es 
fleiner, fo fen der Linterfchied von dem. Kreife — U, 
afoC = D+U. Dan befchreibe nun in dem reife 
ein Vieleck, V, deffen Unterfhied von dem gan Fleis 
ne als U ſey, oder — V — u, bit C = V-+ 
U — u, alſo iſt D+-+U=-V-+ U -— u, oder 
D — V — u, das it, D ift kleiner als V. Yun iſt 
V gleich einem Dreyeck, deſſen Grundlinie der Umfang 
des Vielecks, und die Hoͤhe ye fenfrechte von dem Mits 
telpuncte auf die Seite des Vielecks if. Beides ift 
Fleiner, ald an dem Dreyeck D angenommen ilt. Es 
iſt alfo V Eleiser ale D, welches der vorigen Kolges 
rung vyoiberfpricht. Folglich ift der Kreis nicht größer 
als das angenommene Dreyeck. 


Zwentens fey, wenn es möglich ift, der Kreis Fleis 
ner ald das Dryef D, vd C +U=D. Man 
befchreibe um den Kreis ein gleichfeiriges Vieleck V, defs 
fen Linterfchied von dem Kreie ſey U— u, fo ift 
C+U—u=V, das iſt D— u — V. er V 
ift gleich einem Dreyeck, deffen Grundlinie der Umfang 
des Vielecks und die Höhe der Halbmeſſer des Kreifes 
it, alſo en als dns Dreyeck D, welchem die vori⸗ 


60 Quadratur. 


ge Folgerung widerſpricht. Folglich iſt der Kreis nicht 
kleiner als das Dreyeck. Da derſelbe nun auch nicht 
groͤßer iſt, ſo iſt der Kreis ſo groß als das angegebe⸗ 
ne Dreyeck. 


15. Der Beweis des vorher gebrauchten Saz⸗ 
zes iſt dieſer. Es ſey AB (Fig. 5.) die Seite eines 
gleichſeitigen Vielecks in einem Kreiſe um den Mittel⸗ 
punct C. Man halbire den Bogen AB in D, und. 
ziehe AD, BD, dann durch D eine berüßrende EF, 
auch an A und B die berührenden, AH, BH, welche 
die EF in E, F treffen. Das Dreyeck ADB ijt grös 
ger als die Hälfte des Trapezium AEFB, weil es die 
Hälfte des Rechtecks über AB mit der Hoͤhe DG iſt. 
Es iſt alſo noch vielmehr groͤßer als die Haͤlfte des 
Abſchnittes ADB, welcher kleiner als das Trapezium 
iſt. Folglich iſt feine Ergänzung zum ganzen Abfchnits 
te ADB, d. i. die beiden gleichen Abfchnitte über AD 
und DB zjufammen Ffleiner als die Hälfte des Abfchnit: 
tes ADB Mun it AD over DB die Seite des 
gleichfertigen Vielecks im Kreife, welches doppelt fo viel 
Seiten har, als das, defjen Geite AB iſt. Bejzeich⸗ 
net man jenes Vieleck durch P*, diefes dur P, den 
Kreis dur C, fo ift, wenn.n die Geitenzahl des Biel: 
es P anzeigt, C— P=n x Segm. ADB und 
C— P! =2n X Segm. AeD=n wen AeD 


+ Segm. D£B) folglich C — —— — P). 


Alſo wird durch Verdoppelung der Seitenjafl der Uns 
terfchied zwifchen dem Kreife und dem eingefchriebenen 
Vieleck um mehr als die Hälfte vermindert. Folglich 
fommt man durch fortgefeßte Verdoppelung der Biel: 
ecköfeitenzahl nach dem, was Euflives.im roten B. 1. 
©. erwiefen hat, einmahl auf ein Vieleck, das von dent 
Kreife um weniger als eine gegebene Größe verfchieden 
iſt. 

Die in A und B beruͤhrenden ſchneiden ſich in 


Quadratux. 61: 


H, fo find AH, BH die Hälfte der Seiten eines gleich: 
feitigen -umfchriebenen Vieles, und das Trifineum zwi⸗ 
ſchen AH, BH und dem Kreisbogen ADB iſt der ſö—⸗ 
vielte Theil des ganzen Linterfchiedes zwifchen dem Viel⸗ 
ecke und der Kreisfläche als die Einheit von der Zahl 
ber Eeiten ift. Zieht man durch D (die Mitte von 
ADB) die berührennee EDF, welche AH und BH in 
E, F fchneidet, fo iſt, megen der gleichen Dreyecke 
CAE, CDE,"AE= ED, und eben ſo BF —= DF, 
und diefe Linien find die halben Geiten des äußern Biel: 
ecks don doppelt fo viel Seiten als das mit den Geis 
ten 2 AH oder 2 BH. Nun ift HE größer als ED, 
das ift als AE, daher das Dreyeck HDE größer als 
AED, alfo aud größer als die Hälfte des Dreyeds 
AHD; mithin das Dreyeck HEF größer als das Dreys - 
ef AHD oder als die Haͤlfte des Vierecks AHBD, 
folglich um fo mehr größer.als die Hälfte des Zrilis 
neums AHBDA, welches Eleiner ift als das Viereck. 
Daher ıjt die Ergänzung des Dreyecks HEF zu dem 
ganzen Zrilineum AHBDA, d.i., die beiden gleichen 
Zrilimea AEDeA und DFB£D zjufammengenommen 
Heiner als, die Hälfte des Trilineums AHBDA. Hier: 
aus folge auf ähnliche Art, wie vorhin, daß durch 
DBerdoppelung der Geitenjahl des umfchriebenen Miele 
ecks der Überfchuß des Vielecks über die Kreisfläche 
um mehr als um die Hälfte vermindert wird. Deme 
nach kann ein umfchrieben.s Vieleck fih dem Kreife fo 
ſehr nähern, daß der Unterſchied Kleiner wird, als ir— 
gend eine gegebene Größe, 


Wegen bes erften diefer beiden Säge beruft Ars. 
himedes ſich auf die Elemente, das iſt Euklides XII. 
2. Den zwenten Gas har er in dem erften Buche 


über Kugel und Eylınder, Satz 7. bewiefen, 


16. Die Fläche eines Kreifes verhäle ſich zu dem 
Quadrate feines Durchineffers ‚wie fein Umfang zum 
Vierfachen feines Durchmeſſers. — Denn es fey der 
Durchmejjer = d, die Peripherie = p, fo ift der 


62 Quodratur. 
Er, 
> Kreis gleich einem Rechteck, deſſen Grunpdlinie der Lims 
fana und die Höhe der halbe Halbmeffer oder der’ viers 
te Theil des Durchmeſſers ift, weil das Dreyer, dem - 
der Kreis ‚gleich. ift, fo groß if. Es verhält fih alfo 
der Kreis zu dem ne des Durchmeffers zuſam⸗ 


mengeſetzt wie p: E und - 4: d —* d: 4d) das iſt 


wie p: 4d, 


17. Die Umfaͤnge der reife verhalten fich mie 
ihre Durchmeffer oder. Halbmefjer; und die Flächen der 
Kreife wie die Quadrate der Durchmeffer oder der Halbe 
mefjer. — Denn man befchreibe durch forfgefegte Hals 
birungen ‚der Bogen gleicher Wmkel in beiden Kreifen 
zwey gleichfeitige Vielecke von gleichviel Seiten, fo vers 
halten ſich die Umfaͤnge diefer Figuren, da fie ähnliche 
find, "wie die Seiten oder wie die Durchmeffer, und die 
Slächenräume derfelben wie die Quadrate der Geis 
ten oder der Durchmeffer. Diefe Verhältniffe bleiben, 
wie groß auch Die Anzahl der Seiten genommen wers 
den mag, und gelten daher auch von den Gränzen der 
Vielecke, das ijt von den Umfaͤngen und den Rlächenräus 
men der Kreiſe. 


Finen Beweis von der Form, wie in (14) giebt 
Hauber in ſeiner deutſchen Ausgabe von Archimedes 
Schrift uͤber Kugel > Cylinder in dem Anhange von 
deffen Kreismeflung, ©. 102. Man. Eamm auch über 
das Verfahren Euklids und Archimeds in Betreff der 
. Kreismeffung zwey afademifche Schriften. von Pfleide⸗ 
rer de Dimensione Circuli vergleichen. | 


18, Den Gas, daß die Kreisflächen ſich wie die 
- Quadrate ihrer Durchmefjer verhalten, bat Euklides 
fo erwiefen, daß er zeigt, daß Das Verhaͤltniß Fein ans 
deres, weder größeres noch Fleineres, ſeyn fünne, XIL 
2. Geht man von diefem Gate aus, fo folgt, daß 
die Kreisumfänge ſich wie die Durchmeffer verhalten, 
Denn die zwey Kreisflaͤchen ſeyn C, c; ihre Durch: 


Quadratur. 63 


meſſer D, d, Umfänge P, p, ſo iſt C:D’ = 
P:4D, md co: d —-p; 4d (16), Da °C: 

= DE 2 08 76, fo ift 63 79 256,95 — ‚D 
=p: 4d wrP:p=D: 


ı9. Ein Kreisausfchnitt — iſt gleich eis 
nem rechtwinkligen Dreyeck, von deſſen Seiten um den 
rechten Winkel die eine dem Halbmeſſer des Kreiſes, 
die andere der Laͤnge des Bogens gleich iſt. — Denn 
der Sector verhaͤlt ſich zur Kreisflaͤche wie der zugehoͤ⸗ 
rige Bogen zum Umfange. 


20, Die Ringflaͤche zwiſchen zwey concentriſchen 
Kreiſen iſt gleich einem Kreiſe, deſſen Halbmeſſer die 
mittlere geometriſche Proportionale zwiſchen der Sum⸗ 
me und dem Ulnterſchiede der Halbmeſſer der beiden 
Kreiſe iſt, ſ. Armilla. 


Oder: die Durchmeſſer der beiden Kreiſe ſeyn 
D, d, die Umfaͤnge P, p; der Durchmeſſer des Kreis 
fes, welcher der Ningfläche gleich it, fen d', Umfang 
p'. Nun ift, wenn P.D, p.d, p!.d!' die Recht— 
ecke von den bezeichneten Linien bedeuten, P. D: p.d 
= D::d’, (wilP:p=D:did),afP.D 
—p.d: P. D=D’ za, D®, Kerner ift 
?.D pr, dC-D: d.& Mb P.D 
EURE U p’ ‚\d=eD—da:d.d. Sol 
len die Ningfläche und der Kreis mit dem Durchmefz 
fer d’ gleih groß ſeyn, fo iſt P.D—-p.d= 
p' . d', alfo auh De — d — d!d., Nun ift 
D: — d’ = (D + d) (D —d) zufolge Eucl. 
II. 6. alfo. da d=(D+d)(D—d) Das 
. Duadrar einer mittleren Proportionale iſt gleich dem 
Rechteck von den beiden äußern (Eucl.IV. 14.). Kolgse 
lich iſt der geſuchte Durchmeffer die mittlere Propor- 
tionale zwifhen D + du D — d. 


21. Es ſey m die halber Peripherie für den Halbe 
meſſer —.ı, ſo iſt die Peripherie für den Halbmeiler 
a — 2ra; die Kreisflaͤche = raa. Der Bogen eis. 


6 Quadratur, 


nes Sectors mit dem Halbmeffr = ı ſey — O, fo 
ift der Bogen für den Halbmeſſer a zu demfelben Wins 


tel = ad, und ber Getor — = ap. Da die Wins _ 


kel den Bogen, ben demfelben Halbmefjer, proporfional 
find, fo kann man unter m und ® auch die zugeböris 
gen Winfel, nämlich zwey Rechte und den zu den Bo⸗ 
gen gehörigen verfiehen, wenn Verpälrniffe gebraucht 
werden. 


22. Ein anderer Sector mit dem Halbmeffer b 
und Winkel wit = — bbau. Iſt diefer dem Sector 


- aad — ſo it 0: —X bb : aa, 
on bie Bogen a9, bw gleih, fo if 


0: wi Zu 

24. Wie ber — eines Kreiſes, ſo genau 
als es verlangt wird, gefunden werden fönne, ift im 
‚ dem Artikel, Cyklometrie, gewiefen. Da dag Geſetz, 
nach weldem die Glieder der verfchiedenen Reihen, 
welche man zu diefem Zwecke anwenden kann, offenbar 
it, fo kann man mit Recht fagen, daß vie Dundratur 
des Kreifes im analptifchen Sinne gefunden fey. Kine 
geomerrifche Conſtruction iſt freylich noch nicht ent: 
der, und ſcheint fehmerlich gefunden werden ‚du koͤn⸗ 
nen. 


25. Die ſucceſſive Verdoppelung der Seitenzahl 
eines gleichſeitigen innern und aͤußern Vielecks im 
Kreiſe führe auf folgende Annaͤherung zu der Flaͤche eis 
nes Kreifes. 


Es ſeyn A,B,C,D, etc, bie Slächen ber ein⸗ 
geſchriebenen Vielecke von n, 2n, An, 861 . .. Sei⸗— 
Ten, und P, Q, R, 8, etc. die Flächen der umfchriebes 
nen Bıelecte von n, 2n, 4n, 8n,.,. Öeiten, für 
den Halbmeſſer = x. Es iſt r 


A:B=B:PmP+B:2B=B:Q, 
B:C=-C:Q0, Q+C:2Q0 =C:;:R, 
C:D=D:KkK, R+D:?R=D:;:S, 
| | | u. ſ. f 


Die innern Vielecke von n und 2n Seiten mit 
dem aͤußern von n Seiten find in ſtetiger geome— 
triſchen Proportion; die aͤußern Vielecke von n 
und zn Seiten mit dem innern von 2n Seiten find. 
in fretiger harmoniſchen Proportion. 


"Denn es fen der Centriwinkel ber Vielecke Ä und 


„. 2% — 
P, naͤmlich *6 ſo iſt 
1 ae ar 1 
Az=-n"sna; B=nrsmn-a, 
| 2 2 
q \ 1 
Pznr Mng-u; Q = an tang-a. 
2 a | 
IE N I ee 
Da sin a=2sin- a.c0s — a, pfiA:;B= 


eos. - a:ı. Ah iſt B: P = cos =: I, 
folglich it A:B=B: P. 

| sin «& 
ı+ coa 
metrie, 38.) ap it 2 A:P=ı + cos a: I, 
und daher auch :B:Q=ı + cos - 23% 


— 
Ferner iſt tang a = Gonio⸗ 


SunitaP+-B:P= ı + os -a:n 


alſo ftP+-+B:P= 2B:Q,oerP+B:2P 
— B: Q. Die folgenden Proportionen find vdiefels 
- ben mie den beiden hier gefundenen, da nur die Ans 
zahl der G:iten fueceffiv verdoppelt wird. & 


% * 


66Quadratur. 

26. Die geometriſche Betrachtung zeigt dieſe Proportio⸗ 
nen noch augenſcheinlicher. Es ſey (F.5.) AB die Seite eines 
‚eingefchtiebenen Vielecks von n Geiten, fo ift, nach der Con: 
ſtruction (15.), wenn noch AE gezogen worden, AACG — 


Zr 
— A; AACD= = B; AACH= —P; 2AACE 
“n. an. | an . | 


— F Q. Nun iſt AACG : AACD—=CG:CD 
n 


— CG : CA. Ferner AACD : AACH = CD: CH 
— CA: CH, Wegen des rechten Winkels CAH ift 
CG : CA = CA : CH (Dreoyef 11.), alfo find die 
drey Dreyecke in geometrifcher Proportion, daher auch 
ihre an fadhen, A,B,P. | 


Zweptens if AACD : AACH = CA : CH 
= ED : EH = AE : EH. Serner ift aud 


AACE :  -AECH. = AE : EH. Daher ift 
'AACD : AACH ' = AACE : AECH, bas ift 


I 
B:; P= =Q :P— = 0. Daraus ift durdy Vers 


| Ä j | 
bindung P+ B:B=P:; = Q0 =2P:Q, oder 
P+B:>P=B:Q0 


Mad diefen Proportionen hat Jakob Gres 
gory eine Reihe Vielecke, innere und äußere, vom 
Viereck an bis zu dem von 16384 Seiten berechnet, _ 
in der Schrift de vera circ, et hyp. quadratura, 
Die Ausziehung der Wurzeln iſt aber ſehr mühfem, 
ſ. oben 4. | RN 


27. Descartes hat eine finnreihe Conftruc- 
'tion angegeben, wodurch zu einem gegebenen Rreisums 
fange der Halbmeſſer gefunden wird, Euler bat fie 


Quadratur. 67 


werthgefchäßt, fie zu erläutern und auf Rechnung su 
bringen in den Novis Comm. Acad. Petrop, T. 
VII. Sie ift folgende. Das Quadrat ABCD (Fig, 
6.) habe denfelben Alınfang wie ein Kreis. Man zies 
be die Diagonale AD und verlängere fie unbeftimme 
nah O hin. Zu diefem Quadrate feße man über der 
verlängerten AB das Rechteck BEFG, welches dem 
vierten Theile des Quadrats gleich fey, und. deffen Wins _ 
kelpunet F in die gerade AO falle. Kerner füge man 
gu diefem das Mechte EHI, melches dem vierten 
Theile des Rechtecks BF (d. i. dem ı6ten Theile des 
Quadrats AD) gleich fen, ebenfalls mit dem Winfel« 
puncte I auf AO. Go fahre man fort, und es.nds 
dert fich die Grundlinie des Duadrats und der Mechts 
efe, wie AH, immer mehr dem Durchmefjer des Krei— 
fes, deſſen Umfang dem des Quadrates gleich iſt. In⸗ 
zwiſchen wäre es .mühfam die kaͤngen AE, AH u. ſ- 
f. zu beftimmen, wozu eine Conſtruction, wie ın dem 
Artikel, Anwendung der Geometrie, Th. J. ©. 133. 
2te Aufg. gezeigt ift, oder die Auflöfung einer qua⸗ 
dratifhen Gleichung, erfordert wird, 


Die Cartefifche, dem Durchmeffer fich — 
Reihe entſteht, wenn man eine Reihe von aͤußern res 
gulaͤren Vielecken ſucht, deren Umfaͤnge ſich alle gleich 
find. Es ſey naͤmlich ABCD ein Quadrat, das um 
einen Kreis, befchrieben ift, alfo AB der Durchmefjer 
dejlelben, fo wird AE der Durchmieffer des Kreifes in 
einem Achtecfe von gleichem Umfange mit dem Qua⸗ 
drat; AH wird der Durchmeffer des Kreifes in dem 
Sechszehneck von eben dem Umfange, u. f. f. Die 
Gränze der fo beitimmten. Längen ift der Durchmeſſer 
eines Kreifes von demfelben Almfange wie das Quas 
drat. Dieſes foll num gezeigt werden. 


28, Anftate der. Durchmefjer fann man aber 
bequemer die Halbmefjer nehmen. Es ſey ABM (Fig. 
7.) ein gegebener Kreis um den Mittelpundt C, AD 
die halbe Seite eines umfhriebenen orbentlichen Vielecks. 


68... Quadratur. 


Den Halbmeſſer des in das Vieleck von einer doppelt ſo 
großen Anzahl Seiten zu beſchreibenden Kreiſes bey . 
demfelben Umfange zu finden, halbire man AD in E 
und ziehe EF fenfreht auf AD, Dann halbire man 
den Winfel ACD durch die gerade CF, welde EF in 
F treffe Durch F ziehe man die parallele FH mit 
AD an die verlängerte CA in H, fo ift CH der ver⸗ 
langte Halbmeſſer. —— 

29. Die "CF. ſchneide AD in G. Es iſt 
AC: AG = CH: HF. Auch ift wegen des halbir: 
ten Winfeld ACD, AC : CD’= AG:GD, (Drey: 
- ef 9.) und daraus AB: ACH CD — AG: AD. 
Folglich aus beiden Proportionen CH : HF = AC 


+ CD:AD. DuHF = - AD, fo iſt CH — 
- (AC+ CD), alfo AH = = (cD — AC), und 


30, Diefes führe unmittelbar auf die Cartefis 


ſche Conſtruetion, wodurch man ſich dem verlangten 


Halbmeſſer des gegebenen Kreisumfanges (in jener dem 
Durchmeſſer) ſchnell näherte. Die Linie FH trirt an 
die Stelle von AD, und fo wird aus jeder halben 
Vielecksſeite und dem zugehörigen. Halbmeſſer ein fols 
— Halbmeſſer mit der zugehörigen Polygonſeite ge⸗ 
unden. F 


31. Die Folge der Halbmeſſer, wie CA, CH 
etc. fen a, b, c, d, etc, die zugehörigen halben Poly⸗ 
gonfeiten fen p, g, r, s, etc. deren jede halb fo groß . 
ift, als die naͤchſt vorhergehende, fo ift 2 


| b6-a = 


1 * 
⸗pꝛtez — b) — 
a 


Quadratur. 689 
d (d | c) = d r; e(e 9 — se; etc 
Be, a 


oder, wenn AD = CA, viup-=a re 
wird, 


RER ER 
| . 4 = 

a (a )= 2e@— bh 
e(e—d)= dd. etc, 


Daraus iſt 


N + — — b+ V’labb—ab 
| ’ 2 | 2 
| BE da Are 5 


2 


Die Gränge diefer Groͤßen iſt der —— des Krei⸗ 
ſes, deſſen Umfang — 8a iſt. 


32. Man ziehe in dem Rechteck AGEH (Fig. 


7) die Diagonale AF ,: fo ift das Dreyeck AHF aͤhn⸗ 
a dem Dreyed FHC, Denn da CH . AH = 


„ AD’ = = HF iſt, fo ii CH: HF= HF: AH. 
— iſt der Winkel AFH = HF. — iſt 
AH = FH, er mb=at — —* 


Auf reihe Ynifte= En — > tang „a; des 


\ 


0 2. Dmadratur. 


Ei - 1 | 1 t 
© Mr tanz — 3 m d — —(r 
* 8 P o 8 035, s + 724 tg 16 


Der: 


aà — p cot ac. 


| ı r 
— t — — 
b p (cot a + s ze 


RR Se I I 
ee par a). 
R | — ee He 2 
A = pfüte h— one, x 


gi: 1 | 

— ta — * u. +. m. 

| ae a ra 

, : 1 
33. Die unendliche Reihe p(cota+- tg — 
| 2 

=, 2; 8: 11 1 I 

— — — t — — t — 
T ar er s.—.r nn 


+ etc.) giebt ven Halbmeffer eines Vielecks von 
unendlich vielen Seiten, das iſt, eines Kreiſes, deffen 
Umfang demjenigen des Vielecks mit der Seite 2p 
gleich, oder — znp ift, wenn die Anzahl der Geiten 


En — 
e»n oder a - if, 
re 


34+ So wie a — p,oot a, und b = 
—A13 1 „o# 1 

7 p cot 7 * iſt, ſo No — Pont aus d 
.-Y% 1 
— se cot = a,uf. fe Geste man für .b, c, d, 


etc. diefe ihre Werthe, fo erhalten wir den goniomerris 
(hen Lehrſatz, Ä | # 


Duadratur, 7 


4 
1 1 1 
cot -amotar-tg-at+r-tg— a 
8 8 r 67° 04 
1 
— t — ( 
ur 
und 


I 1 — 1 PER 
— ct - a =cot & -. tat —tg— 
n n 2 57 4 4 
— L ı 1: 
+ — tg — Koxe + 27 &, 
8 8 | 
Da cot = — tang a = 2cot 24. , ( Soniometrie 


44.), fo ıfl 


| 1 
tang a — F — a +7 ig * tg 


I . 
cot — a — 2cot 2a, 
n . 
— | 1 
35. Fuͤr ein unendliches n ift cpt=a oder igi a 
n 


= = und es ift alfo 
& ⸗ 
| a: Sr SEE, Eh, den) 
. — 8 —. — — [ etc. I 
a Sa a en: 


3 Dr 
— um 2 COT 20. 
@ 7 


2 8 Quadrartur. 
36. Kür « = 45° iſtcot 2a = 0, und 


r + g-r +7 ——— 


ig 


>|" 


37. Diefe Säße laffen ſich auch, “ohne eine geo« 
metrifche Eonftruction zu Hülfe zu nehmen, wie bier 
gelegentlich gefchehen ift, aus der Formel, tang a — 
cot @ — 2cot 2a,. (Goniometrie, 44.), herleiten, 


‚wenn darin fulgeweife. für a gefegt wird a, Fu 
1 | 
ro a, u. ſ. f. 

— * feet der Reihe, 


150 — — — ?+- te usgr 2cot 29 
giebt or, 38.) | 


— — — — —— 
J 4 

res 80 —⸗ ⸗ t oo Zn nn — — — 

4 J 8 zT = ‚sin Q°, cos ®% 6), 

| 39. Aus der Formel, cosec 20 = cot ® 


— cot 20 (Goniometrie, 49), wird auf ähnliche 
Art hergeleitet, 


cosec 2® + cosec 46 + cosec 86 + cosec ı6® 
. + etc. =cot ® — cot 2"®, 


40. Joh. Bernoulli giebt folgende Son: 
ſtruction an, einen Kreisbogen zu finden, der einer ges 
gebenen geraden Linie gleich fen, in ‘einem Auflage de 
motu reptorio et transformatione curvarum, 
Opp. T. I. p.. 446. Conimerc. epist; T. IL p. 
176. Es ſey AP (Fig, 8) die gegebene. gerade, BC 
eine darauf fenfrechre. Man ziehe AC mwillführlich, 
und nehme CB = CA; halbire AB in D und ziehe 


Quadratur. 73 


CD; nehme CE — CD, halbire DE in F, und zie⸗ 


he CF; nehme CG = CF, halbire FG in. 4, und 


ziehe CH. Go fahre man fort. Die Gränze der 
aus C gejogenen Linien fen CR, fo ilt der Kreisbos 
gen Rs, welcher mit dem Halbmeffer CR innerhalb des 
Winkels ACB befchrieben wird, der — geraden 
AP gleich. 


Bernoulli fuͤhrt dieſe Conſtruction nur gelegentlich 


an. Mau ſieht nicht wohl wie fie mir der Materie. wovon 
er handelt, zufammenhängt, Kin Be rn 


fcher Beweis folgt bier, 


41. Es ſey AC=r; der Wirte ACB= 6, 


ſo iſt ——— — 9 CF=r cos *0. 000.0; 


—E O. cos — 0 . cos 0 Sett 


man dieſe Multiplicationen — die Eofinus der has 


birren Winfel‘fort, a: Ende, und bezeichnet CR durch 
R, ſo — 


I. 1 1 
F — r cos — — cos — mn cos = O. 008 — „Pe 


Man — dieſes — = fo — ei⸗ 


ne Reibe von Coſinus, deren Winkel eine a a 
Fortſchreitung bilden. 


Nämlich I. cos 20 9 x c08 — 19= — 


— — 


II. cus — . 008 — —E — — 
s8— 09 —p r 


pr 


07a |  Quabratur. | 
264 2,6 +2 9+ mt 9 

+ 008 20) 
OL cos —9. cos = — * ® 


4 cos —- — cos 9 + CoB. 7 0). 
und. allgemein | 


1 12 ——— 
cos — Pr... cos P = —| cos — 

ent 
Ze) 


cosA.cosB— — cos (A+-B)+ — cos (A — B), 








BE —— — 


Die Fortſchreitung erhellt aus der Formel, 


(Soniometrie, 27.). Was fuͤr eine. der ſpeciellen Rei⸗ 

ben gilt, gilt auch fuͤr die naͤchſt folgende. 

Die Sumthe der legten Reihe mit dem Sactor — 
an _ __Sin ® 
iſt = men: 5’ > „ (Goniometrie, 64), wa — 

1 | er — 
—0d,.b=—6, — — — 1 iſt. 

— b6. m x ift 

Iſt m unendlich, ſo wird das Product der Coſi⸗ 
sin © | 


nus — — — cn 


Quadratur. 75 
a 





Es iſt ale R= —T 7 te Rö= rsin @. | 


Nun ift aber Ro det Kreiöbogen RS (21.) ins r sin 
O die gerade AP. 


Kürzer erhält man den Werth des ——— der 
Coſinus re Es ift 


| 1 

sin = 2 sin — — 9. cos 29; ferner — 
1 

=2sin— 0. — O; wiederum sin 4 

4 4 | ' A | 

. I i 1 | [) » 
=2 sin-— ©. cos 2 9, uf. w. Alfo iff sin ® 

2 — O. cos DO „cos : 6) * 
-S20. Ssin -— P,cos —P, *— 79 
— 9.0 9 np 
- 1 | 
«008 — 9... Die Gränge diefes Products if sin ® 
I Ken; | 1 1 
— 0 cos - , cos ⸗- 6.. cos - 6., cos - 6. 
2. 7* RT 

etc, in infin, 


Bernoulli bemerkt noch, daß bie Puncke D, F, 
H. etc. in einer Quadratrix der Alten liegen, welches 
auch wie Euler angemerkt hat, mit den Puncten D, 
F, etc. — 7.) der Fall iſt. 


Da * dem — 


90 * P.sec — 9. ‚sen — 9.000 — 


alſo 


logP =logsin$+ Hiogsee 9 loge 9 fe 


76 | Quadratur. 


ſo kann vermittelſt dieſer Formel der Logarithme eines 
Bogens aus den ſchon berechneten Logarithmen der Si⸗ 
nus und Secanten gefunden werden. Die Reihe nd: 


hert fich übrigens deſto fchneller ber. Graͤnze ihrer Sum: ." 


me, je Eleiner der Bogen P iſt. 
Sir op = "hr 
log sin‘® — 8, 241.8553 
log sec — — 9, ooo 0165 
log sec z — 0, 000 0048 


R | 
‚log sec = O_= -0, 000 0010 


I : 
log sec ar 9 == 09,000 0003 
Er (Wegen der 


1 weg elaffe: 
T nen Ölieder.) 





Jg = 8, 241 8773 
Weil * = 180 9, alfo log mr — log 190 + log 9, 
fo wird lgm = 2,2552725 + 8,2418773 = 

0,4971498. | 
42. Da die Gefchichte der Bemühungen, ben . 
Umfang des Kreifes fo genau als möglich zu finden, 
und die Wege dazu abzufürzen, in dem Nrrifel, Cyklo⸗ 
technie, erzähle ift, fo bleibt hier nur uͤbrig, einiges von. 
ben fehlerhaften Angaben des Verhaͤltniſſes des Kreifes 
zum Durchmeſſer beyzufügen. Eben fo mie die Ber: 
wondlung der Metalle und das Perpetuum mobile 
von vielen Leuten eifrig geſucht ift, melche weder Che⸗ 
mie noch Mechanif verftanden, fo ift auch die Duas 
dratur des Kreifes meiftens von Leuten gefucht, die 
nicht die Elemente der Geometrie gehörig inne hatten, 


“ 


Quadratur. 7 
Einige moͤgen geglaubt haben, daß auf die Duadrafur 
"des Kreiſes, mie auf die Aufldfung ber Aufgabe, die 


- Meereslänge zu finden, ein Preis gefegt wäre, wodurch 
fie alfo zugleih Ehre und Gewinnft zu erlangen ſich 


einbildeten. 


Gelehrte Geſellſchaften haben ſich genoͤthigt geſe⸗ 
ben zu erklären, daß fie gar feine ſogenannten Erfins 
dungen der Duadratur des Kreiſes ‚annehmen würden, 
weil fie mit zu vielen waren beläftigt worden. 


43°. Der'erfte, welcher nach Wiederherftellung 
der Wiffenfchaften die Duadrarur des Kreiſes eifrigft 
gefucht hat, ift der Eardinal Nicolaus de Eufa 
oder Cuſanus (geil. 1464). Er har fie wiederhos 
lentlich vorgenommen. In der Schrift: de mathe- 
. maticis complementis fucht er den Halbmeffer eines 
Kreifes von gegebenem Umfange fo zu bejtinimen. Er - 
ſtellt fich eine Reihe regulärer Vielecke, die gleichen Ims 
fang haben, vom. Dreyecke an, mit den in und um fie 
befchriebenen Kreifen vor. Den Halbmeffer des innern 
Kreifes nennt er die erfte, des aͤußern die zweyte Linie. 
Dieſe Sinien, bemerfe er, find um fo mehr von einans 
der unterfchieden, je größer die Seite des Vielecks iſt, 
differiren alſo am meiften bey dem Dreyecke, und fals 
len beym Kreiſe zufammen. Die erjie Linie it beym 
Dreyecfe am ‚Fleinften, und wird für die auf das Dreys 
eck folgenden Vielecke groͤßer, die zweyte Linie hingegen 
iſt beym Drepecke am groͤßten, und wird in den fol⸗ 
genden Vielecken kleiner. Auch verhält ſich der Übers 
ſchuß der Fläche eines Vielecks über diejenige des ifoper 
rimetriſchen Dreyecks wie der Linterfchied der erften 
Linien in dem Vielecke und Drevedfe, Ferner, je Fleie 
ner der Linterfchied der erften und zweyten Linie in eis 
nem Vielecke ift, deſto mehr übertrifft die erite Linie 
des Vielecks die des ifoperimetrifchen Dreyecfs, mithin 
übertrifft, weil im Kreife erfte und zweyte Linie gleich 
find, der Halbmeffer des ifoperimertrifchen Kreifes bie 
erfte Linie des Dreyecks am meiften, folglich ift ber 


78 Quadratur. 


Überſchuß der Flaͤche des Kreiſes uͤber die des Dreyecks 
am groͤßten, und nimmt bey den folgenden Vielecken 
ab. Nun iſt auch der Unterſchied der erſten und zweys 
ten $inie im Dreyecke am größten, und wird bey den 
folgenden Vielecken Fleiner. Nimmt man alſo an, daß 
der überſchuß der Kläche des Kreifes über die eines 
Vielecks von gleichem Umfange mit dem Kreife, ſich 
"wie der Unterſchied der erften und zweyten Linie des 
Vielecks verhält, ſo läßt fich aus der erften und zwey: 
ten Linie irgend zweyer iſoperimetriſcheen Bielecfe der 
» Syalbmeffer eines Kreifes, welcher mit den beiden Viel: 
ecken einerlen Umfang hat, herleiten. | 


Ich habe Eufans Schlüffe vollftändig dargeftellf, 
weil fein Verfahren in der That finnreich ift, und auf 
derfelben Idee berußt, die der Eartefifchen Conſtruction 
(27) zum Grunde liegt. Der gefuchte Halbmeffer wird 
nun fo gefunden. Es ſey p der gemeinfchaftliche. Lim: 
fang der beiden Wielecfe und des Kreifes, a, b erfte 
und zweyte dinie für das eine, a‘, b’ fir das andere. 
Vieleck, x der Halbmeffer des Kreifes, fo iſt pr 
1 1 1 | u” 
— ap: —-pr— — ap—=b—a;:b/—a 
7 ap „pr =“ a a’, wor: 

a’b — ab! 
| a—arb hi | 
meffer r durch eine ganz richtige Eonftruction finden, 
wobey er die erften und zweyten Linien des Drey: und 
Vierecks gebraucht, Die Nechnung giebt hiernach das 
Verhaͤltniß des Diamerers zur ‘Peripherie, wie 134 


2 
+2V2— - V G6 d. i. 1:3,154192, wel 


ches alſo ſchon in der zweyten Decimalſtelle unrichtig 
iſt. Vielecke, deren Seitenzahl groͤßer iſt, welche alſo 
nähe: an ven Kreis fallen, wuͤrden es richtiger gebden. 
Das Zünfs und Sechseck giebt x — 3,143534. Cu—⸗ 


aus r = .Cuſan lehrt den Halb⸗ 


Ouadratun. 79 


fan hält übrigens ſelbſt die dargeſtellte Methobe nice 
für zuverläffig, und verweiſt deshalb auf andere feiner 
Erfindungen. | | - 


In der Schrift de transmutationibus geome- 
tricis giebt Cuſan folgende Eonftcustion zur Werwande 
lung einer gegebenen geraden Linie in die ‘Peripherie 
eines Kreifes an. Man befchreibe ein .gleichfeiriges 
Dreyeck, defjen Umfang der gegebenen Linie gleich fey, 
und ziehe aus dem Mittelpuncte deffelben an die Grunds 
linie eine gerade Linie, welcher von diefer den vierten 
Theil abfchneidet. Seht man dieſer Linie den dierten 
Theil ihrer Lange zu, fo erhält man den Halbmeſſer 
eines Kreiſes, deſſen Umfang dem des Dreyecks, alſo 
der gegebenen geraden Linie gleich if, Mach dieſer 
Eonftruction iſt mr = 3,142337 5 welches etwas ges 


22 - 
nauer als rs iſt. 


Eine gerade finie fo groß als der Umfang eines 
gegebenen Kreifes zu finden, lehrt Cuſan in der ſchon 
angezogenen Gchrift de math. complem. Mar ſoll 
in dem Kreife zwey auf einander ſenkrechte Durchmefs 
fer, einen horizontalen und verticalen ziehen, auf den 
berticalen don dem einen Endpuncte an- die Sehne des 
Dogens bon 120° auftragen, und mit derfelben einen 
Kreis, welchen der gegebene von innen beruͤhrt, befchreis 
ben, fo fchneide folcher von dem an beiden Seiten vers 
längerten horizontalen Durchmeffer ein Stuͤck ab, wels 
ches dem halben Umfange des gegebenen Kreiſes gleich 
ſey. Diefe Conſtruction fegt das Berhaͤltniß des Durch⸗ 
meſſers zur Peripherie, wie 13 3,13949 voraus. | 


In einem befondern Aufſatze über die Duadratur 
des Kreiſes fegt Cuſan die Peripherie eines gegebenen 
Kreifes gleich dem Umfange eines gleichfeirigen Drey: 
ecks, welches in einem Kreife befchrieben worden, der 
die Summe der Sehne des Quadranten und des Halbs 
mefjers im dem gegebenen Kreife zum Durchmeffer bat. 


— 


80 | Duadratur. | 
Hiernach ift mr = 3,13615. Man fieht, daß Eufan 
die Mefulrare feiner verfchiedenen Duadrirungsmerhoden 
nicht fcharf zu vergleichen gewußt hat, weil er fonft 
ihre Unrichtigkeit entdeckt haben würde. Diefe ift 
von Regiomontan in einem Anhange zu dem Werke: 
de triangulis, Norimb. 1533. weitläufig gezeigte wors _ 
den, | J | 
Mod iſt ein von Cuſanus in der Abhandlung de 
mathematica perfectione aufgeftellter Sag, wonach 
die Laͤnge eines Kreisbogens P durch feinen Sinus und - 
sin ®. , 
——— iſt, 
2-+cos® 
deswegen merfwiürdig, weil es der. erfte der von Gnels 
lius zur leichteren Berechnung des Kreisumfangs geges 
benen Säge ift. (©. der Art. Cpflotechnie in. dem 
Iten Th. diefes Woͤrterbuchs. ©. 651.). Die Art, 
wie Cufan zu diefem Gate gelangt, ift folgende. Er 
betrachter ein rechtwinfliged Dreyeck, deſſen Hypotenuſe 
a, Perpindicularfeite b, Grundlinie c feyn mag. Cuſan 
nennt diefe Seiten nach der Ordnung erfte, zweyte, 
dritte Linie, und fegt b nicht größer als c. Mit a 
fen aus der Spitze des Winkels B, welchem b entges 
genfteht, ein Kreisbogen, der den genannten Winkel 
mißt, befchrieben. Die Länge diefes Bogens ift aO, 
wenn 9 die Laͤnge des ähnlichen Bogens für den Halb: 
meſſer 1 iſt. Nun fagt Eufan : wenn B am Eleinften ſey, d. i. 
verfchwinde, fofn aß :b = 1: 1; aber in‘ tiefem Kalle 
auch a=c, mihnas;sc= ı:ı, folgih aß: b 
—a:c. Wenn aber B am größten, nämlich 43°, 
und a — c ebenfalls am größten, fo fen zwar nicht 
ad:b= a: cz; aber in diefem Kalle müfje es eine 
Linie x geben, welche zu a und o geſetzt das Verhälts 
ng a. + x:c-+ x dem von a® : b gleich mache. 
Und da, was auch x für eine Größe habe, auch noch 
in dem Falle des Fleiniten Bw ac, ap: b= 
apx:c+xZa:cfen, fo gelte der Sag beym 


- 
“ 
« 


gioͤß 


Eoſinus fo beſtimmt wird, daß. ® — 


& 


Quadratur. 314 


aedlten und kleinſten Dreyecke, folglich auch von allen 

Zwiſchendreyecken. Wenn man alſo x für bie, ‚beiden 
Fälle, wo B==45° und = 30° ift, beftimmen Fönne, 
fo babe man es für alle rechtwinflige Drenecfe gefun: 
den. Cuſan fucht num auf mehrerlen Arten, die freys 
lich nicht recht Flar find, zu zeigen, daß x — 2a fenn 
muͤſſe. Sein legter Beweis ift von einem gleichfchenf: 
ligen rechtwinfligen Dreyecke hergenommen, wo er a⸗ 


7 und b=c 5 naͤchſtens, den Bogen ao — s: 


| 22 , 
nach Archimedes Beſtimmung von r — 7 teste Eis 


ne Beſtimmung von x, ohne * au kennen, läßt ſich ſe 


erhalten. Da b=asin®, cZacosG, fo iſt 

ı9:b=09:sin® Man ſetze alfo O:snp — 

1 4 1: x cos 6, fo hat man für ® =- m oder 
1 


1 1 
Re v3; r® = 


4 2 
1 


| I ä 
woraus buch Zufammenfegung wird 7 V2 7 = 


x+— Vv2:x-+ — v3: Hieraus findet fh x 
2vVv3—3 Ä — 
— — — 1,913 alſo ſehr nahe = 23 demna 
3V2—4 e 3 alfo fehr nah ’ ch 
9:sinP=3:2-+.cos Ö,. 
Über Cuſanus und feine Quadraturen des Kreiſes 


zu vergl. Kaͤſtners Geſch. der Math. B-I ©. 400 
— 416 und ©. 417 — 481. 
3 


82 Quadratur. 


a436 Orontius: Finaͤus, Profeſſor der Mathema⸗ 
tif in Paris (geſt. 1555) wollte das Verhaͤltniß des 
Durchmeſſers zum Umfange auf mehrere neue Arten ans 
geben, unter andern auch durch eine Gonftruction , wos 
ben er den Durchmeffer nach dem äußern und mittlern 
Verhaͤltniß einfheilte, das Fleinere Stuͤck und jedes folgs 
weife übrige Fleinere, eben fo. Da er aber hierben das. Vers 
haͤltniß 12334 (di, 123, 74 102) gebrauchte, fo 
war die Genauigfeit, mit welcher er eine ‚gerade Linie 
dem Quadranten nahe gebracht zu "haben glaubte, nur 
fcheinbar. Gein Buch führe den Tirelz De rebus 
mathematicis hactenus desideratis. Paris, 1556, 


Käftners Gefch. der Math. 1. Bd. ©. 454. ff. 


44. Gimon-a Drercn glaubte durd folgen: 
de Sonjtruction, die -Länge-ves Duadranten angeben zu 
koͤnnen. Im Kreife ziehe. man einen Durchmefjer, an 
deſſen einem Ende eine berührende, von dem andern 
Ende eine gerade, .in.eimer folchen Sage, Daß das von 
ihr innerhalb des Kreiſes befindliche Stück fo groß fey 
als das auf der berührenpen abgeſchnittene Dieſes 
Stuͤck (oder jenes) ſoll dem Quadranten des Kreiſes 
gleich ſeyn. Es giebt denſelben = 0,78615 des Durch: 
meſſers ſtatt 0,78539 ... Man bemerke inzwiſchen, 
daß fuͤr dieſe Lage der Coſinus des Winkels, welchen 
die Linie mit dem Durchmeſſer macht, der Tangente 
defjeiben gleich iſt. Kaͤſtners Gefh, der Mark. J. B. 
©. 481 und 632.* Ge iſt auch merkwuͤndig, daß das 
Perpendifel von dem gefuchten Puncte des Umfanges 
den Durchmeſſer nach dem äußern und mittlern Vers 
haͤttniſſe theilt. | 


— 45. Joſeph -Scaliger, ein großer Vielwiſ⸗ 
ſer feiner Zeit (geſt. 1609), von dem man ein gelehr⸗ 
tee. Werk über die Chronologie hat, wagte fich auch 
an die Mathematik, meil er viel Griechifches und Las 
te:nifches gelefen hatte. Don ihm find Cyclometriae 
elementa duo. Lugd: Batav 1694. fol 122 p. 
Er fehle aber fehr gröblich. Denn. er behauptete, da 


⸗ 


Quadratur. 83 


der Umfang bes in einem Kreiſe eingeſchriebenen or⸗ 
dentlichen Zwoͤlſecks groͤßer ſey, als der Umfang des 
Kreiſes, und bey Vielecken von mehrern Seiten noch 


vielmehr. Nun bemerkt er zwar ſelbſt, daß dieſes ein 


großes Paradoxon in der Geometrie ſey, daß aller— 
dings ein Bogen groͤßer ſey als ſeine Chorde, indeſſen 
die Rechnung zeige es doch anders. Der gelehrte Mann 
bedachte nicht, daß die Arithmetik und Geometrrie ſich 
nicht widerſprechen koͤnnen, und daß ein Rechnungs⸗ 
fehler von ihm mie begangen ſeyn, wenn nicht in den 
Ziffern, doch in der Form ber Rechnung. Cr bevede 
net für einen Durchmeffer = 16 den Sinus verfus 
des VBogens von 30°, der Ginus — 4 geſetzt. Da⸗ 
bey fehle er auf zweyerley Art. Alm feine Figur nicht 
ju gebrauchen, — der Durchmeffer = d, alſo ver Si⸗ 


nus von 30° = pr d; ferner der Sinus berſus = — 


v, die Geite des Zwoͤlfecks — z, fo iſt z2=- = de 


+ v!r. Nun fagt Scaliger, das Quadrat * dem 
Umfange des Zwoͤlfecks ſey groͤßer, als das von 12 


x = d (oder 3d), um ı2v*, da.er haͤtte ſetzen ſol⸗ 


ln, um ra4v°®, Dann: hätte er freylich nach ſeiner 
Rechnungsart den Überſchuß des Zwoͤlfecks über den 
Kreisumfang noch größer gefunden.. Allein er nimme 
aus einer Größe wie a® + b* die Wurzel gleih a+ 
b an, welches fehr fehlerhaft iſt, beſonders in dem ge⸗ 


genwaͤttigen Falle. Er ſetzt v = 1 5 welches zu 
viel iſt, und addirt die Wurzel aus 12 v? zu dem drey⸗ | 
fahen des Durchmefferd, Da Yız v® — 3,73 if, 
fo ift nach diefer Mechnung der Umfang des Zwdifecks 


betraͤchtlich mehr als * des Durchmeſſers. Nun nim̃t 


84 F Quadratur. 
Scaliger, ber Archimedifchen Rechnung zufolge, die er 


ſonſt — an, daß der Umfang des Kreiſes kleiner 


ſey, als des Durchmeſſers. So findet er den Satz, 


über welchen er ſich ſelbſt wundert. Gleich nach dies 
ſem Satze mägt er folgenden nicht weniger unerwartes 
ten vor. - Das Quadrat von dem Umfange des Kreis 
fes ift das zehnfache des Duadratd von dem Durchs 
meffer. Das gäbe das Verhältniß des Durchmefjers 
zum Almfange, wie ı : 3,1622776 ... Gcaliger 
macht in dem geomterrifchen Beweiſe folgenden Schluß, 
A — B, ud C=D, alſo C=B. Das Verhaͤlt⸗ 
niß 1: 10 wird auch, wie Purbach in feinem Tracs 
tat von den Sinus und Chorden meldet, bey den Tin: 
diern angenommen. Auch von den Arabern , wie 
Krafft, Geom, subl. $. 118. anführt. Charles de 
Bovelles bat in feiner praftıfchen Geom, Paris 154% 
ed ki gebraucht. 


Daß Scaliger mit feiner Duadratur ziemlich vers 
lacht worden ift, und. daß fein Eritifcher Stolz fich nicht 
beugen lafjen wollce, iſt leicht zu erachten, Er fuchte 
ſich ın einem Anhange zu feiner Schrift. zu verrheidis 
gen, wobey er einige von ihm. begangene Fehler zugab. 
Übrigens blieb er dabey, daß Archimedes gefehlt babe. 

Bon Scaligers Quadratur des Kreifes ausführlich in 
Käftners Gefchichte der Marhematif.- Bd, L ©. 
487 — 497, und ©. 505 — 511. Clavius und Dies 
ta haben fie ſtreng geprüft und widerlegt. Auch Adri⸗ 


an Romanus hat in ſeiner Apologia pro Archime- 


de, die Unrichtigkeit der Quadraturen von Sealiger, 
Drontius Finaͤus und Simon a Quersu gezeigt. 


46°, Porta, der durch feine Erperimentaluns 
terfuchungen und "durch feine Vergleihung des Auges 
mit der Camera obfeura bekannt ift, hat 3 Buͤcher 
Elementorum curvilineorum, Romae 1610. 4. 
herausgegeben, in denen die Quadratur des Kreifes ver⸗ 


Quadratur. 86 


heißen wird. Der ı7te Satz des sten Buches iſt: 
Datum circulum quadrare, Porta bejchreibt: in eis 
nen Halbfreis, indem er den Halbmeſſer dreymahl als 
Sehne einträgt, ein Trapez mit zwey parallelen 
Seiten, deffen Grundlinie der Durchmeffer ifl. Uber 
jeder der drey gleichen Seiten diefes Trapejes, conjtrus 
irt er ein Dreyeck, in welchem die. Winfel an der 
Srundlinie 60° und 45° faflen, der an. Spike 75° 
haͤlt. Der Net, welcher nah Wegnahme dieſer drey 
gleichen Dreyecke von dem Trapez übrig bleibe, foll dem 
vierten Theile des Halbkreiſes gleich feyn. Das iſt 
aber weit gefehlt. Denn das Verhaͤltneß des Durche 
meffersd zum Umfange, welches fich daraus ergiebt, ift 
1: 2,78461. | , 


465, PhilippLans berg, der als Aftronom, aber 
nicht fehr vortheilhaft befannt iſt, (geft. zu Middels 
burg 1632) gab heraus: Cyclometriae novae libri 
duo, Middelburgi 1616, worin er nicht ſowohl die 
Quadratur des Kreifes, als vielmehr eine bequeme geo⸗ 
merrifche Annäherung zu derfelben Ichren wollte. Ks 
fen AB (Fig. 9.) ein Quadrant; dieſer und der Halb⸗ 
mefler CB werden in gleich viele Theile getheilt; ein 
folcher Theil fen auf jenem AD, auf diefem CE; man 
jiehe ED, welche die in A berüßrende AT in F fchneis 
de, ſo iſt nach Landsberg AF dem Bogen AD nahe 
gleich. Dieſe AF wird num leicht berechnet, wenn der 
Sinus und Eofinus des Bogens AD bekannt find. 
Denn man ziehe DE fenfreht auf CA, und EH ders 
felben parallel; welche DG in K fehneide, fo iſt ER:KD 
=EH : FH, ud AF= FH+HA= TH + 
CE. Zu diefem Zweck hat er eine Tafel der Ehorden, 
oder der doppelten Coſinus der Winfel, die durch fort: 
geſetzte Halbirung des rechten bis zur Zöften entſtehen, 
für einen Halbmeffer, 10°%, berechnet, woraus er dann 
auch für jeden Fall den Ginus eined Bogens finden 
kann. Dun berechnet Lansberg für einen Halbmefler 
10%5, den Bogen, welcher der 2+5fte Theil bes Dune 


65. Daadratur. 


| dranten iff, und findet die 29 erften Deeimalftellen 
‚mir den Ludolphſchen Ziffern uͤbereinſtimmend. 


47. Man Fann diefe Annäherung leicht — | 


Es jey AD der nte Theil des —— der zuge⸗ 
boͤrige Winkel — O, fo iſt = = — — Der Halbmeſ⸗ 
fr CAfy = 1, ſo — 

cos P:sin@ — : HF, und 


I. I ° — 
——— = sec 9 2 ift 


— + os +7 8 + etc und 


RE ELTERN 
sce$p =ı + . P —— ee 
fo ift \ — 
9 go: EEE 
AF=d— — +0 — etc, ober 
en 3 
m 3 * 
wo das zweyte und dritte Glied ſich faſt aufheben. 
Die Lansbergiſche Annäherung ift “daher bey kleinen 
Bogen genau genug, Man fehe auch Käftners Ge: 


fchichte der Mathematik, Bd. II, © 59 Or 
* S. 415. 


4*. Chr. Seberin Longomontanus, Pro⸗ 
feſſor der hoͤheren Mathematik zu Kopenhagen, der ein 
ſehr nuͤtzlicher Gehuͤlfe Thcho's geweſen war, (geſt. 1647.), 
gab mehrere Schriften uͤber ſeine vermeintliche Qua⸗ 
dratur des Kreiſes heraus, von welchen Kaͤſtner in der 
Geſch. der Mathem. Bd. II ©. 57. 58 drey an⸗ 


Quadratur. 87 


führt: Noch iſt von ihm Inventio quadraturae 
circuli, Hafniae 1624. 154, p: 4t0. "Ach habe 
verfuche mir: von feiner Methode einen Begriff. zu. mas 
chen, konnte aber wegen des verworrenen Vortrags nicht 
dazu gelangen. Der. Verf. behauptete ©. 103; daß 
der Durchmeffer  fich zum Umfange ; verhalte, wie 


1 \_ s 
V 616 :78,b0Bi, wieeresangiebt1:3,141859504427, 


welches fchon in der vierfein Derimalitelle irrig ft. Das. 
umfchriebene Sechseck foll ſich zum Kreiſe verhalten, 
wie 43 : 39. Der Verfaſſer iſt von der Michrigfeit 
feiner Quadratur des Kreifes fo fehr überzeugt, daß er 
am Ende der Vorrede Gore innigit dankt, der ihn in 
feinem hohen Alter noch die wichtige Aufgabe. aufzulös 
fen geftärke habe. | Ä Ä 


48°. Der befannte Philoſoph Hobbes (geff. 
1679) gehört auch mit in die Reihe der unglücklichen 
Eirfelquadrirer. Bey feinen Problematis physicis, 
worin er die Schwere, die Ebbe und Fluth u. d. 9 
erklären will, befinden fi Propositiones XVI de 
magnitudine Circuli. Darin giebt er Prop. H. vi 
‚ne Conftruction, nad) der die Laͤnge des Quadranten fo 
viel als der Halbmeffer und die Tangente des Bogens 
von 30° zufammengenommen befrägt, melches auf das 
Verhaltniß des Durchineffers zum Lmfange, tie 
1: 3,1547 führe. In Prop. XV. lehrt ev ein Qua⸗ 
drat in einen Kreis zu verwandeln, und ſetzt den Halb: 
mefjer des Kreifes der Linie gleich, welche von der 
Mitte des Duadrats an die Grundlinie fo gezogen iſt, 
daf fie von diefer den vierten Theil abfchneider. Dies 
giebt das Verhältniß des Diamerers zur Peripherie, 
wie 5 : 16 ober wie ı : 3, 2. - Daffelbe Berhälmniß 
wendet Hobbes-Prop. XVL an, wo er einen Kreis in 
ein Quadrat verwandelt. — Als Wallis und Hungens 
diefe Quadratur widerlegen, ſchrieb Hobbes die Schrift 
de principiis et ratiocinatione geometrarum, con- 
tra fastum Professorum geometriae, worin. er als 


- 


88 Quadratur. 


lerley an den Grundbegriffen der Geometrie ausjufer 
gen hat, den Arabern, welche das Verhältnig des Durch: 
nrefjers zum Almfang — 1: Vio ſetzten, benfällt, und 
um femen Gas von der Länge Des Quadranten aufrecht 
zu erhalten, nicht nur den Pythagoriſchen Lehrſatz in 
Zweifel ziehe, fondern auch, gleidy Zongomontan, Die 
Nichtigkeit der trigonometriſchen Tafeln angreift, wie er 
denn die Tangente von 30° = o5gIı z—ı + 


— Vıo flat 0,5773 + +. feßt. 


48. Öregorius a St. Vincentio (geb. zu 
Brügge 1584, geſt. zu Gent 1667), einer der ſcharfſinnig⸗ 
ſten und arbeitſamſten Geometer ſeiner Zeit, iſt unter 
denjenigen, welche die Quadratur des Kreiſes geſucht 
haben, der merkwuͤrdigſte. Er hat ungeheure Muͤhe 
darauf verwandt. Da es ihm nicht gegluͤckt iſt, ſo 
mag man ſagen, daß ſie ſchwerlich zu finden ſey. Sein 
großes geometriſches Werk, das nebſt den Unterſuchun⸗ 
gen zur Quadratur des Kreiſes viele geometriſche, auch 
neue Lehren, beſonders uͤber die Kegelſchnitte enthaͤlt, 
führe den Zitel: Opus geometricum quadraturae 
circuli et sectionum coni, Antwerpiae 1647. fol, 
Er hat darin vier Merhoven, den Kreis zu quadriren 
angegeben. Huygens, der nebſt andern eine Widerles 
gung diefer neuen Merhoden befannt machte, prüfte 
blos die erfte, weil die andern auf demfelben Grunde 
mit jener beruhen, und dieſe ‘noch die deurlichite iſt. 
Gregorius hat eigenglich nieht den Kreis quadrirt, wie 
er dann auch Fein beftimmtes Verhaͤltniß des Umfan⸗ 
ges zum Durchmeffer angiebt, fondern er hat nur Wes 
ge angezeigt, auf welhen man zu der Duadras 
tur möchte gelangen Fönnen. Auf dem erften derſel⸗ 
ben fuchte er, die Aufgabe auf die Eubirung eines Koͤr— 
‚ pers zu bringen. Gein Verfahren läßt ſich durdy ie 
neuere Analnfis leicht darjtellen. 


50. Man bilde einen Körper über der Hälfte 
einer Parabel ald Grundfläche, deren Gleichung ſey 





Quadratur. 89 


ax — yy. Durch die Axe derſelben fee man dieſelbe 
halbe Parabel ſenkrecht auf die Ebene jener, in einer 
ſolchen Lage, daß a (a — x) = zz fey, wenn z Die 
Ordinate zu der mit jener gemeinfchaftlichen Abſeiſſe iſt. 
Jeder Schnitt ded Körpers durch die Ordinaten y und 
z fen eu Rechteck. Ein unbeftimmres Segment des 
Körpers, von dem Anfange der;Abfeifien an genommen, 
fen = Z, fo it d2 = yzdx (Cubirung), db. i. dZ 
— adx Y (ax — xx) Diefe Differentialformel 
durch a dividire iſt gerade biefelbe mit ber für ein 
Segment einer Kreisfläche, von dem einen Endpunete 
des Durchmeſſers a an genommen, wie gleidy unten 
gezeigt wird. | | 


Die Eonftruction eines Körpers auf bie bier ber 
fehriebene Art nannte Gregorius ductum plani im 
planum. — | 


51. Hungens ſucht das Verhaͤltniß des Seg⸗ 
‚ments dieſes Körpers für x =- a, zu dem Lintere 


ſchiede dieſes Segments von demjenigen für x. = a, 
weil aus bemfelben nach Gregorius Saͤtzen die Qua— 
dratur des Kreifes gefunden wird. Jenes Verhaͤltniß 


ift nämlich a m a3 v3 E je ras + 


1 


Ze Vs mer aV3:ar aVs. Ge 


man es — 1:3 m,.fo wird ı : = ober das Verhaͤlt⸗ 
niß des Ducchmeflers zum Umfang — 4m — 2 
:3 (m +1) v3. Nach Gregorius ergiebt ſich 
nun das Verhältniß 1 : m aus den Verhaͤlniſſen eben 
folher Segmente, wie die, deren Verhaͤltniß ı : m 
ift, an zwey andern Körpern. Dieſe Verhältnifje gab 


90 Quadratur. 


er zwar ſelbſt nicht an, allein Huygens entdeckte fie, 
und machte ſie nebſt dem Verfahren, wodurch er ſie 
— harte; in feiner Widerlegungsfchrift bekannt. 


— 52. Die beiden Körper, die Gregorius zu Huͤlfe 
nehmen. wollte, find durch unfere Analyfis leicht quıas 
drirt, va Hungens es ſchon Fünftlid anfangen mußte. 
Die Grundflaͤche des einen dieſer Koͤrper iſt ein gleich— 
ſchenkliges und rechtwinkliges Dreyeck, in welchem iſt 
x — y.Auf dieſe ſenkrecht, durch die Are der x, 
fen eben das Dreyeck geſtellt, ſo daß à — x — 27 
fen, wo zZ’ die. Ordinate zu der Abſeiſſe x bedeutet. 
Der Schnitte durch x und z feyg ein Rechteck. Hier 


, j N 
it dZ = yzdx Z.x (a—x) dx, und 2= 5 ax? 
— — x3, 

3 —— . — = 
| 53. Die Grundfläche des andern Körpers ift wieder 
eine Parabel,. die gegen die Are der x conver ift, fo 


daß ay — xx iſt. Für die durch die Are der x ſenk— 
recht auf die Grundfläche geftellte finie ſey az = 


F— 2 
(a — x)’, fo it da = yzdx = men dx, 
7 En, 
ud Z — - xs — — 

324 sur 

Huygens giebt fuͤr die Segmente des er⸗ 
ſtern dieſer beiden Körper von x⸗— o bis x — a, 
M o . r Por. = . | | — 
und von x = r a bis x = 7* das Verhaͤltniß 
5: 11 an; für die Segmente-des andern zu denfel: 


ben x wie 53 ; 203, welches auch aus unfern For⸗ 
meln folgt,, Ä A | 


Quadratur. . 91 


54%. Vermoͤge des 40ſten Gates iur roten Bu⸗ 
che von Gregorius Werke, enthaͤſt nun das Verhaͤltniß 
53 7 203 das Verhaͤltniß 5 : 11 eben fo oft, als 
dis felbft Das Verhaͤltniß ı : m enthaͤlt. Hungens 
iſt zweifelhaft, in welchem Sinne Gregorius den Aus: 
druck, ein Verhaͤltniß enthalte ein anderes, gebraucht 
habe; ob in dem, daß dadurch angedeutet werde, das 
eine Verhaͤltniß ſey ein Vielfaches des andern, oder 
in einem andern Sinne. Allein der 3ſte, 38ſte, 39ſte 
Satz des angeführten Buchs, auf welchen der 4ofte be: 
ruht, und die von Gregorius felbft gleich im Anfange 
des sten Buches gegebene Erflärung, über die Zufam: 
menſetzung der Verhaͤltniſſe, laſſen Eeinen Zweifel über 
die Bedeutung jenes Ausdrucks. im zoften Sage übrig, 
Bregorius verſteht darunter eine Vervielfältigung der 
Verhaͤltniſſe, ſo daß nach ihm das Verhaͤltniß 5332203 
in dem Sinne, in welchem Euklides zweyfaches und 
dreyfaches Verhaͤltniß ſagt, das eben fo vieljache des - 
Derhäleniffes 5 : 11 iſt, welches dieſes ſelbſt von dem 
Verhaͤltniſſe 1: m iſt. Wofern nun das Verhaͤltniß 
53 : 203 das.n fache des Verhaͤltniſſes 5 : zı 1 ifl,. 
: fo hat man hiernach 


— ‚ und ö = (2) —m", Hier⸗ 


log 203 er 53 


8 folgen = 
Bu 198 — log 11 Aog 


und log m = 

log 11 — log 5 (log i1 — log )° 

n * log 203 — log 5 

Die ausgefuͤhrte Rechnung giebt 
log m = 0,2010447, und m = 1,588713 wort 
aus denn — 3,08882, alfo viel zu Elein. fich ers 
giebt ,. fo daß demnach Gregorins mit dem Aufiwande 
von fo viel Zeit und Mühe nicht einmal dahin gelangt 
ift, wohin Euſan mit t feinen ganz rohen Verſuchen ge⸗ 
kommen war. 


92 Quadratur. 


Aus unferer Rechnungt folge n = 1,703217, al⸗ 
fo noch nicht 2. Es fcheint, als habe Huygens des: 
foegen, weil n feine ganze Zahl ift, die Vervielfachung 
der Verhaͤltniſſe nicht zulaffen wollen. Auch begreift 
man in der That nicht fogleich, wie im 4often Gase 
die Vervielfachung mach einer gebrochenen, felbft irra⸗ 
‘ tionalen Zahl Statt haben fann, da im 37 ſten und 
38ſten Satze, auf welche der 3gite fi fib gründet, von 
dem der 40ſte gemwiffermaßen nur einen Zufag ausmacht, 
Dloß zwenfache Verhaͤltniſſe vorfommen. Alleın. die Sache 
erflärt fich dadurch, daß zwar die Prämiffen des 39ſten 
Gases richtig, die Schlußfolge Hingegen falſch iſt. 
Gregorius ſchließt nämlih fo. Wenn L:M = 
m(P: 2 [das m. fache des Verhaͤltniſſes P : Q] 
= pP :Q=m(R:S5S); ferner L:T= 

m (P ? v, und P:V = m ‚weitere X: M 
—m(Y:0,w Y:Q=m(Z:5); endlich 
x: :Tz=-m(Y:WwY:;: 
ſo ift auch das Verhaͤltniß L + 
dem Berhältnife P+ Y:Q + V ein eben fo viel: 
faches als. das Verhaͤltniß P + + V von 
dem Verhaͤltniſe R+ Z2:S + Ww ut Das if 
aber gar nicht allgemein richtig, wie Descartes auch in 
einem von Huygens mirgerheilten Briefe an Schooten 
bemerkt hat. Gregorius hat ſich mit feiner Lehre von 

den Proportionaliräten, worin er“ die Groͤßen der Vers 
haͤltniſſe durch ihre Erponenten mißt, ſelbſt verwirrt, 


V=m (Z:W): 
X:M-+ Toon 
V 
Y: 


Es würde, wie Hupygens gezeigt hat, nichts hel« 
fen, wenn man jur Reteung und Vertheidigung des 
Gregorius die Redensart ein Verhaͤltniß enrhalte ein 
anders eben fo oft, als ein drittes Verhaͤltniß, ein viers 
tes enthält, von einer Proportion zwiſchen den Expo» 
nenten der Verhältniffe auslegen wollte, In diefem 
Kalle naͤmlich ift | 

53 EEE 6413 
— : — — *: —, woraus m= —— 
203 11 ıı m 5075 


Quadratur. | 93 


und das Verhaͤltniß des Durchmefjers zum Umfange 
ı:# = 7151:17232 Y3 = 1: 3,85069. hervor: 
geht. Da m die Släche des Kreifes für den Halbmefe 
fer ı ausdruͤckt, das dem Kreife bey derfelben Größe. 
des Halbmefjers umfchriebene reguläre Sechseck . aber 
2V 3 ober 3.4641 iſt; fo würde folgen, daß der Kreis 
größer als diefes Sechseck fey, welches eine Abſurditaͤt 
iſt. 


Die hier angezogene ſehr gut abgefaßte Schrifr 
von Huygens, welcher bey ihrer Bekanntmachung noch 
ſetzr jung war, ſteht in der Sammlung feiner Werke 
Vol. II. auch ein Schreiben von ihm an einen Vers 
theidiger des Gregorius. | | 


In Käftners Gefchichte der Mathematif, Band 
JIL. ift eine ausführliche Nachricht von dem Werfe des 
Gregorius enthalten, die freylich größtentheild nur. ein 
Inhaltsverzeichniß if, | 


Die Eoniteuction, welche dafelbft nad Gregorius 
angeführt wırd, ift bey der Prüfung von Hupgens das 
durch umgangen, daß diefer ohne Gregors Saͤtze ein 
Paar Abfchnirte eines Kreifes angab, aus deren befanne 
tem Verhaͤltniſſe ſich das Verhaͤltniß eines ‘gegen die 
ganze Kreisfläche in gegebenem Verhaͤltniß ftehenden 
Ausfchnittes . zu einem geradlinigen Dreyecke ergeben 
würde Ä 2 


55% Mac diefem mißrathenen Verſuche iſt es 
nicht noͤthig, fi bey den nachher gemachten aufzuhals 
ten. Kaͤſtner führt in feiner Geometrie aus dem Mer- 
cure de France an, daß in Sranfreich einer nach 25 
jähriger Bemuͤhung herausgebracht habe, der Durchs 
meſſer Fönne fi wohl zum Umfange verhalten wie 
23099 : 72576, dad wäre wie 1 :3,1419. Die 25 
Fahre find verſchwendet. — Im jahre 1776 fam zu 
Berlin heraus: Neuerfundene marhematifche Diechens 
fchule, in welcher eine wahre Eırfelquadrotur durch 
arichmetifhe Progreffionstabellen, und altes beſtimmen⸗ 


94 Quadratur. 


de anderanbeiliche mathematiſche Linien und as 


tifche Quadratpunete gruͤndlich bewieſen wird, von 

P. Sr. Heſſe. Der Titel zeigt ſchon den Geiſt der 
nn Das Verhaͤltniß des en zum Um⸗ 
fange foll ſeyn 99 : 311, d. i. 1 :3,14141, welches 
febon in der vierten Derimaliteile abmeicht.. Aus dem 
Buche erfährt man, daß ein Obriſtlieutenant Corſo⸗ 


nich in Polen auch eine Quadratur angegeben, und 


einen Preis von 50 Ducaten demjenigen verſprochen 

hat, der ihre Unrichtigkeit beweiſen koͤnnte. Nach ihm 

iſt das Verhaͤltniß des Durchmeſſers zum Umfange 

wie 8 25, welches unter allen angeblichen Verhaͤltniſ⸗ 

fen. eins der SFehlerhafteften iſt. Die beiden Bruͤche 

= und er find übrigens in der Reihe der zwiſchen 
3 


. r I ; . L , 
den beiden Brüchen * und —— — kleiner als 


Peripferie 
. Diamerer, 


erſte und vierzehnte. Man ſehe den Artikel Ket⸗ 
tenbruch 12 und is — Auf das Verhaͤltniß 
12253 3844 = 35° : 62° für den Durchmeſſer und 
Umfang - find mehrere. faſt zu gleicher Zeit verfallen, 
ein Rittmeiſter Leiftner im fahre 1737, um diefelbe 
Zeit ein Prediger Merkel, der aber feine Zahlen erit 
. 1751 bekannt machte, und ein Schulcollege Böhm 
im Sahre 1765. In eben diefem Jahre ließ aud) 
ein Profeffor Bifchoff zu Stettin die Schrift des 
Merkel mit. feinen Anmerfungen wieder auflegen, 
Darin erklärt er die. Merfelfche Quadratur, ohngeach⸗ 
tet ihrer fchon von Krafft erhaltenen Widerlegung, und 
troß der Kenntniß von den beſſern Bemühungen Lues 





fi ind, eingefchalteren Däferungsrühen der 


dolphs von Coͤlln und Sherwins, für die wahre und 


vollfommene, Merkels und Biſchoffs Proben der von 
ihnen empfohlenen Quadratur ſind ſo beſchaffen, daß 


ee — — 


Quadratur. 95 


jedes Paar beliebig angenommener Quadratzahlen fuͤr 
den Durchmeſſer und Umfang ihnen Genuͤge thut, wie 
in der Pſeudoquadratur des Cirkels von Coriarius, 
Eutin 1766, gewiejen wird. Das Verhältniß 1225:3844 _ 
it=1:3,138..., alfo noch nicht einmahl fo ge⸗ 
nau als das Nrchimedifhe 7 : 22. Indeß erhält es, 
dadurch einen gewiſſen Werth, daß, weil feine Glieder 
Quadratzahlen find, vermitreljt deſſelben das Verhaͤlt⸗ 
niß des Dürchmeffers zu der Geite eines dem FKreife 
gleichen. Quadrats, welches Verhältnig 2:.V r ift, 
tatıonal ausgedrüct wird, nähmlich 35 231. Dur 


die Verwandlung von * in einen Kettenbruch laſſen 
ſi 5 mehrere Paare Quadratzahfen finden, die das Ders 
hältniß des Quadrats dom Durchmeſſer zu der Kreisz 
fläche .deito genauer angeben, je. größer fie find.. Uns 
ter .diefer giebt das Verhaͤltniß 1521 : 1936 dad Vers 
hälmiß des Durchmefjers zur Peripherie wie 484:1521, 
welches in feinen Gliedern aus Fleineren Zahlen bes 
fteht, als das Merkelſche, und doch genauer iſt. Es 
iſt naͤmlich — i : 3,14256. Ein Sranzofe Comiers 
hat daffelbe fhon” 676 im Journal des Savans 
befanne gemacht. M. f. auch Lamberts Abhandlung, 
für die Erforicher der Quadratur des Cirkels in deffen 
Beytraͤgen Th. IL. ©. 142 u. folgg. 


552. Mit den: umwiffenden- Cirfelquadrirern find. 
nicht in eine Klaffe zu fegen diejenigen, welche Conſtruc⸗ 
tionen angegeben haben, wodurch einedem ganzen Umfange 
des Kreifes oder auch einem Theil deffelben, fehr nas 

e gleich Fommende gerade Linie gefunden wird. Der 
leiden Conſtruction zur Verwandelung der Peripherie 
en eine gerade $inie ift ſelbſt von Euler vorhanden. 
M. fe Kraffts Instit. geom. subl, $. 135. . Eine. 
leicht ausrührbare und doch fehr genaue ift folgende, 
Man errichte in den. Endpuncten des Durchmeflers an 
einerley Seite defjelden zwey Perpendifel, wovon das 
eine dteymahl fo groß als der. Halbmefler,. das andere 


96 Ä Duadratur. 


aber der Tangente se8 Bogens von 30° gleich ift. Die gerade 
Sinie, welche die Endpunete beider Perpendifel verbindet, 
iſt fehr nahe der halben Peripherie gleich. Diefe Eon: 
ſtruction hat Fochansfi in den Act. Lipsiens, vom 
Jahre 1685 befannt gemacht. Sie fest das Verhaͤlt⸗ 
niß des Durchmeffers zur Peripherie wie ı : 3,141533 
voraus, welches erft in der. fünften ‚Stele von dem 
wahren abgeht. DIbers hat au eine foldie Con⸗ 
firuction angegeben, welche in Brandes Lehrbuche der 
Marhem. Th. II. ©. 222. mitgerheile wird, und | 
* =. 3,14162 madıt. 


56. David Gregory hatte in der (4.) ange 
führten Schrift zu beweifen gefuht, daß für die 
Kreisfläche Fein analgtifcher vollftändiger Ausdruck mit⸗ 
telſt des Quadrats des Durchmeflers gefunden werden 
Fönne. Huygens ward dadurd) nicht befriedige, zwi⸗ 
fchen beiden, Geometern entitand daraus ein Schrift: 
wechſel, der in Hungens Werfen zu finden iſt. 


57. Die Reihen, welche die Kreisbogen durch 


— ihren Sinus oder ihre Tangente ausdruͤcken, oder auch 


dieſe durch jene angeben, haben zwar kein letztes Glied, 
doch koͤnnte darum ein Bogen zugleich mit feinem Sie 
nus oder ſeiner Tangente zu dem Halbmeſſer ein ra⸗ 
tionales Verhaͤltniß haben. Denn wenn ein Bruch 


—, deffen Zähler und Nenner ganze Zahlen find, durch 


ie wirkliche Diviſion in Deeimaltfeilen entwickelt wird, 
fo wird der Quotient, außer den Fällen, dan bloß 
2 und 5 als Factoren enthält, eine unendliche Reihe 
von Deeimalcheilen. Auf eine ähnliche Arc Eönnte es 
fih Bier auch verhalten. 


58. Die Theorie der Kettenbruͤche hilft uns aus 
der Ungewißheit. Wenn der Quotient zweyer ganzen 
Zahlen in einen Kettenbruch verwandelt wird, ſo bricht er 
einmahl ab, weil der immer ſich verkleinernde Reſt von 
den fucceffi ven Divifionen zuletzt Eins wird, —— 

ey 


Quadratur. 97 


boy der. folgenden Divifion Fein Reſt „bleibt, — 
iſt in dem Artikel, Kettenbruch, 4. ER daß 


1 1 

— mir — 
+ — 3 

| 24 


! 


4? 


— 
Er 


ift. Diefer Bruch kann — abbrechen, Daher iſt 
* kein rationaler Bruch. 


59: Aus dieſer Theorie laͤßt ſich auch erweiſen, 
daß die Tangente eines Kreisbogens nothwendig irras 
tional iff, wenn det Bogen ein tationales Verhaͤltni 
zum. Halbmefier hat; und daß der Bogen zır einer 
rationalen Tangente ‘(in Begichung auf den Halbmeß 
ſer) irrational iſt. 


60 &s iſt namich, wenn t = tang [03 m 





| t 
eg: tt 
it — 
Be ge gt 
5 + — 16t — 
in 7ı+r 25tt 
— 24 
J 4. ++ etö; 


tele Reihe nicht abbricht, dahet fuͤr rationale t der 
Bogen © irrational iſt. — Den Bruch findet man 
nach der — Kettenbruch, 60, aus. der Formel, 


t 3 

flometrie, 10.), indem hier t? iſt, was dorf z. - Mar 
hat nım noch nöthig, die unreinen Brüche Auf reine zu 
briugen, nach Kettenbruch, 264 Da der Kettenbruch 
aus einer Reihe, welche nach einem beſtinimten Geſetze 
fortgeht, auf eine gleichformige Art gebildet wird, ſo 
müß für denſelben ein. Geſetz vorhanden ſeyn, Dusjeniges / 
welches ſich auf eine ganz unzweydeutige Art te 


zu! a 2 u: etc. (Ey⸗ 


98 Quadrate. 


Die Rechnung zeigt auch, daß der Meft von ben Die. 
pifionen nicht Null werden Fann. 


. 61. Auch if, um die Tangente durch den Bo⸗ 
gen auszudrücken. J | 


tang ® = er 2 
— — 
— 6: 
Dre 
are 
etc. 


Die fehr einfache Form dieſes Bruchs jeige , baß er 
ins Linendliche fortgeht. 


62. Der Bruch wird aus den Reihen fuͤr den 
Sinus und Coſinus (Cyklometrie, 5, 6.) hergeleitet, da 





tang © ,sin® .- Ä 
B. — P.cos P iſt. ea, 
Es ſey 

sin Ö 


GTZ rap + BP 09° + Dpe etc. 
fo iſt | | 
59 =1—3 AP +5B9— 709° + 9D9°— etc, 
Nun verfahre man mit dem Brude 
sin ER — r— AQ® + BÖ# — etc. 
9.009 1 — 3— 5Bpt—eto, 

eben ſo wie bey der Verwandlung eines numeriſchen 
Bruches in einen Kettenbruch, nach dem Artikel, Ket⸗ 
tenbrud, 3. Das b dafelbik iſt bier der Zähler, a 
der Nenner, und m der Duorient des Menners durch 
den. Zähler. Weil hier der Zähler größer iſt als der 





Quadrotur. | 99 


Mehner, bie Längnite eines Boens iſt groͤßer als 
der Bogen), ſo werden die Reſte zum Theil negativ. 


63. Die Dividenden find nach der. Reihe folgende, 
welche, den erften ausgenommen, auch Diviforen, und, 
außer den beiden erfien, auch Reſte find. | 


L 12 3A0° + 5Bßt — 700° 4 9Dos | 
— ı1ıE®! + eto, 


I, ı — AG! + BO+ — co + DGOSſs — ıEO!° 
Fi + etc, 


m—io+! a ine +2 = cp 
= — — po⸗ + etc. 
I 


w. — + — —— Bo° + 
3.5 5.7 1.7.9 


1 — 
— 00 — DO!® etc, 
11 13 —— 


v + Fr ee nt 


3.5.7 5.7.9 — 
9.11.13 





aꝙ⸗ + — Bqs 


Dis. 55.11 





A Tr etc, 


VII, — — 0° — A — 58 * etc, 
der . Tui 8 


400 Duadratur. rt 


In jedem Reſte feste man für A, B,C, D, etc. ihre 
| Ev aA: Bi: :C . .% —— 
erthe, — 5, 0, uf. ie Quo 
W a, ri — Fr ſ Die Quo—⸗ 
tienten, welche a, a, D. durch m,.n,p,q, etc, bezeich⸗ 
‚net: find ‚- find bier. — poſitiv und — 
naͤmlich 
5 | 3 R 7 . fi e 11 
+3 . + no : 79 ma 
u: f. w. i 


Es ift nun, wenn n, g, s, etc. blos die 
— bezeichnen, und die Negation durch das 
Vorzeichen bemerkt wird, der Kertenbruch ie 
b::, x 


— 
— 


— 
ae m+- 





I „ 
| er -q 
r + — 
286 * etc, 

Die Negation nämlich betrifft jedesmal blos den Duos 
tienten, dagegen das Vorzeichen — vor einem ergäns 
zenden Bruche den ganzen Bruch) — allen partiellen 
Bruͤchen in demſelben angeht (a. a. O. 17.). Will 
man das Vorzeichen — dem ergänzenden Bruche,. Das 
iſt, dem Zähler geben, fo müffen beide Theile des Nen⸗ 
ners ihr Vorzeichen aͤndern, und ſo nach wird 


b 1 
a men 
" — — 1 
— — I 
RE 


— 


Setzt man nun fuͤr m, n,p, q, ete. die gefum: 
denen abſoluten Werthe der Quotienten, ſo hat man 
noch der Diviſor P* aus den Quotienten wegzuſchaf⸗ 


Quadratur. 101 


fen (a. a. O. 26.). So erhält m man den angegebenen 


für, 7. er 
65. Daß die Korm biefes Bruce i in allen Glie⸗ 
‚bern diefelbe bleibe, welches ſich in den erſten berech— 
neteit zeigt, erhellt wie in (60.). Einen foͤrmlichen 
Beweis, daß die Mefte,hey den ‚fucceffiven: Divifionen 
das Geſetz durchgehende beobachten, welches in den Rei⸗ 
ben III. u. f. offenbar, ift, giebt Lambert in den Mem. 
de l’Acad. de Berlin, a. 1761. in ber Abhandlung: 8 
Sur quelques proprietes remarquables des quan- 
* transcendantes circulaires et logarithmiques. 
Man ſehe ‚auch in deſſelben Beytraͤgen zur Mathema⸗ 
tie, Th. II. den Aufſatz fuͤr die Erforſcher der Qua⸗ 
dratur des Cireuls. | 


Auch. vergleiche. man die. Methode von la Grange 
in der Abhandlung, “über den Gebrauch der continuirli⸗ 
chen Brüche, Nouveaux mem, de ‚Acad. de Ber-, 
lin, a 1776, p. 253. 255: * Legendre leitet 
in feinen Elemens de’ ‘Geometrie den. Kettenbruch 


J rF 


—** Grades — nd gründet alsbann den Beweis 
daß die Tangente zu einem rationalen Bogen irrationab 
if, auf den Gas, daß wenn die Glieder eines Ketten⸗ 
bruchs einmahl Feiner als .ı ‚werden: und. «8 bleiben, der 

Werth des Kettenbruchs irrafiongl ie» — 


66. Wenn man den Zaͤhler — 

2 — AG + Bot = 00° + z 

zum erften Dividendus macht, alſo den Nenner zum. 

eriten Diviior, fo wird die Form der Dividenden ſehr 

zuſammengeſetzt, und ber Rettenbrug. erhäle eine Ge⸗ 

ftale worin das Geſetz der einzelnen Brüche nicht of 
fenbar if, 


? aus einer linearen Differengengleichung bes 





ir 07 Duadratur, 


a 
h jE 0Z, = =, und 2 * = * — Das 
f : ...Dd f 


oralinigen ®: spe APM it Be . & berpäle 


fi 5 alfo das ateliihs a in dem Deeyeck 
wie 423. Das Rechteck von ver OÖrdinate. und der 
Abſeiſſe verhält: ſich zu der Miea der Parabel wie 3:2. 

Don dem Verfahren, welches Archimedes zur Duadeis 
tung der Nerubel — — f den Keil, Exhau⸗ 
ſtion. F tt 4468 
| ; 2 | 
Pre 71. Ben AX- irgend ein ee und die 
Ordinate PM -vie Hälfte der ganzen Chorde, der Ora, 
Rinarenpinfel;s= % ſo iſt die Area der Parabel 


AM= zayain en X, 


‚se. ), 4 das Vorallelbgrauum von der — un: 
Abſciſſe mie Diefen Winkel — 2 * zu der Area 
der Parabel wie 3.2. 


2 u 72. Es⸗ ben F der Breunpimat >. — bie 
Laͤnge oder der Radius FM =: u im Far) ARME 
9 ee 

s , 4 
AFM = | 


u sin © (a— u cos 9), 


ON} m 


* 


Da ı @ i Biel rea — -x — — * 
# de Ya = ie 2 » : 
Seren " = W sin ‚9 — * ‚ven im ber, Sigus 


MD. cos O megarieg iſt·· Setzt man bieſe— Werthe für 
x und y, fo wird der angegebene Werth erpalten. 


| Duadratiir. -406- 
Te Did ð allein ausgedruͤckt iſt die Areg = 
De 'sin® 2.7 cos ge ns 
* + cos 1 * — 

Dem 4 it Parade DE *— — 
Setzt man biehen, Werth an * ————— A⸗ 


druck für die. ren; ſo ergiebt ſich gleich ‚der: angegebes! 
ne Werthderſeſben. 40.03 „8, 1 mE Su ed 


x Arm = 
| Pole 


Tier Da-diefer Ausdruck noch * ſehr zuſammen⸗ 
geſetzt iſt, fo muß man eo ihn abzukuͤrzen. Es iſt 


sin 2 — cos O Apr J 
ET Er u. Ya 
. (3: un 2 oe $ BER 38. ). Mun ik 
2 + 008 | E 2. ——— EEE 
I 1 + cos ig O0 7 F „Es m Y — iſt 
herz, — — + tan er, J ich 
ı +cosQ- : 6; ‚og 
\ 
" Area Ardæfen CH Ö +, tang 9) 
X. 13h) 9 J Ze * 


| In verſchiedenen N a fi, 
bey ER Winkeln des: Radius FM mit der Axre 
die Flaͤchenraͤume AFM wie die Quadrate der Para⸗ 
meter.» Dieſer Satz wird. in der. Aſtronomie für die 
— zaufbahn eines Kometen benutzt. 


16, Zur, Übung in ber Sfntegeafrecönung ft es | 
bignlich, die. dar; AFM auch ‚aus Her. Differentialfons 


mel gi *F — 2 un 9 herzuleiten. Die Area AUM, ſey 


406 | Quadratur. 


— U, iſt, wenn fuͤr u deffen Werth geſetzt wird, 
SU — aadQ 

8 .(1-c0o8 9 
mel diefer Art hat einige. Schwierigkeit (Sfntegralfors 
mel, 125.). Auch fiehr man aus dem Werthe der Area 
in (74.), daß es nicht Teiche feyn möchte, auf dieſelbe 
unmittelbar durch Integration zu fommen, Allein in 
bem ‚gegenwärtigen Galle, da bier die a und b a.n. 
D, jedes S ı find, kann man fi ch ie eine Subſti⸗ 


— belfen. “ it —— 


Die Integration einer For⸗ 


+ — —D 
3.5 Dd tang # — 
Goniom., 42.); und => ° * anorg gr’ 
(Differentialformeln, 38.). Dan fege tang- 9=t 

— DD: ud nn 
fo iſt {© + 008 9% — (1 + it dt, alſo 


u Bi | 1 | 
Ä = —4a(ı + tt) dt, ' ze 
SU = a (1 + tt) dt, und U ker: aa x 


(“+3 - t⸗ ) i wie vorher, 


— Erleichterung, welche bie bier. gebrauchte 
Subftirution verſchafft, beruht darauf,: daß. der- Diffes 
tehtialfartor zu Stang ® eine rationale Function von; 
tang 0 ſelbſt ift, Dagegen bey: dsin P.oder cos ®: 
äine irrationale —— von sin pP oder von cos ®, 


Oder man ſetze far T =. cos ® deffen 


' . — — 
Wert 2 con 9 ſo iſt U = J— 


Aus Integralformel, (121.) iſt 


Quadratur. 107 





ı sino:, 2 2. 
en nf — 
cos 9% 3 cosß° ‘3 cos Q®, 
ı sin® 23 sing . | 
— ne De er, i 
rer + re, a ſt 
Sf 9 1. sinz® 2% .sn}o 
2° cos} pt — " 00349° ar 


Man mug Zabler und Renner mit 2 cos = 


| um ® Rare. — einzufuͤhren, ſo ſo iſt — 





| cos 3 9* | 

— sin © BE sin © a 
"3 atwmp 73 

2. sn$O 2+cos6 

— — — — — m 

347 cos 2..-fr 008.0 

— aa. ‚sin 9° 2 -+ cos —F 

Dr rn re en 
(73.) 


— 78. Man kann aud) in der Differentiätformel, 
u= — Und 9 das Differential 39 durch du und 
eine Function von u ausdruͤcken. Es ft cos 0 = 
— I, alfo sin 680 — Da sin 9 = 
zu zuu 


/ 


es sp if, Pen=®v 





a 





und daher U =— 7 udu v; 7 Man ſetze 


208 Quadratur. 


nf Zurheulbemi. (48. 2 au m a = —, das, | 


aa zu 2dz 
; — "Daraus ift zei = — 





| E . (aa +122 282 
2 & 





«10. aa 
— ———— — 
© — I [ u — — 
Ba ——— 


J I 
Ä Die Eon ſtante iR 9; weil Us —o fuͤr u 4 a, 


| das if für 2* J 


— 
m 


a. on cos ® 


-ä 
ı + cos 5 | Toos ı-+-cos ® 
ai tung a o, . a Soniomerj, 4. * 





22, = aau a 


N 


— Wand 


’ 


79 Fuͤr u Bez, und bie Aben 


ir 


ber an ze me Eins Dan fee Diefe Yraza, fo, 


if UD — A (st +B) Diefes iſt eine — 


Formel 2 Berechnung der Zeiten in einer paraholls | 


ſchen Laufbahn, 
— 
80. Es ſey AMB CFig. 13.)- eine halbe El: 
Pipfe,. deren große Are AB — 2a, die conjugirte 


—=2CD = ab if, "Die Coordinaren ſeyn AP = x, 


PM =. yr-fo je bie "Steihumg für dieſelbe, 
b? (2ax — ix) = a’yı, Alſo a yox = 


Es if =a rang 2 er 2 Dem es iſt 


- | Quadratur. — ap 


böx EV Cain =) Es iſt das Diſtennne ‚füe | 


u 


b 
die ——— Deren Salbmeffe = ai, mie — | 
multiplicirt. Nämlich die Ordinaten an ber Elipfe ind: 
an dem Kreife mir dem Halbmeffer a verhalten fich bey 


denſelben Abfciffen wie b ; a (Ellipſe, > Die u 
ſtante it hier zo, 


Daher iſt die Ares APM gebe ab bÄng: sin vorf 2 


b (a — 
— V (2ax — xa). "Die Yen ACD, 


naͤmlich der vierte Theil der Elibſe, iſt ⸗ibꝛ 
weil Ang. sin verſ _ = m iſt. Die Flaͤche der 


ganzen Ellipſe iſt — abr, Die Kreisflähe, deren. 
SHalbmefler = a DZ ft = aar. 


gr, Oder? Area —E ab Ang. sin 4 

R E ES N 

(ax) y. Es ift nämlich Ang, sin vers 7 

= Ang. cos — * Ang. sin — — 
| | U Vak RR 


—* Ang. sin — Y, 


b 
82. Daher ift der. elliptiſche Sector kom zu 


— X Er 
a ng, sin 


110 Quadratur. 
83. Die beiden Brennpuncte ſeyn F, £, und 
CH 5 R I — 
=c, AFM = ‚sin — 
7— c, ſo iſt die Area * yo Ang sin 5 


ie 
— 


84. Es ſey der Radius FM = u; ber Win 
fl AFM = 9, fo iſt die Sleihung f für dieſe Größen 
bb = (a —c.cosPp)u (Ellipfe, 12... Da 
yazıa sin Ö iſt, fo iſt die Areae AFM = 
bsinG _ bbe sin © 


a-ccos d 2 (a-!c cos $)' 
ER, 


‘ An . 1 ——__ 0 
85 an fege Ang. sin — v, 


1 
— ab Ang. sin 
2 BE 


fo iſt ren AFM = — ab y + — bc sin. y, 


86. Die Area AFM fen = Z, fo ift (nah ıı,), 
02 = 86 das ia — 
zu? 0, das if 02 = 2 (a-c cos gy" 


Das Integral diefer Formel ift in dem Artikel, Inte⸗ 
gralformel, 129., durch eine Reihe gefunden, die nach 
den Eofinus der Vielfachen von © fortgeht. Die un: 
mittelbare Integration zu dem vollffändigen Integral 
iſt ſchwierig, da die Form der beiden Stücke deſſelben 
ſich nur errathen lage, Es iſt nüglih, jene Integral: 
formel zu differentiiren, um zu fehen, wie ſich bey dies 
fer Operation mehreres gegen einander hebt, und das 
Differential eine Geſtalt erhält, in welcher die Form 
des Integrals nicht zu erkennen iſt. 


87. Es fey die Flaͤche der Ellipſe zu der Area 
AFM wie ar (oder vier rechte) zu einem Winkel w, 


Quadratur. 111 


fo ift w mas in ber Aftronomie die mittlere Anos 
malie heißt, da .P die wahre bedeutet, Auch fey 


C : 
= —'e, als. die Ercentricität in Beziehung auf bie 


halbe große Are = 1. So iſt Area AFM = abo, 





| b 
ui amangin (?. in ON e sin © 
a ,ı-ecos © a i-e cos o° 


Man fieht, daß aus der wahren Anomalie ® die mirts 
lere w directe gefunden werben kann, Ka aber aus 
diefer nur Durch Annäherung, Ä 


88 Der Winkel J heißt die Anomtalie des 
Excentri oder die — Bey der Anwendung 
dieſes Winkels it wu = y +esiny, Dieſer Wins 
fel Y wird ausw viel leichter gefunden als der Wins 
fl 9. Es muß alsdann aber - ® aus Vherge⸗ 
leitet werden. 

b sın — 
a-ccosP 
“oder cos © hieraus nicht gefunden - werben können, 
weil die Wegſchaffung der Irrationalitaͤt auf eine quas 
dratifche. Gleichung für sin O oder cos. führt, fo 
fuche man, ob nicht eine andere Gleichung fich aus je⸗ 
ner herleiten laſſe, in welcher sin P oder cos 9, eins 
obne das andere vorfommen, Diefes wird erhalten, 
wenn cos durch eine Function von ® gefucht wird, 
Es ift sin Y* (a— ccos P)* — b* sin P*, und date 
aus cos Y* (a — c cos P)? — a? — 2accos Pd 
+ c* cos 9% — be sin O®%, das ift, weil at = b* 
+ c* ift, cos Y*. (a — c cos P)* — a* cos — 
2ac cos® + c!. = (a cos 9 — c)’, oder 
cos y (a —ccos 5): —=acos Ph — c. Folglich 
c ‚a a cos Y 

a +c 6 cos v 


89. Ds siny = iſt, und u 0 


— 





Rh Quadratur. 





J j 
» Po ar, + &, . , rg 3 48% 2 - c6 
HHieraus iſt —E ——— 4 ER ER = 
0; er > m | J „art o0o cos — 
RE N. 
, und ferner sin- @ = - SR | 
ä + 0c08 J 4A-0 eos v 


50.Emine hoch bequemere Formel, den Winkel 
GO aus dem Gherzuleiten, iſt in dem Artikel, la Gtan—⸗ 
ges Lehrſatz, 23. enthalten, wo auch eine Formel für 


u (dore r) durch Yfich findet, Man vergleiche auch 
den Artikel, Keplers Aufgabe. ee K 


9t. Es fen AM (Fis. 13.) ein Zweig einet Hy 


perbel, deren CX, Scheitel A, halbe Hauptaxe CA=a;- 


pie halbe comugirte Are = b, Abſeiſſe AP=x; Dr: 
dinate PM = y. Die Gleichung iſt b® (zax + xx) 


— at'yı Die Area APM fy = Z, fo iſt 62 = 


n | 
yoxıı — 9x yYıı@ax + x) 
‘A E J 


„Die Integration giebt (Integtalformel, 58. 56) 


a b | — 8* 

IR FAVaETE 2 " — 
das iſt Zu ta x)V CGax + ar) 
Sb log .. nat a tx +.V (ax eh. a: R 
Die Conſtante a in dem Bruche ift- fo beſtimmit, daß 
der Bruch — 1 fuͤr x = o, wird, daher der Loga⸗ 


tits des Bruchs = 0 wird, fo wie der erſte Theil 


son Z, damit die Area bey, A anfangs 
93. Oder, da b;v (dax + xx) >= ay iſt/ 
— ı ,,.bifa+x) +ay 
—— BT EN 9 N eh Has Mae DR 
am — en — 
93. 


— 


Quadratur. 1143 


93. Der hyypekboliſche Sector A0M zwiſchen 
den geraden CA, CM und dem Bogen AM iſt 


4 bia+x)+tay i ab | 
= — —- able. 
- ab log 7 — log Be 


N. Denn es ift der Gectür = ACPM — Area ; 
APM, und ACPM =- (a+x)y: Daraus folge - 
der erſte angegebene Werth des Gertors, 

In dieſem multiplicite man Zähler und Nennet 
des Druches mit b (a + x)- ay, fo wird Her Zähler ' 
—b!(a+ x)? - aryı, Mun it be (CP —CAr) 
= a . PM° (Syperbel, 3.) das it be (a-+x)t 
— aty’—atb?. Daraus entfieht. der. zweyte angeges 
bene Werth. — Für die gleichfeitige Hyperbel, wo  - 
b=a iſt, ift der Sector ACM—- aa — = 

nee z 
i — a 
= — älg — 

2 — axX—y 3 

die Abſciſſe vom Mittelpuncte ar gerechnet CP = x! 

= 7.7 

a 


I 
ft; = — aa log - 
8 


= 


‚ und, wenn 


* 








= al 
— — aa 

2 E x — 5* 
wo x* der hyperboliſche Coſinus, y der byperbolifche 
Sinus if. Die Vergleichung der cireulären und hy⸗ 
perboliſchen Sectoren findet ſich (Goniometrie, 149. 
und folgg.). . ak 


94. Es fen der Winfel MCP= 9, und CM =u, 


sin b 
fe it Sektor ACM = — ab log a sn d — j = 


b a 
oder auch 
i b a 
M-=- ab —— — — ——. 
— — 2 nr asin®—bcs® u 


Dnfta+xmucof; yZusinö, 


44 Quadratur. 

95. Am der gleichfeitigen Hyperbel ift- Sector 
ACM — — aa 10g (cos (45° 0), “Y ) 
= anlog ( : — — 
— -9)' ZB, * 
(Goniometrie 53.). Hieraus wird durch Addition 


Sector 2ACM = -- aalo A ee 2 pe 
2 | sin (45°-P) — 


- MR J 1 
— logcot (45°.- 9) = aalogtg (45°+ 9) 





folglich Sec. ACM auch = aa log tang (45° + MM 


96. Es fen F der dem Scheitel A naͤchſte Brenn: 
punct, und CF.= 6, fo ift die hyperboliſche Aren , = 


ne A b(a+x)-+ay 
x 2 7 * ab — 
Denn es iſt das Dreyeck CFM _ — CFxPM 


; . 
= z oy, und AFM = ACFM — Sect, ACM, | 


Man bemerke, daß c— Y (aa + bb) if,” (Hy 
perbel, 11. 12.). u 


| 97. Es feyn CS, Cs, die Aſymptoten der Hy⸗ 

perbel MAm; durch den Scheitel A und einen Punet 
M der Hnperbel feyn mit der Aſymptote Cs die Parale 
Ielen AD, ML an die AS gezogen: es ift der Gec- 
tor ACM = Quadrilineum ADLM. | 


Denn es ift CD:CL—= ML: AD (Hyperbel, 
8.). Wegen dieſer Proportion und wegen der gl:ichen 
Winkel bey D und L iff das Dreyeck ACM = MCL 
(Dreyek, 30.). Bon dem Quadrilineum ACML neh: 


Quadratur. 2416 


me man weg das Drendd MCL, und von eben dem⸗ 
felben das Dreyeck ACD, fo bleibe gleiches‘ zurück, das 
ber Sector ACM, = ADIM. 


98. Man nehme CL, LM zu REITS — | 
Hyperbel, fege CL=t; LM=v, und Y (aa+- bb) 


| I c 
=c; & it Area ADLM = Pr ab log, — oder 


ADLM = — — ab 108 7 7 
1 
— den Scheitel, A siehe man auf AC die 
.fenfrechte AB an AS, und verlängere die auf. Die: Are 
fenfrechte Ordinate PM.-an diefelbe in Q, fo ift CA:AB 
= CP:PQ. Nun iſt AB=b, (Snperbel, 6.), alfo 
_ba+x) 25 Ä ba@+%) Nr 
_b F *F — D4 | 
a a 
ift der Winkel CAD —ACs — ACD, alfo iſt 
CD = AD.: Berlängert man : AB bis an die Anmps. 
tote Cs in b, fo it AB Ab, und bahır BD=CD, 


Da CB= Va + bb) = :c ift, fo ten=- 


— In dem Dreyecke ACD 


— AD == — c. — In den ahnlichen Dreys 
een LMQ, DAB it AD:AB=ML: MQ. Dar 


b — b 
her iſt — * =— ‚ und die Area 


ADLM = = — ab log 2 u 


Da CLXML=CDx AD em=_ CB® 


— 


116 Quadratur. 

F — 2... 
ift, ſo ift iv = — c*, und = ——, alſo "Area 
4 2v cc , 

J | : 

LM = — — 
ADLM = — ab log —. | 

69 Die zweyte diefer Formeln‘ ergiebt ſich uns 
mitfelbar aus (93.) folgendergeftalt, Die gerade PO 
fehneide den andern Zweig der Hyperbel in m, bie 
- Ainmptote in q, fo it Mg = 2PM + MO = — 
b 
en Da CL:Mg=QL: — 


b 
BD: BA ift, fo ift rar zu => — und die 


| Atea ADLM =—ab 108”, 
100, Die Gleichung zwiſchen t und v giebt bie 
Area ADLM unmittelbar. Sie it c* = tv. Dir 


Drdinatenwinfel MLS. oder AD . fey = 20; : die. 
Area ADLM =: Z, fo iſt Ben vet. - * (10.) 


oder B2= $sinan. .. _ . 6 wz 





Top ‚nat, , Opntegralformel, 3 ) alfo 2 z= 


— c!,sin aa.log ——, 8 Integral foll = 
4 ARE einst Das Integral foll =o feyn, 
wenn =CD= -—eif, Daher iſt = 

1 * 

— c* ‚sin 20. log — 


Da ADL = 2eif, fo fFACL = a, md. - 


‚ Quabratur, J 47 

- ‚sin 2a = c* sina.col a. Mun iſt ac. cos a5 
| t 

b==c.sina, folglich ift Area ADLM=— ab, log. 


101. Wenn die Abfeiffen CL oder t auf ber 
Afpmptote CS in geometrifcher Kortfchreitung genoms _ 
men werden, fo find die zugehörigen Klächenräume, wie 
ADLM in arithmerifcher Fortfchreitung. | 

Denn es ſeyn zwey Abfeiffen t und r, fo fi nd 
bie ansehen — von der — AD 


an — 2 ab, log — — und — ab.log, , beren Un: 


terfchied f= — — ab J — log an -)= — 
— ab log — — + nun das Verhaͤltniß t:r ein ge⸗ 


gebenes, ſo iſt — — eine gegebene Größe, (logarith⸗ 


mus, 6.), und die —— der Flaͤchenraͤume ſ nb 
glei groß. 


102. Öregorius von St. Vincent bat dies | 
fen Saß fchon erwiefen, in dem Opere geometrico, 
de hyperbola, rop. 109., frenlic aus gan; ans 
dern Gründen. Er jeige auch, prop. 106, daß zwey 
buperholifche Segmente, die einen gemeinfchaftlihen Ends 
punct haben, gleich groß find, wenn die Chorde, welche 
die Summe — Bogen beſpannt, die Ordinate zu 
dem Durchmeſſer iſt, welcher durch den gemeinſchaftli⸗ 
hen Endpunct gebt, over dieſe Ordinate halbirt. Sein 
Verfahren iſt in der That kunſtreich. 


Einige andere Quadraturen. 


103. Die Ciſſoide iſt eine krumme LUnie des 
dritten Grades, deren Gleichung iſt x’ = (a-x)y’ 


102. Quadratur. 
Es iſt ſonach 


=ı+ L. 
n —— 
36,7: 0% —— 
| 1: Io — 
eic, 


Sa erſte bier weydelaſſene Bruch ift RT 


67. Es ſey nun AB (Fig. 10.) ber Quadrant eie 
nes Kreifes, deffen Halbmeffer AC—a ift. In demfelben 
ſeyn zwey rechrwinflichte Coordinaten, AP, PM=y, 
ſo if die Gleichung für diefelben,, aax-xx—yy, Die 
Area APM fen Z, fo H0Z=yox (8) das iſt 64 

— dx V (ax — xx). Aus Integralformel, 58. iſt 

aa x aux, 
4% Eee xx) . Via | xx), 


, und eben daher, 55 





| 2=— An: sin. vers 1" vannı 


Hier it Ang, sin. vers = — der Kreisbogen mit bem 


| Halbmeffer —1 für den Bun ACM, bax der His 
nearifhe Sinus verfus für den Halbmeſſer a, und = 
der numerifche Sinus verfus für den Eh Ya =ı 
iſt. Ferner iſt a. Ang. sin. vers, - = der Bogen AM, 


und der erſie Theil von Z der Pe ACM. Der 
zweyte fuberactive Tpeil iſt das Dreyeck PCM, da 
„V @ax—xx) = y=PM ift. Es ift nad) der Inre⸗ 
gration keine Conſtans beygefuͤgt, weil Z=0 iſt, wenn. 
"x Zo gefegt wird. 


Quadratur. 103 


68. Es iſt zu. bemerfen, daß zu einer Abſciſſe x 
unendlich: viele Z gehören, nämlich, nicht blos der in den 
Figur erfcheinende Abſchnitt APM, fondern auch alle 
Bielfache der ganzen Kreisflaͤche — APM, Daher 
giebt es Feine algebraiſche Gleichung zwiſchen x und Zy 
oder, die unbeſtimmte Quadratur des Kreis 
fes iſt unmöglid. | | 


69. Gregor von St. Vincent fchmeichelte fih, 
die Quadratur des Kreifes durch Eubirung eines para⸗ 
bolifchen Körpers zu finden (49. fr Man fieht nun, 
daß eines nicht leichter iſt als das andere, eigentlich) daſſel⸗ 
he bis auf einen conſtanten Factor. Er bemerkte zwar 
richtig, daß es darauf ankaͤme, den Quadranten AMB 
(Fig. 10.) fo einzutheilen, daß AM und MB oder die 
zugehörigen Gectoren , ein. vationales Verhaͤltniß has 
ben, und die Segwmente APM, CPMB #enfalld. Das 
trifft aber nicht zufammen, Man nehme, an, daß 
ACM : MCB =m:n, und APM: CPMB = 
p: q ſeyn, fo it. ACM : AB zm:m+n 
und ACB v. APM =. p +4:P Folglich iſt 
ACM:APM = m * gy:p m+ nm 
und ACM : CPM = mp + mg : mg — np: 
Aüber zwifchen. vom Gertor ACM und dem Dreyeck 
CPM. findet feine algebraiſche Vergleichung Statt r 
ai ju demfelben Dreyeck unendlich) viele Seetoren ger 

vens Bi | | 


Quadraturen an den Kegelſchnitten. 
| 70. | E⸗ it .AMN (Fig. ı1.) eine Parabel, 
deren Are AX if. Der Parameter. fen — a, die. Co⸗ 
ordinatn AP—=x, PM = y, fo ift ax—=yy. (Pe 
abe), Die Differentialgleichung. it adx —- 2yDy:- 


| .ay® oy Ä | 
Daperyax =. Eofen die ige ARM==Zu: 


? 


in no Quadbratur. 
e ET 
f J = =. m und 2* — = say Due 


sratmigen Demet APM it m - Sy. & wechaue 


fich alfo das — ifche — zu dem Deeyeck 
wie 423. Das Rechteck von der Ordinate. und der 
Abſeiſſe verhaͤlt ſich zu der Mira der Parabel wie 3:2, 
Don dem Verfahren, welches Archimedes zur Quadri⸗ 
xung Der Parubel ongewendt Kg l den Kran Re 
ſtion. | » ed 
| 4 
U 73 Wenn AX- ingdn ein —— und die 
Ordinate PM -vie Hälfte der ganzen Chorde, der Dra. 
une “fo iſt die Area ber Parabel 

Er Ar Sin 

‚Cie. ), * dns Parallelogramm von der — m 
Abſciſſe mie dieſen Winkel — ki a der Ta 
der Parabel wie. 3. 2. 


rt " 
762. E⸗ ben F der Brennpinee = ht bie: 
$änge: oder der Madius FM == u, der Winkel AFM 
ze len. eat na 


AFM De (a — u cos $), 


Dem ı e # ah Aa = = - nn — — re 
— 9 

Gerne if r= w 'sin » ui, fir ‚den gu ber gig 

= =! ar uikog. MIR mi in 


md cos O negatid ik Setzt man dieſe⸗ Werthe für 
x und y, fo wird der angegebene Werth erhalten, 


Duadratiir. 406: 
. Din’S allein ausgedruͤckt iſt bie Area 
al 'sinG 27 c08 8* 33 


net Ma Fe _ 


ini Ta 
> Saal BE DE ı 


Denn, es ä Parabel, 6 u; *75 — ——— 


Seht man "dicken, Werth in ee } horbergefunberiam? Ansar 
druck für die Area/ für ergiebt ſich gleich der —— 
ne Werth derſelben. Pe BR 141 wei I ea ‘2 


her Da deſer Ausdruck noch zu; ſehr zuſammen⸗ 
gefest ift; - man — ihn abzukuͤrzen. Es iſt 


‚sin ® — EIER A Pins) 
Re ung, 9 un © 








1460 Ir cos (zZ 

:(: ee Goniomerrien 2. * Nun Mn 
bı 1 N 

2 + — ae * ER Fee, — —— Mi 

I I + cos cos. an 1 + cos 7 —9 it 


Eaaigmie) m 
\ 


if Area AM zen eis: — ** tang er 
—1*— Er 3) id 

In verſchiedenen Parobeln —— fi, 
bey — 5 Winkeln des: Radius FM mit der Axe 
die Flaͤchenraͤume ARM wie die Quadrate der Para-⸗ 
meter. Dieſer Satz wird in der Aſtronomie fuͤr die 
— daufbahn eines Kometen henutze. 


— 


| 76. Zur Übung in ber Sintegeafrehnung I es | 
bienlich,. bie. Yan; AFM auch ‚aus der Differentialfor⸗ 


ml. ( 1), — —* Q, Ver Die Area AUM, ſey 


406 Quadratur. 


= U, fo iſt, wenn fuͤr u deſſen Werth geſetzt wird, 
SU — — 

| 8.(1-cosp)? | PR : 

"mel diefer Art bat einige Schwierigkeit (Integralfor⸗ 
mel, 125.). Auch ſieht man aus dem Werthe der Area 
in (74.), daß es nicht leicht feyn möchte, auf Diefelbe 
unmittelbar durch Tintegration zu fommen. Allein in: 
dem ‚gegenwärtigen Galle, da. hier die a und b a. 
O. jedes = 1 find, kann man ſich durch eine Subſti⸗ 


tutiom helfen. Es iſt 7-+cosp= 


Die integration einer For⸗ 


a + tang & Q" 
er F — 5 -Otang # 9 
—— 42.),’ und 2: op * — 

| 2 FR | 
(Differentialformeln, 38.). Man feße tang- A 
80 | 


ag = - (+ u a, alſo 


L.. | 1 
4 = — > tty i | | EEE, 
AUG Eermd mU—— aax 


1 u 
(: 4 {3 ). ‚wie vorher. 


Die Erleichterung , welche die.’ bier gebrauchte 
Subſtitution verſchafft, beruht darauf,: daß der- Diffes 
rentialfactor zu Stang O eine rationale Function von) 
tang Oo ſelbſt ift, dagegen :bey : sin P.oder dcos ®: 
eine irrationale Function von sin P oder von cos ®, 


77Hder man ſetze ſtatt 104cos ® deſſen 
Werth, > cos -- pa. 


| 8 — | 
Aus Sintegralformel, (121.) ift 


Quadratur. 107 














2.0, 2, 80 

tn 

_ı sin ® 2 ‚sind , 

3." 00803 3 "cos 9 Ar en 
1 6 in40 ‚sinz® - 
U cos4 9% — 3 0054905 5 —— 


Man multi Zähler und Renner mit 2 cos — = 9 


um 9 Rare _ 9 —— ſo iſt J * 
sin © 2° sin © er 
er + cos p)* ” 3 ; ı + cos ® = 
2. sn® 2-+ cos ® | 

3 0 resp" 1 + 00 
u a = sin 9° 2 + 00s 


24° Er” ı 709 
(73% ., 


n8.: Man kann auch in x Differentialformel, 
u = — und P das Differential 39 durch du und 





2 
3 


und 





de 


eine Function don u ausdruͤcen. Es iſt cp = 
adu 


— —7— alſo sin 680 =, Da sin 0 = 
2u 2uu 





V— fi: = av 





4u — a 





un daher U = = — wu u: * Man ſetze 


108 Quadratur. 


2 * — zZ ” 
| ——————— au — an das iſt⸗ 
re . r 2 . 
he — "Daraus ik sau * ae 





au 


| aa biz) ZB: 
und — udu = — alfo it 
4 | & 


‚16.44 
Ba (aa zz) 82 az 
ar — — 


1 * 
Die Cohftante iR .@; weil U- 0 freu Y EP 


* if für 2. a 


— 
* — 


Es iz — a — _ © Dem es iſt 


— 


* — — | „1zeos® 
22 = au am —— aa a 


„‚tr608 P | Teobsc 
ad tang * en * ¶Eonomen 41. )* 6 * 


>.” 


, 


Fuͤr = 2.97 if t= I und bie Abea 


Er 


ber Bei an Dian lebe dieſe AteaSa A, fo. 


if. — A (st HB) Dies it eine — 


Formel = Berechnuns der Zeiten in einer Bao 
ſhen ua - 


va. — Es (ey AMB crig 12. )- eine halbe El. 
Pipfe, deren große Are AB — 2a, die conjugirte 
> 200 — ab iſt. "Die Coordinaten ſeyn AP—=x,- 
PM =. yſo -ift bie Gleichung fuͤr dieſelbe, 
be (20% — 3) =. a", Alſo Ss yox = 


u Quadratur. iu 409 
= 


I 5 % 
die Kreisflaͤche, deren Halbmeffer ea in, mit Re 
multiplicirt. Nämlich die Ordinaten an ber Citisfe iind‘ 
on dem Kreife mie dem Halbmeffer a verhalten fich bey 


denſelben Abfcifjen wie b ; a Ellipſe, 5 * Die Con⸗ 
ſtante iſt hier = 0, | J 


Daher iſt die Area APM ie ab Ang.sın verſ z 
_b b(a—x — x) | 


—YV (zax — EN "Die Area ACD, 
nämlich der dierte Theil der Ellipſe, iſt ⸗bꝛ, 
weil Ang. sin verf — = x ift Die Flache ber 


ganzen Ellipſe ift — abr, Die Kreisflähe, deren 
Halbmeſſer = a iſt, if = aar, 

| —— +: 5 i Pi y 

81, Der: Area APM = - ab Ang, sin . 

I Er | BR s | = j — 

—— Es iſt nämlich "Ang, sin vers 

Ä V (2axX — xx) 


— 


u." . J 
= Ang. cos — == Ang. sin 
a » 4 


= Ang, sin —* 


82. * iſt der. elliptiſche Setor ACM = 
* ab Ang, sin. = —, 


V (ai — = > I Das e Diet ‚füe = 


110 Quadratur. 
83. Die beiden Brennpuncte ſeyn F, f, und 


E — 6, fo ift die Area an = Zab Ang,sin . 
23 Se 

| ET zer 

84 Es fey der Radius FM a u: der Wins 

kel AFM = 9, fo iſt die Gleichung ‚für diefe Größen 


. bb'= ca —c.cos P) u (Ellipfe, 12). De 


yzusin® | ift, fo ift die Mrea AFM = 


N  bsi Ä 
_ ab Ang . sin — 2. nn * — 0 
z * a-c cos 2(a-ccosP) 
b sin © 





=zy 


. ug. si Ä une 
+ var ſete ſ⸗ * a-c cos 9 


fo ift Area AFM = — ab y + — bc sin „. 
86. Die Area AFM fey —Z, fo iſt (nahrr.), 


I ee ae. b+ °0 
oz = uud 6, das ift 02 RETTET 
Das Antegral diefer Formel ift in dem Artikel, Inte⸗ 
gralformel, 129., durch eine Meihe gefunden, die nady 
den Coſinus der Vielfachen von © fortgeht. Die uns 
mittelbare Integration zu dem vollffändigen Integral 
iſt fehwierig, da die Form der beiden Stücke defjelben 
ſich nur errarhen läge. Es ift nüglich, jene Integral⸗ 
formel zu differentiiven, um zu feben, wie ſich bey bier 
fee Operation mehreres gegen einander hebt, und das 
Differential eine Geftalt erhält, in welcher die Form 
des Integrals nicht zu erkennen ift, | 


87. Es fey die Flaͤche der Eilipfe zu der Area 
AFM wie am (oder vier rechte) zu einem Winkel w, 


Quadratur. 111 


fo iſt w mas in der. Aſtronomie die mittlere Ano— 
malie heißt, da.© bie wahre bebeuter, Auch fe 


z ='e, als die Excentricitaͤt in Beziehung auf die 


balbe große Axe . So iſt Area AFM = aba,“ 


| fb si biesi 
und w= Ang.sin (- — = ee 
a ,ı-ecos ® a 1-e cos 


Man ſieht, daß aus der wahren Anomalie O die mitt⸗ 
lere w directe gefunden werden: kann ‚ jene aber aus 
diefer nur Durch Annäherung, | Er 


— 88. Der Winfel Y heißt die Anomtalie des 
Excentri oder die ereentrifche. Bey der Anwendung 
dieſes Winfels it c —=y + e sin V, Diefer Wins 
fel Y wird aus-w viel leichter gefunden’ als der Wins 
fl 9. Es muß alsdann aber noch P aus Y herge⸗ - 
leitet werden, | a 
bsinG | a0 
— iſt, und sin ® 


oder cos © hieraus nicht gefunden. werben fönnen, 
weil die Wegſchaffung der Irrationalitaͤt auf eine quas 
dratifche. ©leichung für sin © oder cos P- führe, fo 
fuhe man, ob nicht eine andere Gleichung fich aus je⸗ 
ner herleiten laſſe, iin welcher sin ® oder cos 9, eins 
opne das andere vorfommen, Diefes wird erhaften, 
wenn cos  durd eine Function von © gefucht wird, 
Es ift sin Y* (a— ccos 9)? — bz sin ©*, und date 
aus cos Y* (a — c cos 6) — a9 — 2a ceos ® 
+ c* cos 9% — b! sin O%, das it, weil a® — b* 
+ e* iſt, cos Y% (a —c cos ꝙ) — ar cos Di — 
2ac cos + c@®.= (acos 9 — c)?!, ode 
cos y (a —ccos$) =acosp —c. Solglich 
cos 0 = — u Y 

atccosy 


89 Dasiny = 





‚Re - ‚Quadrat. 


A Cs TR VE ERUTTELAR N, ch. 
z Hieraus ift ag er = 





»2..chB,,. ° a .b sin 
— ——— und ferner sın- 1} — — 
a 40 co8 J 440 eos v · 


90. Eine hoch bequemere Formel, den Winkel 


© aue dem Vherzuleiten, iſt in dem Artikel, la Gtan⸗ 


ge's Lehrſatz, 23., enthalten, wo auch eine Formel für 
u (dort x) dich W fi findet, Man vergleihe.aug 


den Artikel, Keplers Aufgabe, 


P} « - Fi - 


gt: Es fen AM (Fig. 13.) ein Zweig einer He 


perbel, deren CX, Scheitel A, halbe Hauptare CA=a; 


die halbe ednjutgirre Are — b, Abſeiſſe AP—=x; Or: 
dinate PM =y. Die Gleichung ift b* (2ax + xx) 


— ad'yı Die Area APMyz=Z, ſo iſt em 


b 
yox. — x VY: (aax + xx.) 


‚Die Integration giebt (Sintegralformel, 58. 5 6) 


dx 


| 2 b R £ I * 
z IT In (a+ x) Meet: = ren 


as iſt Z> la Hr) V (ar +) 


7 atx+Vaax+x | 
— ab log gun hat a + V Mc), + 
2 m FR ’ "a ‚ 


Die Conflante a in ben. Brüche ift- fo beſtimmt, daß 
der Bruch — ı,für x = o, wird, daher der Loga⸗ 


rithmus des Bruchs — © wird, fo wie ber erſte Theil 


son Z, damit die Area bey, A anfang 
92. Oder z da b;v (aax + xx) = ay iſt, 


| : BR b,(a x) +ay 
Z= u): = ab, log. re ) 


"art 6cosv ie 


93: 


/ 


Quadratur. 113 


63. Der hypekboliſche Sector A0M zwiſchen 
den geraden CA, CM. und dem Bogen AM iſt 


=- blog ah ——abl lo ab 


| Sblatx)ay 
| Ye es iſt der — = ACPM — Area N 
APM, und ACPM = — — (a Ey: Danats Glet 


der eiſte — Welh des Sectors. 


In dieſem multiplicire man Zaͤhler und Nennet 
des Bruches mit b (a + x)- ay, fo wird der Zaͤhler 
—b’(a+ x)' - aty?, Nun ift bb (CP — "CA®) 
= a® . PM*- (Hyperbel, 3.) das iſt be (a-+ x)⸗ 
— aty —arb?. Daraus entfieht. der. zweyte angeges 
bene Werth. — Für die gleichfeitige Hyperbel, wo 


b=a iſt, iſt der SeträcM=, aa log -—— —— * — 


“ 


— aa ] _ d, 
m. 08 ray’ un wenn 
bie Abfeiffe som Mittelpuncte an gerechnet CP — x: 
EYE lg — 
= —7 
wo xder hyperboliſche Coſinus, y der —— 
Sinus iſt. Die Vergleichung der cireulären und by: 
perbolifchen Sectoren findet ſich an 149 
und folgs. BR 


94. Es fen der . MEP = O, und —* 
fo iſt Sector ACM= - — ab log ——— a 
oder auch x | 
4 
Sr. ACM= * — at 


Den dia thx = ucosP; yzusind, 
H 





iſt, = — aa log 





ab log 


ME Quaodratur. 

95. An der gleichſeitigen Hyperbel ift- Sector 
ACM = > aa ios (cos (a5 — 6). ) 
F Diem i — 
mel ns N 

* aa 105 (= Gar oa DD aus 

( Soniometrie 53.). - Hieraus wird durch Addition 


cos (45°-9). _ 
sin (45°-9) — 


1 . 6 f 1 
Faa logcot (45°.- 9) = e aalogtg (45°+ 9) 





Secor2ACM = - aa lo 


folglich Ser. ACM aud) =. aa log tang (45° + P9% 


96. Es ſey F der dem Scheitel A nächjfte Brenn: 
punct, und OF. c, fo ift die huperbolifche Area, 
— 001 b(a+x)-+ay 

FM = -—-cy—- ablogs — I, 
* ..# wege * ab 


Denn es iſt das Dreyeck CFM * CFx<PM_ 
=- oy, und AFM = ACFM — Sect, ACM, 


Man bemerke, daß c— Y (aa n bb) ift, (Hy⸗ 
perbel, 11. 12.). a 


R 97. Es feyn CS, Cs, die Afomptoten der Hy⸗ 

‚ perbel MAm; durch den Scheitel A und einen Punet 
M der Hnperbel feyn mit der Afymptote Cs die Paral- 
Ielen AD, ML an die AS gezogen: es ift der Sec— 
tor ACM == Quabrilinum ADLM. | 


Denn es ift CD:CL—= ML: AD (Hyperbel, 
8.). Wegen diefer Proportion und wegen ber gl.ichen 
Winfel bey D umd L iff das Dreyef ACM = MCL 
(Dreyeck, 30.). Von dem Quaprilineum ACML- neh: 


Quadratur. 41416 


me man weg das Drendd MCL, und von eben dem⸗ 
felben das Dreyeck ACD, fo bleibt gleiches‘ zurück, da⸗ 
ber Sector ACM = ADLM, 


98. Man nehme CL, LM zu — — | 
Hyperbel, fege CL=t; — und En 


=c; & u Area ADLM—- — ablog, — oder 
2 ££ ı 20 


at 
ADLM = — — — ab 108 - Ze 
. s u 
— den Scheitel, A siehe man auf AC die 
.fenfrechte AB an AS, und berlängere die auf. die. Are 
fenfrechte Droinare PM an diefelbe in Q, fo ift CA:AB 
= CP:PQ. Nun iſt AB = b, (Snperbel, 6.), alfo 


ft rg= tr 39 ind QM = — 


————— In dem Dreyecke ach 


iſt der Winkel CAD —= ACs — ACD, alſo iſt 
CD = AD.. Verlaͤngert man AB bis an die Afnmp=. 
fote Cs in b, fo it AB Ab, und daher BD=CD, 


Da CB — V (aa 22 bb) = :c ift, fo ft CD = 





ober AD * c. — In den ahnlichen — 
ecken LMQ, DAB ift AD :AB=ML:MQ. Da⸗ 


un J 
her iſt = = ‚„ und die Arena 


ADLM = = — — ab — — 
av 


Da CL x ML =eDx AD= cD=_ CB* 


116 Quadratur. 

nn, — * | ER 

iſt, ſo iſt — ce, und — ——, alſo Area 
4 —  c 
ı:-_. 

69: Die zweyte dieſer Formeln’ ergiebt ſich uns 
mittelbar aus (93.) folgenvergeftalte Die gerade PO 
fehneide den andern Zweig der Hyperbel ihn m, die 

- Ainmptote in q, fo it Mg = 2PM + MO = — 
3 | $. T 
Er Da CL:Mq=0QL:Q0M= 


b 
BD: BAift, fo geetD rn 2* = und bie 


| Atea ADLM rer —ab log- =. 
100, Die Gleichung zwiſchen € und — giebt bie 
Area ADLM unmittelbar. Sie it e = tr. Der 


Drdinatenwinfel MLS. oder ADs = — 28; bie, 
Area ADLM =: Z, fo it 84 = vöt.sin 2a, (10.) 


! ü ot RK ot 
od r Z — — c? ⸗ si . 7. 8 — — 
er 9 -- | in 20 = € iſt [ r 
log nat. FF osntegralformel, 3.), alſo 2 = 


= . Das Integral fol =o feyn, 





n "ein 2a.log.. 
4 

wenn: # === zei Daher ift == 
= kin 3a log”. 

— 


Da AOL Zac, fo Hk ACH — und 


Quadratur. 1147 
oꝛ.sin 20 =- c* sina,col a. Nun ifl ac. cos a5 
b=c.sina, folglich ift Area ADLM=— «b, log. 


101. Wenn bie Abſciſſen CL oder t auf der 
Afpmptote CS in geometrifcher Fortfchreitung genoms 
men werden, fo find die zugehörigen Klächenräume, wie 
ADLM in arithmerifcher Fortſchreitung. — 

Denn es ſeyn zwey Abſciſſen t und r, fo find 
die zugehoͤrigen Flaͤchenraͤume von der Ordinate AD 


an = ab. log und — ab ‚log — deren Un⸗ 
2 c a X | 
I 27 UN 
ied iſt — — ab — — — )= 
terſchied iſt a (108 > log - ) 
; 7 
= ab log F Iſt nun das Verhaͤltniß t:r ein ges 


gebenes, fo iſt log — eine gegebene Größe, (logarith⸗ 


mus, 6.), und die Unterſchiede der Flaͤchenraͤume find 
gleich groß. Ze 

102. Gregorius von St. Vincent hatbies 
fen Satz fchon erwiefen, in dem Opere geometrico, 
de hyperbola, prop. 109., freplid aus gan; ans 
dern Gründen. Er jeigt auch, prop. 106, daß jwey 
buperbolifche Segmente, die einen gemeinfchaftlichen Ends 
punct haben, gleich groß Yind, wenn die Chorde, welche 
die Summe ihrer Bogen befpannt, die Drdinate zu 
dem Durchmeffer ift, welcher durch den gemeinfchaftlis 
den Endpunct geht, over dieſe Ordinate halbirt. Gein 
Verfahren iſt in der That Eunitreich, | 


Einige andere Quadraturen. 


103. Die Eiffoide iſt eine frumme $inie des 
dritten Grades, deren Gleichung ift =? = (a-x)y", 


118 Quadratur. 

xVx _. x*® 
Ve) Viax—- xx) 

x® ox! 


und yox = — 22 — BEE Var) Aus. u: 


mel, 71., iſt Z =, Ve) +: * 


fi Ciſſoide. Es .- wa 


— — 5 


‚fen f — — V(ax — xx) — 


J 888 x 


lan ” 
Ang.sin verf, —. Alſo if 


2= —* Ang. sin verl,— — (3a+2x)yV (ax-xx). 


. r : I . | 
Die Eonftante ift=o,. Fü x=-aifz =— aa 
| 2 16 | 


| | 
— das iſt 3 Quadranten des erzeugenden Kreis 


ſes, minus dem halben Quadrat des Durchmeſſers. Kür 
x a ift die ins Linendliche ausgeftrefte Area zu dem 


einem Zweige = ; maa — dem Dreyfachen des Halbe 


freifes, alfo die Area zwiſchen den beiden Zweigen und 
‚der Afymptote dem Dreyfachen der Kreisfläche, ſ. (3.) 


‚104. Die Gleichung für die Conchoide iſt 
ze +x) (a— — xx) 

XX 
Bezeichnungen x und y mit einander vertauſcht find. 
In kig. 14, ift AY Die gegebene gerade, oder bie 
Aſymptote, mit welcher die Ordinaren PM parallel find, 
In B ift der Scheitel der obern Conchoide, in D der 


, f. Conchoide, wo nur die | 


Quadratur. 119 


untern, C iſt der Pol, CRM eine gerade von C nad) 

einem Puncte der Sonchoide, auf welcher KM und RN | 
der AB oder AD gleich find, Es iſt AB — a3 
CA=b; AP=x; PM=y. Die Area BPM 
ſey = z. Hier it 02 = - yOx, weil die. Veraͤn⸗ 
derungen von x und Z fich enfgegengefest find, Nun 


ift ydx „rayei dx. 


tiplieire Zahler und — mit Vv — ſo wird 
bxox | Krox aabdx 


V (aa—xx) F V (aa - xx) = xV (aa-xx) 


aaox | ö | 
— —— Nun iſt aus Integralformel, 


54, 49/ Aka _ bv — — 


Man mus 


oZ = 


I xy (aa xx) — - = aa Ang. sin- +- ab x 
2 
EI 


a— V (aa— xx) 


log 


I — — nn. 
ift Const. =- aa Ang - - ’ aar, und fo iſt 


eis cat la — 
1 — av am) 
ra — ng .sin z + ab log - — — 


oder Z = — aa Ang ‚cool — — 


=(ab En x) V (aa - xx) ER ab log . „ah ya, 


— Der Sector BCM der Conchoide iſt 
— — — bb tang ® + ab log. tang (as + — -?) 


Fuͤr x SZa iſt z0, alſo | 


120 Quadratur. 


+ > aaß; den Winkel BCM = 9 geſebt. 





Denn efyceM=u,ftu= * at 


Der Sestor 


bboo 


bb ib 
— oo + aa, 


und uu — 


ſey = U, fo iſt su — = uud = 





ab°9 # 
‚ko © —— = 1229. Es — * = Ödtang 9; 
| Eu) ol or 

A 208 wat, tang (45° + - | = 9), aus Difs 


ferentialformel, 38, 42. Folglich ift 
= -bbsgP + ablog. nat. ig a 4 ;?) 
| + : aap, 
Die Eonfane iſt = & 
106. Es fen in. —— auf AY, F iſt der 


Abſchnitt ABMQ = = : aa sin 29 + 
ab log — -r z 0) 4 aad, 
Es ift nämlich AACR = - bb tang 9, und 
‘ AROM = —* * P.col 9: — - aa sin 20, 


107. Um diefes ntegral durch xauszudrucken, be⸗ 
— man, daß acoſ x; asinp = =V ar); 


‚Quadeatun 121 


und tang Gas fr 9) u — 
x — — —— 
—D—— * x 


metrie, 39.), iſt. Auch iſt IF = Ang, ol * 


Gonioe 


Dadurch wird die Xrea ABMQ = er 


* Vla—a)t ab log “Tree — + 


— aa Ang J — 


Man kann biefes Inteſꝛel au unmittelbar ers 
halten, wenn man den Werth des Differenrials. 8y 
durch x multiplieire, und dann das Integral nimmt, 


; Die Duadratur der Conchoide mit. eireularer Da - 
fis ift Th. J. ©. 543. 'gegeben. 


108. Die Gleichung für die Semnifeata if. 
(xx + yy)”=aa (xx — yy), oder yt + 
(at + 2xt) y* Zar — xt, daher y’ = | 


ve(- a? + *) — {a + 2x"). Die Größe 


ter dem MWurzeljeichen rational zu machen, fehe man | 
2x? als die en eines Duadrats und doppelten 


Products an, m — ar als Die Ergäiyung zu eis 
nem vollftändigen — komme, das iſt, es ſey 


ax’ — zz taz, fo ift v(- ar * 
— = 3, und y’=a — )* — 


122 Quadratur. 
—{e® +az+ 22) =- z (a — 7), folglich" y —“ 
V = az — - zz J. Auch iſt 4x0x = 2202 +. 
‘(a.+ 22), 02 | 
4V (gaz+% zz) 
— Herma = 
(a+ 2z) (a — 2) dz/ __ (aa + a2. — 222) dz 
aVla—zz)  gaV(a—z) 


| adz, und daraus Ox — alſo 








| Daraus ift ydx = Const + - aa Ang kan z . 
a 


| —_ I avyla-— zz) + - zV (a—zz) — 
— a EL 
- aa Ang .sin 
4. a | 

Die Area fange mit x — 0, oder mie zo, 

— 

an, fe ift Const = 2 a®, und 
| 1. a 
Jy%x = p aa — z (a—z) V(a—zz), ein 
algebraifches Integral. 


E — 
Da zz 4az , a2x“ iſt, ſo iſt 2. — — ⸗ a 
2 


+ V (x + z ) wo das obere Vorzeichen zu 


nehmen iſt, damit 2So fey, wenn xo iff, wie bey 
der Beſtimmung der Conftante angenommen iſt. Das 
integral durch x ſelbſt ausgedruͤckt, wird fehr zufams 
mengeſetzt, durch x und y aber noch einfach genug. 


Quiodrafur, 1428 


ar xys 


Es iſt namlich /yox = as — 


109. Eine Curve habe vie Gleichung, x3 -F y8 
— axy, Sie iſt diejenige, welche von den aͤltern 
Analyſten den Namen Folium, foliata curva,. er⸗ 
halten hat, ſ. Folium. In dieſer Gleichung ſind x 
und y auf einerley Art vorhanden, daher ſie in Abſicht 
der Axen ihrer Coordinaten denſelben Zug hat, und von 
einer geraden Linie, welche den Ordinatenwinkel, hier eis 
nen rechten, halbirt, in zwey gleiche und ähnliche Theile 
jerfchnitten wird. Sie ilt in Figur 135. abgebildet. 
Für x find entweder drey mögliche Irdinaren (zwey 
derfelben an der Dvale) oder nur eine, jenfeits der beiz 
den berührenden Drdinaten an. der Ovale vorhanden, 
Unendlich große Coordinaten erhalten das Verhaͤltniß 
der Gleichheit, daher die Afymptote Ts die Aren der 
x und y unter einem halben rechten Wirfel fchneider, 








Die gerade: BAB, welche den Ordinafenwinfel XAY 


halbirt, theile die Eurve in zwey gleiche und ähnliche 
Hälften, 


110. In dem Ynfangspuncte A find beide Eos 
orbinaten — o, und ihr Graͤnzverhaͤltniß ift theils in- 
der Gleichung, ax — yy, theild in der, ay —"xx, ent⸗ 
halten. - Diefes — ——— wenn man * Glei⸗ 


chung die Sorm — —trı= — oder bie ‚= — + 1 


= — T giebt. Die — — gehört fuͤr eine 
x 2 


Parabel, deren Are in die Are der x fällt, die Graͤnz⸗ 2 


gleichung, ayZxx, füreine Parabel, deren Axe in bieder y 
fällt, An der Dvale find nun zwey Sortfchreitungen der Or⸗ 
dinaten, welche fidy in der berührenden DE begegnen. 
In dem Beruͤhrungspuncte E hat die Gleichung, 
y’ — axy-+ x⸗ o, zwey gleiche Wurzeln y. Ver⸗ 
gleicht man fie mit der cubifhen Gleichung, die zwey 
gleiche Wurzeln p, p neben der dritten q hat, dieſer 


124 Quadratur. 


naͤmlich, y—(2p +q) y + (pp+ 2pq)v — 
ppqg = 0, (Gleichung, 182.), fo it 2p+q=o; 
pp+t2pg =—ax; pg=—x. Wegen q — 
— 2p ift ax — 3pp, und x —=2p?, woraus x" — 


— | 
- a ift, das ift, in dem Berüfrungspuncteiftax=3yy, 

En 2 
‚und zugleich xs = 2y?, daher auch x" = z ay iſt. 


Don x—oböjuxız u giebt es neben ‚den poſi⸗ 


tiven Ordinaten noch negative Ordinaten an den Zweig 
AS; jenſeits der berüßrenden Ordinate DE nur bie 
an den Zweig AS allein. Zu negativen x hat die Öleis 
hung für y nur eine mögliche Wurzel, (Gleichung, 
69.) . . | 1, 2. 

—111. Die Quadratur dieſer Curve zu finden, fes 


Se man ax — u*y, fo ift, wenn ber Werth von y 
daraus in die Gleichung der Eurve gefeßt wird, x« — 





(a? — u?) u* a® — 6u?) u3 
au — 6us 
alfo yBx = - — Qu, und /ydx = 
za’u® — 3u4 . 2 ax? Is x4 
ee d 8 1 od a - en — 
6a® da ſt N x 3 y 2. y® 


+ Const, Diefer Slächenraum iſt entweder der APM, 
" pder der APN, oder der APL, nachdem man zu der 
Abfeiffe AP eine der drey zugehörigen Ordinaten RM, 
PN vder PL nimmt, Die Conſtante hänge von dem 
Berhältniffe der -verfehwindenpen x und y in A-ab 
wo die Area anfangen fol. An dem Bogen MAL ii 
Die Öränzgleichung , ax — yy, daher verfchwinder die 
Area, wenn x = o iſt. An den Zweige NAT aber ift 
Die Graͤnzgleichung, ay = xx, und iſt der Werth der - 


Duadratiir, 4195 


ur 2. 2 et, | 
Area in Den an — — aa + Const = o, alfo 


Const — — z aa. Kür ben Zweig EMAS ge: 


Nie m Faser ie eye 4 
Hört nun die unbeſtimmte Area, =. wi * 
3... E 4 9 
ax* 
und für den Zweig EAT bie * — ae 
1 x+ 1 | . 
— — — —— aa, 2 N 
2 gr ; ! | 


112. Das Segment über der eboce AM it 
= a das Gegment über der Eborde AN ft = 


* 


Denn es iſt das Dreyeck AMP = - xy. Die 
ſes von der Area APM meggenommen bleibt übrig das 
Gegment AMA = = (gaxy — gx6 — m? 2 
ax® 
— Das Segment AL iſt auch Fr » wo, 
aber y einen andern Werth bar ‚ al& die Ordinaten in 


Das Segment über AN iſt das Dreyeck — 
vermindert um die Area APN. Es iſt alfo — x 
—— 6y 


Gy — —D are) 


=. (xy — ** =, Dieraus ethellt Be 


126 Quadratur. 


Richtigkeit deſſen, was Huygens von den ı Segmenten 
angegeben bat. (3) . 

113, Die Area der Ovbale iſt == aa, Denn 
in dem Außerfien Puncte E, wo bie Ordinate DE ei⸗ 


2 
ne beruͤhrende iſt, iſt x? — 7 ay, alſo das Seg— 


ment AME = Zi Es ift daſelbſt auch ay=3yy, 


alſo das Segment ANE = * aa, halb ſo groß als 


| | I | 
AME, und beide Segmente zufammen — 7 3, wie 


Huygens gefunden hat. (3) 


114: Man verlege die Abfeiffen auf die gerabe 
BB, weldhe den rechten. Winfel XAY halbirt, ſetze 
AQ = t, und die darauf ſenkrechte NO = u. Da 
BAX = 45%, fo if, (Eoorbinaten) m=4 und 


'n nn. . 
p=n=rfm-=-— = coſ 1 

| m 9 
ER ae 
Huvz= x, und —8* Gay Daraus . 


folgt x? + 3 * @ + ztu?) v: — und axy = 


—a(t — u) Denmach iſt CE. + 3m) v2 


tvVa— t v2) 
va 3t v2) 


— a (vr — u), und u 


Quadratur. 4127 


- Man feße. a — t vs ir fo iſt * 
—(a — 2°) v2, und Ot = 2022; auch ar 


a md — 2°. Dadurch iſt 
‚zı.(.a— 2*) ©2 oz 


Viga — — — 

248027 =. Ki N 

Es v5 -- = V (a- 329) 
+ af —— — * 2) Dutegralformel, 61.). 
Daher iſt | | 

Just = — — = z5: V’Caa — 3) * Const N 


2 


udt ⸗ — 


=Const - — — = (a-1y2 2 2; 


(a + st ya)*. Sir 
t—ofen — ifConst — a, - Die: Sänge 


be Durchneſerr Ac = — = av; 2, da u — o if, 
gi 

entweder für t= 0, Ober m wa — Alſo iſt 

die Area ANG ode Ame = = a®, : und. die Flaͤ⸗ 


he der ganzen Ovale = 4 a 


2155 Dem t — — „= — AF genommen 
wird, fo iſt u unendlich groß, alſo ‚gebt die Aſymptote 
duch F. Die ganze, ins: Unendliche ausgeſtreckte 
Area zwiſchen den Zweigen AS und AT und ber 


2 
Aſymptote iſt * = at, F: — pP die Drake, wels 


128 Quabratur. 

hes mrtkwirdig genug iſt. Die Cutde verdiente wohl 
eine nähere Betrachtung . | ; 
116, Joh. Bernoulli handelt von diefer Eurbe 


in. den Lectt, Hospit. IV. Er hat die Cönftanten 
für die Areas APN, APM nicht beygefügt, verbeſſert 
aber dieſe Weglaſſung auf andere Art. Seine Rech—⸗ 
nung ift hier theils Fürzer und bequemer gefaßt, theils 
auch erweilert. — ng 2 


117. Die Gleichung für die Logiffica oder dos 
garithmiſche Linie iff y — e*a. In dem Arfifel von 
derfelben ift die Differentialgleichung für fie gegeben. 
Die gegenwärtige endliche Gleichung ‚zeigt an, daß 
die mnneriſchen Werte der Ordinaten y in geometrir 
fcher Progreffion fort gehen, wenn “die Abſciſſen in 
arithmetiſcher find. ‚9. die Werthe’o, I, 2, 3, 4, 
2. etc., von x hat y die Werthe a, ea, e*a, e’a, 

\ * 
aloge 


(Differentiatgleihung, 52.), alfo die Area eines Abs 


o.», % 





'eta, eto. Es iſt yox = ae”dx, und erdx 


fehnittes der logarithn ſchen Linie, ydx = — 
— —* am dloge | 


Const, wo bie natürlichen Logarithmen zu: verftehen - 
find, & abet nicht die Baſis detfelben zu feyn braucht, - 
fondern irgend ‚eine Zahl feyn mag. Die Conftante _ 
hängt von dem Werthe derjenigen Ordinate ab , bey” 
welcher der Abſchnitt anfängt, . — 
irg: Die Flaͤchenraͤume beziehen ſich hier auf 
dad Quadrat einer Linie, die als Einheit für a, x, y. 
afigenommen wird, indem e eine bloße Zahl ift und 
bleibt, Die logarithmiſche Area enthaͤlt dieſes Qua— 
drat ſo oft als die Zahlgroͤße - e 3 Const. die 
| Einpeit enthält, Um diefe Area durch die zugehoͤrien 
| — i⸗ 





BR Quadratur. | 129 


Linien ſchlechthin auszudrucken, ſetze man u dem 
Quadrate der Einheit, welche am einfachften a ſelbſt 
it, den gefundenen numerifchen Werth der Area. 

Factor. Dann bezeichner ay die Ordinate unmirtelbar, 
und aay das Rechteck von dieſer Ordinate und -a, fo 
wie Const . aa ein gegebenes‘ echte. Die“ logas 


. a * 
rithmiſche Area iſt nun — — EConst. Faͤngt 





fie fir xXo, oder y—= aan, fort fer. 
Er Ä R .log e 

IE | — 
Fangt fie für y Sb an, pie = — 
- | |  dJog ee: * 


yox 


dy 


— und die Area iſt gleich dem 


Rechteck von dem Unterſchiede der Ordinaten und der 
Subtangente. SS 


II. Da die Subtangente der, Curve iſt, 





. fo ift diefe = 


* \ 


120. Die Brennlinie des Kreiſes für 
parallele Strahlen fey das Teste Beyſpiel einer Qua⸗ 
dratur. Es ift dazu Fig- 62. Tab, IV. zum erſten 
Theile noͤthig. ‚Die: zurückwerfönde Linie iſt der Kreiss 
quadrant DMB. auf welden die Strahlen, wie PM, 
parallel mit AD cuffallen; die Brennlinie ift FSB. 
Der Mittelpunet des Kreiſes ift A, der. Halbmeffer 
AB =a; die ECoordinaten an den Kreis find AP—x; 
PM = y; und die Öleidhung iff, aa = xx --+ yy. 
Die Coordinaten an die Brennlinie find AT—=t 


A  & —— a — 
TS—=u Es tt=—;u m a) y 
a 


2aa 
a | aa EOXK 
(Satacauftica, I 0.), oder u — * — V (aa * xx), 


S 





‚450 | Quadratur. 


Naun! iſt ai dt alſo int — ex 





wa, öx. 
Bus Sntegralformel, 09, 57, 49, iſt — 
7* (end * dx =—-7 a x’y> + 
* (arg) . -dx — (a — x) 8 dx * 
ee ı z | 
* * xy⸗ — | (ae x)? Ox; 
Lu R > X 
{a8 — x2)° 9 — — —— a 
Fe : 2 — ER — XX) 
N a a Ey + _ a Ang. Pr: 
mo jur Abfürzung y fir V (m — >), gefegt ft 





‚ „Daher, wird- | | 
| 2 + 2xx) xy5 3. 88 
face = — — T 3 xy+ 


| 2. aa — sin + Const, Bern bie: Arc für x=0o | 
anfängt, fo: iſt Const. — ==. 0% ‚Kr x — a if y= 6, 
und der Werth des Integrale, rat, d. i. die Area 
der Brennlinie AFSBA ‚dreymaßl fo sroßr als die Si 
de bes Kreifes, deffen Durchmeffer — —azıarK il 
oder drey Duadranten AFK gleich. 


Aus dem Vorigen folgt, daß der Rum SBT= 


(zaa + 2xx) x 3 333 4x—Â 
— — — — 2x* — aa Ang cof — 
44* 8 + 8 * a 


BE | 131 


aa 2x 3 
Das — SMBTS ift —— 
Ze 1. — — — 
— 4 — Ang, coſ PR Denn es ift dem 
Trapezium TSMP und dem Gegmente PMB zuſam⸗ 


MP | 
mengenommen . gleich. Jenes iſt —— x TP 


ae ee 2:7 x | 
en +). ) 


ut (zaa + axx) w x — AR _ (Ga axi; a 
E „at 4a* — 
Das Seznent PMB ar iſt det Seetor AMB mis 


— *8. Daraus ergiebt ſich das von der Chorde 
8M und den Bogen des Kreiſes und der Brennlinie, 
BM, BS, begrängte Trilineum BSM = 
za Ang.coſ m xy ‚oder. dem vierten Theile 
des Segments PMB gleich. — 

In Fig. st. | Tab, II, 36, J. iſt AMB der 
Kreisquadrant, deſſen Halbmeſſer CA oder, CB = a, 
— die Brennlinie deſſelben. Nimmt, man HB — 
— Ch, und in beim, ‚ah HB als Durchmeſſer beſchrie⸗ 
En Kreiſe die Ehorde BR = ME, ſo iſt, weit 
ME = I Mei a chord. 2 MP; und 


132 | Quadratur. 


HB=— — DB, das Segment BkK dem der Chorde 
2MP jugegbrigen kleineren Abſchnitte des 
DAB ähnlich, folglich das Segment BkK = — Die: 


fes. Abfchnittes oder F des Segments PMB. Daher | 


das Trilineum BEMB = 2 Gegm. BkK, und der 
ganze Naum BFAB = 2 NHalbfreifen BKH = 
Kreisflähe BKHB, wie in dem Art, NN 6, 
angeführt ift. 


121. Die Duadratur ber — und der Epi⸗ 
eykloide, wie auch einiger chkloidiſchen Abſchnitte, iſt 
ſchon bey der Unterſuchung dieſer Linien mitgenommen. 
Die Brennlinie des Kreiſes fuͤr parallele Strahlen iſt 
eine Epicykloide, fuͤr welche der bewegte Kreis den 
Halbmeſſer des ruhenden zum Durchmeſſer har. Hier 
find die Ordinaten parallel. Bey der allgemeinen Bes 
trachtung ſind ſie aus einem Punete gezogen. 


Die Quadratur der Sinuslinie und anderer geo⸗ 
metrifch n abbildenden Linien iſt in dem Artikel, Linie, 
abbildende, gezeigt. — Die Quadratur der Spiralen 
“wird in dem Arfikel, A: vorkommen. 


Annäperunge- Methoden. | 


“122. Wenn bie Ordinate yſich nicht durch eie 
ne: Function von x ausdruͤcken läßt, oder x und &x 
nicht durch y und 83 auch 'wenn Jydx nicht inte: 
grabel, und wenn .die Curve nur eine empiriſche iſt, an 
welcher die Ordinaten zu den Abſciſſen durch Beobach⸗ 
tung beſtimmt worden ſind, ſo muß man die Area in 
Trapezia mit einer krummen Seitenlinie zerlegen ‚ und 
dıefe Theile mic dem erforderlichen Grade ber Genauig: 
keit zu berechnen ſuchen. 


Duadratun 433 


123. Es ift CMNS (Fig. 16.) eine ſolche Cur⸗ 
ve, ihre Abſciſſenlinie AX, die Anfangsordinate BC, 
ein paar andere PM, QN. Die Abfciffenlinie werde 
in mehrere gleiche (ober auch in ungleiche) Stücke gerheilt, 
dergleichen PQ eines ift. Durch jeden Theilungspunct 
jiehe man die (fenfrechten) Drdinaten, wie BC, PM, 
ON. ‚Die fo entftehenden vierfeiigen Näume, wie 
PMNOQ, jind nun aus den gegebenen Ordinaten und 
ihren Abfkänden zu berechnen. — 


124. Man betrachte jeden Bogen dee Curve, 
wie MN, als zu einer Parabel gehörig, deren Are in: 
der Abfeiffenlinie der Curve liegt. Durch die beiden 
Puncte M, N find, der Parameter derſelben und ber 
Scheitel beftimmt.. Es darf Hier aber, wegen der. 
Beränderlichfeit der Parabel, weder ihr Parameter noch 
eine Abfciffe in Nechnung Fommen, Die Abfeifie bes 
ieht fih hier auf einen firen Punct A, an den Para 
ein. würde fie für jeden Punct ſich auf den veränders: 
lichen Scheitelpunct beziehen, | 


125, Es fin AMN (Fig. ı1.) eine Parabel, 
auf deren Are AX zwey Abſciſſen AP, AQ genoms 
men find, wozu die Ordinaten PM, QN gehören. 
Man pe AP =x; PQZ= Ax, PMZy; 


ON = y-+ Ay. Es ift Ara APM = a3 


Area AQN = (x + Ax) (y + Ay) und das 


krummlinichte Viereck PMNQ = „ (ya + xAy 
23 Ax . Ay). Hier muß x mweggefchafft werden, 


126. Es iſt x: x + Ax = yr:(y+Ay), 
und daraus x 3 Ax.— y’: (ay + Ay) Ay, alfo 


y’Ax 
xAy — —  Diefie Ausdruck werde in eine 
2y + Ay * 


134 | Quadratur. 
Reihe verwandelt, ſo iſt 
a N 
xay= (> y— Ay +2. — ax, 
y =. 
Folglich iſt das kannt Bit. | 
—— — AyAx — — — 
| + eto, 
Hier if das — Stud das Rechte PMRO, das 


zweyte das Dreyeck MNR, das dritte mit dem re 
das Segment MN, 


Nach dieſor Jermel 6 berechne man jedes der ge⸗ 
miſchtlinichten Trapszien an der vorgegebenen. Curve; 

Es iſt dazu nicht noͤthig, eine Gleichung für, die derfels 
ben fi) nähernde parabolifhe Linie zu fuchen. 





127. Erempel. Es fen CMS ein Rreisogen, 
in welchem PM der Ginus von 45°, QN der Sinus 
von 55° für den Ginusiorus oder Rabius — == 3% 
Der Kreis wird hier mit einem beträchtlichen Abftande 
der Ordinaten genommen, um von der Genauigkeit ku 
Metgope fiherer uerheilen zu Fönnen. 





PM = opener 1 Ay = 0049993 
::,QN = 0819152 Ä Dar 22 
Ay Z 0,112045 \Ly = 9849485 
Ay = 0.056023 H.ız. = 1079181 
z Ax =  0,133530 lLAysr2y = 7170118 
= — — — 1. Factors — .9,8834409 

2 — 764609 ,Ax = 9,125579 
4 9,009019 


/ Area PMNQ = 0,1021 .. 
Das Segment der swifhen den beiden Eis 


aus ift = sector 10° + = sin-45% . lt 


' 


J 


— 183 





ı = | 1 — ii 
— sin. . 55° cof = — sector‘ ‘100. + — — 
2 4 adꝛu⸗ 
RB: ; ur 
— sin 70° * 
4 —J * ei | s 9 

sector' 10° == ,0,087266 — 
1 EL. a 
- = 0,25 
4 
— 1 = — — * j 
— — sın 70° _. m 0,234923 si 
u egal; = 0.102343 at 5 
Ay’.Ax 


128. Die Berehmung der Eröänsung — 
macht etwas Muͤhe; doch wird ſie oft nn 
A 112 

werden tdnnen/ da * meiſtens. verhaͤlnißmaͤhis febe: 


Flein feyn wird, Man Fann diefes immer ſehr Teiche, 
beurtheilen. Bey diefer Nechnung iſt man an feine, 
Berhältniffe der Abitinne beifern. b den ——— au 
bunden. } 


‚ 129. Da man einen nicht dh Bogen einge‘ 
Curve als eine parabolifche Linie betrachten. kann, pon, 
der Som y—= A + Bx + CX + Dx’, + etc, 
und diefe fich leicht quadriren läßt, ſo fuͤhrt Diefes auf. 
eine allgemeine Merhode der Duadritung. Giebt man 


bx — 
der Gleichung die Form, y = A+ a + 


1.4 





+ — — 4 ete. ſo And a, b, 


1.2:3 
ec, etc,, die Anfangsglieder der Difirenreiin f 
Einfchalten, 64 


130, Mewron hat diefe Methode vorgefchlagen, 


136 Duadratur, 


in der Methodo äifferentiali, Prop. VI. giebt aber 
nur eine einzelne Formel, -öhne die Rechnungsart zu. 
entwiceln. Es ſeyn vier Ordinaten in gleichen Abftän= 
den gegeben; die Summe der erften und vierten. ſey Az 
der zweyten und dritten B. der Abſtand der beiven 
- Ru R, fo ift bie ‚Area zwiſchen den beiden äußern 


ZaH+ 3) 


131. Cotes wurde Such die . Zierlichfeit des 
von Newton aufgeſtellten Reſultats veranlaßt, daſſelbe 
weiter auszudehnen und Formeln fuͤr die Area aus 
drey, vier, und ſo fort bis eilf von einander gleich weit 
äbftebenden Ordinaten zu berechnen. Dieſe giebt er 
am Ende der Abhandlung de metliodo differentiali, 
aber auch ohne das Berfahren anzuzeigen, wodurch 
ex ſie gefunden hat. Er bezeithnet, wie Mewton, die 
Summe der eriten und legten Ordinate durch. A, der 
zweyten und vorletzten durch B, "der dritfen von 
den beiden Außerften abgezäblt durch C, und fo. fort; 
durch den legten Buchſtab jeder Formel aber die mit- 
felfte aller Ordinaten, wenn die Anzahl derſelben unge⸗ 
trade ift, die Summe der. beiden: mittleren hingegen, 
wenn die Anzahl gerade iſt. Der Abſtand der beiden 
Außeriten D:dinaten oder die Bafis des zu quadriten— 
den Flaͤchenraums nennt er mit Newton R. Fuͤr die 
vorgeſetzte Zahl der Ordinaten iſt nun die Aree 


3 — (A + 4B) R 
A — u + 3B) R 
5 | — GA 32B + i2C) R 
. | 9 — 
6 | — (194 + 75B + 500) R 


Quadratur. 437 
| J 


m == * * 2ı6B. + 27C + 27:D) R 





I 
8 | — "ersıa * 7 + 15230 
17280 _ 
+ .2989D) R 
| — — 

9 — 5* (9894 45888B- 928 +10496D- 
wi — —— ' 4540E) R 

10 er „ (ass 4 15741B 3 10800 
I + 19344D + 5778E) R 

11 — — (16067A + r06300B— 485250 


‚539875 2 
| + 272400D — 2605508 
+ 427368F) R 


Wie bie Formein — werben koͤnnen, iſt 
in dem Artikel, Integralformel, 15 1. Th. III. S. 883- 
gezeigt worden, wo auch die Formeln bis zu dem Falle 
von ſieben Ordinaten mitgetheilt ſind, nur muß man 
um die bier 9 an Formeln zu erhalten, die dorti- 
gen Bejeichnn gen in die hier angenommenen uͤber⸗ 
tragen. So iſt z. B. in die Formel für die Area 
aus fieben Drdinaten ft A + G,B+-F,C+E, 
beziehungsweiſe blos A, B, C, und ſtatt des Factor⸗ 


6 
— weil der Abſtand der beiden außerſten Ordinaten 


dort = 6, hier — if, - — R zu feßen. 


132. Gtirling Sr in — Schrift Metho- 
dus differentialis- p, 146. von Eotefens Formeln , 
bloß die, durch welche die Area aus einer ungeraden 
Anzahl von Ordinaten beſtimmt wird, ‚doch nur bis zu 
"dem Falle von. neun ‚Drdinaten, und. gleichfalls ohne 


16 Quadratur. 


Verweis, wiedergegeben, Cr fett dazu noch eine Cor: 
-rectionstafel, in welcher P die Summe zweyer Orbinas 


ten ift, welche in dem ‚gemeinfchaftlichen Abftande der 


übrigen Ordinaten ; die eine vor der erſten, die andere 
nach der legten, jenen beygefüge find, 


learn 
RE 15B — 20C) R 
479 . 2 234 PR . 
7 — (84 + 288 — 560 + 1cD) R 
en“ 


91. @ — 0A +B- — 120C + 210D 
| 1600 . 
| | Ä — 252E) R 


Die Correction ber Area findet ſich in dem Falle 
dreyer Drdinaten ſo. Es ift bey 'hinlänglicher Entwis 
ckelung für x — 2 (Sntegralformel, 151) 


Dekra bg dl + eic. 





Die aus Dr Orbinaten beftimmte Ara * 44 6a +b) 


iſt folglich ohngefaͤht um = d zu — | Setzt Pr 


in den Gfievern A, B, C, noch bie beiden ‘A, C’, 

jenes vor A, diefes nach €, in bein Abilande = ı, 

fo iſt (Arithm Reihen höherer Ordn. 2) 

| d = 0 440,4 6B — HAp A 

alſo 

au her © +68). 
Nach Stirlings Vezeichnungsart iſt P ſtatt 

A4CC und A Bat) A + C ’ju fegen, Überdies 


Quadratur. 137 
iſt der Abſtand der Ordinaten A und .C, : iweldjer-bep 
ber Formel 2 ifl,. nad — R,;alfo En = 


ah Dadurch wird · — d =— (P4A 4 


6B) R. Die uͤbrigen —— werden hei 
äßnliche Art gefunden.’ Die Brüche in der Tafel‘ * 


If w find nur gend erte. Der Bub, * 
* we fi gend 270 


an ER 

e 945 4723. 
ſelbſi ſi nd ſubtractib, alſo additiv, wenn fie verneint wer⸗ 
den. Mau berechnet und gebraucht von ihnen nur die 
boͤchſte Decimalziffer, und iſt alsdann ſicher, die Area 
bis. zu der Decimalſtelle, auf. welche; jene Buffer der 
Correction reift, richtig zu erhalten. 


Die Correctionen 





Berechnet man. uch den. Fehler der Formel fie: 
die — aus vierOrdinaten, fo findet ſich, daß die rormel ohn⸗ 


orfäße 2 — — zu viel giebt. Die Fehler der Formeln 


für bie a) dk drey und aus. bier Ordinaten fallen 
alſo in dieſelbe Ordnung der. Differenzen. Um das 
Verhaͤltniß der Fehler zu finden, druͤcke man zuerſt die 
Atea als, ein Rechteck, deſſen eine "Seite die Baſis des 
re it, aus; fo it bey drey Ordinaten die 


un (IH — = — a) klbey vier 
180 | | 


* * 


B- 
er 54 = 23 a R, Es iſt aber Adas Ana 


ni der vierten Differenz-Neihe, alfo in (Differen⸗ 
gen : Nechn. 48.) At .fx, wo fx die Ordinate der 


140° Quadratur. 
zu quadrirenden — iſt. Nun iſt bey drey ee 
ten das dortige —— R, bey vier Drdinaten.u = = R, 
daher in jenem alle. das erite Glied von .A% — oder 


4 
d= 245 (Zr #7 in biefem 246 (= R). . 


Folglich verhält ſich der Fehler der Area uͤber derſelben 
Baſis * drey en zu dem bey bier Ordinaten 


wie 7 (= )* Fa >(2): — 4 alfo der 


Fehler bey vier Ordinaten etwa halb fo aroß als der 
bey drey Drdinaten. .- Eben fo finder fich, daß der gr 
ler bey fechs Ordinaten von derfelben Ordnung der Difs 
ferenzen und Faum Halb fo groß ift, als. der Fehler: 
bey fünf Drdinaten. Der Grad von -Genauigfeit, den’ 
man bey Anwendung einer geraden‘ Zahl von. Ordina⸗ 
ten erlangt, ift alfo nur unbedeutenb oder faft gar nicht: 
größer, als der, ven man erhält, wenn man die naͤchſt 
niedrige ungerade Anzahl von DOrdinaten gebraucht, 
Das iſt der Grund, warum Stirling nur die Formeln 
für eine ungerade Anzahl Drdinaten angeführt — ob 
er gleich ſolches ſelbſt nicht ſagt. 


133. Stirling. giebt noch eine e Tafel ee die Als 
chenräume durch die Differenzen gleichweit von einans 
der abftehender Ordinaten bey -einer ungeraben Anzahl 
derſelben. Es fey A die mittelſte Ordinate, B bet. 
zweyte Linterfchieb der drey mittleren, C der vierte Lins 
terfchied der fünf mittleren u. ſ. f&5 fo find die Flaͤ⸗ 
chenraͤume nahe gleich dem Rechtecke aus der Grundli⸗ 
nie oder dem, zwiſchen den aͤußerſten Ordinaten enthal⸗ 
tenen un der Abſeiſſenlinie in — e, fölgenden Größen, 


Ce) ‘ 4 


Quadratur.- 141 


I 


A+ zB 
la Beten 
3 90 5 
3, IL... 4X 
ABLE r—D 
7 re — — 
rg 86 92 3 
r- —B — D+-E 
iz — ur ur? * 5 
28%: 175. 3445 
.—B C D 
1\Aar 6 r 36 * 1512 
0242045 94 
— E F. 
33 922 3503 


Die Formeln find im Grunde einerleyg mit den 
vorigen, und werden leicht aus denſelben abgeleitet, 
Ihr Vorzug vor diefen beſteht darin, daß in ihnen 
die numerifchen Confficienten Eleiner find, als in. jenen, 
Aus der Convergenz der Reihe A, B,C,D, ... be 
urtheilt man übrigens den Grad der Genauigkeit, wel⸗ 
cher durch die angelsandte Formel = wirb.⸗ | 


134. Maclanrin giebt in dem Treatise of 
Fluxions art. 830. und 832 zwey Ausdrücke für vie 
Area syox — A einer Curve durch die Summe gleiche 
weit von einander. abftehender Ordinaten. Es fen w 
der gemeinfchaftliche Abſtand der Ordinaten, I die Sum: 
me aller Ordinaten außer der legten, a ber — 
der letzten Ordinate über die erſte, B, ö, 4, 


dy — as 
die Unterſchiede der Werthe, welche a 575 
* — — fuͤr die letzte und erſte Or⸗ 
— | | | 


dinare haben, fo ift nad) der erften Formel 


1422Quadratur. — 
A= (= +7°) w Bat + — dan 
u 20° + SEE 


30240 1209600 


Das Gefeß, welches die Eorfficienten ‘ befolgen ,' giebt 
Maclaurin Art. 828 an Die Formel folgt leicht dus 
—— oder * — keine andere als dieſe 








. Am %Y — 
Bu. ! F} ‚o'y — u 85y 
— — — etc, 
172304 dx}. 23 Er ox?° 


welche in dem Artifel, Gummirung der Neihen, er 
wiefen werden wird, und worin & das Summations⸗ 
zeichen für endliche Differenzen, Ax = w iſt, A, B, 
8... aber die Bernoulliſchen Zahlen find, > 


Es ſey nun die Baſis des zu quadrirenden Flaͤ⸗ 
ſchenraums in n gleiche Theile, deren jeder — w, ges 
theilt, und now — R. Die Ordinaten, welche in den 
Endpuncten · und den Theilungspuncten der Baſis errich⸗ 
tet find, ſeyn yo, yD,;,yd,.... ya), Heißt nun 
der bon der Baſis R, den Ordinaten. yo) und yo), 
‚und dem. Bogen der Curve begränzte Flaͤchenraum Q, 
o i 
— — vo +30 +... yo 
2. — 
(= + YoNZ U Br =) 
on | meh Ox dx 
B R F- 0’ a) 


12.3.4 nn nt O3 00x 


re RE Ey)... DYON | 


+ eic; ne 5 ER k 


— 














Quadratur. 1483 


Setzt man n = ı, und ſubſtituirt für ya wieber 
yo), fo wird-vie e Area bloß aus“ den beiden Kußeriten 
Drdinaren beſtimmt, und * 
(o) BAM. yon 
0 = (—Z + JR — ——Rt., : —— 


7, Ox 9x 

















Det "org | 
” 1.2.3.4 a Er —— dy⸗ ) * 
Schafft man aus dieſen beiden Formeln 
(o 
aR (or > —— 8* 
———— * ee, 
2(nn — 1) 
REN. Rt. a) — Dylo)ı 
— — a Na Tr 
En + T)R® 0°yln) 85y() 
ee 
D : (m +n® +ı)R® ,97ylo) 97ylo)\; 
ee "nn 7— ) 
4 etc, 


ee Sormel giebt Maclaurin Art. | 848. 


135. Setzt man in der letzten Formel ii wur,‘ 
fo Pas die: Area ans drey Ordinaten Sei Er 
0 t | 


© co (1 
=) ee + 4y n_ 











B Day. Ei — 
rw 4 N ax Er 
58 _85y0) 8°ylo) ) 





IaE SE JPEYE mean ( WPRL Gar) Eee > OHR 
— elc ig, 


vr — 


4144 | Quadratur. 


N,“ (Ey C 
wo ber erſte Theil, ERRSEKUCH RB un 


Formel if. 
Fuͤr n —3 ober ber) vier Ordinaten wird 
— rane Tr), 


| 8 — 
8 Rs e- BYE . 
1.2.3.4 9 ox3 ex’ . 
+ eic. 


Hier ift der erfte Teil - ye + yo) T —* 4 yo) „ 


Newtons Formel. | 


Berechnet man denfelben Flaͤchenraum aus drey md 
aus vier ar 2 find die äußerften Ordinaten dieſel⸗ 
y(3) 
ben, fotgtich 2 oe brey Ordinate = 
bey vier, und = — ſich die Fehler, um welche 
die Area zu groß gefunden wird, nahe wieg:4, wc 
ches ſchon oben bemerkt. ift, u 


156. Fuͤr * = 4 oder * fünf Ordinaten wird 
aus-(134) 
8 2% * ya + 3gW + yQ + nz 
50 
Pr R+ m - 7) 


rer: 


14. 4 x 
Fi € Re aM 85yl) 
a PR ö ar ( 0x? 1. 40x° ) 
— etc. 
Berechnet man dieſelbe Area aus den Ordinaten y(0), 
yo, ya fo ift nad (135) 
V 


Quadratur. 146 
_yO Hy Hyd 
ns Ta; 


B Rt id  Dyl ) | 








— mn f} — 





ee 4 ex’ ox3 | 
€ ,5R° ,0yM) yo) ) ‚u 
Teer ge 16 ox’ 0x’ har 


| 03y)  Dylo) | 
und wenn man a (I eliminire 


= 70 + y@)+ 32 (y + y@) + 12y@ 2 


J 90 
CRe foya)  O’ylo 
ae PR: "64 ( 9x3 dx⸗ ) 


— etc. 
Das erite in R bier multiplicirte Glied iſt die 
Formel von Cotes. Man kann auf dieſe Art weiter 
gehen, und noch mehrere der Coteſiſchen Formeln ab⸗ 
leiten, und zugleich beftimmen, um wie viel jede ohne 
gefaͤhr fehlt, | | 
137. Die zweyte der von Maclaurin gegebenen 
Sormeln finder fich fo. Es feyn zuerft bloß drey Dis 
dinaten yo, yld, y@); fo ift nach der erſten For— 
mel in (134) die Area 


Q = — yOR+I HA +YD@)R - 
4 | | | 
A R® oy(2) 7.) 


‚na sa \0x OK V 
B Re (ayD yon 
1.2,3:4 ' 24 (>: Zee dx ) | 





‘ ⸗ 
1.224.6 20 8* ox° 


C R® o’yl2) yo) 


146 , Quadratur. 

Aus den beiden äuferfen Ordinaten aber iſt 
=, Ga + 0) R 

&@ —— 


— 














F DE O1}. Pr 
— . 4 — — — 
er 2 (35 8x ) 
€ 9:y2) — 
— 6 
vr Ge Pen 


folglich durch Elimination von yld + yl2 
BoD an 0 








| = 50) R 
vr ’ * 1.2.3 . oxX Ox 
= 3x 3 
= (23-2 1) B Rs C y> 8 u 
12.2.3.4. 23 0x3 Ox3 
fa3_ 2 © 
3 ma: nn Re — a — ELC, 
J—— 3x5 —2 | 


Es fen jegt die Baſis R des zu quadrirenden 
Flaͤchenraums in eine gerade Anzahl "= 2n — 
Theile, deren jeder — w, getheilt, ſo daß R= 
Die DOrdinaten, welche dem Anfangspuncte, den Their 
lungspuncten und dem Endpuncte der Baſis entfpres 
chen, feyn ‚nach der Neihe yo), yD, yd....ya9. 


Man berechne nun die Slächenräume, melche über jes 


dem nten Theile der Baſis — 2w flchen, ans den 
mittlern Ordinaten y(l), y@), y(ö).. ,, y(2u-1) einzeln, 
fo giebt ihre Summe den ganzen uͤber ver Sun R 
ſtehenden Slächenraum, Nennt man ihn, wie vorher, 


R 
O, fo wird nad Subſtitution von z flatt © 


0= 2 + y@D + a 
Menke ee 


— Yu R® a er) 





+ 





1.2.2. "nm: \ x x 
— 302 3 
————— 9 
1.2.2.4. 23° 2» X 35 0x3 


(@3—i)E R® 95y (2%) d5y 0) 
1. 2..6. 28 ns \ 8x3 — x 


Diefes it Maclauring zwepter Ausdruck. 


)ete⸗ 


— man die Area allein aus der mittelſten 
Ordinate y6), fo wird 
ya) „_dyo), 


= _ 
u) R 
aZy@R+ ——.R? Nez — 





1m. 2.4.23" F — 

(a? — 1) C — o 
— — . ns — Ye BHO, 
12.30.23 FEIERN Eu 

— Oy(2n > (0) 
ind durch Elimination don anı( I * 
FR Ox Ox 
ZI 4 y6 HIHI, 
= Ir — Be * R 


R να -93ylo) 
1.2.3.4. 23 "n2 ox? — ) 

Ss 1)E (n2+ ı)RS /Osya) BSylon 

= >, ( ur) 


Er etc, 





i8. En S 2, il fünf Ordinaten, fa 
giebt die zweyte Formel 
—— + y9) — yo) 
3 


R 


146 | Quadratur. 

Aus den beiden aͤußerſten Ordinaten aber iſt 
* GO + 0) R 

re (2 — 


— — — 





8 Sy) diylo). 
4 — — — 
* * 122.34 ii —— Ox3 ) 


C Dry?) 0° * 
——— 5 — ) + ei 
folglich durch re von — 40) 


—ñN 








ya mM) 56) 
= vv) R BI ——— 
eo. Ve 1.2.2 dx Ox 
(232 1) B 4 03yCd) nn) 
. 1.2.3.4.23 Ox3 9x3 
(23-1ı)€ ö 232 ——— 
— et — 
J “ ae "9x3... * 


Es fen jetzt die Baſis R des zu quadrirenden 
Flaͤchenraums in eine gerade Anzahl "= zn gleicher 
heile, deren jeder — w, gerheilt, ſo daß R= znw.. 
‚Die DOrdinaten, voelche dem Anfangspuncte, ven Theis 
lungspuncten und dem Endpuncte der Baſis entfpres 
chen, feyn ‚nach der Reihe yo, yD, yDd .... y2). 
Man berechne nun die Slächenräume, melche über jes 
dem nten Theile der Baſis — 2w ſtehen, aus den 
mittlern Ordinaten yll), y@), y@). ya einzeln, 
fo giebe ihre Summe den ganzen über ver Tun R 
ftchenden Slächenraum, Nennt man ihn, wie vorher, 


| | |  R 
Q, fo wird nad Subſtitution von = flatt © 


Hyd + YO HylnD 
g=mtltr Lehyl 


Quadratur. 447 
ana Rey 
’ 1.2.2.0 \0x —) 
@ "—Dd) Rt 93,0) — 
re 
(23 —i)E R° ya) dsy: 5 
er 6.23'n0 \ dr 0x 3 )-eta 


Diefes it Maclauring jwepter Ausdruck. 


deren, 


— man die Area allein aus der mittelſten 
Ordinate yl), fo wird 








(2-1) oylan) Hy) 
(n) R — — ö R? — — 
en “ — 1.2. 2 OxX OxX ) 
aD: a EI OR 
1.2.3.4, 23 ' 9x3 . dx3 


(28 — ı)E 9°, (20) 5y(o 


» — — — — 
14.304,29 "aus x ° 





| 8 (20) 
ind durch Elimination don — -77) 
OX Ox 
LO HYD + YO +... + JOH) 
a m — — — * 
nn — ı 
WIND. Rt öryem -dsye) 
1.2.3.4. 23 (Fr — 75 ) 
_@-ı)E mr +ı)RS (Esyan BSyon 
1...6.20°  m4 (= 3 =) 
+ etc | 
138. Es ſey n S 2, ds fünf Ordinaten, ſo 
giebt die zweyte Formel 


| Q — (yir 7 . — yo 





48 Quadratur. 


3v6(4) 3 
+ PER. a ae _ eye * ⸗ete. 
1.2.3.4. 32 0x3 x 


| Wenn n = 3, oder die Zahl der Ordinaten fieben 
iſt, fo wird 
— 42042 — ——— 


78 BB 23yf0 __ B?y@) — 
1,2.3.4. 72 x ICE i 


—Fuͤren — 4 oder bey neun Ordinaten wird 
400 4 y6) + YO + YO) — 
Po KT 15 — 

DB  TRt /yW 03y(o) ) | 

















as —— 0x3 
C 17. 31 R® 0°y(8) 85y(o) 
DEREN 8192 (2 ox° ) 
4 etc. Is 


Diefelbe Area aus den Ordinaten yo), yd, ya, yG., 
y0) berechnet ift | 
J 2 (0) + y6) — y() R 











I: * 
B „R* 03y(3) dayſo) 
1.. 4 32 \ 9% 0x3 
5.17 R® _ u o yo) = 
isch ee ( 0x5 7) rei 


Hieraus wird, durch Elimination von 
| 83)  DyldN 
BR (a * N 0= 





ox? - . x? 
1 —— — mern +y() x 


C Ro 88y00)  95ylo) 
— 2 G ER y rt etc, 
ox? 





1.6 2008 ox3 


Quadratur. 4498 


Auf dieſe Are kann man" weiter gehen, und: bey 
einer größern Anzahl Dtdinaten immer mehrere von 
den Größen | —— 


y 95y(0) 8sy220) 85y(0) 
— R+ — — — — — 
* ( OxX Ox ® | ( 0x3 9x5 


u. f. w. ausfloßen. 


139. Iſt die zu quadrirende Curve durchaus ge⸗ 
gen die Abſciſſenlinie Hohl, fo iſt ver. in R. multiplie 
eirte Theil der erſten Formel in (134), nämlich 


— | Ä R 
(2 gerry) Hy + 0 ++ yon )n. 


die Summe ber eingefchriebenen -Zrapezien, beren jes 
des zwey nächfle Ordinaten zur Grundlinie, und den 
zwiſchen ihnen enthaltenen Theil der Abſeiſſenlinie zur 
Höhe hat. Der erfte Theil ver erjten Formel in (137) 


R 
aber, oder (y0 + y6) 4... 4. yQuA 3 wo 


dieglt),y(@3),...nicht mit den dorigen einerley find, druckt 
unter. eben diefer Vorausfegung die Summe der tms 
ſchriebenen Trapezien aus, deren jedes eine der Ordinas 
ten ych, yG, yo)... y@a-1) zue mittleren Grund: 
linie und den Theil der Grundlinie, welcher zwifchen 
der nächft vorhergehenden und nachfolgenden Drdinare 
enthalten ift, zur Höhe hat. Wenn die Curve gegen 
die Abfciffenlinie durchweg erhaben iſt, fo verhält ſich 
die Sache umgefehrt. Jene Ausdruͤcke geben alfo in 
diefen beiden Fäden ein Paar Gkaͤnzen, zwifchen denen 
die wahre Area liegt. Aber auch in den andern Faͤl— 
len, wo die obige Vorausfegung nicht ftatt bat, fon: 
dern die Curve zum Theil hohl, zum Theil erhaben gez 
gen die Abfeiffenlinie ift, wird man durch jene Auss 
drüce.ein Paar Gränzen für die Area erhalten, os 
fern nur der Zug der Curve fonft nicht unterbrochen 








— | 
und * klein genug genommen wird, daß jedes nach⸗ 


150 Quadratur. 
folgende Glied der Reihe | | J 

AR? (oy) oy DR+ (ZZ öy(o) 
1.2n? \ 0x OxX ) 1.2.3.4 n%\ Ox  0x3 ) 


u. ſ. w. in Beziehung auf das naͤchſt vorhergehende ver⸗ 
nachlaͤſſigt werden kann. 





140. Berechnet man unter der Vorausſetzung 
von (137), daß die Baſis R in 2m gleiche Theile ges 
theilt fen, Die einzelnen Flaͤchenraͤume, welche über jes 
dem nren Theile. der Baſis ſtehen, aus den beiden den 
Endpuncten, und der Mitte defjelben entiprschenden 
Ordinaten, und nimmt folche zuſammen, fo wird, wenn 
man die Summe der äußerten Ordinaten oder yl? + 
year) A, die Summe aller den ungeraden Therlungss 
puncten der Baſis zugehörigen Orvinaten pder yiı) + 
y2 + y9) +....+ye2 = B, undde Sums 
me aller den geraden 55 er ai entfprechenven 
PR ya ya Hy HD G 
etzt, | 





6, u | 
B- R+ 7 iylm) Sylo)\ 
1.2.3.4 4n® ( Ox? Ox3 
uhr she ray) 950) 
TE Ton Kor = 3) 
„— ei ” 


—— 


Die Formel Q = = 

a ee i ER wo N nm der gleichen 
3 on 2n, | 

Theile ver Baſis oder der Abſtand je zweyer naͤchſten 

Ordinaten iſt, ift von Thom. GSimpfon in feinen 

Mathematical Dissertations angegeben und empfoh⸗ 


len worden,  $alande har fich ihrer zur Beſtimmung 


A+ı4ıB +20 R 
— 


Quadratur. 4151 


der beiben erften Coefficienten in der Entwickelung von 
(h— cost)” für gewiſſe Faͤlle bedient. Man ſehe deſ— 
fen Aſtronomie, Tg. III. Nr, 3660 ff. Sr 


141. Die Formel für die Area aus drey Ordi⸗ 
naten, worauf die eben - angeführre 

_A+4B+:2C R 

N 6 on 
beruht, läßt’ fih auch bequem durch die Geometrie fins 
den. Es feyn PL, QM, RN (Fig, 17) drey gleiche 
weit von einander abſtehende Ordinaren einer Curve. 
VU, Betrachtet man den Bogen LMN als zu eis 
ner Apoloniſchen Parabel gehörig, fo muß, weil diefe 
durch drey Puncte nicht beſtimmt wird, noch eine Be⸗ 
dingung hinzufommen. Man füge alfo noch hinzu, daß 
M, der Sceitelpunct eines Durchmeſſers MQ durch 
M fer. Da nun MQ die Chorde LN in q halbirt, 
fo halbirt fie auch. jede andere der LN parallele Ehor« 
te (Parabel, 12) und die durch M ver LN parallele 
beruͤhrt die Parabel daſelbſt, indem bier die beiden 
Durchſchnittspuncte der Chorde mit der Curve in eis 
nen Punct fallen. (a. a. D. 13). Die verlängerten 
PLAN fchneiden die berührende in p, r, fo ift der 


parabolifche Abſchnitt LMNL — - LprN, oder 


doppelt fo groß als die Slähe pLMNrp (71.). Wir 
haben nun drey Slächenräume, das Trapejium PLNR 
(= die parabolifhe Area PLMNR (=D) und 
das Zrapezium PprR (= ©), unter welchen der Line 
terſched B — A — 2(E — DB) ill, daher 3d — 
264 A. E it A = (PL + RN) PRQ, f. Tea 
peaium, € = (Pp + Rr) PQ = 2Q0M.PRQ, weil 
QM das arithmetifhe Mittel zwiichen Pp und Kr ift, 
Daher ift die parabolifche Area 


B— — (PL + 4QM ++ RN) PQ 
wie oben gefunden worden, 


19 Quadratur. 


Monticla führt (T. III, p.'201) bie geomerrifche 

Herleitung aus Gimpfons vorhin gevannter Schrift 
an, entwickelt aber nicht genugfam den Grund, worauf 
fie beruht. Er fagt nur, die duch M mit LN parals 


lele fey eine berührende, und daher LMNL = 
 LprN, | 


s — 
142. Auch Newtons Formel fuͤr die Area aus 


vier Ordinaten gilt eigentlich von dem. Slächenraume 


einer äpotlonifchen Parabel. Es ſeyn PL, QM, NR, 
50 (Fig. 18.) vier von einander gleichweet abftepende. 
Orbinaten ja vier Punecten L, M, N, O einer fols 
chen. Damit durch die vier Punete L, M, N, O 
nur eine Parabel gebe, müffen die finien MN und - 
LO parallel ſeyn. Es fen dies der Kall, fo iſt die dis 
nie. VT, welche durch die Mitten p, q von MN und 
.LO gejogen ift, den Ordinaten PL, QM, RN, SO 
porallel und ein Durchmefler der Parabel, deffen Scheitel 
Viſt. Man ſetze PL=y' ‚QM=y', RN=y’,SO=y"', 
und VT, welde. PS, in T halbırt, = Y; ferner 
ala Zu OR=RS == 3 fo iſt ur 
' “4 
„=Vr-p=er- IL, 
OM + RN. 
; 4 * 
und eben fo 


i . Ho 
v=Y— — Nun iſt 


weil pfT = 


VY.:Vgo= Mp* : Lg? == mg? .Lge 
a =. 0P I PP =4r9 


a 
Sl nn 
2 


d. i. 
N 4 * 
— yY+ry‘ 


De) 


Quadratur. 11188 


y’ RE ( ) 
Hieraus wird, Yo wtm-atr 


Demnach die Area PLVOS 
5 VT 
(TE Ta lu Rer 
3 
— *x 2 — ee 
\ 2 


10 + —* - er * BER 


_y + ylı + 2° er y R 
wR=3w0= PS if. 

Daß die Formeln für die Area aus drey und vier 
Drdinaten, welche Eotes und Newton gegeben haben, 
eigentlich bei einer apollonifchen Parabel Start haben, 
erhellt auch daraus, daß, wenn diefe Formeln in aller 


— 


N 
Schaͤrfe gelten follen, in (135). überhaupt 5 =o 


feyn muß, Dies giebt aber y — — ax: +Px+y 


welches die Gleichung für eine Parabel ift, in welcher 
die x auf einer, auf die Are der Parabel fenfrechs 
ter genommen werden, die y aber biefer Are parallef 
find. 

"143 Die Aufgabe d der mechaniſchen Quadratu⸗ 
ren, wie mau bie bisher betrachteten nennt, läßt ſich 
überhaupt fo abfaſſen. Wenn y die Ordinate x die 
Abfeiffe der zu auadrirenden Eurve bezeichnet , und 
va + Bx + — + öx2° + ex ...ufm 
iſt, fo ift Jy°%, von x S o bis x — — f genommen, 


== a a NH — ſ. w. 
= of 4 BP + : er ruf 


154 R Quadratur. | 
I 1 1 | 
= f — f — — öf3 ... 
te +ZAt-rn He) 
war+—ß+ — et ese die der Afeiffe 
f entfprechende Ordinate 'einer Curve ift, für "welche 
— «4 — px + n yx! + * ÖxX4 —+- ete. 


Es kommt nun darauf an, diefe Ordinate aus einigen 
an.der zu quadrirenden Curve innerhalb der Gränzen 
x = omdx —f in ſchicklichen Abftänden genome 
menen Ordinaten zufammenzufegen, um zu der Berech⸗ 
nung der Area der Coefficienten a, 6, y u. ſ. w. nicht 
zu bedürfen, als welche, wenn die Ordinaten durch die 
Abſciſſen niche im der angenommenen Korm geyeben 
find, zu finden, beſchwerlich ſeyn kann. Sind nun yo, 
ya, ya, yo), .,.ym, die Ordinaten: an der zu. quas 


1 
drirenden Curve, welche den Abſciſſen x = o, = f, 


= f, Zi ... .+ f, wo m, n, pufw>ı find, 


beziehungsweiſe entfprechen, fo laffen fich, weil die Ausdrücke 
für die Ordinaten an der Curve und ihrer Duadratrir bloß 
in ben Zahlen, womit die einzeln Glieder multiplicirt 
werden, verfchieden find, immer Zaßleoefficienten L,. 
M,N, P,.,, R finden, welche Ly(o) + My 
+ NyD2 + ,.,. + RyG mic wem Ausdruce 


@ + = Pf + — Ye + * oͤfa — etc., in mehr 


oder weniger von dem Anfange der Reihe an genoms 
menen Öliedern idenrtifch machen, wodurch alsdann, wo 
nicht ein genauer, doch, wofern nur y fich mit Feiner 
zu großen Abweichung auf bie Form ax + Bx + yx? 
Fr etc. bringen läßt, ein genäherter Werth der Area 
ober von fyOx erhalten wird, 


\ 


Quadratur. 155 


Nimmt man m, n,p... u. f. 10x, willkuͤhrlich 

an, wie wenn man die Abitände der Ordinaten y/o), 
03 u. ſ. w., alle unter ſich gleich ſetzt, ſo laſſen fich, 
iR die Theorie der Gleichungen. lehrt, im Allgemeinen 
die beiden Ausdruͤcke Ly) + Mylı) +...+-Ryl) 


und « + — BF + - Ye + etc, nur in fo viel 


Gliedern identificiren, als man Drdinaten y{o), y1), 
... . y0) genommen hat, Jäßt man m, n, p, u.f.w 
aber unbeftimmt, fo fann man außer jenen liedern 
noch fo vice idntiſch machen, als unbeſtimmte m, n, 
Per. , di, als Ordinaten zwifchen yo und y(") 
eingefchaltee find. Man erhält alfo ben verfelben An— 
zahl von Ordinaten, als in dem erften Falle genommen . 
find, eine größere Genauigkeit, welche noch vermehrt 
wird, wenn man auch noch die Ordinaten in den nd: 
puncten der Baſis yed und y0) ausſchließt, da dieſe 
ebenfalls ſchon —— Ask fien zugehören, 


144 Geſetzt alfo, man waͤhlt zur Beſtimmung 
der Area drey den Abſciſſen x = - f, 5, —f 
entfprechende Drdinaten, y(ı), yO), ya), fo daß die - 


dinate an der Quadratrie buch My() + Ny®9 % 
Py@): ausgedruͤckt wird, ſo — 


y0 4 434 + ‚etc, 
Wer Art ger + etc 


Mar B+ ren 


und man erhält, — man * Ausdruck Myc 4 
Ny) + Py) — - in ben erften ſechs Glie⸗— 


dern mit @ + — BE+ Fr Ye + oto. bergleicht, 


156 | Quadratur. 


durch Gleichſetzung der Coefficienten der gleichnamigen 
Potenzen von f, zur Beſtimmung von M, N, P, m, 
n,p, folgende ſechs Gleichungen 


a 
N P I 
pen 
m n pP 2. 
M N P I 
—— 
m n :P 3 
M N pP ı 
m? n p? 4 
MM. N P I 
—— ® 
2 n p*? 5 
M N pP 1 
ar ie ee —— 
m’: n p 6 


Eliminirt man hier aus je zwey naͤchſten Gleichungen 
P, in den daraus hervorgehenden N, und endlich in 
den hieraus ſich ergebenden M, ſo wird, wenn man 


ER. urn 
m n .p mn ° mp np 5 * 


u — 

4 3 2 

1: 1 — * 

— — — s —t — - 72 0 
J 5 4 3 2 

1 I: 1 1 

zuz5t-t=-u=o 

6.5.04 3 


Aus welchen drey Gleichungen — — t= R 


I 
u — — gefunden wird, 
20: | 


Quadratur. 457 

| 5 TEE SE Ser SE 
rennt man jede der Größen —, —, — ofnellne 
| mnp .. 


terfchied —, fo wird Gleichung, 54.) 


I 3 3 1 
— — — — u 09 
28 27° 5Z 20 
‚ oder 28 — 1222 4 302 — 200. 


Diefe Gleichung hat, wie man bald durch Zerles 
gung des legten Gliedes in Factoren und Subſtitution 
tion berfelben in der Gleichung ſtatt z findet, eine ra— 
tionäle Wurzel, welche it, z = 2. Diebeiden andern 
find in diefer quadratifchen Gleichung Ä 

2? — 102 +10 = o 
enthalten. Sie — noch 





— 5 +Viıs 
1 5*VI3 
Demnach if — — — und — 0er — 


Laͤßt man die Werthe — - der Größe nach auf 
Be mnp Ä | 
einander folgen, fo daß — der Fleinfte, und : der 


größte derſelben iſt, ſo iſt * = Br BI 


10 
I — 1 1 28 * Vis 
na. 2pPp 10 0.00 
; : I L x 
Man bemerke, daß — + — = ı nd — 
m P ‚mp 
Es — 2.8 ’ I FeunG 
— — iſt, wie auch die Gleichung er ar 
Z 


1 
—26, ohne Aufloͤſung zeigt. 


158 Quadratut. 
u Der Werth von M findet es aus der — 
Mm (2) 6—6 


ib = "welche die erfte der vier durch die Elimination 


von P und N erhaltenen if. Es wird daraus M=... 
Eben fo wird aus der Gleichung 

1 IN 1 1 1 1 
— — * N — — — —— ——— — 
—⏑ 6⏑ 
welche durch Elimination von P aus ben beiden erften 


1 
der obigen ſeche Gleichungen entſteht, und worin — 


= 


en 


1 
ae * iſt, N nr Dadurch wird ende 
lich aus der Steigung M 2 N+P=1n,P= 
'Z2eM 
18 


Der Ausdruck für die Area wird nun 
‚y(il) y(3)) : 02) — 
IF IITENE Ep die Drbinaten ych, 


18 | 
y9, yC3) den Abfeifjen x IV; , x=— f, 


und x — u V Z v * f entfprechen. 


Um die — diefes Ausdrucks zu PN 
entwicele man , den — fs in Myc 4 


Ny) + Py6), welcher (Z + „+ =) y ode 


(Mat) rn Dis sefsicht 


Quadratur. 459 


am. kuͤrzeſten fo, 


N 
Es nt —5 — — ne und 


L I I 
M — 4 — — foͤlglich 


DATE ag 
alfo ’ 
I 1 
— 
11 N N 
— —— 4 
75 nn’ ıon®? 
und 
M EL N 1 N ‚ıon-ıo-n 
ara au = 
75 nn?’ ıon 
ss 82 ,..57 
. 2 em 


Der gefuchte Eoefficiene ift alfo — _. 2 er ſollte | 
aber —— — de ift folglich um air 4 zu Elein, und 


der Fehler der Area naͤchſtens Per nf? , um welches 


fie nach ber Formel zu klein gefunden wird. Die Feh— 
ler der Coteſi ſchen Formeln fuͤr die Area aus fuͤnf 


und aus ſechs Ordinaten ſind nahe a ae und 


4160 | Quadratur. 
3 

52500 

wird. Der Fehler unſerer Formel faͤllt zwiſchen beider 


Nimmt man fyox, anftatt es von x = o biß 
| ı=f ju nehmen, von x — a bis x — b, wo — — 


a —, fo gehören y@, y@), y® juxma 15 — 


7, um — die Area zu groß gefunden 





a + Sat — = alles andere bleibt wie ie vorhin, und 


es Ay der- Werth des Integrals 
sy + + 839, 





fg sy So 
— — ( + etc, 


| "2%00 dx 0 
wo y6) und y(o) die Ordinaten für x o u x f 


oder für x a und x — b find, 


Da der Fehler der vorigen Formel additiv 
ift, fo — ich hier noch eine bey, in welcher derſelbe 
ſubtractiv iſt. Man ſchalte zwiſchen den beiden Ordi— 
naten —* y‘» in den Endpuncten der Baſis f zwey 
Ben ‘y und y‘, welche den N — —— 


— Zt (5—V5) umd za — — - £ (5 hr v5) ente 


foren, ein, fo ift die Area Aber * Baſi 3 _ 
BIER 15h an va ryarst Hr, 





12 
f6 r258—) 98 (0) 
2100 1-2..,6 0x ox° 


146%, Die dee, bie Ordinaten in“ ungleichen 

Abſtaͤnden und zwar fo zu nehmen, daß dadurch bey eis 
ner gegebenen Anzahl von Ordinaten der möglich größte 
Grad 


Quadratun 4161 


} 
Grad der Genauigkeit erreicht wird, rührt von Gauß 
ber, wiewohl doch auch fchon Mewton in der Me- 
thod, Flux. et Serier. infin. da, wo er von den 
mechaniichen Quadraturen handelt, eine ähnliche ‚äußert. 
Gauß hat die Formeln für die Area bis zu dem Falle 
von ; fieben zmwifchen den Endpuneten der. Baſis - ges 
nommenen Ordinaten entwicelt, und alle zu der Ber 
rechnung der Area nörhigen numerifchen Beltimmungen 
in großer Schirfe mirgetheilt in der Methodus noua 
intesralium valores per approximationem inueni- 
endi, Göttingae, 1815. 


146°. Man kann fihb der mechanifhen Qua: 
draturen auch zu Tintegrationen bedienen, wenn Fein 
anderes bequemes Mittel fich. finder: Denn die Diffes 
rentialformel Xdx ſtellt das Differential einer Flaͤche 
vor, woran x die Abſciſſe und X, eine Kunction von 
x, die Ordinate iſt. ‘ | 


Frempel. — we 
Den Werrh der Integrals [OP V sin® von G = 0° 


bis 090° oder = an ju geben. Man theile- den 


Abitand von 90° in g gleiche Intervalle, fo erhält man 
in allen neun Drdinaten, welche find | | 
y(o) zo ylM)—Y sin 1101 5.—0,4416g 
y2)—y sin22°30’—0,61861| yVO)—Y sin 330457 —0,74537 , 
VGOV sin 45° — 0,84090 yÖ)—YV sin 56°15°—0,91185 
y(6)—Y sin 67°30°—0,g6 19| y—Y sin 78° 45°=0,99035 
y CV sin 90° 1,00000 Ä 

Berechnet man aus den fünf Ordinaten in den 
geraden Stellen y(o, y ), y, y S), y nach der Eos 
teſiſchen Formel die Area, fo wird ſolche — 1,18063 
nach der legten Formel in (138) aber findet ſich dies 
felbe — 1,2032. Da die Kehler der beiden gebrauch- 
ten Formeln entgegengefegt, von einerley Ordnung und 
nahe gleich groß-find, fo Fann man das ——— 


162 DQuadratun 


Mittel: zwifchen den beiden gefundenen Werthen für 
die wahre Area nehmen, welche folchergeftalt wird — 
1,1969. In den Actis Petropol. für 1780. Th II, 
. ©. 58. \ift. der Werth des Integrals — 1,1980 ges 
funden, aus Öränzen, welche weiter aus einander lies 


Den. 


147. Wenn in der Formel fxöx die Ordinate 


X innerhalb’ der Öränzen, zwifchen welchen das Inte— 
gral zu.nehmen ift, unendlich groß wird, fo fann man, 
nicht das ganze Integral nach der vorigen Methode 


finden, fondern muß folches — 


Z. B. Wenn — von x = o, bis 


x) 


I e 
xt verlangt; würde, wo X = 7686 pre 
x-ı unenblich wird, fo ſuche man zuerft den Werth 

des Integrals von x — o bis x i— ww w 
eine ſehr kleine Groͤße ift, nach der vorigen Methode. 
‚ Nun feße man x = 1 —z, fo ift dem gefundenen 


Werthe noch der Werr Ber 
be ch W b von — ge 62° + 42 24) 
innerhalb der Öränzen z=o md zo genom̃en, zuzuſe⸗ 


sen. Da z eine ſehr kleine Größe iſt, fo kann man 2 und 


z* gegen z* und 3 vernachläffigen, wodurch die vorige 
Formel 


zZ a: 3 0% 
re er, 


gen, als die Hiefigen, ‚und viel mehr Nechnung erfore ⸗ 


wird. Das Integral it nach ( Integralformel, 55) | 


V 5.) Arc, sin, vers. 32; welches für 'z = o 
—— Daher iſt die Ergaͤnzung des Integrals 


— von x So bis x — 1 — w, wodurch 


Vv(r—xt) 


Quadratur. 468 


! 
es bls x ⸗ x erſtreckt wird, 


=(v 5 Arc, sin vers; 3w, Man kann auch 


durch Umwandlung der gegebenen Differentialformel 
in eine andere, indem man eine ſchickliche Subſtitution 


| | oxVlı — ex) 

f — — — — 
anwendet, helfen. Wenn 3 B / — 

wo e <i if, von x S 0o bis x — 1 lade | 

iverden föllte, wo für den letter Werth 








N . — unendlich wird, ſo ſetze man 

are li) 

x — — — — — 

— — ſo wird 2 Tata und 

oxV (r— er) _ 202 V((ı + 22)°— ge’z‘) 
va=wx ° (+ zz) 


wo alsdatın das integral von = eo bi z— 1 
ju Nehmen if, 


148, Sambert hat in ſeinen Beytraͤgen zum 
Gebrauche der Mathematik "TH. II. ©. 250 — 313 
eine. Abhandlung über Quadratur und Rectification 
der frummen Linien geliefert, worin gleichfall$ annaͤ⸗ 
bernde Formeln für die Area einer Curve aus gleiche 
weit von einander abitehenden DOrdinaten vorfommen; 
Da Lambert aber nicht alle über den Enopuneten und 
Theilungspuncten der Baſis ſtehende Ordinaten in Be⸗ 
tracht gezogen hat, ſondern nur einige derſelben, ſo 
ſtehen bey gleicher Anzahl der Theile in der Baſis ei 
ne Sormeln den Coteſiſchen an Genauigkeit had: 


149. In Legendre's Exercices de Calcul 
integral Par. 1811. handele der dritte Theil von den 
Quadraturen. Legendre leitet zuerft die oben in (137) 
gegebene zweyte Formel von Maclaurin auf eine nette 
Art ab, und fügt dann mancherley Bemerkungen über 


164 Duadratur, 
ihre Anwendbarkeit in den Källen, wo einer der Diffe- 


nn, öy. ey Oy 
——— * — 
Integrals ydx oder innerhalb derſelben unendlich wi 
bey. Er wendet. alsdann eine ähnliche Merhode an, 
um die Coordinaten einer Eurve zu finden, für welche 


an den Gränzen des 


— ————— | © | 
der Bogen s durch eine Function von = d. i, der 
X 


Tangente des Winkels, welchen die beruͤhreade in dem 
Endpunete des Bogens mit der Abſeiſſenlinie macht, 
gegeben iſt, und macht eine Anwendung davon auf das 
baliſtiſche Problem zur Berechnung der Schußweite. 
Noch zeigt Legendre eine ſehr feine von Laplace herrühs 
rende Merhode den Werrh von /ydx zu finden, wenn 
y an den beiden Gränzen des Integrals verſchwindet, 
innerhalb derfelben beitändig entweder pofitiv oder nes 
gativ, und nur eines einzigen größten Werths fähig 
ift, und handelt endlich von verfchiedenen merfwürdigen 
beitimmten Integralen, welche zur Feine‘ der trans⸗ 
ſcendenten u gehören. | 


150. Da 08 Schwierigkeiten haben Fann, in 
der Maclaurinifchen Formel in (134) die Werthe der 
| öy o’y 8 

tentialquofienten — — u. ſ. m. für den 
Diffe quotien 5 52. ſ. w. für 
a und das Ende des Integrals /ydx zu beftim: 
men, fo ift eine Sormel vorzuziehen, in welcher ſtatt ver 
Differentiale die Differenzen der in Mechnung gezoge⸗ 
‚nen Ordinaten vorfommen. Diefe theile ich hier noch 
aus taplaces Mecanique celeste Livre IX, art, 5, 

mit, Es ift naͤmlich | 


— fyöx Sy + yD Hyd — 
..q4 2 


Duadratun 165 





(A. ya) — A, y) 


| 12 
I | | 


19 J 
— — Fre ) AB ul 
a0 Ar ye® Ei, 


* 


(A4 ylo-1) + At y(o)) 





160 
863 
60480 
— etc, 


wo w der Abſtand je zweyer nächften Ordinaten iſt. 
Die Formel rührt eigentlich von Lagrange her, welcher 
fie juerft in der Abhandlung: Sur une nouvelle 
espece de calcul relatif A la differentiation et à 
Vintegration des quantites variables, in den Mem, ı 
de Berlin für das Jahr 1772 befannt gemacht hat. 
Laplare hat ihr eine für. die Berechnung bequemere 
Form gegeben, x 





(AS ya — AS yoy® 


Partiell quadrirbare Curven. 


151. Eine Aufgabe über die Quadratur krum— 
mer Linien, welche mir den Linrerfuchungen in der uns 
beitimmren Analytik verwandt ift, entfteht, wenn bie 
Kormen quadrirbärer Frummer Linien gefücht werden. 
Da die Fläche einer Eure ift 2° fyox, alfo 


°Z = yöx und y — *. ſo nehme man für Z 
irgend eine algebraiſche Function von x; bifferentüre 
dieſelbe, und mache den Differentialquotienten = zur 
Ordinate, ſo iſt die Curve quadrirbar. | oe 


468 Quadratur. 


15% Die Frage kann auch dahin erweitert 
werden, daß die Curven zu finden ſeyn, an welchen eins 
zelne Portionen ihrer Släche algebraiſch angegeben 
werden koͤnnen, obgleich die unbeftimmre Quadratur 
transfcendent ift. Johann Bernoulli und Hermann 
haben eine Auflöfung dieſer Aufgabe aefunden, die in 
des erfteren Werfen, T. IL. Nr. III befindlich iſt. 
Man nehme eine frumme Linie, die nicht, quadrirbar 
iſt. Ihre Gleichung fey-y = @x, wo D-das Tunes 
tionszeichen if, Die Curve gehe Durch den Anfang 
der Coordinaten. Durch denfelben Anfangspunct wer: 
de eine gerade oder Frumme Linie gezogen, ‘deren Glei 
hung fy t = vx. Diefe beiden. Eurven wollen wir. 
durch, Die Wezeichnungen, A, B, unterfcheiden. Auf 
ber re der y für die Curve A frage man bie Orbis 
nare t als Abfciffe, und ziehe aus ihrem Kndpuncte an 
die Curve A mit der Are der x eine parallele u, fo iſt 
Qu = t, Die beiden Slächenräume an der Curve A. 
find fy9x und ſadt. Dat == yx ift, fo if dt — 
Vx. dx, wo Y'x den Differentialfactor bezeichnet, 
Beide Slächenräume jufammen find — fyox + 

VX.dx. Man conftruire eine dritte Curve C, de: 
ven Ordinate zu der Abſeiſſe xfyz = y + uy’x, 
fo ift ihr Flaͤchenraum 2 = [29x —/yox + [up x.ox, 
fo groß als die beiden Klächenraume an der Curve A. 
Für die Abfeiffen x, die zu den Durchfchnitrspuncten 
der Curven A und B gehoͤren, iſt die Summe der beiden 
Flaͤcheyraͤume = xy., eine algebraifche Größe, wenn 
y eine algebraifche Function von x ift. Die Curve 
C, deren Ordinaten find z —=y + uvyx, vdrz = 
Ox + uy’x, iſt alfo für diejenigen Abſciſſen, die iu 
den Durcchfchnittdpungten der Curven A und B gehüs 
ren, — An dieſen Puncten iſt Px VX. 
— da Gut, und t = ya iſt, ſo it Au = 

Für die Durcfehnitespunere iſt u — x, alfo 
bare Ox = yx. Diefe Gleihung beſtimmt die 
— ber Abſciſſen x zu den. Durchſchnittspuncten. 


Quadratur. 167 


3. B. Man nehme ſtatt der Curbe B eine ges 
rade Linie, welche mit der Are der x einen halben rechs 
ten Winfel-mache, fo it t = x; 9 = 0x oder 
yx = ı, und z = Qx + u, aud Qu — x. An 
den Durchſchnittspuncten der Curve A mit der geraden 
ift Ox Se %:- ni i 


Die Curve B fey eine Parabel, ſo iſt t — Vax, | 








‚ und bie 


A 
aVax 


und dt — dx, alſo x — 





2Vax 
Gleichung für die partiell quadrirbare Curve iſt z = 
5 au r e a % ° . 

0x + — Für die Größe u iſt die Gleichung 


Gu = Vax. An den Durchfchnittspuneten der Pas 
rabel mır der Eurve A iſt 0x = vor, 


Diefer Vortrag ift zur Erläuterung des Auffaßes 
von Bernoulli dienlich, welcher derfelben noch bedarf, 
befonvders weil die Kiguren nicht gehörig gezeichnet find. 
Die Vezeichnungsare iſt hier aus der neuen Analyſis 
genommen. x — — 


13. Lacroix giebt in feinem Werke über bie 
Differential: und Integralrechnung, Th. II. $. 535. 
eine bloß analytifche Auflöfung der Aufgabe von den 
partiell quadrirbaren Curven. Der Slächenraum einer 
folhen fey Z = YPöx + fQOx, wo das [POx alges 
braifch ſey, das andere, /QOx aber transfcendent, 
Diefes letztere ſey — ſudx — [vöz, wo u und v 
aͤhnliche Functionen, jene von x, dieſe von zZ find, das 
beißt, aus x und 2 mebft. den Conftanten auf gleiche 
Art zufammen gefegt werden. Die veränderlihe z 
fen eine ſolche Function von x, daß fie = x werde, 
wenn x die Werthe a, b, co, u. f. f., hat. Dadurdy 
wird für diefe Werche v = u, und fudx — fvOz 
—»o,.alfo [Qdx — co, und fy9x == /P0%, eine «lgez 
braifche Größe, Um ber Zunstion v dieſe Beſchaffen⸗ 


166 Quadratur. 


1520 Die Frage kann auch dahin erweiterk 
werden, daß die Curven zu finden ſeyn, an welchen eins 
zelne Portionen ihrer Släche algebraifh angegeben 
werden koͤnnen, obgleich die lunbeſtimmte Quadratur 
transſcendent iſt. Johann Wernoulli und Hermann 
haben eine Auflöfung dieſer Aufgabe aefunden, Die in 
des erfteren Werfen, T. II. Nr. III befindlich iſt. 
Man nehme eine frumme Linie, die nicht, quadrirbae 
iſt. Ihre Gleichung fey y — @x, wo D-das Runes 
tionszeichen if, Die Curve gehe durch den Anfang 
der Eoordinaten. Durch denfelben Anfangepunct wer: 
de eine gerade oder Erumme Linie gezogen, ;deren Gleis 
hung fy t = yx. Diefe beiden Curven wollen wir. 
durch, Die Wezeichnungen, A, B, untferfcheiven. Auf 
der Are der y für die Curve A frage man die Ordi— 
nate t als Abfeiffe, und ziehe aus ihrem Endpuncte an 
die Curve A mit der Are der x eine parallele u, fo iſt 
Qu = t, Die beiden Slächenräume an der Curve A 
find fyOx und fuer. Da t = yx ift, fo iſt = 
Y'x. ox, wo Y'x ben Differentialfactor bezeichnet, 
Beide Flaͤchenraͤume zjufammen find — fy%x + 
Fıvx.ox. Man contruive eine dritte Curve O, dei 
ven Ordinate zu der Abfeife xyz = y-+ uyx, 
fo ift ihr Slächenraum Z = [29x —/yx + fuy’x.ox, 
fo groß als die beiden Slächenraume an der Curve A. 
Für die Abfeiffen x ,. die zu den Durchſchnittspuncten 
der Curven A undB gehören, ift die Summe der beiden 
Släheyräume = xy., eine algebraifhe Größe, wenn 
y eine algebraifche Function von x ift. Die Eurve 
C, deren Ordinaten fd z —=y + uyx, derz = 
Ox + uy'x, iſt alfo für diejenigen Abſciſſen, die zu 
den Durchfchnittöpungten der Curven A und B gehör 
ren, quadrirbar, An diefen Puncten ift Px = yx, 
Denn da Pu = t; und t = yx iſt, ſo iſt Au = 
yx. Kür die Durchfchnitespunere it u = x, alfo 
dafelbit Ax == yx. Diefe Gleichung beſtimmt die 
Werthe der Abfeiffen 3 zu den Durchſchnittspuncten. 


Quadratur. 167 
Z. B. Man nehme ſtatt der Curve B eine ges | 
rade Linie, welche mit der Are der x einen halben rechs 
ten Winfel mahe, ſo iſt t x; = — 
yx =ı, und z = Ox + u, auch Qu — x. An 
den Durchſchnittspuncten der Curve A mit der geraben 
iſt Ox — x. 
Die Curbe B ſey eine Parabel, ſo iſt t — Vax, 
— 25 TER — — d bi 
x, x —— 
al — — und die 
Gieichung fuͤr * partiell quabrirbare Curve if z = 


Ox + — Kür die Größe: u ift die Gleichung 


Qu = Yax. An den Durchfchnittspuneten der Pas 
rabel mır ver Curve A ift Ox = Vax. 


Diefer Vortrag iff zur Erläuterung des Auffaßes 
von DBernoulli bienlich, welcher derſelben noch bedarf, 
befonders weil die Kiguren nicht gehörig gezeichnet find. 
Die Bezeichnungsare it hier aus se neuen Analyſis 
genommen. s 





und &t — — 
2 





153. Lacroix. — in ſeinem Werke uͤber die 
Differential: und Integralrechnung, Th. IL $. 535. 
eine bloß analytifche Auflöfung der Aufgabe von den 
partiell quadrirbaren Curven. Der Flaͤchenraum einer 
ſolchen ſey 2 = YPöx + /QOx, wo das [POx alges 
Braifch fen, das andere, fQOx aber transfcendent. 
Diefes letztere ſey — ſudx — [vöz, wo u und v 
äbntiche Functionen, jene von x, »iefe von z find, das 
- beißt, aus x und 2 nebft. den Conftanten auf gleiche 
Art jufammen gefegt werden. Die veränderlihe z 
fey eine folhe Kunction.von x, daß fie — x werde, 
wenn x die Werthe a, b, co, u. f. f., hat. Dadurch 
wird für diefe Werche v — u, und ſudx — fvOz 
—x0,. alfg bh 7 0, und [yOx = [Pöx, eine «lge 
— Groͤße. Lim der Function v dieſe Beſchaffen⸗ 


4168 3 Duadratur, 


heit ‚zu geben, ſetze man Z=x4+(x—ä) (x—b) (xX—c) 
etc., oder allgemeiner z —= x + T (x-a);x-b)(x-c) 
eic, wo T eine Function von x iff, die Feine 
einfache Factoren enthält, als melde alle in 
dem  bengefügten Producte enthalten feyn follenz 
‚ auh meß T nicht, etwa unendlich groß werden, wenn 
das Product verichwinder. Zugleih muß T fo beftimme 
werden, daß /vdz mit fußx zugleich anfange, damit 
- feine transſeendente Eonjtanre fih in dem integral 

finde, | | u — 4— 


154. Exempel. Es fy u — Y(arx — xx); 
vz= yY(zz— 2) z=x+T(x— a) fo 
iſt | * | 

fy9x = [Pox + fox V(azrıx—xx) 

\ — /öz V (arz — zz), | 

Die beiden kransfeendenten Integrale bangen vom 
Kreife ab, und find — o, wenn x —=o,mdz=o 


find. Darum muß z = o ſeyn, wenn x — o if, 
alfo muß T den Factor x enthalten. Man fege 


X xXxXx 2x0xX 
T — ſo wird =): 3 
a a oa 
| 2ar—xx)x® | 
2rz — dz = nn und daher 
© — aa 


er 2xx 
y=P-+ y(2arx—xx) — av (2ar— XX), 


An jeder Eutve, welche dieſe Gleichung, bey irgend ei⸗ 

ner Function P von x hal, iſt die Area vonx — 0 

bis x = a algebraiſch quadrirbar. Die beiden trands 

feendenten Integrale find Ro 

V (arx—xx) 
r 


— rt’ Ang,sin — (r—x)VY (arx—xz), 


und 


. Vlerz—zz) ı 


r . 
—1r? Ang ‚sin — — — (1-2) Y (217-Zz) 
— en) Van) 





* 


Quadratur. 4169 
aus Osntegealformel (58. 36. sn. dem Tegtern fege 
man für z feinen Werth —, fo wird es 


1 
—ı? Ang,sin — Van ur 
2 ar 


——— — (2zar — a 
244 


welches für x— a dem erfteren gleich wird. 


{ 2 
Das f — ox Y(2ar — xx) ift (aus Integral⸗ 
formel, 69. 58. 49.) = | 





x SE — 
— — — — 2 — -2 o 1 

er (ar -x )V(2ar—xx)+r Ang,sin — 
Der Winkel in dieſer Form iſt die Haͤlfte des Win⸗ 


kels in jener ober det Ang. sin — V (2ar =). 





Denn man feße Pe ‚ sin Fe 9, fo if 
2ar — xx 

cos 6 — — 

und 

sin 20 = 2 sin ©, cos = - - V (gar — xx), 


Beide Integralformeln ſtimmen af überein, 


155. Bon Eulers Unterfuchungen — 
die Curve, welche innerhalb eines Quadranten der 
Grundflaͤche einer Halbkugel zu beſchreiben iſt, damit 
das Stuͤck der Kugelflaͤche, deſſen orthographiſche Pro⸗ 
jection die Curve iſt, quadrirhar ſey, iſt in dem Arti⸗ 
kel, Florentiniſche Aufgabe, 20, Nachricht gegeben, 
Auf einem geraden Kegel iſt es leicht, quabrirbare 


170 Quadratwurzel. 


Stuͤcke der Oberflaͤche an mu geben. Man darf nur 
innerhalb der Grundfläche und in der Ebene derfelben 
irgend eine Frumme Linie, die fich quadriren läßt, vers 
zeichnen, fo fchneiden die geraden Cylinder, ‚deren Grund⸗ 
flächen jene Eurven find, (das Wort Eylinder hier in 
weirerer Bedeutung, wie Frumme Flaͤchen, 20, genome 
men) auf der Frummen Geitenfläche des Kegels quas 
diirbare Stücfe ab. Der Grund ift, weil irgend ein 
Stück der krummen Geitenfläche eines geraden. Kegels 
fih zu feiner Projection auf die Grundfläche verhält, 
wie die Geitenlinie des Kegels zum Halbmeſſer der Grund⸗ 
fläche deſſelben wie fich leicht durd) die Elementargeometrie 
zeigen läßt. Diele Eigenfchaft kommt außer der Flaͤ⸗ 
che des geraden Kegels noch allen den Frummen Klächen 
ju, für welche bey vechtwinfligen Coordinaten x, y, 


der Ausdruc ı &XL 
‚ er Ausdru + (5) +: =) einer con⸗ 


ftanten Größe gleich ift. Es ift nämlich 
dxdy v(i + (=) 2 4 (3) ) das Ele⸗ 


‚ment irgend einer krummen Rläche, und Oxdy bie Area 
der Projection deſſelben auf die Ebene der x, y. Das 
ber jenes zu dieſem in einem — Verhaͤltniſſe, 


wenn 1 + G :). + + (5) . = Const, if 


Quadratwurzel, fr Quadrat. 

Q uadrilaterum, eine vierfeitige gerabs 
finige Kigur, 

Qu adrillion, eine Zahl, beſtehend aus 
einer Million Zrillionen, oder 10*4. a 

Quadrinomium, eine viertheilige Groͤ⸗ 


e, wie b+#+e d hin 
— a tbreEhWMe ar + 


Quadriren. 171 


Quad riren, f. Quadratur. 


0 uadrisec tio, Theilung einer Größe, 
eines Winkels in vier Theile. ° 


Quantitas, f. Größe, 


Q ueraxe, latus transversum, iſt! die Bene 
are in der Ellipfe und Hyperbel. 
Querſinus, ſ. Sinus versus, 


Quindeécagonoum, eine geradlinige 
Figur von funfzehn Seiten; insbeſondere eine ordent⸗ 


liche. 


Quin nqu an len y eine geenbfinige Fi⸗ 
gur mit fuͤnf Winkeln, das iſt, eine fuͤnfſeitige. | 


Duinauillion, eine Zahl, beftehend aus 
einer Million von Quadrillionen, d, i. 1080. 


Quotient 1 ift diejenige Zahl, — an⸗ 
zeigt, wie vielmahl eine Zahl in einer anderen enthal⸗ 
zen iſt. Ein Quotient verhält ſich zu der Einheit, wie . 
der Dividendus zu dem Diviſor; ſ. Diviſion und 
Bruch. — In allgemeinen Ausdruͤcken eines Quotien— 
ten oder Bruches wird manchmahl ben gewiſſen Wer⸗ 
then der darin enthaltenen veraͤnderlichen Groͤßen Di⸗ 
pidendus und Diviſor, oder Zähler und Nenner zugleich 
Null. Wie der Werth des Quotienten im dieſem 
Kalle gefunden werde, zeige der Artifel, Function, 5% 


R 

Rad, ariſtoteliſches,i bie Benennung 

einer Aufgabe oder Schwierigkeit, die waͤlzende Bewe⸗ 
gung eines Kreiſes auf einer geraden Linie betreffend, 


ſo genannt, weil Ariſtoteles zuerſt ſie vorgetragen hat. 
Es iſt die, FR in dem Artikel, Sotloie. Th. I 


172 Rad, 


S. 600., angefuͤhrt iſt. Daſelbſt iſt bemerkt, daß 
das Waͤlzen eines Kreiſes (oder auch jeder andern 
krummen Linie,) auf einer geraden Linie noch nicht die 
Gleichheit zwiſchen dem Stücke jener und dem Kreis⸗ 
Bogen, deffen Endpuncete bey dem Wälzen in die End: 
punete viefes Stuͤcks fallen, zur Folge hat, Hier folgt 
die Erörterung des Kalles, da zwey concentrifche Kreife 
gleiche Winfelbewegung haben, indem ihr Mittelpunet 
auf einer geraden Linie ſich bewegt. 


Es iſt (Fig. 19.) C der gemeinfehaftliche Mittel: 
puuet zweyer Kreife, an welchen in A und B die ber 
rührenden AD und BE fich parallel find, indem A und 
B mit C in gerader Linie liegen. Der Mittelpuner C 
bewege fich nach CF parallel mit AD, und mit demfels 
ben alfo die Ebene beider Kreife, indem zugleich diefe 
Ebene fib um C dreht, von M nah A; fo wie von Ni 
nah B. Ein Punct M des von CA befchriebenen 
Kreifes Hat nun zwey Vewegimgen, eine parallel mit 
‚ CF nady Mm, die andere parallel mit CA nad) Mp. 
Durch beide gelange er nah P auf AD, wo der 
Kreis, nachdem er fih um den Winfel ACM gedreht 
bat, die AD berührt. Der Mittelpunct des Kreifes 
ift nun in G, in der auf AD durch P fenfrechten PG, 
fo daß CG — AP ill. Die Fänge AP hat zu dem 
Bogen AM fein beftimmtes Verhältniß , da es von 
ber Gefchwindigfeit des Punctes C auf CF und der 
Gefchwindigfeit auf dem Kreife abhängt, deren Verhaͤlt⸗ 
niß willführlich if. Auf dem mit CB befchrieben:n 
Kreife liege der Punce N mit C und M in serader 
Linie. Wenn M nah P gefommen ift, alfo CM auf 
GP liege, fo fälle N auch auf diefe GP in Q. auf BE, 
wo GQ=CN oder CB iſt. Man ziehe durch N mit 
CG die parallele Nn, und mit CB - die parallele Nq, 
‘fo hät N zwey Bewegungen Nn und Na. Die Bes 
wegung Nqg verhält fih zu der Mp wie CB: CA; 
aber die Bewegung Nn ift gegen die Nq größer als 
die Mm gegen Mp ift. Iſt nun AP= Bogen AM, 


Ariftotelifches, 173 


fo it BO größer: als Bogen BN. Naͤhme man CB 
größer als CA, fo würde BQ Fleiner als BN fen. 


Was Nriftoteles felbit zur Erklärung der Schwies 
tigkeit benbringt , läuft auf leere Spitzfuͤndigkeiten binaus 
und ift Feine wahre Aufloͤſung derfelben. 


Galilei verglich die wälzende Bewegung zweyer 
eoncentrifchen Rreife mit der ähnlichen zweyer concens 
teifchen ähnlichen, ordentlichen Vielecke. Wenn das 
größere Vieleck auf einer geraden Linie herumgemälze 
wird, fo daß die Seiten defjelben, bey der Drehung 
um einen Winfelpunct nad) dem andern, eine ſtetige 
gerade Linie ausmachen, fo legen fich die Seiten des 
Eleineren Vielecks auf eine eben fo lange Linie, laffen 
aber Zwifchenräume zmwifchen einander. Diefe Erfläs 
rung möchte die Schwierigfeit eher vergrößern als bes 
ben. Denn der Fleinere Kreis läßt auf der Jinie, auf 
welcher. er ſich mwälzt, keine Zwifchenräume. Käftner 
ſcheint fie zu billigen. Analyfis endl. Größen, $. 601. 


Tacauet bat eine große Abhandlung de circu- 
lorum volutionibus gefchrieben. In der Vorrede 
erzähle er, daß die Linterfuchung ihm fehr viele Mühe ger 
macht habe. Die Erklärungen des Xriftoteles und Gas 
lie verwirft er ganz. Er felbit will beweifen, daß, 
wenn die Gefchwindigfeir des Mirtelpunctes fo groß 
ift, als die Gefchwindigfeit der Drehung, der Weg, 
den der Kreis auf der berührenden geraden bey einer 
Umdrehung zurücklege, dem Umfange deſſelben gleich 
fey. Die Folgerung ıft aber gar nicht einleuchtend, 
Eine drehende und fehleifende Bewegung mit einander vers 
bunden will er nicht zugeben, 


Mairan hat der Afademie ber Wiſſenſchaften 
zu Paris im Jahre 1715 eine Erklärung der Frage 
über die Wälzung concentrifcher Kreife zur Prüfung 
übergeben, welche von verfelben völlig gebilligt ward: 
Ein Auszug ift in der Histoire pour 1715 befinde 
lich. - Er bemerft, daß die Bewegung eines Punetes 


174 Radialis curva, 


auf dem Umfange aus zwenen, eier Freisförmigen und 
einer geraden, zufammengefest iſt. Das Verhaͤltniß 
beider Bewegungen kann dasjenige der Gleichheit: oder 
irgend einer Lingleichheit fen. In dem letztern Kalle . 
wird der Kreis, den er fich ald ein Vieleck von unend: 
lich vielen Fleinen Geiten vorftellt, Aber der Grunblis 
nie fortgefchleift, vorwärts oder ruͤckwaͤtts. Die von 
mir gegebene Erflärimg wird deutlicher fen. Die 
Kreisbewegung / ift in der That noch eine zufammenges 
feste. * | Bun, 

“Die Wegemeffer beruhen auf der Vorausſe— 
gung, daß die Länge, auf welcher ein Rad bey jedent 
Umlaufe hinrolle, dem Umfange beffelben gleich ſey. 
Die Neibung an den Achfen fönnte den Weg etwas 
länger machen, wenn das Mad dadurch etwas gefchleift 
wuͤrde. 

Radialis curva ift die Benennung, wel⸗ 
he einige Schriftftellee ſolchen krummen Linien geben, 
deren Eonftruction unmittelbar auf der Nelation zwi: 
fchen den aus einem beſtimmten Puncte an fie gezo—⸗ 
genen geraden und den zugehörigen Winkeln, von iz 
ner gegebenen Linie an gerechnet, berubet, wie die vers 
fehiedenen Spiralen, die Quadratrix des Dinoftrarus, 
die Epichkloiden. Die aus dem angenommenen Puncte 
an die Curve gezogenen geraden find mie die Radii eis 
nes Kreiſes, der ſelbſt eine curva radialis heifeh 
mag. Übrigens Fann man. jede Curve als eine radias 
lis betrachten, weil man die Gleichung, welche zwifchen gez 
raden Coordinaten für fie gegeben wird, auf eine zwi⸗ 
ſchen Winkeln und geraden aus einem gegebenen Pune⸗ 
” te bringen kann. Die Benennung ift übrigens wenig 
uͤblich. | 

Redicalzeihen oder Wurzelzeichen 
fiehe Potenz: | 

Radiometer, ein inältern Zeiten gebraͤuch⸗ 
liches Werkzeug der Seefahrer, Höhen ber Geſtirne zu 


Radius, 175 


mefien, der fo genannte Jakobsſtab. S. die zweyte 
Abrheilung diefes Werks, | | 


- - Radius ift in der gemeinen Geometrie der 
Halbmeffer eines Kreifes oder einer Kugel, den man 
mit einem der ©trahlen verglichen hat; welche ein leuche _ 
tender Körper ausfender, In der höhern Geomerrie 
ift Radius jede der Linien, die von einem gegebenen 
Puncte an eine Curve gezogen werden. In ber 
Aitronomie wird eine folche Linie durch die Benennung, 

radius vector, ausgezeichnet. — Radius curvedinis 
iſt der Halbmefler der Krümmung, fr Krümmungse 
kreis. | | 


Radix, ſ. Wurzel. 
Redlinie, f. Eyfloide 
Ratio, f. Verhaͤltniß. | 


Rational ift eine Zahl, welche ſich durch 
bie Einheit und Theile derfelben vollitändig ausdrus 
fen oder darftellen läßt. Das Verhältniß zweyer 
Größen ift rational, wenn fie fi verhalten, wie 
zwey rationale Zahlen, das. ift, wenn fie commenfurgs 
bel find. Das Gegentheil von rational ift irrational, 
fe Srrational. Euklides betrachtet die Linien, deren 
Duadrare commenfurabel find, ob fie gleich felbit es 
nicht find, noch ald rational, 


Raum if die unbegränzte, blos im Verſtan⸗ 
de gedachte, nach allen Richtungen hin fich eritrerfende 
Ausdehnung, worin der Seomerer nach Belieben, uns 
eingefchränft feine Linien ziehen, und feine Slächen aus— 
breiten kann. Zieht man in diefem Raume durch eis 
nen angenommenen Punet drey auf einander fenfrechte 
gerade Linien, fo wird der ganze unendliche Raum in 
acht Theile gerheilt, in deren einem jeder Punet durch 
die zugehörigen drey Coordinaten feine Stelle angewie⸗ 
fen befömmt, Der Raum in der phnfifchen Wele ift 
eben diefes, nur daß der Punct, durch welchen wir. die 


® 


176 Haute. 


Aren der Coordinaten für die darin befindlichen ‚Körper 
ziehen, nicht ein underänderlicher iſt Leibnitz nannte 
diefen phyſiſchen Raum ſehr paſſend die Ordnung der 
neben einander befindlichen Dinge. | | 


| Ratte (Rıhombus, fr. Losange) ift ein Pars 
allelogramm von vier gleichen Seiten mit ungleichen 
Winkeln. | 


Real ift eine Größe, deren Zufammenfegung 
aus anderen Größen feinen Widerſpruch gegen- die Ber 
dingungen der Möglichkeit enrhält. Es ift das Syn⸗ 
onym von Moͤglich, Die Realitaͤt einer Groͤße in 
der reinen Mathematik betrifft blos die Gedenkbarkeit. 
Doch kann eine reale Groͤße auch wirklich in Zahlen 
oder geometriſch wirklich dargeſtellt werden, wenigſtens 
nahe genug, wenn ſie mit einer Irrationalitaͤt behaf⸗ 
tet ſeyn ſollte. u 

Redheninfirumente und Rechenmaſchi⸗ 
nen, fe Inſtrumentale Aritgmetif, | ask 


Rechenfnedt ift die Mufftellung der Viel⸗ 
fachen einer Zahl bis zu ‘dem Meunfachen, um fich ders 
felben bey dem Multiplieiren und Dipidiren zu bedien 
nen, beſonders wenn eine Zahl oft als Multiplicandus 
ind Divifor gebraucht wird. Nepers Mechenftäbe lier 
fern die Vielfachen einer Zahl bis zu dem Neunfachen 
ganz leicht, | nr | 


Rechenkunſt im engern Verſtande iſt die 
Anleitung zu der Kunſt, ſicher und bequem mit Zahlen 
zu rechnen, oder aus gegebenen Zahlen die geſuchten, 
ihrer Verbindung mit jenen gemaͤß, herzuleiten. Dieſe 
iſt diejenige, welche beſonders in den kaufmaͤnniſchen 
Rechenbuͤchern gelehrt wird. Man mag ſie durch die 
Benennungen, praktiſche, techniſche oder bürs 
gerliche Nechenfunft von der rein theoretiſchen Ariths 
metik unterſcheiden, f. Arichmetik. Die Grundlage zu 

derfelben find die Negeln für die vier gemeinen Species 
| in 


/ 


Rechnungsprobe. — 177 


in ganzen und gebrochenen Zahlen; die Lehre von den 
Proportionen, den einfachen und den -zufammengefeßten, 
die Keftenregel, und auch die Lehre von der -arichmeris - 
fhen und geometrifchen Progreffion. Diefes alles wird 
in der erften Abrheilung dieſes Werks vorgefragen, 
Die Belchaffenheit ver Gegenftände, worauf die Mech: 
nung anzuwenden ift, muß die befondere Anleitung zur 
praftifchen Arichmetif erklären, ‚damit die Rechnung 
darauf gehörig, und mit Vortheil angewandt werden 
könne, z. B. die Waaren: Wechfels und Muͤnzrech⸗ 
nung, das Buchhalten, die Jeibrentenrechnung, u. a. m. 

Davon wird das nörhige in einer folgenden Abtheilung 

unfers Werks beygebracht werden. | 


Rehnung auf Linien und mit der 
Seder, f. Inſtrumentale Arithmetik. 


Seit einiger Zeit find die Übungen im Ropfrechnen 
fehr empfohlen. Sie dienen allerdings zur Erweckung 
derAufmerffamfeit und zur Erfindung von allerhand Vor— 
theilen aus der Veſchaffenheit der borgegebenen Zahlen, 
 Anweifung dazu geben folgende Schriften. 


Biermanns Anleitung zum Rechnen im Kopfe, 
Zweyte Auflage... Hannover, 1795 - 


Koͤhler s Anweiſung zum Kopfrechnen. Vierte 
Auflage. Leipzig, 1816. 


Heuß Anweiſung, das Rechnen im Kopfe zu 
lehren. Stuttgart. 1804. — 


Rechnungsprobe iſt eine Rechnung, wo⸗ 
durch man ſich zu verſichern ſucht, daß das Reſul⸗ 
fat einer vollfuͤhrten Rechnung in Zahlen richtig fey. 


Die befte Probe ift, wenn zwey Rechner fie uns 
ternehmen, und ihre Reſultate übereinftimmig finden. 
Wenn ein Nechner diefes nicht haben Fann, mag er 
felbft die ganze Rechnung nach einer Zwoifchenzeit wies - 
der vornehmen , und zwar auf eine abgeänderte Art. 


178 Rechnungsprobe. 


Z. B. bey dem Addiren beſonders vieler Poſten, wird 
er einmahl ſie von oben herunter, das anderemahl von 
unten nach oben ſummiren. Oder er mag ſie in zwey 
oder mehrere Abtheilungen ſondern, von jeder die Sum⸗ 
me ziehen, ‚und die Gummen von’ diefen Summen 
nehmen. | | 
Die Multiplication mag er durch die Divifion, die 
Divifion durch die Multiplication prüfen, Hier koͤn— 
nen auch. die Logarithmen nüßliche Dienfte leiſten. 
Das Facit von einer Megel de Tri nehme man als ein 
gegebenes Glied der Proportion, und eines der gegeber 
nen Glieder zum gefuchten, 

Ansbefondere aber wird man unfer einer Mech, 
nungsprobe ein Verfahren 'verftehen, welches kuͤrzer ift 
als die gemachte Rechnung, die man prüfen will. Bon 
diefer Arc it die Meuner und Filferprobe, wels 
che ſich auf die Beſchaffenheit unfers Zahlenſyſtems 
gründen, \ — 

Die Reunerprobe beruht darauf, daß die Sum— 
me der Ziffern in einer Zahl durch 9 dividirt denſel⸗ 
ben Neft läßt, welchen die Zahl felbft durch 9 dividirt 
übrig läßt. ſ. Neun. Diefen Reſt nennt man die 
Probezahl. | 

Eine Summe zu prüfen, zähle man die Ziffern 
aller Theile zufammen , wobey man jede volle Neun 
wegwirft, und merfe fich denReſt DieZiffern in der Summe 
addire man ebenfalls, werfe die Nenner weg, ſo muß 
der Reſt mit jenem vorher gefundenen uͤbereinſtimmen, 
wenn die Rechnung richtig geführt iſt. Das folgens 
be Erempel wird den Grund zeigen, 


| Neite, 
835674 | 6 
746135 | 8 
28463 |5$ 
7294 | 4 
4358 | 2 
1621924 | 7° 


Rechnungsprobe. 179 

Die Summen der Ziffern in den einzelnen Thei— 

len laſſen zum Reſte die deygezeichneten Zahlen. Die: 
ſes find zugleich die Reſte von der Divifion jedes 
Zheils durch 9. Die Summe diefer Reſte it 25 
oder 2.9 + 7.. Die gefundene Summe ver Theile 
muß alfo bey der Divifion durch g den Meit 7 laflenz 
eben dieſen Reſt muß aber auch die Summe der Zifz 
‚ fern in der. gefundenen Summe geben, . wie es auch 


geſchieht. | 


Anftart den Reſt bey jedem Theile einzeln hinzu— 
fegen, Fan man Fürzer die Ziffern in den Theilen nach 
ber Reihe fummiren, und jede volle 9 wegwerfen. 


Die Probe der Multiplication geſchieht 
durch die Meun folgendermaßen. Man fuche die Reſe 
bon der Divifion der Summe der Ziffern in beiden 
Factoren duch 9, Furz die Probejahlen aus beiden; 
multiplicire fie in einander, werfe die etwa darin ent 
baltenen g weg? der Reſt muß der Probezahl aus dent 
Produete gleich ſeyn. | | | 


zum Benfpiel, | 
Product. 


— [Rep 
835674] 6 
2738517 





Product 22884932490| 6 16 


Det Beweis iſt in dem Artikel, Meun, 5: geges 
en; 


Die Probe ber Divifion darch Neun geſchieht 
auf eine aͤhnliche Art. Die Probezahlen des Diviſors 
und Quotienten werden in einander multiplicirt, dazu 
wird die Probezahl aus dem Reſte addirt, bon der 
Summe werden die vollen Neuner weggeworfen, det 
—* muß der Probezahl aus dem Dibidendus gleich 
ey, Fe 


180 Rechnungsprobe. 


Zum Bepſpiel. 
| Dividendus 22884923947 


Divifor 27385 
Duggient 835673 
Reit 18842 | 


Die Probezahl aus dem Divifor ift 7, aus dem Duos 
tienten 5, aus dem Mefte 5. Die legrere advire man 
zu dem Produete jener, fo it die Summe = 40, 
Die Probezahl daraus, 4, ft wir der aus dem Divi— 
dendus Diefelbe, r | 


Es folge frenlich noch nicht, wenn die Probe zu: 
trifft, daß die Rechnung richrig ſey. Denn das Facit 
Fönnte zwey falfhe Ziffern enthalten, deren Summe 
richtig wäre, fo daß, was die eine zu groß, die ander 
re zu Flein if. Oder es fFönnten bey der Mechnung _ 
und in der Probe zwey entgegengefegte gleiche Fehler 
begangen ſeyn. Diefe Fälle find aber ‚nicht wahrfceins 
lid, am wenigften bey einem irgends geubten Nechner. 


Die Zahl Eilf giebt eine ähnliche Probe an die 
Hand, nur daß dieſe nicht fo leicht als die Den: 
nerprobe iſt. Der Neft son der Divifion duch 11, 
oder die Probezahl ift der Üserfhuß der Summe der 


. Ziffern, in den ungeraden Stellen von der rechten Hand 


ber über die Summe der Ziffern in den geraden Stel— 
len. Iſt die legtere größer als jene, fo werden 11 oder 
ein Vielfaches von zz zu jener addirt. S. den Artik. 
Neun, 7. ff. 


In dem Additions-Exempel oben find die Reſte 
von der Divifion durch 11 oder die Probezahlen, 4, 
5, 6, 1, 2, deren Gumme 18 — ıı + 7, und dats 
aus die Probejapl 7. In der Summe der Zahlen 
it die Probezahl 16 — 9 — 7. Man wird die Zif— 
fern. in den ungeraden Stellen befonders, und die in 
ben geraden ebenfalls befonders zu funtmiren, die vollen 
11 wegzumerfen, und die leßtere Summe bon jener ab: 
zuziehen haben, | 


* 


Rechnungsprobe. B 181 


In dem Mulriplications: Erempel find die Probe: 
zahlen aus den Factoren 4 und 6, ihr Product 24 - 
giebt die Probezahl 2. Die Probezahl aus dem Pros 
ducte iſt ebenfalld 2. | | Ä 


An dem Diviſions Exempel ift die Probezahl aus 
dem Dwiſor 6, aus dem Quotienten 3, aus bem Me: 
fie 10. Dieſes giebt zur Probezahl 6.3 From 
28 oder 6... Diefes ift auch die Probezahl aus dem 
Dwidendus. 


Die Neunerprobe der Addition und Subtraction 
lehrt Wallis in der Mathesi universali, cap. 16. mit der 
Bemerkung, daß er nicht wiſſe, ob jemand den Beweis 
davon gegeben habe. Dieſen fuͤgt er hinzu. Dieſelbe 
Probe fuͤr die Multiplication und Diviſion lehrt er 
daſelbſt, cap. 21. Kaͤſtner ſagt in der Geſchichte der 
Mathematik, J. S. 619, daß ihm von einer Probe 
der Multiplication durch 9 nichts gegenwaͤrtig ſey, und 
daß er ſich vergebens darnach umgeſehen habe. 


Clausberg in feiner Rechenkunſt, Th. II. ©. 677. 
bezeigt ein Vertrauen zu der Meunerprobe, fondern 
lehrt ſtatt derfelben die Elferprobe. Allein dieſe ift exit: 
“ fich weniger bequem und kann friegen, wo jene den 

Irrthum angiebt. | 


Penn nur eine Ziffer unrichtig ift, oder zwey Zifr 
fern in Abſicht ‘auf ihren abfoluten Werth ungleich 
fehlen, fo zeigen beide Proben e8 an. Gind zwey Sehe 
fer gleich) und entgegengefest , fo verfchweigt ihn die 
Neunerprobe und in gleichnamigen Stellen aud) die 
Eilferprobe. Sind swey Kepler gleich und gleihnamig, 

ſo zeige ihn die Meunerprobe an, die Eilferprobe vers 
ſchweigt ihn aber, wenn er in ungleichnamigen Stellen 
begangen iſt. 3. B. das richrige Faeit ſey u 
F 437865927, 
das unrichtige A 435865947, 
. oder B 435865907, J 
fo giebt die Neunerprobe für A wie für F die Probe 


182 - Kechnungsproße, 


bezahl 5, die Gilferprobe aber 4 und ©. Hingegen 
giebt die Eilferpeobe für B wie für F die Probejahl 
4 Da die Meunerprobe aber für B giebt 2. 


Die Fehlſamkeit beider Proben ift gleich, wie man . 
an diefem Eyempel fehen mag. Es find darin 9 Zife 


fern, aus welchen fich = oder 36 perfchiedene Stel: 


len für zwen fehlerhafte Ziffern nehmen. laffen.. Go: 
viel Binionen find nämlich in einer Anzahl von 9 ver: 
fehiedenen Dingen enthalten €Combination, ı2.). Uns 
fer’ Diefen 36 Stellen find 5.4 oder 20, worin die Ötels 
lenzahlen der beiden Ziffern ungleichnamig find, Naͤm— 
lich es giebt 5 ungerade Stellen für die eine der Zıfs 
fer und bey jeder 4 gerade für die andere Ziffer. Fer— 


ner giebt es —* oder 10 Faͤlle, wo die Ziffern beis 


98 
2 | 
de in den ungeraden, und — Faͤlle, wo ſie beide in 


den geraden find. Sind die Fehler gleich und entge⸗ 
gengefegt, fo giebt es 20 Källe unter 36, wo die Eile 
ferprobe den Fehler angiebt, da die Meunerprobe fie 
verſchweigt. Sind die Fehler gleihnamig fo zeige die 
Meunerprobe fie an, die Eilferprobe verſchweigt fie aber 
in 20 KRällen unter 36. 


Es fünnen auch drep Ziffern fehlerhaft kr; ‚, b 
daß alle drey zwey fehlerhaften. gleichgültig find, wie 
im folgenden Erempel, 

Richtiges F. 437861923 
unrichfiged. A, 435862123 
wo beide Proben friegen, 


Bey der Addition benannter Zahlen hat man mes 
gen der Verwandlung der Eleineren Einheiten. in grö- 
5 noch eine Abänderung der Probe zu machen. 2. 
B. die Summe der Groſchen betrage 185, wovon 


Heciprof, 183 


168 in. 7 Rthlr. verwantelt, und 17 zum Facit ges 
nommen find Da von 24 die Probejahl ift 6 nad) 
der Neunerprobe, fo iſt für die abgefonderten. 7 Rthlr. 
die Probejahl 6.7 oder 6, und diefe zu der Pros 
bezahl von 17, nämlich 8 genommen, muß eine Proz 
bejahl 14 oder 5 geben, welche mit der Probezahl der 
Gumme übereinfommt, wie es bey 185 auch zutrifft. 
Auf ähnliche Art verfähre man bey der Probirung der 
Pfennige, wo fürjeden abgefouderten Grofchen oder 
12 Pfennige zu der Probezapl der übrig gebliebenen 
Pfeunige 3 zu addiren find. Die Nechenmeifter ge: 
ben deshalb einem Thaler 6 Probegrofhen, und 
dem Grofhen 3 Probepfennige. 1 


Nach der Eilferprobe hat der Thaler 2 Probe⸗ 
grofchen, der Groſchen 1 Probepfennig. 


Auf ähnliche Art: verfähre man bey andern bes 
nannten Größen. So hat ein Pfund 5 Probeloth 
nad) der Meunerprobe und 10 Probelorh nad ber Eile 
ferprobe. 


In den Beytraͤgen zur Mathematik und Phyſik 
von F. G. Buſſe, Deſſau 1785, iſt eine Abhandlung 
uͤber die Rechnungsproben enthalten. Was daſelbſt zur 
Beurtheilung der beiden hier erklaͤrten Rechnungspro⸗ 
ben beygebracht wird, moͤchte eine Verbeſſerung beduͤr— 
fen. Die Wahrſcheinlichkeit, daß bey dem Zutreffen der 
Probe das Facit richtig ſey, haͤngt von der Fertigkeit 
des Rechners ab. Man kann nur die Zaverlaͤſtgkeit 
beider Proben mit einander vergleichen. 


Rechnungszeichen, ſ. Zeichen. 


| Reeiprofk (reciprocum) iſt eine Zahl von 
der andern, wenn das Produet beider die Einheit giebt. 


So iſt 3 das Reciproke von * bon n. Wer 
iel zu rechnen Kat, mag fich eine Tafel ver Bruͤche 


184 .  Rectification. 


— nmachen. In Huttens Woͤrterbuche ift eine folche 


für die Duotienten der Zahlen von 1 bis 1000 auf 
7 Decimalftellen enthalten. | 


Ein Verhaͤltniß iſt das Reciproke eines an— 
dern, wenn die Stellung der Glieder die entgegenge⸗ 
feste iſt, wie 5:3 und 3:5, 


Ein Parallelogramım ift das Neciprofe eines andern, 
ihm gleichwinfligen, wenn die Seiten des einen bie 
mittleren Glieder der Proportion find, in welcher die 
äußern Glieder die Seiten des andern find. 


Eine Gleichung Heißt eine reciprofe, wenn _ 
neben jeder Wurzel derfelben, p, auch : als Wurzel 
vorhanden ift, f. Gleichung, 17. 

* Rectangel, iſt ein Rechteck. 


Rectification iſt die Verwandlung eines 
Bogens einer krummen Linie in eine eben fo lange ges 
rade Linie. 


ı. Eine frumme Linie muß mon fih nicht aus 
böchft Fleinen, felbit nicht unendlich Fleinen, geraden Li⸗ 
nien zufammengefegt voritellen. Man mag fie fih als 
Gränze der eingefibriebenen Polygone gedenken, muß 
aber alsdann wohl bemerfen, daß eine Gränze immer 
bon dem, was fich der Graͤnze nähert, unterfchieden 
bleibe. Es ift vielleicht beffer, fogar die Vorſtellung 
einer Graͤnze bier ‚nicht zu gebrauchen, ums jede Über - 
einfunft des geraden mit dem Frummen zu entfernen. 
. Wolf fage in den Elementis Analyseos, P. II $. 

144, daß eine krumme Linie aus unzählig vielen, un⸗ 
endlich Fleinen geraden lineolis beftehe, und wenn -eine 
derfelben duch die Differentialrechnung gefunden fey, 
fo gebe die Summe die fange der Eurve. Der Zufag 
insbefondere erweckt ganz verkehrte Begriffe, da man 


' 


Rectification. 185. 


ein Differential nicht berechnen tam, und die Inte⸗ 
gralrechnung auch Fein Summiren unendlich kleiner 
Theile iſt. In der franzoͤſiſchen großen Encyklopaͤdie 
iſt ein Artikel uͤber die Quadratur des Kreiſes, deſſen 
Verfaſſer, Pankouke, der Herausgeber der erſten Auss 
gabe, ſich vorftelle, daß alle Curven aus geraden Linie 
en, oder Kreisbogen oder beiderley zufammengefegt fenn; 
daß diejenigen, welche feine Kreisbogen enthalten, als 


unendliche Meihen Fleiner geraden Linien anzuiehen fepn, 


deren Gleichung ihre Krümmung beftimmt ; der klm⸗ 
fang diefer Eurven, und ihre Klächenräume feyn coms 
menfurabel oder nicht, nach Beſchaffenheit der Curve. 
Es iſt nicht nörhig hierüber Demerfungen zu machen. Der 
- Werfaffer verbreitet fich weitläufig über die Rectification 
der krummen $inien, will die Linmöglichfeit, den Kreis 


“in eine gerade Linie zu verwandeln, zeigen, thut Died 


aber fo, daß daraus folgen würde, feine Curve laſſe 
ſi 9 rectificiren. 


Descartes (Geometria, p- 39 .), und andere. feis 
ner Zeit jmweifelten, daß irgend eine frumme Linie mit 
einer geraden verglichen werten Fönne. Daher war die 
Entdeckung der erften rectificabeln Curve fehr überra- 

- hend, Man hätte an der Erfindſamkeit des menſch⸗ 
lichen Geiftes nicht verzweifeln follen, zumahl da fchon 


frühe Erummlinichte Figuren mit geradlinichten waren 
verglichen worten. Es find aber wirklich nur Er: 


algebraiſche Linien rectificabel. 


2. Es ift AMN (Fig. 20.) irgend eine Curbe, 
zu deren Puncte Mdie Coordinaten AP, PM, und zu 
einem andern Puncte N die Coordinaten AQ, ON ges 
bören. Sie findrechtwinflihte. Die Abfeifjenlinie & 
ſey an der concaven Seite des Bogens genoumen. 
Durch M ziehe man mit AQ die parallele Mn bis an 
NO. Es fy AP=x, PQ= Ax; PM y, 
Nn = Ayz ber Bogen AM s, Bogen MN—=As, 
Durch die Puncte M,.N — man eine ſchneidende 
gerade SMN, und durch M die beruͤhrende TMAm. 


— 


486 Rectification. 


Jene ſchneide die Abſciſſenlinie in 8, die beruͤhrende 


— 


dieſelbe in T. Die verlaͤngerte Ordinate QN und die 
beruͤhrende ſchneiden ſich in m. An der beruͤhrenden 
iſt Mn: mn — Ox : Dy, (berührende Linie, 12, und 
Linie, gerade, 15.), oder PT:PM = 9x:oy. An der 
fchneidenden ift PS: PM = Ax:: Ay. Aus der erites 
ren Proportion sift PT? : PM* = ©x? ı Oy*, daher 
"TM’ : PM? = 9x* + Oy? 2 Oy®, und 

2* Ox2 + dy? | 

TM = nn Auf gleiche Weife ift 
. "Ax® A 2) 
sm) V A Y) 
ber als um jede angebliche Größe gebracht werden Fann, 
fo iſt ER | 
V (9x° + 0°) V(Ax? + Ay?) 
85 Ay 


. Da SM der TM nd 


die Gränze von 


. | R 2 
bas iſt von — Da dieſe Graͤnze durch 2 bezeich⸗ 


Ay 
nee wird, fo ift Os: V (ex Foy)=ı:ı, 


3. Man mag auch den Beweis folgendergeftale 
abfaffen, Der Bogen MN ift größer als die Chorde 
dejjelben, Auch iit der Bogen MN Ffleiner ald Mm 
+ Nm (£inie, gerade, 6.), Durch die Drehung ver 
fehneideiden Linie um M Fann der Punce N an M fo 
nahe gebracdıt werden, daß der Bogen MN Ffleiner als 
Mm ift. Denn es it Mn:nm=PT:PM,undNn: Mn 
=—PM:PS; alfo ift Nn:nm==PT:PS, und darausNm:nm 
—TS;PS. Folglich fann das Stuͤck Nm im Verhälts 
niß gegen nm und alſo auch gegen Mm fo klein ge 
nommen werden, als nur immer erforderlich fenn mag, 
und dadurch Fann in der Kormel, Bogen MN <Mm 
«+ Nm, der Bogen MN immer Fleiner als Mm ge 
macht werden, fo wie bie gerade MN in jedem Fal— 
Ie kleiner ald Mm ift, wovon diefer Satz auch eine. 
Folge ift, | 


Rectification. .487 


Nun folgt aus den beiden Proportionen, 
PT: TM = Mn ; Mm 
PS: SM= Mn:MN, 
As  TIM  _As_ sM. 


Ag Fr MI 


Der Differentialquotiene — ift nicht größer und 


; TM Ä j * 
nicht kleiner als IT Erſtlich iſt er nicht größer. 
Denn wenn dieſes waͤre, ſo koͤnnte er ſich nicht dem 
As J TM As 
F ohne Ende naͤhern, da nr > ne iſt. Es if 


| ds 7TM 

aber auch = nicht Eleiner als Pr’ Denn wenn 
a i $ i i TM 
dieſes wäre, fo koͤnnten fich die Quotienten — und 


8M | F 

ng einander nicht ohne Ende naͤhern. Es iſt naͤm⸗ 

u | As | 08 SM 08 

lich — und daher auch * ·alſo fiele * 
TM  . sM 

zwiſchen die Quotienten Dr und 55. welche daher 

immer verfchieden blieben, fo nahe auch die Puncte 


— os _ TM 
M, N einander ruͤckten. Es ift alfo = pr 
oder PT:TM =0x;0s Nun ift auh PT : PM 
‚== ©x ; ©y, und daraus PT: TM C 

x : V(Ox! + oy*); folglich it 9% = 
V (öx®-+ oy?), | 


4. Den dem Gränzverhälfniffe von Ax » Aa 
oder. von Ayz As kann die Kruͤmme des Bogené 


188 Rectification, 

nicht in Betrachtung kommen, weil dieſe eine Folge 
von mehr als zwey Puncten vorausſetzt. Die Abſtaͤn⸗ 
de der Endpuncte in der ſtetigen Reihe von Bogen wers 


den mit ‚den Differentialen der Koordinaten eben fo 
verglichen, wie bey endlichen Unterfchieden. 


5% So wie Y (Axt + Ay!) = 
N | Ay? ? — Ax 
v(1+ ODE yV OR 
| | z 

ift, fo ift aud ds — — — + Br 








gativ, wenn — Veraͤnderungen des a und ber 
Abfeiffe oder Ordinate entgegengefegt find. 


| Es ſey öy = pox, fo iſt Os =0x va PN 
eine Korm, die oft gebraucht wird, beſonders für die 
Kruͤmmungs⸗ Halbmeſſer. | 


5’, Werden bie Orbinaten aus einem Puncte - 
C gezogen, und die Natur der krummen Linie durch 
eine Gleichung zwiſchen der beränderlichen CM und dem 
Winfel ACM, welchen CM mit einer der tage, nach 
‘gegebenen geraden AC macht, beftinmt, fo fälle a 

von M auf CA die fenfrechte MP, und feße CP = 

‘PM = u, und den Bogen AM wie vorhin — 
Es ift nun vermöge — — 


s — — day vG+ SL. wenn CM y‚ACMd. 


heißt, u — y — t = y:.cosd, alſo Su = 
ey in® + y cos 000 t—= dy cos$ — 
ysin600. Dadurch wird ds —y (ey? + y200?) 
Ö 
=ayV ( =: >) 





Mectification. ' 189 


Dies läßt fih auch auf Folgende Art finden, Es 
ift (Fig. 21.) AMN eine frumme Linie, an deren Punct 
M von dem firen Puncte C in der Ebene derfelsen die 
gerade CM gezogen: ift, welche mir der der Jage nach 
gegebenen AC den veränderlihden Winfel ACM eine 
fhließt, An M fey die Beruͤhrende TM gejogen, und 
auf fie der Perpendifel CP von C gefällt. Man zies 
he noch an einen andern Punct der Eurve N die CN, 
welche der Beruͤhrenden in t begegnet, und die Chor— 
de MN, guf deren Verlängerung man von C den Pers 
pendifel CQ fälle Endlich befchreibe man noch aus 
C mit dem Halbmeſſer CN innerhalb der Schenfel des 
Winkels MCN den Kreisbogen Nn, und ziehe Nr 
fenfreht auf Cn, Das Verhaͤltniß des Bogens MN 
zu Mn wird nun aus folgenden Verhaͤltniſſen zufams 
mengefeßt, dem de Bogens MN zu der Chorde MN, 
dem der Chorde MN zu Mr, und dem von Mr zu 
Mn, Das Gränjverhältniß des Vogens MN zu Mn 
ift alfo das zufammengefegte aus den Graͤnzen der drey 
zulest genannten Verhaͤltniſſe. Die Graͤnze des Wer: 
bältnifjes des Bogens MN zu der Ehorde MN, fo wie 
diejenige des Merbältniffes von Mr zu Mn ift aber 
ı:ı, und das Verhaͤltniß von MN: Mr wegen ver 
Äpnlichfeit der Drenefe MNr und CMQ gleich dem 
bon CM : MQ, von welchem legteren Verhältniffe die 
Orange it CM: MP d, i. 1:cos CMP. 


- Benn nun CM =y, ACM=6, CN—y 
+.Ay, MCN = Ap, der Bogn AM s, 
z MN As 
und Bogen MN — A n — = — 

Bog — s, ſo iſt Bogen — Ay’ 


Land 


, 5 | 
wovon — bie Graͤnze if. Mithin ift Os :Oy — 


* 
FEN 12. 
ı cos CMP, Da tang CMP = — (beruͤh⸗ 


/ x 


190 Keetificatin, 
| rende Linie, 27.) ro ift, 
’ c08 /CMP — 


— yon 


Te don wodurch 08 # 





öy 
vor Fy%9 cos CMP 

— y(öy? + y?0P2) wird. : Der Beweis bleibtv 

wenn auc) AMN dem Puncte Cdie condere Seite zukehrt. 


6. Für den Kreis iſt die Gleichung xx 3 yy 
= aa; daraus ———— und p — — * alſo 


—— * Zu — 


ab / | 
— .Das Vorzeichen —ift genommen, weil 


V (aa — yy) 


der Bogen von dem Puncte an gerechnet, mo 
xza if, und die Abfeiffe x fih ungleichnamig 





berändern. Es iſt s — a Ang,cos- aAng sin n. 
a 


Die Entwicklung diefer Formeln ift in dem Artifel, 
Cyklometrie, vorgetragen. 


Rectification der cedelſchnitte. 


#4 Es ſey AMB (Fig. 22.) der Quadrant eis 
ner Ellipſe, deren halbe große Are AC—=a, hbak 
be fleine BC — b. if, Auch ſey AND der Qua: 
drant eines Kreifes mie dem Halbmeſſer a; die ge— 
meinfchaftliche Abfeiffe CP = x; die Ordinate an 
der Ellipſe MP = y, der Bogen BM =s. Die 
Gleichung für die Ellipfe ift ay? + b’r’ = a®b’, 


Rectification. 191. 


moraus durch die Differentialrechnung ift 


bex® — 
2 — — —— — — — 2 i 
at — (a? * be) x? | 


03° = — — ox®, 
a? (a? =c x®) 
Werden hier a imd b mit einander vertauſcht, und 
wird y ſtatt x gefeßt , io wird Os durch dy mit y 
ausgedruckt. 


aa — bb 
8. Man feße — = e&, und = 7) 


| welches dee Sinus des Wintels DCN iR, fo if 


Vase > 
dx = aöz, und ds = adz —— — 
: V(t -- 2% 


9. Diefe Kormel zu integriren, verwandle man 
die Wurzelgroͤß e im Zaͤhler nach dem binomiſchen gehts 
fage in eine Reihe, 





Vu—ez) = ı — Yez: — Berzt — Geszd 
— Ted 28 — Fe! ZI — etc, | 
> 1.1 ——— 
wo A — 2;3; do; — —3 
2 2.4 2.4.6 
1.1.3.5 Sr PR, 
DD = —— ; — — — 
2.4. 6.8 2.4.6.8.10 
| I etc, 


82 | 
Ste dieſer Glieder werde mit — Ya) multie 
plicirt, fo werden die Integrale folgeneife aue den vor⸗ 
bergebenden gefunden, nach der allgemeinen Formel, 
Integralformel, 61. 
—A—— m-+ ı zum dz 
er et Irre 
va-z2) m+2° Vü-') 
zuts V(ı — 2°) 


1 
m -+ 2 


192° Rectification. 


Verlangt man nur den ganzen Quadranten, ſo 
fälle der algebraiſche Theil weg, weil nun z= 1 a 
und es ift 
zutez  m+ up zu oz 
VG) " m+2° VC-z) 

Die Conftante ift — o, weil das Integral = o 
feyn fol, frx = o. 


Es wird nun nach den Formeln, a. a. O. 62, 
wo x hier z iſt, Ang sinz = = alfo der el: 
liptiſche Quadrant 

1 I 1.3 
AMB = - ra [:-: — — Bet 
2 2 — 


— — — —— 10 
— — 2...8 Ee 
— etc. 
Setzt man fuͤr die Binomialcoefficienten ihre Werhe, 
fo iſt 





* . I 
AMB—=—ra :-= „3 et 
2 2. 2.2.4.4 
1.1.3.3.501 5 Kol-3.30545.7.8 0000 
2.2. 4.4. 64.6 2.2. 4. 4. 6.6. 8.8 
| — etc. 


10. Euler bat die Aufgabe noch etwas anders 
behandelt, 2 der Comm, novis Ac.Petr. T.XVIIL, 


xx — x ı+2z | 
Da — — nn = ı ift, fo fege e =— folge 





BER, ; — — 
— — woraus ſich ergiebt 


SCHE - b3z u. 
x — ; —— —; 
2V2042) aV2(ı-2)’. 


os 


Mectification. 193 


der — (aa + bb — faa — bb) z) * an 
— 22) | 
Zur Abkhrzung fege man aa + bb = = cc; und 
aa — bb we 
aa 4 bb — 


— do⸗ /V (a —- ne) 
—— — VCA22 
Die Integration iſt dieſelbe wie vorher. Die Con— 
ſtante muß ſo beſtimmt werden, daß der elliptiſche Bo— 
gen =. 0 ſey, wenn z—= — ı genommen wird." Die 
Integrale von den ungeraden Potenzen verſchwin— 
den fr z= + ı md æ — 1. Es iſt der 
Duadrant J | 


| .t . 
AMB = — 0-2 m 
V 4:4 4-4 8.8 


1.1.58 8: :740.0 





7:9. 11.13 
—— | 
Die Eonftante ift — die Haͤlfte des elliptiſchen 


Quadranten fuͤr x a F und y= by. 





Die Progreffionalgröfe n® ift Fleiner als e*3$ 
der Eoefficient von n? iſt beträchtlich Fleiner als ver von 
e® in der vorigen Reihe; alleın die Kactoren, welche 
fucceifivd hinzukommen‘, find in der Euleriſchen Reihe 
| größer. | 


11: Die unbeſtimmte Rectification der Eliipſe 
ergiebt fich aus den Integralen, ın Integralformel, 62, 
wo die ganze Mechnung fehon gemacht iſt. Man hat 
nur noͤthig zu den Integralen die Fartoren der ‘Potenz 
ten von z nebit dem Faccor a zuzuſetzen. Das dorti— 
ge x iſt hier z, und 2 daſelbſt bir V (ı — 


194 Rectification. 


Es iſt, wenn man die Formel in 8 entwickelt, 
und — sinz=Gfes, - 


= = pe (= ——— E00) 
Ber & — Zee —X 

| | — sin 68. co.9) | 

ul 93 sin 9.09 








2.4.6 2.4.6 
—— sin s,. cos Ö = - sin 0° cos 0) 
4-6 — 6 — 


— 


| 12. Ein Aipeider Bogen läßt ſich auch durch 
den Winkel @, deſſen Sinus z iſt, und die Sinus der 
geraden Vielfachen von P ausdruͤcken. 


In der Sleihung, os = adzy nn 


fege man 2z — sin 0, fo ift 92 — cos az Do == 
80. V(i — z*), folglich 

ds — adꝙ V (1 —e® sin 9°), 
das ift 


ds —=a0ß (1 — Yet sin D! — Bei sin 9 

— de‘ sin 96 — De! sin 68 — Fe!® sin P!° 

— etc,) 

wo ni 3,8, D, etc., die in (9.) angegebenen Werthe 
haben. 


Aus den Formeln fuͤr die Potenzen * Sinus 
in Goniometrie, 137, ſetze man fuͤr dieſelben ihre Wer⸗ 
the durch Cofinus der geraden Vielfachen von G, um 
die ————— zu bewerfitelligen, da / cos m® , °P. 


1 — e* z* 


= —sin mo ift, gene 109, 


Kectificatiom, 195 


13. Um die Formation der Reihe für den els 
Jiptifchen Bogen deutlicher einzufehen, muß man in den 
Formeln für die Potenzen der Ginus die Coefficienten 
der Eofinus als Binomialcoefficienten bezeichnen. Tin 
der amten Potenz feyn diefe duch "A, m, ”=E, 
u. ſ. fe angedeutet Binomials Eoefficient, 1.), fo iſt, 
z. B. 


27. sin 8 = D — € — + :B c0s4 ® | 
= —-—Acos604cos8 

»9.sın PB’ = = E — 109) cos 2P + Ccos ab 

| — 8 cos 60 + "X cos 89 - cos 10 6. 

Die Coefficienten in der Potenz (1 2)? müffennun 

der Gleichförmigfeit wegen, durch ®y, EB, 35,2 D 


u. ſ. f. bezeichnet werden. Es ſind hier die abſolu⸗ 
ten Groͤßen in (9.) zu verſtehen. | 


14. Es ſey nun 
3 1 N — 
—-— zAO + —-Bsn26 — - Csin 49 
a 2 | 4 
+zD sın 69 ut singQo + —Feinzop. 
| u etc. 
fo ift = 
d —WF 
<= (A+Bcos29 — C cos 40 4 Dcos 60 

— Ecos 80 -+ F cos 100 — etc.) 86. 
E 
Man entwickele die Formel für — in (12.) nad 


den Eofinus der Vielfachen von P, fo giebt die Der 


196 Rectification. 


| 8. SENSE 
gleichung mit jener Reihe für — die Werthe der Coef⸗ 
ficienten A, B, C, D, etc. wie folger. 


g!? ' 
4 etc. 
the Ip Lg. dee 
4 .8C. "Des a 109) , *Eeꝛo 
+ eto 


| + etc, 
D=2— Eger + =; er. Eder 
* — ·B Een⸗ 
+ etc, 


Eder + - ‚0X, Eero + etc - 


1 
'E=— N 
7 


EL EL. 
F=. Eeꝛe + eto. 


Xecctification. | 197 | 


15. Hieraus wird durch gehörige Einſchaltungen 
und NR von Faetoren 
— — Be PR .610 2.32 Ö 
=: : 4.16 | 1.16.36 
1.9.25.49.9 


En Lienen 'e8 rn — —e— e1® 
4.16.36.64 4.16. 36 . 64. 100 
— ELC, 


ee x I 

+ - sin 2 e, + et .— es 
|; ——— .12.16 
ER — BERN 

8.12.16.20. 2.3, 

. 9.25. gr: I. iv „zo 

8.12.16: 20.24 2.314 | 

etc, 

1.9.5 es 


0 143 
— sing er — 
1,4 12.16 . 12.16.20 
BEL EI ER 
12.16.20.24 2 


4 1..9.95.49-09 Tel gro 
12:16.20.24.28 2,3. 
+ etc. 








> «I.I I. 
ERRRARE 5, 


16. 20.24 
16.20 224,28 — — 32 2 


+. etc. 


ER EI ZLUN 1:.9.25.7 
— in 80 — ge 
5575 20,24. 20.24.28 .32 32 





18 Kectification. 


1.9.25.49:9 
— 36 * 


IT: — opf 22:03, -9.25.49+.9 „o. 
41.2.3:.6+25 94.:28.32.36.40° 


+ etc. 


16. Die Jänge eines elliptifchen Bogens laͤßt 
ſich auch vermitteiit des Krümmungshalbmeffers finden. 
In M (Fig. 23,) fen die Mormale MQ gejogen,, 
welche die große Are unter dem Winfel AQM = =—'w 
ſchneidet. Der Halbmeſſer der Krümmung in M fr 
=r, un für w= 4° yrfh, ſo iſt r 


naar — ( Kruͤmmungskreis, 17.). Ferner 


iſt, wenn nun AM =.s geſetzt wird, ds —=rdw, (eb. 
daf. 1... Es muß hier AM durdy s bejeichner wers 
den, damit die Differentiale Os, 9w gleichnamig feyn, 
inden AM und w zugleich zunehmen. Es ift alfo 
fow 

gs ¶ — — ——— 

| . (tr + ncos2w)2:3 
won denfelben Beh wie in (10.) bat, 


' 


| 17. Die Rechnung ift fchon in dem Artiel, 
Integralformel, 137. gemacht. Man muß ſtatt des 


docrtigen v hier — ‚und 20 > flart ® fegen. Dar 
durch RA=—5 B-+ e* ——2 


—— +5 a u. ſ. f. Es wird nun durch die 


— 


ken da = * 
—— erhalten, da Fan? +ncos20)%3 
iſt, 


Rectificatiom 199 


an 
— — n®. n4 
ai —— — 4:8. 4:4:8-8 


ee 13 0 
* ) 


| — I E Bo a ME n3 | 


+ Au — 4 34 m +ee) 


4+.20. 1.2 


1.00 35 — 
— — nn? n+ 
2 er (= — — 4.8.12. 16° 
— 6. 
Eye) 


Aue 24 1:2 


| | 4 & ; — 1 
— sin 6 (un 4 ER ‚Ins+ete. ) 
, 3 * 


4.8.12 4:20 8 


| er 3.5.7.9 j $..13 6 6 2% 


= Is .5.7.9.11 | 
— 100 ——— + etc) 


4.8.12.16 .20 
+ etc." 


Die numeriſchen zu von n fü nb wenig 
convergirend. | 
| "Der Factor zu w iſt Quotient von 
DE,  1t03. 54 
4.4 — 
_ 1.1.3.5 1,9 — 
4. 4.8.8. 12.12 | J 
and ‚etc, 


duch 2 — nn divibirt, Jene Reihe iſt bie in (10), 


! 


-200 Ä Rectification. | 
Die folgenden Reihen laffen ſich auf Diefelbe Are 


condergenfer machen, wenn man fie mit 1 — nn mul 
tiplicirt, und dagegen er den Diviſor ı — nn 


! giebt, 
— | a abeyg 
Es iſt nämlich. = (a + b®)3 2 


muffiplieirte Neibe nenne man R, die Reihe in 10. 
bezeichne man durch 8. Der elliptifhe Duadrant — 


.Die in w 








1 I _ab’V 8 
= —rfR = — 2 
— — —K, und aus (10,) 
F | ' bb 
iſt derfelbe — — u 2 . 8. 
2 V2 a. 
| bb)? —— 
en ff R = en) 8.* — Denn 
za’h? i—nn 
oo gar be 
ln = — 
+5} 


18. Die Kormel,. die $änge. eines elliptifchen 
Bogens durch den Winfel w der Mormale mit der 
großen Are zu finden, bat ihre Anwendung in der Geos 
graphie, weil bier ein Ort oder Parallelfreis durch die 
Dreite defjelben gegeben wird, melche auf einem ellips 
tiſchen Meridian durch jenen Winkel w gemefjen wird. 


‚19. Wenn die fage des Punctes M durch den 
Winkel BAM der Normale mit der Fleineren Are ans 
‚gegeben mwırd, fo werden die fubrractiven Glieder in 
(17.) additiv. Es ift nämlich, wenn nun BAM =w 
F: 
geſetzt wird, r = G —n cosaw 2" Denn es iſt 
cos 20 = 1 — 2sin — — 2(cosw'), und 
I+tncsw=ıHtn — .2n(eosw) —m 
2 — ncos2w, Die Entwicelung des Differentials 
0s ift.alfo ganz diefelbe wie vorher, nur daß nm nega= 
tin wird, ‚Daher die Factoren zu den Sinus der einfach 


Rectification. 201. 


geraden Vielfachen von w ihr Vorzeichen Ändern, in⸗ 
dem a‘ oder 90°. — @ für d geſetzt wird. — 


20, Der Bogen AM ( Fig. 23.) kann auch 


- oder e?, und durch 


J 


durch die Potenzen von 





die Potenzen der Sinus von w, oder ſtatt dieſer, durch 
Ginus der Vielfachen von @, ———— werden. Es 
iſt (Kruͤmmungskreis, 16.) 


— as cos w* 
x? —— 


alfo, vn: be (a? — x*) = a’y* ifl, 
Pa ” bs: sin w® a 
| 9 gr cos w® + h° sin w*" 
Oder | | | 
— — — — he sin c 
(1 — e?sin w’)t'2 . 
Die. Differentiation giebt 
| pe sin.dm 


xs=—r: 


—ñ Fe en 
alı—e: sinweyt2' 


A sin @')2” 
e b* | cos w.dw 
I. " (1 —e! sin w2 )3:?" 


Das — Ox iſt negativ, weil x abnimmt, 
wenn w zunimmt. 


Hieraus ift | a 


_ s — — er) dw 
2 2 07 — (1 — e? sin w?) 32 


sin w 





oder, da dw — R 
c0$'W 


a (1 —e?) d sin w 
ER ET 
cos w(r —e? sin w*) 3 





202 | Rectification. 


Die integration dieſer beiben Differensialformeln 
zu bewerfftelligen, muß man fie in eine Reihe verwans 
deln, Es iſt 


— + He? sin 2 + We? sinw* 


+ Ce sin w° + etc. 


— — — —— 
(1 — e?sinw?)32 


mo | 
3 j ® 27 
A=-; B—2 — — 
3 8 4 2.2.0 
u. ſ. w. iſt. 


21. Aus den Formeln fuͤr die Potenzen der Si-⸗ 
nus (Goniometrie, 137.), und der Formel, [cosAw.dw 


— sin Aw, wird erhalten: 
8 — — e2) x | 
K —— = det +7 = Yet = 8° ve⸗ 
4 — 
6 Yes + E Ber + Ser + den 
= etc. ) sin 2w 
I pas — ⸗ ed, De 
\ * er nr 128 — 512 — 
+ etc.) sin 4w 


ln bt I Bi 
ne + De® + eic.) sin 6m 





r (— — eic) sin gw 


— ec. | 


Meetification. 203 

Die Soefficienten zu den Potenzen von e® in dem 
Factor von w find R 
1.3, 1.3%.5_ 1.392.527 1.38. 5?.7°.9, 
2.2’ 22.42” 28,42, 62° 22.42.68.g2° 
a yo 

"72 62 92,0% 222, 
22.42.0°.8”.10 
Die Coefficienten in, dem Factor von sin2w find 
ar, 1, 3°.5°.77.9 I 


— — 





8’ 8.12 8.12.16 2’ ie 20 23” 
98,582, 78 „g® „IE 
————— —. uff. 
9,13.162.30.,24 23.3.4 
Die — in dem ger: ju sin4w find 
32.5 I „3? . — 3 59,779 I 


1 
12.16 7 12. * 20° # 12, 16. 20,24 ya’ 


30.5°.7°.9%.117 I 
12.16.20. 24 .28 7 — 





22. Die zweyte Formel fuͤr ds zu en ei 
man sinw=u, fo ift 


* Vom“ ae + Bet ut + Cefu® 


+ Dedu$ +etc,)du. 
Die Zotrhrale ergeben ſich aus — 62. 
3 

Man ſetze =; = =u7=% 6; 
— RL uf fe fo if 

s.— atr—e?) X 
| Ci + ae? + Bet + ye° + e® + etc) w 
— (ae? + Bet + Ye + de? 4 etc.) sin w.cosw 


O5 


.208 Rectification. 


D 


— — (Be? + ye® +.öe® + EEE 


* 


2.4 
 — (yed Fr des 4 etc.) sin — cos w 


3.5 
2.46 
— mm 

.5.7 


en — 


Dieſe letztere Formel hat Pasquich gegeben, in von 
Zah monatlicher Coxreſpondenz. J. Bd. ©. 439. 
Die Gründe der Berechnung find in dem IX. Sn 
©. 302 geliefert, 


205. Wolfs Rechnung, die Ehipſe zu rectifici⸗ 
ren, (Elem. Anal. Infin. $. 172.,ift noch ſehr unbe— 
quem, Er löfet in dem Differential des Bogens Os 

u — 42x23 — c!x?) 

| avıa® — x?) 
fleine Are ift, Zähler und Nenner im eine Reihe auf, 
Dividirt Die erftern durch die legtern, und integrirt dar⸗ 
auf. So finder er eine fehr unvollftändige Neihe von 
fehs Gliedern, ohne ein bemerfliches Gefeß der Korts 
ſchreitung. Lambert Hat in dem 3. ‚Theile feiner 
Bentraͤge zur Mathematik den elliptifchen Bogen auf 
gleiche Art geſucht, verwandelt aber erſtlich die Divi⸗ 


ſion in eine Multiplication, durch (aa — XX) -? in 
eine Reihe aufgelöfer, und findet ein Gefeß des Fortgan⸗ 
ges für die Eoefficienten der Progreffionalgröße. Mur 
eonvergiren diefe zu langfam. Deswegen fucht.er ver: 
fchiedene andere Merhoden, um die ellipeifchen Bogen 
bequemer anzugeben, von welden - einige benutzt 


find, In der Bormel, ©. 51. für — zf nd einige 


Unrichtigfeiten, als 3. 4, wo ber — 20 wegzu⸗ 
ſtreichen iſt. Daffelde muß 3. 5 mit dem Factor 9 


(Öe8 = etc.) sinw?, cosw 


ex, wo c bie halbe 





Meckification. 205 


in dem Coefficienten zu taꝛo, und im dem fols 
genden mit dem Kaekor 135 auch 3. 6 mit den Facto— 
ten 11 und 13. gefchehen. — Hindenburg hat in 
der Sammlung analytifh= combinarorifcher Abhand⸗ 


lungen, II. ©. 132, von der Rectification der Ellipſe | | 


ein Beyſpiel bergenommen, feine Methode daran zu 
geigen. " | 


24. Sür die Hyperbel iſt die Gleichung, b2x® 

— aty? — aabs. Daraus iſt b?xöx — a?yoyz 
b4x2- " 

oy? u ady® Ox? N) * 

__ (e® + b2)x2 at 


ds82 — —— —6 
a? (x? — a?) ; 





2 
a? + b! | 
_ OxyY(a2 n2a2) 


os — R 


ny (x? —a®) 
Diefe Formel zu infegriren entwickele man die 


n? a? 


Wurzelgröße va’ na) xy, — 


et a un 
Es ſey ZI mr fo it 





n4at n°a® n3as 
5, 3 2 u x7 un ® 
1 1.1 ——— 
wo Y=-; B— —; — 3 
3°. 2.4 2.4.6 


IL. % . f D 
DD = Fer u. ſ. f. Die-Differentiale, welche 
Mex 
xwy (xx— aa)” 


mo m eine ungerade Zahl iſt. Es iſt (Integralfor⸗ 
mel, 65,), | . 








bier erhalten werden, haben die Korm 


⸗ 


* 


200 Xecctification. 


f dx | ı ‘Vlex—aa) ; 
xzuy (xx— — (m — ı) FACH iz, 

| m—2 dx 

r TED zu (xx — aa 


Da m ungerobe ift, fo führe die Integration zuletzt 


auf [ = — welches aus Integralformel, 54, 


1 a 
ie _ = Angısec > - = oder = Ang,cos —. 


Wenn der Bogen. am Scheitel anfängt, wo x 


S a if, fo iſt daſelbſt der algebraifche Theil x Inte⸗ 


grals — o, und der Winkel zu der Secante — eben⸗ 


falls — o, daher die Const. — O. 


25. Es ift, wenn zur Abkürzung zu 
gefeßt wird, 
xox 


| I a) = — aa). 
— ardx j An e= 
xV(xx—aa) a 
atdx ı aau 
— — 2" Sr Zzaangse 
ef a6dx — 1aau 1.3 au 
en ck u Tag x 
1,3 x 
+ =, a Ang.sec.— 
asdx ı au, 1.5 au 


wyYax—a) 6 „6 14.6 xq, 
I: 1:3-5 5 au 1.3.5 X 
— BE A ‚sec. u ® 
+ 2: As 6 x’ tz a ” a ſ. f. 


Kectification. je 207 


- Die veränberlihe u nähert fich ber x def mehr, je 
größer x wird. ; 


Mie Hülfe diefer Integrale iſt die Reihe far den 
— Bogen leicht gefunden. pr ift 


s— -[: — = But. 


1.3.3 


Ä x 
6 2 
+ —— 2.4.6 , pn 4 etc. " a. Ang sec— 
„U __ Va + bb) (xx + au) 
ar Es ift ee ee 
„_. YV’(aa + bb) 
b 


buch den Endpunet des Bogens M ( Fig. 74-Tab, 
X! Th. 2) der Aſymptote CS parallel gezogen wor⸗ 
deu, von diefem Puncre an bis an die Achfe CA ges 
nommen. est man x unendlih, fo fällt jene geras 
de mit der Aſymptote CQS zufammen. In dieſem 
Falle verſchwinden alle duch x oder Potenzen vefjels 


die Größe der geraden , welche 


x. 0.0 
“ben dividirten Glieder, Ang.sec — wird = =. und 


der Überſchuß der Afymprote CS p% den ganzen un⸗ 
endlichen Zweig der Hyperbel AMS 


| | > SE Ga 
— —nar — ee —— nt 
ur: 4 * 


/ . 


2068 Rectification. 


18. 32.5* 1 I*. 325**7 1 z ) 
— — — nt ——— ———. nd et i 
ie 5.80: 8 * n?.4°.6*°.8° 10 + i 
26, An der gleichfeitigen Hyperbel ift n® — 
dx V(x — a“) 
va—a) 

| zdz 


— — uund os * 


Ve’ tie) | 


und 0s = . Dan feße ax! — at 


— 2,piflx=. 
zZ —— | 
I, Man fieht hier, was das Integral eiz 
Viz+ —-at) | 
nes Differentials, diefer Form iſt. 

Setzt man zu wa=ı ſo iſt ds * 

du V — J * 

2 Yu ı) 


27. Es ift die Seeante des doppelten Win⸗ 


kels, welchen der Radius aus dem Mittelpuncte der 

gleichſeitigen Hyperbel an den Endpunct des Bogens 

mit der Are macht. Denn der Winfel des Radius mit 
SPUR ; 


ber Are fen 9, fo-ift tang $ = —, und sec$' 





— 2 


x x 4 
| sch C„2m— a’ 
alſo ger a . | 
dem eriten Theile diefer Gleichung Zähler und Nenner 


1 
— 


durch cos P*, fo wird derfelbe = —— —* 


x? - ä 2x* — A? a 
— — — Ferner 2 — sec 7 * 
x⸗ 


.Multiplieirt man in 





2c0s PD’ —ı 
1 x? — a? — 


cos 29 
28. 


Rectification. 209 


28. Man ſetze a’ — a: fo ift die Steichung 
für die ln Hyperbel, xx — yy = 2 Auch 


ſey tang = — ſo iſt tang (45° An — 
Dieſer Quotient ſey = u, ſo ey * en 
V2u 


ı+t u ou V(r + — 


x — — und OS — — 
zu 2uyu 


29. Nimmt man bie Coordinaten x, y, jene 
auf der einen Aſymptote, dieſe mit der andern Aſymp⸗ 


aad 
tote parallel, fo iſt xy = aa, und dy =— — 


alſo | 
ds ⸗ Ay oder 08 — Ev. ax), | 


Diefe Formel läßt ſich nicht anders als Ds — 
ſung in eine Reihe integriren. 


30. Die in (11) und (25) —— Ausdruͤ⸗ 
cke fuͤr einen elliptiſchen und hyperboliſchen Bogen ſind 
nur dann brauchbar, wenn e an der Ellipſe und n an 
der Hyperbel Fleine Größen find. Sit, aber e over n 
wenig vom Eins unterſchieden, fo muß man-den Meis 
ben fir den eliprifchen oder hyperbolifchen Bogen eine 
andere Seitalt geben. Zu dem Ende drücke man das 
Differential’ des elliptifchen Bogens m (8) fo aus 


os __ 52 V{t — ez) — 
7 





02 V(t — em) Ä 
ya) v(e 7 2? 
Man fee i + z = u, und zur Abkürzung 
— = m, fo wird 





u 


10 Rectification. 
| as au euylrte (1 46— eu) (14 
ve vVa-—u) +3) 


Sul: Fe—eu) 
= ars array Ve + =) 





Man — V (1 Mr -) nach dem binomifchen 


Schrfaße,fowird wenn man y’(a--2e—Cı + 3e)u + eu‘), 
um abzufürzen, — — V fegt 





aye 7 
= Ey 





— 0 + ge : ou. 
TION — >) * 
za GAS FT ou 
— 1.6, 8 20 
+ etc, 
wo die Integrale fo zu nehmen find, daß fie für z=o, 
alfo fir u = ı verfchwinden. 
Es | 
—_ 1 3e — udu 
| = Const. —V 
— I — V. 
Ferner 
cu ou 


| /W irre +2e—(1-+3e)U+ Heu) 


Rectification. | \ 211 
23 au | 


(Wer, u. ° w) S | 





uy = } 
a f 
“ W@r2e) | u + 2e BR. = 36 utur) 


alſo nach (Sntegralformel, 17) IS — = 


x * — —— EL 
V(2-+2e) 5 u>< const. | 
u an 3 +e—(+3odz—aytatse)v 
= Y@atze) ° (1+z)(3te—sy(@+2e)) 
nach geböriger. Beſtimmung der Conſtante und Wie— 
derherftellung von zZ, wo denn V=y (12) (1I—ez). 

Diefes Integral, auf welches alle übrigen zuruͤck⸗ 
gebracht werben, ſetze man L. 


Um die uͤbrigen zu finden, differentiire man die 








Formel ———, fo wird | 

⸗ V 26 gez en) du — Nou 
+ pm aummvy ur 

_ _4P-rlt +e)-(2p-: YXı+3e)u+2(p-2jeu’ — 


2uPV 

Hieraus ergiebt ſich Bes 

> = . v — u. , 

urv 7 20p — 1) ¶ + Ju 
(2p—3) (1 + 3e) ou | 

+ Inne en br 

BR. Dunst.) RS — du 
— €) umay 


212 Rectification, 

| Setzt man hier aid und na p = — 3,4. u. ſ. w. 
ſo erhaͤlt man * le 2 — = F u. fe fe durch, 
Det Seifen die: gehörig ergänzren Werthe jener 
Integrale M, N, P, u. ſ. f. fo ergiebt ſich 


M= V. ®. ır3e 

| = Sarah) aı +e)‘ 
ENT S. "ar 30) 

— — Gate) 2.3 are | 

— 43066 — 








J tz 





1.3 (1 + 3e)? e | 
ba Fer 8(1 + e)2 — 
——2 
 6lı$e) 4. 12 (1 4 e)* 
is tsgetig® 1 —— 





2. 8. 12. (1 P) 60 — — 
1-3) 
— +e)? "(1 +2)? | 

_ 15 +5ge+ıoge® ' V 
2.85.12.(1 Fe)’ "ı+z Ä 

„(1.3.5 (I+3e) . 1.9 +3 3e)e 
rer 12° are — Er, Fon) 

u. ſ. m 

Dadurch wird nun 


hi 








— 





⸗ GHadu—e , 
ay:e:.- ' Y + — 


+3) |, 
Bi rh .  ıze? 


Rectification. | 213 
© —— + 30 6 N i | 
4.6.  , ı16e® 
— (17 + 3e)Cı —e)* p’ 
4. 20 
r.et 
31. DBerlangt man den elliptiſchen Quadranten, 
fit z=ı, ud V — 0o. Bezjeichnet man alſo 
den Quadranten AMB (Fig. 22) durch E, fo wird 
I: BEHIel—e  —e 
—— ı HI II TI ————— 
aye -  geyVY(2+2e) 3+e-2V (24 2e) 
— — | 
0. 32e*(ı ie) 
-  (3-#10e+3e?)(1—e)? — me 
z2e*y(2+2e) ' ſ 3pe—2y(2+2e) 
ei (ge+igoe + 39e?) i—e 
2048 eᷣ ( Fe 
An (39 + 1gre+ 185 e? +33) —— 
1024 e V(2 2e)? 
BE 
3 +e—2V(2+ 2e) 


log: 


Da bier Fein Gefeß der Kortfchreituug bemerkbar ift, 
fo hat man eine andere Reihe für E zu ſuchen. Diefe 
erhäle man fo. Es iſt, wenn man Kürze halber die 
halbe große Are’ ver Eilipfe a = ı, feßt, aus (9) 





” I 
— —41 — — e — 3e* 
2 22 — 
12 32 18.9? 53 


Mar 0 geenfleatbn 


Nimmt man bon dieſem Ausdrucke das erſte und 
zweyte Differential in Beziehung auf e,.Äo. wird 


°E {2 * 4 —X 
— — — — ., 
BEE 2*”,4° — 





ooE "gı | 

—— 7 a er a u 
— 6.58% + eic.) | 

er + —38 + cf = 

Hieraus iſt 2 | h 

2oE ı oE 

te rer Ze 

= 153 

— , et 
Far 7 + = 


Multiplieirt man hier mit ı — €‘, fo wird 
1 — e* — 


ce? 53 e 





Man fehe jest E als eine Function von b r ber hal⸗ 
ben Eleinen Are an, fo muß man um bie Differentis 


2 


ccE 
algleichung zwiſchen E und b zu erhalten, ſtatt 57 


Xectification. 2156 

- JeddE—dEBNe .... J | 
feßen . * (Differentialgleichung. 16.). 

Dadurch wird aus der vorigen Gleichung. 

ı 7de—E — OLEe i—e'! öE 

— EI) — men ren — 
een), 08° oe r e .0e 

E=o 








Nun ift 
e — ı—b 


alſo, Ob conſtant genommen 


° 

De — — 

Am 

folglich | | 
‚met bb te ı —!b® 

"de de üb’ Ob: 
ode ob _ Sb 

Ze — ber — ba-b)- 

Hiermit erhält man aus der legten Gleichung biefe 


„DE /ıFtb’\N SE S 
un) an Tem 


welche zur Entwicelung von E nah b dient. Um 
die Form der Neihe, welche E dur b darftellt, zu 
beftimmen, entwicfele man die beiden erſten Glieder der 
Reihe in (31), indem mn e= V(r —b') = 


1 — be -; b+ — etc, macht, bis zur zweyten 


Potenz von b, fo findet man E 1 — 7 b’ + 


) 
4 
head 
© 

8 
|» 


216  Rectification, 


Man Teße demnach E * Q + R log“ ı wo Q 


und P zwen nad. ben Potenzen von b° fortfehreitende 
Reihen anzeigen, fo it | 


:0E ©0 4 R 
— arm TE 
ScEK 80 108 4 &R ı R 


teen ite 
Bringt man diefe Werthe in- die RE 
zwiſchen E und b, fo entſtehen, weil die in log 5 F mul⸗ 


tiplicirten Glieder fi fi so ſeyn muͤſſen, zur — 
von Q und KR dieſe beiden Differentialgleichune 


gen 
OR b* 
mb db. — — J 


ARVNR b: 
a ar + — 


⸗20⸗ 224 =om 
a 
fo ij = ee ach + aA + Obi + Bob + — 


on — 20 + 12Abt 4 30ybt + 568b°+ u. 
wodurch aus der Gleichung (I) wird 
(88 — 30)b? + (247 — ı5ß)bt 
+ (488 — 35bS + ec. = ©, 
alfo a unbejtimme ven Man kennt deffen Werth 





aber ſchon, welcher = iſt, und Hat nun, weil bie in 


Rectification. .. 47 


ba, b#, b5 u ſ. w. multiplieirten Eoefficienten 0 ſeyn 
müffen, 





2. 23.,9,4 

— 15 = 3:3 —1.1.3. 3.5 
24 4:0: _. .._2.0:4 4,6 

35 5.7 27 2.1,3.3.5 5.7 
48 6.8 7 mn 
u, ſ. m. 


Um die Glieder der Reihen fuͤr R-und. Q Teich: 
ter :zufammenziehen zu koͤnnen, und meil überdies R 
mit von R abhängt, ifege man 


1 21 * K'ah? * RuBb⸗ —R + Kıröbs 
| 4 etc, 


20 220 
Sucht man nun. -Ih’ Ihr und bringe die Werthe 


| | SR : R’,L 
derſelben ion» Denen: bon * und hr} in(ID, ſo er⸗ 
hält man zur Beſtimmung von K“, R“, uf. m 
(x fenne man ſchon, es “ namlich K'’ = — F 
folgende Gleichungen | 
8K"' A — 3Kla — 6ß + 4aa—=o 
* — — — 107 +8ß =o 
48 Rirò — 35 Ky — 146.4 127 0, 
Da nun 
868 = 20,. 247 15K., — 55 
u. f. ſo wird | 
KU El — — — 
—— 1.3@ 


\ | 107 —— 86 
Ku — Kl + a a 
= 354 


218 Rectification. 


K'r a RK’ = 146 — 127 | 
5.71% 
IT | 
wo das Geſetz der Fortſchreitung klar if —* 
man die Werthe wirklich, ſo findet ſich, 


K' = Ko KA — — EI: oz 
12 12 7 





3.4 
Ku ge u ————— — — 
60 I2 30 
— R'' I, 1 
3 a 4° 5.6 
Kr — EZ — 4 = RK um — — F 
840 30 56 


5775 
Bezeichnet man alf die Eoefficienten vom zwepten an 
K', K', K ET: durch A, B, C, D, fo ift 


Ezıtis (108 (#) — ) 
* * b4 ( 108 G)-1-—— 
= Zar dr 
3 j 
* — — 62,8 ZB: (108 Slsderre 7 
4 etc, | | 


Euler hat dieſe Reihe für den Quadranten einer 
Ellipfe-von großer Excentricitaͤt gegeben in einer Ab⸗ 
bandlung de ar ellipseos, welche die legte 


Hectification. 219 


Gtelle im ten Th, feiner Orusculorum varii argu- 


menti einnimmt, Sein Verfahren, zu derfelben zu 


gelangen, iſt bier etwas vereinfacht, Will man a in 


E 
bie Reifen wieder anfuhren ſo hat man nur =. 


— >. far E, b zu fen, 


f “ 


3. Die Rechnung für einen hyperboliſchen Yor 


gen im Falle eines der Einheit fehr nahe fommenden , 


n, läßt fich auf diefelbe Arc, welche in (30) für die 
Ellipfe gebraucht ift, anftellen. Wenn aber e an ber 
Ellipfe oder m an der Hyperbel nicht ſehr nahe: an o 
oder ı fallen, fo giebt es für die Berechnung eines el: 
liptifchen oder hyperboliſchen Bogens feine vorzüglichere 
Methode, als die von Sagrange, in (Integralformel, 


81.) erwähnte, von welcher hier die Anwendung auf 


die Ellipfe nach Legendre gezeigt werden foll. 


"Das Element ds eines im Scheitel der Heinen 
Are; — elliptiſchen Bogens s iſt, wenn vie 
große Axe — 2, und die, Abſciſſe aus dem Mittels 
puncte x—sin® gefegt wird, —0Q Y (1 —e’sinP’). 
Da e<ı, fo fehe man noch e = sine, fo wird 
3001 — sine? *sin6°) 
V(r—sine'sin "sin 9°) ) 
Es ſey (i +-c0se)sin®cos® 
Vli—sin#-sng') 

cos ©? — cose sin P? 


— — N 
fo wird VG—sine nah) au cos ® 


2 Ki V(ı— sine’ sin @!)= 


= sın®$' 


wodurch alfo für sine — ı, sin9‘ = 'sin®, cosQl ; 


= cos® wird. Kerner giebt die Differentiation 
0 — (1. + cose) (cos®? + cose:in $?)89 


1 — sins® "sin P. 


— 


220 Fectification. 











— cos e 
dan nehme nd ———— I Eine‘, 
Man nehme noch Sp ine 
fo wird Be 
cos P* c08 nd 
va — gi si = — ‚cos c0 € sin 9* 
V(r—sinesinp‘) | 
50’ alich 
CE — (1 4 COS &) 
Yaı — sıne‘ "sinp"®). Y (ı—sine’sin o°) 
oD | 
V(ı  sinesin®®) 
BE 1 905 
"1 + core vw 
__ Vssine' e op’ 
— sine 'Ya—ınen 229 
weil 
Ta “(7 — cose) (IT + cos — in eꝛ 
In 


(1 + c0s e)® | (1 cose)? i | 

Zur Bellimmung von sin® durch sin ® erhält man 

folgende Gleichung (1 -F cos e) sındt — 

(Cı #+coss)* + sin 2? sin® ®): sin = — sin Of® 
Ä sın €? Ä 

welche, weil ——— — = sine‘, und 


(1 + cose)' 


I 
IT -+ cose. 
ı + sine 


a, durch Diviſion mit (2 + cos ) fich 





4 . . 
in dieſe verwandelt sin @*— (1 4 sine’ sinY'*) sinp* 
(1 + sine’')’ sin? J 
Fa .. Hieraus ift 
14 sine'sin®'-cosQ’y (1-sine” ne, 
2 | 


Der in Das Radical multiplicirte kei muß mit 
dem Vorzeichen — genommen werden, damit. für 


— 





sin = 


Ä 


Rectifiration. 221 


sine =. 1, wodurch auch sine —t ii, sind = 


‚sin ©’ werde. 


. Subſtituirt man den gefundenen Werth von 
Io 

Vi — sine’ inQ?) 

— sine! 


— ‚cos prägt 








sin ©® und von in dem Auedru⸗ 


de für Os, fo wird ds — 


mi 
tr — — —5 
sıneE V (1 — sin: sin®®) 
| sine’ sine? sine! — 
— — — 
Der erſte Theil hier iſt für ſich integrabel, der andere 
haͤngt von der Integration einer Formel, wie 
(A—Bs — B ssın 0°)60 | 
vu=si — sine "sın®?) 
begreift, ab. Der Vortheil der vorgenommenen Mes 
duction aber bejieht darin, daß sine’ Eleiner als sing 











‚, welche die urſpruͤngliche unter ſich 


iſt; denn es liegt zwiſchen den Graͤnzen sine? und. 


sine. Man würde alfo, wenn man den obigen zwey⸗ 
ten Theil in eine Reihe auflöjte, und integrirte, wı 2105 
ficht auf sine’ eine fchnellere Convergenz erhalten, als 
vorher in Beziehung auf sing Allen man kann 
Diefe Reihenentwickelung erſparen. Man darf nämlich 
die obige PMeducrion nur aufs: Meue bey Dem zweyten 
Theile der Korntel fir Os anbringen, und dies Verfah⸗ 
ten jo lange wiederhohlen, bis man zu einem sin m) 
gekommen ft, welcher Flein aenug iſt, um vernächiarnge 
werden zu Fönnen, alsdann fönnen, weil sin m <ı 
(sin en) sin Glm))2 und 
sine’ sine‘ sine’ ...... sine(m) sin Om)? 








2 
um fo eher vernachläffige ‚werden, und der legte Theil 


2% Xecectification. 


— 


des Ausdrucks für 2 os wird Gm) multiplieire ir eine 
Conſtante; wodurch dann s ſelbſt fehr leicht gefunden 
wird. Das ganze Verfahren wird ſogleich klaͤren wers 





den. Man ſetze 
(1 + cose’)sin®! cosQ! . , ou 
\ — — — — — sın 
VA — sin e'*sin P'%) 206? 
T="cose' ; 
und == sıne”" 
‘2 + cose 

fo wird. 

oo! 


Ta — — 
V (: —sin e «sin 0) | 
V sin e“ | 0 
sine "VY (I —sine’® sin GM)... 
und sın Da — 
2 + sine“ sin O1 — cos@"yY (1 — sine“: sin $'%) 
— 2 | 
auch 


» . ) * 
sıne V sine‘ 


65 = — cos hd! 00 
2 





sinz Y sin & sin & 





cos H 99" 





V sin e’ sine" 9% 
— > 


2 n » ee —— — - n 
sınesine' .V(ı — sine“ sin P") 
- - j “ “ . . 
| sine® sine’ sine sinesine‘sine” — 
I —— a 2 








— — — —— — 
2 4A 4 Ä | 
Mache man aufs Neue | en 
Aa + cos £’') sin '' cos 9! j 
mn — mm u Fr (DR 
Vi — sin e:; sın pr) R 
1 — cose" 


ı + cos e 








= sine’! und ſoffort, 


ar 


Rectification. 228 


wo sing, sine‘, sine”, sine“ u. ſ. w. eine ſtark abs 
nehmende Reihe _ fo wenn man Die Sram 


je der Werthe F —0,— 9%, — —— ir durch 


& bezeichnet, durch, — 
singe Vsine“ sine’ sing’ sine‘’ 
8 


I ing | 


4 4 du 
.„, sinev sine’sine” sine 


s— 








- singt + etc, 




















> 8 
-- KLd, wo 
2V sin — 2V sine! 2Vxine““ 
sine sin € sin e'' 
und | Fer | 
sine sine’sins®  sine:sins’ sine4 
2 4 — 
— etc. _ 
sın& 7 sıne’?:ine! sine”*-in.e’ sine 
M — — — en — — 
4s5ine 2 4 
| — etc. 


durch Zufanımenziehung der drey erften Glieder iſt, 
und Feine Conſtans hinzugefügt zu werden braucht, 
weil für ® = 0, aub 9,0", U .„„.zo 
werden, und s verſchwindet. | 


Verlangt man den efliptifchen Quadranten E, fo 
i ; i ‘ 
to = =%, und sinO! = 0, cosQ’ = — f, 


ale @ = m, ferner sin 0, cosp! = ı, 

und 6“ — 2m zu nehmen, weil, P'‘ mit P' zugleich 
wächit vermöge der Gleichung 

Bo: sin €’ . VCi—sinel” ein 0 ) 

| V sine’! Y(r —sine sin 9%) 

worin die Madicalien pofit genommen werden, 


B 


224 Rectification. | 
Eben fo wird G" ax u. ſ. w. Demnach 

iſt die Graͤnze der Werthe — ©’, DM, i ET 9 
E 2 a. | 


4 


1 . I 
w. 7 und es wird EB — '- KL 
‚2 | 


33» die Berechnung der Winfel 9, Hu fl 
w. - gejchiept am- leichteſten nach den Formeln 
tang ( — 6) = cose tang d- 
tang ( — Ol) = cose' tangh‘ 

uf: w. Ber aus den obigen folgen. Es ift naͤm⸗ 


lich 

4 cos.) sin Nind0 cos® 
080. cosesin® 
tang p + cosetang® 





ang —— 


BEER 


I — cose tangß, tango 


Setzt man cos etang — — tang V, fo if das lich 
rechter Hand — tang (P + W), alfo 
o—-Dp=vy 
oder tang (9 — G)= cose tang 0. 

Den Winfel Y har man in. demfelben. Duadranten wie 
© zu nehmen, weil das Verhälmiß je zweyer Winkel 
der Reihe 9, 95,9", 9", u. ſ. w., fich dem von 
1:2 ohne Ende nähert, 


Beyſpiel. Man verlangt den Duadranfen ei: 
ner Ellipſe, deren. halbe große Aye=ı, halbe Eleine = 
a ift, wie auch den Bogen, welcher der. Abſeiſſe 


J 2 


=; bom Mittelpunete: an herechnet, entſpricht. 


— 
Hier iſt alſo cos — = mithin 8 == 60% 


Dadurch ergiebt fich vermöge der Kormeln 
sın 


Rectification. 225 
sine — tang — & 
| 2 
* ER 1 — 
sın g == tang — 2 uf, 


100 ag! 16, 395 — = 1° gl LS2 5; 
gi — 0° 01 44 71; giv 2* ng: 0! 0”, 00, 
Hier ift alfo | 


* 2V sine! aY sine” 2 Vsinetl 











sine — sind * einer 
8V sine! 
— sine sin e‘sin * | 
sinet sine'*sine” = sin&'?sine"sine’! 
=, sin s’ Pru Kur u 4 — 


und man erhaͤlt — ——— 
und damit E = — u 


Ferner ift sin® _ ! = == 0,8000000 und ba: 


durch findet — ch 


J == 640 — 
99 178 26 "32, 98 


0“346 53 54, 88 
DV = 230", 


| — i 
- Hier m io = — Dr — N — 
43° 21° a4", 36 —= 0,75681529 in heilen bes 
Halbmeſſers. 
Weiter erhaͤlt man 
sin $' sin & Y sine! — 022496151 
2 - | 
; sin 9” sine Y sine sine = 0,0023479 


P 


’ 


226 PRectification, 


1 — e * [2 
z sin ©"! sin e Y sin s! sin e” sin e/', =— 0,0000343 


‘ KL® = 0,5834915 
und dadurch s — 0,8354202 


Die mechanifchen Quadraturen gehen mir E zwi⸗ 
fehen, 1,2110553. und . 1,21105615 den Bogen S 
findee Montucla (T. III. &, 203) nach Simpſons 
Annäherungsformel (Duadratur, 140.) = 0,828442. 
Es find dabey nur fünf Ordinaten gebraucht. 

34. Man fann die Reihe der sine auch ruͤck— 
waͤrts fortiegen, und dadurch s bon dem Integrale 

(A - B sin 9°) 09 
J V(l—eine sın 9*) 
will von Eins verfchieden ift, abhängig machen. Da für 
sineı, jenes Integral = Bsin® + (A — B)x 

20 | ur 

EN TAT RE UET 
fo erhält man hierdurch eine Annäherung zu dem wahr 
ren Werthe defjelben, mwofern nur. cose sin® gegen 
cos® vernachläffige werden kann. Wir find gezwun⸗ 
gen, wegen der weitern Ausführung und Entwickelung 
auf Legendre's Exerciges de Caloul integral, Pa- 
. 15. 1821. zu derweifen, wo diefer Gegenftand umijtände 

lich behandele if. Man finder dafelbft auch die Ans 
wendung der Sagrangifchen Methode auf die Sinper: 
bel, indem der Linterfchied eines Onperbolifchen Bogens 
von dem Stuͤcke der Beruͤhrenden an dem Endpuncte 
befjrIben, welches von dem Perpendifel aus dem Mits 
telpuncte auf die Berührende abgefchnirten wird, durch 
eine Reihe, wie hier für den elliptifchen Bogen gege: 
ben ift, dargeftelle wird, _ 


35. Die elliptifchen und hyperboliſchen Bogen 
bilden eine eigene Klaffe franfcendenter Größen, da fie 
aus einer unendlichen Meihe Glieder bejtehen, deren je 


‚wo sine fo wenig al3 man 


Rectification. 22T 


des fel6ft wiederum eine unendliche Neihe giebt. Man 


fann fie als die nächfte Gartung der ZTranfeendenten 


nach den Kreis» und logarithmifchen Funetionen 'anfes 
hen, Maclaurin und d’Alembert haben ſich juerft da- 
mit befchäftigr. die Integralformeln aufjufuchen, welche 
fib auf die Rectification elliptifcher und bnperbolifcher 
Bogen bringen: lajfen, jener ın dem Treatise of Flu- 
xions. $.°798 u. folgg., dieſer in den Berliner Mes 
‚ moiren für 7746 und in feinen Opuscules. Nachher 
hat Euler diefen Gegenftand in den Nov Comment‘ 
Petrop. T. X. behandelt. Landen entdeckte ven 


merfwürdigen Gas, daß ein hyperboltſcher Bogen ſich 


vermittelſt zweyer ellintifchen Boger zufammenfegen 
läßt. Philosophical Transactions 1775. Dadurch 
werden die Integrale, welche Maclaurin und d'Alem⸗ 
bert fuͤr ſolche, die von der Rectification der Hyperbel 
abhaͤngen, erklaͤrt hatten, allein von der Rectification 
der Ellipſe abhängig. Legendre erwies in Den Mem. 
‚de I’Acad. de Scienc. 1786. $andens Satz auf 
eine einfachere Art, als diefer felbit gerhan hatte, und 
zeigte, daß fich die Nectification irgend einer Ellipſe, 
innmer auf die Nectification zweyer andern, davon die 
eine der ‚geraden Linie, die andere dem Kreife fo nahe 
kommt als man will, bringen laſſe. M. f. die vorhin 
angeführten Eixercices de Cale. integral, 


36. Die Parabel, welche den Übergang von 
der Ellipfe zu der Hyperbel macht, iſt durch eine einfa= 
che logarithmiſche Formel rectificabel. Ihre einfachfte 
Gleichung ift,/ax —yy, alfo ihre Differentialgleichung, 


adx — 2yOy. Daher ift das Differential des os ' 


= a7 
gend, 9a = yy (: + * ) Man ſetze 
1 
T—_u, ſo it dy = -adu, und 
a | 2 


os = - aduy(ı + uu.) Daraus ift Integral⸗ 


— 


— 


228 Rectification. 
formel, 69. 50.) | 
I 
8 — au v(i + uu) + — 4 Ten te) 
und ee 
laut a jog vVerkun+e) 


wo die N in beiden RR o ift, weil der 
Bogen in dem Scheitel anfangen SI ; wo u=o 
iſt 

Für u deſſen Werth zuruͤckgefeht, iſt 


s * Iy (aa + ar) re 
37. Kür bie Ordinate y deren Werth Vax ge 

| ſetzt, iſt 

s=-V (ax44xx) ilos. 


Es iſt von der F des — das Qua⸗ 
drat genommen, und dagegen der Logarithme halbirt. 


Dieſes Integral findet man auch unmittelbar, 
wenn man Os — dx und x ausdruͤckt. Es iſt 


d — — - av Z und 08 — »xv(1+;,) 


| a * —— ı (aX - en + 4x) 0x OxX 

ur — dx c 
v . V V (ax + + xx) Das In⸗ 

* wird, — Abſonderung des Differentials 





ZB. VGx + 4x2) aus Integralformel, 56. ge 
funden, | 


32. Es fey an der Parabel (Fig. 11.) PM 
== y,QN = z, fo ijt der Bogen. . 


Rectification. | | 229 - 


A 
MN =— V (aa + 4zz) — — VG + 4,y) 
‚Vie re 422) + 32 + 2z 


I 
—älos 
F — .s yYl@a+ayy) + 2y' 


Hectification einiger andern frummen Linien, 


39. Die Curve fey eine parabolifche, deren 
Gleihung it x = ry”, wo n eine ganze oder geb o⸗ 
chene Zahl ift, und die Größen als Zahlen betrachret 
werden. Es ift &x — nry"—!dy, und das Differens 
tial des Bogens ds — Oy Y(ı + n'r'y!n, Das 
integral ift algebraifh, wenn ı.— 2k (n — ı) 


iſt, wo k eine "ganze: pofitive. Zahl bedeutet. Denn es | 


it, zufolge Integralformel, 59, das Sintegral, 
Ä Je" (a+bx")rox, algebraifch, wenn m = (k+kı)n 
iſt, wo k eine ganze poſitive Zahl ft. Es muß alfo 
in unferın Differential, wo m: — ı ift, und en — 2 
ftart des Erponenten n fteht, das Neeiprofum von n-r 


eine gerade Zahl ſeyn. Das ift es, wenn n— m 


. 
’ ⸗ u. f f. bat. 
Es yn= — ſo iſt x — oder 


— eye, ı und wenn bie "Steichung homogen gemacht 
wird, ax? — ys, wo.nun a, x, y gerade Linien bes 
deuten. Die krumme Linie iſt die Evolute der gemeis , 
nen Parabel, (Evolute, 6.), gewöhnlich die parabola 
semicubicalis, auch cubida secunda genannt. 


Es w 2 diefelbe ds — Dyy ( + - 2) 
Daher s =; a ( +2 I a. 


8 
ift, alfo, wenn n bie Werthe 3 7 


230 Kectification, 
41. Es ſey n =- fo ift bie Gleichung für die 


Eurve,,x+ — riy5, oder ax = ys, wo a ſtatt — 
geſetzt Nun iſt 
-( + 3 N 


Man * — und behalte n? für 2 
a i6 


, 


fit &s=a(r+n: u? y? ou. 
Die Vergleihung mir der Formel IV, a. 0.9. giebt 
Pen > R G+ nut 
| nt Er + — 
Ferner > 
fu ? (I * neu au ⸗ Fre ze 


Folglich ie 


Sest man für u feinen Werth zurüc, fo - 


SEE 
2 GENE. 


wenn s für yes En u | 


— ſo iſt 





2. Iſt aber n * 


Rectification.. 231 


an — 2 — — — und das Reciprokum davon iſt 
am — 1 

keine ganze Zahl. Das Integral iſt nun theils alge⸗ 

brauch theils logarirpmifch. Man fee „ru, 

oder y’ = u, alo y = u 2:o-ı), gr oy = 

I 





u-u+):a-1 Du — (2m — 1) uam3 Du. Kun 
n— 1 
iſt ds — (1 + n’r ey) äy — (2m — ı)ut"? x, 


(+ nrus)2ou, Prey der fucceffiven integration 
nach integralformel IV. 59. wird der Erponent des 
Factors ww? jedermapl um 2 vermindert, und fo 


fommt man zuletzt auf das re (ı+n — 
wovon das tert F — u(1 + n’r’ u)? — 


1 Du 


=, —— ur) X 9.00.69) Der De | 
Seit iſt logarithmiſch (a a. D. so). | 


43. Die parabolifchen. !inien, deren Bogen ſich 
auf Logarithmen bringen lafjen, find alfo biejeriigen, 
für welche ift ax my ‚ax? — 3 ax’ S yẽ, und 
ſo fort. 


‚Se mpel. Es ſey n — alfa — 
ſtun it 8. - 2y v6+? + — 40% . Man feße 
— =u, off ymn; 2. = zu’ 0; and fey 

6 
: *0 =b, fo —— + bu du. 
—— iſt Quedralſoemel —— 


u’du 


= Eu (+ bw) + Var 


N l 


23% Rectification. 


Ferner it (eb. daſ. 61.)J. 

| u. 2 - 

Teste: uY(ı + bu’) 

| Er cu 
ı TabAyYcı + bw) 

a ee J 
TLL VG+be) 
oder —— —* SE 
BE uyh. 17* * 
ET Is 0—— 
Aus dieſen Werthen folgt | 


3 | 
2* GEN V (tr + bu‘) 


— Sm1os .(V(r+ but) Fuyb) 


wo die Konftante Null if, Setzt man den Werth fir 
u zuruͤck, ſo iſt = 


dr 
1/3 | — 
— ——— 


45. Wenn ber Erxvonent n eine andere Form 
als die beiden hier betrachteren hat, fo iff die Differen⸗ 
tialformel für Os nicht integrirbar, und das Integral 
laͤßt ſich auch niche auf ein logarithmifches bringen. 
Denn, wenn man yrı — u feßt, fo wird 

-(n-3) 
um euVY(ıt nrw), wo 





I 
es = 


— 


n—2 — 
keine ganze durch 2 cheilbare Zehl werden kann, 





Rectificatien. 233 


ußer n — — — a: 
“ er, wenn n — — * | | 


46. Die parabolifche Linie, deren Gleichung ik: . 
ax® — y*,. ift die erſte, welche .rectificirt worden iſt, 
von einem englifchen Marhematifer, Wilhelm Meile 
Er machte feine Entdefung, die viel Aufſehens errege 
te, im Sabre 1657 befannt. Der Beweis, den er das 
von gegeben hat, fteht in Wallis Adhandlung uͤber die 
Cykloide und — in einem Anhange, Operum, 
T. I. p. 557. Es ift fehr undeutlih. ben daſelbſt 
befinden fih auch die Beweife von Brouudfer und) 
von Wallis felbft. Wallis «harte es als ein Mittel 
vorgefchlagen, für eine Erumme. Linie zwey gerade zu 
finden, zwiſchen welchen ihre. Laͤnge enthalten fen, daß“ 
man die Duabratwurzel aus der Summe der Quadrate 
von dem Unterſchiede zweyer Abſciſſen und Ordinaten, 
das iſt VAx + Ay?), berechnen, und eine Anzahl 
foldyer Wurzeln an dem gegebenen Bogen fummiren 
ſollte. Arithm, Infin, Scholion.  Prop. 38. &s 
kann fenn,.daß dureh. diefe Bemerkung Meil auf. feine 
Methode der Rectification ‚geführt iſt. 


Don Heb raet fand um diefelbe Zeit mit Neil 
die Reetificatzon Der Curven auf eine andere und allge⸗ 
meinere Art. Er bringe die Recuification einer gege: 
benen Curve auf die Quadratur einer andern. Meil 
int wie Craige bemerkt, (Methodus. figurarum. 

p..30.), nicht die Mestification einer gegebenen Curve, 
‚Sondern gab eine Frumme Linie an, bie fich rectificirem 
läßt. Hevraet gründer gründet feine Mectification auf 
folgenden Sag. Wenn an einer Curve eine Ordinate 
fi zu der Normale verhält, wie eine gegebene gerade 
ju der Ordinate an einer zweyten Gurve, fo iſt die 
Tläche diefer legtern gleich dem Nechteck von jener ges 
gebenen geraden und einer geraden, die dem Bogen der 
erftern von einem gegebenen Punete an gleich Mi. Er 
führt die parabola semieubicalis zum Beyſpiele an, 


⸗ 


234 Xecectification⸗ 

* 
auch die — abſolut rectificabeln Parabeln, und 
bemerkt, daß die Rectification der gemeinen Parabel 
von der Quadratur der Hyperbel abhaͤngt. Sein Auf— 
ſatz iſt der Schootenſchen Ausgabe von Cartesii Geo- 
metria beygefuͤgt. Zur Erläuterung ſeiner Methode 
dient das folgende. PER | Ä 


— die —— an einer Curve A — | 
Ä Os \ i 
v(r + > An ber Eure B 
—— 
8 
ſey die Owinate = * ie und y: — za : 2, af 


— ads. 
2 — 
— 82 
Curve B oder [zöx as. 


- Hungens fchreißt bie erfte Rectiſication dem’ 
Hevraet zu. Meil habe fie nicht vollftändig gefannt.' 
Denn er habe nicht gewußt, daß die von ihm rectifi- 
eirte Linie den. Geometern längft befannt geweſen war. 
Er eignet fih einen Antheil an Hevraets Erfindung 
zu, weil er im Jahre 1657 die ‚Länge der apollonis 
ſchen Paräbel dur die Quadratur der Hyperbel be: 
ſttmmt, auch Hevraet die zu”gleicher Zeit von ihm ge: 
fundene. Complanation des parabolifchen Konoids ers 
fahren habe, wodurd er auf die Musmeffung: des pas 
rabolifchen Bogens habe fommen koͤnnen. Diefes ſcheint 
ſehr gefucht zu feyn. (Horolog. oscill. P, III, 
Prop. 9.) | Ä | | 


Um diefelbe Zeit fand Fermat, nach einer ihm 
eigenen Methode, auch die Nectification der femicubis 
fehen Parabel. Sein Auffas fam 1650. mit einer 
Schrift des. Jeſuiten Lalouere über die Enfloide hers 
aus; ift auch in feinen Werfen befindlih. Er fuche 
das Vakhaͤltniß zwiſchen dem Stück auf einer berüh: 
tenden von dem WBerubrungspuncte an bis an den 


ade — ads. Daher iſt die Area bei 


Kectification. 235. 


Durchſchnitt mit einer folgenden Drdinatenlinie, und 
dem zugehörigen Linterfchiede der. Abfeiffen. In 
eben dieſer Schrift zeige er auch, wie durch folche Ab⸗ 
Schnitte auf den berührenden zwey Graͤnzen fr die 
| Länge der Curve gefunden werden. 


+41 Für die Ciſſoide iſt die Steihung, 


\ s * i 
= = — y?, oder x(2— ») * **. Hieraus 
ift die Differentialgleihung für diefelbe, 


a=(! 1)" Ox 
+3(2- 5 * 
a ee 
Ferner ift * IC “ ) Ä — 


os: * —— 
4(a— x) 





— Ja Oxt- Ze 


sa — 3ax 


re, 


— adx — 

2(a—x) a—x | 

Diefe Formel zu integriren , ſetze man nach Integral⸗ 

formel, 48. II. — — un, fo iſt 4a - auu 
— X 

— oder il uu . als 4 ift, awu—4) 


auu — 
2 uu—3 





— Aus der letztern Gleichung folge: etwas 


ER | | 2audu 
leichter als aus dem Werthe von x, daß dx = 


(un-3)*" 


236: a Rectification. 


Solich iſ os = = m . Da pie — von 


u im. Zähler diefelbe iſt, wie im Nenner, ſo ſondere | 
man durch die Divifion einen Theil des Differentials 
‚ab, damit der Zähler niedriger als der Nenner vorrde, 
nach jntegralformel, 35. Es ift 














zadu 
Bun. BE 80 » 
u ae | 
pdr | — | —J— 
| gadu 
os = adu — 
* ——— 
Daher iſt (Integralformel, Jr 
14: — | 
sau + * Const. 


Die Curve — an — x — 0, ſo iſt u — 2 fuͤr 
dieſen Werth von x, und Const — 


Y 0 2—V3 | 





2+V3 
Alſo ift | 
v3] — GV» 
———— —V3)(a+V» 
| pder | 
sZau—2)+ a3. log. „nano 


Setzt man fuͤr u ſeinen Werth durch x, ſo wird der 
Bogen unmittelbar durch die Abſciſſe erhalten. Fuͤr 


1 
— a iſt s ber innerhalb des Quadranten ent⸗ 


haltene Bogen der Ciſſoide, und = V 5. Alſo ift, 


Diefer Bogen 
EIER ER a se 


Kectification, e 237 


Newtons könſil ve Conſtruction Fihe man nach in 
deſſelben Methodus flux et ser. infin. Probl. XII, 


exempl. 5. Sie gewahrt aber ann: die Überjicht wie 
bie. Rechnungsformel. 


48. Fuͤr die logarithmiſche Linie — 
Subtangente eine beſtaͤndige Linie, ober es ie 


— a Daraus 
0 f 
»=av(r+; * 
Die Integration giebt 
dy — 





VGa 4 y) * at 


J 


Vy 
‚Vaatyy— “ 


und 


S 


20 





yVaa-+ yy) a mr y 
Alſo ift | | Ba 
= Va + + alog ‚Yeimz: 


0 5 
3 er Anfangs des Bogens fen bie Ordinate = b, 


Cons.—— Y(aa + bb) —alog, —— | 


4% So tie die Mectification des KRreifes von 
feiner andern krummen Unie abhängt, fo hängt auch 


Die Pectification der logarithmiſchen Linie blos von ihr 
ſeloſt ab. 


50 (ine gegebene gerade Linie bewege fich in⸗ 
nerhalb eines rechten Winfele fo, daß fie mit ihren 
Endpuncten die Schenkel dejfelben treffe, fo iſt vie 


238 Ä Rectification, 


Gleichung fuͤr die Curve, welche ſie ſtetig beruͤhrt, 
4 ah, Diefe Curve ift tieiſteabel 


Denn es iſt die Dfferentialgleichung, x39 x+ 
y3aymo, aylarti yo, alfo dy 


— — — 0%, und 88 = 0x an 4 2) 
X 
oder Os — — dx ⸗a⸗ — Folglich iſt 


| 3 
= 323 x + Const. Laͤßt man den Bogen * 


die — x zugleich anfangen, ſo iſt Const, — —% 


und s — — (ax? 
ehe man Os durch Ox auß, fo ift = — 
»v( J G -) 9 weil y abnimmf, — x und 


T 
daher auch s zunehmen. Oder, s—z—a: y 
| 3 3.3.33 % 
aber s — Const, — —Za—la : 
SPRRENE = = gr NT 
Es iſt namid y=a wenn x — o und s=o 
ſind. 


Am Ende dieſes Artikels folgt die Herleitung der 
Gleichung für die Curve aus der gemachten Bedingung. 


51. Die Evolute der — bat die 


Gleichung (2° +y I =) wox die Abs 


feiffe ‚auf der. größern re von dem Mirttelpuncte aus, 
y die Ordinate, und a, b, die halben Aren find, 
(Tempelhofs Analyſis des ünendlichen $. 691. de 


oder 


SE - 
Kectification.: 239 


Prasse dissert, de ellipseos evoluta, cet. $, III.). 


—— a—bb _ N 
Zur Abkürzung fege man BD mem (=) 





2 2 


Die Gleichung differenturt giebt 


mx dx 4 — Oy=o, 
alfo iſt — 


öv=—m (2)° dx, 
und | u 
Os = % v(i + a (2°), | 
oder. 


ös = 0x v(—m + m (2)") 4 


Be = 0x Ci — m. + m. x)? )#, 

Dieſe Differentialformel ift integriebar zufolge ber 
Bemerkung in Integralformel. 60. IL In der Kor: 
mel III, $. 69. daf. iſt für den gegenwärtigen Fall 
-np-+nz=o, und e il | 





RR | . _2 er 
5* hmm x? 60. 
1 — ın? \ 
oder — 
of | 5 „IN? 
= —(ü— m’)x” + m’c ) .+-C 
. Fänge der Bogen mit der Abfeiffex an, fo iſt Const 
: | 
—— 
1 — m’ 


Die Evolute der Ellipſe beſteht aus bier, gegen 
ihren Mittelpunet converen, gleich großen und aͤhnli⸗ 


240 
chen Bogen, die in vier Spigen-zufammenlaufen. Die 


Rectification. 


* 


Curve in (45.) eben fo, 


52. Die Nectification der Cykloide und der Epi⸗ 
infloide ift bey diefen Linien borgefragen. Die Cy—⸗ 
Eloide ift gleich nach der feinieubifchen Parabel von 
ren rectificirt worden. Ä | 


53. Die Rectification einge fphärifchen Epi⸗ 


cykloide (Th. II, ©. 129.) hängt von. der Duabratur 


der Sinperbel ab. Hermann glaubte, daß fie abfolut _ 
rectificabel fey. Comm, vet, Ac. Petr. T. I, p. 215, 
Er hatte ſich übereilt,. Joh. Bernoulli’zeigte den‘ 
Fehler in kiner Abhandlung über diefe Epicykloide, 
Opp: T. III, p. 216. Euler hat in den Comm, 
nov. Petrop. die Bedingungen angegeben, melde 
Die Mertification einer Eurve auf der Kugelflaͤche vor⸗ 
ausfest, 2 


| ‘ ö 
54. Denfpiele von Pectificationen, wo die Or⸗ 
binaten aus ‚einem Puncte ausgehen, in den Artikeln: 


Conchoide und Spirale, 


Allgemeine Annaͤherungsmethode. 


55. Lambert hat im dem zwenten Theile feiner 
Beytraͤge jur Mathematif eine Annäherungsformel für 
die Yänge eines Bogens angegeben. Es ſey AM (Fig. 
23.) ein Bogen einer Curve, an welcher in A und M 
Die berührenden AT, MT gezogen find. Auf AT, der 
verlängerten, nehme man die Abfciffen, urd ziehe MP 


darauf fenfrecht, ziehe auch die Chorde AM, fo iſt na⸗ 


Be der Bogen AM = - (AT--TM-+ 2AM) 


Es iſt namlih, wenn AP—=x, PM—=y 96 
est wird, die Ehorde AM= Y(xx-+yy); die Sub 
tans 


————— en, 6 DM 


| dx ⸗ 
tangente PT = I; das Stück AT—=x-, 
dy — 


die — IM= *27V G — ) und der 


Bogen AM = foxvV/ ( 4 Dieſe Werthe 


entwickele man nach dem binomifchen Lehrſatze. Dann 
nehme man für die Curve die allgemeine Gleichung, 
yzax’ F bz3 + cxt 4-dxs + etc, mo die 
Glirder, wie A + Bx, nicht vorhanden find, weil y. 
— ofürx — o iſt, und weil die Abfeiffenlinie zus 
gleich eine beräßrende iſt. Denn dadurch ift der Quo⸗ 


ö . Ä 
tient — für x =o auch =0. Aus dieſer Gleis 


hung wird der Werth des Bogens AM hergeleiter. 
Dergleicht man diefen mit den Werthen von AT, TM, 
AM (ver Chorde), fo ergiebt ſich die angegebene Korz 
mel: Mur ift noch noͤthig, aus der gegebenen Gleis 
chung zwiſchen andern Coordinaten die Werrhe von 
AT, MT und AM Berzuleiten. . | 

6. Ein Bogen einer Erummen Sinie laͤßt ſich 
auch mit einem Bogen eines. Kreifes vergleichen. : Eus 
ler Hat diefes gezeigt, in einer Abhandlung de reduc- 
tione linearum 'curyarum ad arcus circulares, 
Comm, Nov. Ac, Petrop, T. IL, Es fey (Fig. 
24.) AB eine frumme Linie, MN ein Bogen derfelben, 
an welchen in M und N die berührenden MT, NT 
gezogen find, und die Mormalen MP, NP, wel⸗ 
che fich in P fchneiden, - Man ziehe noch die Chorde 
MN, fo iſt Bogen MN Chorde MN und <MT 
+ TN. Es ſey MP = p, PN = g, der Winfel 
MPN, — — des Bogens MN, = v, fo ift 


= Ve + g' — 2pqcos v) 
van 


242° Keckification, 
— I i 
a ah, 2 yes — 
8* v(@ +q°) sin- v + cos — v ) 
— EURE it 4 
| — 2pq (cos ve — sin- ”)) 
— ——— NE SE 
= v(@+ sin — v* + (p—g)? cos - v ) 
| 2 2 
| * ER Ä 
alfo MN>(p + g) sin 7* folglich um ſo mehr 
Bogen MN (p * 9) sin - v. Ferner iſt 
(P + g)sin - v= MN cos - (PNM — PMN) 
— MN cos - (IMN — TNM); wegen bet rechten 
Winkel bey M und N, = (MT -k TN) sin MIN. 
— Mi + in) cos — v; ale ME+TN— 
(P + Yrtang —Y, und Bogen — 
Daher iſt für mäßige Winkel der Bogen MN nahe 
= — v(P + 9), das if, einem Kreisbogen, der 


innerhalb des Winfels v mit dem Halbmeſſer (p+9) 


befchrieben ift. Euler führe diefes viel weiter aus, und 
macht Anwendungen davon af die Ellipſe, für deren 
Umfang od. Bernoulli ein Paar Graͤnzen angegeben 
hatte, (Oper, T, I. p. 447), auf die Parabel und. 
die Enfloive. Mayer bat diefe Annäherungsmerhove 


an die Länge eines Bogens einer. Erummen Sinie in .- 


Rectiſicatio. 243 


ſeiner praetiſchen Geometrie Th. V. 6. 58 zur Anwen⸗ 

dung etwas "bequemer dargeftellt: Man bedarf aber 
ihrer in der That fo wenig, al der Lamberrfchen, de. 
man durch die mechanifchen Quadraturen unmittelbarer 
"und fürzer eben das finden kann, was män dutch jene 
Annäherungemerhode erhält, So findet man 5 B., 


‚indem man das Tintegral [OB Vi -etsin G%), wel 


ches den Bogen einer Ellipfe darſtellt, als die ren 
einer Curbe, deren Abfeiffe x = ©, Ordinate y — 
Vi — ,e'sin®?) betrachtet, daß, wenn man den 


Quadranten oder techten Winkel &in ai gleiche Theile 


theilt, und alsdann die Ordinaten y(0) und yl2o), yit), 
... yCu-M, welche den Werthen © — 0° und 
P = 90°, ferner den, gefundenen Theilen entſprechen, 
berechnet, der elliptiſche Quadrant zwifchen den Gränzen 


Eu ER nik ya 
on | | 
und " : | 
I: J— Do de ee 
— — (o) ⸗ —8 v(4) —— 5yu) )- 
———— ie, 
unter denen jene die Hrößere, diefe die Fleinere. ift, ent— 


balcen fey, welches das Theorem von Joh. Wer 
noulli iſt. 


Formen rectificabler Curven. | 


57: So wie man Formen für quadrirbare Fur: - 
ben gefucht hat, fo hat man auch. Formen für rectificas 
ble Eurven geſucht. Die Sache iſt wegen der Irra⸗ 
tionalitaͤt des Elements einer krummen Linie ungleich 
ſchwerer. Mar muß unbeſtimmte Functionen einer drit: 
ten veraͤnderlichen Groͤße einfuͤhren, durch welche die 
Coordinaten, x, y, der geſuchten Linie ausgedruckt wer⸗ 
den. Aus den beiden Werthen von x und y läßt ſich 


244 Xectification. 


die eingeführte Größe wegſchaffen, wodurch eine Gfeis 
ns zwiſchen x und y erhalten wird. 


58. Euler hat zuerft — Formeln fuͤr | 
die Mectificarion angegeben, eine, worin zwey unbes 
fiimmte Differentialfunetionen . einer driften beränderlis 
hen Größe enthalten find, und eine noch allgemeinere, 
die aus dreyen befteht, in den Altern Petersburger 
Gommentarien, T. V. a. a. 1730. 31. Die Analys 
f 5 hat er nicht bengefügt, 


‚59. Die Coordinaten der rectificabeln Anie ſeyn 
x, y, der zugehoͤrige Bogen, s, ſo iſt ss = VC(Oox-68yꝰ). 


Man ſetze dy pox, fo if Os = OxyYCı + pP). 


wobey angenommen, werde, Daß Os und Ox gleichnamig 
fenn, oder daß der Bogen mit den pofitiven Abfeiffen 
zugleich zunehme. Der allgemeine Ausdruck für die 
Drömare it y = fpax, dry = — — Adp, 
(Th. II, ©. 783.). Eben fo iſt | 

— es 


x (1 — 
A va+p) 
Die beiden Osntegralformeli fehe man als Runctionen 


‚„ einer dritten veränderlichen Größe u an, und fege 


— Id il 
.oP 


mm B s=xvatpd—Q, 
wo die Conftante noch zu beftimmen ift, damit s für 
einen gewiſſen Werd der Abſciſſ e anfange. ne 
. xpöp - 
Daxop = EP, un — — 9 
ya 
ſe ft pop — 800 V(ı+ p*), folglich p = 
oQ 
.V (or: — 00‘) 


» Nimme man nun für P und 
\ 


Rectification. 245 


Qzwey Functionen bon u an, fo wird p durch u ges 
geben, folglih auch Op, und daraus erſtlich x durch 
diefelbe u, ferner auch y durch die Gleichung y = px: 
— P. Aus den Werthen von x und y. wird die Groͤ— 
fe u weggefhafft, fo ergiebe fich die Gleichung zwis 
fhen x und y, und daraus die Kormel für den Dos 
gen s, oder auch. mittelbar aus‘ der Gleichung, s — 


xvuatrpP)—R. 


In — allgemeinen Schema der Rechnung find 
alle Größen als pofitive angenommen. 


— | i 
‚60. Exempel 1. Es ſey uß; Q= * 
| udn, u 
ift P = 0 = — — 
ſo iſt * — 


(a® — ut, 
Eu 


ar. * 


— 


op — a’ (a — un Au; x — 
: | | F 

y — — — Die Gleichung für die rectificable Curve iſt 

nun, aix (aꝰ - (a y, oder ax—fa—a?y?)s, o 


= + !- * ad Diefes ift die Gleichung für Die 
in (45.) fchon rectifieirte Linie. Es folge daraus, mit⸗ 
telit der SE s= — Vv — 4 dy 


der Bogen s — — 2 an)’ + €; oder s = Const, 
— — af. . 


Die Sormel, s = x V(ı-+ p) — 9 sie 
den veränderlichen Theil eben fo. Es ift.ı + p’ 
a? . a’ — u u zu 
alſo s 
u‘ 





a! — 


246 Rectification. | 
muzemaie=tcan! 


f I " X 
mn Ober, da u = — (ay)’, und W — 


Kay) ſo iſt ⸗a — . (ayr)?, In 


beiden Werthen find noch die Conſtanten zu. beftimmen, 


‚Man bemerfe, daß die eingeführte Hülfegröße u 
einen negariven Werth hat, damit y pofitiv und p nes 
gativ ſeyn Fünne, Tegteres, weil die Veränderungen yon 

* und y entgegengefegter Beſchaffenheit find, 


61. Erempel H. Es fen P =— ; Q = u; 


ucu a 


iſt 9P * — = duz —— 
ſo ſt ol a J 80 — du p * Vc⸗ a) 
audu Ä 


Op — w— a3 — 5 — 
Hieraus wid x — — * * Da dieſer 


Werth negativ iſt, die Abſeiſſen einer Curve aber im⸗ 
mer poſitiv genommen werden moͤgen, ſo gebe man der 
Wurzelgroͤße p das Vorzeichen —, nehme alſo 





Pu ——— 
Vu’ X a’)? p v. (u? a’ )23 
daher | 
_ (a? —a'}32 Wa wW zu? 
—— — y Jun mem Zen 7— 
a a a 2a 
+9 
Daraus ift 


(a 2) 4 ⸗are, um —a =, 
fo daß die Gleichung fuͤr die reetificable Curve iſt 


Rectification. 247 | 


a)’ =- r (at ey), ve 27 ax ⸗ 
(a + 2y)% Es muß alfo y negativ und abſolut ges‘ 
nommen größer als — a ſeyn. Die krumme Linie iſt 


die Neiliſche Parabel, (ſ. Parabein hoͤherer Ordnun⸗ 
gen.). Sie liegt mit beiden Zweigen auf der Seite 
negativen y, und die Spige bat den Abſtand — 


— a bon ber; Asfefienlinie in bem — der 
| Aofeifen, | 

Aus der Gleichung fuͤr die Curve folgt vermittelſt 
ber Differentialformeln, Os=oxy ( 4 * oͤder 


—— dy vG: +) der Boom. 


— — Gonst. oder 7 . 


ev — Const: 
27: cd. 


Denn es if „ x 3 x = — dy, alfo 


oy: a3 nð öx? Be | (a + 2y) 
Pe 77:4 ii ey u. 1° 98 = 


Alſo ift erſtlich os =2 x 3 (a?3 + 223)? öx, | 

daher | 5 
x? 

s — (a3 + af + e= — V ” T n ) 

| 4 ©; 


| | _ 2 
Zweytens ds =—2yV — * daraus 








am.” | 
Die Formel s—=xVY(r+ P)-— Q anjıs 
wenden, bemerfe man, daß, da p das Vorzeichen ge⸗ 
aͤndert hat, es Q auch aͤndern muͤß. Dadurch iſt, 


8. ga tı n y3 

NE —4 1 * das iſt, 

——_ Va’ + a(ax 33) Va + (ax°)1:3)3 | 
BE re 


5 
wie vorher, 
a 


Fe , u 
Hätte. man angenommen P = — und 2* 


u, fo wird die Gleichung für die. Curve, 27ax — 
j | ; ' u? : . . 
(2y — a). Setzt man P=hb— — ſo iſt die 

Gleichung, 27ax® = (ay + 2b — a), 


62. In den Nov. Act. Petrop. T. III. giebt 
Eufer zur Erfindung rectificabler Curven folgende For⸗ 
meln an: en. nr 


x 5 sin 9—r cos 0) 
ov 

dv 
s = /v09 + 56 


wo man für v eine folhe Funetion son sin® und 
cos®, für welche das Integral v9 den Bogen © 
nicht enthält, die aber fonft beliebig ift, zu nehmen bar, 
Diefe Formeln find, bis auf die Worzeichen von x 
biefeiben, welche Lagrange in dem Calcul des Fonc- 
tions, Leg. XIX. ju eben dem Zwecke finder. 


Setzt man z. B. v— asin®cosß, fo wird 


cos 6 + vsin 


J 


Rectification. 249 


- Ov 


Fr = a(cos$* —. sin o9 alſo | 
— asin$(cos$? — sin®?) - 
— asin®cosb*? — — asın $®,, 
= acosß (cos — sin®‘) 
. + asin®?cos® = acosP}, 
woraus zwifchen x und y die Gleichung ys + 3 — 
a S-Hervorgeht. Der Bogen s wird = acosß: _ 


x 


I * 2 3 “ R 2 3 3 z 
-asind’F=a--asın ® nz + Const, = — 


» 


T 2 ; a, 
=a° x°, wenn s and x zugleich verfchwinden. Der 


2 
negative Werth des Bogens zeigt bloß, daß er nach 
der enrgegengefegten Richtung von ber, nad). welcher. 
die poſitiven x genommen erden , gerechnet ift. 
Nimmt man die negafiven x zu ‚pofifiven, fo wird auch 
s.pofitiv. Alles wie in (50). ’ | 


w 


Vergleichungen irrectificabler Curven. 


63. Eine Curve, die nicht rectificabel iſt, mag 
dennoch fo ‚befchaffen feyn, daß darauf Bogen genom⸗ 
men werden £önnen, deren Linterfchieb einer geraden Li⸗ 
nie gleich ift, oder deren Verhaͤltniß einem gegebenen 
gleich if. Die Unterfuchung über die Formen ſolcher 
frummen  $inien gehört zu den feinften in ber analytis 
fhen Geometrie. Es ift eine Gattung von, unbeſtimm⸗ 
ter Analytik in der Nechnung des Unendlichen, worin 
der Gang der Beweiſe von dem gewoͤhnlichen verfchies 
den ift, Johann Bernoulli fand, daß die gemei« 
ne Parabel beide diefer Beſchaffenheiten hat. Opp. 
T. I. p. 242. Don der erffern zeigf .er es nur an, 
die andern erweiſet er durch eine Fünftliche geometrifche 
Verbindung der Parabel mit der gleichfeitigen Hyper⸗ 
be, Seine Methode iſt alfo eine ganz eingefchränfte 


250 Rectification. 


Auch behauptet. er, daß die Differential⸗Methode hier 
nicht helfen könne, Die Parabel gewährt ven leichtes 
ſten Fall, weil der Bogen eine algebraifche und loga⸗ 
rithmifche Funetion der Abſciſſe ſt. Auch entdeckte 
er, daß an der Parabel, deren Gleichung ift ax y3; 
ſich Bogen angeben lafjen, deren Linrerfchied eine alges 
braifhe Function ift. Dieſes gründet fih darauf, daß 
mit jeder parabplifchen Linie eine andere diefer Gattung 
verbunden werben kann, fo daß zwey Bogen von dem 
gemeinfchaftlichen Scheitel an eine rectificable Summe 
ausmachen,. die gemeine mit der cubifch - biquadratifchen 
beren Gleichung ift axs — y* (Opp. T. I. p. 249) 
Die Eoprdinaten ber einen Linie ſeyn x, y, ber ans 
xXꝰys 3xdy⸗ ı 28— Er 
dern t = rn, und u = — Sn, wo 
die integration vorausgefege- wird, fo ift die Summe 
/ x (ox⸗ + 9y?)3:2 
ac Eee 
bem Kalle, daß an einer gegen die Abfeiffenlinie concas - 
ven Eurve 3x0?y größer als Oxdy it, giebt jene Kor 
mel den Unterſchied der beiden Bogen, 





ber zigehörigen Bogen * 


| 64. 2’Hopital bat die Aufgabe yon den vers 
gleichbaren parabolifchen Bogen durch eine geomerrifche 

Analyſis mittelſt hyperboliſcher Flächenräume aufgelöfet, 
Sect. coniques. p- 382. 


655. Tſchirnhauſen behauptete in ben Actis 
Frud. Noy. 1695., baß er eine allgemeine Methode 
entdeckt hätte, auf jeber Lurve zu jedem Bogen einen 
andern anzugeben, der zu jenem ein gegebenes Verhaͤlt⸗ 
niß habe, Den Beweis hat er aber nicht liefern koͤn⸗ 
nen, ; 


66. Hermann Jegfe in den Actis Erud, 
1719 eine Aufgabe vor, welche damahls den Geometern 
viele Beichäftigung . gab, nämlich eine Frumme $inie 


/ 


Rectifieation. 251 


zu finden, deren Laͤnge durch. eine Formel dargeſtellt 
wuͤrde, welche Die Quadratur einer: gegebenen Linie eht: 
bielte, nebit einer oder mehreren algebraifchen Sunctios 
nen, Nicolaus Bernoulli löfere die Aufgabe nur mit 
gewiffen Einfchränfungen auf, A. Er, 1720: Here 
mann gab feine Auflöfung : daſelbſt 1723 und Joh. 
Bernoulli theilte die feinige dafelb 1724 mit. iefe 
waren aber noch -fehr indirect. Euler war der erfte, 
der“ zu einer directen Auflöfung den Weg zeigte, in den _ 
neuen Petersb. Commentarien, T. V. in der Abhand⸗ 

lung de methodg .Diophanteae analoga in. Ana: 


Iysi Infinitgrum, 


«67 Als Fagnani im Jahr 1718 gefunden 
hatte, daß auch. auf der Eilipfe und Hyperbel fich Vo: 
gen angeben laſſen, deren Linterfchied eine algebraifche 
Function ift, fo fuchte Euler eine-bequemere Auflöfung 
und Eonftruction der Aufgabe, ſolche Bogenj zu finden, 
Comm. novi Petrop. T, VI, Für die Lemniſcata 
fand er allgemeinere Wergleichungen der Bogen als 
Fagnani entdeckt hatte, (ſ. Lemniſcata). Diefes vers 
anlaßte ihn, Vergleichungen aͤhnlicher Integralformeln 


dx By 
een, zuerſt diefer —— = vos 
woraus er bie Integration allgemeinerer Gleichungen 
berleirere. Won jener ift die Integralgleichung, xx + 
+ cexxyy=ceco +2xyYCı — c9. Eine 
Drobe von Integrirungen dieſer Art ift in dem Brkir 
kel, Tintegrafgleichung, 47., mitgetheilt. Die Lin: 
- terfuchung fcheint eine Zeitlang, eine Lieblingsbefchäftie 
gung von Euler gewefen zu fenn, und erforderte auch 
einen folchen Meifter in ſchicklichen Fransformationen, 


66. Da die Merhode, deren Fagnani fich Bes 
- dient hatte, auf Gubititutionen beruhte, welche gleichfam 
aufs Gerathewoehl unternommen waren, und die vorher 
angeführte, von Euler angewandte, auch von biefen Be⸗ 


252 | Kectification. 


fchaffenheit, aber weniger .eingefchränft war, fo nahm 
diefer fcharffinnige Mnalyft einen andern Weg, der dems 
jenigen. ähnlich iſt, auf welchem man manche Tintegrale 
- finder, nämlich durch die Vergleichung der vorgegebenen 
Differentiale mit denen, die aus den Melationen ends 
licher Größen gefunden find. Er Harte dieſes Ver—⸗ 
fahren fehon bey ver Integration der gleich vorher ans 
. geführten Differentialgleihbung gebraucht. Drey Ab⸗ 
bandlungen über diefe Materie find in den Comm, 
nov,. Petr, T. VII enthalten. In der erften (der 
Stelle nach der zweyten, p. 83.) zeigt Euler, daß 
zwen ähnliche fransfcendente ‚Tintegrale von der Korm 
N ox(A+ Bx’ + Ext) 
VA + CC) 

Alnterfchied haben, und macht davon die Anwendung, 
auf die Bergleihung von Bogen eines Kreifes und der 
Parabel, um den Geift diefer Methode zu zeigen, 
Auch wird nach diefer directen Methode eine von 
Hungens ſchon aufgelöfere Aufgabe ‚behandelt, einen 
Kreis anzugeben, deflen Area der Summe der Räume 
der Oberflächen eines gedruckten Sphaͤroids und eines 
hyperboliſchen Konoids gleih ift. Sie wird auf Seg⸗ 
mente bed Sphaͤroids erweitert, | 


einen gewiffen algebraifchen 


69. In der zweyten Abhandlung (p. 3.) zeige 
Euler, wie der algebraifche Linterfchied zweyer aͤhnli⸗ 
au | ox(4 + Bx’ Ext) 
| M | V(A-+CxX’+Ex') 

befchaffen ift.. Es verfchwinder derfelbe, wenn B und 
€. beide = 0 find. Die Conftante ift hier eine Groͤ— 
Ge eben der Art mie die Integrale. Euler mache da« 
von die Anwendung auf die Ellipfe, um auf derfelben 
von irgend. einem Puncte einen Bogen abzufchneiden, 
der von einem gegebenen Bogen oder deffen Vielfachen 
um eine geometrifche Größe verfchieden ſey, und einen 
Bogen anzugeben, der zu einem gegebenen Bogen ein 


hen Integrale von der Form f 


Rectification. 038 


beſtimmtes Verhaͤltniß Babe. Dieſes muß ſich auch 
auf die Hyperbel anwenden laſſen. 


70. In einer dritten: Abhandlang daſelbſt p. 


128. giebt Euler die geometriſche Conſtruction zwey⸗ 


. er Aufgaben, die er in den Act, Erud, 1754 vorge⸗ 
legt: hatte, erilih, irgend eine Hälfte des elliptifchen 
Umfanges fo zu theilen, daß der Linterfchied der Theile 


geometrifch .darftellbar ſey, zweytens, auf einem ellipfis 


fhen Duadranten zwifchen den Scheiteln der Aren eis 
nen Bogen anzugeben, der die Hälfte des Quadranten 
ſey. Dazu fest er die noch fehmerere Aufgabe, auf 
einer Ellipfe einen Bogen zu beflimmen, welcher der 
dritte Theil des ganzen Umfanges ift. Die erſte Aufe 
gabe hat Boſſuͤt aufgelöfer, in den Mem. presentes, 
T. HI. allein auf eine indirecte Are durch eine Arc 


von Verſuch. Man fehe auch deffen Calcul integral, 


P. L,Ch, ı0. 


71. In dem XIL Bande der neuen Peters 
burger Commentarien machte Euler die Lnterfuchung 
noch allgemeiner. Er zeigte , daß auf Eurven, deren 
Bogen durch die Formel, Me 


S va + 262 + Cz° + 2Diz3 + Eze)’ 


ausgebrückt werden, von irgend einem Puncte ein Bo⸗ 


w 


gen abgefchnitien werden kann, der einem gegebenen 


Bogen gleich it; und daß auf Eurven, deren Bogen 
den Werth, | : 


f- 22(4 + Bz + Cz: + Dzs 

V(A + 2Bz + Cz’ + 2Dz5 + Ezt) 
haben, zu jedem gegebenen Bogen von irgend einem 
Puncte aus ein Bogen gefunden werden Fann , ber 
von jenem, oder einem Vielfachen deffelben, um eine 
geometrifh angebbare Größe unterſchieden iſt. 


72. Euler verfolge dieſe Linterfuchung immer 


— 


— 


234 Rectification. 
weiter. In den Actis Acad, Petrop. T. V. P. il, 


vergleicht er die Groͤßen, welche in der Integralformel, 
’ 202 * | u 
= enthalten find, wo Z irgend 
eine rationale Function von z* bedeutets In demfels 
ben Bande lieferte der unerfchöpfliche, Mann eine augs 
führliche Entwickelung der Vergleichungen, welche fich 
zwiſchen den Bogen der Kegelfchnirre anftellen lafjens 
Diefe beziehe fich auf die Theorie, die in dem Euleris 
ichen Werk über die Sjntegrafrehnüng, T. J. p. 42t 
— 493 vorgetragen ift. In dem IV: Theile der neus 
en Ausgabe diefes Werks ift aus Eulers handſchrift⸗ 
lichem Nachlaſſe noch eine hieher gehörige Abhandlung 
eingeruͤckt. Man fehe auch das Supplement am Ende 
des. dritten Theils deffelben Werts I. 


73. Legendre hat in ben ſchon angeführten 


‘ Exerciges de calcul integral die Vergleichung 


der Dogen der Lemniſcata, ber Ellipſe und 
Hyperbel bequemer gemacht, überhaupt den, Trans 
ſeendenten, welche in ‘der Formel Er. 


| Pox | 
ii nn on sn, wo P eine bei. 
F (a 6x— 0 — cxa) 
liebige rationale Function von x iſt, enthalten find, ber⸗ 
mittelſt Einführung von Angulargrößen eine ihre Ver: 
Hleichung erleichternde Form gegeben. Er macht drey 
Claſſen verfelbeit. Die erfte begreift diejenigen, welche 
| ER ER DEREN 


durch die Formel [f ———— — dargeſtellt were 


VA — 2 sin 9’) 
den. Zu ihr gehören die Bögen der Lemni cata. Die 
zweyte, deren Form ift [IpV (ı — ©? sin® ), begreift 


die elliptiſchen Bogen. Die dritte Elafie begreift die 


Zransfcendenten von der Form Ä 


ER RR Ä 
F -+.nsinG‘) V(r— c' sin®’) i Nach * 


Kectification, 255 


zweyten Glaffe iegt $egendre ihnen — * Namen 
elliptiſche Transfeendenten bey. 


24. Enler hat noch verſchiedene andere Unter 
ſuchungen uͤber die Rectification der krummen Linien 
geliefert, welche zugleich der rn zugehoͤ⸗ 
ren. Dieſe ſind: 


Zwey algebraifche Linien zu finden, * keine 
rectificabel iſt, von welchen aber zwey Bogen, die zu 
derſelben Abſciſſe gehören, ein algebraiſches Aggregat 
geben, wozu man noch die Bedingung ſetzen mag, daß 
die Rectification bon einer gegebenen Quadratur, [Zdz, 
abhangen ſolle. Comm, vet, Petrop, T, VIIL 
Comment. nov. Tom, V. 


Eine Curve zu finden, die auf einer ſtetigen Fol— 
de von Eilipfen gleiche Bogen abfchneide Die Ellipse 
fen haben entweder eine Are und einen Scheitel auf 
der andern gemeinfchafrlich; oder fie haben einen ges 

meinfchaftlihen Mittelpunet und Scheitel, Comm, 
vet, Petrop, Tı VIIL. , - 


| Die Korm der Curven zu finden , an welchen 
die Bogen von gleicher Weite (Amplitudo) glei) groß 
find, Comm. novi Petrop, T: XII: 


Zwey algebraifche Curven zu finden; deren Bogen 
unbeſtimmter Weiſe ſich gleich ſind. Nova Acta Pes 
trop. T. 1V; 


Die algebraifhen Eurben zu finder, deren Laͤnge 
durch paraboliſche oder elliptiſche Bogen gemeſſen wer⸗ 
ben kann. Nova Acta Petrop. T. V. 


Hierzu kommen noch Unterſuchungen aͤber rectiſt ⸗ 
cable Curven auf krummen Flaͤchen ; auf einer Ku⸗ 
gel, in Comm, n, Petrop. T. XV; auf einem recht⸗ 
winflichten Kegel, Acta Petrop. T, V. P. L., auf ir⸗ 
gend einer ſphaͤroidiſchen Oberffaͤche. Nova Acta Pe- 
trop. T. IL 


PET Rectification. 


75. Da bie Vergleichung irrectiſeablet Bogen 
eine fo ſehr bearbeitete Aufgabe iſt, fo werden ein paat 
Beyſpiele nicht fehlen duͤrfen. An der Parabel iſt die 
Sache leicht, wie vorher bemerkt iſt, wiewohl Joh. 
Bernoulli eine ſehr umſtaͤndliche Conſtruction und Rech⸗ 
nung dazu gebraucht, und ſich noch wundert daß die 
Nechnung nicht verwickelter geworden ſey. 

76, Es ſey an der Parabel <AMN (Fig.ır.) 
FM = * QN = z, ſo iſt - der Bogen , 


MN = 2 vom + — 2 = V/(aa + 4yy) 


lin ges) Las 
zeig V (aa + ay)t ay 


Ein paar andere gegebene Drdinaten feyn pP, q,. 
To ift der zwifchen ihnen Bogen J 


= Via + 499) -- V (aa + 4pp) 


ALS) are 
ee V (aa, +4pp) + 2p’ 
Seht man die beiden logarithmifchen Größen einander 
gleich, fo iſt der Unterſchied der beiden parabolifchen 


Bozen eine algebraifche Function der Ordinaten p, 9, 
2. Diefes wird erhalten, wenn | 


V (aa + 42 422) + 2z +22 __Velaa+4gg) +2q 


"V@a+ay)+ 2y ” V’(aa+ 4pp) + 2p 
gemacht wird, wodurch zu jeder Ordinate y die zugehoͤ⸗ 
rige z gefunden werden kann. 


77. Man kann auch den beiden Bogen irgend 
ein Verhaͤltniß n:ı geben. Zur Abkürzung fey der 


zweyte, durch p, q gegebene Don = f+ „ılogk 
fe ift ⸗ 


/ 


Rectification. 2867 


: — a) — Lyüan % N 


V (ad + 422) + 2) + 2%)" 
V (aa=- 4yy) y) +2y a 


ei * — ——— — 
Setzt man den algebroiſd en Theil auf Beiden. — 
der Gleichung gleich groß, und ben logarirgmifchen _ 
gleichfalls,. ſo erhält man zwey Gleichungen fuͤr y und 
z, woraus dieferunbefannten. Größen. beſtimmt werden. 


Die Gleichheit der beiden logarithmiſchen Groͤßen 
giebt, wenn man ſtatt der lLogarithmen ihre zugehoͤri⸗ 
gen Zahlen nimmtt, N 


Vtaä + 42 + 422) + 22, _ an in rag 
Vaa+ 4yY) + 2y es 
da er k= lögkr iſt. 


98, Die Vergleichung der lliptiſchen Bogen 
iſt ſchwieriger weil für dieſe Feine algebraiſche Werthe 
ſtatt finden. Man muß hier Subſtitutionen verſuchen, 
durch welche die Differentiale zweyer Pogan ein inte⸗ 
grirbares Aggregrat geben. | 
— Es ſey die halbe große Are ur,, Excen⸗ 
tricitaͤt — e, die Abſciſſe aus dem Mittelpuntte = zus 
x, der jugehörige a — 3, fo iſt (8. 


8x? 
Buy, ber. = 
x“ Tr | 


= P j Ing; 


(ta ex)dX ° 
vüu-afee+er) | | 
Man fe 1 — er —aur fo if eich gehörige 
Verwandlungen für x und Ox, 


2 wen. 
ee —— Ze) 


os = 


258 Rertiftcation.: 


Man fuche eine Eraänzung zu diefen Differential, dar 
mit das Aggregar integrirhar fen: Es iſt das Diffe⸗ 
rential von v(@—e) u — uti-(r—e‘)) | 
ex nn (a —e) un 2u)du - 
a vV((@ et) u? — ut — (I—et))’ 
und das Differential von = ie \: 
V(a@— = u? — u — — — 2 


1 4 J 


Wie EEE 
T WYLR- Ruth —e)) 
Es erhellt nun, daß bie geſuchte Ergänzung iſt 
(1 — e) du 
+ 2 2 ee 
u ———— — ut — (1 — e?)) 
Dieſes Differential hat auch dieſelbe — wie "das 


für ©s, Man bat nur — we zu fegen = — =, alfo | 


| „. u — 


ng 





2 far Su y ſe verwandelt A) — 


Diferemial in- — — 
| Dan nehme nun eine Abſeiſſe y fo, daß Fery 
* I „und fie den dazu — Da = 
s', 5 if. - | 
& | — e) ou | 
u⸗V((2 — ee) W — u—(Ii— e)) 
Die Summe der. beiden: Differentiale iſt 


— — EN 
u VCG ec) — ut — (rm e)) 


und bas Integral 


sps’= - Const.+ 


os’ = 


nA — — ——— 


u 


Rectißcation ae 259 
u® u I 4 + — | 


u? 
KENNE 2 
J em 8 ——— 
Dr 2 > Lied, - J 
Alſo iſt s + Const. -He'xy, Nimmt man x 
o, it se Od W—ırf:daher vor, 


2 
. 2. — IL 
Es iſt x? — und y: — 





daher xy 2 





und s’— dem elliptifchen Quadranten. Diefen begeiche | 


ne man Durdi<Q ;; fo äfosih o Quetyx, 
bder s — (Q— 8’) ZZ. ey, Hier finds und oO 
— 5! „elliptifhe. Bogen‘, deren jener, gn dein. ‚Scheitel 
der kleineren Are, dieſer an bein! hat d der groͤße⸗ 
ren anfaͤngt. 

| Die bier gegebene Aufbfung. if der in. Boſſuͤts 
Integralrechnung, 3b. I Fe 499. Faͤhnlich ; doch if 
bey der gegenwärtigen der Weg gezeigt, auf. Barden 
man ju berfelben ‚gelangen möge. 


Henrh har gefunden, daß der Punk, an welk 
dem bie bis an beide Aren Gerläfgerte Beruͤhrungsli⸗ 
nie fo groß ift, als die halbe Summe der Aren‘; * 
elliptiſchen Quabranten fo theile,_ daß der Unterſchied 
der beiden Stuͤcke dem halben ünterſchiede der Aren 
gleich it. Mon Eorr. B5 XXVI ©, 260. An 
jenem Punete ift nämlich, wie ſich ſogleich ergiebt, x 


| 
—— Re =D, und 2 y° — mit⸗ 


mb — 
bin — C5 = er. — Sim Man 


fehe auch bie Zeitſchrift für Aſtron. B. III. 98 f- 


79. Die in (48.) angeführte krumme Sinie ſey 
BMC (Fig. 25.), die der Länge nach gegebene gerade 
Linie zwiſchen den Schenkeln des rechten‘, Winkels A 
fey DE’,_und berühre die Curve in M, zu welchem 
Puncte die Eoordinaren ſeyn AP, »M, Es ſey DE 
= a, AP =x; PM = y, ber Bogen BM 
= 5. Da PEtie Subtangene anf AC ijt, im ders 





360 ee PR: 


fer dmg n vie die Abfeiſe, PER — — 
© 


und ME = vom Frey yV G + 


= ve * da 38 + ira, PR fr 

— Rt 7 He 1 Fe ı an >22 .—i xöyr 

be J ſentrecht * AB: wi ik ‚= — — 

—— 

TEE 

ind MD, WO a" ri +. 8; gar 
| ) 

if 1* — Doas Degationszeicen Herwanı 


Bee in dieſer ‚Rechnung die Hegariven Differemtialaue⸗ 
rienten in abſolute/ 


tan Die a Gleichung werde bifferentiirt, wo⸗ 
bey das —* ra Bogens, 98, Kaya, 
Arge werde, * iſt 


— — TEL * * Wien er 
yary” fe 7 ee m 
ans 12 o= Ernie STR 


Sr ös unvarhndenich gehorimen ih Fa 
9x? + 7) = == a, u und o = Oxö*x ” — 


— 
— ift, o= —— — oder = = — 


()" 9, Wi: ai FRE = 
> . — Er 


Li 


Say Soerel dieſer Gleichung iſt RT + y’= 
a5, Denn die Gleichung x" — rn nam or — 


fürt giebt. mx@-ı x +. mymı. = 0; das in 2 * 


“ 


Kectification, 261 


ff yxNıme , J-m 
— — (— — — (=). # \ Die Verglei 


7 
chung — der oebeimn Gleichung jigr, daß I * 
n=- * alſo m =; iſt. Die Conſtante © in & 


Denn wenn bei eine’ Endpunect der Ldie DE in A 
fälte, fo liegt der andere in B oder in c, fo daß AB 
und AC= DE find, . 

Auch ohne ein Differential, — Fu fegen, 
kann man die Rechnung auf folgende Art anſtellen. Es, ſey 
AE=14,AD=u ſo iſt te + * ==.82, Daher 


ot 
— udu —⸗0, un — — — Nun iſt 18 


7 und u — yo * wo das ‚Mega 
—* — die zugehörigen ‚Größen‘ additiv macht, 
"Daraus ift, nach einer leichten: Reduetion, | 
et —— 
—* — — 
xoyo2x — xöxö?y 
Bu a — 


ox? 


u Miet =, ante 


—ñ— 

Pr 

i Le m. 5 
B .. 


Y —p, fo if sch ——— u 





x — 
⸗ 7 — x . . 
px—y 


p’ fun u und a Ben wie — 


Joh. Simon — 98 von dieſer krummen Li⸗ 
nie in einem Aufſatze uͤber die Brennlinie, Opp. T. 
J. p. 57., und in ‘den Lect. Hosp. T. IH. p. 44% 
Seine Methoden fü nd von der — ee ganz 
verſchieden. ie 


262 Reduction. 


860. Die Rectifieation gedoppelt Erummer” Linien 
hat große Schwierigkeit. Auf einem rechtwinklichten 
Kegel, deſſen Seite ein rationales Verhaͤltniß ji dem 
Durchmeffer ber Grundfläche har, laſſen ſich unjählıg viele 
krumme Linien geometriſch beſchrelben, die ſich rectifis 
eiren laſſen. Dieſes zeige Euler in den Actis Petrop. 
DV RE. en 
Precurrens series, f. ruͤcklaufende Reihe. 
Re duet ion iſt überhaupt die Verwandlung 
einer Groͤße in eine Andere, oder eine Vertauſchung. 
In der gemeinen Arithmetik geſchieht ſie bey der Ver⸗ 
wandlung einer ganzen Zahl in einen Bruͤch, eines 
Bruches in einen andern gleichguͤltigen; ben der Vers 
wandlung der Glieder eines Berhaͤltniſſes in andere, 
bey der Klmtauſchung kleinerer Einheiten in . größere, 
‚ober umgekehrt, als bey Muͤnzſorten und Gewichten, 


Mediretion einer Gleihung oder eines 
analyeifchen Ausdrucks iſt, wenn diefer auf die eins 
fachſte Form gebracht wird, durch) Aufheben der gleis 
chen Größen mit entgegengefegten Vorzeichen, durch 
Weglafjung des gemeinfhaftlichen Faectors in dem Zäh: 
ler und Menner eines Duorienten, durch Abionderung 


eines Factors, oder auch durch Euntwickelung eines Pros 
ducts, u. d. g. 


Eine Figur in eine ähnliche, gewoͤhnlich kleine⸗ 
te, verwandeln, heißt auch fie reducir en. Wegen 
des Gebrauchs des Proportionalzirkels zu dieſem Zwe— 
cke heißt dieſer auch ein Reductionszirkel, com 
pas de proportion: insbeſondere nad) der Byrgi⸗ 
fhen Einrichtung, ' — Zee 


. Ein Integral auf. ein anderes redueiren, 
heißt, jenes durch dieſes angeben. So wird ein nicht 
algebraiſches oft auf die Quadratur des Kreiſes oder 


der Hyperbel gebracht. en 
In der angewandten Geometrie wird ein Wins 


kel, deffen Schenkel nicht horizontal ſind, auf einen 


mit horizontalen Schenfeln, in den verticalen Ebenen 
durch jene redwäirt. Ein Winkel, ‚deffen. Scheggel au: 
fergalb: eines angetviefenen . Punctes hat genommen 
werben müffen, wird in derjenigen verwandelt, ber “an 
biefem Punete wuͤrde gefimden feyn. In der Aſtro⸗ 


nomie: fommen fehr ‚häufig Meductionen des Ortes ei⸗ 


nes Beobachters auf einen andern vor, als von der 
Sonne auf die Erde, und umgekehrt; von dem Mit⸗ 
telpunete der Erde auf ihre Oberfläche und von biefer 
auf jenen; daher dann der Ort bes beobachteten 


Weltkoͤrpers ebenfalls eine Meduction leidet. Die Laͤne j 


ge eines Planeten in feiner Bahn wird auf die zus 
gehörige Länge längs ber Ekliptik reducirt. 
Redundans hyperbola begreift 
in Newtons Enumeratione ĩ inearum .tertii ordi- 
nis alle diejenigen Curven, welche drey geradlinichte 


Aſymptoten, von welchen keine parallel ſind, haben, ſ. 


krumme Linien der zweyten Cafe 


— 4444 


haͤltniſſe. 


Regel, arithmetiſche, ik jede Vor— 
ſchrift, aus gegebenen Zahlen die unbekannte herzulei⸗ 


sen. Insbeſondere giebt. man fie einigen, die; ſich durch 


ihre Wichtigfeit oder größere Feinheit auszeichnen. 
Don diefen befonders benannten Regeln find eis 


nige in einzelnen Arrifeln dieſes Werks abgehandelt, 


als die Ylligationsregel, oder die Regei der Des 
ſchickung, die Negel dee Gefellihaftsrehnung, 
die Rettenregel. Die Regel de Tri, die Re 
gel. Multipler (Conjointe), de Duinque, bie 
Reeſiſche und die Bafedomwifche Pegel, fommen 
in dem Artikel; Verhältniß, vor. Die Negel Coß 
bevenret bey ‘den ältern Arithmetikern die Algebra. Der 
gegenwärtige: Artikel ift für die Regel Coͤci und 
Megula Falſi beſtimmtt. | 


wu 


E —— Rechnungsregel, ſ. Bu 


EEE Meg 
a Die RegeleChbei. 


1. eſezer Cdei oder Zekissauh Blinde 
‚rechtiung, Regula virginum, Regula potatorum 
genannt, betrifft eine Aufgabe aus: der "unbeftlimmten 
Analßtik, nämlich eine gegebene Zahl in drey oder mehr 
Theile fo zu theilen, daß, went jeder biefer Theile mit 
einer gegebenen Zahl multiplicırt wird, die. Un 
der Producte eine gegebene Zahl fey, 


2. Aufgaben dieſer Art wuͤrden unendiit si 
Kuflöfungen . julaffen , wenn man für die gefuchten 
Theile auch gebrochne und negative Werthe geſtattete. 
Man fehränfe fie aber auf pofitive ganze Zahlen ein. 
Dadurch wird auch die Anzahl der Antworten einge: | 
ſchraͤnkt. Zur vollſtändigen Muflöfung wird noch erfor⸗ 
dert, daß: die Anzahl aller Antworten beſtimmt werde. 
Sin den un en diefe Sun ju den 
kuͤnſtlichern. 


3. Wenn den — 5 Se, mir Aueſchtie 
ßung zweyer, beſtimmte Werthe beygelegt find, To wird 
die Aufgabe eine beſtimmte, von derſelben Art, wie 
bey der Alligationsregel vorgekommen iſt, wenn zwey 
Materien, dern Werthe für eine geroiffe ‚Einheit ders 
ſelben gegeben find, fo verbunden werden folfen , ' daf 
der Werth der Einheit in der Verbindung ein gegeben 
ner ſey. Wir wollen diefen Fall in Beziehung auf die 
gegenwaͤrtige Aufgabe zuerſt vornehmen. | 


“4. Die gegebene Zahl ſey = a5 die zwey ges 
fuchten Theile y, 25 die gegebenen Multiplicatoren, 
m, n, die Summe ber Probucte = b, fo iſt 


' Ly+zo=a I. my +Fnzb, Die 
erftere Gleichung -werde mit n, multiplicirt, fo ift III, 
ny-Fnz = na. Diefe von IL "abgezogen , giebt 
IV. (m—-n)y=b-—nä Es wird. bierbey ars 
genommen, daß n Fleiner- als m'ift, da es gleichgüls 
tig iſt, welcher der beiden Theile durch 2 -begeichnet 


Regel. 26869 


wida Dante y eine: game Zahl:Ten / mg on 
ein ee vor.b —na fem., w 


34 Zahl roo in zwey Theile zu thei⸗ 
YA, Hi 13 ne‘ mit ‚u der “ändete ‚mit 4 multipli⸗ 
eirt die Summe ‚430. abe ie i = — 434 | 

„SS . 364 
— der andere Theil , ab ⸗ 908.. 


Efynnl.x- ytzZa 

I. x ny + pz = bombd bie Zahlen m,n, p,. 
fulgen der Größe nach auf dinander, vpm der größten 
m am. ‚Man riniipliiee, I. ni p. und, ziege d bie Gleis 
hung darauf von IT. ab, fo 

m m—-px+@- By bin Ä 
Multipligirt man I mie n, und zieht die Slechung 
darauf von H. ab, ſo wird | 

IV. (m — ——— ER E72 

Bier kann 'man'x'inuf mehrerley Arc annehmen, nur 
muß ſowohl b—pa—(m—p) x, als (m Hx 
— 64 na fih durch na p-theilen laſſen, damit y 
amd 2, ganze Zahlenqwerden. Auch muß dabey (m-p)x 
Kleiner. ſeyn, gls 7 pa, und (m—n) x größer, als 
b — na, „lo,,baß, diefe Groͤßen ber Quantitaͤt u 
abnehmend fo,anf einander ‚folgen: 
b — pa; (m— p)x; (m. —.n)x;: h- na, 
Dieſes dient Die Grängen für x zu beftimmen, . 


6Erempel. Man will Aus 14 loͤthigein, rn 
loͤthigem und 9 lörhigem Silber eine Maffe 12 loͤthi⸗ 
ges 30 Marf ſchwer machen, wie dich muß von jeden 
Sorte, genommen werden % 


- Die Gleichumgen- find bier 5 
I sy z—m 30 Mal) 
Ioux+ ı1y +92 12,30 (Loth fein), 
Es ift b-pa= 360 — 6: 3690, und 
b—na =360 — 11.302705 ' alſo ift (m—p)x 
“oder, 3x nicht groͤßer ald 907: ande (und R): x oder 


— 


3x micht Feiner als 30, dae iſt, x iſt nicht größer 
als 18, und nicht kleiner als — Berner muß 90 
= 5x,fomohb als. 3% 30 fih durch en. laſ⸗ 
fen, folglich muß. x.eine. gerabe ‚ Zahl.feng,; alſo die 
Werthe 10, 12, 14; 16, ı8 erhalten.‘ Run beſtim—⸗ 


“men ſich die Werthe bon, und 2aus den beiden · Glei⸗ 


chungen, III, 5x + 2y = 90; IV, Im _ 11 = 
30. Die zuſammenhoͤrigen Vothe nd © 
5X 104-12,- #4, 16, An ] 
YT Mi :yJ Say — Eon: 5,0, — 
a ar nc — 35 16, 9: Las dh ng hı 


ur * — vier ‚Srößen geſuͤcht, fo daß 
a ee 
2 mu + x ty hg = b 
fen, two die Faetoren m, n, p, g, nad). der Größe abs 
nehmend auf, einander ‚folgen. _ | 


ep ‚Dan leite aus — * Gletchungen wie vorher fol 
gende ber: 'ı ‚- \ 
I. m—qu+ er + (9 yab-a; 
IV.(m—pu+(n—p)x— P—gJ2= b=pa: 

ie Werthe von u und x koͤnnen auf inehrerlen Art, 
Feb für ſich angenommen werden,“ tr“ muͤſſen dabey 
ſich beide Gleichungen durch p — q theilen laſſen, auch 
fallen die beiden Summen, (m— ga .-9)x 
und (m—p)üu- (n—p) x jwifchen die Größen 
b —:qa und.b — pa, wenn letzteres, von icio iſt, wie 


es —— immer ſeyn muß. 


8. Exrempel. Es ſey 
I. a 
und II. 201 10x F—2 = 200: 
Daraus iſt I.ıgu+:9x-+3y=ıoo. 
pn IV. 16u+ 6x— 32 = —.200, oder 
a. III. 100 — IyU—9X I 3Y, 
DENE _W. 209 +16u + 6x 3z. 


E muß alfoıı00. ıgu buch: 3 ——— ſeyn, und 


s Regel. 267 


300.+ 16u: audi Die letztere Formel ergiebt, nach 
Abfonderung des darin enthaltenen größten Vielfachen 
von 3, nämlich 198 + ı5 u, daß a Hu ein Vielfa⸗ 
ches von 3 iſt, das ift u — gr — 2, oder wenn man 
e+ 1 flart.tfegt, u 3t+ 1. . Durd.diefe Korn, von 
u: wird :auch die’ Kormel, 100 — ıgu, em Vielfas 
ches von 3. Oder sman fege 100 +19 u gzt, ſo 
iſt auch 99 maru. zum gt, und Styr I 
— stjtwenn man>'beiderfeitd dies. Vielfache, 99 — 
21 u, wegwirft. Man fege 2t +. x flaft.t,.fo.ift zu 
+ [=3 @t+ 1) das — 2u Sr 2, oder u 

— 32 


u Man ‘erhält. man 


V. Sit + Ox. + Ay gr. | u 
VI. ASt + 6x — 32 = — 216, ober” 
IN: ıg£ + 3x + Y rar und 
| Vz —ıbt 2x mn. 2.3 
Hier fann t nur die beiden Werthe ound + ers 
halten, In dem erſtern Kalle kann man für x alle 
ganze Zahlen von 1bis 9 nebſt o-feßen; im dem ans 
dern nur o, 1, 25 Aus den gewählten Werthen von 
‘x ergeben ſich die von y und z, In allen giebt es 
13 Auflöfungen diefer Aufgabe, Er 


— 
* 


— 9.. Die beiden Exempel find aus Eulers Alge⸗ 

bra, II. Th. ©. 174. ff. genommen. Die Behand⸗ 
Jung ift abgeänders Das zweyte Exempel ſteht auch 
in. Clausbergs Nechenfunft, IV. S. 1345, ohne all 
gemeine Rechnung. Kr, zeigt die Auflöfungen ber hier 
‚ber gehörigen „Mufgaben durch Exempel in beftimmten 
Zahlen, woben er aber zugleich” den Grund des Verfahrens 
einſehen laͤßt. — Man fehe auch von Diefer, wie bon 
‚der folgenden Regel Kalfı, Kaͤſtners Fortſetzung der Re⸗ 
chenkunſt, S. 530 ff. 499 ff. Karſtens Lehrbegriff der 
"Mathematik zweyter Theil. XVI. Abſchnitt der sodie 
„tern Ausführung der Rechenkunſt. Ä 


10. Die Wegenmeil kleiden dieſe Eremdel ſo 


- 


pP 7 


ein, daß ſie zur Beluſtigung dienen. Es; wird z. B. 
aufgegeben, wie biel Ochſen, Kuͤhe, Kaͤlber und Schafe 
unter 100 gekauften Stuͤck Vieh geweſen ſind, wenn 
der: Preis eities. Stuͤcks jederr Sorte gegeben wird. 
Bon ſolchen "Erempeln , moͤgen einige Benennungen 
vieſer. Megel herruͤhren. Sie: heißt‘: Regel Coͤci enter 
der, geil die Nechner, welche darauf fielen, die Auf⸗ 
Iöfung: durch Verſuche und Herumtappen ſuchten, oder 
von dem unbekannten Worte, Zekis, das in Céei 
verwandelt iſt. 3. C = 
1-4239° 5 ae ei nen 

Die Regel Falfi. - 

11. Die Regel Falſi ift eine Methode, eine Rech⸗ 
nungs⸗-Aufgabe durch die Annahme eitter willführlichen 
Groͤße ftart der wahren aufzulöfen, dadurch daß man 
das Facit mit dem, was herausfommen follte, vergleicht, 
und aus dem Llnferfchiede die angenömmene Zahl bes 

richtigt ER an en 
sin 2 Man hat diefe Methode in fruͤhern Zeiten 
benutzt, weil man entweder die algebraifche nicht kann⸗ 
te, oder fie dem Lehrling erfparen wollte. Wer nur 
mit Gleichungen” vom . erften Grade umgeben kann, 
braucht die Regel Falſi nicht. Sie laͤßt ſich nicht ays 
"Bringen, wo das geſuchte oder etwas davon abhangen⸗ 
‘des nicht Durch eine Formel, welche bloß Faetoren 
‘und Diviſoren enchält, dargeſtellt wird, Bi 


13. Exempel. Drey Perfonen, A, B,/C, fols 
‚len 1000 Rthlr. dergeſtallt sheilen, daß B 14 mahl ſo 
vpiel als A, und GC mahl ſo viel als A und B zu: 
ſammen bekomme, nebſt 40 Rthlr. beſonders. — Man 
nimmt hier irgend. eine Zahl Thaler an, die A erhals 
„sten ſoll, gleichviel welche, als 4, fo erhält B 6, und 
C ,befomme, > mit 40. Diefes macht 52 ſtatt 1000, 
Damit man die Regel Falſi anbringen fünne, muß 
man die 40 bon 1000 wegnehmen, fo wird die Sum⸗ 
"me ı2, flatt 960. Mim ſetze man nad) der 


- 
Er — — 


VRegel. e260 


Regel de Tri an ſtatt 12 ſollen kommen 0657, was 
muß ſtatt "in: der’ Portion des A kommen? Facit 
3200Mun bekommt B 4803 Gubo mit den zu⸗ 
ruͤckgelegten 49,* und die S viele drey — 
nt A? rg 


z 14. ° Die Main giebt bie hf * Sr | 
fuche. Die — des A fg = — x, ſo ift die des 


2 Es *8 6 3 WAL RR 


drey zuumen — die Sliguig, er x — 40* * 


1000, ober 3x — 960, Man ir. = Bifem PR 


fpielexoder algemeiner aus der Gleichung, ——+ a=3 


b . wie nian durch’ einem unrichtigen: Bert vom'x mit⸗ 
telſt der Abweichung von dem Werthe :b.:-— a, de 
Bruches den wahren Werth finden Fann. Die Abweir 
‚hung won b — a, verhält. sich, wie ‚die Abweichung von 
x. -Die algebraiiche Rechnung giebt ‚kein beftimmtes 


Facit; ‚fie ‚fellt bloß ‚den Zufammenhang der Größen 


dar, dagegen die, Zahlenrechnung zwar dieſelbe Form 
A aber nicht gerape,, eine gegebene en 
tri t. 


— Das bcheudel Sen gehört: zu der eins 
| fachen Regel Ralfi.. Man hat auch eine doppelte Mes 
gel, wo man zwey Anfaͤtze macht, und aus dem Lin: 
terfebiede der Reſuͤltate vom dein gegebenen’ in Bergleis 
Hung mit dem Unterſchiede der — — 
das richtige herleitet. 


16. Exempel. Eine gewiſſe Zahl werde ii. 2 


multiplieirt, zu dem Producte 60 apdirt, die Summe 


durch 11 dividirt, von dem QDuotienten. 25 fubtrahirt, 
der Reſt mir 33 multiplicirt, — 100 herauskommt, 
was war die genommene Zahl ? . 


— 


— 


270 Kegel: u 


. Bau gem.e 36: } 


abe, gus der Gleichung, 


en: en EN 
fi MEZ2 am e — fm: 2a 


Slihif gmfre Afmu—mt:x—t, welches 
die angewandte Proportion iſt. — 


17. Exempel. Aus 10 loͤthigem (A) und 15 loͤthl⸗ 
gem Silber (B) ſoll ein. Werk von 30 Mark 173 Iös 
thigen gemacht, werden. Wie viel. von’ federn ? — 
Mac der Negel Kalfi fege man, von dem Silber’ A 
5 Mark, fo hat man von B zu nehmen 25 Marfi 
Diefes giebt 5o + 375 oder 425 Sorh fein. Aber 
3o Mark zu 13. Loth find nur 390, Marf fein. Man 
nchme von A 9 Marf, alfo von B .2ı Mark, fo eu 
hält man 405 Loth fein. Hier hat die Vermehrung 
des Silbers A eine Verminderung des feinen Silbers 
- in der ganzen, Maſſe herborgebracht, wie es hegreiflich 
ift. Man fage nun, wie 425 — 405 zu 425 — 390, 
fo 9 —5 zu dem Linterfchiede der richrigen Zahl und 
det angenommenen 5. Diefer ift 7, alfo muß man 
von A 12, von B 13 Mark nehmen. Weil weniger 
fein Silber herauskommen foll, fo muß der Unterſchied 
7 zu der Menge 5 des fehlechten Silbers addirt wers 


den. 


* 
— 


Regel. * 271 


sh 18. Die Algebra‘ giebt das geſuchte rſchr leicht; 
f. Gleidung, 25. Die Hegel Falſi in; dieſem Falle 
zu erweiſen, ſetze man m,n, rz: flatt 10, 15, 13, und 
a ſtatt 30. Die heſuchte Menge. von A ſey x, fo 
it Lmx na — x)=ra — b Loth fein. Man 


ſetze ſtatt x ſowohl t als a⸗ wodurch ſtatt b nun ent⸗ 


ſtehen e und d Loth fein, une iſt Untaca⸗-t) 
63AM. mu en fa t d. Mieraus iſt 
* c *42 — (n — m): (wert) ,. und VW: Ch b 

— (di m).(x —t), Daraus if ci; —— 


ER X— t. r Ts. 8 21 ar ri 


19. In der Analyſis Wird die Hohl falsi 
oder vielmehr positio prope veri, häufig ‚angewandt, 
wo die direete Rechnung entweder nicht’ wohl⸗ möglich 
oder‘ doch befchwerlicher iſt. Höhere "Gleihtingen werd 
den. aufgelöfer dadurch, daß man fuͤr die Wurzel erjk 
einen nahe kommenden Werth‘ ſucht, dann dieſen im 
die Gleichung ſetzt, und aus der Abweichung des Werths 


derſelben von o (mem alle: Glieder auf eine Seite ge⸗ 


bracht ſind) eine Werbeflerung des angenommenen Wer⸗ 
fhes der Wurzel herleitet ſ. Gleichung’, 231 ff. Th. 
U. ©. 488. ff. Auf eben die Arc kann aus einer 
unbeftimmten. Gleichung zwifchen zwey veraͤnderlichen 
Größen die eine duch die andere in Geſtalt einer 
Reihe dargeftelle werden. > &o verfährt Newton inded 
Method, | flux. er serituminfin. Die‘ Gleichung/ 
A tang 4 O sin G B(Kreis, 112) Nähre auf 
eine Gleichung vom: vierten Grades: fie) wird aber. 
bequemer durch: Annäherung. aufgelöfer, indemman zus 
erit für © eine, Annahme macht, und dieſe folgweiſe 
verbeffert. S. Kaͤſtners geom. Sammlung LS: 42. 
In der Aftronomiie laͤßt fich bey der Berechnung eia 
ner Sonnen⸗ und Mondsfinſterniß fir eine gegebene 
Zeit der Abftand der Mitrelpuncte beider : Weltförper 
directe berechnen, iaber umgekehrt aus dem Abftande die 
Zeit zu finden, muß man ‚einige Zeitpuncte annehmen, 


und aus den zugehörigen Abſtaͤnden, der Mittelpuncte 


| ol Bei, 


bie, gifüchte: Zeithkur dem — Abſtand besleiten, 
Euler im\feiner: Thedrih Planetärum: et Gomietäthni 
nimmt für eine :gegebene Zeit: ven Abſtand eines Kor 
meten von der rErbeubdurh Schaͤtzuug an... berechnet 
daraus die. "Eleniente der: Bahn ‚- und mus diefen für 
eine entferntere Zeit wieder den geoeentriſchen Ort nach 
Laͤnge und Breite. Die Vergleichung mit der Beob⸗ 
achtung giebt zu erfehnen wie: jette Annahme zu vers 
beſſernſetyyn moͤge. Newton verfaͤhrt auf eine aͤhnli⸗ 
‚be-Xot; ide mundi: Syabomathı,- in’ AR — 
L. III. prope 41. —9* u: 


? Begiläne Sigut⸗. t Biete gı 


| "Meibe, (devies). ft, ef eine. Kolge 6 von 
Größen, welche nach einen gemeinſchaftlichen Gefege 
gebildet werden 3: zweytens eine mach irgend einem 
Geſetze entwickelte Folgender Xheile ‚einer. "Größe, wel⸗ 
che ‚eine; Function. einer; andern: ift Nachudenen Po⸗ 
tenzen· gewoͤhnlich die Glieder dev Reihe fortſchrei⸗ 
ten. 2 Die in, einen: Reihe auf einander folgenden Grö⸗ 
Mi Äder Theile beißen: die Glieder (Termini) ders 

— en a y tr 3 9% 29 — . — — 


Die. ‚Slieber- ‚tier Heibe det: fen Slaffa 

E gefondavte; vollfänbige. Grdfen „. gleich den Orbie 
Daten an eine «Linie. Die Stellenzahlen verfelben: find 
den Abſeiſſen zu vergleichen. Diefe nennt man auch 
die ‚Zeigen; (indioes). Oaher koͤnnen die Reihen dies 
fer Stoffe interpolirt werben, indem zwiſchen je zweye 
en immer andere gedacht werben koͤnnen, die nach dem⸗ 
ſelben Geſetze, zufolge der: Stellenzahl oder des Zeigers, 
gebildet werden. Hingegen in den Reihen der zwey⸗ 
ten Claſſe findet: Feine: Interpolation ſtatt. Die Rei⸗ 
he wird fortgeſetzt, das iſt⸗ es werden zu den herechne⸗ 
ten Gliedern mehrere zugefuͤgt, bis entweder Die Reihe 
vollſtaͤndig geworden iſt (abbricht), oder bis der Werth 
der Function hinlaͤnglich genau. gefunden iſt. m 
| Ä Die 


' Reihe. 2273 


Die MReihen der erſten Claſſe heißen oft und 
ſchicklich Progreſſionen. —— 
1. Die einfachſte Reihe iſt die arithmetiſche 
der erſten Ordnung, in welcher die Unterſchiede zweyer 
naͤchſten Glieber, nach derſelben Richtung genommen 
gleich groß ſind, als in nachſtehender, 
a,2a-b; 3a-2b, 4a-3b, ...ma-(n-r),b,.. 
welche rückwärts. fortgefegt if, - N F 
"  b,2b-a, 3b-2a, 4b-33, ,...nb-(n-1)a,.... 
Die Glieder diefer Neihe find die Ordinaten ber eins 
fachſten Sinie, der geraden, wenn bie Stellenzahl n der 
Abſciſſe proportional, oder der Quotient iff, den die 
Abſciſſe, durch. eine gewiſſe lineariſche Einheit dividirt, 
giebt. Entgegengeſetzte Werthe der Glieder zeigen ent⸗ 
gegengeſetzte Lage oder Richtung der Ordinaten an. 
©; Linie, gerade. 3* | | 


2. Potenzen, deren Wurzeln die Glieder einer 
einfachen arithmerifchen Neihe And, bilden eine arithme— 
tifche Neihe einer höhern Ordnung. Diefe Reihen wers 
den zu der Elaffe der arichmerifchen gerechnet, weil die 
zwenfen, dritten oder folgenden Linterfchiede der Glie— 
der, dem Erponenten der Potenz gemäß, befländige Wer⸗ 
the erhalten. ° So die Reihen, 

(a-+ b)?, (a+2b)?, (a+ 3b)? ....(a+ nb)*... 
(a+b)?, (a+ 2b)’, (a+ 3b)? ....(a+ nb)?... 
Fuͤr jene find die zweyten Linterfchiede, nämlich 2b®, 
für diefe die dritten, nämlich 6b3, beftändig. Siehe Por 
ten;, 27. fl ee er u, 

3. Nimmt man flatt der gleichen Factoren bey 

den Potenzen, ungleiche Factoren, fo bilden die Pros 
ducte aus denfelben ebenfalls eine arithmerifche Meihe, 
deren Drönung durch die Anzahl der Factoren beftimme 
wird. Kine Reihe der zweyten Ordnung iſt dieſe: 
(4b) 4 d);(a + 2b)(c+ 2d);(a+3b)(c+ 343 
(at nb)(c + nd)... 


S 


J 


eine ber dritten Ordnung, 


274 KRfxeihe. 


(a+b)(c+ä)le+N); a+25) (c-4-2d) (e+>2f); 
Se ....(a+nb) (c+nd)(e+nf)... 
u, + 1. 


Die Glieder dieſer Reihen werden durch die Ordinas 
ten: parabolifcher Curven dargeftelle,, die von der zwey⸗ 
ten Ordnung durch Drdinaten an eine gemeine Para- 
bel. Die Stellenzahl mn des Gliedes ift der Abſciſſe 
proportional, Die Gleichung einer parabolifchen. Eurs 
ve bt y—za-—tLx + ya + 0x5...+ x”, Die 
Bergleichung mit der Korm des Gliedes giebt. die Wer: 
the der Eoefficienten. S. Parabein höherer Art. 


4. Eine reciprofe arichmerifche Reihe 
befteht aus Bruͤchen, deren Zähler eine: beftändige 
Größe ift, die Menner eine einfache arichmetifche Rei⸗ 


— c 
be bilden. Die Form des nten Gliedes ber — — 


Das Anfangsglied, A,firn=o, in ° = bas BR | 


folgende, Bfrn =i, if - * Nimmt man ce 
ab, ſo iſt A=za;Bmb, und das allgemeine Glied 


ab 
der Reihe it P— men das naͤchſtfolgende 
— ab 
 (a+ ıJa-nb 
a—b 

Es ift P—Q=——PQ ode a—b:P 
— — — 

Je drey auf einander folgende Glieder der reci⸗ 
proken arithmetiſchen Reihe ſind in einer — har⸗ 
moniſchen Proportion. Es ſeyn dieſe, P, Q, R, fo iſt 

a — b: P— Q=ab:'PQ, 
a—b:Q—R=ab: OR. 
Daraus ift 


Reihe 0.875 
BB: D=R=PiR 
eine ftetige harmoniſche Proportion. S. biefen Ar—⸗ 
tikel. | a Ä | 
- Diefe Proportion giebt die beiden, 

 2P—Q:Q0=P:R, 

.,2R=-0:0=R:P; 
und jede biefer die Proportion, 
oder R+P:P=:R:Q,. 

5. Ein. Glied einer tecipröfen arithmetiſchen 
Meihe werde durch a Me ; 
Stellenzahl des Gliedes ift. Diefer Quotient entwis 
delt giebt die geometrifche Neihe, 


Ausgedruckt , wo x bie 





Bee. b3x3 > 
Dal a Er Tale Be Fe 


Ser entgegengefeste Werth bed Gliedes, naͤmlich 
en , werde duch durch die Divifion , auf gleiche 

X — 
Art wie jener, entwickelt, ſo ergiebt ſich die geometri⸗ 
ſche Reihe ee i f 

ae EEE 
Es iſt die erſtere ruͤckwaͤrts fortgeſetzt. Beide Reihen 
zuſammen genommen, ins Unendliche gedacht, heben 
ſich, wie ſich die Quotienten, woraus fie entſtanden find; 
einander aufheben; freylich nicht vermoͤge entgegengeſetz⸗ 
ter gleicher Duantitär, 
6. Der Quotient ünd bie entwickelte Reihe ift 

nur ein einzelner Fall, der einem allgemeinen unterge⸗ 
ordnet iſt. Go wie in einer geometriſchen Reihe jedes 
Glied aus dem vorhergehenden durch die Mulciplicae 
fion mit derfelben Größe entſteht, fo Fann auch jedes 
Glied einer Reihe aus zwey, drey oder mehrern vor 
bergehenden Gliedern, durch die Multiplication jed⸗e⸗ 





76 Reihe. 


mit einem beſtaͤndigen Factor zuſammengeſetzt wer⸗ 
den. Es ſey ein Glied S, die vorhergehenden R,Q,P, 
u. ſ. f. Nun fer jedes 8 = a,kR + ßQ,.oder $S = 
aR + BQ + ,P, wo a, ß, y die beitändigen ac 
toren find. Diefe Meihen, welche rücklaufende (recur- 
‚rentes) heißen, entſtehen — Entwickelung des Bru⸗ 


— at bx + ex® 
9 a+ Br I 
fel, ruͤcklaufende Reihen. 


Eine ſehr zuſammengeſetzte, aber Noch völlig. agel⸗ 
maͤßige Baldung einer Reihe von- Groͤßen, aus allen 


‚Davon in dem Arti⸗ 


Er vorhergehenden Gliedern, zeige die Reihe der Bernoul⸗ 
Uliſchen Zahlen; ſ. Th. J. S. 2884. 


7. Die Glieder einer Reihe kdnnen auch trans⸗ 
ſcendente Functionen der Stellenzahl ſeyn. Dieſe 
Stellen koͤnnen durch Winkel angegeben werden, die in 
arithmetiſcher Progreſſion oder etwa einer andern ge⸗ 
nommen werden, und bie Glieder der Reihe find ihre 

Sinus oder Tangenten oder fonft eine Runction dieſer 
Winkel, Dergleichen find in dem Artikel, Einfchalten, 
36 — 39 angegeben. Eine logarithmifch + transſeen⸗ 
dente iſt noch in folgendem Ausdruck enthalten: 


—— 4 9. ro(lm+x)in, 

Eine biefer Art kommt in Jamberts Anmerfungen über 
die Gewalt des Schiefpulvers S. 66. vor. Dergleis 
chen Reihen werden bey praftifchen Linterfuchungen ans 
gewandt, wo aus den durch Beobachtung gefundenen 
Werthen einer Größe, welche von einer andern abhängt, 
der Werth derfelben allgemein angegeben werden foll, 
und die einfachen Formeln (3.) nicht Genuͤge leiften, 


8. Die zweyte ausgebreitetere Elaffe der Rei— 
ben enthält diejenigen, welche von dem Anfangsgliede 
an die entwirfelre Darftellung der Function einer ver 
änderlichen Größe find, nach deren Potenzen die Glie: 
der der Meihe geordnet werden, Dieſe Glieder find nun 


za * 


005 Neihe, 277 


Theile eines Ganzen, deren Stellen die dritte veraͤnder⸗ 
liche Groͤße bey dieſer Entwickelung ausmachen. Die 
Functionalgroͤße und die Fuñction ſelbſt find wie Ab—— 
ſeiſſen und Ordinaten an einer krummen Linie zu be— 
trachten. Die Functionalgroͤße, nach deren Potenzen 
die Reihe fortſchreitet, mag man bequem die Pros 
greffionalgröße nengen. Anftart der Fortſchrei— 
tung nach den Potenzen einer veränderlichen Größe 
wird adch oft eine Korrfchreitung nach den Vielfachen 
eines. veränderlichen Winfels genommen, wenn bey geos - 
merrifchen Llnrerfuchungen Winfel und Abjtände von. 


* 


einem Punete zu einander geordnet werden, 


9. Diefe Neihen dienen einen genäherten Werth 
einer Größe anzugeben, den man fonft entweder gar 
nicht erhalten Fann, oder nicht anders als unter einer 
zu verwickelten Geſtalt findet, wiewohl ju diefem Zwes 
cke oft noch gewiffe Vorbereitungen erfordert werden, 
wofern die Annäherung fchnell genug geſchehen foll. 
-Manchmahl gewähren Reihen gar Eeine Annäherung. 
Um diefer Anmwenbung willen ift die Theorie der Rei— 
“ ben von den neuern Mathematifern fleißig bearbeitet 
worden. Außerdem laffen fich über Reihen, als Kors 
men einer Größe überhaupt, merkwürdige Unterfuchuns 
gen anftellen, in Abficht auf die Entwirfelung ihrer 
Gfieder, die allgemeine Korm derfelben, die Summe 
der Glieder und die Wergleichungen verfchiedener Reis 
hen unter einander, ’ 


10: Die Analnfis bietet gfeich beym Eingange 
zwey merkwürdige Entwickelungen dar, der Potenz eis 
ner zwey⸗ oder mehrtheiligen Größe und eines: Bru—⸗ 
"bes, Die unbeſtimmte Potenz des Binomium a+x 
wird: durch eine Meihe dargeitellt, in. welcher ‚die Pro: 
greffionalgröße x ift, und die Coefficienten aus ber 
Größe a und der Stelle eines Gliedes gebildet wer⸗— 
den. Die Kunetion der Stelle iſt veränderlich, aber 
nach einem beftimmten Geſetze. Die Neihe der Coef⸗ 
ficienten in derſelben Stelle bey veränderten Exponeu— 


[ 


278 E Reihe. han w 


ten bes Binonium machen eine Reihe der erſten Elaſ⸗ 
fe und zwar eine arithmetiſche einer gewiſſen Ordnung 
aus, wo Die Junction der Stellenzahl diefelbe bleibt. 


11. Die Reihen, welche aus der Entwickelung 
eined Bruches entftehen, deſſen Zähler und Nennet 
nad) den Potenzen einer veränderlichen oder unbeſtimm⸗ 
ten Größe geordnet find, das ift, die ruͤcklaufenden, füns 
nen auch als Ganze angefehen werden, die eine Func⸗— 
tion der. veränderlichen Progreffionalgröße find. Die 
Glieder der Meibe laffen ſich aber auch, wie oben (5.) 
geichehen ift, als abgefonderte Größen betrachten, die 
nach einem gemeinfchaftlichen Geſetze gebilder werden, 


12. Wenn eine veränderliche Größe y eine un: 
gefonderte Function (functio jmplicita) einer andern 
x iſt, fo eneftehen durch die. Entwickelung derfelben 
‚mehrere Reihen für vie verfchiedenen neben einander 
beitehenden Fortfchveitungen der y, wie in dem Artikel, 
Function, 41. gezeigte iſt. Diefe Reihen ftellen die 
Drdinaten an den verfchiedenen Zweigen einer Curve 
por. Gie find oft nur für Fleine Portionen derfrummen 
sinie brauchbar, dienen aber hier befonders die Figenz 
beiten einer Curve an einzelnen Stellen anzugeben. | 


13, Wenn eine Größe y durch eine nach den 
Potenzen von x geordnete Reihe gegeben wird, fo. Fann 
es erforderlich feyn, umgekehrt x durch y auszudrücken. 
Diefes iſt, was man die Umkehrung einer Reihe, 
nenne. i F 

14. Hieher gehört auch der Fall, wenn die Wurs 
zeln einer algebraifchen Gleichung durch eine Reihe auss 
gedrügke we den follen,, die nach den Patenzen einer 
unfer den cegebenen Größen fortfchreitet. Diefes hat 
inzwiſchen manchmahl Schwierigkeit in Miückficht der 
Annäherung au dem Werthe einer jeden Wurzel. 


15. Die Cintegrationen, welche auf transfeenden- 
16 Größen fügren, geben mancherlen. Reihen, von wel: 


Reihe 279 


chen insbefondere die chklometriſchen und logarithmiſchen 
wichtige Beyſpiele ſind. Die cyklometriſchen vorzuͤglich 
laſſen jede eine Eigenheit in der Bildung der Coefficien⸗ 
ten zu der Progrefſionalgroͤße bemerken, ſ. Cyklometrie. 


16. Die Veränderung einer Function y von 
einer Größe x durch die Weränderung von x darzu⸗ 
ſtellen, dient eine Meihe, welche nach den Potenzen der 


Deränderung von x geordnet iſt, mit Coefficienten, 
| y Oy 


| — öy. 0°y 
die aus den Differentialquotienten —, = = 
Diff 9 a Ix:’ 5x3’ 


- höherer Ordnungen entftehen, welches der Taylorſche 
Lehrſatz angiebt. —— 


17. Eine jede Function von x aus ber Glei⸗ 
chung, y — x — 20 durch dieſelbe Function von 
y mit ähnlichen Functionen von y wie Px von x iſt, 
nach den Potenzen von z geordnet, darzuftellen, ıge= 
ſchieht durch eine Neihe, welhe la range angeges 
ben hat, und die nach diefem Analyſten zu benennen 
ift, fe la Grange's Lehrſatz. 


>78. Als eine beſondere Art von Reihen kann 
man die Formen anſehen, welche eine Groͤße durch ein 
Product don unendlich vielen Factoren darſtellen, wie 


und 


— . mm mr . ⸗ 
den sin — und cos — in Cyklometrie, 28, daher 
2n u 7 ı | 

auch die ta — 
ie tang — 

5 For 


Die Rettenbruͤche oder continuirlichen Bruͤche 
machen auch eine eigenartige Reihe durch die fortgeſetz⸗ 
ten, in einander geſchobenen Quotienten aus. 
19.. Die Glieder einer Reihe der zweyten Claſſe 
koͤnnen vieder aus Reihenausdruͤcken zuſammengeſetzt 
ſeyn. Ein ſolcher Fall iſt bey der unbeſtimmten Rec⸗ 
tification der Ellipſe und Hyperbel. | 


20, & fey z eine Function von x und y, 


J 


280 Reihe. 


wie die’ Orbinafen.z an eine Flaͤche eine Function ber 

Coordinaten x, y in der Grundfläche durch die Aren 

derſelben find, Die aus der Gleichung. jwifchen den 

x, y, z enfwicelte Function z bar die Korm, 

ZSAHAxH+ Al 4 Alixs 4 Aura + etc, 

st By + B/xy + B"x’y + Btxdy + eto, 

+ Oy° + Gay! + Crasy? + etc, 

“ +Dy3-+ D’xy5 + etc, 

a + Ey? -+ etc, 

| 2 + eto. 

21. Bey ben Reihen der zweyten Claſſe kommt 

es auf zwey Momente an, erſtlich auf die Fortſchrei— 

tung der Exponenten zu den Potenzen der Proz 

Hreffionalgröße, zweytens auf das Gef etz der Coef⸗ 
ficienten, ' | 


22. ‚Die Erponenten der Progreffionalgröße 
nimmt man in einer arithmetiſchen Progreffion, Denn 
wenn auch bey einer ſolchen Fortſchreitung einige Glies 
der ausfallen,. fo muß der Eoefficient der zugehörigen 
Potenz gleich Null gefunden werden. Die Progrefs 
fion der Erponenten wird zufolge der Beſchaffenheit 
ber Function beftimmt. Sie enthält die Geftalt oder 
Form der Reihe, ſ. Function. 


23. Wenn die Exponenten der veraͤnderlichen 
Größe nach der angenommenen Folge der Glieder zu: 
nehmen, fo heiße die Reihe eine fteigende, wenn fie 
abnehmen, eine fallende. Negativ zunehmende Ex⸗ 
‚ponenten geben eine fallende Reihe; negativ abnehs 
mende eine fteigende, Denn bie relative Vergrößerung 
einer negativen Größe gefchieht durchs Addiren einer 
pofitiven Größe, die relative Verminderung durchs Ad⸗ 
diren einer negativen Größe oder Subtraction einer po⸗ 
ſitiven. Mach, der abſoluten Größe der Erponenten 
läge ſich nicht. beftimmen, ob eine Reihe eine fteigende 
"oder fallende fey. | * 


24. . Die ſteigenden Reihen find “jur Dorftellung 


\ 


* 


des genaͤherten Werthes einer Function erforderlich, wenn 
die Progreſſionalgroͤße kleiner iſt als die Einheit; die 
fallenden, wenn fie größer als die Einheit iſt. Wenn 
feine Einheit feſtgeſetzt iſt, fo muß man zur Progrefs 
fionalgröße den Quotienten der. Functionalgröße durch 
eine gegebene nehmen, Das Berhältniß beider zeige 
nun, ob die Progreffionalgröße ein eigentlicher oder uns: 
eigentlicher Bruch ift. =. 


95 Der allgemeine Eoefficient der 

Mrogreffionalgröße beſtimmt vornaͤmlich das. Geſetz der 
Korefchreitung der Glieder in einer Reihe. Mit der zus. 
gehörigen Potenz der Progreffionalgröße verbunden 
macht er das allgemeine Glied (terminus gene- 
- ralis) der Reihe aus. Diefes ift der analytiſche Aus⸗ z 
druck- eines unbeftimmten Gliedes durch‘ die unbeſtimm⸗ 
te Zahl feiner Stelle, oder überhaupt duch Das äuges 
hoͤrige Glied einer arithmerifchen Reihe. er 


26. 3-8. In ber Meihe, die duch die Ents 
I enefteht, iſt das alls 





wickelung des Quotienten 
a-6x 


— aft. | 
gemeine Glied — — x", mon bis ‚Stelle des 
— * e = * ’ ‘ ‘ 


Gliedes nach dem Anfangsgliede iſt, welches für n 


— o gilt. In der Reihe fuͤr einen Kreisbogen OP, 
deſſen Sinus = x iſt, iſt das allgemeine Glied 


2m — . 2m — « .. SE . . 
— lei Se — — — x2m-1 
* 





— — ——142—⸗1 
wo m die Stelle des unbeſtimmten Gliedes vom Ans 
fange an bezeichnet, Cyklometrie, 1. 
27. Sit. das Allgemeine Glied befannt, fo ift 
dadurch die Größe, welche duch die Reihe dargeftelle 
wit, in der That gegeben, wenn fie auch für manche 
Werthe der Progrefjionalgröße nur ſehr unvollſtaͤndig 


280 + Reihe. 


mie die’ Drdinafen.z an eine Släche eine Functlon der 

Coordinaten x, y in der Grundfläche durch die Aren 

derſelben find. Die aus der Gleichung. zwifchen den 
x, y, z entwickelte Function z har die Korm, 

ZZ AHAxH+ Aſx-4 Auxs 4Arxa4 4 etc, 

By Bxy + Bvxy + By etc. 

+ 05 + City? 4 etc, 

+ Dy3 + D’xy3 + etc, 

ENT ae + Ey*-+ etc, 

+ eto, 

21. Bey ben Reihen der zweyten Claſſe kommt 


es auf zwey Momente an, erſtlich auf die Kortfchreie 
tung der Erponenten zu den Potenzen der Proz 


greſſionalgroͤße, zweytens auf das Geſetz der Coef⸗ 
ficienten. | | 


22. ‚Die Erponenten der Progreffionalgröße 
nimmt man in einer arithmetiſchen Progreſſion. Denn 
wenn auch bey einer ſolchen Korrfchreitung einige Glies 
der ausfallen,. fo muß der Eoefficient der zugehörigen 
Potenz gleich Null gefunden werden. Die Progrefe 
fion der Erponenten wird zufolge der Beſchaffenheit 
ber Function beſtimmt. Sie enthält die Geftalt oder 
Form der Reihe, ſ. Function. 


23. Wenn die Exponenten der veraͤnderlichen 


Größe nach der angenommenen Kolge der Glieder zus 
nehmen, fo heißt die Reihe eine fteigende, wenn fie 
abnehmen, eine fallende. Negativ zunehmende Ex⸗ 
‚ponenten geben eine fallende Reihe; negativ abnehe 
mende eine fleigende, Denn die relative Vergrößerung 
einer negativen Größe gefchieht durchs Addiren einer 
pofitiven Größe, die relative Verminderung durchs Ads 
Diren einer negativen Größe oder Gubtraction einer po⸗ 


ſitiven. Mach. der abfoluten Größe der Erponenten - 


laͤßt fich nicht beftimmen, ob eine- Reihe eine fteigende 
"oder fallende fey. | - 


24. . Die fleigenden Reihen find zur Darſtellung 


I Reber 281 


des aenähetren Werthes einer Runction erforderlich, wenn 
die Progreffionalgröße Heiner ift als die Einheit; die 
fallenden, wenn fie größer als die Einheit ift. Wenn \ 
feine Einheit feftgefegt iſt, fo muß man zur Progreſ⸗ 
ſionalgroͤße den Quotienten der Functionalgroͤße durch 
eine gegebene nehmen. Das Verhaͤltniß beider zeigt 
nun, ob die Progreſſionalgroͤße ein eigentlicher oder uns 
eigentlicher Bruch ift. | u 


2055 Der allgemeine Eoefficient dee 
Progreffionalgröße beſtimmt vornämlid das Geſetz der 
Fortfehreitung der Glieder in einer Reihe. Mit der zu⸗ 
gehörigen Potenz der Progreffionalgröße verbunden 
‚macht er das allgemeine Glied (terminus gene» 
- zalis) der Reihe aus. Diefes ift der analytiſche Aus⸗ » 
druck eines unbeftimmten Gliedes durch‘ die unbeſtimm— 
te Zahl feinee Stelle, „der überhaupt durch das zuges 
hoͤrige Glied einer arithmetiſchen Mei , 


26. 3-8. Sin ber Meihe, die durch die Ents 


wickelung des Quotienten er entfteht, iſt bag all 


gemeine Glied — Ba x" ; wo n die Stelle des 


‘ antı 
ur 


Gliedes nad) dem Anfangsgliebe - ift, welches für n 


= o gilt. In der. Neiße für einen Kreisbogen 9, 
deffen Sinus = x ift, iſt das ‚allgemeine Glied 





em — . 2 — u“. * 1 
— 23 m 3. | 3 e I gm, 
- 2m — 2,2m — 4... 44.2 2m—1I 


wo m die Stelle des unbeffimmten Gliedes vom Ans 
fange an bezeichnet, Cyklometrie, I. 

27. ft. das Allgemeine Glied befannt, fo ift 
dadurch die Größe, weldye durch die Reihe dargeftelle 
witd, in der That gegeben, wenn fie auch für manche 
Werthe der Progrejfionalgröße nur ſehr unvollfiändig 


— 


282 Reihe. 


durch wirkliche Berechnung gefunden werden koͤnnte. 
Denn es kommt im Allgemeinen auf die Form der 
Groͤße, nicht auf ihr numeriſches Verhaͤltniß zu einer 
gegebenen an. Die Reihe fuͤr den re 6 durch 


die Tangente t, naͤmlich —— — fe + aa 


: t⸗ + eto., ift zwar nicht brauchbar zur Berechnung 


des Bogens aus ſeiner Tangente ,‚ wenn dieſe groͤßer 
als ı, oder ® größer als 45° iſt. Inzwiſchen wird 
die Form des Bogens in dem letztern Falle eben fo 
gut und richtig dargeftellt, als wenn t ein Eleiner Bruch 
ift. Der Bogen- ift im beider Fällen der Linterfchied 
zweyer Reihen, die in dem einen Kalle beide endlich, 
‚An dem andern beide unendlich groß, doch mit einem 

endlichen. Unterſchiede find. So ift der natuͤrliche Log⸗ 


arithme x einer Zahl ı + y die Reihe y— - y° 


+ y— , yt + - y* — etc, und allgemein 


richtig, wenn man fie fich als vollftändig gedenfe, wies 
wphl fie zur Berechnung nur dann brauchbar ift, wenn 
y ein wahrer Bruch iſt, das ift, wenn die Zahl zwis | 
fhen ı und 2 fälle, | 


28. Wenn das allgemeine Glied fich nicht ans 
geben läßt, fo ift die Kenntniß von der Beſchaffenheit 
der Reihe, und der Runction, die durch fie angegeben 
werden foll,. mangelhaft, und bloß auf die wirflich bes 
rechneren Glieder eingefchränfe, wobep man nicht beurs 
rg Fann, wie genau fie den Werth der Reihe lier 
Term 


29. Wie das allgemeine Glied. gefunden werde, 
darüber läßt fi) im Allgemeinen Feine Vorſchrift ges 
ben. Vorzuͤgliche Beyſpiele liefern der binomifche und 


Reihe. 283 
polynomiſche Lehrſatz, bie chklometriſchen und logarihe 
miſchen Reihen, die Bernoulifchen Zahlen 


30, Wenn die arithmetifhe Summe einer Ans 
zahl von Gliedern einer unendlichen Reihe bon dem 
Golfiänbigen Werthe derfelben immer weniger yerfchies 
den wird, je größer die Anzahl der Glieder genommen 
wird, fo heißt die Neihe eine convergirende oder 
eine fich nähernde. Iſt für eine Fleine Anzahl von 
Gliedern der Unterſchied von dem Totalwerthe verhälte 
nißmaͤßig Flein, fa convergire die Reihe ſchnell, im: 
dem entgegengefegten Kalle langſam. Die Sonvers 
genz oder Annäherung hänge nicht von der Kleinheit 


per Glieder ab, Die harmonifche Me, ı + = + 


- +- + — etc. conbergirt nicht, wenn gleich 

or — kleiner — Denn Mr Sun 

me ift unenplich groß. Die Reihe, ı — - 4 — 
1 | 2 | 

e + — etc, oder ———— — u FE AR 


‘2 





— + 5* 4 etc, 2. ſich Bent — 
werthe (dem halben Quadranten eines Kreifes mit dem 
Halbmefier — ı) fehr langfam, Go auch die Neihe, 
' 1 : I 1 1 I j 5 
— — * gt etc, Ober Dies 
I 1 


ſe, 75 + 3.4 i ra — + etc, welche m 


die nartırliche — — 2 er Man hat berech⸗ 
net, daß tauſend Millionen Glieder noͤthig ſind, um 
durch dieſe Reihe den log, 2 bis auf die neunte Des 
simalftelle richtig zu finden, j 


284 Reihe. 


31. Wenn die Summe irgend einer Anzahl von 


Gliedern einer Reihe fih von dem Totalwerthe immer 
mehr entfernt, je größer die Anzahl der Glieder wird, 
fo divergire die Reihe. Diefes gefchieht, went die 
Glieder nach ihrer Kolge, von irgend einem Gliede an, 
. immer größer ‚werden. 3. B. die Neihe für. den‘ Kreiss 


bogen, defjen Tangente = t, und Halbmeſſer = U 


—— i I, 1 
iſt, naͤmlich t — set ae Ä 


— 129 etc. wenn t größer als 1 ifl. Die Wers 
9 


the dieſer Reihe find abwechſelnd poſitiv und negativ, 
und dabey abſolut zunehmend. Z. B. für t = 2 
iſt der Bogen = 1,107. .) So auch die Reihe für 
den natürlichen Logarithmen einer Zahl ı + y, naͤm⸗ 


ER Bu I I I 
—— — ur 


etc. wenn die Zahl größer als 2 if. Die Reihe, ı 
— 2x + 3x — gr? + 5xt — 68° + etc, if 
für jeden Werth von x, der größer als ı iſt, divergi⸗ 


vend, und entferne fich immer mehr von dem Totale 


Es Be: 
wertbe ——. Für x = r iſt ein Stuͤck diefer 
h 5 F ſt f 


Reihe,. — 2 +3 —4 +5 —6+ etc abe 
wechſelnd pofitiv und negativ, und dabey zunehmend, 


Der Totalwerth I n Die hyperge ometri ſche 


Heide — 2 + 6 — 24 + 120 — etc. gehoͤrt 
gleichfalls. hieher. Die Glieder, von Anfang an ges 
nommen geben die Werthe, 1, — ı, + 5, — 19, 
+ ıoı, etc. der Totalwerth iſt — 0,4036524. 


32°. Eine Reihe kann auch anfangs convergis 
ren, zuletzt aber divergivend werden. Dies. ift der 
Sal mic folgender Reihe | 


vı 


nn. 2 En EEE TEE 


Reihe. 286 


e-T* BE 1.3 138, 
27 ger! at, 23.79 


2,5.:6,9 an 
ZT ec.) 
welche den. Werth des, Integrals fot.e-", wo e bie 
Baſis der natuͤrlichen Logarithmen iſt, vont = T 
bis t — % genommen, angiebt. Kür T = 2 naͤm⸗ 
lich iff das 12te Glied des eingeflammerten Factors, 
— — — aa, alfo fhon > 1. 
2",T®.. 0 8589934592 AN, 
Deſſen ungeachtet Fönnen die erjten convergirenden Glie⸗ 
der der Reihe ficher gebraucht werden, den Werth des 
Integrals zu berechnen. Die übrigen Glieder der Rei⸗ 
be nämlich, welche vernachläffige werden, laffen fih auf 
ein beitimmres Integral bringen, defjen Werch mit dent 
des legten in Nechnung gebrachten Gliedes verglichen 
nur klein ift. Reihen diefee Are Fönnen ganz fchichlich- 
halbconvergirende heißen. | 


325; Es giebt auch Reihen, die: weder coma 
vergiren, noch divergiren, fondern innerhalb ges 
wiffer Gränzen von dem eigentlichen Werthe wechfels« 
weife in Plus und Minus unterfchieden bleiben, ders 
gleichen ift def, 5 — ı FrI—ı FI—ıH 


etc. welche aus dem Quotienten 


r 


+ x x5 + — etc, entiieht, wenn darin x 
— ı gefegt wird, Diefe Neihe kann zur numerifcher 
Rechnung nur angewandt werden, wenn x Eleiner als 
1 ift, da man: bey demjenigen Gliede ftehen bleibt, 
welches nicht größer ift als der Bruch, den man nach 
dem nöthigen Grade der Genauigfeit weglaffen kann. 
Sonſt aber muß die Ergänzung beygefügt werden. 
Diefe ift, nach dem-Gliede + x", der Reſt dividirt 


— 


= J1 — x 





— gut R 
buch ı + x, alfo + — und für x = rift fie 


.m=.Ü,t > Wird biefe zu der Neibe it 
2-1... + 2 hinzugefügt, fo ift die Summe = 


=. Sonſt wäre fie entweder d oder + x, bliebe als 
fo eigentlich unbeftimmt, da fan weder mit + ı nöd 
mie — ı abbrechen darf, Ta 
83; ‚Ben der Entwidelung der Wurzeln einer als 
gebraiſchen Gleihung durch Reihenausdruͤcke, kom—⸗ 
men auch dergleichen ſchwankende Reihenſum— 
men vor, wie man ſie nennen mag. Die Reihen der 
Sinus und. Coſinus, deren Wmkel in arithmetiſcher 
Fortſchreitung find, find auch von dieſer Art, f. Go: 
niometrie, 72 ff | | 
34. Dan muß daher in ber dehre bon ben Rei⸗ 
beit den Begriff einer Summe erweitern, und darun: 
- ter, ben den Reihen der zweyten Claſſe, diefenige Fune—⸗ 
tion verſtehen, aus deren Entwickelung eine Reihe herz 
vorgeht. Diefe nag man beydivergirenden Neihen bie - 
analytiſche nennen, um fie bon der arithmetis 
fhen Summe, welche die gemeine ift, zu unterfcheis 
den, Ein merfwürdiges Beyſpiel geben die. Summen 
der Potenzen ganzer Zahlen mit. abwechfelnden Vorzei— 


chen (Poten;, 49: u. folgg.) | 

35. Die Erklärung der Trage, wie bie Reihe, 
1 — 1 1 — 1 —4 t—ı+ee=- fon 
müfe, hat einige Mathematiker befhäftige. Guido 
Grandi glaubte, daß aus unzählig vielen — 1 
— o etwas endliches enrftehen Eönne, und füchte dar 
in eine Erklärung der Schöpfung aus Nichts. Leib— 
niß, nad welchem diefe Reihe auch die Leibnitziſche 
. genannt wird; hat Darüber. einen langen Brief an Chris 
ftian Wolf gefchrieben, Acta Erud. Suppl. T. V. a. a. 
1713. Er loͤſet dns Mäthfel auf eine wigige Art. 


nn 


Reihe. 287 


Die Reihe iſt für eine gerade Anzahl Glieder = — 
- für eine ungerade = + 1. Don einer unendlicheit 
Anzahl Glieder Fönne man weder fagen, daß fie gerade, 
‚ noch daß fie ungerade fey. Daher geſchehe mit ber 
mundernswerther Feinheit (ingenio) der Mätur, bey 
dem Übergange von dem Envlichen zum Unendlichen, 
auch ein Übergang von dem Disjunctiven zu eittem Be⸗ 
fimmten in der Mitte zwifchen beiden Disjunctiven 
liegenden, Da nun bey zwey gleich wahrfcheinlichen 
Fällen das arithmetifche Mittel für die Wahrfcheinlich: 
keit zu nehmen ift, fo ‚beobachte auch hier die Natur 
die Regel der Gerechtigkeit und gebe das Mittel zwi⸗ 


ſchen 6 und 41, das iſt —. Diefe Schlußart, ſeht 


2. Hinzu, fey zwar mehr metaphyſiſch als mathematifch, 
aber doch gründlich. | 
36.. Wenn zu einer Meihe der erften Efaffe eine 
andere Reihe geordnet wird, deren Glieder jedes die 
Summe von fo vielen Gliedern der erftern Reihe ift, 
als die. Zahl diefes Gliedes anzeigt, und zwar durch “eier _ 
ne Function des Zeigers oder der Stellenzahl des Glie: 
des, fo heißt dieſe Reihe die fummirende Reihe 
(series sunmatrix) und ein unbeſtimmtes Glied der⸗ 
ſelben das fummatdrifhe Glied (terminus sum- 
matorius). Diefes Glied ift ein analytifcher Aus⸗ 
druck, deffen Werth dem Aggregate von fo vielen Glie: 
beru der vorgegebenen Reihe als feine Stellenzahl an: 
zeigt, gleich iſt. Beyſpiele geben die arirhmetifchen 
Meihen höherer Ordnungen, als deren Glieder die 
Summen von Gliedern der nächft niedrigern find (Th. 
I. ©. 201. ff); auch die Brüche, deren Zähler uns 
veränderlich ift, und deren Nenner ein Produͤct von 
Factoren in arithmetifcher Progreffion ift, Differene 
jenrechnung, 59 ff: | / 


37 Archimedes hat die Summen arithmeti⸗ 
ſcher Reihen und einer Reihe von Quadraten der nas 


\ . 
\ 


- türlichen Zahlen ben geometrifhen Sägen gebraucht, f. 
Exhauſtions⸗Methode, Th. IL. ©. 164. 165, (mo nur 
am erftern Orte noch Jızufegen if, daß die Unterſchie⸗ 
‚de dem Eleinften der Glieder gleich feyn.) Ben der 
zwenten Methode die Parabel zu quabriren, gebraucht 
er die Summirung einer geometrifchen Reihe mit dem 
Exponenten er 

Cavaleri fand, mie fi die Summen ber nfen 
Potenzen aller parallelen Linien in einem Rechtecke und 
aller Ordinaten in dem Dreyeck, das die Halfte defjels 
ben if, verhalten, nämlih wien + ı : 1. Dieles 
machte er in den exercitationibus geometricis, Bo- 
non. 1647 befannt. Kür’ die Euben und Biquadra⸗ 
te bewies. er diefes Verhaͤltniß, für höhere Potenzen 
ſchloß er es aus der Analogie. Montucla hist, des 
Mathem, T, IL, p. 40. 41. 


Wallis erweiterte diefe Summirung unendlicher 
Reihen auf Potenzen mit gebrochenen Erpönenten. 
- Die Beweife find nicht evident. Kür die Summen 
endlicher Reihen der erften bis fechften Porenzen findet 
‘er durch Induction Sormeln. Arithmetica Infini- 
torum, 'edita a, 1655, ſ. Th. J. ©. 214 ff. 


Raulbaber Hat aber viel. früher, im Anfange 
des ı7ten Jahrhunderts, einen allgemeinen Ausdruck 
(coſſiſche Quantität nennt er e8) für die Summen der 
fünften und fechften Potenzen ber natürlichen Zahlen 
angegeben. ‚Käftners Gefchichte ver Machematif, Bd. 
III. S. ı23, | 


Die erften Proben der Darftellung einer transſcen⸗ 
denten Größe durch eine unendliche Reihe von Theilen 
werden Broundfers und Mercators Reihen feyn. 
Von der letztern f. Logarithmen, 139 — 142. Dar⸗ 
auf folgten die chklometriſchen Reihen von Leibniß, 
Gregory. und Newton. — Ä 
| — 
e w⸗ 


x 


Reihe, 289. 


Moewton⸗zeigte in feinen analntiſchen Schriften, 
wie die Meiben zur Darftellung ‚einer Größe aus einer 
‚endliben Öleihung, und zu nregranane: unaewande 


werden; f. Differentialrechnung, Th. J. ©. 931. ff. 
| Die Summirung der Progreffionen von Bruͤ⸗ 
chen, deren Zaͤhler und Nenner nach einem gewiſſen 
Geſetze gebildet werden, beſchaͤftigte einige Der angefes 

- benften Marhematiker, $eib niß jeigte in den Actis F 
'Erud. 1682 an/ da die ‚unendlichen Reihen Ä 


di... 350Uu4"0% 


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rer rn ig) J— Tl 5) ‘I 
um trhea.. gr 
3.0535 ie: i 


»beranlaft,; Diefe- Unterſuchung ausführlicher. vorzuneh: 
en, in zwey akademiſchen Abhandlungen: Positio- 


"tungen..im; Zähler und im Nenner ſind arithimerifche, 
veometriſche, ‚die figurivten Zablen, Die von der Form 
"m?.— 2. Auch - finder er den, ‚mer urdigen, Gag s 
in einer. Reihe von Brücken, deren — ſich alle 
„gleich finds umd die Menner die nten Porenzen ber. na— 
turlichen Zahlen Lhie ſelbſt einbegriffen), verhaͤlt ſich 
«bie: Summe, aller Glieder in den ungeraden Stellen zu 
‚ber. Summe · aller sin den geraden,„ı@" -— 1:2,15 -alfo 
fuͤr die Zahlen ſelbſt wiert 4 1,;für die, Quadrate wie 
3:52, für die) Wuͤrfel wie 7:0; fürıdie age 


‘290 ie 


drate wie 15 1. — Auf jene zwey Differtarionen 
find noch drey gefolgt‘, «worin gezeigt wird, wie- die 
Quadraturen und PMectificationen krummer Linien durch 
Neihenausdrütfe bewerkſtelligt werde, Hier auch von 
der ‚Darffellung einer irrarionalen Größe, durch eine 
Reihe und von dem Gebrauche der unbeſtimmten Coef— 
ficienten die Relation einer a ie Größe zu 
‚einer andern auszudrücken. — 


Joh. Bernoulli hat ſ ch auch mit — Gegen⸗ 
ſtande beſchaͤftigt. Seine Aufſaͤtze daruͤber ſtehen in 
dem vierten Theile: feiner. Werfer, ?der die noch nicht 
gedruckten Auffäge enthaͤlt. Hier finder fih auch (Nr. 
152) ber fhöne Sag Über die Summe der geraden 
reciprofen Potenzen der" natuͤrlichen Zahlen, 


Die Beſchaͤftigung mit der rehre von der Be⸗ 
rechnung wahrfeheinticher = Fälle“ gab "Gelegenheit die 
arithmetiſchen Reihen höherer Ordnungen, wovon die 

figuritten Zahlen: eine befondere Gattung. find,“genauer 
zu unterſuchen. Newton hatte die ;allgemeinen- For⸗ 
meln zum: Gebrauch beym Einſthalten ſchon angege⸗ 
ben (Th. I. ©. 216). Montmort,' von dem ein 
e ausführliches Werk über ‚die Gluͤcksſpiele Gosai d’Ana- 
‘Iyse sur les jeux de Hazards, 2de &dit. à Paris 
“1714) vorhanden iſt, gab darin pag. 64: eine ‚allge, 
"meine Formel, für die’ Summen ſoicher Reihen, von 
: "welcher er auch -zeigt, wie durch diefelbe: die Potenzen 
der Glieder arithmetiſcher Reihen: irgend einer Orb: 
"nung ſummirt werden'fbnnen, © Yafob: Bernoulli Hatte 
in der Arte éohjettandi (Basileae, 1713)mur die 
Summen der figurirten Zahlen angegeben, und blos an 
Seinem Beyſpiele gezeigt, wie nach! deren Vorbilde all: 
gemeinere Reihen gemacht werden · koͤnnen. In den 
'Philos. Transactions 1718. nr, "393... hat Mont: 
mort noch verfchiedene' Summirüngen gezeigt, unter 
andern von Producten, deren Factoren in arithmetiſcher 
Progreſſion find, ade a(a+n) (A + m) + 
(a+n)(a-+F2n) (a 3%) "#(a+2n)(a+ 3n)(a+4n) 


Reihe. | 291 


+ etc. Oder von Brächen, deren Nenner dieſe Korm 


haben, da die Zähler nach einem andern Geſetze bes 
ſtimmt werden, oder aud), nad) —— Geſetze wie 
die Nenner. 


Drurch die Lehre von der Berechnung der Wehe— 
fcheinlichfeit ward Moivre auf die ruͤcklaufenden Rei— 
hen geleitet, deren, Theorie er in der Schrift, Miscel- 
lanea analytica de seriebus et here Lon- 
dini 1730, bortrug. | 


Ein noch gegenwärtig ſehr gefchägres Werk ift 


Tractatus de summatione et interpolatione se- 


rierum infinitarum, auct. Iacobo Stirling. Lon- ' 


dini, 1730. 154 pag. in 4. &s iff’ darin nicht die 
Abſicht zu finden, welche Reihen fummirbar find, ſon⸗ 
dern durch . fchickliche Werwandlungen der Formen fol 
che Reihen, die langfam condergiren, ſchnell convergiren 
zu machen. Eine mäßige Anzahl von Gliedern einer 
Reihe wird etwa nur unmittelbar zu berechnen ſeyn, 
worauf ſich fuͤr alle uͤbrigen eine ſchnell convergirende 
Reihe ergiebt, in ſolchen Faͤllen naͤmlich, wobey ſich 
des Verfaſſers Methode anwenden ‚läßt. In dem Ars 
tikel, Summirung der Rei, wird dieſes Beraten 
befchrieben erden, 


| Der zweyte Teil von Eulers Institt, Calculi 
differentialis enthält viele und vortreffliche Unterſu⸗ 
chungen über die Theorie der Neihen, ihre Transfor⸗ 
mation, Entwickelung und Summirung. 


Das ausfuͤhrlichſte Werk über die Reihen iſt 
Traité des differences et des series, par Lä- 
croix, sec. ed. A Paris 1819., welches zu des 
Verfaſſers Werk über die Differential und Integral⸗ 
rechnung gehört, Es enthält fehr allgemeine Linterfus 
chungen, die zum Theil aus einer fehr tiefſinn igen 
Abhandlung vom Ia Place über die Reihen, Mem, 


de l’Acad. des Sc. 1779, P. 207 — 309 genom« 
men find, 


’ 


292 Reihe. 


Einzelne Abhandlungen über die Reihen finder 

man in. Murkards Literatur der mathem. Wiſſen— 
ſchaften Th. II. ©. 262 — 273 verzeichnet, Freylich 
nicht vollftändig, wie gewoͤhnlich. | 


Marlaurin giebt in. feinem Werfe über die 
Slüyionen, ‚Ch. X. Bemerkungen über die Summen 
der Progreffionen, betreffend ihre Gränzen, ihre Be 
ſchaffenheit und die Mittel fih ihnen ſchnell zu naͤ⸗ 
hern. | Bi | 


Landen liefert in feinen Mathematical Lucu- 
brations, London 1755 einige allgemeine Lehrſaͤtze, 
‚die zur Summirung der. Neiben, es fen vollitändiger 
oder'genäherter, dienen. Go auh Thomas Gimp: 
fon in. feinen, Miscellaneous tracts, London, 1757« 
Hutton bat fih auch mit diefem Gegenitande be 
fehäftigt, in den Tracts on mathematical and phy= 
lo-ophical, subjects, London, 1812. eine 
‚Merhode, aus der berechneten Summe einer Anzahl 
Glieͤder in einer fehr langſam convergirenden Reihe ſich 
dem wahren Werrhe der Reibe- bald zu nähern, iſt finns 
reich und einfache... 0... 


Lorgna's Methode zur Summirung der Reihen 

- i(Specimen de "seriebus conNvergentibus, Vero- 
nae, 17:5) befteht in Zurückführung derfelben auf ein 
beſtimmtes integral. Die erfte Idee, die Gummi: 
rung der Reihen auf die Integration einer Differenfis 
“alformel oder, Differentialgleihung - zurück zu. führen, 
„haben Leibnitz, und Joh. Bernoulli gehabt.  (Com- 
merc. epistol. Tom, I, p. 213). Euler handele 
Davon in feiner Integralrechnung. Th. 2. Kap. ır. 


Pfaff (Verſuch einer neuen Summationsmetho⸗ 
de, Berlin, 1788.) fummirt mehrere Gartungen unend: 
“Jicher Neihen dadurch, daß ihre Glirder felbft wieder 

in unendliche Reihen aufgelöfer werden, Diefe Me— 
thode erſtreckt fich ſehr weit. 


* 


XRelation. 2983 
Relation iſt die Art, wie eine Größe vom 
andern abhängt. Die Eoordinaten an einer. Frummen 
Yinie haben eine gewiffe Relation gegen einander, zus 
folge der Beſchaffenheit der Curve. Dieſe Nelation 
wird hier, wie uͤberhaupt, durch eine Gleichung ausge⸗ 
druͤckt. 


Das Verhaͤltniß zweyer · Groͤßen, ed ſey das geo⸗ 
metriſche oder das arithmetiſche, iſt die einfachſte Gat⸗ 
tung einer Relation. | | 


Relativ if, mas. mit einer Beziehung auf 
eine andere Größe gedacht wird, in Gegenſetz des Abſo⸗ 
Iuren. So iſt eine negative Größe etwas relatives, 
weil dabey Mücfiht auf eine andere, zwar ähnliches 
Verbindung der Größen genommen, wird, worin dieſe 


‚Größe aber in einerandern Beziehung gegen die andern 


Größen gefegt iſt. Nelativ zunehmen oder abnehmen 
ift bey einer negativen Größe abfolut abnehmen oder 
junehmen. — Relative Bewegung ift die Bewegung _ 
nad, einer Richtung, die von der wirklichen Richtung 
verſchieden iſt. m | 


PReptorius motus ift vie fich parallele 
Bewegung einer krummen Linie längs einer andern Cur—⸗ 
ve, woben jene diefe immerfort berührt, indem die Are 
jener ſich parallel bleibe. Dadurch wird von einem; ger 
gebenen: Puncte der bewegten Eurve, oder auch bon 


einem Puncte ihrer Are eine neue Curve befchrieben. 


Die Schleifung der bewegten Curve kann enrweber „fo 


‚gefchehen, daß beide ihre converen Seiten einander zu⸗ 


wenden, oder daß die convere Seite der bewegten die 
concave ber andern berührt. Die erzeugte Curve hatdie 
Eigenihaft, daß jeder Bogen derfelben fo groß ift als 


die Summe oder der Alnterfchieb der Wagen, welche 
‚auf den beiden Eurven, der unberwggten und der verfchos 


benen zu einander und zur dem erzeugten Bogen gehoͤ⸗ 


xen. Die Summe iſt «8, wenn der couvere Bogen 


2906 Reſidual-Analyſis. 


auf dem convexen bingleitet, der Linterfchied, wehn dies 
ſes auf der concaven Seite gefchieht. | 


Joh. Bernoulli hat dieſe Erzeugungeart einer 
keummen Linie erdacht, die. aber nicht weiter — 
iſt. Operum T. I. Nr. 74. 


Refidual: Analyfis ift eine  befondere 
Form der Fluxionen- oder Differentialrechnung, welche 
Landen in einer Schrift: The residual Analysis, 
a new branch of the analytic art, London, 1764, 
vorgefchlagen hat. Da ich die Schrift nicht jur Hand 
babe, fo entlehne ich die folgende Nachricht und Be 
urtheilung ‚aus Lagrange's Theorie des fonctions 
analytiques. p. 5. Anftatt der. bis dahin von den 
Engliſchen Geometern unverbruͤchlich befolgten Merho: 
de der Flurionen wollte Landen eine blos analgtifche, 
welche der. Differentialrennung verwandt ift, feßen, nur 
daß er anſtatt der unendlich Eleinen .oder ganz ver« 
fhwindenden Differenzen der veränderlichen Größen 
äuerft verfchiedene Werthe diefer Größen anfest, dar⸗ 
auf dieſelben gleich nimmt, nachdem der Factor, der 
durch dieſe Gleichſtellung Null werden mußte, durch 
Die Dwiſion weggeſchafft if. Dadurch, ſagt La Grans 
ge, werden freylich die unendlich kleinen und verſchwin⸗ 
denden Größen vermieden ;- allein die Verfahrungsart 
und die Anwendung: der Nechnung find unbequem nnd 
unnatürlih, Was. die. Differentialrechnung in Abſicht 
auf die Strenge der Gründe gewinnen fol, verliert fie 
wieder in Ruͤckſicht wefentlicher Vorzüge, der Einfach: 
beit ihrer, ae und der — ihrer Rech⸗ 
nungsart. 


Residuum binomile, ſ. Apotome. 


Reſt (Residuum) iſt erſtlich der Überſchuß 
einer Größe über eine andere, die von jener weggenom⸗ 
men wird; zweytens der Überfchuß einer Größe über 
das möglich größte Wielfache einer ED, welche als 


Divifor mit jener als Dividenden verglichen wird. In 
allgemeinen Rechnungen kaun ein, Reſt auch negativ 
feyn, Den gu —— EEE 

Reſt in der erſtern Bedeutung beißt auch der Un⸗ 
terſchied oder Differenz. 7 | 


Reſt, quadratifcher, iſt der Überfchuß einer Qua⸗ 
drafzahl über das möglich größre Dielfache irgend eis 
ner andern Zahl.‘ Wenn diefe andere Zahl eine Prims 
zahl ıft, fo Fommen ven quadratifchen Reſten, welche 
aus der narürlichen Zahlenreihe entſtehen, merkwuͤrdige 
Eigenſchaften zu. Euler bat diefelben unferfucht in 
zwey Abhandlungen, welche in den Opuscul. analyt, ı 
T. L entfalten find. In der erften erweift er unter 
‚andern, daß wenn der Divifor P -eine- Primzahl. von 
der Form 49 + 1 ift, allemal — ı oder P— r 
unfer den quadratifchen Meften borfomme, daß aber 
Dies nicht der Fall fey, wenn ber. Divifor die Form 
44 + 3 bat. in der andern Abhandlung zeige er 
unfer andern auf eine Fürzere Ark, als dies. früher von 
ihm gefchehen mar, daß, wenn p eine Primzahl von 
der Form am + ı ift, es auf merley Art möglich 
fen, zwey Quadratzahlen, deren Wurzeln nicht größer! 
als 2m, anzugeben, fo daß ihre Summe durch p rheils 
‚bar ſey. Hieraus folgt dann vermittelſt des Satzes, 
daß die Summe zweyer Quadrate wiederum nur durch 
eine ſolche Summe rheilbär: iſt, der Sa, daß jede 
Primjafl von der Form 4m + 1 die- Summe wen: 
er Quadrate ſey. Gauß handelt von den quadratiſchen 
Reſten Disquis, arithm ſech IV; 020000. 


I 
J 


iu, Retroces sio, oder Retrogradatio, oder 
Retrogressio einer krummen Sinie ift nach Huttons Anz 
gabe dafjelbe, " was Wendungspunet. Beſſer würde 
man einen Ruͤckkehrpunct dadurch bezeichnen. 

Reversio«serierum, ſ. Umkehrung def 
Reihen. — We us: Miyen, 


4 


N 
t 


296 Pıhodonea, 


Ze ſ. eb. 


"Rhabdolo gia, fe Inſtrumentale Arithmetik, 
Th. I. ©. 739. Als Nachtrag ju jenem Artikel 
mag. noch angemerfr sderden, daß aub Claude Per: 
raulf einen Abacus rhabdologicus angegeben hat, 
welcher in dem gten Th. feiner — Werke be⸗ 
ſcheieben if. 


Rhetice oben: Exogerite wirb von Vie⸗ 
ta der Inbegriff der Methoden genannt, die Wurzeln 
einer Gleichung zu finden. 


Rhodonea ift die Benennung gewiſſer 
frummen, in einem Kreife conftruirten, Linien. Die von 
ihrer Ähnlichkeit mit einer Rote ( ‘pado») fo genannt 
wird. Der Pater Guido Grandi, ein fehr guter 
Öeometer im. Anfänge des rgren Jahrhunderts, übers 
gab im Jahre 1723 der Königl. Gefellfchaft’ zu Lon⸗ 
don eine Schrift über diefe Curve, welche aus einer 
Reihe von Blättern oder aus mehreren, die fich zum 
Theil decken, beſteht. Die Zläche jedes Blattes ift 
die, Hälfte des..einfchließenden Kreisfectors. Auf ähns 
liche Art zeichnete Grandi auch Curven auf einer Kur 
gelfläche, und nannte fie Clelme, zu Ehren der Graͤ⸗ 
finn Clelia Borromei, welcher er dieſe geometriſchen 
Blumen widmet, weil fie im Stande fey, ihren Ger 
ruch zu empfinden und zu ſchaͤtzen. Er hat über bey: 
derley krumme Linien eine. beſondere Schrift herausge⸗ 
geben: Flores ‚geometrici ex; Rhodonearum et 
Cleliarum curvarum ‚descriptione zesultantes ’ 
—— Ren 


z boides, ein = Baratlegrninen mit 
Kiefer ek und unäleichen ©eiten. 


Rhombu 8, ein Partei m mit da 
fen Winleln und ‚gleichen, Seiten, , 


En koͤrperlicher Rhombus # ein ais 


\ 


FE Rhombus. 2297. 


zwey ‚gleichfeitigen und gleichen Kegeln an den. Grund⸗ 
flächen zuſammengeſetzter Körper. Archimedes gebraucht, 
dieſe Benennung: in der Schrift von Kugel und. Cy⸗ 
linder. In dem ıgten Gate des ıflen Buchs zeige, 
er, daß ein aus (zwey gleichen) gleichſchenkligen Kegeln 
zufammengefester. Rhombus gleich iſt einem Kegel, deſ⸗ 
fen Grundfläche der Oberflaͤche des einen jener Kehel, 
und deffen Höhe dem von der Spitze des andern Ke— 
geld auf eine Seite des erften. gefällsen ‚sorhe gleich ie 


Durch bie. Formeln — — Geomettie 
ift Diefes leicht erwiefen. Der Halbmeſſer der, Grund— 
fläche. y = Aa, die Hoͤhe — Kegels = — b, ſo if 


bee Sandale die der Ky= * maab ; > Rom | 


us — — = nänb. Pr ſey © der balbe Winkel an dee 


Spise des aycagnen Dreyecks fe if bie Seite. de 
Kegels = 8; ie Oberfläche = ra, — 


das Perpendikel von ver Spihe begeinen Kegels auf eine 
Seitenlinie des andern — 2bsin®,. Nimmt man 
jene Oberfläche, ‚zur Grundfläche, -diefe ge zur 
a ing Kegela,; fo, iſt deſſen Anbet | 
En ımaa, | 
mm ae 2 Boin * sah,” 
— "3 sin 6 I 3° " 
"Das griechifche Stammiwort Gebeutet im Rreife 
herumdrehen, daher die Benennung zRbembee Mendig 
anf / den Doppelkegel ‚paßt. 


."Rhombiea linea, fe Lorodromie in det 
weyten Abtheilung bieſes Werks 


Riceatis Gleichung iſt die Diff⸗ 
rentiaigleichnug/ O rt. ay'x"öx sm barox, 2 
Eonte Giacomo Riccati legte fie in Am idee Erud. 


zn 


299 Riccati's Gleichung. 


ſSupplem. T. VII. (1724) p. 73 ben Analyften in: 
folgender Form vor: x"Og = Au + uudx:gq. Der 
Erponent m ift willkuͤhrlich. Nun iſt die ‚Aufgabe, 
wenn g= x" gefeßt wird, diejenigen Werte von n 
zur beftimmen; bey welchen die Sonderung der veräne 
derlichen Größen und die Conſtruetion der Gleichung 
durch Quadratüren allein bewerkſtelligt werden moͤgen 
Die Gleichung pflegt in der anfangs angegebenen 
Form vorgetragen zu werden. Euler har ihr in feiner 

htegralrechnung, T. J. $. 436, die einfachere Form 

y + yyox =axtöx gegeben. :"Diefe wird erhalten, 
wenn in jenen Gleichung xXndx — Br geſetzt wird. 
Montüca "giebt ihr die allgemeinere, ax"yPrdx + 
by°x"dx — Oy, (Hist, des Mathem. T. III. p. 
177.), wolche aber nicht" mehr die Niccafiiche zu ſeyn 
fcheint. Daniel Dernoulli fügte dem Aufſatze von 
Niccati,, an deſſen Schluſſe die: Aufgabe befindlich 
ift , feine Auflöfung bey, aber in Chiffren. Cr 
erwähnt dabey 4: daß fein Vater, ‚fein Bruder und 
Mefferauch Auflöiungen gefunden hätten, mit denſel⸗ 
ben Werthen "für den  Erpönenten n. . Goldbach 
lieferte auch eine in. dem erſten Theile der Pererss 
burger Commentarien. Bon Johann Berrioulli ber 
findet ſich eine Auflöfung der Gleichung, as”ds + 
bussrds — Qu, in dem IV. Tb. feiner Werke, Man 
fehe auch den Traité du calcul integral par Bou- 
gainville T, I. ar. 118 — 121, und die Integral⸗ 
rechnung von la Croix an mehrern Stellen; in die 
fem Wörterbuche den Artikel, ‚Ssntegralgleihung, 15. - 


FOR ING, ber Slächenraum jwifchen zwey con? 
eenfrifchen Kreifen, f. Armilla. "Ein cylindri: 
ſcherx Wing iff der Raum. zroifchen zwey gleich hos 
hen Eplindern mit einer gemeinfchaftlihen Are. ‚Die 
beiden Halbmeffer ſeyn a, und a + u, die Höhe =. 
'hj fo ft der cnlindrifche ‚ bon ihren krummen Flaͤ⸗ 
chen eingeſchloſſene Raum. = (a + u)h — raah = 


zrheu-fohhun, 54 2%. 


| | 
Kingförmiger Körper. 800. 


NRingförmiger Körper it’ än Koͤr⸗ 
per, der durch eingefchloffene Kigur, als einen Kreis, 
eine Ellipfe, oder auch ‘von dem Abfchnitte einer ſchick⸗ 
lichen Figur, durch die Umdrehung ihrer Ebene um eis 
ne in diefer befindliche Are erzeugt wird, Ein offe⸗ 
ner Ring ft, wenn die Are außerhalb der Figue 
liegt; ein geſchloſſener, wenn ſie die krumme Lie 
nie beruͤhrt. Geht ſie durch die Figur, ſo entſteht ein 
runder Koͤrper. ne a en, | 


— 1. Kepler hat, fich zuerft mit diefer Art der 
‚Entftehung eines geometrifchen Körpers ‚befchäftige, im 
dem Anhange ju Der Nova Stereometria dolio- 
rum, Lincii 1615, befonders mit der Meflung der 
Körper, die. durch. die „Almdrehung eines Kreifes oder 
einer Ellipſe um eine Chorde entftehen, dabey auch 
mit. folchen, Pie von einem Abſchnitte dieſer Figuren 
hervorgebracht werden. Die eritern vergleicht er,. einis 
ger: Ähnlichkeit wegen, mit. Apfeln, Quitten,  Pflaus 
nen, Melonen, Kurbiſſen. - Seine Methode den In⸗ 
hHalt zu berechnen iſt ſinnreich, und. ift eine Analyfis 
des Unendlichen. Cavaleri nahm die Meſſung nach 
ſeiner Methode des. Untheilbaren vor. Der Jeſuit 
Tacquet verfaßte ein ſtarkes Werk, Cylindracea 
et Annularia betitelt, welches 142 Folioſeiten einnimmt. 
indem eriten Theile defjelben handelt er von den hufz 
fürmigen Abfchnitten eines fenfrechten Enlinders, ihrem 
Anhalt und der, Bergleichung ihrex krummen Oberfläs 
che, in dem zweyten von den Körpern, die durch Her⸗ 
umführung eines Kreifes und eines Kegelfchnirtes ente 
ſtehen. — — Pi | 
Fuͤr unfere Integralrechnung iſt die Linterfuchung, 
zu welchen jene Geometer eine Eunftreihe Zuruͤſtung 
gebrauchten, leicht. Sie liefert einige. artige DVergleis 
chungen, weswegen ich etwas davon .beybringen werde, 
auch ale Ergänzung des Artifels, Eubirung, ı 


2, Es fen BAB (Fig, 26.) bie Are, um wel⸗ 


. 


300 - Kingfdrmiger 


che fih die Ebene eines aus C befchriebenen: Kreifes 
drehet. Der Durchmeffer. deſſelben DD fen der Are 
parallel, und der Durchmefjer EF auf dieſelbe ſenkrecht. 
Dieſer Kreis befchreibe durch die Herumführung um. 
AB, einen förperlichen Ring, deffen äußerer Halbe 


meſſer AE, innerer. AF iſt. Eine mit DD parallele ; 


Ehorde MM befchreibe eine enlinprifche Oberfläche 5 der 
zwiſchen zwey folchen, von MM und mım befchriebes 
nen Slächen enfhaltene förperlihe Raum ift die Zus 
nehme des von dem Kreisabfchnitte DMMD- beichries 
benen Raumes, Für dieſe Zunahme tft nun ein von 
der Größe des Abſtandes Pp der Chorden unabhängis 
ger Ausdruck zu füchen. — | 


3 Der Halbmeſſer des Kreiſes ſey CB— a, 


der Abſtand des Mittelpunctes Cvon der Are BAB 
ſey AC = b,:CP= x; PM my; Pp = Ax; 


PM — pm='Ay; der. von- dem Gegmente DM | 
- Befchriebene Körper fey — Z, der von-Dm=Z+ AZ, 


Es it AZ < any (b+x) Axh taryAz°, und 


AZ > 4# (y— Ay) (bp X) Axt} am (y—Ay)Axt . 


Daraus folgt die von der Gtoͤße der Differenzen Ax, 
Ay; AZ, unabhängige Differentialgleichung, 82: 
yet — | 
En Es iſt FE RT art, 
2" ER U et Ma ME * 
Hox = fOx V (a — xx). ZEV a) 


® 2 


Br Sp. ] . IE NE Ol Ri RL, 
- aa ———— — xy (aa — xx 
— —— 2 v< ee. 


NE BSR SEE 2 BERTEERERTETOUREN, > 
+ Zaa.Ang.sin =, Integralforniel, 57.49, Ger 
Sy —* — Er as J rm 
RER TFT) L — * we ER 5 j » 3 BT Ye 
ner it xdx V(aa - xx ⸗⸗ ze 2) daſ⸗ 


II I, Folglich iſt — ie | 


* 


— 


FEN. | 301 
2 V (aa — + Ara ab Ang. sin — * 


— tz € 
—— 
wo — die erforderficge Eonfane it 


“ e \ 
“ N traf ;- 


Oder — = 28 


—— ig 2 


z S 2 by} areab ni ae 2.44 tw m. 


‚Der, ußete von dem Halte DED Sei 
bene „Körper ft = m"aab + mar, 


Jin 


Auf dem Helbmeſer CF — man = => 

x, * siehe durch Q die Ehorde NON fenfreche auf 
F; der von dem Kreisabfchnirre Ku „Defehtiebene | 
a ſey· zZ’ ‚ fo ee 02 — N yry (bau x, 
n \ 


{ . — —9* 


(7 | , —X 81 9 {tr ! xä ai 


2 = — — * — — ‚sin =: er 


E 
d 


"na 3 (83 ey. 
Der innere von dem HalbEreife DFD beſchriebene Air 


& 


per iſt * —R — ee wa, 
— g ' 


. Der Unterfie des abe’ und innern nr 
ges mas, das Doppelte der mie dem — 
a beſch cbeven Kugel Ä 


Der ganze bon dem Kreiſe beſchrichene ei | 
berliche Ping if — zm’aab, fo groß als: ein Cylin⸗ 
der, deſſen — der Kreis ( aa) und die Hoͤ— 


302. Ningförmiger 

he der Umfang des mit dem Halbmeſſer b beſchriebe⸗ 
nien Kreiſes (zrb)-ifl, * (et a N wir or N 

| 7. Diefes ift ein Je des Gates; daß der In⸗ 
half eines Körpers, der dukch die Ahmdrehung einer Fi: 
gur um eine Are erzenge wird, Das: Product aus der, 


Figur in den: Weg ihres Schwerpunctes. iſt ſ. Cen- 
trobaryca methodus. 


8. Man mache CO —CP, fo iſt der bon tem 
zwiſchen den parallelen IN, NNund den, beiden Bo⸗ 
gen MN enthaltenen: Segmente befchriebene cylindrt- 
a AT a nut X 
ſche Ring arb (3 -f 2aa Ang, sin #) = 
arb x Segm. MNNM. Diefer Raum iſt ebenfalls 
das Product aus dem Inhalte der bewegten Släche in 
den Weg ihres: Schwerpunetes, © 
Enz le Man; neßme  anftas bes Kreiſes eine Clin, 
deren eine Are, DD, die andere BF ift, und. welche fi 
wie min verhalten, fo iſt y — z V(a—xx), 
| Lian de ——— | 
Ellipſe, 5.) ünd der Unterſchie des innern und dufz 
8 m — 
fern Ringes iſt =. rad. Die Summe ift 
a” N, EIER, gr zur * er 1; Er a — — M 
n —— — Er 
10. Es fey ER die größere Axe, und DD bie 
kleinere, fo ift das gedruckte Sphäroid „das durch die 
Umdtehung um DD beſchtiebene = .CE.CD, 
(Sphäroid), und die elliptifche Flaͤche —r.CE.CD. 


Sit EF die Fleinere Are, fo iſt das ablange Sphaͤ⸗ 
roid, das durch die Umdrehung um DD befchriebene, 


— .5CD.CEr, Die eliprifhe Flache iſt, wie 


” 


Korper. Pu 303 


vorher — t».cD. CE. Es ift alfo ber Unterſchied 
des innern und aͤußern Ringes’ das Doppelte des 
Sphaͤroids, welches durch die Umdrehung um die mit 
der Are der Herumführung "BAB parallele Are ent- 
ſteht. Der elliptifche Ring tet iſt die elliptifche STA: 
> he in dem Umfang ‚Des mit b ‚ee — 
multipliciit.. a en 
} Die „un; bie — Fi, N ke 

Er "Figur fen eine Parabel F, deren ur 
CD ift, Der Paramerer derfelben * — a, bie Hoͤ⸗ 
he des paraboliſchen Segments CD bh, ‚bie halbe 
Grundlinie cE=g, ſo iſt h=B. Wie vorher 
fen. Ac'=b, PC Ex PM =y, ſo iſt alh— y) 
iX, baber ay ah — ax = gt? — =. Der 
‚von, DCPM beſchriebene Ring ſey z, ſo i iſt 02. = 


u u + Re 7b En « 2 or. 
*— 


Er 7 er — g’x ix Daher Z =", 
TILL IT, DZ GR i Ju arzt 
(ver! * bx⸗ + ze“ 5°) wo Sen | 
flante — 0 iſt. * * J rd 
‚Der von P heſhrichene Shrper it z' 


2m 


2 — IB HEHEG.H, SE BGE. > In 
2 5* 3 x Leetir). 


n 1 


Be —— DER: —— Rins / x=g 
ar ft = — "Gr 5 +7 — 8 3 ber innere 
’ “2 a 

‚son DR beftiehene: > == — * — 18). 


| Der lintetchid we me. = neh Di Summe 


A 


I 


De: Ringformiger 


PERF SITE Te 653 « DEE FOREN 
- ber. der ganze ringförmige. Körper iſt — — — 


ik. 1 
12. Das paraboliſche Konoid, deſſen Höhe DC, 
und die Grundfläche der mit dem Halbmefjer "CE bes 
RENTE 2 
eichene Kreis iſt, iſt 57 hör, —8 I) 


ap Ser. MEET PER. 
tg 
eh sb 3 * LE 3 ‘ FL ‘ 


Die Flache der Parabel if =- gh (Parabel). Es 


it — —44 er nd 44 
iſt alſo der Unterſchied des innern und aͤußern ‚Ringes 
auch hier doppelt ſo groß, als der von der Figur um 
die Are DC beſchriebene Koͤrper, und der ganze Ring 
"gleich einem Cylinder uͤber der beſchreibenden Figur 
mit der Höhe, ſo groß als der Umfang des ;von-C ber 
fchriebenen Kreiſes. Ka | 


TED Axe einer ParabptdimmeM (Fig: 28:) 
fen fenfrecht auf bie Are der Herumführung; der Pa: 
rameter den ea ;-ber. Abſtand des Scheitelg:von BAB 
— b; CP x;#PM = y;z ber von: MCM’ befthries 
‘bene Körper = Z, fo ift 92 — 4r (bi =) VAR 


LAN 18 eh 13 707 ’ 4 x J FR 
ar (b— x) a? a Dr ),E x 


Fir 2 na u wo 
Daraus if. * RE N he 
ae fa, 4. 28 gr 
BZ me —SES xy (sbr—3xX). 

Va\3 AT 


eier a 
14. Der Inhalt des Ringes, der von dem Kreis 
abſchnitte MEM (Fig; 26.) befchrieben wird, if der 
Unterſchied 088 von den Halbkreiſen und»der Abſchait⸗ 
ten DMMD befchriebenen Ringes. Man ‚Fann den; 
ſelben  aberr auch unmistelbar finden ‚wie gleſch por⸗ 
her den parabolifchen, "Desco — az 
15. 


Koͤrpeer. 305 


i5. Es ſey AE=c, EP=z, der bon MEM 
beſchriebene Ring — U, fo ift DU = ar (C—z)y0dz 

= ar ((—z)V(2a2-— 22).0z. ' — — 
ar (zacz — (za 4 0) z’ + z° 

Var; 92. Dis In⸗ 

tegral wird aus Integralformel, 71. gefunden. * 

iſt 


U= ar G a? (C—a) Angein 1 a — 


+- 6° + er): 


Die Sonftante * 0. 


16. ‚Die Are der Herumfuͤhrung gehe ur ben 
Mittelpunct C, fo ift die — von dem Seg, 


mente MEM befchriebene Zone vo => nzy (az). 
Man ſetze a — x ſtatt 2, ſo iſt 
| ‚V=! ee 


2 4 
= nv (text) = — my, 
: y( ) Ei 


J 


m Die Chorde NN fey die Are der Herum⸗ 
führung oder der Drehung des größern Gegments 
NEN, fo entfteht ein runder Körper, der dicker als 
hoch if. Man fese CQ = g, QN=H, fo ift der 
‚von dem Halbkreiſe DED  befchriebene Körper *— 


m’aag + Fa nah (3.). Den von dem Seg⸗ 


mente DNND beſchriebenen zu finden, ſetze man im. 
(4.) in dem Werthe von Z’ ftatt b hier g, und neh⸗ 
me das Integral von o bis bis x 8⸗ wodurch y 
h wird, und es ift . Körper 

uU 


306 Ringfoͤrmiger 
8 8 | A — 
arg + 2raag Ang, sin =, er: ” (3 — h'), 


Alſo iſt der Inhalt des von — Segmente NEN bes 
ſchriebenen Koͤrpers 


= 2raag =#+ Ang,sin ©) + 2rg’h + r 4 ch | 


En : | ee | u Be 
18. Es it —# + Angsin 2 = Ang, EC, 

. und J — 

1 W I PER j 

| 2a(- *4 me 2) — u 

auch iſt — sh = CQN. Alſo ift det Inhalt des 

von NEN befchriebenen Körpers 


= ang x Segm. NEN + I hi, 
3 


Hier it 2 — rh? die von dem Segmente MEM, 


ben der — des Kreiſes um den Durchmeſſer 
DD, beſchriebene, zur Kugel gehörige ringfoͤrmige Zone, 


19. Man nehme DM = DN ‚ fo ift der von 
dem Gegmente MNNM, bey der Drehung um NN, 
befchriebene cylinderförmige Körper 


= arg (20h + 2a4 Ang. sın 2). aus (8.). 


Zieht man diefen von dem runden Körper ab, fo bleibe 
der von MEM befchriebene Ping, 


V 2raag (+ * — Ang. sin £) 


— 2rg’h + r 73 





Koͤrper. 307 
das iſt — Eu 


=,27g (a Ang, sin - -eh) + vhs 


= 278 X Segm, MEM | * uhr 


V — 2 raag. Ang sin = — 2 rg*h + — — 


Der Unterfchied der bon bem Rreisfegmönte MEM 
in ber Rugel und in dem runden yon NEM befchries 


benen Körper ft Z=2rg 2% Segm. MEN 


. 
20. Man kann dieſen Werth des Ringes auch 
aus der Formel in (15.) herleiten, wenn darin oc — a 
8; za — 83 yh geſetzt wird. Da⸗ 
durch wird, nach gehoͤriger Reduction, a 
I hı | 
En — |, ‚sin — 28h nn — g 
U yr (; arg Ang.sin 5 + Fa 7 &) 
Es iſt are ® — 
> Sh=- (at ul DE PER 
6 = 3 F 2 
N ‚I | 
— z hi — &°h, fo ift ‚U, oder Bier 
Eu | 
iR bo 4... 
V=3 7 aa. Ang,sin — — eh ) —— xhs. 


21. Das Segment MEM drehe fich um die 
Chorde MM ganz herum, es ſoll der Inhalt des da: 
durch entſtehenden sugefpigten runden Körpers gefunden 
Werden, 


— 
— — — 


Sn (15.) ſetze man 2=cC, wo o bie Sagitta 
EP des Bogens MM und y=h ft, fo wird: der 
runde Körper . - ; 2 


308. Ringfbemiger 


U.= 4" Er (ca) Ang.sin — a (c-a)h 


— Here: e)⸗ ai) 


un nach Be Reduction, a 2 
U=4r G — — — ch 


Yı 


| ” | — I ° — sin — et 
. z a® (a c) Angsin 5 | 
Es ift he — 2ac — cc, alfo werben die drey erſten 
) j I » 
Glieder des Faetors zu 4r diefe, — a’h — 7 h3 = 
I 1 ı ,_ ,ı 
oo (h* gr — — b = -. + — oh. x 
Sg )h— Zm=—w+—gh D 
8a — o iſt, ſo iſt *Ê 
— . h | 
. DZ — arg| a® Ang.sin— — eh ) 
— 2 71 278% Segm..MEM. 
ri 3 
22, Der Unterfie der beiden runden Körper 
; h 
in (20. 21.) iſt = 4rg a® Ang. in — — eh) 
= 478% Segm. MEM, | 


23... Die Säge (6, 19, 20.) find von Kepler; 
der Satz (5.) iſt von Tarquet, Den äußern und ins 
nern Wing vergleicht Tacquet mit einem Abſchnitte eie 
nes Enlinders über der Figur, welche den Ming bes 
ſchreibt. Keplers Verfahren, jene Gäste zu finden, 
ift ſinnreich. Er errichtet über dem Kreiſe EDFD 
(Fig, 26.) einen ſenkrechten Eplinder, deſſen Höhe 
dem Umfange des Kreifes, welchen QE. big der 


Körper, 309 


Drehung befchreibt, gleich iſt. In diefem nimme er 
einen bufförmigen Abſchnitt über dem Kreisabſchnitte 
NEN als Grundflaͤche und in der Höhe des Eylins 
ders. Ein ſenkrechter Schnitt in dem Hufe durch 
— irgend eine mit der Drehungsare parallele MM ift 
gleidy der von MM befchriebenen enlindrifchen Flaͤche, 
und der huffoͤrmige Körper iſt gleich dem runden von 
NEN erzeugten. Der fenfrechte prismenartige Abs 
ſchnitt deſſelben über MNNM iſt gleich dem cylinders 
artigen von MNNM in dem runden Körper um NN 
beſchriebenen und, der Abfchnirt über MEM ift gleich 
dem vingförmigen Theile des runden Körpers, wenn. 
die Bogen DM, DN gleich groß genommen_werden, 
Diefer Abſchnitt über MEM befteht aus zwey Stuͤcken, 
einem fenfrechten cylinderförmigen über MEM, befien 
Hoͤhe der Umfang des von QC befchriebenen Kreifes 
ift, und einem, welches dem von MEM in der Rus‘ 
gel befchriebenen Ringe ‚gleich ift, und‘ eben fo, wie 
jener, aus einem cplindrifchen Theile und einem huf⸗ 
förmigen beſteht. En 


24. Allgemein fey EDF (Fig. 27.) irgend eine. 
Frumme Linie, welche durch eine Are DC in zwey gleis 
he und Ähnliche Theile getheile wird. Wie vorher fey 
AC=a, PC odr CQ=x, PM ver QN=y, 
ber von DMPC durch die Drehung um BAB. (mie 
DC parallelen) befchriebene Körper — Z, der von 
DNOC befchriebene = Z', fo ift | 

Ä oL —z 2r(b+x)yox 
o2'= ar (b—x)yox 
alſo | Rn: 

. 2 = arb/yox -+ amfaydx +C, ' 
2'= arbfyox — ar/xydx —C'. 
Wenn das /yox Feiner Conftante bedarf, damit es für 
x. o auch o fen, fo find die beiden Conitanten C,C’ 
ſich glei, und es ift, wenn x —= CE CF genoms 
men wird, J 


308° Ringformiger 


h 
En 4r Er (ca) Ang.in- —— a un 


— 2644 — 


undnach —* Reduckion, — 
| I I 
LE — — ah — ach+ —. ch 
x 17 (> 3\ ar 


—— I TH 
ai at Ta a in— %. 
i = a’ (a — c) Angsın -) | 
Es ift hr 2ac — cc, alfo werben die drey erſten 
' Is 
Glieder des Faetors zu 4m diefe, — ach — — — 
1 1 —— 
—6(h* )h— — "=-—h’+—gh. 
Sg) Zw=—w+—gh Da 
— a — — iſt, ſo iſt | 
4. — 
. Vz = B—arg( a® Ang.sin— — eh ) 
— «A mh3 — 278>< Segm..MEM. 
F 3 | — 
22. Der Unterſchied ver beiden runden Körper 
in (20. 21.) if = 4 rg ( a® Ang.sin = eh) 
= 478% Segm. MEM, - 


0,234... Die Säge (6, 19, 20.) find von Kepler; 
der Sag (5.) ift von Tarquet, Den äußern und ine 
nern Wing vergleicht Tacquet mit einem Mbichnirre eie 
nes Enlinders über der Figur, welche den Ning bes 
fhreibt. Keplers Verfahren, jene Saͤtze zu finden, 
ift finnreih, Er errichtet über dem Kreife EDFD 
(Fig, 26.) einen fenfrediten Eplinder, deſſen Höhe 
dem Umfange des Kreifes, welchen QE. big der 


Körper, | 309 


Drehung befchreibt, gleich ift. In diefem nimmt er 
einen bufförmigen Abſchnitt über dem Kreisabfchnirce 
NEN als Grundflähe und in der Höhe des Eylins 
‘ders. Ein fenfrechter Schnitt in dem Hufe durch 
irgend eine mit der Drebungsare parallele MM ift 
glei) der von MM befchriebenen enlindrifchen ‘Fläche, 
und der hufförmige Körper ift gleich dem runden von 
NEN erzeugten. Der fenfrechte prismenartige Abs 
ſchnitt deffelben über MNNM iſt gleich tem cylinders 
artigen von MNNM in dem runden Körper um NN 
befchriebenen und, der Abfchnirt über MEM ift gleich 
dem ringförmigen Theile des runden Körpers, wenn, 
die Bogen DM, DN gleich groß genommen.werden. 
Diefer Abſchnitt über MEM beftehr aus zwey Stücken, 
einem fenfrechten cylinderförmigen über MEM, deſſen 
Höhe der Umfang des von QC befchriebenen Kreifes 
ift, und einem, welches dem von MEM in der Rus 
gel befchriebenen Ringe ‚gleich ift, und eben fo, wie 
jener, aus einem cylindrifchen Theile und einem huf⸗ 


förmigen befteht. ie 


24. Allgemein fey EDF (Fig. 27.) irgend eine 
krumme Linie, welche durch eine Are DC in zwey gleis 
he und ähnliche Theile aerheile wird. Wie vorher fey 
AC=a, PC ode CQ=x, PM oder QNZy, 
ber von DMPC durch die Drehung um BAB. (mit 
DC parallelen) befchriebene Körper — Z, der von 
DNOGC befchriebene = Z', fo ift | 

oZL —2ar(b + x) yox 
02'— ar (b—x) yox 
alſo | — 
2 = arb/yox + amfxyox +0, ' 
Z'= arbfyox — ar/fxydx — C'. 
Wenn das /yox feiner Eonftante bedarf, damit es für 
x o auch o ſey, fo find die beiden Conitanten C,C’ 
ſich gleich, und es if, wenn <= CE=CF genom 
men wird, " 


310, — Ringformiger 


—242* 4rb/yon = arb x afyox | 

gleich dem Product aus der Flaͤche EDF in den Weg 

ihres Schwerpunctes. Crfordert dag ydx eine Con: 

fante, fo darf man diefe nur unter dem Ausdruck /ydx 

mit verftehen, und die Conſtante C oder C fich blof 
auf /xydx beziehen laſſen. 


25. Taquet befchäftige fich in dem zweyten Bu⸗ 
che feiner Annularia Mir der Beltimmung der Ober: 
fläche eines Ninges, Er bejeigt großes Weranügen 
über das von ihm gefundene, und meine, es Eönnten 
die Analogien zwifchen dem räumlichen Inhalte der 
Ringe und ihrer Oberfläche der von Archimedes für 
‚ Kugel und Eylinder gefundenen Analogie zur Seite gee 
flelle werden, : Ä | 


26. Es ſey DEDF (Fig. 26.) ein Kreis, ber 
um Die mie dem Durchmeffer. DD parallele BAB ber: 
umgeführe: wird, Man nehme auf dem Umfange jwey 
Puncte M, m, ziehe durch diefelben die auf BB fenf: 
rechten MG, mg, fo befrhreibt die Chorde des Bo— 
gens Mm eine Fonifche Fläche. Es fy CD=a, AG 
— b, der Abftand des Punctes M von Do—x— 
CP, der Abftand des Punctes m von DC —_x+Ax 
die Ehorde zu Mm = Az, als bie Berlängerung der 
. Seite z eines Kegels, welcher um bie Are BAB be: 
ſchrieben wird, Es ift cf, Complanation) die koniſche, 
bon der Chorde beſchriebene Flaͤche 
—= 27 (b-+ x) Az +rAx.Az, Die von dem Bor 
gen DM befchriebene Kläche fey — 8, fo ift 
AS> ar (b + x) Az + rAx.Az, Die Differens _ 
tialgleihung ift daher 00 — ar (b ++ x)92. De 
Bogen DM fen = s, fo if in der Differentialglei- 
hung 82 == 0s, und 08 = 27 (b +x) os. Nun 

adx | 


V.@a— xx)’ 
alfo iſt 25 21 (b + x). 





iſt og = ( Differentialformel 29 


aox 
V(a—xx) 


Körper. 311 


Die Integration giebt 
S= 2mab,Ang.sin — 2ra — — ae 


> 2raa, 
wo 2maa die erförberliche Sonftante iſt. 


Fuͤr den innern Ring iſt die Differentinlgleihung, 
| DS! = ar (b e —— 
| V (aa—xx) 


und daher 
- zmab , Ang. ein — — ray (aa — xx), 
>» zmaR. 


27. Die . Diesfiie bes äußern Ringes ift 


— amtab + 4raa ; des innern — ar’ab — 4raa. 


28. Die ganze Oberfläche iſt — 4r°ab, fo groß 
als die krumme Dberfläche eines Cylinders, deſſen Halb⸗ 
meſſer — b und die Hoͤhe der mit dem Halbmeſſer 
a — Kreis EDF iſt. 


Der Unterſchied der beiden Dberflächen ift 
— — achtmahl ſo groß alt die Flaͤche des erzeu⸗ 
genden Kreiſes. | 


30. Nimmt man den Bogen DN=DM, fo 
iſt die von MN ae Dberfläche u 


= qrab. Ang ‚sin * ſo groß als die krumme Ober⸗ 


flache eines ie, deſſen Halbmeſſer = —b und die 
Hoͤhe der Bogen MN iſt. 1 


31. Der Linterfchied der von "den gleichen Bo⸗ 
gen DM, DN. befchriebenen Oberflaͤchen ift : 
= 4ma (a — Y (aa — xx)). Die Chorde des Bor 
gens DM fy=c, ſo iſt cco=2a (a—y (a—xx)), 
Kreis, 29), und die Fläche des aber bem Durqhmeſ⸗ 
ſerc Pier Kreiſes 


| 312 | Rüuͤckkehrpunct. 


== —roc =— ma (a V (aa — xx)). Jener 
Unterſchied iſt alſo achtmahl ſo groß als die Flache die⸗ 
ſes Kreiſes. | 

Die Säge, 28. 29. 31 hat Tacquet gefunden. 


32. ine praftifche Anwendung fann man auf 
das DVifiren oder die Musmeffung der Faͤſſer machen. | 


Es fen BAB (Fig, 28.) vie Are eines Faſſes, MM 


die Höhe deſſelben, MCM bie Ausbauchung, fo bes 
fleht das Faß aus zwey le: einem chlindrifchen, 
deffen Halbmeffer BM, Höhe MM ift, und dem von 

MCM befchriebenen eingförmigen Raume. Man wird 
meiſtens MCM für einen Kreisbogen nehmen Fünnen, 


| Zu vergleichen ift eine Abhandlung von Kaͤſtner 
über die Ausmeſſung bauchichter Körper in dem Leipjiger 
Magazin für Marhematif, Jahrg. 1787. 1. St. 


| Ruͤckkehrpunet oder Spitze (cuspis, 
sive punctum reflexus, point. de rebroussement ) 
ift ein Doppelpunee an Frummen Linien, in welchem 
zwey Zweige neben einer gemeinfchaftlichen berührenden 
zufammenftoßen , und jeder ſich daſelbſt endigen. Es 
ſind zweyerley Lagen hier moͤglich. Die beiden Zweige 
liegen entweder auf verſchiedenen Seiten der be— 
ruͤhrenden und kehren ſich die convexen Seiten zu, wie 
in Fig. 29; oder fie liegen auf derſelben Seite, die 
eonbere Geife des. einen Zweiged gegen die concave des 
andern gekehrt, wie in Fig. 30. Die legtere Verei— 
nigung zweyer Zweige nennt man auch einen Schna⸗ 
bel, rebroussement en bec, _ 


2 An den }inien der zweyten Ordnung ie fein 
Ruͤckkehrpunct möglich. Denn da ein folcher Punct für 
zwey gilt, fo würde eine gerade Linie durch denfelben: 
und einen andern Punck die frumme Linie in drey 
Puncten fchneiden ‚- welches niche möglich it. Aber 
an den Linien der dritten Ordnung kommen Ruͤckkehr⸗ 


Rückfehrpunet. 313 


puncfe dor, da dieſe Linien bon einer geraden Linie in 
drey Puncten geſchnitten werden koͤnnen. Sie entſte⸗ 
hen, wenn eine Ovale in einen Punet ſich zuſammen⸗ 
zieht, wie in Th. III. Tab. XIX, Fig. 59. 60,, wobey 
die Beiden berührenden in dem Durchfehnittspuncte in 
eine einzige gerade zuſammenfallen. Die beiden Zwei: 
ge liegen hier auf verſchiedenen Seiten der berühren: 
den. Denn die zweyte Lage der beiden Zweige, bie 
eine Spitze machen, ift nur an den Linien der pierren 
Ordnung und höherer möglich , weil. eine gerabe Li⸗ 
nie, die durch den Mückfehrpunce und zwey Punete auf 
ben beiden Zweigen gezogen nr die Curbe noch ‚eins 
oder mehrmabl ſchneidet. | : 


Es feyn AC, BC (Fig. .29.) jivey Zweige 
einer — linie, deren uͤbrige Zweige bier nicht. in 
Derraht kommen, und CE feu die gemeinfchaftliche 
berührende zwifchen ihnen in dem Punete C. Die 
Coordinaten an dem concaven Zweige ſeyn — Fa 


PM.= y, ſo iſt an dieſem das Differential I 


negafib, welches an dem. conberen Zweige pofi = 
(Soncav u. Conver, ı2.). Daher iſt in C, wo der 
Übergang von dem einen zu dem andern geſchieht, der 
Duotient — 0. , Der Übergang vom- Negativen zum 
Poſitiven geſchieht hier nicht durch das Unendlichgro⸗ 
ße, weil an der geraden Linie, durch welche der Über⸗ 


oty 
3:0 iſt. 
Auch iſt im dem Ruͤckkehrpuncte der Halbmeſſer 
der Kruͤmmung unendlich groß, als welcher für die ents 
gegengefegten Zweige auch eine entgegengefegte Beſchaf⸗ 
fenheit har. Fruͤn mungskreis, 3. In dem gegenwärs 
tigen Falle kann der übergang fuͤr denſelben vom Poſitiven 
zum Negativen nicht durch Null geſchehen, weil.er für 
die. gerade beruͤhrende unendlich groß iſt. 


gang geſchieht, der Quotient 


314 Ruͤckkehrpunct. 
— Man darf aber nicht umgekehrt fließen: wo 


0° 
der Quotient = * no iſt, ſey ein Ruͤcklehrpunet vor⸗ 


handen. Denn dieſer Quõtient wird "auch. für einen 
endungspimet Null, wo zwey Bogen einer krummen 
Linie auch auf verſchiedenen Seiten einer gemeinſchaft⸗ 
lichen beruͤhrenden liehen, aber von dem gemeinſchaft⸗ 
lichen Punete aus nach entgegengeſetzten Richtungen. 


4 Die berüßrende MT an einem Puncte M 
ſchneide die Abſciſſenlinie in T, ſo iſt die Subtangente 


OxX 
rI-= — ſ. Beruͤhrende einig, 13, und Ar — 
yöx a * | 
— x Das Differential von AT ift, wenn dx 
| | Oytdx — yoxdty 


eonflant ‚genommen ‚wird, 
. \ 


— %ıx= 
yoardy = | 
— * ve poftci it, und, eine ‚Zunahme 


anzeigt, weil. * bey dem als concav en 


Bogen AM negativ if, daher nr 


fenheit hat. 


5. Die beraͤhrende CE in dem Ruͤckkehrpunete 
ſchneide die Abſciſſenlinie in E, ſo it das Differential 


don AE= = 0, da hier = =e6 if Der Abſtand 





T piefe Beſchaf⸗ 


des Durchſchnittspunctes der beruͤhrenden mit der Ab⸗ 
feiffenlinie von A nimme immerfort zu, aber inE ift 
die Zunahme dieſes Abftandes ein Kleinftes, fo daß in 
dem. Fortrücfen des Durchſchnittspunctes ein Still⸗ 
ftand erfolgt, : Dig beiden ſucceſſiben Elemente auf AC 


Rückfehrpund 313. 


und CB bey’ C fallen in eins. Der Ablenfungswinfel 
der berührenden ift hier, in Wergleihung mit — 
andern, unendlich kleinen, Null. 


6. Wenn die Abſciſſenlinie auf der — 
.CE ſelbſt genommen wird, fo iſt Fein Übergang vom 
Eoncapen zum Epnveren vorhanden, inzwifchen bleibt 
der Winkel der beiden Zweige in C=o, und der Halb⸗ 
mefjer der Krümmung daſelbſt unendlich groß. Iſt 
CE mit. der. Are der Ordinaten parallel, fe iſt daffelde 


vorhanden, 
7 Erempel, Die Gleichung für die femichbis 


ſche Parabel. ift a’ x? ober y>a 6 
Darau y= = — 20 — und 


= = m” | ‚bie 


dey * 20%. j = Fuͤr jedes pofifive x haty 
zwey gleiche —— Werthe; für x 0 iſt 
der uotient 2* 03 und = iſt unendlich groß. 
Man erkenne hieran eine Spitze, von in - Ans 
fangspuncte der Abfeiffen liegt. Di > —_— v- F iſt, 


ſo nimmt y gegen x immer mehr * ſo wie x — 
a kleiner wird. 


8. Exempel. Die Gleichung Für die Eiffoide iſt 
= , day 232 —J— ‚Date 


aus iſt dy = — (3axt? — 2232) (a a de, | 


— 


316 Ruͤckkehrpunct. 
und dey =- ax? (a —x)-52 Ox°, auf aͤhnliche 


Art, wie an jener Parabel, Um die Beſchaffenheit 
der Curve nahe bey der Spitze zu erkennen, ſuche man 
eine ſteigende Reihze für y durch x ‚ woben es nur 
noͤthig iſt, die drey erſten Glieder zu beſtimmen. Es iſt 
N — x! (a — x) -1:2, oder | 


oder Ä 


lH 


- 9 Den Ruͤckkehrpunct an einer Frunmen Linie, 
wenn ein folder vorhanden iſt, zu finden, ſuche man 
aus der Gleichung zwifchen x und y den Duotienten 


2 


© ' ö e . ri \ - « 
—* wobey das, Differential. dx conſtant genommen 


werde, ſetze denſelben — 0, fo bat man eine Glei⸗ 
hung zwifchen x und y, welche mit der gegebenen 
Gleichung jwifchen denfelben verbunden, durch Elimina⸗ 
fion eine beſtimmte Öleihung *fowopl- für x als für 
y. giebt, welche die Eoordinaten zu dem Ruͤckkehrpunete 


ey M. : a 
find. Es fey = wo M und N tfunctionen 


N | 
von x und y find, fo ift entweder M — o, oder N 
unendlich groß zu nehmen, Allein die Nechnung Fann 
ſehr weirläufig werden, 


10. Un den Sinien der dritten Ordnung Fan 
ber Ruͤckkehrpunct ohne Hilfe der Differentialrechnung 


gefunden werden. Es fey die Gleichung für eine fols 


che: y2 4 x⸗y — ay· — by — 20x —d=o, 


Nückfehrpunt, 317 


Srunne Sinien der zwepten Claſſe, 32 u. f. ), fo iſt 
— ut he m) 
> As J | 
Sir * Wurzel der Gleichung, 
Hy —ay—by -dyv—aono, 
bat x nur einen einfachen Wert, — wird, ald- Or⸗ 
dinate betrachtet, aus einer fehneidenden eine Gerüßrene | 
de, wenn die Wurzel der Gleichung nur einfach it, wie 
Tab. XIX, Fig, 58. Iſt die Wurzel jwenfach, fo - 
gehen zwey Beribrungepüneke in einen Durchfchnittöe 
punct zufammen, Fig. 59. Iſt die Wurzel dreyfach, 
fo ift ein Nückfehrpunct vorhanden, Fig. 60. Damit 
die Gleihung (Y) drey gleich große Wurzeln habe, 
müffen die Formen’ der Eoefficienfen folgende feyn, 
“amsp—g; Bsp (@—p); 
d=— p(a39q—p; "=pgq 
aus Gleichung, 83, wenn daſelbſt die drey Wurzeln, 
pr, s, fich gleih, und q negativ genommen werden, 
Für den Ruͤckkehrpunct find die Coordinaten, - 


vr’ 





y-pı= — VPpq. 


Die Lage der beruͤhrenden in dem Ruͤckkehrbunete 
zu finden, ſuche man ben Werth des Differentialquo⸗ 


| dy 
tienten als der Tangente des Winkels, welchen die 


beruͤhrende mit der Abſciſſenlinie (ber Are ber x) macht, 
Es ift überhaupt 


dy 20 — 2x 
dx ay: +x my 


Setzt man hier y= p, x Vpq, fo werben Zaͤh⸗ 
ler und Nenner jeder — o, ober I= =o, eben fo 


mie bey einem Knoten oder Durchſchnittspunete jwwener 
Zweige, (berüßrende Linie, 23 fr). Um den Werth 


318 Küchtefepumet 


des Quotienten zu finden, fege man dd — ary = MM, 
und 3y? T xt — 2ay — bN, ſo daß Io 
M 
u Es ift (Sunction, 80.) der Werth des Quotien 


| AM 
ten für diefen Fall — SR 





‚ Wenn darin x — Vpq; | 


y=p gefegt werben. Nun ift 
oM = — 2yOX — 2xdy 
eN = (6y — 24) 8y + 2xdox. 


Da ®y:ox—=MEN if, fo ift Ai 
oeM N+Mx . 
ON  Gy-—a) M + Nx 


Man ſetze hier nun y=p3 — vg ah 


az 3p = d fo wird 
.M „_Ne+#Mvpg 
| N Mg + Nvpq 
Daraus folgt 
M’q + 2MNVpg + N’p 
Dder es ift das m von MVgq Sir Ni v p= 6, 


daher — — — F iſt, als der Werth * in 
dem Raetehepuntte. 
Die Subtangente daſelbſt iſt - V 


— — Vpq. Das Negationszeichen zeigt an, daB 
die Subtangenfe von dem Grundpuncte der Ordinate, 
nach der Nichrung der Abfeiffen zu nehmen ift. 


41. Zu entſcheiden, ob der Punct der Curve, 
an welchem — 


Wendungspunct ſep, verlege man den Anfang der Abs 
feijfen in den Punct D (Fig. 29.), den Grundpunct 
der Ordinate zu jenem Puncte. Man ſuche nun eine 


o ift, ein Ruͤckkehrpunct oder ein 


Ruͤckkehrpunct. 319 


ſteigende Reihe fr die Ordinate y durch die neue Ab: 
feiffje von t, fo ergiebt fich aus diefer, ob zu entge« 
gengeſetzten unbeſtimmt kleinen Abſciſſen t moͤgliche y 
gehoͤren, oder nicht, zunaͤchſt des zu unterſuchenden 
Puncts. Iſt das legte, ſo iſt derſelbe ein. Ruͤckkehr⸗ 
punct, in dem erſteren Falle ein Wendungspunet. 


12. Die Ordinaten u fen aus einem Puncte 
gezogen, und machen mit einer gegebenen geraden den 
Winkel ©, Bey dieſer Form der Gleichung fuͤr eine 
krumme Linie den Ruͤckkehrpunct zu finden, ſetze man 
den Halbmeſſer der Kruͤmmung, zufolge (2.) unendlich 
groß, ſo erhaͤlt man einen Differentialquotienten fuͤr 
dieſen Punet, und daraus eine Gleichung zwiſchen _ 
und ©, welche .mit der gegebetten verbunden, den Werth - 
von u und von 9 für den: Punct liefert. 


13. Wenn © gleichförmig junimmt, fo ift dee 
Halbmeffer der Krümmung (Kruͤmmungskreis, 52.) 
| es. | os? 
50° „du: + —— — udu 
Sest man dieſen unendlich groß, ſo ift 
adu? + up? — ufu— o, 


: — 





Se, — [Ju 29u⸗ 
oder or 5 


Nimmt man ud0 conſtant, das iſt, den niit u als 
Halbmeſſer befchriebenen, zu dem Winfel 09 gehörigen 


| Sud Ä 
Bogen, ſo O9 = — —, und in ber allgemeis 


nen Formel für den Kruͤmmungs⸗ Halbmefeer (a. a. 2 
51.) ift der Penner 
— (du? + U:00° — ud:u) 99, 

und für einen unendlich großen Halbmefjer der Kruͤm⸗ 
mung 
Ä Su? + 100? — ud?u — 0. 

Diefe Gleichung giebe LHopital in feiner — 
des infin, petits, p. 62. Die Differentiirung der ges 


320 Nüchteprpunet 


gebenen Gleichung richtet fich * nach dieſer Anz 
nahme. 


In Kaͤſtners Nnalyfis des Unendlichen 6. 520,1, 
iſt die Gleichung fo vorgetragen, daß noch Fein Diffe: 
rential conftant genommen ift. Es find dafelbfl, ©. - 
604. 3. 8 u. 9, jwen Druckfehler zu verbefjern. Um 
| — die obigen — en, muß ſtatt | 


— — gefeßt werden °0, und — — — P. 


14. Be der zwepten a4 des Ruͤckkehrpunetes 
(Fig, 30.) liegen die beiden Zweige AC, CB, welche 
in ihm zufammen Fommen, an derfelben Seite der ‚ges 
meinfchaftlicyen in C berührenden CE. Hier ift fein 

bergang vom Concaven zum Converen; der Halb: 
meffer der Krümmung ann hier alfo endlich feyn. Die 
berührende CH ift die außerfte der berührenden an beis 
den Zweigen, und daher ift der Abſtand ihres Durch: 
ſchnittspunctes E mit der Are der Abfeiffen von A oder 
einem andern beftimmten Puncte auf verfelben, zwar 
groͤßer als bey andern beruͤhrenden, aber doch nicht ein 
Größtes, in bem Verſtande, daß das Differential bon 


0% 
AE Null wäre. Denn wenn der Abftand * — x 





| dxd⸗ 
in dieſem Verſtande ein Groͤßtes, alſo — — 


wäre, fo waͤre der Halbmieffer der Krümmung in C 
unendlich groß, welches nicht nothwendig ift. Es find 
hier nur zwey verichiedene Kolgen von Abftänden, bie 
eine gemeinfchaftliche Graͤnze haben, eben fo wie die 
- DOrdinaten an den beiden Zweigen AC, BC, 


15. Det Halbmefler ver Krümmung kann end« 
lich, oder umendlich groß, oder unendlich Elein feyn. 
Die gemeinfchaftliche berührende läge dieſes unbeftimmt, 


16. = ber Helbueſer der Krimmung für beide 
Zweige 


Nücffehrpunc 321 


Zweige in C gleich groß, ſo ift das Differential deſſel⸗ 
ben = o, und es laͤßt fich zwifchen den Bogen AC, 
BC durch C Fein Kreis ziehen. Sind die Halbmeffer 
der Krümmung ungleih, fo läßt ſich zwiſchen dieſen 
Bogen durch C ein Kreis ziehen, der flaͤcher als der 
Bogen AC in C ilt, und Frümmer ale BC. Eine 
folche Verbindung zweyer Bogen mag aber Fein Ruͤck⸗ 
Fehren heißen, fondern wird nur ein Durchſchneiden 
zweper über C hinaus fich erſtreckenden Bogen ſeyn. 


17. Der Halbmefler der Krümmung in C für, 
beide Zweige fey —= r, fo ift, wenn das Differential 


: | 0833 
dx eonſtant geſetzt wird, r ze — GKruͤm⸗ 
mungskreis, 8.), wo Os = Y (9x? + 355) iſt. Es 

__ 308° O8 033.03y 

ift — ad: y — und diefes 
— 0 gefegt, d8. 22 = —— 8y.Ferner iſt 

| oyd’ 
98 = Dyd'y (Ex’ + 2). ®, oder ds = = 


alſo iſt füe den Ruͤckkehrpunet der zweyten Art, 
05’ ,Ody = 30y (0yy. 


18. Die Llnterfuchung des Ruͤckkehrpunets der 
zweyten Art macht einige Schwierigfeit. L'Hopital bat 
ihn zuerit in Betracht gejogen, Analyse. des infin, 

- petits, nr. 109. Gr zeit dafelbft, daß durch die Abs 
wickelung einer Curve mit einem: Wendungspuncte eine 
fchnabelfürmige Verbindung zweyer Zweige entiteht, 
woran der Halbmefjer der Krümmung gleich groß ift. 


19. Der Abbe de Gua bebaupfefe in ber 
Schrift, Usage de l’Analyse de. Descartes pour 
decouvrir les praprietes des lignes geometri=- 
ques, daß es feinen Ruckkehrpunct ver zweyten Art 
gebe, ſondern daß die beiden Zweige, die in einem ſol⸗ 


320 Ruͤckkehrpunct. 


gebenen Gleichung richtet fich * nach dieſer Ans 
nahme. 


” An Käffners Analyfis des Unendlichen (. 520, T, 
ft die Gleichung fo vorgetragen, daß noch Fein Diffe: 
rentinl conſtant genommen ift. Es find daſelbſt, S. 
. 604. 3. 8 u. 9, zwey Druckfehler zu verbefjern. Um 
| — die obigen — berguleiten, muß ſtatt 


— geſeht werden 20, unb —— 5 fat Ps 


14. Bey der zwepten es des Rüdtıhrpnict 
(Fig, 30.) liegen die beiden Zweige AG, CB, melde | 
in ihm zufammen Fommen, an berfelben Seite der ge⸗ 
meinfchaftlichen in C berührenden CE. Hier ift fein 

bergang vom Concaven zum Converen; der Halbe 
mefjer der Krümmung fann hier alfo endlich feyn. Die 
berührende CH ift die Außerfte der berührenden an beis 
den Zweigen, und daher ift der Abſtand ihres Durchs 
ſchnittspunctes E mit der Are der Abfeiffen von A oder 
einem andern beftimmten Puncte auf verfelben, zwar 
groͤßer als bey andern| berührenden, aber doch nicht ein 
Größtes,, in bem Verſtande, daß das Differential‘ von 


yox 
AE Null wäre. Denn wenn der Abftand E —x 


eu 3x0e 
in dieſem Verſtande ein Groͤßtes, alſo — — 





wäre, fo waͤre der Halbmeſſer der Krümmung in C 
unendlich groß, welches nicht nothwendig ift. Es find 
hier nur zwey verichiedene Folgen von Abftänden, die 
eine gemeinfchaftlihe Graͤnze haben, eben fo wie die 
- DOrdinaten an den beiden Zweigen AC, BC, 


15. Der Halbmefjer ver Krümmung kann end« - 
lich, oder unendlich groß, oder unendlich Elein feyn. 
Die gemetursarrluhe berübrende läßt biefes unbeftimmt, 


16. an ber Helbmeſer der Krmmuns für beide 
Zweige 


Ruͤckkehrpunct. 321 


Zeige in C gleich groß, ſo iſt das Differential deſſel⸗ 
ben — 0, und es laͤßt fich zwifchen den Bogen AG, 
BC durch C Fein Kreis ziehen. Gind bie Halbmeffer 
der Krümmung ungleih, fo läßt ſich zwiſchen dieſen 
Bogen durch C ein Kreis ziehen, der flaͤcher als deu 
Bogen AC in C iſt, und kruͤmmer als BC. Eine 
folche Verbindung zweyer Bogen mag aber Fein Ruͤck⸗ 
ehren heißen, fondern wird nur ein Durchſchneiden 
zweper uͤber C hinaus fich erſtreckenden Bogen ſeyn. 


17. Der Halbmeffer der Krümmung in C für, 
beide Zweige ſey = r, fo ift, wenn das Differential 
083 


dx conftant gefet wird, r = — —— (Krüme 
Oxo®y. 

mungsfreis, 8.). wo Os = Y (x? + ?y:) iſt. Es 

— 3 08’.0° ds. d3y 

iſt —F—— F ey Dx.(dyy’ und dieſes 

—o geſetzt, ds. d3y — 30:8. 8’y,- Ferner iſt 


— 2 9° 
9’ — Oyo’y (öx? + 2y’) *, ober d’s = ——, 
alſo ift für den Ruͤckkehrpunet der zweyten Art, | 
| 05? „ody = 30y (O’y)’. 


18. Die Unterfuchung des Ruͤckkehrpunets der 
zweyten Art macht einige Schwierigkeit. LHopital hat 
ihn zuerſt in Betracht gezogen, Analyse. des infin, 
- petits, nr. 109. Er zeit dafelbft, daß durch die Abs 
wicfelung einer Curve mit einem: Wendungspuncte eine 
fchnabelförmige Verbindung zweyer Zweige entiteht, 
woran der Halbmefjer- der Krümmung gleich groß iſt. 


19. Der Abbe de Gua behauptete in ber 
Schrift, Usage de lAnalyse de. Descartes pour 
- decouvrir les proprieids des lignes geomeiri- 
ques, daß es feinen Ruckkehrpunct der zweyten Art 
gebe, fondern daß die beiden Zweige, die in einem fole 

Ä x 


322 | Ruͤckkehrpunct. 


chen Puncte zuſammenkommen, noch jenſeits deſſelben 
ſich verlängern laſſen, daß alſo der Pune wirklich ein 
Durchfehnittepunet zweyer Zweige fey. Sein Beweis 
für die e Behauptung war ſcheinbar. Doch zeigte Fus 
fer das Fehlſame darin. Mém. de l’Acad. de Ber: 


Iın, a 1749. P- 203. 


20. Einige der einfachften Curven, die einen 

Ruͤckkehrpunct der zweyten Art habn, find z 
y=axx + PxxVx 
yzax + PX Vx 


a | y — — + Bst y x. 


In diefen Gleichungen find für negative x Feine Or: 
dinaten möglich ; ‚ aber für pofitive x zwey, wegen der 
Zw ydeutigkeit der Wurzelgröße. Das doppelte Vorz 
zeichen fälle weg, wenn die Gleichung rational gemacht 
wird. Weide Zweige ftoßen in dem Anfange der Ab: 
ſciſſen zuſammen, und kommen daſelbſt mit einer para» 
boliſchen Linte überein. An der eriten Curve ift im 
dem Ahfange der Abfeiffen der Halbmeffer der Krüme 


I Ä — 
mung endlich und — me an der zweyten daſelbſt 


unendlich groß; am der dritten unenblich klein. 


Die Gleibung y — 2’? 4 z5 führe D’Alem: - 

here (Mem. de lAc. de Berlin a. 1746, p. 186.) 
bey der Trage Über die Form unmöglicher Factoren 
als Beyſpiel an, und bemerfe, daß Die Dadurch darge« 
ſtellte Curve zwey convexe Zweige auf derielben Geite 
ihrer Abſeiſſenlinie har. Auch führe er die Gleichung, 
y-b+2+Vzooen, zufolge der die Curve 
auch zwen folche Zweige har, die aber eine andere bee 
rührend: als die Abſeiſſenlinten haben. ‚Er berurr ſich 
in der Encycl method. darauf, daß er dieſe Arc eis 


ner Spitze ſchon dargethan habe. 


Pilhmomachia, 328 


| 21. Euler bat u a. O., bie allgemeine Form 
der Gleichungen angegeben, ben welcher ein Ruͤckkehr— 
punef der zweyten Urt Statt haben kann; auch zeige 
er, wie man denſelben finden Fönner wo ein N vor» 
handen iff. 


22: In Eramers Analyse des lignes cour« 
bes enthäft das legte Eapitel, welches von den verſchie⸗ 
denen vielfachen Puncten an den krummen Linien bis 
zur fechiten Ordnung handelt, viele Benfpiele von Ruͤck— 
fehrpuneten beiderlen Art, und ihren, Verbindungen mit 
andern Zweigen. Durch einen Ruͤckkehrpunct koͤnnen 
auch andere Zweige einer Curve gehen, Wenn eine 
Dpale einen Wendungspunct hat, wodurch fie eine Eins 
biegung zeigt, und diefe Dvale durch. eine Veränderung 
‚in den Coefficienten der Gleichung fi) in einem Dops 
pel-Punct zufammenzieht, fo entiteht ein Ruͤckgang 
mit einem Schnabel. Die Übergänge in den Geſtalten 
der Frummen dinien durch die Veränderungen der Con— 
ftanten in ihren Gleichungen fi nd Lug fonderbar und _ 
merkwürdig. 
Rithmomachia (fl. Arithmomachia, 
ober ſtatt Khythmomachia) Zahlenfampf, ein arich: 
metifches Spiel, deſſen Erfindung den Pythagoraͤern zus 
Hefchrieben wird, In einer Sammlung arithmetifcher 
Schriften, wovon die zweyte Ausgabe bey Henricus 
Stephanus zu Paris ı514 herausgefommen ift, iſt bes 
findlich Rithmimachie ludus qui et puana numerorum 
appellatur, von Jacobus Faber Stapulenſis, 
mit einer kurzen Befchreibung des dazugehörigen · Bret⸗ 
tes mit Slächen (wie ein Schachbrett), nebſt den Steiz 
ne. S. Kaͤſtners Gefchichte der Mathematik, Th. I, 
©. 88. ff. 

Ein Italiener, Baroz zi, bat auch diefes Spiel 
befhrieben. Der Zirel iitt Il nobilissimo et anti« 
quissimo Giuoco Pythagoreo, nominato Rithmo- 
machia, cioe battaglia de consonantie de nume- 


3 


\ 
324 Ruͤcklaufende 


ri ritrovato per utilità et solazzo delli Studio- 
si. Et al presente per Francesco Barozzi Gentil- 
huomo Venetiano in lingua volgare in domo 
di Paraphrasi composto ; in Venetia 1572. 24 
uarrblätter, | a 


Eine üÜberſetzung dieſer Schrift iſt dem Schach- oder 
Koͤnigſpiel von Guſtabo Seleno, (dem Braunſchwei⸗ 
giſch⸗Wolfenbuͤttelſchen Herzoge Auguſt) Leipzig, 1616, 
angehaͤngt. Die Steine ſind in Form von Scheiben, 
Dreyecken und Vierecken, auf einer Seite weiß, auf. 
der andern ſchwarz. Gie find mit: gewiffen Zahlen 
auf beiden Geiten bezeichnet, Die Spieler fönnen fich 
die Steine nach Maafgabe der bezeichneten Zahlen auf 
verichiedene Arfen nehmen und durch Umkehren in eis 
gene verwandeln; auch Fann ein Stein durch Eins 
fperren genommen werden. Der Gieg wird erhalten, 
wenn man in des Gegners Keld Steine bringt, deren 
Zahlen eine arithmeriſche, geometriſche oder _barmonifche 
Proportion ausmachen ; ein größerer, wenn man bier 
Steine hineinfpiele, deren Zahlen Glieder zweyer diefer 
Mroportionen find; der größeite, wenn fie alle drey 
Proportionen liefern, Ä 


Murhard führt in feiner Litteratur der Marhe: 
matik an: Le tres-excellent et ancien jeu Py- 
thagorique dict. Rithmomachi etc. pour obtenir 
vraye et prompte habitude en toute nombre et 
proportion, a Paris, 1576. | 


t 


Von einer Schrift des Alterthums über ein ſolches 
Sopiel weiß man nichts, 2. 
Röffelfprung, f. Springer auf dem Schach⸗ 


brete. 


Ruͤcklaufende oder wiederkeh— 
rende Reihe (Kẽries recurrens) iſt eine ſolche, 
worin jedes Glied das Aggregat der Produete singe, 
zunaͤchſt vorhergehenden Glieder in bejtunmte Zahlen 


⸗ 


Heide 326 


in derſelben Ordnung genommen, iſt. Die beſtimmten 
Zahlen, mit ihren Vorzeichen verbunden, machen bie _ 
VBerhaͤltniß- oder Beziehungs-Scale (Scala. 
relationis, echelle de relation) aus. Die Anzahl 
der’ beſtimmten Factoren zeige Lie Ordnung einer ruͤck⸗ 
laufenden Reihe au. | | 


1.. Eine geometrifche Reihe iſt eine ruͤcklaufende 
Reihe, in- welcher die Scale der Relation aus einem 


einzigen Gliede, dem Exponenten, mit dem Vorzeichen 


F oder — beſteht. Das erſte Glied iſt willkuͤhrlich. 


2. Wem die Scale der Relation aus zwey 
Gliedern beſteht, ſo koͤnnen die zwey erſten Glieder der, 


Reihe nach Gefallen angenommen, oder den Bedingun⸗ 


gen der Frage zufolge beſtimmt werden. Hat vie Sca— 
le m Glieder, fo find die m erſten Glieder der Meihe, 
willkuͤhrlich oder. durch gegebene Bedingungen beſtimmt. 
Z. DB. die Scale ſey + 3, — u, Die beiven erſten 
Glieder fee man 4, 2, fo iſt Die Reihe: 
I, 2, 5,.13, 34, 89, 233, 610, u. ſ. f. 
Sind vie beiden erften Glieder ı,-3, fo iſt die Reihe: 
I, 3, 10, 27, 71, 186, 487, 1275 eto. 
Eine ſehr irregulaͤr ſcheinende Reihe kann ſolchergeſtalt 
nach einem ſehr einfachen Geſetze gebildet ſeyn. 


3. Iſt die Scale der Nelation +2, — T, fo 
ift die Reihe eine arichmerifche der zweyten Ordnung; 
iſt die Scale + 3, — 3; + 1, fo iſt die Reihe eis. 
ne arirmetifche der dritten Ordnung; iſt fie + 4 


—6,+ 4— 1, fo iſt die Reihe von der vierten 


Ordnung; iſt die Scale 








4 mm — I, . m.m-—ı1.m—?’ 
m —— — —3; yon 
1.2 r.2.9 

+m 1, 


ſo iſt die Reihe eine arithmetiſche der mten Ordnung, 
f. arithmetiſche Reihen hoͤherer Ordnungen, 3. 4. 


* \ 


326 Ruͤcklaufende | 


4. Alle rücklaufenden Reihen entftehen durchidie Dis 
viſion einer rationalen Function von einer veränderlichen 
Groͤße durch eine andere Function dieſer Art, worin die höchfte 
Potenz der veränderlichen Größe wenigitens einen Grad 
höher iſt, als in dem Dividendus.. Die Eoefficienten 
der veränderlichen Größe in dem Quotienten machen 
die rücklaufende Reihe aus. Diefer Bruch heißt der 
erzeugende Brud, Urbruch (Fraction generar 


trice. ), | i 
u a + bz 

’ gr * ſey na, — * Az® 
A+Bz + Ca? +D25+Ezt-t etc, fo if 
‚arbz A +Bz + Cz!+Dz3-+ Erst + etc, 
| — Aa. — Ba. — Ca, — Da, — etc, 

: | +AP. +BR. +CP. + etc, 
190 die Punete die Stelle der Potenzen von zZ vers 
treten, | 


— 


Die Vergleichung der Coefficienten in beiden Theis 
len der Gleichung, gicht Be 


u. ſ. fh 


— J fh f. 
Die Seale der Relation iſt demnach > a — Be 


| | a + bz + cz’ 
er rreee 


A+Ba+rCz2’ 4 Da’ + Ezt + Fa ei 


Keihe, Ä 327 


fo giebt die Multiplirafion des Quotienten mit dem 
Diviſor und die Vergleihung mit dem —— die 
Werthe der Coefficienten, 

A —42; 

B = ‚Aa + b; 
Ba — AB +c 
Ca — BA + Ays 
Da.— CB + By; . 
Ex — Di + 1y; 

ehe... 

Die Scale der Relation iſt Pa, — 6, * 7. 


Re 
1 


7. Auf gleiche Art folge aus dem Bruce 

a — bz + cz’ + dz? 

ge F Ba* 4 Bar oo yaa H dzt Die Scale ver Re: 
lation +, — ß, + % — 5, und die Coefficienten 
der erften vier Glieder des Quorienten, Az=-ı; B 
— Aa+b;, C —Ba — AB +5 D=C« 
— B& + Ay+d Der Fünfte if E = Da— 
CB + By — Ad, und nad) biefer Form auch sie 
REEL 


8 Die Scale der Nelation mag auch eine uns 
endliche Anzahl von Glievern enthalten, wenn naͤmlich 
der Divifor eine unendliche Nerhe it. 


9 Bey diefer Entwickelung einer gebrochenen 
Function in eine Meihe har jeder Coefficient eine invo—⸗ 
Intoriiche Korm, da er aus mehrern vorhergehenden, 
nicht felten aus allen zufammengefegt wird, z. B. Die 
Reihe für sec O, in Enflometrie, 22. Es ift aber 
auch möglich, die Coefficienten unabhängig von einanz 
der, durch einen algebraifchen Ausdruck anzugeben, mifs 
telft der Wurzeln derjenigen Gleichung, weiche entſteht, 
wenn der Divifor — o gefest mird. Man muß 
nämlıch den Bruch in partielle Bruͤche, nach Function, 
20 ff, zerlegen. Hat ein folcher Bruch die Korm 


328, | Rüuͤcklaufende 


re ‚fo giebt, die Entwickelung eine geometriſche 


Reihe, deren ‚allgemeines Glied ſich Zu ‚ergiebt, 


Hat der partielle Bruch die SM. ne — ſo giebt 
der binomiſche Lehrſaßz das TE — durch die 
Stelle deſſelben an. Hat der partielle Bruch die Form 
A+ Dr 

‚DT - pz 7 qg2, 

ift, fo verfährt man entweder ſo, wie in dem Artifel, 
Function, 32, 33, angewieſen iſt, oder nach einer ans. 
dern rt, die hier gewiejen werden wird. 





j * der Nenner nicht serlegbar 


10. Es fen der zu entwickelnde Bruch 
a re bz, 


1— az + Bat 


az + ßz° ea = 0, habe 


BP PB 
zwey mögliche, ungleiche Wurzeln, die durch und 


— Z, und die Olechung 1 — 


bezeichnet werden. Es iſt nun 5 — —* 


40), und z — — — 2 


eben daſ. 43. Multiplicirt man auf der einen Seite 
mit 8, auf der andern mit pq, fo iſt r 


2 I—az + Bz’ = (pz— ı) — 1 
oder 


az + Br = —pz) (ae). | 
Kun läßt fi) die gebrochene Function Z, in zwey 


erlegen, Z = 4 — wo 
g ene zerleg 2 1—pz " I—gz ! 


Hei 329, 


ei srl; —, un d = Tr ift, Function, 

-. 274 Berg, © | 
21. Dadurch ift um 

zZ, +pz+ pe +... + p"z” + etc.) 


BC Hate ET, 


Pie vorher ya = AtBartz ER 
+ Mz® + etc ſo it M + 4p” + Bq”. 


Das Product (1 — pz) (1 — qz) entwickelt, 


e * 


ft =ı—@p+gz + pa ade it — 


pq = B, und daher iſt 
Par ven) 


1 
a=ze- vl“ -ß). 
aud Gleichung, 38. Damit p und q mögliche Groͤ⸗ 
gen feyn, muß — a? > B oder a >aßfm 


1m Der zu entwickelnde Bruch ſey 
“a+bz+ cz® 
‚ı—az+Pz— yz’ 
az + 62* — 2 =» oder 
— — 


ne — 23 = 0, habe die drey 
ıı 7 in) 


r | 
3 —— ungleichen Wurjeln, — = — Es ift 





— Z, und bie Gleichung 


1 1 1 

> . q » = und 
5 B 2 > . 
at 


T 


=D 636-2 


— 
— ⸗ 


I 
T 


30°... NireElaufende 


Öleihung, 60, 61. Multiplicirt man auf der einen 
Eee mit y, auf der andern mit pqr, und bertaufcht 
zugleich die Vorzeichen, fo ift ge 

I - a2 + 62 - 28 (I —pz)(1r —gz)(1 —rz), 
Die gebrochene Function Z läßt fih nun in die Brüche 





A B C 
I pZ 1—gz 1- 12 


zerlegen, worin | | Ä 
y— .‘P +bp-+c, | ag + bg + c 
ZZ — — 3 — — — — ⸗ 
(P—-qg):p—r) (4 —=Pp) (a—r) ’ 
’+-b c | | 
Be el iſt. Daraus wird das allges 
e 'q)(r—p) | 
meine Glied in der entwickelten Function 
Mz” — (Ap" + Bg® + Ezm) zu, 
12. Auf ähnliche Art wird eine gebrochene Fune— 
a+bz-+ cz’ +dz3 + etc. 
ı —az + Bz’— ya 4 etc, 
das Product aus nmöglıchen, ungleichen Factoren von 
ber Form (7 — pz) iſt, in n Brüche von der Korm 








tion ‚ deren Nenner 


— zerlegt, deren jeder zu dem allgemeinien Gliede 
— | 
Mz” einen Terminus, wie Xp” z” liefert. 


13. Der Penner des zu entwickelnden Bruches 
‘babe zwey gliche Factoren, jeden = ı — pz, fo ent 





fiehen daraus die beiden partielien Brühe — a 
gi (1 pz) 


⸗ B F J € 

+ —— , nach Function, 28, Die Zähler wer: 
I—pz. 

den nebit den Zählern der übrigen- partiellen Brüce 

auf die a. a. D. gewieſene Art beſtimmt. Da’ ferner 

((- pz)? =ı-+2pz + 3p’z‘ + (m-+ 1)p" 2” 

etc iſt, fo entſteht aus dem exjien jener beiden 


Heide. 331 


Bruͤche in dem allgemeinen Gliede Mzu der Terminus 
-(m + ı) Ap"z”. Aus dem andern kommt zu die— 
fem der Terminus QBp”z”, und der Eoefficierit von 
z= wird = (m + 1) Xp” + Bp” + Eq® 
* etc, h 

Man kann auch den partiellen Bruhh, der aus 
dem Factor (1—pz)’ des Nenners entſpringt, ſetzen 
A+ DBz 


a welcher nun 1 anflare jener beiden Brüche 


. allein. fommtr. An dem allgemeinen Gliede Mam iff 
nun der daraus entftehende . Zerminus 


= ((m + n Xp” + m Bpr)zm, 


;14s Der Nenner der gebrochenen Function: Babe 
den eubifchen Factor — pz)’, fo entſtehen daraus 


drey partielle Bruͤhhe, — — — — 


C 
+ — und hieraus in dem Coefficienten M 
— DP2 
des — Ma” aus der a Function Ber 
Terminus \ 


mpI.m7r2. 


I,2 





——— 464 ) Bpr + €p”, 
Oder man no — jener drey partiellen Di 


de ben Bud E a —— 


Auf aͤhnliche Art verfaͤhrt man, wenn noch hoͤhe⸗ 
re Potenzen eines einfachen Factors ı — pz ın dem 
Menner der gebrochenen Function enthalten find. 

15. Exempel. Das allgemeine Glied der Meis 
- Be, die aus dem Bruche — entſteht, 
oder der, Reihe | 





er 
a + 6 


F 


ı +42 + 142° ++ 4623 + i1462% 4/4542 
+ etc. anzugeben. . 
Der Menner ift das Produet (1- 22) (1— 3z), 
alſo iſt p5529. 3; und à.S 1; b — 1. 
Alio iſt in (ä0), A— — 1; BB + 2, und das 
allgemeine Glied — Ges 32" 2.53%) zu, 


Die Seale der Relation +5 — 6 


332 Ruͤcklaufende 


16, Exempel. Das allgemeine Glied der Reihe, 


1 — 2 
die aus dem Bruche RER Sach. 2 EN oder 


A, z’— 182° 
der Reihe 


1—532 * 112° + 432 T 1672? + ZI 
— etc, zu finden. 

Die Meihe felbft wird nach den Formeln fuͤr die 
Coeffieienten (6.) gefunden, da die Scale der Relation 
it + 85 — 215 + 18. Der Nenner ift gleich 
dem Producke (1 — 32)? (1-22), Man fee 

De 1 EEE 
(1 — 32%” (1 — 22) — 
A B C 

ER — — + — — 

(1 — 32) L— 32 1 — 2zZ 
Bringt man dieſe Bruͤche auf denſelben Nenner mit 
dem vorgegebenen, ſo wird dadurch 
A (1-22) + B (ı-3z) (ı-2z) + e (1-3 2)? 

= 1 —5z + 82%. .Das giebt 
| J. 4BC213 
II. — 2 — 553— 606 —5 
11.6B +08 —=$, 
Durch die Elimination zweyer- biefer ——— findet 
man die dritte. Solchergeſtalt iſt 
2 5 


+ 


A\=-; — — —3— — 


| 3 3 | 
und das allgemeine Glied der Reihe ift 


Heide, “ 333 


= [= (2m — gm +2, 2” | z", 
Se — Zerlegung der gebrochenen Function 
— A— 8z © 
(13.) in die Briche, ve Mar 
diefes Erempel 


1,2 +82 _ —utst . 2 





giebt für 





17, Der Nenner der Funetion 

Aa4 bz 

— — ab 14 * —X 

—— — babe keine me Facto⸗ 

ren, weil a® — 46 iſt, daher die Gleichung 
— F | 1, & 

u ee De, a in 





2 6., 


feine mögliche Wurzeln hat. x (Gleihung, 36 44.), 
aux [0 014 

eße — — cos, wodurch — ein eigehrli 
Man fege m: 9%, wodurch — ein eigehrlicher 
Bruch wird, der Vorausſetzung gemäß; auch fchreibe 
man £ für ß, fo daß a — 2fcosP, und 1 — az 
+ Bz? = ı — 2fcos® ,„z + fz’ ſey. Dieſer 
Größe gebe man die Form eines Products, (r — PZ) 
(1 — qz),-ebwohl die beiden p,-q unmogliche Größen 
find; pt p-+ q = 2fcosQ, und pa = f, bein 
des mögliche Größen... Aber es iſt Ä | 

 pzfosp + fing. Vv— , 

g=fcosp — fesfin. V — I. | 

Die Tunction Z wird nun wie vorher (10.) in bie beis 





A B | 
den eingebilveren Brüche, L _— zerlegt 
ee — 1 — DZ. I—U02 | 
und daher in zwey eingebildere geometrifche Reihen, des 
ren allgemeines Glied iſt | 


M2” = ip * Bg”) 2. 


334° | Dücklaufende 


Jeder der beiden Theile iſt eine —— Groͤße, die 
Summe aber iſt eine mögliche, 
| 18. Denn es iſt aus Ösniomerfrie, 100, ” 
(09 + sinpy- m" =cosmp+sinmp, V-u 
Alſo 
ß pr = ff (osm$ - sſinm. —); | 
—— (cosm® — sinmO®, V — 1), 
und Eger Ä 
— (A E B) Er 
+ en — 9) f@ sinmO®, Vv — I, 
Tun iſt oben (10.) gefunden: 








Bea, 
wann, B— — — 2» alfo ft 
pP 4. P.® R 
U+B=a muln=!etatn 
afcos6 + b 
2 fsino.V-i" Daher ift 
| afcos® +b 





' M = af"cosm ® + Te oein m di; 
Da Po A | 
sind.cosm® + cos G. sSin m — sin (m + ı)® 
iſt, (Goniometrie, 24.) fo iſt FO 

je ; b, | 
— ng(asin m r1ı)P+ g sin mp). 


Der Winkel 9 iſt durch die Gleichung, 7 2* 
cos gegeben. 

F 

49. Exempel. Der Bruch fen — 

—— —E ———— — 


;alſo 


oh ie „*: DD = 60° I 
— 9 ne 





— —— — J (m kr i mr ; 
M= RE sın IE —) 
sın * 3 3 


Die Sinus der Vielfachen von * find gleich einem 


n' 2m 3m am st 67 
der Sinus von —, —, —,.—, —, von welchen 

| 33 Er | 
die beiden erften dem sin 60°, der 4te und ste — — 
sin 60°, die beiden übrigen — © find.- Daher ift | 

ı + 2z 

1—2z + 2° 
‚+ etc. wo Die Scale der Relation ft + 13 — I, 
‚wie es auch die Divifion ergiebt. er 


20. Aus jedem Paare unmöglicher zufammengehörigen 
Factoren, welche der Menner einer gebrochenen rationas 








len Function enthält, entiteht bey der Zerlegung der 


Funetion ein Bruch von der Form 
A— Bz 
ı — >2fcos®.z + ffz” 


welcher in eine Reihe verwandelt, ein allgemeines Glied, 


M'z”, giebt, wo M’ die in 18.) gefundene Norm 


bat, und M’z® ein Theil des allgemeinen Gliedes Mzin 


der Reihe it, in weiche die vorgegebene gebrodjene 
Funetion aufgelöfet wird, ; 


Den Werth von A und B in jedem partielle 
Bruche zu beitimmen, berfahre man entweder nach 
Function, 33, oder, wenn diefer zu befchwerlich ſeyn 
follte, nach.der von Euler in der Introd, in Anal, 
Inf. $. 201 ff.. gewielenen Merbode, welche derjenigen 
in dem Arrif. Function borgetragenen analog ift. 


21. &s fey nämlich 


= (1 * 2fcos ꝙ 224 


⸗ m 


h) 


336 Muͤcklaufende 


wo P und V. zwey ganze Functionen von 2 find, und 
der dreytheilige Factor auf die in (17.) gezeigte Art 
beſtimmt iſt. Der partielle Bruch, der aus dieſem 
Faector entſteht, fen, wie vorher, ä 





A—Be — RR 
En 2fcos® ı 2 + fiza! NV re erg nzende 


Bruch zu der Function Z, Es iſt nun 

P-= UV + 8Vz + (1 — 2fcos9d,2+f29V 
Daher F — 

P— AV — BVz I 

ccos . 2. 00. 
Da Y eine ganze Function iſt, fo iſt der Zähler des 
Bruches durch den Nenner theilbar, oder enthält dene 
felben ala Factor; wird alfo = 0, wenn dieſer — 0 
iſt. Diefes gefchieht, wenn für z eine der Wurzeln 
der Öleihung, ı — 2fcos$ .z + fz’=o ge 


feßt wird: Diefe find = (cos + sınd.Y —1) 


Setzt man diefe Werthe in die Function P-AV-BVz, 
fo entſteht eine Doppelgleichung, in welcher das möglis 
che dein möglichen, fo wie das unmögliche dem unmoͤg⸗ 
lichen gleich iſt. Durch dieſe zweyfache Gleichung wer— 
den num die beiden unbekannten Größen, A, B, bei 
ſtimmt. | | : 
22. Den dembier gezeigten Verfahren, das alle 
gemeine Glied einer ruͤcklaufenden Reihe zu finden, iſt 
es hinderlich, daß die Zeifällung des Nenners in Racı 
foren von der Aufloͤſung der Gleichungen abhängt. wels 
ehe meiftens nur irrationale und genäherte Werthe der 
Wurzeln liefert. La Grange hat eine merkwuͤrdige 
und feine Methode angegeben, wobey es nicht nöthig 
ift, die Werthe der Wurzeln, welche den Penner auf 
Null bringen, zu wiffen, fondern ın jedem alle unabs 
haͤngig von dieſen Werthen das allgemeine Glied der 
Reihe durch wiederhohlte Difjerentiirung einer gegebes 
| | | nen 


Reihe. 24.837 
nen Function findetz De la resolution des equätions 
'numeriques, p- 215 ss. Daraus in Lacroix traite 
des differences et des series; artı 120. i 128. Are 
zwiſchen empfiehlt fich die Eulerifche Darftelturig des alla, 
gemeinen Gliedes dadurch, daß man das Geſetz der Tore 
mation Daran deutlichr wahrnimmt , und daß man es 
benoͤthigt ift, um swifen die Hauptglieder andere einzus 
‚Schalten. 

23. Walmesten hat ſchon früher verfucht, das 
allgemeine Glied eıner rücflaufenden Reihe zu finden ‚ohne 
die Factoren ded Menners in dem Urbruche dazu nöthig 
zu haben, in den: Mem. de l’Acı de Berlin, 1758, 
alleın feine Nuflöfung erfordert eine gar zu weitlaͤufige 
Nechnung, daß man ſich ihrer ſchwerlich wird bedienen 
mögen. 

244 Argobaſt hat in ſeinem Calcul des Deri« 
vations, à Paris ıgoo. nr. 205. das allgemeine 
Glied der Meihe, die.aus dem Bruche Ä 
at bx-+cx’-+ etc. 
«+ Pßx + yx*+ etc 
Bejrichnangeutt dargeſtellt. Der Coefficient zu. der Pos 
tenz x"in der Reihe iſt — DM, (aa), wo das c une 

\ 'G E 


enefteht, ganz kurz durch ſeine 


ter dem Derivationszeichen D das Product 1. 2, 3.. 
m bedeutet, Die Derivarion ift, wie der Punct anzeigt, 
eine sufammengefeßte, ſ. Derivationg » Rechnung: 9 
Allein es ift hier eine. doppelte Entwicklung noͤthig. Die 
Divifion wird als eine Mulciplieation mie der Funetion 
(x + Bx + ya + etc)” betrachte. Nun müffen 
erjtlich Die Derivirten, welche aus dem einen Factor, 
dem Zähler, entſtehen, beſtimmt werden, - Dieſes giebt 
den Eoefficienten, der durch A, bezeichnet werde, 

— ab” ai but. art nr. a3 eto. 


Die — aus. der entwickelten Auction 
(a + Bx + ya’ + etc)! werden aus den 


338 | Ruͤcklaufende 


Deröitins: ‚Rechnung, 21. defunden, wenn daſelbſt 
Pa a a gefet wird. 


25, ° Es braucht aber biefer, etwas verwirrenden, 
Rechnung nicht, da die bloße Diviſion, mittelſt der an: 
genommenen Form des Duntienten, das Geſetz der Coeffi⸗ 
cienten. deutlich genug zu erfennen giebt. Diefes ift in 
dem Artifel, Buchftabenrechnung, 27. Th. I. ©. 383, 
ſchon geſchehen. Vorzuͤglicher iſt der Ausdruck, der 
durch die coinbinatoriſche Analyſis (ſ. dieſe, 37. Th. J. 
S. 494) gefunden iſt. Daſelbſt ſind alle Glieder des 
Menners nad) dem erſten ſubtractiv. Sind ſie alle addi—⸗ 
tiv, ſo werden die Combinationen von einer ungeraden 
Anzahl aus 63, 7, d, €, etc, negativ. Zur bequemern 

Vergleichung mit Arbogafts Derivations-Kormel oder 
jeder andern feße ich die fünf erſten Eoefficienten im der 
— „at bx re 4 dx⸗ -etc. 
Reihe für — —— we een — her, Die Reihe 

N P + Qx + Rx? +5x5+ Tx*-+ etc. fo ift 


— aa’'A+b, 
Dash mer 
S=-a(?A—b’B +Fe350)—b (aA —6°B) 
— ca’A+d 
T=— al —b‘B +ceiC—d°D) 
me b(a5sA—63B + c$C) 
—c(a’A—b’B)—da’A-+e 
u. ſ. f. | | F 
Die lateiniſchen Buchſtaben bedeuten Combinatio⸗ 
nen der ®, Y. ö, s, etc., fo vieler als die Stellenzahl 
des Buchſtabens Einer enthält, und folcher, deren 
Summe, zufolge des Zeigers, 
»Ys O5, Eon 
1.0, 4.46% 
die dem lateiniſchen Buchſiaben beygefuͤgte Ziffer — 
Der deutſche kleine Buchſtab zeigt uͤberhaupt an, daß 
jeder Combination die Verſetzungszahl ihrer Elemente bey: 
zufuͤgen iſt. S. combinatoriſche Analyſis, 28, 29. 


* 


Fa 


Reihe. 339 


So iſt | | 
.. T=—a(e—(2fö+Y)+ 38°y— 69 

— bb —2y + —cy—Bß) 
—dß-+ ee. | 
Das. Gefes der Formation iſt ganz deutlich, 


| Wenn man zum eriten Gliede des Divifors « bez 
hält, fo werden a, b,c, d, etc, jede durch «& divi⸗ 


AB 
dire, und ſtatt A, B, C, D, etc. mwerden — 2 
x E r x* 


> = etc. gefeßt. 
a3; ; at 
Die Hindenburgifche combinatorifche‘ Formel muß 
fo wie Arbogafts Derivarionsformel durh zuſammen⸗ 
geſetzte Operationen gehen, allein bei der leßrern hälr es 
fchwer, fih von den zufammengefegten Derivationen, 
die fi) auf mehrere Glieder einer Function beziehen, 
einen netten Begriff zu machen. Auch die entwickelte 
Derivationsformel (Derivations »Pechnung, 21.) ges 
‘währt Feine helle Einfiht, wenn man. nicht bemerkt, 
daß die Kactoren zu den derivirten Größen. die volle 
ſtaͤndigen Combinarionen. einer gewiffen Gattung mie 
ihren Verfegungszahlen find. Arbogaſt bemerkt viefes 
nirgends in feinem font fehr fehägbaren Werke. Das 
ber muß er viele, theils fehr zufammengefegte Regeln 
für die Entwickelung feiner Derivarionen geben, des 
‚ren Grund man nicht anders als empirifch einfieht, 
befonders was die numerifchen Sactoren oder die Ders 
ſetzungszahlen beerifft, Es ift ein Worrheil bey der Hina 
denburgifchen Methode, daß die Kombinationen unabs 
hängig .von ihren numerifchen Fartoren gebildet were 
‚den, welches bei Arbogait unzertrennlich if. 
llebrigens iſt die Arbogaftifche Methode fehr bes 
quem, wenn unbejtimmte Functionen, wie © (a—+bx 
+ cx’ + etc); W (a + Px + yx? + etc.) oder 
noch mehrere mit einander multiplicire, oder Durch eins 
ander dividirt werden follen, | 


340. | Ruͤcklaufende 


Die Hindenburgiſche Entwickelung — Fune⸗ 
tion findet man in deſſen Systema permutationum, 
combinationum, cet. Lips. 1781. P: 78 88. und 
noch allgemeiner in der zweyten Sanitlung combinaro: 
riſch- analgtifher Abhandlungen, Leipzig, 1780, Es 
ift daſelbſt ein Bruch, deſſen Zähler und Nenner Por 
tenzen eines Polynomium find, in den vielbefaffenden 
combinatoriſchen Symbolen, auf zweherley Art, abhän: 
gig md unabhängig, in eine Reihe gebraht Die: 
völlige Entwicklung 'giebt Euler in den Calc, differ, P. 
Il. > — 


Sn dieſer Sammlung if auch eine Abe 
— von Trembley enthalten, worin gezeigt 
wird, wie man, ohne den Nenner einer gebrochnen 
Function in Factoren zu zerfaͤllen, das allgemeine Glied 
der Reihe finden koͤnne. Die Merhode iſt von den vor— 
her angeführten ganz verſchieden, und, legt den Fultris 
fhen Ausdruck des allgemeinen Gliedes zum Grunde. 
Doch beruft fie auf einer Induction. Bey Brücen 
mit bier Gliedern im Nenner (bis zur dritten Potenz 
‚von x) wird Das Geſetz (don ziemlich verwickelt, noch 
vielmehr bey Bruͤchen von höhern Mennerm Ich bez 
merfe noch bey diefen Kormeln, daß die numerifchen 
Soefficienten bey einer Reihe der zwenfen Ordnung in 
der Entwicfelung des sin (n Fı) © und sin® durd) 
den sin® und cosd (Goniometrie, 84) vorfommen. 


99. Moivre ift der erſte, welcher die einfachen 
ruͤcklaufenden Reihen (die bisher erflärten). genauer in 
Derracht gezogen hat, Vor ihm waren über einzelne 
Fälle ſolcher Reihe Bemerfungen gemacht worden, als 
von Dominicus Cafſini über die Meihe, in welcher 
jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden ift, 
"der aber doch weder ihre Summe, nody ihr allgemeis 
nes Glied anzugeben fuchte, Moivre ward ducch feine 
Beſchaͤftigung mir der Berechnung der Wahrfcheinlich- 
feier in Spielen, der Dauer verfelben bis 
zu einem gewiſſen Ereigmiß, geleitet. Die erſte Nuss 


Heide, 341 


gabe: feiner Schrift; The Doctrine of chances erſchien 
1716. In den Miscellaneis analyticis, Londini, 1730, 
trug er die Theorie der rücklaufenden Reihen, welche. 
von ihm auch ihre Benennung erhalten Haben, ausführe . 
lich vor., Er zeigte, wie die Summe oder der erzeugende | 
Bruch dieſer Reihen gefunden wird, und die Form des 
allgeneinen Gliedes durch die Zerfallung des Nenners je⸗ 
nes Bruches, der = o geſetzt wird, in binomiſche Facto⸗ 
ren. Darüber bat fich in der Folge Euler in feiner In- 
trod. in Anal: Inf. ausführlich verbreitet. | 


‘ 


28. Daniel Bernoulli machte von den ruͤck⸗ 
laufenden Reihen eine Anwendung auf die annähernde Auf⸗ 
löfung der Gleichungen, in den Altern Petersburger Comes 
mentarien, T. III. Davon unten. © 


29, La range bat ſich berſchiedentlich mit die⸗ 
fen Reihen beſchaͤftigt, zucrſt in dem eiſten Bande der 
Miscellan. Taurinensium, wo er die Erfindung des 
allgemeinen Gliedes auf Die Integration einer linearii ichen 
Gleichung mit endlichen Differenzen bringt, und diefe 
Integration auc anf Die Fälle ausdehnt, wo die Gleis 
chung, welche die elatien zwiſchen den Gliedern der 
Reihe darſtellt, eine Function der veraͤnderlichen Größe- 
zum letzten Gliede hat. Ein beſonderer Fall den Vin— 
cent Riccati in den Mem, présentés, T. V. unters 
ſucht hat, iſt, wenn dieſes letzte Qi, diefe AORMRe 
eine beitändige Größe ill. 


In den Memoiren der Berliner Akademie ehr, 1775 
ift eine tiefiinnige- Abhandlung von diefen großen Ana— 
Initen uͤber die rücflaufenden Reihen, vorzüglich über die 
doppeltin und drenfachen, enthalten, nebit Anwendungen. 
auf die Gluͤcksſpiele. In den Mein. de Paris für 1772. 
zeigt er in einer Abhandlung uͤber die Art, wie man blos 
aus Beobachtungen Tafeln uͤber den Lauf der Planeten 
verfertigen koͤnne, zugleich, wie man eine vorgegebene 
Rethe prüfen koͤnne, ob fie eine ruͤcklaufende ſey. Das. 
von handelt er auch in einer Ahtamblıag über das Ein: 


342 Ruͤcklaufende 


ſchalten in dem Aſtronomiſchen Jahrbuche der Berliner 
Akademie für 1783. Prony har gleichfalls die. Haupt: 
probleme über die ruͤcklaufenden Reihen in dem Journal 
de !’Ecole polytechnique ausführlich behandelt. 


30. 2a Place hat ſehr Fünftliche Unterſuchun— 
gen über die Doppelreihen, die er recurro-recurrentes 
nennt, angeftelle, in den Mem. presentds,. T. VI et 
VIL Er behandelt fie als einen befondern Fall der n«- 
fegrafionen von Öleichungen mit endlichen parriellen Difs 
ferenzen fir mehrere veränderliche Größen. In den 
Mem. de l’Acad. pour 1779 hat er die Materie aufs 
neue vorgenommen, und in der Theorie analytique: 
des probabilites (Paris 1814) folcye auf eıne noch alls 
gemeinere Art vorgetragen. | | | 


31. Die vorher erwähnte Anwenduna der ruͤcklau⸗ 
fenden Reihen auf die Erfindung der Wurzeln einer Glei: 
chung geſchieht folgendergeſtalt. En 

Es fey der erjeugende Bruch = 
a + bz + cz? + etc. 
I — 02 + az? — y28 + etc, 
der Öleihung, 1 — az + Axt — yz3 + eto,==o, 


„ und bie Wurzeln 


u RER 
feyn alle möglich und verſchieden, fo ift, wenn —, —, 
glich | ſch ſo iſt, — 


* | | = 
er etc. die Wurzeln derfelben find, der Coefficient 
zuzm, | | | 
M = Np* + Bg" + Er? + etc. 

Der nächfifolgenve zu Zt it 

N = Ap"tr 2’Bgutt 4 Cruta Leto 
aus (12.), Es bedeute p die größte unter den Größen 
pP» g, r, etc. alio di Eleinfte Wurzel der obigen Öleis 


Hung, fo ift p defto größer gegen die gleichnamigen Poten- 


Rebe 343 


i F 
zen von q, r, etc: je größer m ift, ſo daß für ein unende 
lich großes m, gegen. das erite Glied Ap” gie übrigen 
M — —— — 
verſchwinden, und F — F iſt. Das heißt, der Quo⸗ 


ee. 


| .. PO 
tient zweyer auf einanderfolgenden Glieder * der ruͤck⸗ 
laufenden Reihe naͤhert ſich immer mehr der klein ſten 
Wurzel der Gleihung, az + ‚Ba r Yz° 
+ etc. — 0, je weiter ‚hin die Glieder genommen wer— 
den, Will man ihre größte Wurzel haben, fo muß man 


u 5 
— == feßen, und die Gleichung für x vermittelſt der 


Diviſion durch das gegebene Glied der Gleichung auf die⸗ 


ſelbe Form wie jene bringen. 2. 


32. "Zu einer ſchnellen Annäherung wird erfordert, 
daß die größte reciprofe Wurzel p beträchtlich größer als 
die übrigen ſey, damit nuch für mäßig große m ‚das erfte 
Glied Ap” gegen die übrigen fehr groß werde. — Wenn 
eine oder mehrere Wurzeln negativ find, fo werden die 
Glieder der Reihe fich. fehr ungleihfürmig verändern, 
da die Potenzen der umgekehrten negativen Wurzeln 
wechſelsweiſe addirt und ſubtrahirt werden. — Wenn 
die Werthe zweyer naͤchſten Glieder entgegengeſetzte Vor⸗ 
zeichen haben, ſo iſt die geſuchte Wurzel negativ. In 
dieſem Kalle iſt es dienlich, eine Subſtitution, 2 = x 
— Kzu machen, fo daß alle Wurzeln der Gleichnng 
poſitiv werden (oder alle Vorzeichen abwechſeln), und k 


zugleich der Wurzel rn ſchon moͤglichſt nahe komme. — 


Die Coefficienten a, b, c, eto. im Zähler bleiben uns 
bejtimmt, doch hängt die-Annäherung zum Theil von 
ihnen ab, da die Coeffiienten A, B, C, etc. durch fie 
beſtimmt werden. Ä 


33: Exempel. Die Fleinfte Wurzel der Gleichung, 


* 


% 


ji 


344 | Ruͤcklaufende 


1 — 62 ei 823 — o iu finden, "Die Würzel derſel⸗ 
ben fü Hd die Sinus dreyer Winkel, von Deren dreyfachern 
der Sinus * = I 3 ıjl. Goniometrie 86). 

Man bilde den Bruch —————— 
62*r + 82 
und — dieſen in eine Seife Da die Coefficienten 
a, b,c, willfürlich bleiben, fo ſetze man fieo, 0,1. -Die 
Berpältniß, Scale ift +6; 0, — $. Die Soeffiriend 

fen von z in der entwickelten Reihe ſind nun: 
o, 0, 16, 36, 208, 1200, 6912, 39808, 
| 223248; et. 


Die gefuchre — Wurzel ft = — „39808. * — 
229248 za 


pm 0, 193651. Da der Winkel, ‚deffen Sinus — 


iſt, 30° berrägt, fo iſt die Fleinfte Wurzel der vorg: — 
nen Gleichung — 0, 173648, etwas wenigen kleiner 
als der gefundene Werth. 


34. —— Die groͤßte Wurzel der Sleihuns⸗ 
I — 62 * + 52° 0, zu finden. 


Man fege = * ſo wird die Slechung » * 
| a | 
6x’ "+85 ooder x + —® x. Der ers 
— SE cx? 
— * -* 
haltnißſeale iſt o, 7 * ro init inan hie deeg 
erften Glieder der Reihe x, 1, 1, fo ift die Reihe 
| 5 5 125 23 64 44 169 


1 un nn m nn 
— — 32 64 128° 256° 512* 1024°” 


68 463 35 — 
eic, r 
2048’ 4096' ——— Dieſe Glieder geben fuͤ 


zeugende es iſt - ——, umd die Ver⸗ 


Reihe. WE, 345 


die Wurzel Werthe, die, abmechfelnd größer und Fleiner 
als ı find, Die Reihe nähert fich alfo gar nicht. {gm der 
That iſt die abfolur größre Wurzel der vorgegebenen Gleis 
hung negativ, und = — sin 70° = — 0, 9396926, 
Goniometrie, IL7. N 5 | 
Man muß die erften Glieder der Reihe gleich, ſo 
nehmen, daf ihre Duotienten der gefuchten Wurzel einis 
germaßen nahe kommen, zu welchem Ende man fie auf 
irgend eine Ket vorher erforfchen muß. Man nehme die 
drey eriten Ölieder, + ı, — I, + 1 fo wırd die 


] 


Heihe folgender + dr me Leshte — 2 +3, 


— 


Bee 83 ; ‚136 _ 290 _ 493 
' 2r | FE 128° | 256° r iz, 1024 
etc. = 


Die beiden festen Bruͤche geben-für.die größte Wurzel x 
den genäherten Werth _ a1, alfo für" z den Werrh 


— Fr — — 0, 844: + welches von. dem wahren 
noch beträchtlich abweicht, Diefes rührt theils von den 
seiten Gliedern der Reihe ber; noch mehr daher, daß die 
mittlere Wurzel, nämlich, sin 50°, oder o, 766044. . 
ber gefuchten zu nahe, und zugleich entgegengefegt iſt. 


‚Die Rechnung zu erleihtern, feße man z = .- 
| | | 2x 


fo wird die Gleichung Diefe — _ 3*⸗ + x5, und 
die Verhäftniß: Scale ift 0, 3, — 1. . Man nehme die 
drey erften Glieder, + 1, — 2, + 4, um burd) ihre 
Duotienten dem wahren Werthe der Wurzel x fich zu näs 
bern , und die Reihe wird — 

F, — 2, 9-9 +14, m 25,749 
—89, + 172, — 316, + 0605, — etc, 


hier iſt x = 37, mwz = 2 0,0 
bi = WEST. 


346 | Ruͤcklaufende 


35. Man verwandle die Gleichung in eine andere, 
deren Wurzeln alle pofitiv find, dadurch daß man ſetzt 
z —=x — 1. Da alle drey Werthe von z Fleiner find 
als ı , fo wird dadurch jede der Wurzeln x pofitiv. Die. 
verwandelte Gleichung it o = — ı + 18x — 24x" 
— 8x, oder 0 — 1 — 18X + 24x — 8x°, Im 
‚ diefe noch einfacher zu machen, fege man x — $v, ſo iſt 
oS=1—9y+6oy—yi Die VBerhälmiß: Scale 
it + 9, — 6, +1. Die drey erjten Glieder der 
Rethe nehme man willfürlih an, ı, ı, 1, fo ift die 
Reihe der Koefficienten ‚aus dem entwickelten Bruche 


ah by. -poy®: _ 
— —  iefes 
| nt) Be 2 Fa de 
3, 1, 1,4, 31, 256, 2122, 17593» 145861, etc. 


7593 ’ 
nd yna nn 12061 
a Te, 483; 


.x=D, 06030741, alſo z= — 0, 93969259, 
welches mit dem sin 70° in ben Tafeln ganz übereins 
ſtimmt. 

Mimmt man die erſten drey Glieder 1, 8, 64,ſo 


en die Reihe, 
1, 8,64, 529, 4385; 36355, etc, und es fommt 


ſchon der Bruch — oder Sit, der” Wurzel ſehr 
6355 da7E | 
nahe. Es ift — =o, 1206161... 


36. Der Sall, wenn eine Gleichung zwey gleiche 
Wurzeln hat, macht Schwierigkeit, Der u von 


z® ifl, wenn die Öleichung 000) er Wurzeln, 7 ; ‚ 


bat 
M = (m P1) Xp" + Bp"” + Cq", + ei, 
und der folgende ' 
N —— (m 4 2) Ap m+I 4 Bpoeꝛ — Eg"t! + eth. 
Iſt p größer als bie andern reriprofen Wurzeln q, r, etc. 





a Hehe 347 


M I 
fo ift zwar für ein unendliches m der Quotient N ==, 


allein die Annaͤherung zu dieſem Werthe geſchieht langſam, 
da m beträchtlich größer als B werden muß. Iſt p 
eine mittlere Wurzel, fo gefchiehe die Annäherung immer 
Iangfam, wegen des Zactord’m zu A. 


37. Euler ſelbſt giebt hier Frine gehörige Auskunft, 
in der Introd. in Anal, Infin. Cap. XVH, wo die Ans 
wendung der riicklaufenden Reihen auf die Auflöfung der 
Gleichungen ausführlich gezeigt. wird. La Orange aber 
hat in der Resolution des equations numeriques ges. 
„wiefen, wie man fich hier leicht helfen Fann. Die Zaͤh⸗ 
ler der Brüche x ; > ; . muͤſſen 

an ImpZ 1ı—q2 I—1ız 

alle gleich und = 1 genommen werden. Dadurch werden 

‚ bie Coefficienten a, b, c, etc. in dern Zähler des erjeugens 
den Bruches beſtimmt. Allein diefe Brüche auf, einer« 
ley Benennung gebracht, erhalten keinen quadratiſchen 
oder hoͤhern potenzirten Nenner, wenn zwey oder mehrere 
ber Größen p, 4: r, etc. ſich gleich find, Es muß, 
“wenn in diefem alle die Zerlegung in die einfachen Bruͤ⸗ 
che Statt finden foll, der Zähler der gebrochenen Runcz 
tion mit dem Nenner derſelben einen oder mehrere Ractos 
ren gemein haben. . Das ift dann auch der Fall bey dem 
Zähler derfelben, wenn diefer zufolge der Annahme, daß 
die Zähler der einfachen Brühe — ı ſeyn, befti 
wird. Die potenzirten Factoren des Nenners Yen i 
durch die Divifion des Zählers und Nenners mit dem ges 
meinfchaftlichen Factor auf einfache gebracht, und die 
Auflöfung in eine Reihe gefchieht wie in dem Kalle, da 
Die Factoren des Nenners alle verfchieden find. ru Diefe 
ne bat da Grange beyzufuͤgen nicht noͤthig ge⸗ 

unden. 











-vatrbz L 
—— 1 — a4a2z 4622 — I pz. 





34 Nicklaufende 


4 





- —pha= +9 — pq iſt. 


Werden ni — einfachen Bruͤche auf einerley — | 
gebracht, fifa 2; b=—(p+ gg, = 


da+ bz-+ cz® a2 I 





39. 88 J 


.. 12 —.pz 
r, — 
Kıozt; eeetat: 


B=pg 7 pr qrz y=pgrift, Die drey Brüche 5 
auf gisiye Disiner a geben 13; b=— 2 
) (p +g4tr9; Be + pr tr gr; das iſt a 3;, 

i | . 


b=-— 2a;c— 


\ a + bz.-+ czU des 














| Es fen 1 — 02 + Ba’ — ya) + 028 * 
I 
I— pz garsseer gern) 


oc gleich der Summe der p, q, r, s; 6 gleich der 
Summe ihrer Binionen; y der Summe ihrer Ternionen, 
Ö dem Product aller. Bringt man die einzelnen Brüche 
auf einen Nenner, fo giebt die Bergleihung des Zaͤh⸗ 
lers mit demjenigen der gebrochnen Junction, a — 
b=—3a; =+:5d4Z2—Y7. 

41. Hieraus erhellt ſchon das Gefeß für die Coef— 
ficienten a, b, c, d, etc. hinlänglih. Man fegez = 


I y » . Fr . i 
* ſo werden die jetzt eingerichteten Bruͤche, wie folget. 








2X — A — ' Zr I 
HR Kup ag 
get — 1x Tb. 0: U 0 m. 1 
Bat By op Tran 
ee idee EEE = 


xt — axd + Pt yx +0 — —— 


A 


Reihe. 319 

“hr TER 4 PEN Den diefen Brüchen bemerke tan, 
xx—rT 0 x-—s 

daß der mehrtheilige Factor des Zählers der Differene 
tial: Kactor des Menners it. Enthält der Nenner einen 
quadratiſchen Faetor (x — p)* , fo iſt in dem Zähler der 
Sactor x — p vorhanden; iſt in jenen der Factor 
(x — pP enthalten, fo ſteckt in diefem ver Fattor 
(x — p)*, und auf gleiche Art bey Bruͤchen höherer 
Ordnungen für jeve Potenz; von (x — p), Glei⸗ 
hung, 202% | | za 

42. Das allgemeine Glied der Reihe, bie bey dies 
fer Einrichtung aus dem Bruche entfpringt, ift nun . 
(p" + q" #17 + s" + etc) x”, Die größte 
Wurzel ſey ps fo ift die Graͤnze des Duotienten 


! N ne — 
zweyer Coefficienten, —— auch in dem Falle, 


wenn die groͤßte Wurzel mehrfach iſt. Der Erpontent m 

ift Hier Fein Factor der Potenzen. 1‘ | 
43. Erempel, Die größte Wurzel der Gleichung 

x3 — 32° + 4 = o;u finden. — Es iſt nicht noͤthig, 


—— 
x mit 7 du vertauſchen, um dem Nenner die Form 
1 — 3x — 4xs zu geben, Der zu entwickelnde 
.. V 
3x — 6x | 
Bruch iſten und die Verhältnißfeale, 
ch ift ET GET Verh uißſ ⸗ 


ft + 3, 0, — 4. Die drey erſten Glieder in der 
Reihe der Eoefficienten find wie in (6,) 

A=3;B=33 —6=350733—=9.. 
Hieraus ergeben fich zufolge der Scale die folgenden, | 
15, 33,163, 129, 255, u. f. f. welche ſich alle. durd) 
3 theılen laſſen, weil die drey erften diefen Theiler haben. 
Da es bier nur auf die Verhaͤltniſſe der Glieder ans 
fommt , fo kann man Die Reihe 


I, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, eis, 








— 


350 Nücklaufende . , 


| M#.00° 0 ra 5 
‚nehmen, Die Onotienten Ir fi nb wechſelsweiſe groͤßer 


und kleiner als 2, a ift 2.eine Wurzel des Nen⸗ 
ners — — o gefeßt, zugleich aber auch des Zählers, wenn 
er — © feyn folk Daher hat (Gleichung, 185.) der 
Nenner die Wurzel 2 zweymahl, und Zähler und Mens 
ner haben den gemeinfchaftlichen Faetor xX— 2. 


Euler findet fuͤr eben dieſes —** (346) die 
Reihe 1, 3, 9, 23, 57, 135, 3135 711, 1593, 
etc. Die Quotienten bleiben immer größer als 2, und 
‚nähern fich dieſem Werthe viel langfamer, | 


> 44 Die Einrichtung, daß die Zähler der einfa⸗ 
chen Brüche jeder = ı genommen werden, gewaͤhrt in⸗ 
zwiſchen nicht die fchnelle Annäherung, welche man erhaͤlt, 
wenn die Quotienten der Anfangsglieder ſchon der ge⸗ 
ſuchten Wurzel ziemlich nahe fommen. In dem Exemi⸗ 
pel 35, ift - jener Einrichtung,. der zu entwickelnde 
Bruch — ı5y +6y 
BF n 
der find dadurch 3, 9, 15, wofür man, wegen des ges 
meinfchaftlichen Theilers x, 3, 5 nehmen kann. Die 


Reihe wird nun 
1, 3, 5» 28, 225, 1862, 154365 etc. 


„ und die Anfangsglies 


hier ift der Quotient * — 0, 1208., nicht ſo ge⸗ 


nau als der gleichiiellige in der zweyten Reihe daſelbſt 
Der folgende Quotient iſt o, 1206027. 


45. Durch die Annahme, daß die Zahler DB, 
E, etc. = r feyn, wird der Theil des allgemeinen Glie⸗ 
des, welcher aus dem möglichen Producte zweyer ums 
möglıchen Factoren in dem Nenner der zu entwidelnden 
Function entſteht, — 2 f" cos mP, (ı7.). Stk 
oder das Product der beiden unmöglichen zufammengehd: 
rigen reciprofen Wurzeln nicht größer als das Quadrat 


> 


Reihe. 46851 


jeder möglichen Wurzel, fo iſt die bisher gezelgte Me: % 
thode auch auf Gleichungen mit unmöglichen Wurzeln 
anwendbar. & | 


46. Was vorher von der Form des Zählers einer - 
gebrochenen Function, gezeigt iſt, wenn fie in einfache 
"Brüche mit dem Zähler — ı zerlegt werden foll, vers. 
dient allgemein gezeigt zu werden, | 


Es ſey die gegebene Gleichung, | 
Kar 4 Ar yet 0, - 

ihre Wurzeln fepn p, g, x, 5, eto, fo iſt fuͤr jedes x, 
Km ax 4 BR" RI 4 6x4 + etc. 
= (kp) 9 cn) (@— N), ein (1) 
wo die Anzahl der Fartoren .— m if (Gleichung, 165 
— 167). Man bejeichne duch x + u irgend einen 

andern Werth der veränderlichen Größe, fo bleibe 
x u) — az uni + Al + arm 
— ylc+ upn3+ etc. = (kFu—p)(x+u—g) 
(x +u—n) + (x+u—s) + etc. (I.), 
Beide Theile diefer Gleichung entwickelte man mach den 
Motenzen von u Was Fein u enthaͤlt, iſt die Gleis 
‚hung (L). Was in die erfte Potenz von u multiplicirk 
ift, ift in dem erften Theile der Gleichung 

mxm-a — ſm — ı)iax'""?2 + (m— 2) Bx"3 
— (m —.3) ya”* —+ etc. % | 
In dem andern Theile der Gleichung (11.) nehme man 
aus je einem der Factoten nach der Meihe das ˖ Glied u, 
- und’ laffe a in den übrigen Factoren weg, fo wird das 
Aggregat aller Produete, die in u zu multiplicıren find, 
— x—g(x—r (x—s) + et. + .(x—Pp) 
“—)&—9 ee. + —-pDG&—g) 
(x — s) tetc. + (&—p) (x — g) x—r)+eta 
4 etc. | | 
Die Producte aus u’, u3, etc. in die zugehörigen Func⸗ 
tionen von x brauchen hier nicht entwickelt zu werden, 
Da u von x ganz unabhängig iſt, fo muͤſſen ın der ent⸗ 
wicfelren Gleichung (II.) die Sunctionen von x, welche 
in diefelbe Potenz von u multiplicirt find, fich gleid) ſeyn. 


3. ——— 2 
‚Demnach ie | 


mx" — (m 1) axn-⸗ + (m — 2) px" 

— (m — 5) ya" + etc. — 3 
(x — a—n)(&—5 el + (x—p) 
k@—- nk —9)+ec +&x—-p)a@—g 
(x«—s) tea ra pP) (x4) En + etc. 
‚+ etc, II.) 

Man dibvidire die Gleichung (I. durch g Steichung 
(I), ſo iſt 


mat (m—ı) axt? (m⸗2) Axt”? - — etc, 
x” — gxmTı + — — etc, 








— — Let 
uv.) 


Diefſes ift die — — wovon einige beſon⸗ 


dere Fallei in (41.) ſchon m. find, 
Segt man x -fo if 


m-(m-ı) 24 (m-5) Re — 
L—.az + 62 — re + etc 


48. Das allgemeine. Glied der entwickelten Fune⸗ 
tion in (46.) it = (p" + g” + r" +8" + etc.) 

x von der Kunction in (47) iſt ed — 

(p" + "+2" +8" ıEocto.) zu, 

749° Ränge man das Polynomium xm — ax! 
4. Axm? — etc, mit dem-legten Sliede an, und nimmt 

zum Nenner der gebrochenen Function dieſe auf teigende 

Reihe, 

a — bx + ot — dx? -4 ex“ — etc. ſo iſt 

— b-+ 2cx — 3dx? 4ex* — etc, 
a — bx + oxt— dx’ + ext — etc 


Reihe. 383 


= — er, + rei 

wenn die hächfte — Un. x immer * Vorzeichen a 
behält. Um eine ſteigende Reihe nach x zu erhalten, 
muß man die Menner negativ nehmen, und daher auch 


die Brüche ſelbſt. en ift das algpmeste Glied — 








er... ? t 
— * + — - — * — Pr EEE WR — etc. ) xmn-x. 
RL sr, 


Hier nähert fich die Reihe der — einer abneh⸗ | 
menden geometrifchen Reihe, fo wie in — ) einer wach⸗ 


ſenden. Dort naͤhert ſich der Quotient — der größten 


Wurzel, a der kleinſten. Die Scale * Relation iſt 
— — d — e,etc 

Der Newtroniſche Satz von dem Verhalten 
der Soeficienten in einer Gleichung ju den Summen der 
Porenzen ihrer Wurzeln (Combination. 43 ) finder auf 
dieſem Wege einen leichten Erweis. Der erite Theil ver 
Gleichung (IV.) werde durch die Divifion nach ven fa 
Ienden ——— entwickelt, daß ir Bruch ſey 


2+a+24S.r- tem 


Diefe Reihe ala * wer den Penner des 
Bruchs, und feße die Eoefficienten der gleichnamigen 
Potenzen von x auf beiden Seiten gleich, fo ift 


P==a. ' 
map. 
«Q — BP .-+ 3%. 


| Be ei ZN u. ſ. f. 
Die Coefficienten a, 8, y, , etc. find die Summen 
der Unionen, DBinionen, und folgenpen Sombinationen 
der Sleihung , KU ax? 4 Bam? etc, Die 
Werthe von P, Q, RK... ergeben fich aus (48), wie fie 
in dem Art. Combin. 43. angenommen find. 
51. Der Bruch in (49. )entwicfele gebe die Reihe 
— P — Ox— Ræ — Six etc, | 


E | 3 


354 | Ruͤcklaufende | 


Diefe multiplicire man mit dem Nenner des Bruches, 
und ſetze vie Coefficienten der gleichnamigen Potenzen in 
diefem Pan und dem Zähler einander li, fo iſt 
— — bP' — ac. 
aR— bQ’— cP! + 3d. 
as’ = bR’ — cQ! 4 dP’‘ — 4e. 
uff i 
Die — Bruͤche entwickelt geben die Reihe, 


— — eng? >35 
+5 tee) x 


(5 — ⸗ etc. 
goiih “ | 
— — I, + + etc. mE, 


ip * ge - + rem. 
I 


u. + Stra SR. 
: er + + Er _ 5% 
u, — | 

Es iff a das Product aller Wurzeln, b die Sum⸗ 
men aller Combinarionen von je m — ı derfelben, c die 
Summe ber Combinationen von je m — 2; d von je: 
m —3, u. ſ.f. 


| b Mi, - 
Alfo ift — die Summe der reciproken, wie 


1 ER : — — 
7 etc. — die Summe der reciproken Binionen, wie 


| Reihe, | ö | 399 
i / 
„P4 
nen, wie — — F etc. u. ſ. f. 
pgr pıs qrs . 


I Be | Ä 
% Fr etc.; — bie Summe ber reciproken Ternio⸗ 





Doppelte zuruͤcklaufende Reiben. 


52. Eine veränderliche Größe fen eine Function 
zweyer veränderlichen x, y, und werde mitteljt einer 
Reihe durch diefe folgendergeſtalt ausgedrückt: 

A,+ Bx + Cx® + Dx’ + etc 

+By+Cxy+Dxy+ E’xdy + etc. | 
+ c’'y? — D''xy® + E’'x?y® + F’'x5y® 4- etc, 
+ D!:’y3 + E''’'xy? — Fx⸗ys + G''!x3y3 + etc, 
> etc, + etc, + etc. | 
Die Reihe kann nach drey Gegenden fortgefeßt werden, 
nachdem man die Erponenten von x allein, oder von y 
‚allein, oder von beiden negativ nimmt. 


53. Man bezeichne irgend -ein Glied dieſer Reihe 
durch Am,n, wo A einen der Eoeffeienten, m den Ex⸗ 
ponenten von x, und m den von y bedeuten. Ein andes 
tes Glied, worin die Erponenten von x und y find 
m-r und n, oder m-r und n-ı werde auf ähnliche 
Weiſe bezeichnet durch Am-:,n, und durch Am-ı,n-z. 
Es fey nun-für irgend welche Glieder die Öleichung der 
Pelation viefe, . | — — | 
0 an «Am, n - 8 Am-s,n + yAm-z,n 
+ ß' Am, n-1 + y' Am-s, n»z 

se 4 Am,n-3 
woa, 6, B', y, Y', y“ gegebene Größen find, fo 
ift die.-Meihe, m melcher jedes Glied von dem vorher 
- gehenden auf die in der Gleichung ausgefprochene Art abs 
haͤngt, eine doppelte rücklaufende Reihe, oder eine se— 
ries recurro-recurrens, 


Man bemerfe, daß in jeder Verticalreihe die 
Summe der Epponenten von x und y diefelbe iſt, und 


356 ° Sagitta. 


daß diefe Summe von dem erfien liebe an, je im ı 
abnimmt Die Reihe fann allerdings weitet torslanfen 
als hier. angegeben it. 


Diefe Reihen kommen bey ſchwereren Faͤllen in ber 
Wahrſcheinlichkeitsrechnung vor. Man ſehe die oben 
(29. 30.) angefuͤhrten Abhandlungen von fa Place und 
la Grange. Umſtaͤndlich Handelt auch davon. Nrbogaft 
in dem Calcul des derivations p. 183 — — wo 
neun Beyfpiele zugefuͤgt werden. 


Be“, ‚Eine dreyfache ruͤcklaufende Reihe iſt, wenn / 


die Stelle jedes Gliedes durch dreyerlen Stellenzahlen anı 
gegeben, und jedes Glied aus ‚geroiffen vorhergeheuden 
durch eine Gleichung mit denjelben Eoefficienten bejtumme 
wird, wie in dDieferts 
0, dA, n, + ß An. I, a, — n-i,r 
+ B' Am;n-.t, + Am-r, u, rer 
+ B"Am, a,rı + Y"Am, n-1,T-1 
+ ÖAm-r, n-1,i-i 
Die Glieder einer doppelten ruͤcklaufenden Reihe liegen 
in den Quadrat » Rächern eines Rechtecks von unbeſtimm⸗ 
ter daͤnge und Breite, die Glieder einer dreyfachen rich 
laufenden Neihe in ‚den gleichen Zellen: eines Parallelepi⸗ 
pedum von unbeſtimmten Dimenſionen; jene wie dieſe 
werden nach demſelben Geſetze aus Gliedern zufammenger 
ſetzt, die immer einerley Lage gegen Die Davaus zuſam— 
mengefegten haben. 


S. 
® u 


Sagitta iſt das Stuͤck des Durchmeffers eines 


Kreifes von der Mitte eines Bogens bis an die Chorde deſ⸗ 


felben, vonder Aehnlichkeit mır einem Pfeile fo genannt, 


Der- übrige Theil des Durchimeffers ift die Sagitta der Erz 
gaͤnzung jenes Bogens zumlimfange. Die halbe Ehorde eis 
nes Bogene iſt die mirtlere geomerrifche Proporrionale zwis 
[chen den beiden Gagitten, Die Chorde des halben Bo⸗ 


— 


Sandrechnung des Archimedes, 857° 


gens ift die mittlere Proportionale zwifchen der Gagitta 
des ganzen und dem Durchmeffer. —- Die Benennung 
fommt von den Nrabern her, zufolge Otho in der Vorrede 
ju dem Canon des Rhaͤticus. | 2 


Die Sagitta heißt auch det Sinus verfus bes 
halben Bogens, die Sage diefes Abfchnittes eines Halb⸗ 
meſſers gegen den Sinus deffeiben Bogens anzudeuten. 
"Als Sagitta bezieht fich der Abſchnitt auf den ganzen os 
gen, als Sinus yerfus auf den halben, 


Man Fan hberhäupt die Abeiſſe eines Durchmeffers 
einer krummen Linie, von deſſen Endpuncte an, die Gar 
gitta des Bogens zwiſchen den Endpuncten der- beiden 
gleichen, entgegengefegten, zugehörigen Drdinaten nennen, 

auch wenn der Ordmaten-Winkel ein ſchiefer iſt. 


Sandrechnung des Archimedes iſt die von 
dieſem Geometer angeſtellte Berechnung einer Zahl, wel⸗ 
che groͤßer iſt als die Anzahl aller Sandkoͤrner, welche 
der Weltraum nach feiner Annahme der Größe fallen 
fann. : Ec hat darüber eine Fleine Schrift aufgeſetzt; 
Wayırıg, arenarius, betitel. Die. DBeranlafjung 
war, daß einige Leute geäußert haften, der Sand ſey 
nicht zählbar. Archimedes widerlegt dieſes, und zeigt, 
daß man. durch Hülfe einer geometrifhen Progreffion 
tiber jede noch fo große Zahl hinausgehen, und eine groͤ⸗ 
ßere auf eine faßliche Weiſe darſtellen koͤnne. ©. Arith⸗ 
metik, Th. J. ©, 183. Die kleine Schrift iſt auch zur 
Geſchichte der alten Aſtronomie brauchbar. 


Saͤulenzahl, Columnarzahl iſt das Pros 
duct aus einer Polygonalzahl in ihre Seite. ZB. die 
Trianqularzahlen find ı, 3, 6, 10, 15, etc. fo find die 
zugehörigen Saͤulenzahlen 1, 6, 18, 40, 75, etc, 
Diefe Formen von Zahlen heißen nady der Anzahl der 
Winfel in dem gleichnamigen Vielecke, drepfeitige, vier⸗ 
feitige, u.f fe Säulenzaßl. Die allgemeinen Formen er: 
hält man aus den Kormeln für die Polngonalzahlen (Th. 
III, ©, 824.) in die Seite oder Wurzel r. Gegenwärtig 


f 


358 Stalenum triangulum. 


macht man feinen Gebrauch von diefen Formen der Zah—⸗ 
len, Man ſchreibt fie dem Maurolycus zu 


Scala relationis, fs rücklaufende Reihe. 
. / 


Scalenum trian gulum, ungleichſei⸗ 
tiged Dreyef, von axaAyvas, ſchief , ungerade, was 
ungleiche Schenkel hat, N 


Scenographia if die nerfpectibifche Abbils 
dung eines Körpers auf einer ebenen Flaͤche, nach Vi⸗ 
trubd, L.I. c. 2, frontis et laterum abscedentium 
adumbratio, ad circinique centrum omnium line- 
arum responsus, im Öegenfaße gegen Ichnographia, 
Grundriß, und Orthographia, Aufriß. - Der Herleis 
tung zufolge bedeutet Scenographie die Abbildung eines 
Zeltes oder einer Hütte, daher dann auch theatralifche 
Miahlery. Die älteften Theater waren nur eine Art 
von Hütten. | 


Scenographum catholicum nennt Niceron in fei 
nem Thaumaturgo optico, p. 191. ein Inſtrument, 
womit ſich alle Arten perjpectivifcher Zeichnungen bewerf: 
ftelligen laſſen. Es ift von einem Slorentinifchen Mad: 
' der, Lodovico Eigolo, erfunden. 


Scheitelpunet (vertex) an einer geometriſchen 
Linie iſt der Endpunct eines Durchmeſſers. — An einem 
Dreyeck die Winkelſpitze, welche einer als Grundlinie be⸗ 
trachteten Seite gegenüber liegt — an einem Kegel der 
fire Punet, durch welchen die die Kegelfläche befchreibende 
gerade gebt — an einem Konoide der Endpunct des 
Durchmeflers, um welchen die daffelbe beſchreibende Fi⸗ 
gur herum gedreht wird. 


Schema irgend eine geometriſche oder mathe⸗ 
matiſche Zeichnung. Sonſt auch Diagramma. 


Schenkel eines Dreyecks (ebenen geradlinichten 
oder ſphaͤriſchen) ſi nd die beiden Seiten, welche von dev 


Schief. 369 


zur Grundlinie angenommenen Seite nach dem gegenuͤber 
liegenden Winkelpuncte gezogen ſind. | 


Man gebraucht den Ausdruck auch) von weh Zwei⸗ 
gen einer krummen Linie, die neben einem ucchmefler 
binlaufen. 


Schief iſt eine gerade Linie gegen eine andere, 
wenn ſie mit derſelben keinen rechten Winkel macht, das 
J entgegengeſetzte von ſenkrecht. 

Ein ſchiefer Winkel iſt ein Winkel, der kein rechter 


iſt, der ſpitze oder der ſtumpfe. 
Schlangenpunct, ſ. Wendungspunct. 
Schneckenlinie, ſ. Spirale. 


Scholium, Anmerkung, iſt ein Zuſatz zu einer 
Erklaͤrung, einem Lehrſatze oder der Aufloͤſung einer Aufs 
gabe, worin etwas zur Erläuferung vorgefragen wird,, 
es beftehe in der Beſeitigung einer Schwierigkeit, oder 
der Anzeige, wie man auf den Beweis oder die Aufloͤ⸗ 
fung gefommen fey, oder ed abändern fünne, oder der 
Mittheilung einer literarischen Nachricht, oder der Anz 
‚gabe des Gebrauchs, und der Verbindung einer Lehre 
“mit andern. Wolf hat dergleichen Anmerkungen, dic er 
durch die Benennung, Scholium, unterfcheidet, in ſei— 
nen Lehrbuͤchern viele. In der That find vergleichen Ans 
merkungen, befonders für einen Anfänger, fehr nüglich 
und gewähren zugleich eine angenehme Abwechslung. 


Scholien heißen auch in der alten Literatur die Anz 
merfungen, weldye über einige claffifhe Schriftftellee _ 
von den Commentatoren gemacht find, . 


Schwerpunck in geometrifhem Sinne ift für 
mehrere in einer Ebene liegende Puncte derjenige Punct, 
deffen Abſtand von einer in der Ebene will£ürlich gezoge⸗ 
nen geraden finie das arichmerifche Mittel der Abftänpe 
der gegebenen Puncte von eben der Linie iſt. Liegen die 


360 | : Schwerpunkt, 


gegebenen Puncte nicht alle in-derfelben Ebene , fo wer: 
den ſtatt der Abſtaͤnde von irgend einer geraden Linie die 
Abflänte von. irgend einer Ebene genommen. Betrach— 
ter man Die gegebenen Puncte als vielfache, und legt 
ibnen in diefer Ruͤckſicht einen numerifchen Werth bey, 
fo wird, um das arithmetiſche Mittel der Abftände zu 
‚ finden, der Abitand jedes. Puncts in den ihm zufoms 
menden numerifchen Werrh multipliciet, und die Summe 
(die algebraifche namlich) diefer Producte mit der 
Summe der numerifchen Kactoren dividitt. | 


In ſo fern es nun (nach der Methode des Lin: 
theilbaren) verſtattet ift, Linien, Tlächen und Körper, 
als aus Punicren, Linien und Flächen zufammengefegt 
anzufehn, Fann man auch den Linien, Slächen und Kür: 
pern einen Schwerpunct in geometrifhem Sinne zu: 
fhreiden. | | 


Da dem Schwerpunete im ftatifchen Sinne meh⸗ 
rere merkwuͤrdige rein geometriſche Eigenſchaften zu— 
kommen, worunter die in der obigen Erklaͤrung aufge— 
führre eine der vorzüglichften ift und fich zuerft darbies 
tet, fo iſt die Betrachtung und der Gebrauch deſſelben 
in der Geometrie nicht nur nicht zuläifig, fondern viele 
mehr noͤthig. Man würde ſonſt die Gäße, welche 
jene Eigenfchaften ausfagen, nur auf eine hoͤchſt weit: 
fchweifige, befchwerliche und dunfle Art vortragen müf 
fen. Carnot und L'Huilier haben daher, jener in der 
Geometrie de Position, diefer in den Elemens d’A- 
nalyse Geometrique et d’Analyse algebrique, 
Paris 1809. den Schwerpunct unter dem Mamen 
des Mittelpuncts der mittleren Entfernungen in bie 
Geometrie eingeführt, | 


Um das Geſagte über die Aufnahme des Schwer, 
punets in die Geometrie zu rechtfertigen, bemerfe ich 
nur, daß der Mittelpunce des Kreifes, welcher der ges 
‚omerrifche Ort der Puncre ift, für welche die Summe 
der Quadrate der Abftände irgend eines derfelben von 


Sciagraphie, 361 
ſo viel gegebenen Puneten (in einer Eben) als man 
will, eine. beftimmte Größe hat, der Schwerpunet der 
gegebenen Puncte if. Auch in dem Falle, wo bie 
Summe der Näunte, welche zu den Quadraten der Ab: 
ftände gegebene Verhaͤltniſſe haben, eine beſtimmte Groͤ⸗ 
fe hat, iſt der Schwerpunct der gegebenen Punete für 
die Zahlwerthe, welche den Erponenten der gegebenen 
Berhältniffe gleich find, der Mittelpunct des Kreifeg, 
welcher der geſuchte Dre iſt. | | 

Andere Säge, welche leicht aus der geometrifchen 
Betrachtung des Schwerpuncts fließen, in den Arti— 
fein; Vieleck und Vieleckiger Körper 


Sciagraphie iſt daſſelbe⸗ was Gnomonik. Die: 
fen Ausdruck, oder den, Sciographie, findet man auch 
in einigen Ausgaben des Virruw,"ftart Scenographie, 
aber unrichfig. Gesnerussin 'Thesäura-schol, s. voce 
Sciagraphia, Perrault in feiner Heberfegung des Vi⸗ 
ud, p 1% = 2 . 

Saeeöante iſt erftlich eine ‚gerade Sinie, welche 
eine krumme Linie in zwey oder mehrern Puncten trifft. 
Durch die Drehung um einen beſtimmten Punct, oder 

durch paralleles Fortruͤcken wird aus der ſchneidenden 
häufig eine beruͤhrende oder eine Afpmptote, die auch 
als beruͤhrende an einem unendlich entfernten Puncte 
angeſehen werten kann. — | 

Wenn die Frumme Sinie ein Kreis iff, und die. 
Secanten durch einen fixen Punct gizogen werden, fo’ 
it das Rechteck von ven Abſchnitten zwifchen dem 
Punete und dem Kreife unveränderlih, und gleich dem 
"Quadrate der berührenden, (Kreis, 35. 37.) — Der 

Winkel zweyer Secanten bat zum Maße den halben 
Ulnterſchied der zwifchen ihnen enthaltenen beiden Bo⸗ 
gen, (Kreis, 37 191° J 


Secante als trigonometriſche, zu einem Kreis⸗ 
bogen gehoͤrige gerade Linie, iſt die aus dem Mittels 
puncte eines Kreiſes durch den einen Endpunct des 


362 Secante, 


Bogens bis an die berührende an dem andern End: 
puncte gejogene gerade, wie CT (Fig. 56. Tab. XIL 
Th. IL) in Beziehung auf den Bogen AF. Die Su 
cante durch den Halbmeſſer Dividirt ift Die eigentliche, 
numeriſche, Secante. ſ. Goniometrie, 10. 12. Es iſt 


secA = = Zyd + tangA?®). 

Die Gecanten fommen juerft in des Rhatieus 
und Otho großem trigonometriſchen Canon vor. Hut— 
ton ſagt in der Vorrede zu feinen trigonomerrifchen. 
Tafeln, daß Maurolycus, aus Mefiina, die Secanten 
eingeführt, und die Tafel derfelben die Tabula bene- 
fica genannt habe,  $ansberg, füge er Hinzu, habe 
die Berechnung der Gecanten irrig dem Rhaͤticus zus 
‚gefchrieben. . Das Jahr, in weldyem. jene Tafel der 
Secanten erfchienen ift, weiß er nicht anzugeben. Als 
lein Otho, der in der Worrede zu dem Opere Pala- 
tino die Gefchichte der pon Rhaͤticus -unternommenen 
Berechnung eines großen trigonometrifchen Canons ers 
zahlt, berichtet hier ganz beftimme, daß Nhäticus zu: 
erit die beiven Katheten eines rechtwinkligen Dreyecks 
fuͤr die: Hnpotenufe 10000000 berechnet habe, dann 
Die Katheten, wenn eine derſelben 10000000 genom⸗ 
men wird, d. i..die Tangenten ober die von ihm ge: 
nannte Tabula foecunda; darauf habe. derfelbe es 
noch für nüslich gehalten, die Hypotenuſe für eine der 
‚Karheren = 10000000 gejeßt, zu berechnen. Man 
ſieht, Rhaͤticus iſt nicht von einem Kreife, fondern 
von einem rechtwinfligen Dreyecke ausgegangen, für 
welches er drey Sanones lieferte, die er Series nannte, 
f. Th. 1. ©. 671. Er har von des Maurolycus Ars 
beit nichts gewußt, 

Don der Eurve der Secanten f abbildende Linie, 
Th. III. 480. 

Sechseck, f. Viele. | 

Sechzigtheilige Brüche und Repnung, 
ſ. Seragefimale. 


\ 


Sectio.- ‚ 363 


Sectio, CDarchſchnitt, Th. I. ©. 940. 
Dazu feße man oh den Durchſchnitt zweyer Körper, 
welchen man auch als den Durchfchnitt der fie begräns 
zenden Oberflächen betrachten Fann, wovon in dem Ars 
tifel, Erumme Släche, 120 — 125 gehandelt if» Bon 
den Durchſchnitten der Konoiden und der Flaͤchen des 
jwenten Grades f Konoid und Frumme Fläche, 101 
— 111. 

Sectio bedeutet auch Eintheilung einer geraden 
Linie, oder auch Abfchneidung eines Stückes auf zwey 
gegebenen nach gemiffen Berhältniffen, worüber bie 
Alten. mehreren Gattungen von Aufgaben vorgetragen 
haben, nämlich Sectio determinata, beflimmter Schnitt, 
(Th. J. ©. 293.)5 sectio rationis; sectio spatii, 
(2%. I. ©. 113. 115.), Die Aufgabe. bey Euflives 
II. 11. oder VI. 30. iſt fonft auch bisweilen sectio 
divina genannt, f. Th. I. ©. 109. 


Sector ift ein Theil einer Rreisfläche zwiſchen = 


zwey Halbmeſſern und dem von diefen eingefchloffenen 
Dogen. Wenn ber Halbmeffer — a, und der Wine 
Tel der beiden Halbmefjer — © ift (180° — 3, 141 
...—r gefegt), fo iſt der Inhalt des Sectors — 
‘zaa9. Es iſt naͤmlich © der Bogen zu dem Winkel 
für den Halbmeffer — 1; a® für den Halbmefjer — 
a, des Kreifes Flaͤche — maa Quadratur, 13.), bet 
Sector = 3 aaQ (Kris, 10.). 


Serumde, der fechzigfte Theil einer Minufe, 
welche ver fechjigfte Theil eines Grades oder einer 
Stunde ift, eigentlich minutum secundum, fo wie 
die Minuten eiaentlih minuta priana heißen, indem 
Minute nur einen Fleinen Theil eines ganzen anzeigt. 
Man Kat gegenwärtig auhb Decimal:Gecunden 
oder vielmehr Centefimals&ecunden, deren 100 
auf eine Minute gehen, fo wie 100 Minuten auf einen 
Grad, den 100 Theil des Quadranten oder auf eine 
Stunde, den zoten Theil eines Tages gehen. ©, 
Maß. Th. EIL, 594 599-; | 


364 Secgment. 


Die Bezeichnung fuͤr eine ſechzigtheilige Secunde 

geſchieht durch zwey Strichelchen, z. B. 16“. Kür 
die Centeſimalſecunden iſt Feine Bezeichnung noͤthig, da 
fie durd die Stelle der Ziffern fich kenntlich machen, 


Segment, Abſchnitt einer Curve zwifchen eis 
nem Bogen und deſſen Ehorde, auch wohl zwifchen 
zwey parallelen Chorden. | | R 


Sehne, Chorde, eine gerade von einem Dunete 
einer krummen !inte zu einem andern. - 


Seite (latus) einer Figur ift die Begränzung 
derſelben zwifchen zwey naͤchſten Puncten. | 


Seite einer Polygonaljahl, oder ihre Wurzel 
iſt die Anzahl der Glieder aus der zugehörigen Reihe, 
wovon fie das fummacorifche Glied iſt. 


Seite einer Potenz: ifihre Grundzahl oder Wurs 
jel. Bey den Quadratın und Eubis fieht mat gleich, 
wober die Benennung für die Örundzahl entjtanden ift, 


Semiordinate wird jest Ordinate genannt. 
Die Alten nannten die parallelen Chorden, welche von 
einem Durchmefjer halbirt werden, Ordinaten zu dem 
Durchmeſſer. S. Didinate, 


Semiparabola iſt von einigen eine pas 
rabolifche Linie genannt, deren Gleichung it ax: — 
y”, wo der Exponent der Abfeiffe um x kleiner ift 
als der Erponent der Ordinate. Die Benennung if 
‚nicht mehr gewoͤhnlich, auch nicht fehicklich. 


| Senkrecht iſt eine gerade Linie auf eine an: 
‚dere, wenn fie. mit derfelben einen. rechten Winkel 
macht. Auch eine krumme Linie ift auf eine gerade 
fenfrecht, wenn ihre berührende in dem Durchfchnitts: 
puncte mit der. geraden- einen rechten Winkel macht. 
S. Winkel, 5 | 


⸗ 


Senkſtrich. 365 


Senkſtrich ‚ eifie gerade, auf eine andıre Yu 
vecht gezogene, Linie, 


Series, f. Reihe. 


Sesqui, ein lateiniſches Wort, welches nur 
in Zufammenfegungen gebraucht wird, Verhaltniſſe ans 
jugeben, al$ ratio- sesquialtera dad von 1: 13 oder 
2:8: sesquitertia Das von ı : 13 oder 3 145 ses- 
quiquarta das von ı : 14 oder 4:5, 1m f. f. Am 
 Griehifchen Aoyos Yruokıos = 2:3; Aoyog' ErITQI- 
vos = 3:43;5-.A0y0$ Emoyboog — == 59, Dergleichen: 
Penennungen kommen in der Theorie. der Mufif bey 
den Griechen vor. Die bier angegebenen Verhaͤltniſſe 
ſind die der Quinte, der Quarte und des groͤßern gan⸗ 
zen Tons. 


Sexageſimal- sder Sexagenal-Bruch, 
it ein Bruch, deffen Menner 60, over eine Potenz 
von 60 ift, Der Gebrauch diefer Bruͤche ift in der 
Aftronomie, da bisher der Giad in 6o Minuten, die: 
fer in 60 Gecunden, diefe in 60 Zertien getheilt find, 
Die Rechnung mit denfelben iſt unbequem, beſonders 
bey der Multiplicarion und Divifion. Zur Erleichtes 
rung berfelßen hat man eine Multiplicationstafel bes 
rechnet, wovon ein Stuͤck hier zur Probe beygefüge iſt. 


24) 25 | 26 | 27 | 28 
231 8. 49 


241 9. 127 9. 36 
25] 9. 35jıo. 010. 25 


26| 9. $8110, 24110. 50111. 16 





27710. 21110, 48111. 15111. 42|12. 9 











28110, 44lıı1, 12lı1. 40/12. 812, 36lı3. 4 
Zar, Tiıt, 36l12, 5slı2. 34113. 3,13. 32 
Sa RI, 30l12. Glı2. 30113, Olı3. 3ol14 O 


360 Sexageſimal⸗Bruch. 


Die Zahlen in dieſer Tafel, ſind die Quotienten der 
Producte aus den Ordnungszahlen der beiden Reihen, 
deren Winkelfach ſie einnehmen, durch den Diviſor 60, 
wo der Reſt durch einen Punet abgeſondert iſt. So iſt 


‚28.26 728 8 
12.838 = — = —on2-, | 
— * * 2 Jede Eolumne 


(herabgehende Reihe) faͤngt mit dem Quadrate ihrer 
Ordnungszahl, durch 60 dividirt, an, weil kleinere Pro: 
ducte in der Eolumne den dem — Factor vorkommen; 


4x2 
i B. das Product — hat man in der Columne 


24 und der Reihe 27, von oben herab. sel zu 
fuchen. 

Eine folche Tafel ift in dem nach Wolf genannten 
mathematifchen Lerifon, IL. Th. zu ©. 485, anzutreffen. 
Ein Einmahl Eins für die Seragefimalbrüche‘, worin jes 
des Product zweymahl vorkommt, findet man in Wus 
herers Beytraͤgen zum allgemeinen Gebrauch der Des 
eimalbrüche, Carlsruhe, 1795. Die Vertheilung auf 
Deravblätter ift bequem, und Mradte die Wiederholung 
mie fich. Ä 


Bedeutet der Zeiger ber Reihen, nad der einen 
- oder der andern Richtung, (von oben oder von der Seite: 
her), genommen; Minuten (Gecunden),, nach der ans 
dern Nichtung eine abitracte Zahl, fo giebt ihr Winkel: 
fach die Grade und Minuten (Minuten und Gecunden) 
in dem Producte an. Z. B. 26 x.28' = 12°. 8, fo 
wie 26 x 28 = ı2'. 8", 


Wenn beide Factoren benannte Seragefi nalgrößen 
find, fo muß man ven einen Sactor als einen abftracten 
"Bruch anfehen, da zwey benannte Zahlen, als ſolche, 
nicht mit einander multıplicirt werden Eönnen. Man hat 
nur das Product, welches die Tafel zu dem Zähler diefes 
Factors angiebt, eben fo zu erniedrigen, als es mit dem 
Factor geſchehen iſt. Z. B. 261 x 287 = 12 8", 


Seragefimal- Rechnung. 367 


oder 26° 28 — 12° Kg, Einer der Factoren bes 
zieht fich immer auf eine gleichartige Größe, welche dus 
erfte Glied eıner Proportion ift, worin die beiden Facto— 
-ren das zweyte und dritte auemachen, daher man- jene 
und den darauf fich beziehenden Faetor als bloße Zahlen 
anfehen darf.- Macht man jene zur Einheit, fo wird 
diefe ein bloßer Bruch, i 


Sexageſimal⸗Rechnung iſt das befondere 
Verfahren mit Seragefimalbrüchen zu rechnen. Bars 
Iaam (ein Mönch aus Salabrien im ı ten Jahth.) hat 
fie im feiner gogiftif, einer eheoretifchen Arithmetik, vorz 
gerragen. Er nannte fie die aftronomifche Zogiftif, wer 
gen ihres großen Gebrauchs in der Aftronomie. Lazarus 
Schoner hat feiner Ausgabe von der Arichmerif und ' 
Algebra des Ramus, Sranffurt 1586, eine Abhand: 
Jung über die Logistisa sexagenaria,bepgefügt. 


Diefe Rechnungsart ift der gemeinen Decimalrechs 
nung ganz ähnlih. So wie hier zehn. Einer einer Ord⸗ 
nung einen Einer der nächft höhern Ordnung ausmachen, 
fo geben in der Sexageſtmalrechnung fechzig Einer einer 
Ordnung einen Einer der naͤchſt höhern. Die Ausfüh: 
rung der letztern iſt nur oft befchwerlicher, wegen dieſer 
Menge von Theilen, welche jede Gattung von Einern 
enthaͤlt. | . 

Erempel der Multiplication.e Es foll die vierfe 
Proportionale zu 60' 0%; 46' 12; und 8’ 7'' gefuns 
den werden. Das Product des zweyten und dritten Ölies 


des befteht aus 
a6 3 gt ze - 6.8" 
123 > 8! = 1. 6 
46 x.7" = 5.22 
ı2' > a. — F I. ag 
Produ = 61459 24" 


Diefes Product ift zugleich das geſuchte vierte Glied 
der Proportion, da die Multiplicaroren 46° und 12“ 


⸗ 


— 368 Sinus. 


- 


46 20 
zwey Briche _ „ un — ohechnem, indem das 


60 
erſte Glied, 6ol, der Einfeit, = ‚gleich Die Ein: 


heit führt hier den Nanten a —* 


Die logiſtiſchen Logarithmen (Th. It. S. 
588.) dienen noch mehr als die Tafel zur Erleichterung 
der Rechnung. Das hier berecpnete Exempel ift a. a. O. 
das erſte. Jenes friffe mit diefem fo nahe zuſammen, 
als es bey der Rechnung mit abgefürjten we 

nur zu erwarten iſt. 


Won den Rechenſtaͤbchen zur Seragefimal 
Rechnung ſ. Th. II. S. 741. 


Wenn das erſte Glied der Proportion Minuten und 
Secunden enthält, das zweyte 60° iſt, ſo bringe man je: 
nes auf Ganze und Sechzigtheile, dieſes auf 60 Einer 
oder Ganze, und verfahre auf ähnliche Art wie. bey der 
Divifion durch Einer mir anhaͤngenden Zehntheilchen. So 
auch in aͤhnlichen Faͤllen. Hier ſind die logiftıfchen dee⸗ 
rithmen vortheilhaft zu gebrauchen. 


Siebened, . Vieleck. 


Sinus eines Kreisbogens, oder dee — 

Winkels am Mittelpuncte, iſt die Hälfte der Cborde des 
verdoppelten Bogens. Dieſe Erklaͤrung iſt in der Form 
‚von der in Goniometrie, 5, gegebenen verſchieden. Sie 
giebt die Anficht, wodurch diejenigen, welche die Sinus 
anſtatt der Chorden in die Trigonomefrie einführten, da: 
zu veranlaßt wurden. In der alten Trigonomerrie, bes 
diente man fich der Chorden, wo wir die Ginus gebraus 
chen, mußte aber deewegen die Winfel verdoppeln, um 
die Chorden zu ihnen zu fuchen. Diefes erforderte Tas 
feln durch den ganzen Halbfreis. Kürzer war es, unmit— 
telbar für die Winfel oder Bogen die zugehörigen halben 
Chorden ihres Doppelten anzuzeichnem, deren Zafel fich 
a i auf 


/ 


Sinus, 369 
\ 
aufden Quadranten befchränfte, und auch dadurch beque⸗ 
mer ward. Dieſe Abannerung ift von arabifchen Aſtro⸗ 
nomen borgenonmmen worden, man weiß nur nicht nz. 
her, wann und von wem. In Kaͤſtners geometrifchen 
Abhandlungen, erſter Sammlung, ©. 530, ift aus 
ber latemiſchen Überfegung einer Schrift des vorzuͤgli⸗ 
chen arabiſchen Aſtronomen, Albaregnius oder Als 
Batani (9. Jahrh.), eine Stelle angeführt, worin diefer 
ſagt, die Araber gebrauchten die Hälfte bon der Chorde 
des Doppelten eines Bogens, welche fie in der Zafel nes 
beit dieſem Bogen festen. Dadurch erfpare man fich die 
Verdoppelung des Vogens, in befonderes: Kunſtwort 
gebraucht er night. | : | | — 
Die Herleitung des lateinischen Kunſtwortes, 8i- 
Nus, iſt ſchwierig. Godin hat eine witzige Muthma⸗ 
ßung darüber vorgetragen. Da die Chorden der Bo— 
gen im Lateiniſchen auch Inscriptae heißen, fo habe man 
ihre Hälften, die Sinus, Semisses inscriptarum ges 
nannt, und dieſes abgefürzt S, ins. gefchtieben, worans 
dann das WortSinus entftanden fen. Die Benennungen 
anderer goniomerrifchen Linien, Cofinus, Cotangens, Co⸗ 
fecans ‚. find wirklich 3 ‚fammenziefungen bon Co. Sinus 
d. i. Complementi Sinus, uff © 
Hutton führt in der Vorrede zu feiner Nusgabe 
ber trigonometriſchen Tafeln mancherley Erklärungen 
anderer, auch einige Muthmaßungen von ihm felbit an, 
fchließt aber mit der Bemerkung, daß das Wort Sie 
nus im Lateiniſchen demjenigen Worte enrfprechen 
möge, welches die Araber für die dazu bezeichnete Lie 
nie eingeführt härten, wie dann auch eine folche Älbers 
ſetzung wirklich bey dem Worte Sagitta Statt gefuns 
den habe, welches und Sinus versus, nad} der Angabe 
des Otho in der Vorrede zu dem Canon des Nhärieus, 
bon den Arabern herrüßten | 
Das arabifhe Kunſtwort giebt Halley an, in 
einem Scholion zu dem eriten Gage des III. Buches 
der Sphaericorum des Menelaus, wovon Bier mie 
— | Aa 


30 Sinus. 


der orientalifchen Literatur der Mathematik ae vers 
traute Gelehrte eine Musgabe geliefert hat, ben welcher 
hebräifche und arabifche Manuferipfe verglichen find *), 
Er fage, er habe das Kunftwort des bebräifchen Üher— 
fegers für die Ehorde eines doppelt genommenen Bogens 
immer durch Sinus gegeben, zur Übereinjtimmung. mit 
den neuern Machematifern, wie es auch der arabifche 
Überſetzer gethan habe, deffen Kunftwort er daben an: 
führe. Mic tateinifhen Buchftaben gefchrieben, lautet 
eö dschaib, Diefem legt Golius in feinem arabifchen 
Woͤrterbuche, (nach der Angabe eines gelehrten Sreundes), 
pag. 560, die Bedeutungen bey: sinus inducii ves- 
tisque, seu collare ad jugulum patens. Etsinus 
apud Geometras, 1. e. semissis rectae circulo in- 
scriptae, a diametro per medium sectae, ‚Radix ( 
“ est dschaba **), secuit, 


Man fieht, daß der arabifche Geometer fein Kunfts 
wort von einer Aehnlichkeit des Kreis: Einfchnirtes mit 
dem Einfchnitte eines Hemdes hergenommen hat; allein“ 
eine Herleirung des Isteinifchen Kunſtwortes erhalten wir 
hieraus noch nicht. Der Einſchnitt eines Hemdes heißt 
im Lateiniſchen nicht sinus, wie Golius hier das Wort 
gebrauchen will. Bey einem Kleide angewandt bedeutet 
es die Hoͤhlung, die man mit dem einen untern Ende ei⸗ 
nes weiten, vorh offenen Kleides (einer Toga) vor der 
Bruſt maden kann, um darin efwas zu verbergen, das 
ber auch die Bedeutung, Meerbufen, entjtanden . ift, 
Derjenige, der das arabıfche Kunſtwort lateinifch hat ges 
ben wollen, fand etwa feinen, ihm gefallenden Ausdruck, 
der das Eingeſchnittene darftellte, und feßte dad, mas 


hinter dem Sinfchnitte des Hemdes ıft, den Buſen des 


Körpers, Sinus, für den Ausdruck des Araberd. Mit 
der zweyten bedeutung des Worts, Sinus, ift eg in der 
That eben fo gesangen. 


*) Pfleidererd ebene. Trigonometrie, Tübingen , 1802. ©. 16. 


*) Der Buchſtab der Araber, der bier durch dsch ausgedrüdt iſt, 
entſpricht gekaner dem re g vor. e und i i. 


* Sinus. 371 


Wenn auch dieſe Etymologiſirung fehlen ſollte, fo 
iſt das Beſte, daß die Frage nur eine literariſche Ergoͤtz⸗ 
lichkeit betrifft. Was Kaͤſtner in ſeiner Geſchichte der 
Mathematik, Bd. J. S. 523, nur angedeutet bar, ift 
hier weiter ausgeführt worden, 


Sinus naturalis ift die durch den Halbmeſer als 
Einheit in der Geſtalt einer gebrochnen Zahl dargeſtellte 
$inie; sinus artificialis iſt der !ogarichmus diefer Zahl⸗ 
größe. So erfcheinen die Sinus in unfern he 
fchen Tafeln mir ihren Logarithmen verbunden, Mehre⸗ 
res in dem Artikel, Trigonometrie. 


Sinus rectus iſt eine Benennung biefer Linie in 
Beziehung auf den Abſchnitt des einen Halbmeſſers zwi⸗ 
fehen dem Sinus‘ und dem —— welcher Sinus 
versus heißt. 


Sinus versus, Querſinus, als der Abſchnitt, wel⸗ 
chen der Sinus eines Kreisbogens auf dem einen Halb⸗ 
meſſer von dem Endpunete deſſelben an macht, iſt der 
Unterſchied zwiſchen dem Halbmeſſer und dem Coſinus, 
oder sin. vers, A = ı — cos A. ‘Sn einigen tri⸗ 
gonometrifchen Tafeln ift ein Canon der Duerfinus ents 
halten, 


Auch ift sin, vers. — — 3 (sin 4 A)®. —. Denn 
die Chorde eines Bogens A iſt die mittlere geometrifche 
Proportionale zwischen dem Durchmeffer und dem Sinus 
verfus (Sagitta). Auch ift fie = 2 sin ZA. Man 
nehme den Halbmeſſer zur Einheit, ſo iſt 2: 2 sin J A 

= 2sin#A: sin. vers A, 


Wie die Sinus aus den Bogen, [oder den Wine. 
keln als Bogen für ven Halbmeffer = 1), gefunden wers 
den, iftin dem Artikel, Euflometrie, 9, angegeben. Doch 
zeigt diefe Reihe, und die ihr entfprechende, in ı , nicht, 
wie das Verhaͤltniß zweyer Bogen, oder ihrer Winkel, 
von dem Verhaͤltniſſe der zugehörigen. Sinus derſchi⸗ 
den iſt. 


u 


372 Sinuſoide. 
Es ſeyn zwey Wintel P und © 24 u, ſo iſt 


‚sin P} sin S -1- = 1:t0sa Ir eu dadie 


Bereit der Winkel iſt 124 —, 


Das nachfolgende Glied in — Verhaͤltniſſe iſt 
immer kleiner als in dem der Winfel: oder dag Verhaͤlt⸗ 
niß der Sinus zweher Winkel iſt immer kleiner als das⸗ 
jenige ihrer Winkel, und zwar in dem erſten Quãaͤdranten, 
den groͤßern Winkel zum nachfolgenden Gliedß. genommen. 


Denn ed. iſt sin (® + a) = sınG. cosa + 
tos®, sin a; Goniometrie, 24 woraus das angegebene 
Verhaͤltniß fogleich folgt. 


Bey demſelben Winfel a entferne fi i das Verhaͤlt⸗ 
niß der Sinus mehr von demjenigen der Winkel, wann P 
dem Quadranten häher genommen wird, und kommt für 
Eleine Winfel © demfelben nahe, deſto mehr, (3 Eleiner 
auch der Unterſchied der Winkel iſt. 


Sinnfeide ift eine Frurmme Linie, anf welcher 

ein Gewicht, das mittelſt eines Seiles oder einer Kette, 

welche uͤber eine Rolle an einem Pfeiler gezogen iſt, mit 
einem ſchweren-Hebel in jeder Lage beider im Gleichge⸗ 
wichte ſich befindet, Belidor, der in der Science des - 
Ingenieurs.. L. IV. ch, 6. die Anwendung auf die 
Erhebung der Zugbrücfen zeigt, ‚bat ihr diefen Namen 
gegeben, weil er zu ihrer Conftruction die Sinus der Ers 
bebungswinfel der beweglichen Bruͤcke gebraucht, Es bes 
durfte Feines neuen Namens, da die Frumme Linie eine. 
Epieykloide it, wie Koh. Bernoulli ichon lange vors 
her in den Actis Erud. 1695 gezeigt hatte: Der Mar⸗ 
quis L’Hopiral harte in diefe gelehree Monarefchrift 
die Aufloͤſung det “gedachten Aufgabe einrücen laſſen 
(Febr. 1655). Sie war ihm von einem gelehrren Geo⸗ 
merer (Sauveur) börgelege worden, der fie fehr ſchwee⸗ 
rig gefunden hatte, ba et 27 EN dazu Er 


\ 


Solidum,, 373, 


brauchte. LHopital fand die Gleichung für die krumme 
Linie leicht; fie ift eine algebraifche vom vierten Grade, 
und bat dreperley, aber verwandte Formen. Job. Ders 
noulli fügte einen. Auffas bey, worin er, wie gefagt, 
jeigte, daß die Curve äy ben (Epieufloiden gehört, und 
durch die Waͤlzung eines Kreiſes uͤber einem ihm gleichen 
= beſchrieben wird, oben ber beſchreibende Punet entwe⸗ 
der auf dert Umfange des ſich waͤlzenden Kreiſes, over 
außerhalb oder innerhalb ſeyn mag. Er nannte ſie die 
Curvam aequilibrationis, die Gleichgewichts⸗Linie, und 
trug die Aufgabe nach allgemeiner vor ©. auch Joh. 
Bernoullü Opera, T.;I, nr, 23. Bon ac. Ders 
noulli iſt a. a. O. auch ‚eine. Aufloͤſung dieſer Aufga⸗ 
be in. feinen Werfen., T. L nr. 63; befindlih. ‚Bon 
Leibnitz iſt auch eing Bemerkung über dieſe Unterſu⸗ 
le in den A. Er, 1695: Apr. eingeruͤkftt. 
Belidor, der dieſes bey der Ausarbeitung feines 
Werks über die Ingenieur-Wiſſenſchaft Gweyte Ausg: 
Haag, 1734) nicht wußte, zeige es in ſeinem Diction- 
— portätif ‚de IIngenieur, a Paris 1755, an. 
Sn der zweyten Abtheilung dieſes Werts wird die 
Gieichgewichts Knie vorkommen. 
Situs und — sinus, f. in dem Ar⸗ 
Lager Hui | 
 Societätt: Rechnung l Gefelſchafte— Reche 
| nung.“ 
Solidum, dab. Hrverliche Ausgedehnte, f, Aus⸗ 
dehnung. Man mag es dadurch von dem geometriſchen 


Koͤrper unterſcheiden, daß dieſer mit einer gewſſen 
Form ge dacht werde, das Solidum nicht. 


Solidus Angulus iſt ein Winkel, der durch drey 
oder mehrere Ebenen gebildet wird, welche einen Punct 
gemeinſchaftlich haben, ſ. Winkel, koͤrperlicher. 


Solidus loous, eine Linie vom zweyten Grade, 


374 Species. 


ſo fern ſie zur Auflöfung einer tnbeftimmten ‚Aufgabe 
gebraucht wird, f. Ort. — 


Solidus numerus, eine Zahl, welche das Pro⸗ 
Duck dreyer Zahlen iſt, eine veraltete Benennung, | 
Solidum problema, eine Mufgabe, die durch eine 
Linie vom zweyten Grade aufgeloͤſet wird. — Theore- 
ma, ein Lehrſatz, der duch Huͤlfe einer ſolchen Linie 
bewiefen wird.  - j 


Species in der Arithmetik find Verwandlungen 
einer Form einer Zahlgroͤße in eine andere. Eine Zahl, 
die aus mehrern gegebenen Theilen zuſammen geſetzt iſt, 
wird durch die Addition in eine eben fo große, deka⸗ 
diſch, etwa auch dodekadiſch oder dyadiſch georönete; 
verwandelt. — ine Zahl, die als der Theil eines ges 
gebenen Ganzen zu dem. andern gegebenen Theile deſſel⸗ 
ben gedacht wird, wird. durch die Subtraction uns 
abhängig, gleichfalls auf vorige Art georbnet, darge⸗ 
ſtellt. — Kine Zahl, von welcher gefordert wird ,, daß 

fie ein gewiſſes Vielfaches einer gegebenen Zabl fen, wird 

in eine auf gl-iche Weife geordnete durch die Multis 
plicarion verwandelt; fo auch durch die Divifion 
eine Zahl, von welcher gefagt wird, daß fie ein gewiffer 
Theil einer gegebenen Zahl: feyn fol. je 


Zu. ben gewöhnlichen. vier Speciebus ber’ gemeinen 
Rechenkunſt kann man noch fuͤglich die Erhebung einer 
Zahl auf eine gegebene Potenz, und die Zerfaͤllung einer 
Zahl in eine gegebene Anzahl gleicher Factoren ſetzen. 
Jene iſt eine kuͤnſtlichere Multiplication, dieſe eine 
kuͤnſtlichere Diviſion, fo wie die Multiplication eine abs 
= Addition, die Divifion eine abgekuͤrzte Gubtrare 
tion ift. Er N 
Species in der Geometrie bedeutet eine üÜberein⸗ 
ſtimmung der Figuren in Abſicht auf Anzahl und Größe 
ihrer Winfel, und die Berhältniffe der ‚Seiten.‘ &o 
beißt triangulum specie datum ein Dreyeck das in 
Abſicht auf die Wintel und dadurch auch in Ubſicht der 


Sphaͤroid. — 375 


Verhaͤltniſſe der Seiten gegeben wird, wobev bie Größe 
unbejtimme bleibt, Bei einer Kigur von mehr als 
drey Seiten müffen die Verhaͤltniſſe der Seiten beſon⸗ 


ders gegeben werden. 
Syhaera, griech. 0Galoa, iſt Kugel. 
Sphaͤrik, er 
gphaerica, iſt der Inbegriff von Lehrſaͤtzen die 
Kugel betreffend, insbeſondere uͤber die Kreife, die auf 


ihrer Oberfläche gezogen werden. Die Berechnung der 
fphärifchen Dreyecke gehört in die Trigonometrie. 


In dem Artikel, Kugel, find die Lehren der Sphäs 
rik vollſtaͤndig genug vorgetragen. | 


Theodof ius, ein griechifcher Mathematiker, der 
ein Zeirgenoffe von Cicero gewefen feyn mag, bat ein ſehr 
gutes Werk über die Sphaͤrik hinterlaffen, worin fein 
befonderer Zweck war, die ſphaͤriſche Aftronomie geomes 
triſch zu begründen, und die dazu gehörigen Säge fnites 
matifch zu fammeln. Das dritte Buch enthält mehre⸗ 
re merkwuͤrdige Saͤtze, die ſchon ſchwer genug ſind, daß 
Pappus darüber Erläuterungen aufſetzte. Barrow hat 
eine lateiniſche Ausgabe dieſes Werks 1675 geliefert, wor⸗ 
in er neue und kuͤrzere Beweiſe gegeben hat. Eine 
griechiſche und lateiniſche Ausgabe iſt von Hunt, Dr: 
. ford 1707 veranftalter, RE. 


Sphaͤriſches Dreyeck, f. Trigonometrie. 
Sphaͤriſche Flaͤche, ſ. Kugel, 35—46. 


Sphaͤroid, * ift ein Körper, begränzt von eis 
ner Frummen Oberfläche, deren Durchſchnitt mit jeder 
Ebene, die durch eine von drey auf einander ſenkrechten 
Axen gelegt wird, eine Ellipſe iſt. | — 

I Der Ausdruck, Sphäroid, iſt ſprachrichtig, nicht der von el— 
nigen gerade, aud) in diefem Werke einigemal aufgenom: 
Sllipfoid oder Elliptoid. So aud ‚patabolifches 


und byperbolifhes Konoid, ni 
Een lie K noid, nicht Paraboloid und Hy 


»76 Sphaͤroid. 

Wenn die durch eine der Axen gelegten Ellipſen alle 
einander gleich find, fo entſteht dag Sphäroid durch die 
Umprepung einer Ellipfe um die eine Are, und der 
Schnitt durch Pie beiden- andern Aren .ift ein Kreis, 
Archimedes. der die Geftale der Durchſchnitte der Kos 
noiden und den Förperlichen Inhalt ihrer Abſchnitte bes 
ſtimmt bat, (f. Konoid und Eubirung), hat daſſelbe auch 
für dieſe Gattung von Sphärgiden geleifter, \ 


3, Es iſt m Fig. 31, A ver Mirrelpunck der (es 
genfeitig fenfrechren Koordinaten : Aren AX, AY, AZ, 
eines Sphäroids, welches da mir zwey halben auf eins 
ander fenfrechten elliprifchen Durchſchnitten, BCE, BDE, 


und einem Quadranten, CAD, dur je zwey der Aren 
gezeichner iſt. Diele Stlipfen. baben ven Punct A zum 
gemeinfchaftliben Mirrelpunete. Die halben Aren der: 
felben feyn AB=a; AC—b; AD=c, Durch die Are 
BE und einen Punet F deg elliptiſchen Quadranten 
CD fen die halbe Ellipſe BFE gejogen, deren Ebene 
mie der Ellipſe BGE den Winfel FAC—I made, 
Es iſt amt he me 
(b’ sin?*? 4 c? cos9®?) AFt — be — 
| Denn man fälle son F auf die halbe Are AC die 
fenfrechte FG, fo giebt die durch AC und AD gelegre 
Ellipfe die Gfeichung,, —9 
Ads x GEF? + AD? x AG! Act x AD®, | 
DaGF = AF X sind, und AG —=AFX cost ift, 
fo verwandelt fich diefe Gleichung unmittelbar in die aus 
gegebene. ee 
2. Bon irgend einem Puncte R der Ellipfe BFE 
fäle man auf die Ebene BCE die ſenkrechte RQ; von 
dem Puncte Q ziehe man auf AB bie fenfrechte- QP, 
und feße APx; PQ=y; QR=z, fo iſt die Glei⸗ 
hung zwiſchen diefen drey zu dem Puncte R gehörigen 
Koordinaten, | | — 
b’e’x? 4 arc?’y’ + ab? zz? — a⸗ebe 2, j 
 _ Man ziehe PR, ſo ift die Ebene des Dreyecks RPQ 
ſenkrecht auf die Ebene der Elſpfe BCE, und die auf 


‘ 


Sphaͤroid. 377 


?Q fenfrechte AP ift fenfrecht auf PR, fo wie es EA 
auf AF.in dem elliprifchen Quadranten CFD ill. Das 


ber find AF und.PR parallel, Folglich ift aus der Na⸗ 


tue der Ellipſe, 
AB® x PR*-LAF? x Apı = — AB x AF®; 
oder, wenn PR=u geſetzt wird, 
au? (at — x?) AF* 
Mir diefer Gleichung verbinde man die in (r.) gefundene, 
(b*? sinY* + 0° cos?) AP—=b® ct, 


fo it: 


(b? sin$® + c® cos9®) aut har (at — x ” 
Da der Winfel RPO —= + it, fo it u sin? — 


und u cos® —y. Die Subſtitution diefer Werche * 


fert, nebſt der Verſetzung des Guedes bec x’, die ans 
gegebene Gleichung. 


"3. Kür eine Ellipſe, die dur die Are AY oder 
AC gelegt wird, wird diefelbe Gleichung gefunden, ins 
dem nur a und b, x und y vertauſcht ju werden braus 
den. So wird ehe: ten 

"oy+bant-brazi—btac, 

Eben fo iſt für eine Ellipſe, die durch die Are AZ 

oder AD gelegt wird, wobey a und 6, x und 2 ver⸗ 
tauſcht werden, 

b’a zZ? -ctaty. hc bt xt —cıbra 

Derfelbe Punct AN der Oberfläche eines a; 


gehöre alfo dren Ellipſen zu, die durch die drey ren 


deſſelben gelegt ſind. 


4. Die Oleichung für das Sphäroid wird auch aus 
der Form hergeleiter, welche fie haben muß, damit fie, 


wenn, eine der Coordinaten, X, y, Zu Mull gefegt wird, 


in. bie Öleichung für eine der gegebenen Ellipſen uͤbergehe, 
fo,, wenn == 0 genommen wird, in, die Gleichung zwi⸗ 
ſchen AP und PM, den Soorbinaten an der Eupſe BCE, 
Diefe Form ift die, 
Ax’ + By + cz’ = — 
Gi liefert auch .für diefelben —— (vofie tive oder 


negative), zweyer der Loordinaten, zwey gleiche und ent⸗ 


378 . on Sphaͤrotd. 


Legengelehte Werthe der beiten, \ wie es ſeyn muß, da 
das Sphaͤroid durch jede der drey Ellipſen, welche gleich— 
ſam die Grundlage davon ausmachen, in zwey ‚gleiche. 
und — Hälften und durch alle drey Ellipſen in acht 
gleihe Ausſchnitte getheilt wird, welche den gemeinfchafts 
Iichen Scheitelpunet A haben, und wovon je zwey an ci 
‚nerien Seite ‚einer der drey Fllipfen und einander ges 
genüberliegende auch ähnlich find und ahnlich liegen. 


Die Eoefficienten und das unveränderliche Glied in 
der Öleichung werden durch die gegebenen Axen der Fun: 
Damental Ellipſen beſtimmt. Wenn y und z, jede=o 

genommen werden, jo it x — a und Aa—M. Eben 
ſo iſt Bb®==M, und C®=M: : Daher find in A B, C, 
nach der Ordnung, die Faetoren Dep, ana ze be, 
Alſo iſt A=b?c — — be. Sollte 
A noch einen dactor enthalten, fo ware dieſer auch in 
M vorhanden, daher auch in B und C, wäre alſo ein 
ganz überflüffiger Kactor der ganzen Hleichung. Die 
Gleichung für das Sphaͤroid iſt alſo 

be cxi + at ct yt + ar bt ze ar b°ch, 

Die Korm diefer Gleidjung ‚jeigt unmittelbar, ‚daß der 
dadurch beſtimmte Körper in endliche Graͤnzen eingefchlofe 
fen iſt. Wenn x größer ald a, ober y größer als b, 
oder z arößer als c genommen wird, fo erhalten die 
beiden andern, jede oder eine, unmögliche Werthe. 


Es iſt nun noch zu zeigen, daß jeder Durchſchnitt 
dieſes Körpers, der. durch eine der Axen der drey Fun⸗ 
damental Ellipſen geführt wird, eine Ellipfe ift, 


5. Der Schnitt werde durd) die Are BE — den 
Punct R der Oberfläche geführt, Die Coordinaten des 
Punctes A find, wie vorher, AP=x; PO =y; OR 
— z. Man ziehe die gerade PR, fo ift RPOQ der Will: 
tel, welchen die Ebene des Schnittes mit der Ebene ber 
Ellipfe BCE madt. Es fy RP=u, und der W. 
RPQO=P, fo iſt PQ=u cosd; und QR = u sin®, 
Zur Adtkurzung werde geſetzt, sind = m; coso —n, 


Sphäre. 79 


Aus der Gleichung für den PunctR, auf der Oberfläche 
des Sphaͤroids entſteht nun die Gleichung für denſelben 
Punct, in der, durch den W. RPQ beſtimmten Ebene, 
. -groifhen den :Coordinaten AP(—=x) und PR (—u), 

bet mb mc) tt mabee, 
— 


be c® | a® bt c® 
reger x® + a® ut EEE SDR TEN > : 
m®b® +n?c* | mb ine 


Diefes iſt eine Gleichung für eine Ellipſe „ deren eine 
Are, auf weicher die. x genommen werben, 2a ift, und 
die eonjugirte ⸗ 

ee ei 
Vlearber mo) * ie halbe conjugirte Are iſt F, 


-Die gerade von dem Mittelpuncte A zu dem Puncte F, 
worin die Ellipſe BRE die durch die Endpuncte C, D 
der halben Aren AC, AD gezogene Eilipfe trifft. 


6, In der Sleichung für die Oberfläche des Sphäs 
roids, | | | 
bex+aayp + abtzt—arbtc, 
werde x unveränderlich genommen, fo wird die Oleichung 
für den Schnitt durch MPN erhalten, der parallel mit 
dem durch AC und AD, in dem Abſtande AP= x, ge 
führe it. In der Form, 
=eyY+ebzi-be(@ — 2), 
giebt fi ie eine Ellipſe, in welcher die halbe Are in der Nich- 


tung ber y, nänlih.PM — - V (aꝰ — x’), und die 
halbe Are in der Richtung — 2, naͤmlich 
PN ER | V (a — x") 


ei. 7 Der Schnitt eines Sphärsite, der parallel mit 
‘einer der. Coordinaren- Ebenen, YAZ geführt wird, ift 
dem Schnitte in diefer Ebene. CFD, aͤhnlich — Denn 
iu dem Schnitte vuch MPN, wo PM wit AC, und 


‘380 Sphaͤroid. 


PN mit AD parallel iſt, "if PM: PN— — bꝛie. 
oder PM : PNı m 'AGH AD. Ellipſen, deren Axen 
daſfelbe Verhaͤltniß Haben, find aͤhnliche Figuren, f. 
Aehnlichteit. — In dem Artikel, krumme Fache iſt 
der Satz allgemein erwiefen - 


Wenn der Schnitt durch CAD ein. Kreis ift, fo 
‚find. alle mit demielben parallelen Schnmit⸗ auch Kreiſe. 


8 Ra Schnitt eines Sppäroids iff eine Ellipſe. 
— De ndie Oberfläche diefes Körpers iſt eine krumme 
gFlache vom zweyten Grade, deren Schnitte immer Res 
gelſchnitte find, ſ. krumme Flaͤche, 63. Fir das Sphaͤ—⸗ 
roid, als einen endlich begraͤnzten Körper, bleibt nur die 
Ellwpſe jur ———— 00: Sie begreift. auch 
den Kreis. 


| Archimedes — bieſe Sagenſchaft der, Sphaͤri⸗ | 
ben, für die von ihm -berrachtete Gaͤttung, in Ab⸗ 
bandlung) S: 15. 

"9. Keder endliche, bon einer krummen Flache des 
zweyten Grades begraͤnzte Körper enthaͤlt einen Punct, 
welcher der, Mittelpunet aller dadurch, gelegten, ellipfiz 
ſchen Durchſchnitte iſt, oder, dieſer Koͤrper iſt ein Grba⸗ 
0. - 
| Denn man nehme irgend einen Punet Ö, inners 
halb oder_aufferhalb eines Sphärvids, zum Mittelpunete 
der Eoordinaten »,Aren, und. beſtimme deſſen Lage, in 
Beziehung auf den Mirtelpunct des Sphaͤroids, durd) 
die Covrdinaten a, By Y nad der Richtung: der X; yr 
z, die für das Sphaͤroid gebraucht find, Die Aren 
der neuen Coordinaten ſeyn ebenfalls fenfrecht auf eine 
ander, wie ſie es auch in der allgemeinften Gleichung 
genommen werden. Die Lage einer von ihnen wird bes 
ſtimmt durch den Punct, in welchem fie eine der drey 
‚Soordinaten Ebenen. für das Sphaͤroid treffe foll, dag 
iſt, durch Die beiden’ zu dieſem Puncte gehörigen Coor⸗ 
dinaten, 6, &, in diefer Ebene. Für die lage der zwey⸗ 
ren Cobrdmalen · Are, die ſenkrecht auf die erſte ſeyn ſoll, 


Sphaͤrodid. 381 


bleibt nur eine Beftinimung.; durch eine einzelne Eoor⸗ 
dinate, C, willkuͤrlich. Die Lage der dritten Are iſt durch 
die Lage jener beiden gegeben. Zu den drey Beftiminuns- 
gen, a, b,.c, in. der einfachften Gleichung für ein Sphaͤ⸗ 
roid, Fommen alfo noch fechs willfürliche. Kühre man 
diefe in die Gleichung ein, ſo entſteht eine Gleichung. 
vom jwepten Grade, An welcher. zu. den Coeffitienten, - 
das unveraͤnderliche Glied mit gerechner, ‚neun Größen, 
nach, Willfür angenommen werden koͤnnen. In der 
allgememiten Gleichung "des zwenten Grades find zehn 
Coefficienten mit Einſchluß des. underänderfichen Glie⸗ 
des vorhanden. Diefe zu bejtimmen reichen neun ges 
gebene Größen hin, da mirteljt der Divifion aller Coef⸗ 
ficienten durd einen derſelben, ben der Zuſammenſtel⸗ 
fung der. Allgemeinen Gleichung mit der verwandelten, 
nicht mehr als neun Öleichungen hervorgehen. — So 
wie nun die einfachite Gleichung für ein Sphaͤroid ſich 
in die allgemeinfte verwandeln läßt, fo muß fich jede. 
Gleichung für eine Fläche vom zweyten Grade, wofern 
fie nur einem begraͤnzten Körper zugehört, in die eins 
fachfte für ein Sphaͤroid verwandeln laffen. Der Kör 
per oder deſſen Oberfläche hat alfo einen Mitkelpuncr. 


10. Zur Erläuterung des hier, bon. ber Bes 
ftimmung der Eoeffieienten in einer allgemeinen Gleis 
chung, angeführten bemerfe man, daß die einfachite 
Gleichuug für ein Sphaͤroid, 

betrat’ +abzearbte, 
vier Glieder hat, deren Coefficienten durch drey Grd- 
fen, die Aren drener Ellipfen beitimmr werden. Die 
Divifion der Glieder durch den Coefficienten von x? 
giebt ihr die Form, * 
x + y’+ — = at, 


Die Multiplication aller Glieder mit einer gegebenen 
Groͤße, als b? c’, ändert die Gleichung nicht, u. 


Zu vergleichen Euleri Introd, in. Anal, Infin. 


332° Sphäreid, 


T. II. Append. de Superficiebus secundi ordinis,), 
213 ff. Auch in diefem Wörterbuche, Artik. Rrumme 
Flaͤche, 74—yo. | FE 
ı1. Den Inhalt eines Sphäroide zu’ finden. — 
Man ſetze das zwifchen den ganzen Ellipſen, wovon in 
(Fig. 31) nur die Quadranten DAC, NPM aezeichnet 
find, enthaltene Segment des Sphäroids — Z, fo ift 
dz = 4NPM.dx (M.f. die Anm. in dem Art. Huf⸗ 
fürmiger Abfchnitt. Th. IL ©, 701) ° 


WB. 5% 278 | | 
b. i. * — dx (aa—xx). (6) und daraus 


5 bc 
*1 — — av m I y3 
on 2 aa a 
ohne Eonftans, weil Z und x zugleich verſchwinden. 

Fuͤr x Sa wird Z dem halben Sphäreid gleich, 


| a .: 
Dieſes iſt alſo mabc, folglich das ganze — Srabe, 


12. Eine Eilipfe, deren größere Are — 2a, klei— 
here = 2b, dreße fich einmahl ganz um. diefe Fleinere 
Are herum, fo entiteht ein gedrucftes oder abges. 
piattetes Gphäroid (sphaeroides compressum, -s. 


latum), deſſen Inhalt = r maab, Geſchieht die Dres 


hung um bie größ:re Are, fo entſteht ein I änglichtes 
oder ablanges Gphäroid (sphaer. oblongum), defs 


fen inhalt = r mabb, 


13. Das gedruckte Sphäroid verhält fi zu dem 
ablangen wie a:b. | | 

14. Um jedes Sphaͤroid laͤßt fich ein‘ gerader Cy⸗ 
Iinder dieſes Wort in weiterem Ginne genommen) bes 
fchreiben, defjen Grunpflächen einem der Hauptdurch⸗ 
ſchnitte des Sphäroids gleich find, die Höhe aber der auf 


Sphärsid. 383 


diefem Durchfchnitte fenfrechre Durchmeſſer des Sphaͤ-⸗ 
ronds iſt. Dieſes erhellt daraus, daß die beruͤhrenden 
aller Ellipſen wie EFB in den Scheitelpuncten Foer EB 
— ſind, die beruͤhrenden aber an den ScheitelnE und 

B diefer Ellipien in einer mir DCA parallelen. Ebene - 
liegen. Da der Inhalt eines folchen ——— Cy⸗ 


linders = 2 abc, fo iſt das Spfärsid = - deffelben. 


15. Der Halbmeffer einer — Er welche mie 


dem Sphäroid gleichen Inhalt Hat, ift = V abe, Sf 
ac, alfo das Sphäroid durch Drehung um die Are 


ob — ſo fir = Vaab oder — 
3 
a ve 2 folglich die erfte zweyer Mirtelproportionas 


len srifchen dem Halbmeffer bes Aquators des Sphäs 
roids und der halben Are defjelben, 


16, Die Dberfläche eines Sphaͤroids zu finden. — 
In dem Viertel des Sphäroids ABCD, welches (Fig, 
32.) darftelle, fyn BED, und BeD zwey einander uns. 
endlich nahe Schnitte durch die Axe BD, HGL und hgl 
aber ein Paar dem durch tic Aren AO, OC gehenden 
Haubptſchnitte AOC parallele, einander gleichfalls un⸗ 
endlich nahe Schnitte, fo entfteht, indem die durch die 
Are BD gelegten Etlipfen BED, BeD die dem Haupts 
ſchnitte AOC parallelen GNL, gnlin N,R,n,r 
durchfchneiden, auf der Oberfläche des Sphäroids das 
Dieref NnrR, weldes, infofern man die Flaͤche des 
Gphäroıds von B und dem Quadranten BLA aus ents 
fichen läßt, das Differential des Sectors BNn ıjt, wele 
cher felbjt wiederum das Differential des Sectors BNL 
iſt. Es ift alfo Hier, wie bey Erfindung des Jahalts 
‚eines ſphaͤriſchen Dreyecks durch Rechnung in dem Ar: 
Kugel, 37. eine doppelte Integration nörhig. Ä 


Man ziehe an N die berührende der Ellpſe BED, 
welche ver (verlängerten OB in T begagne / und den 
fe lich nun durch alle Puncte der Ellipſe GNL. 


384 Sphaͤroid. 


ſoſche Ellwſen wie BED gelegt, und an ihre Durchs 
ſchnitte mit GNL Beruührungslinien gezogent: diefe wers 
den ſaͤmmtlech der verlaͤngerten OB in T begegnen, 
wel OH: OB = OB: OT (Ellipfe, 30) und OH 
die gemeinichaftliche Abſeiſſe der Beruͤhrungspuncte aller 
jener Eilipien iſt. Das Vieref NnrR if alfo als ein 
unendlich Fleines Stuͤck einer unendlich fehmalen Zone 
der Geitenfläche eines Kegels, deſſen Spitze in T, Are 
10, und wovon die Ellipſe GNL ein auf die Uxe ſenk⸗ 
tochter Schnire iſt, anzuſehen, Folglich ein Trapez mit 
zwey parallelen Seiten Nn, Rr;,,das ſich aber, weil 
„der. Linterfehied don Air und Nn gegen Nn unendlidy 
klein iſt, mit einem Parallelogramm verwechſeln läßt, 
Sein Inhalt ift alfo = RNxNnxsinRNn, 


Unm diefen Inhalt auf die für die Integration be: 
quemſte Weile auszudrucken, erinnere man fich, daß die 
Mectification der Ellipfe fehr.vereinfacht wird, wenn man 
den Bogen deffen Sinus in dem über der großen Are 
befchriebenen Kreife die mit der Ordinate der Eilipfe 
zu einerley Abfcıffje gehörige Ordinate des Kreifes iſt 
(M. f. Nectificarion, 12.) als die veränderliche Größe 
einführt. Dieſe Subſtitution leiftee auch Hier gute 
Dienite, | . 


Es ſey OA=a OB=b 0OC=ec Von N 
ſey NM auf die Ebene AOC ſenkrecht, fo fällt M ın 
den Durchfchnirt OE ber auf AOB fenfrechten Ebene 
BED mit diefr, Von M fen MP in der Ebene 
AOC ſenkrecht auf DA und NO ihr in der Ebene 
-GHL parallel, fo ift auch HQN ein rechter Winfel, 
Dan fee P—=HQO=x, PM= NQ=yun 
MN=OH=2, fo daß x, y, 2 die drey rechtwinf- 
ligen Coordinaten des Punctes N find. Ferner nenne 
man noch die in den Ellipſen AOC, LHG an die Punc» 
te':E, N Hejögenen halben Durchineffer OE,t, HN,s, 
und denfe fih nun in der Ebene des Schnitts BED über 
Bd als Durchmeſſer an derfelben Geite mit der Ellipfe 
BED einen Halbkreis beföhrieben, die Ordinate HN = 


2 


Ellipſe BED bis an ben Halbfreis verlängert, und an 
den Endpunet der Ordinate des Kreifes einen Halbmeffer 
deffelben gezogen. Heiß nun P derWinfel diefes Halb⸗ 
meffers mir dem OB, fo HOH—=z=bcosQ, HN=s 
—tsind, woben man bedenfen muß, daß OE die an⸗ 
dere Hulbare der Ellipfe BED il. Man,mırd fich dies 
ſes durch Fig. 5. Tab. IX, des zweyten Therls deutlich 
machen fönnen. Denn. wenn dort CA=CO =b. CD= 
CR=t. ACQ=P = CRN. foilt CP (2) CQ.cosPcQ@ 
=—bcosP, und CN = PM (s) = CR’ sinCRN = - 
t sind. Da wegen der gleichen Winfel NHL, EOA 
die Durchmefier HN, OE, ähnlich liegende Linn ın 
den Ähnlichen .Eilipfen GNL, CEA find, fo iſt OB: - 
 HN=AO: HL=CO: GH, folglid HL = asinG, 
und GH = c sind. Man venfe ſich nun innerhalb des 
rechten Wınfels GHL mir HE den Quadranten eines 
"Rreifes befchrieben, und die Ordinate vefjelben zu der - 
Abeiſſe HQ durch Verlängerung der QN gezogen, und _ 
fege den Winkel am M-rtelpuncte H, welchem dieſe Or⸗ 
dinate als Sinus entſpricht, vb EHQ = x = OP 
—asind cöosy, QN=y=PM =csin® sinW, 
und s—HN = sinPY (a? cosy* + c* siny’), t 
oder OE aber = Y (a* cosy? + c* siny®). | 


Es ift num in ber Ellipfe BED das Vogenelement 
NR =Y (92° + 9s?), wo die Diffirentisle von z und. - 
s bloß in Beziehung auf P-zu nehmen find, weil für eis 
ne beftimmte Ellpſe BED der. Winkel, \y derſelbe bleibt, 
‚indem folcher bloß den Winkel AOE oder LHN (defjen 


“tang. = = tangy): beſtimmt. Man erhält hiernach 


NR = 90Y (b’sinG® + (a’cosy* + c'siny?) cosp*)« 
- Das Differential iſt poſitiv, weıl der Bogen BN.mıt ® 
‘zugleich waͤchſt. 


Fernrner iſt in der Ellipſe GNL das Bogenelement: 

Nn = Y (9x + 5y’), wo aber bey der, Differentiirung 

von x und y blog % als peränderlich zu nehmen ift, weil 
- Db 


386 Spyghaͤroid. 


GO fuͤr eine beſtimmte Ellipſe GNL ſich nicht aͤndert, in- 
dem es bloß ven Abſtand derſelben OH von O nebftlven 
ren 2HL, 2HG. beftimmt, Hiernach wird Nn = 
Sısinpy (a*siny® + 0*cosy%), pofitib, weil —— 
gen LN und Winkel v zugleich wachfen. 


Noch ift 'sin RNn durch P nd Mn auszubrucken 
-Abrig: An N werde eine Berüßrungslinie der Ellipſe 
. ‘GNL welche der verlängerten HL in X begegne, gejoe 

en, fo ift der Winfel ANn dem Winfel TNX. der beis 
os Beruͤhrenden TN, NX gleich, Wennihun nod HS 
aufl NX fenfrecht gezogen und TS verbunden wird, fo ift 
ee TS auf NX ſenkrecht, und sinkNn. = sin TNX 


Er "TS 
— IN 


Da OH:OB = OB: OT Eiipfe, 30) ind auf 
wide Weiſe AO: HL = HL : HX, fo wird OT 


bsech, HX =;a sin® seh, Alſo it HT = 
P (sec$ — 0059) = bsin® tangP, 0oX = 


f . N 
wer sin® siny tangv und tang HXS = = = Ir er 

Hieraus ergiebt ſich | | 

c cos) 
HXS = ——. — 

‚sin Var sinabe — 5 und — 
— ac sinꝭ 

HX. sin HXs = Ferner 


V (a® sinyp' + 0 cosY) 2) 
it TS = y (HT? n HS") = 
a? c?cos®* + b? (a? sinny® + 0? cosı/*) sin®? 
tang$ Vin te 
IN = y(HT + HN) = 
tangP V (b’sinP? + (a’ cos: +!o: siny’) cosP’)r 
nuchn 
sin RNn =y(M;N), wM = 
a? cꝰ cos®? + b? (a’siny? + c’cosy:) sin®?, und N= 
ale NIEREN * — cl p°) 


Sphäroid, 387. 
| 


Dadurch wird endlich RN x Nn x [RNn— 
BVOHLPY (a c2cl9® +b:(a lv + ce cly’)[P)). 
Diefes Differential giebt in Beziehung auf Pifo integrirr, 
daß das Integral für EP o verſchwindet den unendlich 

- Eleinen Sector BNn. Integrirt man aledann den für dies 
fen erhaltenen Ausdruck noch finmal in Beziehung auf Y 
fo, daß das Integral für ap’ o verfchminder, fo erhält 
man den Sector BNL, Die Örößen © und Y find hierbey 
von einander ganz unabhängig, fo daß man nach der 
erſten integration, um. das Gegment der Obertiche 
BEDeB ju erhalten, nur P@=r, nicht etwa einer 
Sunetion von xy gleich zu feßen hat. Lm das Dops 
pelintegral alsvann über die ganze Oberfläche zu erftrefs 
fen, darf man nur. W = 2 fegen. Geste man in dem 
Ausdrucke für den Gector BNL Pr: fo erhält-man 


das Gegment-BEDAB, ſetzt man darin aber VW 2, fü 


befomint man die Släche der von der ganzen Fllipfe GNL 
begrähzten Haube oder Kuppel . deren Spitze B ift; ſetzt 


man zuglih O= m, y= ar, fo befomme man die 


ganze Oberfläche ads Sphaͤroids. 


17.  Mimmt man das vorige Differential negatib, 
und integriert alsdann nach O fo, daß das integral für 
= #r verfhminder, fo erhält man das unendlich Fleine 
Zonenſtuͤck ANne. Dies nimmt naͤmlich ab, wenn P 
waͤchſt. Eine zweyte Antegration nach W, wobey das 
integral von o bis VW 27 genommen wirdy 


“ giebe alsdann die zwifchen dem Hauptfchnitte AOC und 


dem ihm parallete Schnitte LHG (um das ganze Sphaͤ⸗ 
roid herumgehende) fppärowiiche Zone. Es ift demnach, 
wenn das Zonenſtuͤck ALNE — 5 geſetzt wird, 

08 = — S1PfoQ9 sin@ V (a?c* cos? + be (a? sin ⸗ 
— — + c* cos) sin®?). 


18. Es fen ac, alſo das Sphaͤroid durch Dres 
hung einer Ellpſe, deren Achien 2a = 2AO und ab 


/ = BD find, um die Are BD entifanden, fo wırd 


85 = —aoıyfog sinpy’ (c* cosP? -+-b’ sin?) 


a 
— 


⸗* 


) ‚ ) | 4 


388 Sphaͤroid. 

wo um der größenn Allgemeinheit und um des folgenden 
willen c unter dem Wurzeljeichen beybehalten, und nicht 
durch das ihm gleiche a erfeßt iſt. | 


Man ſetze cos0 —= w, fo iſt inos3 — dw, 
V(c cosß* + b sin?) = Y(c’w’ + b’(1—w‘) 
2V0** — w)=by E n⸗ w) 

— b2 2° — b* | 
Ober zn" 06 





wenn zur Abturzung! 





ſetzt wird, wo alſo zur — von n erforderlich iſt, 
daß a > b, alfo das Sphaͤroid durch Umdrehung der 
Ellipſe BAD um ihre Eleinere. Are BD. entftanden ober 
| ein gebruckted [ep 


Es wird nun nad) — er, PR 
— [69 sin® V (c* cos®: + b* sind’) = 
bfow Vua+naw)= abw y (rt +-n? w) 


b 
+Z log (VG at w') + aw), 


Da dies — Pi wzobi für = * ie 
verſchwindet, fo kommt keine Conſtante —2 ‚ und 
man hat 
| SS zabwyyatmw)+. 


abo 
= 108. va+nw) Tan: 


| Hiervon ift das Integral nach und ſo genommen, 
* es für 0 verſchwindet 
S = 3abwıp Y (r + n'w:) 


+ tg (1 +nw in | 


19, Davı(ı+ aw‘) + nn | 


= Sghaͤroid. 389 


| u IR — VEGEI— 
fo.ift log (V (1 Jen? w®) +naw)®, | ri 
FRE Sell, — ‚V (i+n?w?)-nw 
J „= E18 7a taw)—aw 
und - Ta | 


S=3abwıp ya poewe) — 





abWb_ Vuütn2we)+tnw. 


Ewa 


20. Kr die ganze zwiſchen dem Kreife vom Halb⸗ 
nieffer AO (dem Xequator in Bezug auf das Frofphäroid) 
und dem ihm parallelen Kreife vom Halbmeffer LH = 
 asin® enthaltene Zone Zift W — 2m, daher 

ZzrabwVY(itn?w?) & 
ze | n?w?) —-nw 
Er ob Ve ta + | 
an, "Y(ri+n’w’)o® 


au zZ. = Rn a 

Der zum Coſinus w gehörige Winfel © ift das Com⸗ 
plement desjenigen, . den Dü Sejour bie verbeſſerte 
Breite nennt, ENTE 


* ® — c. | 2 . z r R — RR Dei 
n?w? = ı £n? w® = —, md w 
1 u A + ” i . ı — u? : 





Va new) = ED) diefe Sub⸗ 


n(1—u?) 
FRENERHTEE IE BE? GE 7 GERT Bu u 
ſtitutionen wird ZZ — +48) 








iu? 

ws (aꝰ — b?) cosP? ß 
| UV u —— und wenn. Die 
— Vv b? + (a? — b?) cosp?* * | 


390 Sphaͤroid. 


Abeiſſe OH auf der kleinen Axe der erzeugenden Ellipſe 
bom Mittelpuncte O on Denen wieder x genannt 





d, fo iſt udn 
wird, Di cp vum VrrW@=bDe 
22. > =ur u 4 us * u? + etc, 
und 3 log - Er Zur jwtgutswten 


Cogaichnus fo wird 
an z="> (+ ut Zus J et). 


= 


0.23. RWenmbma genommen wird, fo. verwandelt 
ſich das Sphaͤroid in eine — vom Halbmeſſer a, und 


es wirdn == 0; u =0; aber= =4ja5) 
— w, und die von LA befehriebene Kugeljone = 2maaw 
— 2zrax (Complanation, Th. I. ©: 515.) | 


24. Rür die balbe Oberfläche des gedruckten Spba— 
roids iO — 0 alſo wz=.ı,nawznZ=. . 
V (a? —b?) a 

— vV(ı +n2 w?) => und bie ganze 


Oberfläche — — 





— — a+Va:—b?) 





27aa — v Ve) g ———— 
now 
— E77 — Far Re 


= log tang (45° +3x); wenn nw = tang x 
genommen wird, ſo iſt die Fläche ber elliptifchen Zone 


| b Ä 
ve — (tang X. sec X + log tang (45 +40) 


Sphaͤroid. 301 


“96, Es iſt MAm (Fig. 33).die Hälfte einer Hy: 
perbel,. deren Mittelpunct C,  halbe,,Zwerchare CA. 
Durch den Mittelpunet C ift DD. fenfrecht auf CA. 
Die Hnperbel MAm made. eine volle Umdrehung um 
DD, fo entſteht ein: eylinderarriger Koͤper, MWren’s 
und Parent’s Eylindroid, deſſen aͤußere Fläche hob! iſt. 
Man ſucht die Oberfläche dieſes Koͤrpesrss. 


Een die Abeiſſen x dom Mittelpuncte O an auf 
der DD genommen werben, und ein unbeflimmtes: Stück 
der Flaͤche, nämlich dasjenige, melches ber Bogen 
AM s bey der Drehung befchreibt Z Heißt, fo iſt 
02 2ry08. ? — 
EEE — ee 
Ruh iſt y? = 6 + — alfeydy = * KU | 
.. adx?ox? DEINER (biy2 Hasx?)oöx? 
oy? eg 9sr—=0x? TON DR > | 
a2 ((ad + b2)x2 + bi) ORT | 
m nd. os. 


su —— 5 
piy2 mm mu 


* adx V ((a? + b2) BE NER — 





vr: Dadurch wird Ar TR TE, 
amadx | : 
22 = V ((@a® + 5°) 2, +59) — 


— a? +b? 


wird wer a | ur 
9Z — amabdwy'C(ı + n?w?) 

olfo Z= arabfow V (ı tn®w?) e 
wo das integral fo, zu nehmen iſt daß es fuͤr w — 0 
verſchwindet. Dieſes fuͤhrt auf denſelben Ausdruck, wie 
in (19 für die ſphaͤroidiſche Zone. Man ſehe den Ars 
ti£el Eylindroid, | = A 


392 Sphaͤroid. 


27. Wird die Oberfläche des laͤnglichten Sol. 
roids verlangt, fo muß man, wofern man-nicht unter b 
in (18) die halbe größere Are. der erzeugenden Ellipſe 
derftehen will, bafelbji a uib b gegenfeitig vertaufchen, 

'- b2 
Dadurch wird bas 6 dortige u? = Dan, Bill nen 


a? 
— b2 
= n?® fegen, wie “ ie Realitaͤt 6 von n 


ern, fi kommt — n® flaren? in (1 8) ober AV: ** 
ſtatt n und es wird. | 
8 = a, V (rn! w®) a 
+ — log(Via —n2 we) Inwy-i). 
Da die Soparirgment unmdglicher Größen ſich auf mögliche 
Kreisbogen zurückführen lalfen indem 
log fcos v + — — 1 —E—— 


af 





no 


V- 
wie fi 4 leicht aus — 153 — laͤßt, ſo 
wird, wenn man sinv—nw nimmt, 


— — Far) 


— 1 


= Ang, sin nw 
⸗ 


und dadurch 
ae r a + — 


— — a — ne wey 4 = has, sin nw. 


Fuͤr die halbe Oberfläche des Sotäroine ik 
w-ı, en = alfo die — 


ablangen Sphaͤroids = 3 
amatb 2b V * — * 


b 


Sphäroi, - ‚393 j 
29: Wenn b*+ A, genommen wird, ſo iſt n o. 
In dem Ausdeuck 7° Ang, sin nw\mirb ale der 


erſte Faetor unendlich, der zweyte iſt o. Um den Werth 
des Products zu haben braucht man die Reihe für den 
Dogen aus dem Sinus. Da naͤmlich Ang. sin nw 


1 | 
zaw-+ rail * ns w’,-r etc, 6 ee 


— Ang, mw tonwit an wi + etc 


welches, fürn—o, — w iſt. — if die Flaͤche 
ber von LA (Fig. 31) NEE BIENEN raꝰw 
* 2max, wie in-(22). —R 


30. Setzt man nw = - sin 6, fo wir in. ep“; 


mab mab 
2 = — sine cos ν 
n n, 


44 


| 5: 


== (sin 20 4 20 
mo een ). rin by 


31. Um bie Oberflächen des — und längs 
listen Sppärgide mit einander zu,bergleichen, fege man 
a2 -b2—a? e2, ſo daß-e-die. Ercentricitaͤt · der erzeu⸗ 
genden Ellipſe iſt, fo wird Die ae! des gedrauten 
Syphaͤroids — 


— 22 te bis 
27aa Ir + — log. — die des langen, 


: : — PR 
== 2raa jene + Ale - a AaAns. * * 
verhaͤlt ſich alſo zu dieſer wie 5 n 


—« te — 
— -€ Mag ae 1 mat 2 — 


Fe 
* * 
u nn 





26€ 


39° Sphaͤroid. 

10 | 

ZAngai * "Dan —— Ivo: e) 
— von eꝰm in (a = 3 "aan F Angein € indem Ben 


> " ! dr = Ft * PER FE 17 4 


he i nddie Ef 


Big von "2m nö r 4; alfo iſt — — 
5 > i alfo 





* Ang sin ei Datum F log - 


ger lg > *— 7 j 
— ) ——— — > a m r . das Vor⸗ 


derglied jenes Verhaͤltnſſes achßer als das  Hinterglien. | 
Demnach hat das gedruckte Sphätoid eine.größere Ober⸗ 
flaͤche als das mit ihm aus bderfelben erzeugenden El—⸗ 
‚Sofe entſtandene ablange Bes fo wie ed 1 au einen 


groͤßern Inhalt bat. (13), Bun, ER ’ 
92, Enrpicel man bie. Ausdrice u. x 
‚Var 


pie 


VON ung; sin ein (30) in eis 


hen, fo erhält man di Done des lieg Spha⸗ 
roids =: — x | 


ih +19 1 1 * I ' 
6 — 
15 35 63 
bie des — aber = x 
a * ara: DR 


3 15, 105 315 ı 
wie Ausdrücke — dieſer Oberflaͤchen 
dienen, wenn e eine kleine Groͤße iſt. Man bemerke 
noch, daß 4 raa die Oberfläche einer Rugel vom Halbe 
meſſer a ift, welche kommt, wenn a * b, alſo emo 
wird, 


895 


— -&%) Ber 


Exemyel. Es *8 — iſt e 


und man * 


— 0,00644120707 
/ et = 0,00004148914., i 
esſs == 0,00000626724 . 
zu 8, 606000000172 
eT° =. 0,09000000001I 


und hierdurch, wenn 4maa — — iſt, die Ober⸗ 
fläche des gedruckten Sphaͤtoids = 9261961, die des 
ablangen —9242032, beide in den naͤchſten ganzen 
Zahlen. Die gefundene Oberflaͤche des gedruckten Sphaͤ⸗ 

roids iſt diejenige der ald Drehungsiphäroid betrachteten 
Erde in geographifchen SueBratuieilen für Das von Zach 
angegebene Axenverhaͤltniß. — 


| 33. Iſt, das Sphaͤroid nicht aus Umdrehung ei ei⸗ 
ner Eilipfe um ihre größere oder kieinere Are entjtanden, 
alfo in (18) nicht ac, fo. fege man:in (17): 

Ei en + 0? co: — PT 

2 * 

und es wirb = | 
95 = — adıb [69 sin © V (c cos y + b® gi sin m 
fo daß in (18) ſtatt b? kommt b° °F?  Behäle man nun 
die dortigen Bezeichnungen ben, fo-wird 


os} abw Yoyy(ı + n!w?) 
| + ab 10g Ya Sr: n? w®) + nw 
| 4 an var u T—an 
wo 
er be ws. 

2 — a 

= NE PR” 

ift. Setzt man hier w = 1, fo erhält man ben Sector 
EBe (Fig, 31) * welcher m Differential bes Sectors 


390 Sphäreid, 
ABE iſt. Wird diefer alfo ZW genannt, fo daß W as 
Geguent BADEB bezeichnet, fo ift | 
Pr SE Wk du ER —— 
| \. 2 Ve—bFr) °c— Vec—brye) 
Das Integral des zweyten Theil dieſer Formel 
läßt ſich durch keinen endlichen Ausdruck angeben, In 
dem Falle, wo a und.c wenig von einander verfchieden 
find, laͤßt es ſich durch Mäherung folgendergeftalt 
erhalten, r 
"Da | 5 
| y: — a* sin 4 —— VL z a* cos 4 c cos 
« » r a ’ 3 
— ce — aꝛéúù 
te 


= ı + icosW® 


Go ga! 


wenn — *i gemacht wird, fo wird 
abe yeow ; G c+ Veerbtyps). STR 
aVv@—br) Pilyeozbem 
albi-Hbricosp)oy _ c+ V/ler-bi-bricosp‘) 
2 V (e*-b*-b’icosip?) ” c-Y (c’-b’-bricosy®)” 
NMimmt man nun | A A 
Ber ab? c + V (c? b2) Ha | | 
— — — ABER DE DH ———— 423 
2V (c?—b?) oe e— Ve —b?) , f6°) 
a (b?+b’icosp®)ou. C+YAc?-b?-b2icosıp?) 
2y cc?-b?-b?icosw?) ”° c-V(c?-b2-b2 icosıp?) 
| = &uy.f(b? + b?i.coswy?) 
alfo nad) dem Tahlorſchen Lehrſatze 
gt 5 RB ct V (@—b‘) 
2 * 2 2 log EN Zei er - 
— 2i—6 -vV(—b’) . 











.) | he 5 I Ephaͤrold. F 3897 
+ f' =” b?i icos Y ob + 4 f (b®) b# ie cos * ev 
+ — wir H. BP i9 cos y# au + etc. 


wo fo), * (be), ft (b*) u. f. w. die ſucceſſiben 
0. fcb') ©. fib) & fib9 
0. be ’ (9. bie ’ (2. — 
u. ſ. w., be als Functionalgroͤße genommen, anzeigen. 


Gera wird 
a“ b c+Vae—'b) 
a 2— 5) Ey '—b)) 


+f(b). bei föpcosy 28 fur (b3, bei? fOnpcos y4 


+ — (be). ir » 0 .cos y® +» tr. 
wo bie — joy cos y’, [Oy — u. ſ. w. 
| fo zu nehmen find, daß fie für y —.,o verfhwinden. 
34 Um die Oberfläche des Sphäroids zu haben, 
muß man — 2r hetzen. Nun iſt (Integralformel, 
114. 62) | 
1. 3. 5.» 2 
Joy cosy” 2, 4: Oro son We 


wenn das Integral von Y = 0, bis y = 2r genoms 
men wird, daher ift die Oberfläche des Sphaͤroids — 


Bifferentiolquotienten I," 


a’ b c+vV(e—b) 
ww. b —r — — — — — —ñ —ñ —— — — 
— "rem FE=V ve=b) 

.11.3.5....2A— 
7 —— —. (A) 2 211A 
+ Se ne — (b°) ‚b u 
| I 123.5 
—, (A) (b°Y, br jr 
Se leerer = — )(b°). bꝛa ãa den gabjen 


Complerus der Glieder nn welche entfiehen, wenn 
in dem unter dem Zeichen 2 fteßenden Ausdrucke A nach 
und nach = 1,2, 3, 4,.. U, fu w. gefest wird, 


- 


398. — Sphoͤroid. 


35. Da es für die Geographie von Nutzen iſt, 
den Inhalt einer ſphaͤroidiſchen Zone durch die Breite der 


Poaunete auf dem die Zone begraͤnzenden Parallelkreiſe aus⸗ 


gedruckt zu haben, ſo ſollen die darauf Bezug dahenden 
Ausdruͤcke hier noch entwickelt werden. | 


Es it ACB (Fig. 53%, ) ein elliptifcher Quadrant, 
welcher fich um die halbe kleinere Are AC drehe, und bie 


Haͤlfte eines gedruckten Sphäroids beſchreibe. Man foll 


Die von dem Bogen BM beichriebene iphäroidifche Zone Z 
Durch dem Winkel — MNB, weldyen die Normale 


MN an dem Endpunere M des Bogens BM mit der 
| großen Are CB macht ausdrucken. 


Wenn die Abſeiſſen vom Mittelpunete an auf der 
Are CB genommen werden, fo. ilt, den Bogen 


BM = s gelegt, weil QMZCP=x, 02 ==. 2rx0s. 


Dun ui, wenn Tr den Hatbmeffer der Krümmung an M 
‚bezeichnet, ds. — row eg der Krümmung, 1) 
und an der. — (Ebendaſ. 16) - 


a’ b® | 
(a? cos w* + b»sin w)$ 
| : a? coow * 

—_— Pr 

- (a’cosw‘ + b: sın w?)# 

Dadurch) wird 
27a⸗* b: cos wow 
82 = 


; (a? cos —— b’ sin w*)® 
Da 2coswW—ı + coszw, 2sinw’= =1— 0092 u, 
fo Me s 
3Z = = ( 0 8rat b? cos wow 
.. (a? + @? + b2+ (a? — b2) cos 2 w)?" 
a2. b2- gr: 

Dan ſetze agent ift sm — 

.b? a® b? 
— ui — — ıı ı1—n? und 
gran 1 n und (at + b2)2 I a 


— 


es wird 


das iſt, 


[4 


2 — 


amatlin®)cosndw °° © 
ga + ntosawjt 


BIER SER (vancoitafgntcerans | 
—4n'0082 w3. * 5n*cas2w* — etc.)cw. 


Wenn man hier die Porenzen von cos 2 w nach 
(Soniometrie, 141) durch die Coſinus der Vielfachen von 
2 ausdruckt, und die Produete zweyer Coſinus in 
Summen jweyer ſolchen vermittelſt des Satzes 2 cos A. 
cosB = cos (A—B)'’+ cos (A+ B). aufloͤſt, 0 
Al die Integration nach der Formel [cosAw, Ip — 


A 


Z= ann) [or n’. +2 in 


— sinAw gefhehen, und es wird 


u ete.) si sin w 


+ n+— etc.) in g9w 
2 N144 


— 2 etc, 


Er 


3 4 


— (in! _ An 4 ns 1 IntHere, Jinse : 


3 
20 10 


+ et amt—ei eins 


2 
— Ins In’ tete) singe 
14 112 


Eine Conſtaute kommt — hinzu, weil 2 mit. jugleich 
verſchwindet. 


36. 


Fuͤhrt man die Multiplicacion mit — Factor 


ı—n? wirklich aus, ſo wird 


200 Sohaͤroid. 
1 
— 2rae er as: — ni⸗ 
2* ma [G- -n+ — ns an ac): sin w 
| — — * im + etc. sin ga 3w | | 


| Ger m. ins -etk, )singe 
| 10. | 
— — + etc sin w 
N\14 : ;112 — 
* Er ) 
+ nt - - etc, sin ww. 
u re 9 5 


s + — 


1. Du Göefficienten- zu ben Sinus, der Vielſo⸗ 
— F w-laffen fich auch durch endliche Ausdruͤcke fol⸗ 


gendergeſtalt darſtellen. 


De} 


Es ift, wenn sur otirjung be = —e® seſcht 
02 ur 2 —_e?2 sinw?)?" 
Man feße noch snwzu,fift - 
' . du 
Ä . { — 2 4 b2, ’ ——. 
32 — 274 — ur): * 


Es iſt (Integralformel, 21.) | 
ou I u 1 du 
— ee 
Dadurch wird Hart“ u und e? ihre en wiederher⸗ 
‘geftellt 
82, — ra®?b? X 


‚awat b?- y sinw , 


* 


simd 2 cos c dw J 
— — — — — —— — — — — — 
a? — (a? —b?)sinw? ' *as — (a?— b*)sinw 


1 


Sphaͤroid. 401° 


| se2ma2b2 —— ei u 
a® + b? + (a? —b?)cos2w 
cosw dw: | \ 
+; JS+=— a? 2 2 h2 
+ b2 + ua‘ + (a2 —b2) | ) cosauf 
| — sinw BE und coswow 
a2 +-b? + ncos2w Fee et 


I 
— —  \ = A een 
Ef —— 2 er — Bcos2w + Ceos4w 


— Dcos 6m + etc, 


02 = he — 


MER En 


4 etc, 


+ [Ow (Acosw — Bcosaw cosw 
4 C cos 40 cosw — D cos 6w Cosw 


+ etc) } 


* 


und 
omatb 


— ea sin m z(C+2B)sing. 


* @D + 3C)sin su——(3R +4D) — 


⸗ 


TOR: W + el 


wo ſdas Geſetz ‚des Fortgangs-in dem eingeflammerten 
Factor Elar ift. 


In dem Artikel Integralformel, 126, if Gemerkt, 
daß 

RE. u Be h 7 
—vC-mo)  VY(ı-un) 


a —— | 


Man ſetze alfo — —— * au! i. u e sodet 


a—b 








—n, ® wird n = rel vVG—m) 
i —ãâ —ù 14m2 
een 
+ nı? L — m? 
Ferner ift nach den dort gefundenen Relationen 


e*⸗G 0)* (a+m)AA)= 


am’A= mB, p— ea) 


N und-B = mA 





B-= m2B— nr Le — +m2)c— 


C-m?C=nmDif.w. Die SoefficientenB, C, 
D,E u fi w. bilden alfo eine geomerrifche Neihe mit 
dem Erponenten im, und e& ift der erfte unter ihnen das 


2m fache ‚dee erften Gliedes A in der für 


— 





ı + n c082W 
entwickelten Reihe · — 
| 2 b2 Pr 
Da nun auch) Krsr — — ſo iſt 
3b2 0°. (rm)? 
a2 be — [en itme' und » wird nad) 
gehoͤriger —— 
ZZ ara? Fajla--tüa+ m) sın3@ 


+omi mungen (4 + 3m) sin7w 


| Ä - ae, | 


Späärid, 408 





a, fi m | Ä 
wo ſtatt Ama? ( — =) auch geſetzt werden — 


amab je das a. Glied der eingefchloffe nen 
Rahe 55 (u * D -KAm)sin @r+ 1)ıo 
if, 0 = Sielenjabl des erſten Gliedes genommen. 


Henry hat dieſen Ausdruck fuͤr eine ſohaͤroidiſche 
Zone gegeben in dem Memoire sur la projection des 
cartes geögraphiques adoptee au depöt general 
die la guerre, Paris ıgıo, 


| ed 1m 309. \ 
98 Srmpel ee — 310 ift mn= 
N! u 


2= u EN 
— 0,00107439886 sin 3 « 
-- 0,00000156255 sin 5 w 

— 0,00000000240 sin 7 w 


4z etc,] 


Fuͤr w — 90° erhält man hieraus die, ‚halbe 
Oberfläche des Sphäroibe. Die game it = 4ra2 
x 0,99785015736, überftimmig mit dem, was man 
nach (33) dafür finder. Dhefe Oberfläche ıft fo groß, als 
bie einer Kugel vom Halbmeſſer ax 0,998 9245. 


—X 
X 


39. Ein andrer Parallelkreis habe die Breite oder 
den Abſtand w' vom AÄquator, dem Kreiſe vom Halbe 
meffer CB (Fig, 33 *), fo-ift die Zone zwiſchen diefem 
Kreife und dem in dem Abftande w, der Unterſchied der 
Werthe von Z für w* und w, Da sin w’ — sinn — 
2 sin Z (w —w) 6084 (w! +) ift, (Soniomerrie, 28, ), 
fo brauche man in Den Sormeln für Z (36 und 37) nur 
zu ſetzen 


404 — Sphaͤroid. 


2 sin 3 (wW —w). cost (ww) flattsinw | 

2 sin $ (w —w). cos (ww) ſtatt sin 30 

2 sin $ (wv—w). cos} (w' + w) flattsin zw 
u. ſ. w. —— — 

40. Pas quich hat der Reihe für eine ſphaͤroi⸗ 
diſche Zune eine andere Geſtalt gegeben (Mon. Correſp. 
B. J. ©. 439vergl. B. IX. ©. 304), indem er fie 

nach den Potenzen von sin w oder u fortſchreiten läßt. 
Da nämlich (Zintegralformel, 21.) Te 
nn cu 00a a 4 eu 

e Sen: 2ae * 
ſo wird in (37) | I 

zZ = — + 1) 
a 


} . 
2 — e?u? 2 a e a — eu 





Entwickelt man hier dag erſte Glied des Binomium 

Durch die Divifion, das andere nach der Kormel, $ogas 

rithmus, 57, wobey man e? a? ſtatt e? fege, fo daß e* 
nun die Erentricität der erzeugenden Ellipfe und b? — 

.a? (1—e?) iff, fo wird —J 
 Zz=2am?(1—e?)[u+2e?u3 Jetfus 4460uꝰ 


+ eto.], 


Es iſt far, daß diefe Formel weniger gefchmeibig 
iſt, als die in (37) und eine minder leichte Nechnung 
gewährt. rer en, ‚ 


41. Wird die Zone zwiſchen dem Aquator und eis 
nem Paraflelfreife eines länglichten Sphaͤroids verlangt, 
fo darf man nur in. den Kormeln des 36 und 377 Abſatzes 
a mit b’verfaufchen und ſtatt w feßen 000 — w. Denn 
es iſt der Winfel MON unter welchem die Normale MN 
die fleinere Are, den Halbmefjer des Aquators des längs 
lichten Sphäroids, fehneider, das Complement des Wins 

feld CNO oder MNB, unter welchem fie die größere 
Are fchneider. Soll alfo MON. w heißen, fo ift der 
vorige Winkel w jegt 90° — w, Und dan und m 


L 0 Sphäroid. 405 


durch gegenfeitige Vertauſchung von a und b Werthe ers 
halten , welche ihren vorigen entgegengefegt find, fo muß 
‚man, wenn n oder m ihre vorigen pofitiven Werthe bes 
‚halten follen, n und m in den Formeln für Z (36. und 
37.) negativ fegen, Dadurch wird Ä | 


2= arb? —J | u 
— Int 

[GC +n — — + 5 n r etc. )cosw 

(Gatza' +on® + mt + etc.) co5 3 u 


3 1 1 
—n?--—n? + —n? etc. ) cos 
BAER JR 


EPERSER | | 
14 112. | | 


+ n+ + etc. )}0os 9 @ 


— ec: |. u | 


| =arbe (14) [ cos me mens su 
ı—m/ .. 8 


I 1 
4 — (2— 2m) cos Ban (4 — 3m) cos 7w 


rei | 


wo 2 rb? (= —27ab iſt. 





42. Huygens hat ſchon die Flächen des laͤnglich⸗ 
ten und gedruckten Sphaͤroids gefunden, und zwar, wie 
et ſelbſt, Horolog. oscillator, Prop: IX. berichtet, im 
Sabre 1658. Wallis machte nachher, naͤmlich im 
Jahre 1659, die Beweiſe zu den von Huygens gefun⸗ 


, 


406 Sdphaͤrdid. 


denen und von demfelben ihm mitgetheilten Saͤtzen be⸗ 
fannt, in einem Briefe an Huygens, welcher ſeinem Trac⸗ 
‘tat von. ber Eycloide angehaͤngt iſt. Wallisii Opp. 
Tom. I, pes 158 et 559 | 


re Linie auf einem Sohaͤroid. 


Es ſelle Fig. 34: emen Sector auf der Ober⸗ 
| fäce — gedruckten Sphaͤrords vorz A fey der 
eine Pol; CB. ein Bogen des Äquators, oder des von 
der großen Arc beichriebenen Kreiſes, AMB und AND 
zwey ellptiſche Quadrancen; CMm eine auf der Obers 
fläche gezogene Curve, welche alle ellipfifche Meridiane, 
wie wir die durch A laufenden Ellipſen kurz nennen wols ' 
len, unter demſelben Wınfel ſchneidet. Es sit eine Gleis - 
&ung fur dieſe Curve zu finden, und zwar eme jwifchen 
dem Wnfel, welchen der Meridian AMB mit einem ges 
gebenen AC macht und dem Winkel ver, durch einen 
Puner.M gehenden Normale mır dem Nquator, das iſt, 
der geographiſchen Breite des M. 


44. Die halbe größere Are der beſchreibenden El: 
Upſe ſey = a5 die bälbe Fleinere — b; der Winfel der 
Normale in M mit der Ebene des Aquafors — w; der 
Wunfel der beiden Meridiane oder der Duadranten AC, 
AB ſey = 9, der Winfel, unter welchen die Curve je⸗ 
den Meridian ſchneidet, oder CMB = a; der elliptiſche 
Bogen BM = s. Man lege durch M eine- mir dem 
Aquator parallele Ebene, welche die Fläche des Sectors 
ABD jwifchen den beiden Quadranten AB, AD in MN 
Schneider. Diefer Bogen MN it ein Kreisbogen, wels 
‚chen der Punct M bey der Drehung der Ellipfe befchreibt. 
Der Halbmeffer dieſes Bogens ift Die auf die Drehungs⸗ 
are „senkrechte zu M gehörige Ordinate, wie QM in Fig. 
33*, daher DN = BM iſt. Die Eurve fehneide den 
Quadranten AD in m, fo iſt Nm die zu der Veränvdes 
rung des Winkels w gehörige Veränderung des Bogens 


Sphaͤroid. 407 
BM'oder DN. Die Ordinate zu dem Punete M, ſey 
= y,kitMN= yAG, und „= tan. es 05, 
Nun iſt ywas x in (35) war, alſo | 
Tat cosw 
yon cosw?  b? sinw®). 
‚ta? cos 


ie * vo: aa —immen’ 


—62 
- = e? sefest nit, | 





a? hc zug 
boder, wenn — F 


Aacos 


I nn en nn, 
—V(r—e? sinw?) 

5 ee 
2. — — ET 
cosw(r—e?siny?)3i# 


Dadurch iſt 
29. tang ge, 


Ferner iſt 





"Mesa, 20.) 


(—e2)dsinw _ 
c08 2 (r—e?sin we) 
Man fee jur Abkuͤrzung sin u—Z, ‘fo iſt 
A Zen... 
(1. — ‚22)(1 —e?22) 2) 


Diefe — Function werde in zwey, mit den 
Nennemn 1 — 22 und ĩ - e 2 erlegt (Function, 20), 


ſo iſt J 
| 02: 42802 N 
2: ung« ( 23 je? m)" 


und d daraus Integralformel, 12) 


9* 4 sang «(108 


dos iſt 
= zuunge( 1054 og HN 4C. 


‚Im sine 1 esinw 


980 gr a. — 





Au el. +0 


408 ESpyhaͤroid. 


“Die Conſtante iſt Null, wenn man die loxodromi⸗ 
ſche Linie im Aquator bey C anfangen laͤßt. u 
.. ıtsinw”. j‚ı | 
45: s iſ — et ° Lu ]* 
“ e du sänw ans 4 * ==) d 
,.r-tesnw '. F 51 BE 
und log ———— 2 (« sınw -F — e? sin w3 
‚—esinw | ers 
1 FJ u“ ' e 
r — sın ws +...) nad) Logarithmus (57.) 
| alfo — Er De ’ & — 4 | 
„© =tangalog. uung( 45° + ==) _.y 
| Peer | 
—tanga (orsinc+ etsinw? + Zessina+ie.) 
® | Be u 
46. Für die Rugelifte=o, und 
G => tang a. log. tang (3° 4 —* , wie in 
Eder | P: | 


bem Artikel, Frumme $inien von geboppelter Krümmung, 
27. gefunden ift. Der zweyte Theil von P giebt das 
her die Abweichung diefes Winkels von dem an, ber 
auf der Kugel gefunden werden wuͤrde. 


47: Die. $änge der. lorodromifchen Linie: hängt 
‚bon der Nectification der Ellipſe ab. Das Differens 


08 
tial jener it ——, 
| £ cos «& 


48. Die lorodromifche Linie auf einem Sphaͤ⸗ 
roid haben unterſucht: Murdoch, der dazu: Tafeln 
berechnet hat; Walz in den Actis Erud. Maj, 17415 
Maupertuis in den Mem. del’Acad. des Sc. 1744. 
Caluſo in den Mem. de Turin. -pour, 1788, 89. 
‘Vol. IV, 


49 Wie an einem durch Umdrehung entſtan⸗ 
denen Sphaͤroid der Halbmeſſer ver Krümmung 


Spirale” 409 : 
an jedem Punete eines Schnittes gefunden wird, iſt 
in dem Artikel, Kruͤmmungskreis, 85. angegeben, daſ. 


89. auch, wie der größte und kleinſte Kruͤmmungshalb⸗ 
meffer in einem Puncte beftimme wird. 


Die Eürzefte Linie auf einem Sphaͤroid zu 
finden, wird. in. dem Artikel, Warintionsrechnung, 
gezeigt. a | 

Sphenifche Zahl iſt ein Product aus drei 
ungleichen Zahl, eine veralterte Benennung, Das grie⸗ 
chifche Wort Pay bedeutet einen Keil. u, 
Sbpinnenlinie ift eine aus geraden und krum⸗ 
men $inien zufammengefegte Linie, die einige Ähnlich⸗ 
feit mit einem Gpinnengewebe hat, Albrecht Dürer 
zeigt ihre Conſtruction ‚in feiner Unterweifung der Mef: 
fung mit dem Zirfel und Richtſcheid; aud) Schwenter 
in feiner Geometrie. Sie iſt ganz entbehrlich, und iſt 
dazu keine echt geometriſche ini, u | 


Spirale (Spiralis, Helix, Schnedenlinie) if 
eine krumme Pinie, welche in einer Ebene unendlich 
viele, fich immer vergrößernde Umlaͤufe um einen ſe⸗ 
ſten Punet macht, es ſey daß fie in diefem ihren An⸗ 
"fang nimmt, oder diefem fich in unendlich vielen, ſich 
“immer berengernden, Almläufen immer mehr nähert, 


er Spiralen koͤnnen auch auf.einer Kegelfläche ober 
der Flache eines Konoids bejchrieben werden, wo ber 


y 


Scheitelpunct der fire Punct iſt. Auch auf Kugelflä: - 
“ben und Sphäroiden laffen fi) Spiralen ziehen, wo 
"aber der Abftand von dem Pole des Körpers oder von 


deſſen Mittelpunete beſchraͤnkt iſt. 


Man beſchreibe mit einem willkuͤrlichen Halbmefs 
fer einen Kreis, und nehme auf dieſem von einem 
Puncte aus Bogen, welche auch den ganzen Umfang 
unbeſtimmt oft enthalten mögen, als Abſciſſen für eine 
rrumme Linie an. Auf die durch den andern, beräns 

derlichen Endpunet aus dem Mittelpuncte gezogenen ges 


* 


392 2 Sphäreid. 


. 27. Wird die Oberfläche des laͤnglichten Sphaͤ⸗ 
roids verlangt, ſo muß man, wofern man nicht umter b 
im (18) die halbe größere Are. der erzeugenden Ellipſe 
verſtehen will, dafelbji a und b aegenfeifig vertauſchen. 

| “a act 4 EN * 2— 92 
Dadurch wird dag dortige mn? = _——, Will man 
| a2 — 
a? — 





b2 2 — | R rer b 
— = nn? feßen, wie es die Realitaͤt von n 
erfordert, fo kommt — n? ſtatt ne in (ı 8) oder nV—r 
flat n, und ea wird. 2 


aiſe 


$ = Zabwip Yılı ne we). BEE 
b ur ee ie 
+ nralgivia —n* w?) +nwV-n). 


Da die Logaricdmen unmoͤglicher Groͤßen ſich auf moͤgliche 
Kreisbogen zurückführen laffen, indem | 
= log fcosv + V=-ı sinv)‘ ti, er 


J 


en, Su V—ı — 
wie ſich leicht aus Goniometr. 153 herleiten laͤßt, ſo 
wird, wenn man zin v nw nimmt, 

lo 1—n?w? = 


— — = Ang, sinnw 

und dadurch J ie 

„abW , —— 

S=3abwy Y(i—n?!w2) 4 — Aneg. din nw 
Z—= rabw V — we) + = Ang, sin nw. 

28. “Für die halbe Oberflädje des Spfäroine ift 
‚wZı,Y(i —n?w?)— * alſo die Oberflaͤche des | 
ablangen Sphäre = | 
Ä 2ra?b : 

b2 N ee ro 
zrb? 4 Va@-bs Ang, sin 

2ratb..:.. 


b 
va —b2) Ang, cos = 


f J 


V (a2 b2), R 
‘a u 


= 2rb? + 


Sphaͤroid. 398 
29 Wenn b+ A, genommen wird, ſo iſt nZo 
In dem Ausdrucke =" ing, sin nx wird alfo der 


erſte Faetor anendlich ber zweyte iſt ©. Alm den Werth 
des Products zu haben braucht man die Reihe für den 
Bogen aus — Sinus. Da yamlich Ang. sin nw. 


ee ne we — nd ws tr etc, . fo 


— Ang, Inne Hin: + nt wi + ty 
welches, firn—o, = w if. "Daher if die Fläche 
der von LA (Fig. 31) —— — ra⸗w 
= 2max, wie in (22). ET RER | 


30. Setzt man nw = sin 6, (6 wird in en 


mab mab . 
Z = — sino cos; — — 
n n 


| 8: 


— (sin 20 = 20° 
) 0089 V/ (aa — *XV (aa - za bb 


a. a? 


wo sing = 

| 31. Um bie Öberflächen des — und ee 
lichten Sphärgide mit einander zu,pergleichen, fege man 
a2-b2—a? e2, fo daß -e-vie. xcentricitaͤt der erzeu⸗ 
genden Ellipſe iſt, ſo wird die — des gedruckten 


Sphaͤroids = 
1—e? ı te — 
ee — 
| Daran Ir ri er 08. eh ‚Die bes aangen, 


| ua 
= 2maa * — —* Ang. sin F jene 
* ſich alſo zu — wie — — * 


—'e? —8* 


1 





— Sphaͤroid. 


* * Ang. sin e, Daling.sı sin e> 


— 0,5 —E rt, War 


— 7 


Bene von eꝰw in — — * “nd „Angeinc e indem ers 


5 el; im nd die Sof 


A 3 & 


Re bon 'am ap r 4; ao iſt — 





* Ang: sin el Da nun —E log - Fu > ⁊* alle 
— | 

I, 68 
@ — ) og ur ® ‚ire u, Gm — * — das Vor 


derglied — —— arbßer als das Hutaglid 
Demnach hat das gedruckte Sphaͤroid eine groͤßere Ober⸗ 
flaͤche als das mit ihm aus derſelben erzeugenden Els 
aa entſtandene ablange er fo wie es — einen 


groͤßern Inholt bat. (13). ; 
332. Ennpichle man bie. Yucbrüce a x 


log te und —— sin ein (30) in Reis 
pa e -e 


hen, fo erhält man bie ‚Oberfläche des — Sphaͤ⸗ 
roids = 4raa x" 
amp tg bi aydgi — | 
10.7 Eu — OR. e — = I — — ⸗etc ) 
3!,° 157: 85., , - .63 | 

bie des ablangen aber = - 
4.raa X ty ’ 

re TE \ * 
(:- Fe Eulen ee.) 

3 15; 105 3135 

welche Ausdrücke I Verechnung diefen Oberflächen 
bienen‘, wenn e eine Fleine Grd Be if. Man bemerfe 
noch, daß qraa die Obeiflaͤche einer Kugel vom Halb⸗ 
meſſer a iſt, welche kommt, wenn ab, alfo. emo 
wird, 


Ser 1398 


_vVe Marl _(& = 
| 310 


und man, — 


Exempel. Es ſey — = — ſo iſt e 


m 0,00644120707 
/ et = 0,000041484914., s 
ne == 0,00000626724 . 
- ed — 0,66060000172 
eT® —. 0,00000000001 


und hierdurch, wenn 4maa — — if, die Ober⸗ 
fläche DeB gedruckten Sphäroids = 9261961 „. die des 
ablangen = 9242032, beibe in den nächiten ganzen 
Zahlen. Die gefundene Dberfläche des gedruckten Sphaͤ⸗ 
roids iſt diejenige der ald Drehungsipharoid betrachteten 
Erde in geographifchen Duadratmeilen für Das von 3 ach 
angegebene Arenverhältniß, 


| 33... Sft.das Sphaͤroid nicht aus Umdrehung ei ei⸗ 
ner Elfipfe um ihre größere oder kieinere Are entſtanden, 
alfo in (18) nihr ac, fo fege man in (17): 

T a? sin Wo re} co: T — * 

a⸗ 

ib ed wird 
95 = — aodıb/99 sin Ö V (c® cos Y + b® gi sin a 
fo daß in (18) ſtatt b? kommt b? P?, DVehäle man nun 
die dortigen Bezeichnungen ben, fo-wird 
| 88 ⸗ Jabw Yaypy(ı+n'w‘) 
4b*8 w) 
SEE Y joe vVarn’w) Las, 


an varı War 





we. | 
* —————— 

ur ST Bye UNE 

ift. Set man hier w — 1, fo erhält man ben Sector 

EBe (Fig, 31) “ weicher o“ Differential bes Sectors 


36 Sohaͤrid 


ABE ift.. Wird dieſer alſo 3W genannt, fo daß W das 
Gegment BADEB bejeichnet ‚fo ift 

ab? Y° ou - + V(c—b*Ft) 

ew= -acd en LO ——— —. 

Er ve -b*Y°) — —— 


Das —— des zweyten Theils dieſer Formel 
laͤßt ſich durch keinen endlichen Ausdruck angeben. In 
dem Falle, wo a und c wenig von’ einander verſchieden 
find, läßt es ſich durch Naͤherung folgendergeſtalt 
erhalten. 


"Da. VER: | 
ker ar sind! 4a cos - * v’+ ca | 
— PERS BR NETER 


— ce 
= ı + 1cos\* 


c® 


— gemacht wird, ſo wird 





wenn 

abe v⸗e 4 — cHvV bt ve) I 1 
2y (d— — b! Y°) BITZVe—b — 5 — 

a(b? + be ĩ cos.) od is c-++ V (e2-b?-beicos/*) 

2V (®-b*- bticosıp") c-V ee ei 

 Ninme man num 

——— — — 





— cyan) * —* 

ſo wird | | 

a(b?+b?°i co  chVfes-br-bricon)®) 

—— — i — 5x -V (c?-b?-b2 icosıp?) 
— Ab,f(b2 + b2i ‚cos W?) 


> nad) dem n Taiflorfchen Lehrſatze 
abar o/ 10 c+Y (ec —b) 
= aV@-b) 


ee a | | Sphaͤroid. | 397 
‚+ f! (bb? icosip a + Zf" cb*) baꝛ cosiabt ab 
j + ft (bY). b® it co⸗ ve ob + etc. 
wo f’ 45 — “(be), — (b?) u, ſ. m. die ſucceſſiben 
— ze. fb%) & ‚f(br J 


| 0. be ' bi ’ (Mrd) 
u. f. w., b* als‘ —— genommen, anzeigen. 


Hiernach wird 
bb „ctVe-—b) 
W=ab nn lo — — 


APO9.bifopcosye +2fr@d.bii’fapcosy4 


+ pm (be). ir is [ — * 024 
wo die — fay cosy’, Jo — u. ki w. 
ſo zu nehmen ſi find, daß fie für y =.o verfhwinden. 
34. Um die Oberfläche des Sphäroids zu haben, 
muß man — ar ’ fegen. un ift (Integralformel, 
114. 62) 
al 2.3. 8. . .24 — 1 
ö IR A eh 
Joy cosy“ — —— . 24 ya: 


wenn das integral von y = 0, bis y = 27 genoms 
men wird, daher ift die Oberfläche des Sphaͤroids — 


— > lo LrYez, 


Differentiolquorienten 





ER BT —_v(e=d) 
+. E.— — —— 0 DI ba 


x 18. 2*, — 
In el ee A) (b°). brair den gahjen 

ar gs, — — 

Complexus der Glieder — welche entſtehen, wenn 

in dem unter dem Zeichen & ftehenden Ausdrucke A nach 

und nah — I, 2, 3, 4... U, fu 1, geſetzt wird, 





wo 3— 


ri # 


/ 


Dadurch wird 


898. - — Sphaͤroid. 
35. Da es für die Segapfie ı von Nutzen iſt, 


den Inhalt einer ſphaͤroidiſchen Zone durch die Breite der 


Puncte auf dem die Zone begraͤnzenden Parallelkreiſe aus: 
gedruckt zu haben, ſo ſollen die darauf Bezug habenden 
Ausdruͤcke hier noch entwickelt werden. 


Es iſt ACB (Fig. 53* ) ein efliptifcher Sunbiant, 


melcher ſich um die halbe Eleinere Are AC drehe, und bie 
Haͤlfte eines gedruckten Sphäroids beſchreibe. Man foll 
Die von dem Bogen BM beichriebene fphäroidifche Zone Z 
durch den Winkel — — MNB, welchen die Normale 
MN an dem Enppunere M des Bogens BM mit der 
rich Are CB mad, ausdrucken. 


Wenn die Abſeiſſen vom PEN SS an auf der 
— Are CB genommen werden, fo iſt, den Bogen 
BM = s gelegt, weil QOM=CP=x, 04 = 2rx0s, 
Dun ul, wenn r den Halbmeffer der Krümmung an M 
bezeichnet, ds = row — der Kruͤmmung, ı) 
und an der. — (Ebendaſ. 16) 

a° be 
l cosw® + b»sin w)& 
u - ar cosw + 


- (a’cosw' + b:sin w.)E 


2 2 r7a⸗ b* cos wow 
T (a?cosw? + b’sin w*)* 
Da 2cosw—ı + coszw, 2 Sin 1 —C082 


en ‚ 


* 


gma* becoswow | 
(a? + — (a? — a — 


a2 — b2- 
Man ſetze rei ſo iſt — u 
i 2 2 b2 
2b — RR RL LER ı —n?* und 


a? + b? | | (a? + b2)2 = 


| Sphaͤroid. | ‚399 


gz  ratli—n®)cowdn © S 
— a + ncos2w)t 





das iſt, | 
as (ea) enkssain 
- —4n°6982 w3. * 5n#cas2w# — etc.)Cw. ' 


Wenn man bier bie Porenzen von cos 2 w nah 
(Soniometrie, 145) durch die Coſinus der Bielfahen von - - 
2 ausdruckt, und die Produete‘ zweyer Coſinus in 
Summen zweyer folchen vermittelſt des Satzes 2 cos A. 
cosB = cos (A—B)'+ cos (A+B), aufloͤſt, Pa 
— die Integration nach der Formel / cosdw, do — 
1 4 


. sin Aw gefchehen, und es wird 


Fe | 


Zune [G-»+:* n’ nt Int 


— etc. ) sin w 


EP BR : 
—(-n--n’+-n?-—nt etc, )sin * 
— re Jahn 
— 3 I I: F Br s 
. N20 ° 9 ee: 


I ; E 
— zin 7 


| 14. 112 
| } | *2 
* — nt etc.) sin 9w 
ii ı% i o ; 144 j j 
— etc, 


Eine Sonfane fommt nicht hinzu, weil zZ mitn su 
verſchwindet. 


36. Fuͤhrt man die Multiplication mit den Suse 
zn? wirklich aus, jo wird 


* 


400° Spyhaͤroid. 
1 
2* 2 r a [6 I-n * — np +Snt-ac) sinw 


— -( : 5 + zu’ im + etc. „sin 30 zw | 


m» de 


— — 
. (on u + mem inse | 


20 LO 


tz 
— —— — — + etc )sin zw 


\14 112 
| EN etc, )sin @ \ | 
+ | 4 


r u er | ng 
% e — 


— 37. Die‘ Coefficienten zu den Sinus, der Vielfu⸗ 
chen von w-laffen ſich auch durch wäh Ausdruͤcke fol⸗ 
gendergeſtalt darſtellen. 


Es iſt, wenn sur Aöfürzung ar > — geſett 


cwird a 
‚amat b2- 2. sinw , 
022 = = 


(a? — e? sinw2)2" 
Man ſetze noch sinw=u, fo — 


‘ ‚zZ —2ratb? 


ou 
} — _—e?2 u2)2° 


Es ift (Integralformel, 21.) 


Su — u + ı f ou 
Ja u2)2 2a? at-e? u? Tnaz'/gs_er 
Dadurch wird Hart“ u und e? ihre — wiederher⸗ 
geſtellt 
82 — ra?b? X : h 
1 (.  simWw +[= .cosw dw N 
a? — (a? —b?)sinw? " "at — (a?— —b2)sinw? 


— 
— — 


Sphärd, 7: 401° 





| 2 - smw 
— a® b2 + (a? —b?)cos2w 
coowdw: N 
las a? +b? + Bea) cos 2 w 
| __ ra? b? sinw * cs 
— St 7 nco92@ ı+ — — 
Es ſey EBEN = A _ Becosau + Ceos4w 


1 + n C05 2w | 
— Doos6w etc, | 





2 . 
—* — BcOs2 w3inw 


J— 


+ etc, 
+ [Ow (Acosw — Bcoszw cosw 


=> C cos 40 cos» — D cos 6w cos 

| + ec) 

und | 
ama?b? 


— 5 Asna 5 (C+>B)sinze 


+.-(@D + 30) sin sun (aB + 4D): sin7w 


\ 5 ei 
wo ſdas Geſetz des Fortgangs in dem REN | 
Factor klar iſt. 
| In dem Artikel Integralformel, 126. if Gemerkt, | 
daß | 
| t | 2 1. — 
me mn —, Bu — ' 

V (1-nn) V (ı-aun) | 


2 Spharoid . R 
ae A Zu — an), , (ab)! 
le: — 








Man' ſetze alb — 


a—b 2m 
= m, ſo wirde = —, I nn 
op =, win = 7 Vi m) 
tm? tm? u 
n Er. kart = N und B =zmA: 


2 








ns 
Mu: 


Ferner iſt nach den dort gefundenen Relationen 


— (a+md)A—A) = 


2m’A= mB, A047 BE Fn)b- 


RR | 3 "SEE | 
C=-m?C=nmDif.w. Die CoefficientnB, C, 
D,E u ſ. w. bilven alſo eine geomerrifhe Reihe mit 
dem Erponenten im, und es ift der erfte unter ihnen das 
‘am fache ‘des erften Gliedes A’in der für 


—— Reihe. 


— — 


1-n cos 2 w 





a2—b Si | 
Da nun u =ıi= — 2" fo iſt 
& . U’-+ m A 


a E * b 1 ru 





2- ara ( 





—— — a RS m) sinz@ 


"m 


Hm + am)si e — (4 — gm) sim 7 o 


| = 4 — - ie, | 


Sphaͤroid. 408 





— tm - | 
wo ſtatt 2 ra? [€ F =) auch geſetzt werden N 


amab - das — Glied der eingefchloffe nen 
Reibhe 5 (m) — Am) vin @r+ 1)oo 
ift, © Ar u Stellngaft des eriten Gliedes genommen, 


Henry bar diefen Ausdruck für eine ſohaͤroidiſche 
Zone gegeben in dem Memoire sur la projection des 
cartes geögraphiques adoptee au depöt general 
de la guerre, Paris 1810. 


ab _ıi=m 309. | 
3 Erempel. — er m 
1859. 


ı4m=, 3+m= 7 


2* * to, 99677419355 sin v 
en — 0, 00107439886 sin 3 w 
+ 0,00000156255 sin 5 w 
. —— 0,00000000240 sin. 7 


- etc,] 


Rio — 90°. erhält man hieraut die halbe 
Oberfläche des Sphäroide. Die game it —= 4ra2 
x oO, 99785015736, überftimmig mit dem, was man 
nach (33) dafür finder. Diefe Oberfläche ıft fo groß, als 
bie einer Kugel vom Halbmeſſer a x o, 9989245. 


uf. w. und 
619 


39. Ein andrer Parallelkreis habe die Breite oder 
den Abſtand w dom Aquator, dem Kreiſe vom Halbe 
meffer CB (Fig. 33°), fo-ift die Zone zwiſchen dieſem 
Kreiſe und dem in dem Abftande w, der Unterſchied der 
Werthe von Z für ' und u. Da sinw’ — sinn — 
2 sin 4 (w —w) cost (w! +) it, (Soniomerrie, 28,), 
fo braucht man in den Sormehı für 2 (36 und 37) nue 
zu jegen 


7 1 Sphäroid. 
2 sın L(wW —w), cos £ (u! + w) ffattsinw | 
2 sin $ (w' — w). cos (w + w) ſtatt sin 3 w: 
2 sin 3 (w— uw). cos} w+ w) ſtatt sin zw .' 
u. ſ. w. 


40. Pabquich hat der Reihe fuͤr eine ſphaͤroi⸗ 
diſche Zone eine andere Geſtalt gegeben (Mon. Correſp. 
B. 15 ©. 439‘ vergl, DB. IX. ©. 304), indem er fie 
nach den Porenzen von sin w oder u ſortſchreiten läßt, 

Da nämlid) ¶ntegralformel, 21.) | 
| ’ Si. 2 I at eu 
— —— 

“ —— 2ae £ a — eu 

fo wird in (37) 


=. u ei afeu 
ze re) 





zae a — eu 


Entwickelt man hier das erſte Glied des Binomium 

Durch die Dwiſion, das andere nach der Formel, $ogas 

rithmus, 57, wobey man e? a? ſtatt e? fege, fo daß e? 

nun die Exentricitaͤt der erzeugenden Ellipſe und b? — 
„a? (1—e?) iff, fo wird 

Zz — 2m? (1 —e?)[u+2%e?u? +3etus-+4esu7 

| | + etc.). 


Es ift Flar, pe: diefe Formel weniger gefchmeibig 


it, als die in 7) und eine minder leichte Renunig 
gewaͤhrt. 


41. Wird die Zone zwiſchen dem — und ei⸗ 
nem Parallelkreiſe eines laͤnglichten Sphaͤroids verlangt, 
ſo darf man nur in den Formeln des 36 und 37 Abſatzes 
a mit b-vertaufchen und ſtatt w ſetzen 000 — w. Denn 
es iſt der Winfel MON unter welchem die Normale MN 
die fleinere Are, den Malbmeffer des Äquators des längs 
lichten Sphäroids, fehneider, das Complement des Wins 

“feld CNO oder MNB, unter welchem fie die größere 
Are ſchneidet. Soll alfo MON. w heißen, fo ift der 
borige Winkel w jegt 90° — w, Und da m und m 


durch gegenfeitige Vertauſchung von a und b Werthe ers 
halten , welche ihren vorigen entgegengefegt find, fo muß 
man, wenn n oder m ihre vorigen pofitiven Werthe bes 
‚halten follen, n und m in den Formeln für Z (36. und 
37.) negativ feßen, Dadurch wird u” 


2= arb? | un | 
[GC +n+-n? +-n3 +-nt + etc. )cosw 
2 2\ 8 | 
-(atz= +on? + nt + etc.) cos 3 wu 
+ In? En? + Int + etc.) coszu 
20 10 10 — 


—A— | 
— —n? + 2; n*® +ete.) co87w' 
14 112. | 


— — 1214 etc. )}00s 9 w: 


— ee |. | Ze De: 
14m | 1 | | 

=anbe( * ) [ee — | 
I—m/ .. 8 ' 


1 | L. 
4 — (2— 2m) cos5 ee (4—3m) cos 7w 


+ ec, | | 
son ande (FF) =arab . 


42. Huygens hat ſchon die Flaͤchen des laͤnglich⸗ 
ten und gedruckten Sphaͤroids gefunden, und zwar, wie 
er ſelbſt, Horolog. oscillator, Prop. IX. berichtet, im 
Sabre 1658. Wallis machte nachher, nämlich-im 
Jahre 1659, die Beweiſe zu den von Huygens gefun⸗ 





400 Sphäreid, 


"denen und Bon demfelben ihm mirgerheilten Säsen ber 
fannt, ın einem Briefe an Huygens, welcher feinem Tracz 
‘tat von der Encloite anaehängt if, Wallisii Opp, 
Tom. I. pes 358 et 332 


——— Linie auf einem Sppäroid, 


Es ſielle Fig. 34: einen Sector auf der Ober⸗ 
| fläche 2 gedruckten Sohaͤronds vor; A fey der 
veine. Pol; CB. ein Bogen des Aquators, oder des von 
der großen Are befchriebenen Kreıies; AMB und AND 
zwey eiliprifche Quadranten; CMm eine auf der Obers 
fläche gesogene Curve, welche alle elliptifche Meridiane, 
wie wir die durch A laufenden Fllipfen kurz nennen wols ' 
len, unterwemselben Wınfel ſchneidet. Es iſt eine Glei⸗ 
&ung fur diefe Curve zu finden, und zwar eme zwiſchen 
dem Vnfel, welchen ver Meridian AMB-mıt einem ges 
gebenen AC macht und dem Winkel der. durch einen 
Punct M gehenden Normale mır vem Äquator, das iſt, 
der sograptilcgen Breite des —— M. 


44. Die halbe groͤßere Axe der beſchreibenden El— 
lipſe ſey — ra; die hälbe kleinere — b; der Winkel der 
Normale in M mit der Ebene des Aauatois — = w; der 
Winfel der beiden Meridiane oder der Duadranten AC, 
AB ſey = 9, der Winfel, unter welchen die Curve jes 
den Meridian fehneidet, oder OMB — «a; ver elliptiſche 
Bogen BM = s. Man lege durch M eine: mit dem 
Aquator parallele Ebene, welche die Kläche des Sectors 
ABD zwiſchen den beiden Quadranten AB, AD in MN 
fchneider. Diefer Bogen MN iſt ein Kreisbogen, mwels 
‚chen der Punct M bey der Drehung der Ellipfe befchreibt. 
Der Halbmefjer dieſes Bogens ift die auf die Drepungse 
are „fenkrechte zu M gehörige Ordinate, wie QM in Fig, 
33*, daher DN = BM iſt. Die Eurve fchneide den 
Quadranten AD in m, fo iſt Nm die zu der Veraͤnde⸗ 
rung des Winkels w gehörige aan, —* Bogens 


Sphaͤroid. 407 


BM oder DN. Die Ordinate zu: dem Punete AM, ſey 
*, it MN=y4A0, md yQ= tang a. 05, 


Run iſt von, x in (35) war, : alſo | 
ar. cosw 


— cosw? + b?, sinw®) 


— 


ta? Cosy . 


re — "yo a2 I —ineman’ 





a2 b2 
oder wenn — a = e geſetzt wird, | 


\ "acosw‘ 


— — — 
F V (i—e? sin w2)' 
$ a(r—e?) Osinw | 

cosw(I—e? sin w2)3:? (Ner fe tio ,ı? } 


Dadurch iſt 
9.=tanga, 


Ferner iſt 


(1 —e?)dsinw 
cos 2 (1 —e?sin we) 
| Man ſetze zur Abkuͤrzung sinu— z zZ , fo iſt 
(1—e?)dz 
(1—22) (1 —e?z2) 


Diefe gebrochne Function werde in zwey, mit den 
Nennern 1 — 22 und ĩ — e?22 zerlegt (Function, 20), 


ſo iſt 
Oz: 4282 N 
9 D——— — an — — — 
er unge ( 23 je? 5 


und daraus Integralformel, 12) 


\ 





. o=äunga(10g 1 — 7 — log. — )+ G, 
dns | | 
— ı+sinw „ır esinw 
| =; — a sea sine — . . 


408 — Sphaͤroid. 


J 


Die Eonftante ift Null, wenn man die Torobromis 
ſche Linie im — bey C anfangen läßt. ;, | 


Lt sinw " I | 
r R 8 = tan o — 2 
45. € na er Ha) 
— 1 we 
mb rer — 2 (« sın u -+ — e? sin w3 
— esinw — 


I | i — 
+ z eösin ws + ei.) nad Logarithmus (57.), 
ME | Di Pe 
, 9 =tanga log. uung( 45° + Zu) 2 
| Ber 
—tanga (Ean 4 Fetina⸗ Zessina+ie.) 
46. Fuͤr die Kugel iſte = o, und ' 
' Reh u — 
== tang a. log ‚tang (35° > —w.}, wie ın 
| ‘ — 2 | 
dem Artikel, Frumme $inien von geboppelter Krümmung, 
17. gefundeh iff. Der zweyte "Theil von P giebt das 


her die Abweichung diefes Winfeld von dem -an, ber 
auf ber Kugel gefunden werden würde. 


47. Die. $änge der, lorodromifchen Linie: hängt 
von der Nectification der Ellipfe ab. Das — 


d 
tial — iſt —— 
sa 


48. Die lorodromifche Linie auf einem Sphaͤ⸗ 
roid haben unterſucht: Murdoch, der dazu: Tafeln 
berechnet hat; Wal; in den Actis Erud. Maj, 17415 
Mauperruis in den Mem. del’Acad. desSc, 1744. 
Calufo: in den Mem. de Turin. “pour, 1788. 89. 
‘Vol. IV, 


49 Die an einem durch Umdrehung entſtan⸗ 
denen Sphaͤroid der Halbmeſſer der Krümmung 


Spirale” 409 


an jedem Puncte eines Schnittes gefunden wird, iſt 
in dem Arrifel, Krümmungsfreis, 85. angegeben, daſ. 
89. auch, wie der größte umd Eleinfte Kruͤmmungshalb⸗ 
meſſer in einem Puncte beflimmt wird. we 


Die Eürzefte Linie auf einem Sphaͤroid zu 
finden, wird in. bem Artikel, Variationsrechnung, 
gezeigt. | I | 

Sphenifche Zahl iſt ein. Product aus drey 
ungleichen Zahl, eine veralterte Benennung. Das grier 
ehifche Wort Pyv bedeutet einen Keil. FE 


Sbppinnenlinie ift eine aus ‚geraden und krum⸗ 
men Sinien zufammengefegte Linie, die einige Ähnlich⸗ 
feit mit einem Öpinnengewebe hat. Albrecht Dürer 
jeigt ihre Conftruction ‚in feiner Unterweifung der Mef: 
fung mit dem Ziefel und Richtſcheid; aud) Schwenter 
in feiner Geometrie. Sie iſt ganz entbehrlih, und ift 
Dazu feine echt geometrifche Sinie, war Tl: | 


Spirale (Spiralis, Helix, Schnedenlinie) iſt 
eine krumme Linie, welche ‚in einer Ebene unendlich 
viele, fich immer dergrößernde Umlaͤufe um einen fe 
ſten Punct macht, es fen daß fie in dieſem ihren An⸗ 
Fang nimmt, oder dieſem ſich in unendlich vielen, ſich 
immer berengernden, Umlaͤufen immer mehr naͤhert. 


| Spiralen koͤnnen auch auf einer Kegelfläche oder 
‘der Flache eines Konoids befchrieben werden, wo ber 
Scheitelpunct der fire Punet iſt. Auch auf. Rugelflä: - 
"hen und Sphäroiden laſſen ſich Spiralen ziehen, wo 
“aber der Abjtand von dem Pole des Körpers oder von 
deſſen Mittelpunete beſchraͤnkt iſt. — 


Man beſchreibe mit einem willkuͤrlichen Halbmeſ⸗ 
fer einen Kreis, und nehme auf dieſem bon einem 
Punete aus Bogen, welche auch den ganzen Umfang 
unbeſtimmt oft enthalten mögen, als Abſciſſen für eine 
krumme Linie an. Auf die durch den andern, veräns - 
derlichen Endpunct aus dem Mittelpunefe gezogenen ges 


40 Spirale: 


raden frage man bie nach irgend einem Gefege aus jes 
nen beftimmten Ordinaten, fo wird die Beſchaffenheit 
der Spirale durch die Gleichung zwiſchen dieſen Coor⸗ 
dinaten dargeftellt,:auf .diefelbe Art wie für gerablinige 
Aöfeiffen und Die darauf unter einem gewiſſen Winkel 
gefegten Drdinaren. Golchergeftalt laſſen fich alle ana⸗ 
Intifche Linien , welche ‘aus Gleichungen zwiſchen gerads 
linigen Coordinaten verzeichnet werden, umbilden, mo: 
durch. bisweilen ſonderbare Geſtalten entſtehen mögen, 
Allein für Spiralen ift die Einfchränfung zu: machen, 
daß zu jeder Abfeiffe nur eine einzige Ordinate gehöre, 
mit der nähern Beftimmung, daß für unendlich große 
Abfeiffen eine mögliche Ordinate, fen fie auch unendlich 
klein, Statt habe. Daher haben die Gleichungen für 
- Gpirafen die Rorm, ax = by, oder a®x — by?, und 
allgemeiner , ax". by”, wo a und .b gegebene Groͤ⸗ 
fen von den gehörigen Dimenfionen bedeuten; ferner 
aa — xy; und die beionders merkwürdige, ea — Y. 


Man kann auch: die Drdinaten von dem, Kreide 
umfange aus, es fey von dem Mittelpuncte ab hinaus: 
wärts, oder nach demfelben hinwaͤrts nehmen. Dod) 
iſt Das. erftere Verfahren. ben weitem das gewoͤhnlichſte. 


AAnſtatt der Kreisbogen werden in ‚der folgenden 
Abhandlung die zugehörigen Winfel,.das ift, die Quo⸗ 
„tienten ‘des. Bogens durch den Halbmeſſer, gebraucht 
werden, oder,. wenn die Linien als Zahlen in Bezie—⸗ 
bung auf eine Einheit. gedacht werben, der zur Abfeife 
‚fenlinie genommene, Kreis hat zum Halbmeffer die Eins 
heit. — . Übrigens. verdient. diefe Gattung von Frums 
men dinien, wegen ihrer Eigenfchaften und der An« 
mwendungen der Analyſis, eine etwas ausführliche Be— 
"Handlung, ee | | 


Die archimediſche Spirale 
| 1. Die einfachſte Spirale wird auf folgende 
"Art gezeichnet. Es iſt APBQA (Fig. 35.) ein 


Spirale, E 411 


. Kreis mit dem Halbmeffer CA Befchrieben. Indem 
diefer. um den unbewegren Mittelpunet C ;herums 
geführe mird, bewege fich auf demfelben ein Pimet 
von C aus nah dem Ilmfange. hin, fo daß idie 
befchriebenen Wege immer den von dem Halbmefjer 
befcehriebenen Winfeln proportional fegn, und daß 
derielbe in die Peripherie in A treffe, wenn der Halb⸗ 
mejjer CA feinen ganzen Umlauf volletivec har. - Lim 
alſo einen Punct drefer Spirale, M, auf dem Halbmejjer CP 
“anzugeben, ſuche man die vierte Proportionale zu dein 
Umfange, dem Bogen AP, und dem Halbmeſſer CP. 


Mach dem erften Umlaufe muß der Halbmeffer im⸗ 
mer mehrere machen, indem der die Spirale beſchreibende 
Punct auf jenem, fo wie Bey dem erjten Umlaufe, forts 
rüct, daß die Wege den befchtiebenen Winfeln pro: 
portional finds. So ift AND der zweyte LImlauf nach 
dem eriten CMA, und ein Punct „N deffelben: wird. ges 
funden, wenn man zu dem Kreisumfange, der Summe » 
des Umfanges und des Bogens AP, und zu AC die 
vierte Proportionale CN fucht, welche auf dem vera 
längerten Halbmeſſer CP des Srafe APBA nad N 
hin getragen wird, 


. Eonon, tin. Zeitgenoffe des Archimedes, der ihn 
ſehr ruͤhmt, hat dieſe Spirale erdacht, allein Archi⸗ 
m edes hat ihre Eigenſchaften erforſcht. Seine Schrift 
» über dieſe Curve gehoͤrt unter die ſcharfſinnigſten des 
Alterthums. Er quadrirte den Flaͤchenraum zwiſchen 
zwey Madıis der Spirale. Er hat gezeigt, wie groß 
. ‚bie Subtangente an derſelben iſt, das iſt diejenige 
Zange, welche auf der, in dem Anfangspuncte der Spi⸗ 
rale auf dem Radius Vector ſenkrecht gezogenen, von 
der berührenden abgefchnitten wird. Dieſes Zetztere bes 
fonders erregte die Bewunderung der Geometer vor det 
- Erfindung der neuen Analyfis. Bouillaud (Bulli»- 
aldus), der felbft über die Gpirallinien eine Schrift 
(Parıs, 1658) heramsgegeben hat, geſteht in der Vor⸗ 
al daß er mit aller Anftrengung den re des 


* 


412 Ä Spirale. 


Archimedes, von dem Verhaͤltniſſe der Subtangente zu 
Dem Kreisumfange nicht völlig gefaßt babe, und unbe: 
friedigt geblieben fey. In der That fcheint dabey eine 
Schwierigkeit zu ſeyn, da Archimedes ein paarmahl 
erwas als möglich annimmt, wo er, mie es fonft 
‚gewöhnlich ift, hätte zeigen. follen, wie die gegebene Li⸗ 
nie zwiſchen dem Kreife-und einer geraden zu legen iſt. 
Bon Bouillaud ſagt Montuͤcla, daß feine Beweiſe, 
die einfacher feyn follten als die von Archimedes geges 
benen, fehr vermorren und ſchwerer als diefe find, (Hi- 
stoire des Mathematiques. T. I p. 226.). Die 
Analyſis der Neuern beftimme an der Spirale alles 


sehr Teiche, 


Die. Alten gebrauchten .. diefe Spirale” als ein 
‚geometrifches Mittel, einen Winkel oder. Kreisbogen 
‚nach ‚einem gegebenen Verhaͤltniſſe einzutheilen, - Pap- 

pus in Collect, mathem. L, IV. prop. 35... Da die 
Spirale nicht. duch. eine zufammenhangende Bewegung 
sbefchrieben werden: kann, fondern nur durch eine Kolge 
einzelner Puncte angegeben wird, ſo iſt diefe Aufloͤſung 
. unvollfominen, nur eine praktiſche. „ir Ä 


2. Es fey der Radius des angenommenen Kreis 

ſes AC — a; der Nadius der Spirale CM — y; de 
befchriebene Winkel ACM = P, und vier Rechte = 2m, 
wo 2m und ® auch als der Kreisumfang und ein Kreis⸗ 
bogen für einen Halbmeffer = ı angefehen werden koͤn⸗ 
nen Es iſt nun a:yZ 27:09, und die Gleichung 
fuͤr die arhimedifhe Spirale, aA = ary. Der 
Winkel © Fann vier Nechte oder 27 unbeflimme oft 

- enthalten. | | | I 


3. Mit. jedem Umlaufe nimmt der Radius Vecs 

‚ tor, wenn er wieder in diefelbe Zage gekommen ift, um 

Die Laͤnge a zu. Denn es feyn y und y’ zwey Radii, 

von welchen y’ einen Umlauf mehr gemacht har, als 

Y, ſo it ap= 2ry und a(2r +6) = any’, alfo 
‚em—aryoy),bsil,amy—y 


Spirale, 413 


4 Die Gleichung für dieſe Spirale iſt dieſelbe 
wie "für die gerade finie, ax — y, (Liniegerade, 13.), 
wenn ben diefer die Abfeiffen von ihrem Durchſchnitte 
mit der Abſciſſenlinie an genommen werden. In jener 


| NR EIER. 
find die Kreisbogen ap und 'ver Quotient — was 


die Abſciſſen x und der Coefficient a in dieſer. — 
So wie die Coordinaten, x, y, auch negativ genom⸗ 
men werden, fuͤr den Theil der geraden Linie, der auf der 
entgegengeſetzten Seite der Abfeifjenlinie liege, fo muß 
auch bey der Spirale der Winfel P negativ, d. i. in 
ber Nichtung von A nah Q hin, genommen merden, 
wodurch der Radius y negativ wird, oder eine der für 
pofitive y enfgegengefette Lage erhält, und von C aus, 
in einer umgekehrten Tage, diefelbe Spirale entſteht. 
Diefe Hälfte der vollftändigen Spirale feine man 
nicht. beachtet ju baben. - - Keine Erumme Linie bat eis 
nen beftimmten Punct, = dem fie fich anfinge oder 
endigte, 


5. Es wachſe y um das Stuͤck Ay, und der zu⸗ 
gehörige Winfel @ um AO, fo it yApP = PAy. 
Aus den Gleichungen für die Spirale, aD = 2ry, 
und a( +AP)=arly + Ay), folgt aAP—2rAy, 

und dur Divifion der Glieder dieſer und der erſten, 


A A 
—= er das ift ya = - pay. 


6. Auf diefelbe Art wird die Differentialgleis 
hung für die Spirale erhalten, naͤmlich yooO Gdy. 
Diefe kommt mir der Gleihung für die endlichen Diffe—⸗ 
. renzen der Coordinaten gänzlich überein. Es ift auch 
—— ame, 


7. Sn M fen MT bie berührende, welche die 
in dem Anfangepuncte der Spirale C auf den Radius 
CM fenfrechte CT in T ſchneidet; es ift tang CMT 

= P, und die Subtangente CT = Oy, dem mit: 


414 Spirale, | 
A 
CM als Radins innerhalb. des. Winkels ACM befsrie 


{ 
ww 


benen Kreisbogen. — Denn es ift tang CMT 
’ Im) . 
— > (beruͤhrende Linie, 27.),, das iſt, aus (5), 





targ CMT—= 6, Die trigonometriſchen Linien bes 


ziehen ſich, als bloße Zahlen, auf die Einheit als Halb⸗ 
meſſer, wie die Kreisbogen. Die Laͤnge CT ſelbſt iſt 
— Gy, mo Y ein lineqriſcher Radius in. der Gpis 
rale iſt. je 
u: 24 | 
8 Auch it CT ==. 


| 9 Mach vem erften Umlaufe in A iſt die Gubs 


Tangente — 1. 2ma;5 nach dem jwenten in D— 


4. 2ma; nach dem britfeh S 9, 27a; nad) dem vier: 
n 29 


ten — 16. 27a, u, f. mw. 


10% Die Flaͤche eines. ſpiraliſchen Ger: 
tors LCN, zwifchen den Radiis 2 und y, (Fig. 35.), 


| I. #8 . 
ij ln ud, en 3 u 25), 
—— — ) 


Der Sector LCN ſey = Z, und CL = 2: 
CN =y. Es iſt, (Quadratur, ır.), an einer Curve, 
welhe durch Ordinaten oder Radios y aus einem 
Punete, und die Winkel ® derfelben mit einer geges 
benen Ordinate, beftimmt wird, dag Differential eines 
Sectors — 3 yy69. Da in der Spirale, wenn ® 
größer. als vier Rechte wird, die innern Gectoren in 


den folgenden Lmläufen wiederholt werden, fo müffen 


wir die Wihfel der beiden Radiorum Feiner als vier 


- Mechte nehmen, oder ihn P — « feken, wo w ber 
zu einem gegebenen, doch willfürlichen, Nadius Z ger 


hörige Winfel in der Spirale it, fo daß au = 2rZ . 
iſt, wie ap = 2ryı. Übrigens mögen ® und @ ges 
gen bier Rechte jedes Verhaͤltniß haben. — Sin der 
Differenuinlgleihung, 82 — 4yy0Q, fege man num 


* 


Spirale. 415 
für 09 deſſen Werth, Loy, fo iſt 22 — — 
| n | tt Hz 
Dana ft2= ur T GC. mn (y’- 2°), 
welches mit y = 2 anfängt, wie angenommen wird, 
1 Dyzugon)(yttyztzd)if, 


2=3(0—u) (y? + y2.+ 2) 
"=#(P—u) (372 + (y—2)?) 
| 12, Der Kreisſector mit dem Halbmeſſer y 
innerhalb des Winkels 0 — w befchrieben, ift — 
3 d—w)y?. Der fpiralifhe Sector verhält fich zu 
‚biefem Kreisfector wıe y2 + 3 (y—2)2:y?. Atchime⸗ 
Des int 26: Gate, z — 


13. Man ſetze — o, fo wie 2=0, und 
nehme 9 Fleiner als vier Rechte, fo iſt in dem erſten 
Umlaufe die fpiralifche Fläche — # Hy? — dem drits 
ten er des Kreisfertors mit dem Nadius‘y für den 
Winkel: O. | 

14. Die Fläche bed erften Umlaufes iſt — 
#,.2raa —% aa, Das iſt dem dritten Theile des mir 
dem Halbmeſſer a befchriebenen Kreifes, Archimedes 
im 24. Satze. 


— 185. Durch die nach - dent erften Umlaufe des 
Radius folgenden Umlaͤufe entſtehen ringförmige Flaͤ⸗ 
chen. Ein Sector eines ſolchen Ringes zwiſchen zwey 
naͤchſten Umlaͤufen, wie KLMN in dein erften, ift 
—r(y—2)(y+ za), wo yund 2 die aus dem 
Mirtelpundte durch die Endpuncte des Sectors gejos 

genen Radii, CN, CL, find, £ 


fo ift 


—8 Den es iſt det Sector LON 4. — — 23) 
(16). Eben fo iſt der Sector KLM in dem naͤchſt vorher⸗ 


X 


416 — — 


| PIERRE Umlaufe J. 266 — a) — (7 — 9) 


da bier die Nadii von jenen um a unterſchieden find 
(2). Der Unterſchied beider Sectoren ift der Ger 
tor des Ringes — Bye — Zt ay * az) = 
(y—z) G+z=a) | 


16. Die Ringflaͤche gehöre zu dem nfen Um⸗ 
Yaufe, und es fy z = (n — ı)a, oder der Sector 
fange mit dem Umlaufe an, fo. ift der Sector des 
Ringes = r(y(y— a) — (a— 1) (n:— 2) aa), 


17. Die Släche des ganzen Ringes,  zwifchen 
dem (n — ı)fen und nen Umlaufe, und den beiden 
‚geraden a, zwifchen den Endpuneten des (mn — Üfen 
und nen Lmlaufes, iſt = 2 (nm — 1) aa. Fur den 
erſten Ring if n —2. Archimedes, 27. Satz. 


18. Die ganze ſpiraliſche Flaͤche, welche vie 
bey dem erſten Umlaufe beſchriebene (J aa), und. 
(n — 1) Ringe enthaͤlt, iſt — Fmaa + 2aa + 4raa 
to. 201 - 1)xaa 24 raa + - 1) nraa. 


19. In der Formel (10) fuͤr einen jeden ſpiraliſchen 
Sector LCN =} — — z’), feße man y=na, 


und 2 — (n—ı)a, fo erhält man bie Flaͤche groifchen 
dem nten.limlaufe und der geraden a zwifchen den 
Endpuncten diefes Lmlaufes = (na —n + 3) aa, 
wie in (18). Diefe begreift nämlich die Flaͤche des. 
erften Umlaufs nebft (n — ı) Ringen. Acchimebes, 
25. Satz. 
20. Es fy LCN (Fig: 35.) ein Sector der 
- Spirale in irgend einem Umlaufe, mit einem Winkel 
unter vier Rechten am Mirtelpuncte. Die Radii CN, CL 
feyn y, z; die zugehoͤrigen Winkel ©, w. Die Flache 
des Sectors tz 5360 — u) 8 +yz + zz)» 
vermöge (11). 
Ein 


Spirale. 4117 


Ein Kreisfector mit dem Radius y innerhalb des 
Winkels © — « befchrieben iſt = EZ (P-w)y*; mit 
dem Nadius 2 ift der Kreisfector — 3 (O —w)z®, 
Die Linterfchiede diefer Kreisfectoren von dem. fpiralis 
ſchen verhalten fih wie 2y+ z:y + 2z, weil ihre 
Werthe den gemeinfhaftlihen Factor Y— zZ. haben, 
oder wie + 2(y—z): 2 + I3y—z). Auf bie 
letzte Art giebt Archimedes das. Verhaͤltniß an, im 
283. Satze. | | | 

21. Die Nectification der archimebifchen 
Spirale wird durch dieſelbe Formel bemerfftellige, wie 
für die Parabel. Die Gleichung für jene ft ap —Zaryz 
‚ihre Differentialgleichung iſt aaP — 2röy. Der Bos 
gen der Spirale, von dem Mittelpuncte an, fey —s, 
fo ift 9 = y (y*89* + 9°), (Mectification, 5®.), 


| ee 
das iſt bir Os — dy V + 1), oder auch 
a ’ 
9 = = V (9° +1) Der Parameter einer Pas 
rabel ſey = p, ihre Gleichung, px = yy, ber zu 
den Coordinaten gehörige Bogen vom Scheitel an 
a * —— | 
=s, fit ds = Ver +öy)=aV (Hr) 


* ne a . j r . 
Man nehme p = —, d. i. der vierfen Proportionale 
- 


zu dem halben Limfange eines Kreiſes, deflen Halb⸗ 
meffer. und zu a, fo ift der parabolifche Bogen dem 
fpiralifchen gleich, ‚wenn die Ordinaten y an beiden 
Linien gleich find, | | 


Eine zweyte Differentialformel für die Parabel 
iſt / doox V (14 ), fuͤr die Spirale, 9 = 
2X . 
aß oO 1 En un 4 i 
 V(lı+z) St man 9 55 ſo iſt 
D } 





\ 


418 . Spirale, 
er 20x, am0P9 .a.BE 5 
00 = — , und — =z——. Nimmt man 
P ‚3 * © | 


> —, wie vorher, ſo wird der ſpiraliſche Bogen 


dem paraboliſchen gleich. — Die Integrale beider 
Formeln ſind in dem — a 31. 32% 
angegeben. 


Fermats Spirale. 


22. Anſtatt die Radios der Spirale, den be⸗ 
ſchriebenen Winkeln proportional zu nehmen, kann man 
ſie auch wie Potenzen oder Wurzeln der den Winkeln 
gleichmaͤßigen Zahlen ſich verhalten laſſen. Fermat 
hat eine ſolche betrachtet, worin die Winkel ſich wie 
die Quadrate der Nadiorum verhalten. Ihre Gleis 
hung if, 9 —= ary*. Die Differentialgleichung 
it, 09 = 4ry2y. 

23. Die Quadrate der Radiorum nehmen gleichförs 


mig zu, wenn die Winfel gleichförmig wachfen, die Radii 


ſelbſtimmer weniger. Z. B. wenn die Werthe von y* find 
10; 20; 305 405 50, u.f.f. fo find die von y folgendes 
3, 16x.54, 27..3 5, 477056, 3005 7, 07... Die 
fpiralifchen Ninge verengern fich immer mehr, Mit jedem 
Umlaufe, in jeder Lage, nimmt das DE bes Ras 
Dius um aa zit. 


24. Die innerite bon bem Mittelpunete aus, 
in dem erften „Umläufe, befchriebene mujchelfürmige 
Släche it == aa, halb fo groß als die. Kreisflaͤche 
mit dem Halsmeffer a, 


Denn es fen ein unbeſtimmter Sector — Z, fo | 
it 022 =4yy09 = — 929, und 2 = — Gm 


+9y*, wenn bie — im Mittelpuncte — Fuͤr 
den eften Umlauf to a und die Area, — Zraa, 


Spirale, 419 


25. Der Sector einer ringförmigen Fläche zwi⸗ 
fchen den Bogen zweyer nächiten Limläufe, innerhalb. 
des Centriwinkels P—w, ft =3(P —w)aa, fo groß 
als ein Kreisfector. mit bem Radius a für. denfelben, , 
Winkel 9m. 


Ein. folcher ‚Sector ift ber uUnterſchied zweyer 
Sectoren der Spirale, Z, Z', deren begraͤnzende Ra⸗ 
bit zu den Winkeln 0% und w in dem größern Sector, 
und zu den Winfeln © — 27 und w— 2r in dem 
kleinern oder dem innern gehören, wie KLNM in Fig, 
35. von den Gertoren LCN, KCM, &s if 22 — 


— “080 (mie in 24.), daraus Z=—(a), da 
47 x Br 


der Sector für den Winkel w anfängt: fo ift 


eg (Dt ut — 1x + 4m0), Sins Z=-2= 
* — 
Oder: Es iM — —— 22008, und 92 — 


— :0- 24) 00. Der — * beider Differentiale 


an u 2780, ift dad Differential des Sectors 


der tingfdrmigen Släche, welcher alfo iſt x Pas — 
Const. = J (O — u) aa, da der Sector mit dem 
Winfel w anfängt. 

Auch ift der Sector eines Ringes = m(yy— zz), 
wenn y und 2 die Madii der Spirale zu den Wine 
fein © und w find. 

Zu gleichen Eentriwinkeln gehoͤren gleich große 
Sectoren der Ringe, in allen Ringen ſo groß als ein 
Kreisſector zu demſelben Winkel mit dem Radius a. 
Man erinnere ſich, daß PO und w. Kreisbogen bedeuten, 


deren : Halbmeffer „die Einheit⸗ ift, daher AP und aw 
Kreisbogen mit dem Halbmeſſer as | 
26. Die Rläche. eines jeden ganzen. Ringes bier 
fer Spirale it —raa, Denn für einen ganzen Ning 
it Oo —w = 2m. - Eine ſolche Ningfläche ift fo groß 
als die Kläche eines mit dem Halbmeſſer a beſchriebe⸗ 
nehRele ei: N ren res 
27. _ Die Klähenräume dieſer Spirale zwiſchen 
den nachn Älmläufen, von dem Radius a an, nehnen 
gleichformig zu; wenn die zugehörigen Winfel am 
Mittelpuncte Hreichförmig zunehmen. Diefes wird durch 
die (23) bemerfte Verengerung der Ninge begreiflich. 


Bergleihung der archimediſchen Spirale 
Er En mie der Parabel. —— 
28. Zwey gerade Linien Aa, Bb (Fig. 36.) 
find der Lage nach ‚gegeben, ihr Durchſchnitt iſt 0. 
Parallel mit Bb werde eine gerade Mm von A aus 
bewegt, da zugleich eine andere gerade An von AG 
aus um den Punct A gedreht wird, Jene fey in 
Mm, wenn diefe. in An iſt. Das. Verpältniß der 
von jener auf AC und der von diefer auf CB beſchrie⸗ 
benen Wege, AL:CN, fey ein gegebenes, AC: CD, 
Der Ort des Durchfchnirtspunctes beider, P, ift eine. 
Parabel er REN 
enn es ift, zufolge der Annahme, AL: CN = 
AC x CD, ober "AL: AC = CN: CD, und wegen 
der fich parallelen, ML, BC, iſt AL:AC=LP:CN; 
alſo durch Zufanımenfegung der Verhältniffe, AL*:AC*, 
— LP:CD.: - Die !ängen LP — ſich alſo wie 
die Quadrate der zugehoͤrigen AL. Dieſes iſt eine 
Eigenſchaft der Parabel, an welcher Bb die Axe oder 
derfelben ‘parallel iſt, und: AC die in A berührende 
(Parabel; 25.3. Der Punct D gehört zu der Pas 
vabel, da LP.der CD gleich ift, wenn AL der AC 
gleich genommen wird. . = 


- \ Spirale, 4224 
Die $ängen. (oder ‚Abfciffen) AL find auch nes 


dativ (in einer entgegengefehten Richtung) zu nehmen, 


Mmobey die Längen (oder Ordinaten) L;P pofitiv bleis 
ben, oder ihre da, (herabmärts) behalten. 


Dieſe Erzeugung der Parabel iſt der —— 
art der Archimediſchen Spitale aͤhnlich. Anſtatt des 
Kreiſes iſt hier eine gerade Linie Bb, und ſtatt des 
Punctes, der dort auf der ſich drehenden geraden forts 
ruͤckt, hier eine gerade Linie, die fich einer gegebenen 
parallel bewegt. Das Verhaͤltniß der gleichzeitigen 
Bewegungen iſt beiderſeits ein gegebenes. An der Pa⸗ 


rabel iſt die Drehung | für die Spirale 


gleichförmig. 


Sollte das Verhaͤltniß AP: — ein gegebenes 
ſeyn, ſo waͤre der Ort des — P eine Linie vom 
vierten Grade. 


_ 


29. "Ein parabolifches Segment APA (Fig. 36.) | 


verhält fich wie der Eubus der zu P gehörigen Adfaffe 

AL, auf, der in A berührenden AC, 
Es fen BD die Are und AB darauf ſenkrecht. 
Die in A Yerührende AC ſchneidet auf der Bb ein Stuͤck 
BC = 2BD ob, Man feige BD=a; AB=b; 
AC = 5; AL t; LP=u. Die Matur-der Pas 
rabel giebt a:u — &*:1°, oder die Gleichung at? ='o’u. 
- Der parabolifche Flaͤchenraum ALP ſey Z, fo iſt 
92 = uöt. sinC' da hier die Coordinaten den Winkel 
C mit einander machen. (Quadratur. 10.). Tin dies 
fer Sormel ker nen für u feinen Werth durdy t, fo 


asinC 
wird By4 = Seat, und daraus Z — ee 





"Das geradlinige Beni ALP ift = # tu.sinG, ba 
‚die Höhe deſſelben — LP. sinC ift, wenn AL zur 
Grundlmie genommen wird, d. i. es it AALP = 


“492 “Spirale, 


> 


asinC 0° ante Be ne 
— v5, Daher iſt das paraboliſche Segment APA = 
ainC _ | | 
| t . " 4 

6c° | Be 
3% Die Ordinate LP verlängert treffe die AB 
inM, it AM— tsinC; aud it AB=b=csind, 

‚ Multiplieirt man in dem Werthe des Segments Zäße 
ler und Nenner durch (sin C)*, fo erhält man durch 
diefe Subſtitutionen, AM = z gefegt, das Segment 
APA = —_ z3, — | 

5b W 

31. Eine andere Chorde ſey AS: Die aus S 

“auf die Ehorde ABE fenfredhte SR fchneide auf ders 
felben das Stuͤck AR = y ab, fo ift das. parabolifche 

A RR Ye r Ei 
e t ADSa = —y3, 
= gwent ADSA Z ray 


32. Esiſt der parabolifcheSector PAS= — (y3-23), 
namlich als der Unterfchied der beiden Segmente, — 
5 “ be... | 
Man bemerke, daß = der Parameter der Parabel if. 

33. Diefe, Form eines Seetors an ber Parabel 
iſt mie der für einen fpiralifchen (10) übereinftimmig. 
Der Parameter der Parabel ift was = an ber Spis 
tale iſt. Die Abfeiffen AM, AR zu den Endpuneten 
des parabolifchen Gectors treten an die Stelle der bes 
graͤnzenden Nadiorum in der Spirale. — 

‚34 Durch den Scheitelpunet D der Parabel 


und einen Punet 8 ziehe man die Chorde DS, und 
duch S die fenfrechte‘SQ auf die Are, fo ift das Seg⸗ 


\ 


. Spirale. 428 
ment uͤber der Chorde — ir SO5, Der Parameter 


b® | | | 
der Parabel fy p = — ſo iſt p XDQ QS®, 
alfo das. Segment = 2DQO x QS = + ADQS. 


In dem erften Umlaufe der Spirale, von 
dem ——— bis zu dem Radius y fuͤr den Wins 
fel 9 ift die Area = 3 Yyy. Diefes ſtimmt mit dem 
Ausdrucke für das parabolifche Segment überein, wenn 
ftatt des Bogens Py die Abfcifje DQ, und ſtatt des 
Radius y die Ordinate QS genommen wird, ne 
Dreyeck DQS kommt ſtatt des Kreisfectors, 


Diefes und die in (21) bemerkte Übereinfimmung 
in den Ausdrücken für die Länge der Bogen der Archi⸗ 
medifchen Spirale und der Parabel werden die' wiche 
tigften Stuͤcke J ihrer analytiſchen Vergleichung 
ausmachen. | 


Gregorius von Et. Bincent bat die Ana⸗ 
logie zwifchen beiden Linien umftändlih ausgeführt in 
einer befondern Abhandlung: Spiralis .et: Parabolae 
symbolizatio, in dem Opere geometrico, p. 664 
— 702. Die VBerworrenheit ded Vortrags und der 
Kiguren ermüder bald. Cavualeri gebraucht in feiner 
Geometria indivisibilium L. VI. ‚die Vergleichung 
der Parabel mit der Spirale zu den Quadraturen an 
der leßtern. Es wird aber auch dazu nicht wenig Ges 
duld gehören. Gregorius ſcheint zuerft auf diefe Vers 
gleichung gekommen zu ſeyn. In der Vorrede zu je⸗ 
ner Abhandlung ſagt er, daß er ſie im Jahre 1625 
dem P. Grienberger mitgetheilt habe, um ihm das» 
durch zu. zeigen, wie Archimedes auf die fo ſchwer 
zu entdeckende Gleichheit der zu dem Endpuncte des ers 
ften Limlaufes gehörigen Gubtangente, und des Kreiss 
umfanges gefommen feyn möge. Gein Ordensgenoffe 
fand aber die Entdeckung fo fhön, daß. er behauptere, 


I 


44 Spirale, | 


Archimedes wuͤrde fie nicht zuräcgehalten Haben, wenn 
er Darauf gerathen wäre, Gregorius felbft legt einen 
großen Werth darauf, | Ä 


Brendel, ehedem Profeffor ver Medicin in 
Göttingen, hat 1741 zu feinen mathematifchen Vor: 
Iefungen ein Programm gefchrieben: de analogia li- 
neae spiralis et parabolae, welches auch wegen ber 
darin erwiefenen igenfchaften der Parabel Iehrreich 
iſt. Einiger Abkürzungen oder MWerfeinerungen möchs 
ten die Beweiſe inzwifchen noch bedürfen, Das britte 
Theorem ift für die Parabel unrichtig, da am Ende 
der mühfamen Vergleichungen eine ſehr übereilte Kols 
gerung gemacht iſt. 


Die Übereimftiimmung der fpiralifchen. Yogen mit 
den parabolifchen haben Noberval und Hobbes ges 
funden. Beide haben fich die Entdeckung freitig ge4 
made, wie Wallis erjäßle, Opp. T. I. p. 560. Er 
giebt einen Beweis des Gates (21), der darauf bes 
ruht, daß die Chorden an der Gpirale denen an der 
Parabel unendlich nahe fommen, | 


Logarithmiſche Spirale. 


36. Die Radii einer Curve ſeyn geometriſch 
proportional, wenn die zugehoͤrigen Winkel, von einen 
gegebenen Radius an genommen, arithmetiſch -propors 
tional find, fo heißt die Eurve eine logarichmifce 
Spirale. Sie heißt bisweilen Loxodromica plana, 
f. unten (71). | j 


Es fey namlich an diefer Spirale (Fig. 37.) C 
der Mittelpunet, aus welchem die zunehmenden Radii, 
CA, CP, CQ, CR, CS, u. f. gejogen find, unter 
den fih gleichen Winfeln, ACP, PCQ, QCR, RCS; 
u. f fo find AC:CP:CQ:CR:CS u. f. in geomes 
trifher Progreffion, fo weit man die Neihe der 
Hleichen Winfel, auch nach vollendeten einem oder meh⸗ 
tern Umläufen des Radius um C, fortfegt, — Die 


% 


Spirale. | 425 


Reihe der Winkel und der Radiorum kann auch mcwarts 
genommen werden, wobey die Curve unendlich viele Um—⸗ 
läufe um C macht ‚, da die lieder einer abnehmenden 
geometrifchen. Reihe nicht Mull werden fünnen. n 


37. Es fey die Anfangsordinate CA = a, ber 
Erponent der geometeifihen Progreffic n=e, alfo die 


Reihe, | 

area: ea ıeda:eia...eta. — 
Die arithmetiſche Heiße der zugehörigen Binfef fey 

0, 08,-.20, 30, 4002 XÖ ce. 
Der Radius CM, welcher mit dem Anfangsradius CA 
den Winfel xö = fe macht, worin auch mehrere Limläufe 
enthalten ſeyn moͤgen, werde durch y bezeichnet, ſo 


ea ⸗ y, oder e = 2. Nun iſt xloge— log 2 
x .- 


Cogarithmus, 12), das iſt, — loge = — log . 


Durch die Einſchaltung in den zu einander ge⸗ 
ordneten Reihen kann P. zu d jedes Verhaͤltniß bekom⸗ 
men. — Die Logarithmen koͤnnen aus jedem Syſtem 
genommen werden, da die dogarithmen derſelben Zahl in 
verfchiedenen Soſtemen ſich wie die Moduli der Syſteme 
verhalten. (Logarithmus, 27). 


38. Der Radius CB, liege. mit ca gerader 
Anie, und ſey = b, fo iſt = loge = og Pr. Aus dies 


fer Gleichung und der — folgt bie Gequemere 
Sleihung für die logarichmifche Spirale, 
2* log (y: a) 
los (b: a) a) 





Zur Abkürzung fen — =m,f ift 


| O=m log (y: a). — Man nehme in ber Folge zu 
dem Werthe von in den natuͤelichen Logarithmen von 


226 | Spirale, 


(ba) fo wie den.von (y:a), und jedem andern Bars 


haͤltniſſe. 


Dieſe Form der Gleichung bringe mit ſich, daß die | 
Drdinaten y fo wie die poſitiven Winfel © zunehmen, da 
ein pofifiver Logarithme zu einer Zahl gehörf, die größer 
als die Einheit if. Rehmen die Ordinaten ab, wenn 
Die poſitiven Winfel zunehmen, fo ift m negativ, und 


9 =— mlog(y:a) == m log (aty), 


4 


39. (ine logarithmiſche Spirale wird durch den 


Werth des Factors m, das iſt, das Quotienten be⸗ 


ſtimmt. | 

40. Zudem Winkel 0 + ß, wo ß ein befländis 
ger Winkel it, gehöre der Radius z; fo if © + B 
— mlog (z:a. DaP=mlog (y:a) ift, fo ift 
B= mlog(z:y). Es ift alfo das Verhaͤltniß zweyer 
Radiorum, die irgend einen gegebenen Winkel mit einander 
machen, an der logarithmiſchen Spirale ein beſtimmtes. 
— Solche Radii ſtehen naͤmlich, in Beziehung auf die 
arithmetiſche Reihe der Winkel, gleich weit von einander 
ab, und haben daher gleiches geometriſches Verhaͤltniß. 


Daher find die Radii, welche in derſelben Richtung 
liegen, nach ihrer Folge von C an, in geometriſcher Pros 
greſſion. Je zwey nächite machen‘ einen Winkel von 
vier Rechten. Ihr Verhältniß ift das aa: bb, nämlich 
doppelt fo groß als’ das ber Linien CA:CB, bie einen 
Winkel von zwey Mechten machen. . | 
Dover, man nehme 6 = ar, fo iſt zr = mlog 
(z:y), das iſt 2 log (b:a) — log (z:y), oder log. 
(bb: aa) = log (z:y), folgiih y:z — aa:bb. — . 


Wird z an den naͤchſten innern Umlauf genommen, fo 


it y:z = bb:aa, 
41. Aus dem Werthe von ® entſteht ‘die Diffes 


on: 5 | 
rentialgleihung, 09 = = (Differentialformeln, 14)» 


Spirale. | 427 
= | " | | 
42. Der Winfel CMT eines Radius CM (—y) 
mit Der berüßrenden MT ifl.an der ganzen Curve derfelbe, 
und die Tangente diefes Winkels — m, Denn da über: 
haupt die Tangente des Winkels einer berührenden mie 
der aus einem Mittelpuncte oder Pole einer Eurve gezos 


| | ‚yo 
genen geraden iſt = (beruͤhrende Linie, 27.), fo ift 


bieſe bier = m = PFRERITP, — Diefer Wins | 
kel werde immer durch, a bezeichner, fo dag m — tang «& 
ſey. | Eh: | u 
43. Die Spirale, an welcher ver Winkel der bes 
ruͤhrenden mit dem Radius 45° haͤlt, heiße die natuͤr⸗ 
lidye, auch semirectangula. Für diefeift log. nat. (b:a) 
(= = = 3,14159265.. Diefer Logarithme mit dem 
Modulus des Briggifchen Syſtems M = 0,43429448.. 
multiplicirt, wird der log. Brigg, (b:a) = 1,3643763.. 


-b | 
und er = 23,14069, ©, Logarithmus, 36, 


44.. Alle Sectoren einer logarithmiſchen Spirale, 
die gleiche Winfel am Mittelpuncte enthalten, find ſich 
ähnlich. - Denn alle Radii, welche in diefen Gectoren. 
dieſelben Winkel mit den äußerften gleichnamigen mas 
- hen, haben daffelbe Verhältniß zu diefen, .(40,), und 
machen aud mit dee Curve denfelben Winkel, Aller 
Unterſchied betrifft bloß die Größe, 

45. Der Bogen AM fy = s, es iſt s — 
y-aV(Htm), | 
.. Dennesiftds=y(dy’+y°dp®) — OyV(ı--me), 
Daraus it s—=yYV (1.4 m?) + Const, Da der 
Bogen bey A, wo y — a ift, anfängt, fo ift Const, F 
—avy(ırm) | Ä 


Es ift ycı m) = sec, CMT = 
Goniometrie, 13.) J | 


S 


I 
cos CMT' 


428 | ‚Spirale. 


.46. Der Bogen AN, von A an ruͤckwaͤrts ger 
nommen, ift negativ. Eines folchen Bogens Differen 
tial ift, fo wie das Differential feines Nadii, negativ, 
das ifl, =— ds ⸗ — dy VG + m); daher — s—= 
—yV (t + m) +.Const, oder —8 = (a—y) 
V (ı+-m’), wie es auch die Formel in (45) ergiebt, 
Das Minuszeichen vor s zeige bloß die Lage des Bogens 
an: Der ganze Bogen von A an bis in den Mirtelpunct 
C, durch alle unendlich vielen. Windungen if — a 
| V (1 rm?) . 

Ä Daß die unendlich vielen Windungen doch nur eine 
endliche Länge geben, ift nicht wunderbarer, als daß die 
Summe ‚aller Glieder einer abnehmenden geometrifchen 
Progreſſion eine. endlihe Größe giebt, (Geometriſche 
Reihe, 5). Ä 

47: Det. ganze Bogen s von dem Mittelpuncte 
an bis zu einem Puncte M, veffen Ordinate CM = y 
iſt, iſts — y V(I4m). Es iſt der Werth, den 
bie Integration in (45) giebt, wenn die Const. = 0 
genommen wird, ) | 


48 Man ziehe auf den Radius CM in.C die 
ſenkrechte CT, weiche die berüßrende MT in T ſchneidet, 
ffiteET=my MTzzyy(r-+ m’); und der 
ganze Bogen von dem Mittelpuncte bid an den Punct 


49. Der Slächenraum des Sectors ACMA zwi⸗ 
hen dem Bogen AM und den Radiis CA, CM, it = 
zm(y—ar)—— Denn: vas Differential dieſes Flaͤ⸗ 
henraums ift — 3 ydP (Quadratur, ır.), Es ift alfo 
==3myoy. Davon iftdas Sintegral== + my* + Const, 
== 4m (y*—a®), damit es bey y == a anfange.. 
| 50. Das Differential des Rlächenraums ACN, 
wo ber Bogen AN in Abſicht auf den Bogen AM negar 
tiv if, it = — I mydy, und dieſer Klächenraum 
=60—-3jm" = zm(— Fuͤr ySO if 
ber Slächenraum, der alle auf einander liegenden, uns 


Spirafe. 429, 


endlich vielen Bindungen, bis. in ben Mittelpunet, 
begreift, — J ma®, Bis an irgend eine Ordinate 
GM = iſt der gefammte Slächenraum, von dem Mits 
telpuncte m; == 4 my*,. Die Conftante in (49) iſt 
der Slächenraum von CA an bis in den Mittelpunct, In 
tractiv genommen, | 


51. Der Slächenraum eines _fpirafichen Hinges 
zwifchen den nächften Umlaͤufen AQBD und agNA, und 
den Segmenten AD,, Aa bet Nadiorum'CD, cA " 


ce — a? 
) , wo c der Radius CD iſt. 





=zm 
| Der Anfangsradius des äußern Umlaufes — =a 
alfo der Schlußtadius CD = — a. Da CD=c ges 
fegt ift, fo iftac = bb, * noendus Ca des 
innern Umlaufes i — — — az — Auf einem Radius 
aQ= y bes äuffern Umlaufes ine man ben Radius 
Cq —z bed innern, fo ift diefer — = y- = =: De 
Sector ACO des aͤuſſern ——— — Im 6—⸗ a); 


; as 
ber Sector Acq des innern — 41 m — 5* 
—*F * ge. — I: Dir Afäni agan des — 2 


c — 
iſt daher — = im . 





mat) Für ben ganzen 
Ring jwifchen beiden —— ftyzc, alfo der Slide Pi 
chenraum dieſes Ringes = 4 m —— — — & 


iſt I die vierte Proportionale zu esc-+a;c-. 


! 


y 
eſetzt If, L 2 


430 | Spirale, ur 


52. Der Halbmeſſer der Krümmung, x, in einem 


Punete Mber logarichmifchen Spiraleift= Ve, 


ober, ba der Winkel der Curve mit dem Radius CML=a 


a 


, Denn es ſey LMN (Fig. 38.) ein Bogen ber 
Spirale, T ihr Mittelpunet, CA ver Anfangsrabius, 
CM = y, der Nadius zu dem Winfel ACM oder; 
TMt die berüßrende in M, und MR ber Halbmeffer ai 
Krümmung in. M, - Der Winfel CMT = a, ift unver 
ähderlich, fo swie deffen Ergänzung zum Nechten, CMR, 
or | 3 ds ’ kan 
Daher iſt in der Formel, — m Kruͤm—⸗ 
mungskreis, 46.), wo w bier der Winkel CMR if, 
SE 08 ; 
&w = 0, und der Haldmeffer der Krümmung r = Ä 
» . — Orr? vr a — — 2 
ui = erh) tr)= 
— er. u | 
—— y‘-(1 + mm), alfo der Radius der Krümmung 
m. ) | : — 


—————— -- mm), Dam = tang a iſt (43), ſo | 


seca a 


| iſt — + mm) = seca, wıi=y. —= 


tanga 


—— — 


sin a 


- 53. Die gerade CR, von dem Mittelpuncte der 
Spirale bis in den Mittelpunct der Krümmung, ſteht 
auf dem zugehörigen Nadius der Spirale, CM, fenfs 
che — Denn es it Cr = CM’ + MR’— 


Spirale, u 431 


2CM><MR. cos CMR. (Trigonometrie). Da CM= 
MR. tina, und W. CMR = R—.a,. alfo cosCMR 
= sina iff, fe it CR == MR.cosa, 


Berner ift CM’ + CR’= MR?’ (sin o® + cos IN 
— MR?, welches nur einem rechtwinkligen Dreyeck zu⸗ 
kommt. Eurlidee, 1. 48. 


| 54. ‚Alle Dreyecke, wie MCR, jwifchen dem 
Mittelpuncte der Spirale, einem Puncte derfelben und 
dem zugehörigen Mittelpuncte der Krümmung, find fich 
ähnlich; Daher iſt das Verhaͤltniß der zufammengehörigen 
Radiorum CM an der Spirale und CR an dem Orte 
PRp der Krümmungs : Mittelpuncte ein gegebenes., Es 
TCM: CR=tangCRM; ı =tangCMT: ı=m: I 


55. Der Ort der Mittelpunete der Krümmun ‚ 


| kreiſe an der logarirfmifchen Spirale ift diefelbe Spirale, | 


um denſelben Mittelpunct, aber in einer andern tage, 


Es fey PRp (Fig. 38.) ein Bogen, des, Orts dieſer 
Mittelpuncte, und darauf R ein zu dem Puncte M der 
Spirale EMN gehoͤriger Punct. Man nehme..an :der 
Spirale eine Neihe von Radiis unter gleichen Winkeln 
neben en Diefe. bilden eine geometrifhe Progrefs 
fion. e Radii CR an PRp, dem Orte der Krüms 
A a ‚, machen. mif dem zugehoͤrigen CM 
an der Spirale einen rechren Winfel, alfo unter einan« 
ber denfelben Winfel, welchen. die zugehörigen: Radii an 
der Spirale machen. Man nehme aus der Progreffion 
der Nadiorum CM zwey Glieder, y und y’, fo wie aus 
der Progrefiion der CA jwey zugehörige, z und z’,. fo. 
iſt, da das Berhälmiß y:z,überhaupt ein gegebenes iſt, 
y:z= y':2', und daraus yıy' zz. ziz. Die Radii 
CR (oder z), welche unter denſelben Winkeln auf einans 
der folgen wie die zugehörigen y an-ber Spirale, bilden‘ 
alfo eine geometrifche Progreffion. Diefes iſt eine Eis 
genfchaft der logarichmifchen Spirale, (36). Der Ort 
der Mittelpuncte der Krümmungsfreife ift auch dieſelbe 
Spirale, weil die logarichmifche Spirale durch den Win⸗ 


, 432 "Spirale. 
fel zweyer Radiorum und das Verhaͤltniß derfelben be⸗ 
flimme wird, (39), da dieſe Stücfe den Factor m in 
ber Gleichung für Die Spirale beftimmen. ee 
66. Die tage der Spirale PRp wird folgendere 
maßen beftimmt. BER EL NEN 9 
Da das Verhaͤltniß y22 ein gegebenes iſt, fo mas 
chen die Radii y und Z an der Spirale LMN allenthals 
ben. denſelben Winkeln 8 mit einander, und es iſt 
m log - —=mlogm (54). Ferner iſt 6 ios 
— m log „= mlog = bas ift, PP iſt der Wins 


kel des Radius z mit der Anfangslinie CA, Hier iſt z 
Fleiner als y angenommen. Wäre es größer, fo würde 


H negativ und log 2 auch, und in beiden Theilen der 


Gleichung iſt die Subtraction einer negativen Größe eine 
Dergrößerung. Oder man fege für diefen Kal, um - 
Winkel und Logarithmen abfolue zu nehmen, B=mlog 


g j | — a — 


wie vorher. Man drehe die ganze Spirale‘ in ihrer 
Ebene um den Mittelpunet C, fo daß jeder Radius den 
Winkel y befchreibe, wobey die gerade CA ihre age bes 
haͤlt, um won derſelben an die Winfel rechnen zu koͤnnen. 
Dadurch wird der Winfel des Nadius y mit;CA = P 
+ Y; des Radius z mit CA, nämli ACK = 0—B 


7. Man ſetze y = m log-, fo wird 9—B+ Y == 


mlog- + mlog : —mlog = | Es ift nun o der Ans 


fangsradius, welcher in die Linie CA fällt, mit‘ welcher, 
| | gr 


} 


‚Spirale. 433 
hen der veränderten. Lage der Spirale. der Radius a vn 


Bütd; macht, welches auch bie Sleichür. 9 — 5* miog 


beſagt. Der Winkel — 4 iſt indem degentnt 
tigen Falle ACR =: OIr, da m zwey Rechte bedeuͤ⸗ 
rer ‚indem alle Winkel durch Bogen eines Kreiſes, deſ⸗ 
ſen Holemeffer die Einheit iſt, ausgedruckt werden. Alſo 
My Br, und der Winkel y, um welchen‘ de 
NH der Spirale verändert wird, iſt Ir 
"An der natürlichen Spirale iſt mi, alſo B=o, und 
y=4r, fo daß die Spirale um einen rechten Winfel 
gedreht werden muß, damit fie mit. ihrer Evolute zu⸗ 
ſammenfalle. 
57.Der Ort der Mittelpuncte der Kruͤmmungs⸗ 
kreiſe zu einer logatithmiſchen Spirale wird von den 
Halbmeſſern der Krümmung an dieſer beruͤhrt ( Evolu⸗ 
tion, 3.). Nun macht der Radius CR mit den Kruͤtn⸗ 
mungshalbmeſſer MR den beſtaͤndigen Winkel a; die 
Curve PRp iſt alſo eine logarithmiſche Spirale, da es 
dieſer ausſchließlich zukommt, daß die Radii mit der 
Curve, d. i. den fie beruͤhrenden geraten, einen unveraͤn⸗ 
derlichen Winfel machen ; und zwar iſt fie Diefelbe mit der 
erjeugenden LMN, weil an diefer der Winfel der. Radio⸗ 
rum mit: der Curve derſelbe « iſt. 
58. Durch die Abwickelung der — | 
"Spirale wird um ihren’ Mittelpunct eine ihr gleiche Spi⸗ 
rale beſchrieben. 


Denn man nehme (Fig. 37. ) auf der in einem 


Piriete M die Spirale berührenden die fänge MT 
‘yY(ı+ mm), wo m= tang CMT ift, fo ift dieſe 
"gleich dem ganzen fpiralifchen Bogen von dem Mittels 
punecte C an (47), und T ift ein Puntt der erzeugten 
VTV. Man ziehe CT, fo iſt, wegen des gegebenen 
Verhaͤltniſſes CM: MT, nämlich dee ı: Y(ı + mm), 
und wegen bes eingeichloffenen unveränderlihen Winkels 
'GMT das Dreyeck MCT der Urt nach gegeben. Das: 
‚her iff, wie in (56) erwiefen iſt, Die durch Abwicklung 
einer logarichmifchen ‚Spirale erzeugte: er diejelbe 


“ 


Pi. Spirale. 


Spirale mir dieſer, nur in einer andern tage, um des 
ſelben Mittelpunct *). an | 
u. 5% Der Winkel CMT der fih zugeordneten Ra: 
diorum ‚beider Curven iſt ein Rechter. — Denn da 
‚tang CMT oder tang a = m.ift, fo ift sec CMT 
—=V(s + mm). Yun it MT=CMY (ı + mn), 
alfo iſt CM:MT = ı : sec CMT. Dieſes Verhaͤlt⸗ 
miß, finder, nur an einem bey C rechfwinfligen Dreyeck 
Statt. 9 ae en 
2.60, Oder es wird auf diefelbe Art wie in (53) 
gezeigt, daß CT* + CM? = MT, alſo das Dreyer 
‚MCT bey C rechtwinklig iſt. — —J 
61. Die gerade MS (Fig. 38 )-an ber logarith⸗ 
miſchen Spirale LMN mache mit der Normale MR 
‚in M den Winkel AMS’= CMR, man fuche die Curve, 
:Qsq, welche, von diefer MS und jeder andern , auf aͤhn⸗ 
«liche Art an die LMN gezogenen, berührt wird , das ift, 
‚bie Örennlinie oder Eatacauflica der logarichmis 
‚Shen Spirale, - Ä 
Sin der Formel, u — —— 


ſlica, 13. V) iz was hier CM = y iſtz 2 der Ra— 


dius der Krümmung, hier —— ferner w, der Winkel 
— Ir i 5 ina : ; 


12 cos . 
Catacau⸗ 


CMR hier 90° — a, daher cosw — sina, und u 
bier MS. Die Subſtitution dieſer Werrhe giebt _ 
„MS = y,das it, MS= CM. Man ziehe Die ges 
rade CS, fo ift in dem gleichfcyenfligen Dreyeck CMS, 
worin, der W. CMS = 2 (90° a) iſt, von den: beiden 
‚andern jeder. — a, und das Verhaͤltniß CM : CS — 
‚Sina; sin 20 = ı:2C03a — Seca: 2. Daher ift 
„äufolge (57) die Brennlinie QSq dieſelbe Spirale mit 
„ber vorgegebenen, um denfelben Mittelpunct GC, nur ig 
‚einer andern Sage. u N 
62. Der Winkel y, um welchen die Spirale ihre 
I Diefemnad iſt die Einfhrinkung in dem Artikel, Evolution, 
17, aufzuheben. — — an ı. Tin) 


Spivae., 0000 AB 


Lage geaͤndert hat, iſt = —S — —— — Denn 
es iſt aus (56) überhaupt der Winkel ACS=-P—Bi 
+75 und Bier ACS=P+a, alfo der Drehungswin⸗ 


CM 
kel 1*44 ß. Ferner if B= Smldg" log = 


| niloräseca; folglich. y=a+ mlog.3seca, . ..-i. 
63. Wenn a = 60° genommen wird, fo ift 
CM = C$, und Bio, weil der Logarithmus der 
Einpeit =o if Auch iſt sec cr = =2, da cos 360° — 
z it. F 
| 64. Es fey LMN (Fig. 39.) ein Bogen einer lo⸗ 
garithmifchen Spirale, deren Mittelpunct © ift. An die 
Ordinate CM werde durch M die gerade MP unter eis 
nem gegebenen Winkel CMP gejogen, und daſſelbe 
werde für jeden andern Punet gedacht: «der Ort OPQ 
der. Durchſchnittspunete jeder MP. mit der an einen uns 
endlich nahen Pnnet m auf, gleiche Art gezogenen mP ift 
eine ber LMN gleiche Spirale. 


An ben beiden Curven ſeyn M, P zuſammengehoͤ⸗ 
rige Puncte; CM = y; CP =z; ber Winkel ACM 
9; ACP=w; alfo MCP = 0, Die gerade! 
CA ift der Lage nach gegeben. - Der gegebene Minfel 
 CMP: feg:== ß. Man: verlängere CP’ nach p bin, ‚fo: 
ift der Winfel MPp—= + @—P.- Sin dem Drey⸗ 
ee MCPÄf y:z = sin(dß-+ w—$):sinf. Man 
nebme auf LMN einen von M endlich entfernten Punct, 
ſo ift der Durchfchnittspunct ver MP mit der duch mu 
auf gleiche Art gelegten zwar Fein Punct des Ortes; als 
lein, was in diefem Falle unveränderlich bleibe, bleibe. es 
auch für unendlich nae Purnete, - Laͤßt man den Punct 
m immer näherrdem M rücken, fo bleiben CM und ber 
Winfer MCP nebft der Lage der MP unverändert; läßt 
„man den Punct M immer näher dent m ruͤcken, fü bleis : 
ben Cm und der Winfel mCP nebft der Sage der mP ums 
verändert, - Das legtere macht die Rechnung etwas. leich⸗ 
ter. Es ſeyn alſo y und Pdie INN Größen. 


A 


436. Spoirale. 


Das Graͤnzverhaͤltniß ihrer Veraͤnderungen — man 
Ber die Differentiation der Gleichung, Ri. sa 


_ sin (+09). 

sinß . 4 : 

wenn dabey die fonft veränderlichen Größen, Z und a 
* conſtante beh andelt werden. So iſt y.:\i 


2580 
| ya ag, 
woraus in Verbindung mit jener Gleichung folge 
oy od 


07 | 
Die 1 Diffensneialgleidiuig für die Spirale 36 = 


dy 
ale m — ung + 09), md 


Megation nur anzeigt, daß der Winfel, 8 FF ww — 9, 
nämlich. ver W. MPp, ftumpf iſt deſſen Tagente, bie: 
negativ iſt, negativ genommen einen poſitiven Werth fuͤr 
m giebt. — Oder es iſt m tang (r —ß—w+ 9), 
wo der Winfel zu ber —— der Nebenwintel zu 
640 iſt. 

Da der Winkel 64 —X einen — Werth 
bat, fo it —P.(= MCP) ein unveraͤnderlicher Wins 
fel. Auch iſt das Verhaͤltniß yrz für alle zufammens 
gehörige Punete, wie M-und P, baffelbe. Die Curve 
QPR ift daher dieſelbe Spirale mit 'LMN, aus: 69 
— in einer andern Lage. 


Man ſetze zur Abkuͤrzung, 864 9 * =5 * 


sin d 
fo if y- u, .  Diefen Werth trage man in die | 


Gleichung für die — Spirale ,® = mlog, ſo 


in 9 = mlog Er: — —D——— fit 


Spirale. | 37 


222 o=5-8 BE che = | 
Stan berwandle den Winkel d24 in eine logarithui⸗ 
—— — mik, fo if. a |, 
sinß 


f. 
J— ſetze man = — 


b ir == m log: = “r die Gleichung für bie Curbe 


OPQ.) ‚Die —— fuͤr die Winkel iſt cA, der 
Radius in derſelben ift-c- - Wegen des Factors m if die 
Eurve dielelbe mit der — LMN. gFaͤr dieſe iſt die 


Stihung, 9= log alſo der Binte 7 des Da 


J 
— 


dius c mit dem Anfangerabius CA r ya log: = 
Lim Biefen bat die Spirale ÖPQ ihre Lage geändert. — 


66.“ Die unter dem beftändigen Winkel B an CM 
gli gerade MP beruͤhrt die Curve oPq.-Denn 
an der Spirale LMN iſt m — tanga, der: Tangente 
des beftändigen Winkels CMT des Radius CM mit det 
Spirale oder ihrer berührenden MT, (43): Vorher ift ift 
gefunden m ==tang ("—B—w-+ ©), alfo ift « — 

-—B—w+9, das iſt, es if CMT=='CPM.. Die 
berübrenden machen aber an der Spirale OPQ in jedem 
Punete mit: dem Nadius denſelben Winfel, wie an det 
ihr ‚gleichen LMN; Folalich iſt MP die in P-an —— 
beruͤhrende. 


67. Wird die gerade MP auf bie. —* Seite 
von CM gelegt, fo iſt 8 negativ, und es iſt nun y: — 
sin(d—wm-+0G):sinß, wenn ß, wie P und w, abe 
ſolut, bloß nach der Quantitaͤt genommen wird. E⸗ iſt 
nun O groͤßer aldi, welcher, AteRan, fuͤr die Regnans 


438 | - Spirale, 
gleichgültig if; ht dieſen Fall if m — tang (B— w 
+9. Auch iſt = + 9 md —mlog-. 


Die DVerwandlungen. werden ganz Far, menn die. - 
Rechnung auf diefen Fall befonders eingerichtet wird, 


68: Die Curse OPQ iſt die Diarauftira der 
‚Spirale LMN, oder ihre Brennlinie durch. Brechung, 
- wenn bey dem Übergange der Lichtſtrahlen aus einem 
Mittel in ein anderes die Curve LMN. die.begrängende 
Linie der Mittel in der Wrehungs, Ebene, und ihr 
Mittelpunct C ber jtrahlende Punct ift, In dem betrach⸗ 
teten Falle geſchieht die Brechung nach dem Einfalls⸗ 
lothe, der Normale MR, hin. "Die Linie MP iſt 
der ruͤckwaͤrts verlängerte gebrochene Strahl. An der 
Spirale ift der Einfallswintel CMR ein gegebener; da⸗ 
ber auch der Vrechungsmwinfel PMR und ihe Unter⸗ 
fhied CMP,. S. Diacauſtica. TE, 


| 69... Die logarithmifche Spirale hat fchon Dess 
eartes betrachtet, aber als eine Eurbe, welche mit 
ben aus einem Mittelpunete gejogenen geraden einen 
unveränderlichen Winfel macht. Er kam darauf bey 
der Bemerkung, daß die Kläche, aisf welcher. ein ſchwe⸗ 
rer ‚Körper allenthalben wafjelbe relarive Gewicht bes 
halten foll, gekruͤmmt ſeyn müfle, -fo daß die nicht pas 
xallelen Richtungen dee Schwere mit ihr immer gleiche. 
Winkel machen. Die Linie, nach welcher fie gekruͤmnit 
ſeyn muß, fey eine, Spirale, deren Mittelpunet derje⸗ 
nige-der Erde ift, (Cartesii epist. P. I. epist. 73. 74.). 
Er behauptete (Ep. gı. P, IE), daß fie bis zu dem 
Mittelpuncte der Erde reiche, Ob er dabep unendlich 
viele Windungen gedacht habe, erhellt nicht. Die Kir 
gur in dem 7aſten Briefe zeigt nur eine Windung vom 
dem Mirtelpuncte aus. Doch ſagt er daſelbſt ganz 
richtig, daß die Bogen von ‘dem Mittelpuncte an ſich 
wie die zugehörigen Radii durch die Endpuncte verhalten. 
Andere Geometer aber, welche von diefer Unterſuͤchung 


Spirale 439. 

benachrichtige wurden; fanden „ daß die Curbe unend⸗ 
lich) viele Windungen um..ihren Mittelpunce macht, und 
daß die Radii ‚in geometriſcher Progreffion: find ,. wenn 
die Winkel in arithmetiſcher ſtehen. Montuͤela ruͤhmt 
zwey Schriften eines Jeſuiten, Nicolas, de novis 
spiralibus exercitatio geometrica. Tolosae 16935 
de lineis spiralibus' logarithmicis, ibid, 169... 
Etwas mweniges. nn die logarithmiſche Spirale findet‘ 
man bey Wallis, Öpp: T. Ip. 560, und bey Bars 
tom, Lectt. geometricae, p. 124. DR 3 
70. Durch Hülfe der neuen Analyſis beſtimmte 
Jakob Bernouffi die Laͤngen der Bogen und die 
Flaͤchenraͤume, zeigte auch den Zuſammenhang dieſer 
Eurve mit der loxodromiſchen Linie auf der Kugel, Opp. 
T. J. Nr, 42. Vorzüglich iſt, was er bemerkt, daß 
die Evolute und. die Cauſtica dieſer Spivale dieſelben Li⸗ 
nien mit ihr find. Dieſes hatte auch Joh. Ber⸗ 
noulli für ſich gefunden. (Jac. Bernoulli Opp. T. 
1. Nr, 50)Ferner fand Jakob Bernoulli, daß bie 
logarithmiſche Spirale noch auf viererley Art ſich ſelbſt 
erzeugt: wenn der Halbmeſſer der Kruͤmmung in entge⸗ 
gengeſetzter Richtung genommen wird, wenn eben dieſes 
nüf dem zuruͤckgeworfenen MS (Fig.38.) geſchieht, wenn 
eben diefer in der Richtung von CM jenſeits M getragen 
wird, und viertens, wenn man die Spirale auf ſich felbft 
fih wälzen läßt, fo daß die auf gleiche Art ‚liegenden 
Puncte auf einander-treffen, wobey ver Mittelpunct der 
ſich wälzenden Spirale der befchreibende Punct ift. Dieſe 
erzeugten Linien nannte er die Ant-evoluta, die Än- 
- ticaustica, die Pericaustica und Cycloidalis.: Die 
vierte: fälle indie Anticaustica.: "(Acta Erud, 1692. 
Opp. T. J. Nr. 49). Auch fand: er, daß ihre Brenn⸗ 
linie durch Brechung ſie ſelbſt iſt. (Acta Erud, 1693, 
Opp- .Nr, 56.), . Bernoulli ergögte fich fehr über Diefe. 
perichiedenen Arten der Wiedererzeugung ſo Daß er diefe 


$pira mirabilis, wie er fie nenng,. zum Sinnbilde für 


mehrere Vorfielungen und Verhaͤltniſſe vorfhlägt, un: 


‚440 Er Spitale. 


ter andern, wa⸗ mit Schüchternkeit;; zu inte Abbildung 
Der ewigen Zeuqung des goͤttlichen Sohnes vom Vater, 
am liebſten zum Denkmahl auf feinem Grabſteine, mit der 


Beyſchrift Eademi' mutata Bei 


40 


1 Die logarichmiſche Spirale har verfchiedene 


| feine —— — Sie bie Projection ber lo⸗ 


pramifchen ide ‚der, Seefahrer auf die Ebene ‚des 
ators. nach ber, ſte ereograpkifihen € Entwerfungsart, 


zooben Auch der lorodromifche Winkel derjenige ift, unter 


welchem die Radii die Spirale ſchneiden. Sie heißt das 
r.auch Loxodromica ‚plana. , Siethze ſtereographiſche 
)rojection. Die. ge. wird X för, eine “u u 
armen, | 


2Sie iff-im eh Kaum bie Vabn eines — 
Ber nach einem Mittelpunete der Kraft getrieben wird) die 

) uingefehre wie der Cubus des Abftandes von jenem 
Mittelpunete verhält, "Das Verhältniß der Gefchwins 


vigkeiten hach der Nichrung des Radius und dev darauf 


—“ iſt ein unveraͤnderliches da das ——“ 
:yo9 ein beſtimmtes, vom, iſt. 


Durch welche Urſache aber auch ein Koͤrpere eine lo⸗ 
garithmiſche Spirale beſchreibt, ſo iſt jenes Verhaͤltniß 


unveraͤnderlich. Daher mag fie zu den Rinnen (Haus 


ſchlaͤgen) auf den Muͤhlſteinen, beſonders dem untern, 
dienen. Hier nimmt die Geſchwindigkeit nach der auf 
den Radius ſenkrechten mit dem Radius ‚(dem Abſtand 


. von der Axe) zu. Nimmt man a 45° fo iſt die Be: 


‚wegung in ber. Nicheung des zn allenrhalben ſo rs | 
‚6 die kreisfoͤrmige. — NEE 

Die Fluͤgel (Schaufen) e eines Anfers — ni 
Biderftände auf das vortheilhafteſte nach einer logarith⸗ 
miſchen Spirale gekruaͤmmt ſo daß der Neigungswinkel 


gegen die Linien aus: dem Mitrelpunere 673 Or; beträgt, 


Chapman vonder tüchrigen. Form? ber Shiffsnntet 
in Gſlberts Ballen der Phyſu. VL». ©, I 


RL pt, al a Zaler luca. ir, 


J 


Spirale | 4 


— Sy berbollfche ober reciprofe Spirale” . 


. 72. Die Spirale, an welcher die nach einem geges 
benen Punete gezogenen Nadii ſich umgefehrt verbalen 
wie die zugehörigen Bogen eines um denfelben Punct bes. 
ſchriebenen Kreiſes, Heißt einehnperb;oLifche oder ve 
taprofke. : Der Halbmeffer des Kreiſes ſey mıai,. ein , 
Dogen deffelben — — x, die zugehörige Ordinate aus dem 


Mittelpuncte oder der- Radiu⸗ der Curve = y, fo iſt die 


Gleichung, aa Ry wie fuͤr die Hyperbel, worqn die 


Aſymptoten die Axen der Coordinaten find (Hyperbel, 
89.“ Ober man ſetze RR OA, op’ der zum Bogen x 


gehörige Winkel ift, fo ift Py—a. Die Curve mag 


man die ungekebrte Archimediſche nennen. 


73. Sie macht unendlich viele Bindungen um 
“ einen Mirtelpuner zu ihm hin, da’Prunendhd groß ges 
nommen werden muß, wenn y0 feyn fol. Hingegen 
iſt y unendlich groß, für Po. Gie-har eine Aſymp⸗ 


‚sote parallel mit der Anfangslinie, pon welcher an die Wins 


£el- © genommen werden, in dem Abftande a, Denn de 
at eined Punctes der Curve von der Anfangslinie ij 


— * sind = a — 





ſes wene⸗ if’ = ä,da die Graͤnze des — 
© !YsinG das 1 1 it. Für diefe Oränze iſt 6 unendlich 
klein und y unendlich groß, Die Curve ſchnewet id 
Anfangslinie zum erftenmahle, wenn = em, dem Au 


den Kreisumfange Me E⸗ iſt bam yS m - RN 


ui? 


74. Zur Übung in ber Jotegralrechnn⸗ — | 


iR die Rectification dieſer Curbe. Aus ihrer Gleichung, 
Py= a, folgt yõ = — Pdy, und das Differential 


des Bogm da = vgrape dy) = — Py 


kleiner als a. Die Oränze bier 


| Die m fehn — EETEE — 


5 * 


| 442: | Spirale. 
An dem Artikel, Sntegralformel, 59: fi find. ſtatt Ber-hot | 


tigen rer) — 
"b, — — ec ar 
1,0, 2,%5r 
und x-ift er y zit” verraufchen. Sur die ‚ ZormielıV, 


wird der indolntorifche se auf die Formel/ 53, var 
gebracht. Folglich ift — 


— —— 


— — — Const 


De Bogen. fange, ber ‚einer — * Ordinate b an | 
ſo iſt 





Oonst. = er ve +55 + a log V (a? — 2* 
Ze dieſe Swdihar⸗ die atbelnglih orgebene “ 


fo iſt 

Const. =ay2.+ alog. (Va—ı). Ä 
4 75. Joh. Bernoulli hat dieſe Curve zuerſt betrach⸗ 
tet. Er fand, daß ſie unter diejenigen Linien gehoͤrt, 
welche durch eine Kraft beſchrieben werden, die ſich ums 


gekehrt —— Cubus des Abſtandes von dem Mittel⸗ 


puncte der Kraft verhaͤlt, und gebraucht ſie als Beyſpiel 
au zeigen, daß man von dem Geſetze der Kraft. nicht auf 
Die Natur der befchriebenen Linie ſchließen duͤrfe, wie es 
Newton ſcheine gethan zu haben in dem Falle, da die 
Kraft ſich umgekehrt wie das Quadrat des Abſtandes ver⸗ 


hält. Operum T. I, p. 480, 552. — Es mag noch 


als eine Eigenthuͤmlichkeit der hyperboliſchen Spirale an⸗ 
gemerkt werden, daß ſie eine N Subtans 
gente hat. . | 


Darabolifge — — 


a — Eine andere Gattung von Spiralen, als die 
‚bisher betrachtete, entſteht, wenn man. den Umfang eis 
nes Kreiſes zur Abſciſſenlinie aid, und auf biefen die 


” u + 


Spirale. 448 


Ordinaten ſenkrecht ſetzt, wie ſonſt auf eine gerade Abſeiſ⸗ 
ſenlinie, das iſt, fie nach, dem Mittelpunete des Kreiſes 
laufen laͤßt. | en 
77: Bon diefer Gaftung iſt die parabolifche 
Spirale, oder die Parabola helicoides , welche Ja- 
kob Bernoulli zu einem Benfpiele der Leibnitziſchen Dif⸗ 


ferentialrechnung in den Actis Erudit. 1691. (Opp.. 


T: I. Nr, gr.) genommen hat. Ihre Gleichung ift 

axZuu, wie für die gewöhnliche Parabel, nur daß an 
jener die Abfciffe ein Kreisbogen ift, oder daß die Are in 
einen folchen Bogen gefrümmt wird, Bernoulli nimmt 
die Ordinaten nah dem Mittelpunete des Kreifes hinz 
wie Curve hat ‚aber auch entgegengefegte Ordinaten, von 
dem Umfange des Kreifes auswärts bin. Diefe erwähnt 
Dernoulli nicht. Er läßt fie in der von ihm gezeichneten 
Figur ſich nur bis zu dem Mirtelpüncte des Kreifes ers 
ftrecfen, bemerft auch nicht, daß fie weiter fortlaufe ; als 
lein fie macht unzaͤhlig viele Limläufe,. da verBogen x 
nicht auf den einfachen Umfang des Kreifes einge⸗ 
ſchraͤnkt werden darf, Die Ordinate u wächft dabey ohne 


‚278... Sn Fig. 40. ift der Anfang einer parabolis 
ſchen Spirale, AMBC, für pofitive Ordinaten, vorges _, 
ſtellt. Der dazu angenommene Kreis ift APDA, deffeh _ 
Mittelpunct C; auf demſelben ift AP ein Bogen als Abs 
feiffe, dazu die nach C gerichtete PM die Ordinate.“ Es 
. fy AP=x; PM =u; ber Parameter a, To iſt die 
Sleihung für die Curve, ax — uu. Oder beffers man 
ſetze den Radius CA—r; den W. ACP oder ACM 
-—d, ſo iſt ver Bogen AP—=rP, und die Gleichung ' 
“wird, arP—uu. Auch wird es Dienlich feyn, den Ras 
dius der Curve, CM = y, einzuführen. So ift die 
Gleichung, ar = (r—y). -Diefer Nabius y wird 
megativ, wenn u größer als genommen wird. — Wenn 

So iſt, ſo iſt $=X, und. um kehrt wen = - 
| y=oif, ſo iſt 9. und. umge ‚ wenn 9 = 


aa Spirale. 


genommen wird, — die Curve durch den Mittelpunet, 
den Werth y 25 bey Seite geſetzt. Nimmt man 


= — or, fo geht bie Eurve nad © einem Van bed 
x Diadius durch den Diteipan, Ä | | 


ep Bifer Annahme ta — im — — 


Wien nehme r = 10000, fo * fuͤr 
BE. 5 u= oy=ıoooo 
RR 10%; u= 1667 y= 8333 
30°; um 2887 y= 7113 
90°; U= 5000 y= 50930 
120°5 u — 5773 y= 4227 
180°;,.u = 7071 y= 2929 _ 
>"; um 8165 y= 1855 

270%; u= 8660 y= 13460 
330%; um 974 y= 16 
360°; u=1ooy=" 6 
370%; u=ı10138 y——13g 
390°, um 10408 y=—408 etc. 


29. Ein. Abſchnitt des Flaͤchenraums AMPA 
(Fig, 40: zwiſchen einem. Bogen dieſer Spirale, 
dem brachen Kreiöbogen und der Ordinate u = ==: 


EEE! IHMH in 
nr 
f 


£ 


ur. ux, 
Eu Da, 

Denn ein ft Abſchniet iſt der Unterſchied Er 
fchen dem zugehoͤrigen Kreisfertor ACP und. dem fpie 
ralifchen "Sector ACM. So verhaͤltes ſich auch mit 
ihren Differentialen, Aus der Gleichung für die Curve, 
ar = un,’ folgt ihre Differentialgleichung, ardß = 
* ubu. Der parabelfbtmige Abſchnitt fey: a4 r iſt 
Der — — — 3 ETW) 2. 


2uu | 


a 


Spirale. 446 


Auer 2 —2 


Na” u ee "guß —— 
— du. — — du. Daber iſt = — — ——, oder 


Aar 


⸗ 
Be 


2 u | 


Die Eonftante fälle weg, weil Z wie x ind u an: 


24 3 


fangen ſoll. — Der erſte Theil von Ziff = Fux, auf 
ähnliche Ark wie für die eigentliche Parabel (Duädratur, 
70): An der, parabolifhen. Spirale iſt die Area kleiner _ 
als Zweydrittheile des Rechtecks von. Abfeifje: und: Ordi⸗ 


nate, weil die Ordinaten convergiren. 


80. 


Die Area zwiſchen der Curve von ihrem An⸗ 


fangspuncte (für u Zo) big zu dem Mittelpuncte (ur), 
dem zugehörigen Kreisbogen x, und der Ordinate.r zum 
Mirtelpuncte ift = 3% rx. Iſt dabey x. der ganze 
Kreisumfang, ſo iſt x = arr, und die Area ZZ rır, 
Sie verhält fich zu der Kreisfläche mr wie 5:6. Dies 


ſes ift der 


81. 


Sall, wenn — = 27 genommen wird. 


Die Tangente des Winkels einer berühren 


den an ber parabolifhen Spirale mit dem Radius ift = 
262 | 


ar 


I, den Winfel an ber Seite genommen, an 


welcher die Orbinaten abnehmen. 


Es 


rale von dem An 


fen (Fig, 40.) AMBC ein Bogen dieſer Spie ı 
ande A bis zu dem’ Mittelpunere. 


C; auf'demfelden M ein Punct, durch welchen vie bes 
beruͤhrende TMt gezogen iſt. Diefe fchneidet die ver⸗ 
längerte Anfangslinie CA in T. Der Winfel CAtdes 
Radius mir der beruͤhrenden fey — w, nad) der Gegend, 
nach, welcher hin die Drdinaten CM abnehmen, Es iſt 


tangu ⸗— — (beruͤhrende Linie, 27:), wo das 
0 De — a ’ I m 
Vorzeichen — gefegt iſt, weil der Winkel u. hier seinem. 


446 Spirale, 


Nebenwinkel von dem Winkel des Radius mit der berüßs 
kenden a. a. O. bedeutet. Da aber die Differentiale 0 
und OD hier entgegengefegte Beziehung Gaben, nämlich 
für pofitive y, fo erhält tangw doc einen pofitiven 
Werth, und w ift ein fpiger Winkel, wie es feyn müß, 
wenn die Ordinaten aus dem Mictelpunte abſolut ab⸗ 
nehmen. 


Man ſetze nun aus der Differentialgleichung für die 
frumme Linie, aro® — 2(r—y)dy, den Werth des 
e — in die Formel für tangw, fo wird 

Ar ZyIT 
ar 


Diefe Tangente hat eine Sränze bes Wachsthums 
für poſitive Werthe von y. Sie ift am größten, wenn’ 

— zrift, (Größtes und Kleinfles, 45.). — Für 
vor, wy=o,if tang@w 0, oder die berühs 
dende fällt in den Rabius; fuͤr negative y iſt tang c nes 
gativ, daher w negativ, und CMt flumpf, da num Die, 
Radii mit @ zugleich zunehmen... Ein. negativer Winkel 
bat diefelbe negative Tangente mie dem ſtumpfen, der feine 

Ergänzung ju zwey echten iſt. (Soniometrie, 8.). 


82. Die berührende MT fchneidet-die (wenn nöthig 
;  berlängerfe) CA in T unter dem Winfel — 9, gs iſt 


erhalten, tang v 


tgw — 189 
tangC! ———— oniometrie —* 
gcTM RT (G iiometrie, 33.) | 
| In dem Mittelpuncte, wo » — 0 iſt, wird tang CT. 

=—tangp. Eine krumme $inie ſchneidet nämlich 
eine gerade unter dem Winkel der fie in dem Durchs 
fchnittspuncte berührenden, und in dem Wittelpuncte C 
fälle die berührende in den Nadius. Die Megation rührt 
daher, daß der Winfel 9 von CA an rings um den Mile 
telpunct C genommen wird, der W. CTM aber zunächfi 
von -der.-Anfangslinie CA an, nad) der einen oder andern. 

Seite. Zwey Winfel, die zufammen vier oder zwey 
Rechte ausmachen, haben gleiche und entgegengeſetzte 


„Spirale. | 447 


Tangenten; der zu dem Mittelpuncte gehörige Rabius 
wird, geachtet er ein Punct ift, doch zugleich als eine. . 
gerade Linie berrachrer, nämlich als ‚diejenige, die fi 9 
von allen benachbarten Radiis unterſcheidet. 


- 883. „Bon bem Wendungspuncte der pre 
Epieale in dem dahin einſchlagenden Artikel. 


Spiraien auf den Öberflähen. | 
runder Körper. 2; 


| Man laffe auf der Dberfläche eines Cylinders eine 
der Ye parallele gerade Linie ſich, unbeftimmt oft, Hera 
um bewegen, indem auf derfelben ein Punct gleichmäßig 
mir ihr (nach einem beſtimmten Verhaͤltniſſe ihrer gleiche 
zeitigen Wege) fortruͤckt: diefer- Punct beſchreibt durch 
die zuſammengeſetzte Bewegung eine cplindrifche 
Spirale, Die bekannten easy bilden 
ſolche. 


| Nimmt man anflare des Eolinders: einen Regel, und 
läßt auf deffen Oberfläche eine Seite fich herumbewegen, 
indem ein Punet auf diefer gleihmäßig mit ihr fortruͤckt, 
fo wird von viefem eine Fonifche Sp irale beſchrieben. 


Auf einer Kugel laſſe man einen großen Kreis um 
einen Durchmeſſer, als Are der Kugel, ſich drehen, und 
- auf deffen Umfange einen Punet fich gleichmäßig mie 

demſelben fortbewegen; diefer befchreibt eine f phärif he 
Spirale, melde noch eine Betraͤchtung "verdient. 

‚Pappus hat die Area zwiſchen derfelben und dem Kreis, 
quadranten beftimme. Collect, mischen, L. W. 
prop. 30. 


Es ſey (Fig, Ar.) APB ber. Halbkreis, durch deſ⸗ 
fen Umdrehung um ben zu dem Puncte P gehörigen Halb» 
meſſer ‘eine Halbfugel befchrieben iſt. Auf dem Quadran⸗ 


“_ ten PA bewege fich von P herein Punct M, und habe 


den "Bogen PM vollendet, wenn der Quadranr fih um. 
den Winkel APN gedreht Gar,.oderanf, dem Kreife AB 


2 
— 


‚28 _ ‚Spirale. 


um. r- Bogen AN fortgeruͤckt iſt, So habe der Puntt 
bis dahin den ſpiraliſchen Bogen PQM befchrieben. Die 
Flaͤche zwiſchen dieſem Bogen und dem — PM 
n num anzugeben. im 


Man ziehe einen benachbarten Quadranten Pn, uud 
— M den Parallelbogen Mm mir’ dem Kreiſe AB, 
Das Verhältniß des Sectors der halben Kugelfläche, 
NPn, zu dem Sector: MPım des Abſchnittes derſelben 
ift dasjenige des Radius der Kugel zu dem Sinus verjus 
Des. Bogens PM in Beziehung auf. diefen Nadius, aus 
Complanation, Exemp. I. Th. 1.5, 515, wel de 
‚ganzen von PN und PM. befchriebenien Oberflächen fich 
tpie ihre gleichwinfligen Gectoren verhalten. Dieſes 
Verpäleniß ift das Verhaͤltniß der Diffe ‚renfiale für den 
Gector APN und die fpiralifche, Area PQMP, weil bey 
dieſen das Dreyeck Mm, das. in dem Sector PM 
ber fpiralifhen Area no zu dem Gector PMm hin—- 
zukommt, verfchwinder, eben fo wie bey einer ebenen 
krummen Figur das Dreyeck zwifchen den Differenzen der 
Koordinaten und des Bogens, wenn bon den Bei 

— — die Frage iſt. f 


Es ſeh nun der Radius der Kugel ⸗ ik, "pr 
- Winkel zu dem Bogen ANZG, ber zu dem Bogen 
PM= — w; das gegebene Verhaͤltniß beider Winkel 
Zmil das ift, das Verhaͤltniß der Wege, welche die 
uncte N und M, jener auf dem Kreife AB, diefer auf 
dem Quadranten PN zugleich befchreiben. Die ſpira⸗ 
liſche Area a PQMP ſey =2. Die Oberfläche ver Halb⸗ 
kugel it = 2raa, alfo der Seetor APN — aaQ, und 
das Differential defjelben — aaöß. Dieſes verhaͤlt ſich 
zu dem Differential der ſpiraliſchen Area wie. 2:1-cosa. : . 
Alſo it 82 —aälı — cosw)8P. : Da: Pim mir ;ge 
fest iſt, fo it 9P —=mdw, und 02 maa (1 - non) OR 
Daraus iſt, (Differentialformeln, 38.) : ur 
2' maa (w — sinw), 


one Conſtante, weil die Area mit w ogleich ars 


Spirale, 449 


Es iſt Zaa.w der Sector zu dem Winkel w in 
dem Kreiſe mit dem Radius a; und. z aa.sinw— 
asin.Lw.a cos$w dem Dreyeck über der Chorde 
Bogens aw ın dieſem Sector, alfo zaa(w -sinw) — 
dem Kreisabfehnittezwifchen dem Bogen a.w, und. defe 
fen Ehorde, und die fpiralfche. Area PQMP, | 


Z = 2m. $egm. arc..aw. 


. "Die : Spirale treffe‘ den Kreis AB in D. mo 
nämlich. der Bogen AD zu dem Ouapranfen PD = 
mir:ift, ſo iſt — Hr, und sinw = T, alfo die 
- Area PMDP = maa($r— 1) 
— 2m (Iraa — Zaa), | | : 
das iſt dem: 2m fachen des Kreisabſchnittes über ber 
Chorde des Quadranten in dem Kreife mit dem Halb⸗ 

meſſer a. — | 

. Die Oberfläche des Sectors APD auf der Rus 
gel verhäle ſich zu der Oborflaͤche der Halbfugel wie 
"m :4, da AD:4PD = m:4 iſt. Sie if alfo — 
Imraa. Daher iſt die Oberflaͤche zwiſchen demn 
Duadranten AP, der Spirale PMD und dem Bogen 
AD des Örundfreifed® — maa. 


Paappus läßt den Quadranten PD ſich um einer 
Winkel von ‚vier Nechten drehen, oder einen. ganzen 
Umlauf. längs des Grundkreiſes vollenden, bis daß der 
fich bewegende Punet den Quadranten beichrieben hat, 
Bey ibm ift alfo der Bogen AD dem Lmfange gleich, 
und. PD fällt in PA, bon wo er ausgegangen iſt. 
Ihm iſt alfo m = 4, ‘und die fpiralifche Area = 
8 (A man aaj; das ift das achtfache des Kreisabe 
ſchnittes über der Chorde des Quadranten. 


- Die Merhode, welche Pappus anwendet, den bon 
der ſphaͤtiſchen Spirale und dem Quadranten durch Ihe 
‚ren Endpunet befchtoffenen Flaͤchenraum zu finden, iſt 
ungemein finnteich, und eine Einſchließung dieſer Groͤ⸗ 
ße zwiſchen zwey ſich ee Ende nähernde Oraͤnzen. 
Sie ift dem Verfahren ähnlich, welches g a 


450 Spirale. 


dert von der archimediſchen Spirale in ihrem) erſten 

Umlaufe und dem Halbmeſſer zu dem Endpuncte wie 
ſes Umlaufs eingefchloffenen Slächenraum zu beftimmen, 
Allein fein Vortrag iſt mehr eine kurze Andeutung als 
eine "Ordentliche Ausführung des Verfahrens. Daher 
mag die folgende Darftethung bemfelben au einiger Er 
Jäuterung dienen. 


Man denfe fih ven Umfang des Grundkreiſes 
ABA (Fig. 41) in n gleiche: Theile getheilt, won 
willkürlich, iſt, und einer dieſer gleichen Theile ſey Nn, 
fo + der zu Nn am Mittelpüncte gehörige Winkel 


—* — if Durch bie Theilungspunete wie N, n Iege 


man a PN, Pn, welde die Öpirale in M 
und u ſchneiden, und beſchreibe aus dem Pole P jwi: 
ſchen je zwey! naͤchſten Quadranten PN, Pn mit ven 
"Sehnen der Bogen PM, Pu Rreisbogen Mm, ur, 
fo fälle jeder fpiralifche Sector wie PMyt zwifchen die 
beiden fphärifchen Gectoren PMm und Pru, davon ber 
erſte in’ ihm, ‘Der andere um ihn befchrieben if, Don 
diefen Sectoren ift der Ate eıngefchriebene jedesmahl 
dem (A — ad)ten umſchriebenen gleich: daher der erſte 
eingeſchriebene — o iſt. 


Dieſes vorausgeſetzt, ſo iſt mit Beybehaltung der | 
bi engen. Sect, sphaer. PNn: 
z aa „2 mad 











2maa ran 17 * 7aa — * | 
— sin — w =: sin—ar. 
zı n 2 2n n = 


TUE Gun ee ( — * 
—— — 2aa — 2 —⸗ 2 461n — ww un 
* 2 2n 2. "2 2n 
Die Glieder diefes legten Bertälniiet, find. ähnliche 


Rreisfeetoren mit dem Winkel 2 am Mittelpunete in 


Spirale, - 41 


Kreifen, deren Holbmeſſet a ya == 2 asin = unb 


- 


3 j Fe ale ne Kr £ 
2 a sin. — w oder ‚die Chorde bes Quadranten und: 


die des Bogens Bio” in bem groͤßten Rreife der Kugel: 
find. In einer fehr einfachen Verzeichnung weiß Pape. 
pus dieſe Kreisausfchnstre. darzuftellen. Er zieht. naͤm⸗ 
lich an den einen Endpunct des Quadkänten des größe 
ten Kugelkreiſes eine berührende, und befchreibt aus 
dem Beruͤhrungspuncte als Mirtelpunete innerhalb des 
von der beruͤhrenden und der Chorde des Quadranten 
eingeſchloſſenen halben rechten Winkels mit der Chorde 
des Duadranten. als Halbmeſſer einen. Kreisbogen, 
welcher in n ‚gleiche Theile. getheilt wird, fo geben Dies 
jenigen Stuͤcke der ati die Theilpunete gezogenen Halbe 
meffer, welche in den Abſchnitt über der Chorde des 
Duadranten fallen, und. Sehnen in demfelben-find, die 


Halbmeſſer 2 asin 243 ; mit welchen nun bie Sectoren 


7 nad 


sin Eur um und in ben adeden Aoſcaier bu 
n 


ſchrieben erden. Weil nun "in ‚der vorhergehenden 


Proportion das erſte und dritte Glied immer eınerley 
bleiben, während die beiden andern mit dem Winkel w 
fich ändern, fo. verhälr fib ‘die Summe aller Kugel⸗ 
fectoren PNn ju der Summe — — PMm, 


wie die Summe aller Kreisfeetoren — — — u der Summe 


aller den ſphaͤriſchen Secoe Mm ortefponbiendei 


eiteulären Sectoren — — = sin u, di, die halbe: 


Kugelflaͤche verhält ik ch zu > Summe der in ben. 
foiralifhen, Raum befchriebenien Kugelſeck oren, wie. der. 
Quadrant des groͤßten dugelkreiſes zu der Summe der 


XX 


452 Spirale, 


in den Abfchnifs-über der Chorde des Quadranten bes 
fchriebenen Kreisfectoren. Eben fo verhält ſich vie 
halbe Kugelfläche zu der Summe aller um den fpiras 
liſchen Raum befchriebenen Kugelſectoren wie der Ouas 
drant des größten Kreifes der Kugel zu der um den 
Abſchnitt über der Chorde defjelben befchriebenen Kreis: 
ſectoren. Setzt man in diefen Proportionen ſtatt der 
Größen im zweyten und vierfen Gliede ihre Gränzen, 
fo verhäle ſich die halbe Kugelfläche zu der fpiralifchen 
Area, wie der Omadrant des größten Kreifes der Ku⸗ 
gel: zu dem Abfchnitte über der Chorde des Quadran⸗ 
sen. Mun ift die Halbe Kugelfläche gmal fo groß, als 
der Quadrant des größten Kugelfreifes, folglich auch 
die fpiralifche Area das Achtfache des Kreisfegments, 
das die Chorde des Quadranten zur Grundlinie hats 


Der Hilfefag, den Pappus zu der Auflöfung 
der Aufgabe über die fpiralifche Area gebraucht, ivers 
dient in die Elementar » Geomerrie aufgenommen zu 
werden. Die“ von Kerrarius angegebenen " Eıreulare 
sransverfalen (Käftners aftronomifche Abhandl. Zweyte 
Sammlung ,. Seite 171) gründen ſich auf den. Gap. 
Hier folgt er, aber allgemeiner als ihn Pappus vor 

Es ift ABM (Fig. 42.) ein Kreisbogen mit dem 
Halbmeſſer TA befchrieben. Aus dem Puncte B des 
Umfanges werde mit der Chorde AB der Kreisbogen 
AN" odolin. Auf dieſem nehme man zwey Puncte, 
D,E,-.und ziehe die Halbmeffer BD, BE, welde. 
den eritern Kreis in F, G fchneiden: es ift AD:AE 
Elbe u 

. Denn es ift ver W. ABD vder ABF halb fo 
groß als der Winfel am Mittelpuncte, ACF, der mie’ 
ihm, auf demfelben Bogen AF ſteht, (Kreis, 19.) 
und der W. ABE — ZACB, Sun ift AD;AE = 
ABD:ABE, um AF:AG = "ACF:ACG = 2ABD: , 
 zABE. Alſo ft ADIAE SZ AF:AG. | 


‚Der Radius BH. des PR AN. treffe den Am 
in K jenfeits‘ B von A ‚aus, fo ift ebenfalls AD:AH 
— AF:AR.. — Denn ber Nebenwinkel ABK von 
"ABH ſteht auf‘ der Ergaͤnzung des Bogens ABK zum 
Kreisumfange, und ft halb fo groß als die Ergänzung 
von ACK zu vie Rechten. Die Ergänzung jenes zu 
zwey Rechten, ober der W. ABH iſt alſo halb fo 
groß als ACK, Nun it AD:AH: = ABD:ABH, 
und AT:AK — ACH; ACK= — see a 
AD: AH ZAF: — 

Über dieſe * von Sorten verdienen os * 
ſondere Abhandlungen angefuͤhrt zu werden. 


Nouvelle formation de Spirales, ‚beaucoup 
plus differentes entr’ elles que tout ce qu' on 
peut imaginer d’autres Courbes quelcongues 
a linfini, par Va — Mem. * ao des 
Sciences, 1704, : 


B, ſetzt die Bogen auf dem Kreife den Ordina⸗ 
ten einer angenommenen krummen Linie proportional, 
und macht die Radios der Spirale den ee. biefer 
‚Linie gleich, 


Sur la Spirale d’Archimede acerit⸗ par un 
mouvement pareil. a celui qui donne la Cy- 
cloide, par: Clairaut, Mem, de YAcad..des 
Sciences, 1740. - . 


Ein Kreis rollt auf einer geraden Linie (in feinee 

- Ebene) fort. Man ſucht die Curve, die ein, ‚außer | 
ihn befeftigter Stift auf deffen Ebene beſchreibt. Iſt 
der Stift in der Hoͤhe des Mittelpuncts beleſtigt, ſe 
iſt die Curve eine archimediſche Spirale, | 


Brendelius de analogia lineae spiralis et pa« 
rabolae, Göttingae 1741. Ein Einladungsprogramm, 
De lineis spiralibus specimen, ad disputan- 
‚ dum_proposuit F, C. Hausmann. Lipsiae 17904 


454 Spiriſche Oberfläche, 


De spirali lozarithmica, specimen academis 
gum, auct. F. J. E Schulz, Regiömonti, 1800, 


Spiriſche Oberflaͤche iſt diejenige des rings 
fürmigen Korvers, welcher entſteht, wenn ein Kreis ſich 
um eine in der Ebene deſſelben befindliche gerade Linie 
dreht, . die ‚nicht ‚durch deſſen Mittelpunct geht. Es 
find drey Arten dieſer Oberfläche, Denn die Are der 
Drehung liegt: entweder innerhalb, des Kreifes, oder 
berüher ih, oder liegt auſſerhalb deſſelben. Ein alter 
griechifcher Geomerer, Perfeus, hat diefe Oberfläche 
erdachr und die Figuren ihrer Durchſchnittslinien mit 
Ebenen unterſucht. Proclus in feinem Commentar 
uͤber das erſte Buch des Euklides erwaͤhnt ihrer ver⸗ 
ſchiedentlich, pag: 64, 68, und ſonſt. Er führe einen 
Denkſpruch (epigramma) an, das auf diefe &inien von 
dem Erfinter. derſelben gemacht iſt; 


Tres lineas praeter quinque sectiones (Emi,meyrg- 
roWaısY cum invenisset 
Perseus, harum causa Diis’sacrificayit, 


Die Hier genannten fünf Schnitte, denen Pete 
feus feine fpirifchen Linien hinzugerhan har, find 
ohne Zweifel die Kegelſchnitte, die Schnitte. durch die 
Gpige und pärallel. der Grundfläche des Kegels mitger 
zähle, : Man: muß übrigens. diefe: fpirifchen Linien. nicht 
mit den Spiralen, wovon der vorhergehende . Artikel 
handelt, vermengen, wie von einigen Geometern ges 
ſchehen ift, Proclus macht dreyerley Formen derſel⸗ 
ben nahmhaft; ; eine verſchlungene, in Geſtalt unſrer f 
fer 835 cine, die im der Mitte breiter als an den 
"pen iſt; und eine länglichte, an den Enden breiter * 
in der Mitte In Montuͤcla's Geſchichte der Mathe⸗ 
matif, T. J. Pl. 10. der zweyten Ausgabe, find ſechs 
verfchiedene Formen dieſer krummen Linien gezeichnet, 
Da man in der Baukunſt Zonnengewölde um eing 
Spindel fo. führe, daß ihre Are Ereisförmig gebogen 
wird, fofommen die fpirifchen Oberflaͤchen und Linien 


Spiriſche Oberfläche; 455 
in der Lehre dom Steinſchnitt vor. Erenigr Train 
de Sterdongmje T. J. p. 37. et 162; T..l. p. 409. 


Es ift AEB ;GFig,,43,,) ein. Halbkreis, deſſen 
Mittelpunct C ift. Er wird um die auf den Durch⸗ 
tmeffer' AB fenfrehre-DE "gedreht, wodurch der Bogen 
AB die, krumme Oberflaͤche ‚eines. Körpers befchreibt, 
Eine gleiche entſteht durch die Umdrehung des auf der 
Andern Seite von . dem Durchmeſſer AB ‚befindlichen 
SHalbfreifes um die durch D auf AB. fenkrechte, ver DE 
gleiche Ordinate. | | 
Die ‚Gleichung für.diefe Frumme Hberfläche, zwie 
[chen drey fenfrecht zufammen geftellten. Drdinaten, zu 
finden, gedenke man fich eine auf die Ebene des Halb: 
freifes AEB ſenkrechte durch AB. gelente Ebene AMDB, 
(man Biege die Zeichnung längs der AB-rechtwinflicht), 
und nehme diefe zu der feſten Ebene zweyer Coordina⸗ 
ten, wie DN, NP. Durch den Anfang D. der Ordi⸗ 
naren-DN und. den Endpunct P- der 'NP ziehe man 
Die gerade DPM, und ftelle das Kreis “Segnient AED, 
‚durch die Drehung um .DE, über DMi- Nimmt man 
auf AB von D aus dem Theil DQ —,DP ‚:fo: ift die 
auf AB, in der Ebene AEB, durch Q fenfrechte OR 

die zu den beiden DN, NP gehörige, auf ihre- Ebene 
durch P fenfrechte, dritte Coordinate für- die. Frumme 
Oberfläche. So läßt fich für jeden Punct ver Grunde . 
flähe AMDB, welche das Segment PA des Durch: 
meſſers AB befchreibt,, der zugehoͤrige Punce der krum⸗ 
wen Oberfläche angeben. Et a —* 

Es ſey der Halbmeſſer AC=a, der Abſtand CD 
der Drehungsaxe DE von C=b; die drey Coordina⸗ 
ten, DN=x; NPZy; OQR=z, Es it DP= 
Va" + yY), oder zur Abkürzung, DP—=u. Da 
BD=a—b ift, it BO=a—b +u, und AQ 
=a+b—u Es iſt OQR!=AQX OB, (Kreis, 
28), das iſt Be a , 
22 = (ayb—u) a—b+u), ober 


456 -  Spirifche Oberfläche, 

WET — ya pa a2" Rn (u-b)2, und‘ m 
z? 4 u? — a2 4b2 2abu, 0 

Kir u bei Werth zuruͤckgeſetzt iſt nn 

x⸗ 422* -as br m aby ar. Fy2), 


die Gleichung Für die fpirifche Oberfläche, welche vom 
Hierten Grade ift, da bey der Entwickelung, durch Qua⸗ 
‚ Drirung auf beiden Seiten, die veraͤnderlichen Größen auf 
. bie vierte Potenz fteigen. Sie ift N 


+ y? ν 
— 2a? (x? + y2 +22) — ab? ix® 4 yR— ze) 
+ (a? — b?) 6; oo na 

Zur Erfinvung ‚der Gleichung: ift es gleichguͤltig, 
- 05. b fo wie in der Figurz; das iſt, pofitiv, oder nes 
gativ, zwifchen C-und ‚A, genommen wird. Das les 
sere iff der. Fall, wenn man die durch die Drehung 
son BE um DE, erzeugte Oberfläche betrachter. Iſt die 
in B den Kreis berührende vie Drehungsare, fo iſt 
b=a, und die Gleichung iſt | j 


x? 4 y⸗ 422* Ja Va«!+y®), ; { f 
Wenn. die Drehungsaxe aufferhalb des Kreiſes 
liegt, oder D über. B hinausgenommen wird, fo bleibe 


die Rechnung ganz diefelbe. . Es iſt alsdann BO — 
u — (b — a) Zu Pa — b. 


Die Gleichung vom vierten Grade iſt hier eine 
vom zweyten für die Quadrate der Coordinaten. Die 
Wurzeln diefer quadratifchen Gleichungen find nicht 
blos mögliche Größen, fondern haben auch pofitive 
Werthe. Dos Quadrat der Ordinate z, welche mit 
der Drehungsare parallel ift, befomme nur einen möge 
lichen- Were. Denn diefe wird Durch eine reine qua⸗ 
dratifche Gleichung, beſtimmt, nämlich z? = a! — 
(u — b)?, oder welches daſſelbe iſt, z? = a? — 
(6 — u)2, Die Entſtehungsart des Körpers zeige 
auch , daß die mie der Drehungsare parallele Ordinate 


Spiriſche Oberflaͤhe. 487 


nur zwey gleiche, ſich entgegengeſetzte Werthe haben kann. 
Aber x* und! y* koͤnnen jedes zwey verſchiedene Werthe 
. erhalten, die Ordinaten felbit vier, von welchen. zwen und 
zwey ſich gleich, aber enrgegengefegt find. Man fege durch 
die Drehungsaxe eine, Ebene fenfrecht auf die Ebene 
des Halpfreifed\AEB, und nehme in dieſer die Ordi⸗ 
haten y und z, die legtern auf DE von D an, die 
y:duch ihren Endpunet ſenkrecht auf DE. Die, Drs 
dinate x ift auf die Ebene der y und = fenfrecht, 
oder der Ebene AEB parallel in dem Abſtande y, wie 
es vorher z war. ft z kleiner ala DE, (ih dem 
Kalle der Figur), fo trifft die. Droinate x die Ober⸗ 
fläche des Körpers nur zweymahl, und x bat nur zwmey 
oͤgliche, entgegengefegte Werthe. ft z größer als 
DE, doch Fleiner als der Halbmeſſer des erzeugenden 
Kreifes, fo trifft die Ordinate x die Oberfläche vier 
mahl. In dem Ralle, da DE aufferhalb des erzeus 
genden Kreifes fälle, hat x immer vier mögliche Wers 
tbe, wenn y und. z mögliche Orbinaten ſind. — 
Nimmt man die Coordinaten x und z in der Ebene 
des Halbkreifes 'AEB, jene auf AB von D aus, diefe 
durch den Endpunet von x auf AB-fenfrecht, und die - 
y duch den Endpuntt der z ſenkrecht auf AEB,- ſo 
vberhaͤlt es fih mit den y wie vorher mit den x. Die 
Ebene AEB: iſt nun was vorher die durch DE auf fie 
fenfrecht geſtellte. Die Durchſchnitte des Körpers mit 
Ebenen durch. die Drehungsare find fich alle gleich. 
"Man wird ſich diefes deutlicher machen, wenn . 
man das Kreisftüf AEDA auch auf. die andere Seite 
von DE zeichnet, und die drey Faͤlle der Drehung jes 
den: nimmt. "Der Hier bettachtere Körper mag, als 
ein gutes Wenfpiel der Anwendung der Rechnung auf 
die Geometrie der Oberflächen, Aufmerffamfeit verdies 
Men. Man vergleiche noch in dem Artikel, krumme 
Flaͤche ven Abfchnite $. 38 — 48. — In Montücla’s 
Gefchichte der Mathematik, Th. IIL ©. 92 iſt ein 
Beyſpiel zus Berechnung eines Durchſchnittes des Koͤr⸗ 


Be 


pers gegeben, der dutch" die Umdrehung eines Kreiſes 
um eine berührenve entfteht, In der Gleichung muß 
aber ſtatt 8323 und Ir! gefege werden — Zr y 
und 73 7*. Die Solgerumgen bleiben’ dennoch richtige 
ER le Me aa nen Be a ie sit 
Spitz (gcutus) heißt ein Winkel zweyer gerar 
ben Linien, der Feiner als“. ein rechter iſt; ein Winkel 
zweyer krummen, wo der Winkel der beruͤhrenden ge⸗ 


raden an dem Durchſchnittspuncte ein ſolcher iſt. 


"die Seiten deſſelben zuſammen kommen. 


—* Spitze eines ebenen Winkels -ift der Punet, 
in welchen: die geraden "Linien, die ihr bilden, ſich 
ſchneiden. — — u em 


© „Spitze eines Begels if der Punct, in welhen 


> ‚Spige (euspis) an einer krummen Linie: il 
ein Punct, worin: zwey Zweige an einer gemeinfchafts 
fichen Beruͤhrenden geraden zuſammenlaufen und fi 
daſelbſt endigen. ‚Ein- folder iſt an der. Eiffoide, an 
der Parabola semicubica, (f. Parabeln hoͤherer Art), 
am: der Conchoide. ‚Ein Knoten an einer Erummen 
Linie, in «welchem ſich zwey zufammenbängende Zweige 
derſelben ſchneiden, geht in eine Spitze uͤber, wenn die 
rundliche Figur, Die. fie neben dem: Durchſchnittspuncte 
bilden, fi. in einen einzigen Punst zuſammenzieht. 

Springer auf dem Scachbrette, wie 
er don seinem: gegebenen Felde: durch ralle übrigen ges 
führe. werden möge, ohne irgend eines: zweymahl zu 
treffen, iſt eine «Aufgabe aus der Analgfis- der Sage - 
Sie fcheint- vielleicht eine, bloße: Spielerey, und ift auch 
nur im. fo fern merfwürdig ; als man bey ihren Auflör 
ſung nach Gründen. verfahren, und: eine Art von Rech⸗ 
nung. dabey anwenden kann, deren fie-anfangs nicht 
fähig. zu ſeyn ſcheint. Nicht fie an ſich ſelbſt, ſondern 
Die Kunſt der Auflöfung iſt es, warum der Mathema⸗ 
tiker wichtigere bluterſuchungen Durch ſie unterbricht. 


Springer auf dem Schachbrette 45) 


Euler hat die Aufgabe nicht unwerth gefunden, 
ſich mie ihr zu befchäftigen, “und har über fie eine Auf⸗ 
loͤſung in den Memoires de l’Academie de Berlin, 
Tom, XV, annee 1759, geliefert, worin er ſie ſelbſt 
durch hinzugefügte Bedingungen fcehmerer macht. Tin: 
einer Gefellfchaft ward fie von jemanden vorgetragen, | 
der verſicherte, daß er fie auflöfen koͤnnte, man moͤchte 
ihm, welches Feld es fen, vorgeben, um darauf anzue 
fangen, es auch leiſtete. Euler fand nach vielen Ver; 
fuchen einen. ang, der Genüge that, aber nur diefen, 
Allein ‘es müfjen beifimmee und fichere Worfchriften 
zur Auflöfung in-jedem Falle geliefert werden. Euler 
ift dazu auf einem ganz befondern Wege gefommen, 
worauf Bertrand aus Genf ihn geleitet hat. Das. 
Verfahren verdient defto mehr bemerkt zu werden, weil 
es vom einer ganz befondern Are iſt. Ehe ich davon, 
fo gut es möglich if, einen Begriff gebe, will ich eine 
artige ſymmetriſche Anordnung des’ Ganges für den 
-Gpringer darftellen, welche ich. -aus einer Pleinen 
"Schrift: “Solution du probleme: du Gavalier: au 
‚jew des echecs, par Mr. C*** (Colini), a Mann- 
:heim, 1773. 8... (60. pag), genommen'habe;, mic 
unweſentlichen Abänderungen, um den Gang des Sprüite 
gers deutlicher zu machen. Tas Drau FE Sa" 

I — AIR Wh 5 353. 5. 

1. Man ſondere innerhalb des Schachbrettes 
ein Quadrat von 16 Feldern gleichfoͤrmig ab, ſo daß 
ringsherum eine Einfaſſung von zwey Streifen bleibe, 
In je zwey neben einander liegenden Streifen kann 
Der Springer 4 Schritte, und in der ganzen Einfäfe 
fung ı2 Schritte thun, und, nach jeden 12 Schritten 
bleibe ein. Gang in dag Viereck frey. In diefem Fann 


ser je 4 Schritte hun, und nach. je 4 Schritten bleibe 


‚en: ang in der Einfaffung Frey. Auf ſolche Are 
wird der Springer Durch alle 64. Felder geführt, ohne 


je eines zweymahl zu treffen. Es läßt fich diefes auf 


mancherley Weiſe bewerfitelligen. Hier folgt eine Ans 
ordnung, welche die meiſte Symmetrie gewähren mitt, 


A460 | Opringer auf dem Schachbrette. 


D_ | En + 
36123154} 9138121156] 7ER 










49128143] 4159 


— | | Tem — | 


441 316017142 


— — | — 


26133} 2 





1150 27 





„A , B 

Die Zahlen. 1...22 und 17...28, folgen nad 
der Ordnung der Ecken ABCD auf einander, die Zah⸗ 
Yen 33.:.44, und. 49...60, nach der enfgegengefeg- 
ten Drpnung ADCB, In dem, innern Biere folgen 
allein: die Zahlen. 29...32 nach der Drönung ABCD, 
Die Zahlen in den Feldern des innern Quadrats bil⸗ 
den recht ſymmetriſch je vier, theils ein rechtwinklichtes, 
theils ein verſchobenes gleichſeitiges Viereck. Man 
bemerke auch noch, welche Zahlen in die Diagonalen 
AC, BD, fallen. BER | 


2. Der Verfaſſer der angeführten Schrift fügt 
noch einige Behandlungen der Aufgabe bey, wenn fie 
durch gewiſſe Bedingungen erſchwert wird, eine 
Auflöfungen find aber blos empirifch, nur auf den Bier 
befchriebenen Gang des Springers gegründet, ohne 
mathematiſche Hülfsmittel. Euler gebraucht hier, wie 

es von ihm zu erwarten ift, ein eigeres, der Aufgabe 
angemeſſenes Verfahren, um fie ſelbſt mit fehr erſchwe⸗ 

genden Bedingungen aufjulöfen. Einiges, was fich 

"Davon in der Kürze erklären läßt, mag hier, wegen bee 
Beſonderheit der Unterſuchung, Platz finden, 


3. Zuerſt bemerkt Euler, daß, wenn der Auf⸗ 
gabe auf irgend eine Art Genuͤge geſchehen iſt, daraus 


Springer. auf dem Schachbrette. 461 


noch mancherley Abanderungen des Ganges ae 


werben fönnen. . Von einem Felde, aus welchem bis 
ju dem legten. dem Springer ein Schritt geftattet ift, 
läße fich die Kolge der Kelver umkehren. In unſerm 
Erempel (1) find unter andern folche Felder, 13 und 
41. Man bezeihne die Felder des Schachbrettes 


durch die in jenem Exempel darin geſetzten Zahlen, des 


ren natürliche Folge alio den darin angenommenen 


die neue, 


Gang des Springers angiebt, fo. FERN A aus dem 
urfprünglichen Gange, 
EHE —— ————— ii 
folchergeftalt bie neuen: 
I. erg ea un 
KL ıe. dl: 543: 
Denn der Springer kann denfelben Weg, den er 
bon einem Felde-an bis zu dem Testen genommen har, 
auch in entgegengeſetzter Michtung machen, der umge 
fehrte Weg muß: fi) nur an den vorhergehenden ans 
fehließen koͤnnen. Da das Anfangsglied. der Zahlens 
reihe auch als das Schlußglied angefehen werden Fanıı, 
fo läßt fich der urfprüngliche Gang des — 
auch im folgenden abändern: R 
re 12— 64. 


Es iſt naͤmlich aus ı in ız ein Schrirr geffatter. 


4. Aus einer abgeänderten Folge laſſen fich durch 
Verſetzung jedes der äußerften Glieder wieder neue her⸗ 
leiten, Aus = Solge, | 

are. 13 . 64 Fe, 14, : 
entſteht, da ET fih an 25 ſchließt, die neuen" 

Kies 23.0.6400 028 dB 


| Die | Zahl 24 (chließe fi han 375 daher entſteht aus 


dieſer die neue, 
12.13.64 0037.24: 014025 20360 
Da 14 fih an 11 fehließt, fo giebt die Solge, 2 


Leon 13 2,6400. 14, 


Eos IEei4ern 64 0130 12% 
welche zugleich eine im ſich wiederkehrende iſt. 


4162 Springer auf dem Schachbrette, 


53 Durch Verſetzungen biefer Art kann man bad 
legte (oder das erfte) Feld des Springers irgend wo⸗ 
hin verlegen. Man bemerke nur, daß wegen des Um⸗ 
kehrens die letzte Zahl der neuen Folge um Eins groͤ— 
‘fer. oder Fleiner iſt als die Zahl, womit die letzte Zahl 
in der vorhergehenden Folge zufammen hängt. 3. 2. 
das Gchlußfeld follte irgendwohin, als in 32, fallen, 
Es iſt Fra 
ı Ar I 

B.. 1... 13,64 .2, Ihe 

C I..9. 14.64. 13 » 10. 

D. 1..9.14:-31.10.0.13 164,432, 


womit der Korderung ein Genuͤge gefchehen ift. In 
andern Källen mag man dem urfprünglichen "Gang des 
Springers öfter unterbrechen müffen, als es hier, 
nöchig ‚war, gerade bey einem zufällig. gewaͤhlten 
Schlußfelde. 


6. Durch eben dieſes Mittel kann ein gegebener. 
Gang in einen zuſammenhaͤngenden, in ſich wiederkeh— 
renden, ben welchem der Springer von irgend einem «ges 
'gebenen Felde ausgehen Fann, verwandelt werden. 
Denn bier find durch das Anfangsfeld die Schlußfels 
der beſtimmt, Deren es, nach. der Jage jenes, fieben, 


1 


fuͤnf, drey oder eines giebt. 


7. Euler. begnuͤgt ſich aber nicht damit. Dies 
ſen Weg, der noch immer zu viel empiriſches hat, an⸗ 
gewieſen zu haben; er zeigt auch einen ganz ſichern be⸗ 
ſtimmten, bey dem er das vorher gebrauchte Verfah⸗ 
ren der Verwandlung einer gegebenen Reihe benutzt. 
Es ift eine ganz befondere Art von Analyfıs unbeſtimm⸗ 
ter Größen. Manchen, welchen die große Sammlung dee 
Berlinifchen afademifchen Schriften nicht zur Hand iff, 
möchte esangen ehm ſeyn, davon einen’ Begriff zu erhalten, | 
welchen ich hier zu geben verſuchen will, indem ich zus | 
‘gleich eine oder die andere Erläuterung benfäge 


— 





‚Springer: auf, dem; Schachbrette. 468 


8; Unfer allgemeine Analyſt fuͤhrt von irgend: ei⸗ 
nem Anfangofelde den Springer ſo weit als es angeht, 
und fuͤllt die leer gebliebenen Felder mit: Buſtaben 
aus, wie in der folgenden Ynoranung des —— 





9132|x9|48 7 — 


20153] 8131 781 


„alaol49 En | 


34121154 
55 10 33 
22 35 621 





— — ||| | [| 
en Tr 


— — 1 sum | un 1 pam 


Eimer 3144 
Ling 


15128 i 

— ————— 
Die Folge der Felder von ı bis 62, durch wel⸗ 
che der Springer gefuͤhrt iſt, kann man eben ſo wie 
vorher die Folge von ı bis 64, in eine andere verwan⸗ 
deln, in welcher das legte Feld ein gegebenes iſt. Die⸗ 
ſes laſſe man ein ſolches ſeyn, aus welchem der Sprin⸗ 
er in das Feld a (oder buͤbergehen kann. Zu die—- 
Fr umgewandelten Kolge läßt ſich nun das "Feld a 
‘(oder b) feßen, fo erhalt man eine Kolge von 63 
Feldern. Mit dieſer verfahre man auf gleiche Art, ine 
dem. man fie in eine andere umwandelt, in welcher das 
legte Feld einen Älbergang in b (oder a) geſtattet. 
Diefes zu der Folge geſetzt, iſt der Springer durch 
alle 64 Felder gefuͤhrt. — Waͤren mehr als zwey Fel⸗ 
der Teer geblieben, fo würde man, dieſes Verfahren 

wiederholen, bis daß man zu dem letzten gelangt iſt. 





- . In ſten Beyſpiele fi 16 ein Feld, wels 

ches fih an a.fchließe, dem Gange des Springers ges 

mäß. In der Folge, 12... 62, iſt 9 ein Feld, wel⸗ 

ches ſich an 10 und ‚zugleich an ‚62 ſchließt. Daber 

Tann man ſie in dieſe, — 
A. I.449 FE} 


. 2 


464 ‚Springer auf dem Schachbrette, 
umwandeln welcher man das Felb a- anhängen. dar | 


Die ‚Vergeößerte Folge von Feldern ift nun, ‘ .. 
B. In 6210 . a. 


Dieſe — man nun in eine ſolche um, an —— * 


Feld b hängen laͤßt. Man fuche-zmenKelder, eines für a, 
das andere für b befchreitbar, ‚deren Zahl um x. unters 
febieden find. Mur muß, wofern die Zahl für b in 
die Reihe '62.... 10 fällt, die Zahl für a die größere 
Be weil die Reihe von 62 an eine fallende ift, 
wen foldhe Zahlen find 58 und 57. Nun mandle 
man die leßtere Folge in: dieſe an " 
C 1 ur U DEE: Fi 1» EEE 1 
Diefer darf man das durch. b — — Feld zuſetzen, 
und die vollſtaͤndige Folge aller Felder „dem Gange 
des Springers gemaͤß, iſt 
D. 1, ,2.0 62 225 LO anne 37 b. 
Bezeichnet man die Felder nach der narürlichen Orde 


nung der Zahlen, fo hat man diefen durch die: a. 


er A ae 64, 5 
zeichneten Gang. 


ne ;6[: 3] :8]23]36 
42|2u| 4 1:la8las|s- 5 
6z119131 44 57,12135|22 





11641191321 3]50| ı 
— — 


10. Wenn a amd b nicht Durch. zwey Felder, 
wie bier durch 58 und 57, verbunden werben fönnten,- 
fo-müßre man die Reihe B in eıne andere ummandeln, 
deren Endzabl mit b af * ar verbunden werden 
könnte - 

Eine 


Springer auf dem Schachbrette. 466 
Eine andere Art, wie alle Felder nach der Bezeich⸗ 


nung in (8) beſchritten werden koͤnnen, iſt 
A, 1.253 .622:4.54.83 | | 


B. Lee 53 62 ..58.4. 54... 57. 6. 


Noch eine it 

A, I...55 ,62,. 6.2; 

B. 1,..255.62..58.2.56.57.b, 
welche num wieder durch die natürliche Zahlenordnung 
bargeftellt werden koͤnnen. — 


11. Euler verwandelt hierauf etwas muͤhſam die 
Folge E in (9) in verſchiedene Folgen, die in ſich zus 
rüclaufen. 


Da er fo weit der Aufgabe Meifter war, machte 
er fie durch hinzugefügte: Bedingungen fehwerer. Eine 
ſolche ift, daß die Zahlen in Feldern, welche in Abſicht 
auf Die enfgegengefegten Ecken des Vierecks einerley Lage 
‚haben, venfelben Linterfchied, welcher 32 ift, haben 
‚follen. Euler ſetzt die Zahlen 1, 335 2,345 3, 355 u. 
ſ. fe auch die 64, 525 63, 3135 62, 30, u. ſ. f. gehörig 
in die Felder, fo weit es thunlich iſt; in die leer gebliebes 
nen Felder feßt er fchicklich gewählte Buchſtaben, welche 
nad) einander auf ähnliche Ark an die umgewandelen Kols 
gen angehängt werden, wie vorher die Buchftaben a und 
b. &o entitchen zwey zufammen gehörige, aus Zahlen 
und Buchſtaben gemifchte Folgen, von beren einer noch 
das Ende mit dem Anfange der andern zufammenhängend 
gemächt werden muß. Die Werthe der durch Buchſta⸗ 
ben bezeichneten Zahlen werden nun durch ihre Stellen in 
der ganzen Kolge beſtimmt, da das erite Glied Eins ges 
nannt wird, | | 


22. Eine neue Bedingung ift, daß zugleich die 
durch ı bis 32 bezeichneten Felder alle in der einen Hälfte 
des Vierecks, die von 33 bi6 64 in der andern fich finden 
ſollen. Die beiden Hälften feyn Durch eine mit der einen 
Seite des Vierecks Parallele geſchieden. 

9 


466 Springer anf dem Schahbrette, - 


23. Eüler betrachtet hoch ein Quadrat von 25 Fel⸗ 


been, um daran, da es kleiner ift, die Menge der Abätts 


derungen bes Ganges, den der Springer nehmen inag, 
zu zeigen. Darauf giebt er noch einige- Beyſpiele, in 
welchen flatt eines Duadrats ein ungleichfeiliges Recht⸗ 
eck genommen ift. Zuletzt bemerfr er, daß die Hufgabe 


. auch für andere Figuren als Rechtecke Start finde. Die 


x 


Kiguren in den Dazu gegebenen Beyſpielen entſtehen aus 
Quadraten, in welchen die Eckfelder weggefchnitten find; 
eine bilder ein gleicharmiges Kreuz von 20 Kelvern. Der 
Bang des Springers in: biefen Figuren it zugleich wies 

derkehrend. | 


14. Danbermsube, ——— Mitglied des 
franzoͤſiſchen National Inſuuce, vorher der Akademie 


der Wiſſenſchaften (geboren zu Paris, 1735, geitorben 


im 4ten fahre der Rep.), Bat lic) in den Mem, de Pa- 
zis für 1771 auch mic diefer Aufgabe, als eines Kalles 
für die Geometrie der Lage, beſchaͤftigt, und ſolche vor» 
nehmlich durch eine ſchickliche Bezeichnung der Felder des 
Schachbretts, wobey jedes Feld durch zwey Zahlen, wels 
che anzeigen, das wie vielte es in berizontaler und verti⸗ 
coler Richtung ift, ‚angedeutet wird, zu einer. bloßen 
Sache des Calcuͤls zu machen geſucht, da Eulers Bes 
handlung der Aufgabe ——— daß man das Schach⸗ 
brett vor Augen habe. 


15, In den Miscellaneis —— 
1710, iſt ein Aufſatz von Leibnitz enthalten: Annota- 
tio de quibusdam ludis, inprimis de Ludo quo- 
dam Sinico, cet. Er erwähnt darin des zu feiner Zeit 
befannt gewordenen, Solitaire genannten, einfiedleris 
fchen Spiels, und fehlägt eine Abänderung defjelben vor, 
ben welcher man nach geomerrifchen Gründen möchte ver⸗ 
fahren fönnen. -Zu jenem Spiele dient eine Tafel, die 
eine Anzahl Loͤcher enrhält, in welche, bis auf eines, 


Pflockchen geſteckt worden: Diefe find .eins nach 


dem ardern herauszunehmen, welches gefchieht, wenn 


neben en ein Loch offen iſt, in: welches: ‚ein Nach⸗ 


Sterevgraphifche Projection. 467 


Gar Uber ihn Hin fpringen Fann, auf ähnliche Art, 
wie in dem Damenfpiele ein Stein genommen wird. 
E3 muß zulegt nur ein einziges Pfloͤckchen übrig bleiben. 
Die Abändering, die Leibnitz vorſchlaͤgt, beſteht in einer 
Umfehrung. Die Tafel werde ganz leer gelaffen. In 
eines der Löcher wırd ein Pflöckchen geſteckt; nach diefem 
werden die übrigen auf eben die Art geftecft, wie fie vor⸗ 


ber herausgenommen wurden, Go foll die ganze Tafel 
angefüllt werden, oder, welches noch Fünftlicher fenn möchte, 
es foll durch die Pflöckchen eine gegebene Kigur, als. 
ein Dreyeck, Viereck, Achteck, hervorgebracht werden, _ 


mwofern e8 möglich if. Atque hoc ipsum, fest 2. hin- 
ju,. magnae artis esset praevidere quid praestari 
posset; haberetque aliquid inprimis Geometricum 
hic processus. Sed ego ad profectum inventricis 


artis ludendi artificia detexisse, non ludum valde 


exercuisse laudarem. 


Stereographiiche Projection if eine pers 


fpectivifche Entwerfung der Kugelflaͤche auf die Ebene eis 
nes ihrer größten Kreife, nach deſſen einem Pole, als 
dem Drte des Auges, die Entwerfungslinie: gejogen 
werden, ü Ä 


1. Es fen ANBO (Fig. 44) ein gröfiter Kreis der 
Kugel, C der Mittelpunet, AB, ON jwey auf einander 


— 


ſenkrechte Durchmeſſer veffelben. Das Auge befinde ſich 


in O, fo fällt AB in die Tafel *), und die Projection 
eines Punctes F auf dem Kreife ANBO iſt der Punct P, 
der AB, in welchem fie bon der OF geſchnitten wird. 


2. Man feße den Abſtand des Punctes F von dem 
dem Auge enrgegengefeßten Pole N des größten in die Tafel 
fallenden Keeifes , welcher kurz der Grundkreis heißen 


kann, das ift, ber Bogen NF=g, den Halbmefjer der 


") Wenn Entwerfungslinie die gerade vom Auge nach einem zu 
entwerfenden Puncte bezeihhner, fo ijt Entwerfungsebene Die 
Ebene durch's Auge und eine zu entwerfende gerade; alid 
nicht mit Tafel einerley. Diefe iſt die Ebene des Entwurfs, 
der Projection oder die Projectionsebene, | 


468 Stereographiſche Projection. 


Kugel OA — CNr. Da cop = JNor, fo iſt 
CP=rtangig. fFürg=o iſt CP=o, oder bie 
Projection von N fällt inC. Wird F an der andern 
Seite von ON, nah, A zu, genommen, fo ıft 8, fo 
wie CP negativ, und P fällt in CA. Kür Puncte in 
dem Halbfreife des Auges AOB ift g> 90° und CP>r, 
ihre Projectiönen fallen alfo außerhalb des Grundkreiſes. 


3. Die Projection eines Kreifes, welcher durch 
das Auge geht, iſt eine gerade Linie, ver Durchſchnitt 
naͤmlich der Tafel mit: der Ebene des Kreifes. Iſt der 
Kreis ein größter, .wie ANBO, deſſen Ebene alfo 
ſenkrecht auf die Tafel it, fo ift feine Projecrion der zu 
beiden Seiten verlängerte Durchmeffer des Grundfreifes 
AB, in welchen: diefer von jenem gefchnirren wird. 
Nämlich ver Durchmeſſer AB felbit ift vie Projection des 
Halbkreiſes ANB, feine Berlängerungen zu beiden Geis 
ten aber find die Projertionen der Quadranten OA, 
OB. (2) _ | a 

4. Es ſey F die Mitte des Bogens DE, fo ift 
bie Sehne DE zugleich der Durchmeffer eines nicht durch 
das Auge gehenden Kugelfreifes, deſſen einer Pol F 
ift, und beffen halber Limfang DIE feg. Die Projecs 
tion diefes Kreifes ift der Durchſchnitt der Tafel mie dem 
Kegel, deſſen Spige O, Grundfläche der Kreis DIE ifl, 
und in deſſen Geitenfläche alle von O nad) dem Umfange 
des Kreifes DIED Yezogene Eintwerfungslinien liegen, 
die Projection des Durchmeffers DE aber iſt das Stüd 
GH ber AB, welches OD, OE jwifchen fidy abfchnei: 
den. Da der Winfel OGH als Complement von GOC 
zu feinem Maße den Quadranten AN weniger den halben 
Bogen ND, das ift, die Hälfte. des Bogens DAO hat,’ 
eben diefe Haͤlfte abır auch Das Maß des Winkels DEO iſt, 
fo it OGH==DEO, und aus gleihen Gründen, oder 
weil die Dreyecfe OGH, ODE wegen des gemeinfchafts 
lichen Winkels O und der gleichen Winfel OGH, DEO 
aͤlhnlich find, GHO=ODE, folgli GH und DE an: 
tiparaliel, Nun find die Ebene des Kreifes DIE oder die 


Stereographifche Protection. 469 


Grundfläche bes Kegels und bie Ebene des Schnitts oder 
die Tafel fenfrecht auf die Ebene des Dreyecks ODE, in 
welcher die Are des Kegels liegt, folglich ift der Schnitt 
des Kegel mir der Tafel ein Wechfelfchnite deſſelben 
(Kegel, 9.), mithin ein Kreis vom Durchmeſſer GH, 
(daf. 8). | —— u 
Jeder nicht durch das Auge gehende Kugelfreis 
wird alfo in einen Kreis projiciet, deſſen Durchmeſſer 
in den Durchfchnitt der Tofel mit demjenigen größten 
Kreife der Kugel Fälle, welcher durch die Pole des 
Grundfreifes und des projicirten Kreifes geht. 5 
5. Wird den Abſtand der Puncte des Kugele, 
freife® DIE, von dem Pole F, der Bogen DF oder. 
FE =u.gefegt, fo it DN=u—g, NE=u+B8, 
alſo CG=rtang$(u—g), CH=rtang à (u+g), 
und? GH=r(tang $ (u—g) + tangz (u + 8)) 


‚_r(sinu—sing) +r(sinu + sin 8) 





= et. BE Steh —— ‚ (Goniomes 
| cosg  cosu | Ge 
| arsinu 
fie, 30.) — — —, er Halbmeſſer der 
> ) cos g +.cosu Dee 9 Nr Ä 
— rsinu 
Projection iſt alſo * ‚ und ber Abs 


\ cosg + cosu 
fland des Mittelpuncts derfelben von C, dem Mittels 
r(sin u-+sing)— rin u 
cosg + cosu 


* cosg +.cosu' SF inN, fo daß ber ent 
worfene Kreis dem Orundfreife parallel iſt, fo iſt 
go, bee Mittelpunet der Projestion. fallt inG, und 
5 rsinu 

der —— derſelben iſt = Serge r tang 
Ju Goniometrie, 38). In dieſem Falle nämlich iſt 
der Kegel ODIE gerade, und der Schnitt deſſelben 
mis der Zafel der Grundfläche parallel, 


punete des Grundfreifes, — 


rsing 


468 Stereographiſche Projection. 


Kugel CA=CN—r Da coOP = + NCF,; fo iſt 
CP—rtangig Fürg=oiftCP=d, oder die 
Projection von N fällt inC. Wird F an der andern 
Seite von ON, nah, A zu, genommen, fo ift &, fo 
wie CP negativ, und P fält in CA. Kür Puncte in 
dem Halbfreife des Auges AOB iſt g> go’ md cP>r, 
ihre Projectidnen fallen alſo außerhalb des Grundkreiſes. 


3. Die Projection eines Kreifes, welcher durch 
das Auge gebt, ift eine gerade Linie, ver Durchſchnitt 
nämlidy der Tafel mit: der Ebene des Kreifes. Iſt der 
Kreis ein größter, :wie ANBO, veffen Ebene alfo 
fenfreche auf die Tafel ift, fo iſt feine Projection der zu 
beiden Seiten verlängerte Durchmefjer des Grundfreifes 
AB, in. welchent- diefer von jenem gefchnitten wirds 
Nämlich der Durchmeſſer AB felbit ift vie Projection des 
Halbkreiſes ANB, feine VBerlängerungen zu beiden Geis 
ten aber find die Projertionen der Quadranten OA, 
OB. (2) | | 2: | 

4 Es ſey F die Mitte des Bogens DE, fo iſt 
die Sehne DE zugleich der Durchmeffer eines nicht durch 
das. Auge gehenden Kugelfreifes, deſſen einer Pol F 
ift, und deffen halber Umfang DIE ſey. Die Projecs 
tion diefes Kreifes ift der Durchſchnitt der Tafel mit dem 
Kegel, deilen Spitze O, Grundfläche der Kreis DIE ifl, 
und in deſſen Geitenfläche alle von O nad) dem Limfange 
des Kreifes DIED Yezogene Entwerfungslinien Tiegen, 
die Projection des Durchmeffers DE aber iſt das Stüd 
GH ber AB, welche8 OD, OE jwifchen fidy abſchnei⸗ 
den. Da der Winfel OGH als Complement von GOC 
zu feinem Maße den Quabranten AN weniger den ‚halben 
Bogen ND, das ift, die Hälfte.des Bogens DAO hat,’ 
eben diefe Hälfte abır auch Das Maß des Winfeld DEO iſt, 
fo it OGH==DEO, und aus gleihen Gründen, oder 
weil die Dreyecke OGH, ODE wegen des gemeinfchafts 
lichen Winkels O und der gleichen Winfel OGH, DEO 
- ähnlich find, GHO=ODE, folglid GH und DE an: 
tiparallel, Nun find die Ebene des Kreifes DIE oder bie 


Stereographifche Projection. 469 


Grundflaͤche des Kegels und die Ebene des Schnitts oder 
die Tafel ſenkrecht auf die Ebene des Dreyecks ODE, in 
- welcher die Are des Kegels liegt, folglich ift der Schnitt 
des Kegels mir der Tafel ein MWechfelfchnite defjelben 
(Kegel, 9.), mithin ein Kreig vom Durchmeſſer GH, 
(daf. 8% | J ur 
Jeder nicht durch das Auge gehende Kugelfreis 
wird alfo in einen Kreis projiciee, deſſen Durchmeſſer 
in den Durchſchnitt der Tofel mit demjenigen größten 
Kreiſe der Kugel Fälle, welcher durch die Pole des 
Srundfreifes und des projieirten Kreifes geht. 

5. Wird den Abſtand der Puncte des Kugele, 
freifes® DIE, von dem Pole F, der Bogen DF oder. 
FE =u.gefegt, fo it DN—=u—g, NE=u+Bß, 
alſo CG=rtang Z(u—g), CH=rtang 3 (ur), 
und GH=r(tang 3 (u—g) + tang # (u + 8)) 


;_ r(änu—sing) +r(sinu + sin g) 


cosg + cosu 
2rsinu 
fri 0) — — er Halbmeſſer der 
IR I cosg +.cosu Der Halbmeſſe 


rsinu — 

jection i — ⸗ , um b 
Projection iſt — — und der Ab⸗ 
ſtand des Mittelpuncts derſelben von C, dem Mittels 
r(sinu + sing) —rsin 


cogtcou 





punete des Grundfreifes, — 


rsing — * 
* — +.cosu' — in N, ſo daß der ent⸗ 
worfene Kreis dem Grundkreiſe parallel iſt, ſo iſt 
go, der Mittelpunet der Projection fälle inG, und 
z rsinu 

der Halsmeftr derfelben iſt rare rtang 
Zu(Goniometrie, 38). In dieſem Falle nämlich ift 
der Kegel ODIE gerade, und der Schnitt deſſelben 
mis der Tafel der Grundfläche parallel, 


470  Stereographifche Projection. 


6. Für einen: größten Kreis iſt in (5) u—9o°, 
folglich der Halbmeſſer der Projection deſſelben — 





=; der Abſtand ittel * 
—— er Abſtand des Mittelpunets der 


Projection von C aber = —_:— r tang g. 
— cog. 7 72 | 
7. est man u=o, fo giebt dies die Projecs 
| rsing __ 
| ı +cosg ' 
rtangzg, mie in (2), iſt. Kür die Projection des 
bem Auge näheren Pols £ ift u = 180°, alfo. der 


Abftand derſelben von C = —— 


| tion des Pols F, deren Abftand von C— 


| coss — 1 7 eotas 
wo die Negation anzeigt, daß die Projection an die 
entgegengefetzte Seite von C oder in. die verlängerte 

CA fällt, J 
8. Analytiſch erhält man die Reſultate in (4) 
und (5) fo. Der Kreis ASBR (Fig, 45) um den 
Mitrelpungg -C fey der Grundkreis, die Durchmeffer 
AB, RS deſſelben feyn die Durchfchnitte zwerer durch 
feine Pole geführten größten Kreife, und auf ihnen P 
und M die Projectionen zweyer auf diefen Kreijen bes 
findlihen Puncte der Kugelflähbe F und W*), veren 
Abftände von dem Pole N (Fig. 44) g und v find, 
Es ift demnach CP —=rtangtg, CM = rtang I v, 
Der Winfel SCB, welcher vem Winkel der beiden 
Kreife auf der Kugel FNW gleich ift, fy 9. Man 
‚nehme AB zur -Abfeiffenare, und beziehe darauf die 

age der Puncte, wie M, durch die fenfrechten Eoordis 
naten CQ=x, QM=y, fo ift XF 
rsinv cos® 

1 4 cosv 


) Man wird fih die nöthigen einlen und Pırncte, welhe in dee 
A I Be weggelaffen find, nach Anleitung von Fig. 44 leicht 
vorſtellen. 


x rtang Ivcos ⸗ 


rsinv sin® 





>. rtan Lvsind — 
—— ——— 

9. Anſtatt die Lage des Punctes W auf der Ku⸗ 
gel gegen den größten über AB fenfrerhten Kreis durch 
den Bogen NW und: Winfel- WNFzu- beflinmen, - 
werde ſolche jetzt durch den Bogen FW des größten durch 
F, W geführten Kreifes und: den: Winfel NEW. bes 
fiimmt. Jener heiße u, dieſer w. Das fphärifche 
Drenef FNW, in welhen NF=g, NW=v, 
. FNW=P, ift, giebt die Gleichungen 

sinv sin® = sinu sinw 
a ie sing. cosu = —— 
sin u sin FR 
_c08v = cosgcosu + sing sinu cosw. 


Durch Multiplicarion der beiden erften entſteht 


sin v C08sP sin gcos u — casg sinu cos w 
Dadurch und durch die dritte Gleichung wird 
in (8) 
— — g cosu.— cos g sinu cos u) 
1 * cosg cosu + sing sinu cos w 
rsinu sin w. 


nn — — — ———— — 
aa cos g cosu + sing sinu cosw 





— 
+: ur 


Um nun die Gleichung fir den Ort, auf — 
die Projectionen aller Puncte liegen, welche von Feiner: 
Tep Abftand u haben, das iſt, die Gleichung fuͤr die Pro⸗ 
jection eines Kreiſes, deflen einer Pol F ift, zu finden, 
muß man bie eben gefundenen Ausdrücke für die -Coordie 
naten x, y fo mit. einander verbinden, daß der veräns 


derliche Winkel w herausgeht. Zu dem Ende ſuche man 


cosw duchx. Es if 
rsing cos u — x + cosg cosu) 
- rcos g sin u 4 xsingsinu 


Stereographiſche Projection. 471 


ae Stereographifche Projection. 
NMun iſt | | 


rr(1cosyv) 





xx Fyy=ırtan vr —- 

| +7 83 ı + cosv (8) 
woraus | Ä — 
BL — 

= cosv = cosgcosu + sing sin u cos» 
m+xXHyy, S = 


wird. Subſtituirt man hier den gefundenen Werth von 
cosw, fo wird erhalten a 
Ä  MOXX—yy _ Tcosu—xsing 
MX -yy rcosg+xeung | 
und wenn man jeden diefer Brüche befonders von 1 abs 
sieht und auch dazu addirt, und die Differenz durch bie 
Summe dividirt | 


xx+t yy _  r(cosg — cosu) + 2xsing 
‘Ir — r(cosg + cos u) 
woraus | | 
Ä arxsing Fr (cosg — cös u) 


% 


| cosg + cosu  cosg-+ cosu 
oder | 


rsing . rsinu s 

4 EN —— — 
“+ (: em) (— g + cos -) 
wird, welches die Gleichung für den geſuchten Ort iſt. 








u TEN rsinu 
Sie gilt für einen Kreis vom Halbmeffer —— 


deſſen Mittelpunct in. AB fälle und von C um die Größe 


— abſteht. 
cosg cos u — 

10. Für einen durchs Auge gehenden (kleineren) 
Kreis iſt u=180°—g, alfo cosu =’— cosg, und 
cosg + cosu= 0, ‘Daher wird 

— 21XSINg = rr cosg 
oder x ZZ — rcotg 





Stereographiſche Projection. 473 


welches die Gleichung für eine gerade auf AB fenfrechte 
Linie in dem Abftande rcotg von C nach A zu ift, übers 
einftimmig mit (3). Für Kreife, die noch näher an den 
dem Auge nächften Pol f fallen, als der nur betrachtete, 
iu ıgot—g t wor<gift, alſo csu =— 
cos g—), rolgtic der Halbmefjer der Projection 


..rsin(g— 
= — — und der Aſtend ihres Mittel⸗ 


punets von = —— Beide Groͤßen 
cosg- cos (g-t) 


werden, als Stuͤcke des negativen Theils der Abſciſſen⸗ 
linie CA, negativ. Die Negation des Halbmeſſers 
kommt nicht in Betracht, ſondern nur die abſolute Groͤße 
deſſelben. | 
11. Obgleich durch (9) ſchon erwieſen iſt, was er⸗ 
wieſen werden ſollte, daß naͤmlich die Projection eines 
Kreiſes wieder ein Kreis iſt, ſo wird es doch nicht unnuͤtz 
ſeyn, noch die Gleichung fuͤr die Projection eines groͤßten 
durch F gehenden Kreiſes zu ſuchen. Zu dem Ende muß 
der veränderliche Bogen u aus den Sleichungen fürx undy 
in (9) eliminire werden, indem für einen und ir 
Kreis w umeräiiterhi fe | 
Da 
ax 4 yy __T—cosv 
rr — 1 + cosv 
1 cosg cosu — sing sinu cos w 


Fr cosg cos u + ne sin ucog 


ſo wird 8 
rr —xx —yy 2 (cosg cosu + sing sinu cos w) 

tm... 24 cos g cos u +singsinucos w 
Nun ift 


sing 28 4 cosg cosu + singsin ucosw) sing 


axcosg _A2lsing cosu — cosg sin u003w) cosg 
folglich duch Multiplication 
(ir — xx —yy) sing. 


2X cosg 


474 Stereographiſche Projection. 
J— __ sing cosg cosu + sin ge sin u cos 
vin g 00sg cosu — cos gẽ sinu cosw 


und hieraus N 
arx cosg | — 





| 
(er — xx— yy)sing— 2rx cosg 
sing cos g cos u — cos g? sinu cos w 
eh — 


sin u cos w 
oder 
arx cosw 
(m — xx — yy) sing — 2rı cosg 
__ sing cosu— cosgsinu cosw — Xsinw 


sin u 2 y 








woraus man erhält 
yy + xx + 2ry oosecg cotw + 2rxcotg me, 
Dder Ä 
(y-Hreosecgcotw)* +(x+rootg)”— (rcosecgcoseca)* 
welche Gleichung einem Kreife angehört, für welchen die 
Abſciſſe des Mittelpuncts = — rcotg, die Ordinate 
= — rcosecgcotw und ber Halbmefier = r cosec g x 
cosecw ift. Da die Abfeiffe des Mitteipuncts blos von 
8 abhängt, fo liegen Die Mittelpunete aller Kreife, welche 
Projectionen größter durch den Punct F auf der Kugel 
gebender Kreife find, in einer geraden auf AB fenfrechten 
Linie. Dies erhellt auch daraus, daß alle diefe Kreife die 
Projection des Durchmeffers FE, welche in AB fällt, zur 
gemeinſchaftlichen Sehne haben. 

124 Geht der größte Kreie durch N oder ift er auf 
dem Grundfreife fenfrechr, fo ift g=0, indem F inN 
fällt , wodurd der Nebenwinkel zu » wird, und e3 iſt 


die Gleichung fuͤr die Projection 
y-+ xtangu=o 


welche einer geraden Linie angehört, die durch ben Ans 
fang der Abfeiffen C gebt, und-die Abfeiffenare an ber 


Stereographifihe Projectiot. 475 


Seite der pofitiven Abfeiffen und Ordinaten unter dem 
Winkel 150° —w= 9 fhneiber. a a a © 
.. too, fo wird yo, die-Öleihung für.die 
unbeſtimmt zu beiden Geiten verlängerte AB ſelbſt, wel⸗ 

che die Projertion des Kreiſes ANBO ift (3). re 


| 13. Es ſey L (Fig. 45) der Mirtelpunct eines 
nach (11) entivorfenen Kreifes, LK fenfrecht auf AB, 
fo daß CK=rcotg, KL rcosecgcotw, fo ift 
PK = r(cotg + cot}g) = rcosecg (Goniometrie, 
an FCOsecg 
50,) alſo tang KLP — — — umge folglich | 
‚ KLP = w Die berührende, der Projection an P, 
. welche fenfrecht auf LP ıjt, macht mit der auf LK fenfe 
rechten AB einen eben fo großen Winfel, welcher audy 
der. Winkel der Projection mit AB an dem Durdhfchnittse 
puncte P it. Die Projectionen zwener größten Kreife, 
von denen der eine fenfrecht auf die Tafel ift, fchneiden 
- alfo einander unter demfelben Winfel, wie die Kreife auf 
‚der Kugel, Hieraus ergiebe fich, daß die Projectionen irs 
gend zweyer größten Kreife einander unter bemfelben 
MWinfel fchneiden, wie die Kreife auf der Kugel, ven 
Grundkreis nicht ausgefchloffen, deſſen Projection. mit 
ihm felbft einerley ift. ae Me er 
- 024° Der geometrifche Beweis diefer Eigenfhaft 
ftereographifcher Entwürfe ift folgender. _ 
Diie verlängerte DE (Fig. 44) begegne der gleich: 
falls verlängerten AB in L, und fchneide OF in Ku 
Da in den Dreyecken OGP, OKE bie Winkel DOF, 
FOE, als Perinheriewinfel auf gleichen Wogen. DF, 
FE, einander gleich find, auh OGP — KEO ift, fo 


— 


iſt OKE=GPO—=KPL, folglich das Dreyeck KDIL. 


gleichſchenklig, und KL=PL. Es fchneide irgend eine 
andere außer ber OANB. durch. OF gelegte Ebene die 
Ebene des Kreifes DIE in LM, die Tafel in PM. Weil 
die Ebene des Kreifes DIE und die Tafel fenfrecht auf der 
Ebene OANB find, fo ift auch ihr gemeinfhaftlicher 


476 Stereographiſche Projection. 


Durchſchnitt LM ſenkrecht darauf, und die Dreyecke KuM, 
7VULNM find bey L rechtwinflig. Nun iſt dieSeite LM 
ihnen gemein, und KL=PL, alſo it LAÄM = LPM. 
Es beruͤhre eine Ebene die Kugel in F, und werde von 
den Ebenen OKL, OKM in FT, FZ gefchnitten, fo 
iſt, weil die Ebenen ZFT, MKL parallel find, auch 
FT ver KL, und FZ der KM parallel, folglich der 
Winkel ZFT = MKEL (Ebene, 19, 13) =MPL, Die 
FT berührt den Kreis ANBO in F, und FZ ift die Bes 
rührende eines größten durch F gehenden Kreifes FOf, 
welcher ven Kreis ANBO in Ff und unter einem Wintel 
— ZFT fchneidet. Daher ift der Winfel MPL dem 
Wintel der beiden Kreife ANBO und FQFf gleich. Weil 
OF eine ÖSeitenlinie des Kegels it, welcher O zur Spitze 
und.den Kreis FOf zur Grundflaͤche hat, fo berührt die 
Ebene OFZ diefen Kegel, und PM, welche ver Durchs 
ſchnitt der Berührungsebene mit der Tafel ift, berühre 
den Durchfchnitt des Kegels mit der Tafel, das ift die 
Projection des Kreifes FOf. Der Winfel MPL ift alfo 
der Winfel diefer Projeetion an dem Durchſchnittspuncte 
P mit der AL, welche die Projertion des Kreiſes ANBO 
ift. Folglich ſchneiden Die Projectionen der beiden größten 
Kreife ANBO und FQ£, wovon jener fenkrecht auf bie 
Zafel ift, einander unter demfelben Winkel, wie die 
Kreife auf der Kugel. — Der Beweis bleibt gleich dem 
in (13) auch nody gülfig, wenn DE ſenkrecht auf AB 
ift, und F und P zugleich entroeder in A oder B fallen. 
— 15. Wenn jwey Kugelkreife einander berühren, fo 
aben fie in dem Beruͤhrungspuncte eine gemeinfchaftliche 
Beruͤhrungslinie. Legt man durch diefe und durch das 
Auge eine Ebene, fo berührt ſolche die beiden Kegel, der 
ren Dürchfchnitte mit der Tafel die Projectionen der bei⸗ 
den Kreife find. Da nun die Geitenflächen beider Kegel 
blos die Entwerfungslinie nach dem Beruͤhrungspunete 
emein haben, fo haben ihre Durchfchnirte mit bee 
afel, das ift, die Projectionen der beiden Kreife blos 
der Durchfchnitt jener Linie mic der Tafel, das iſt, 
‘die Projection des Beruͤhrungspunctes gemein, und 


- Stereographifche Projection. 477 


der Durchfchnitt der Beruͤhrungsebene mit der Tafel, - 
welcher durch die Projection des. Beruͤhrungspunetes 
geht, berührt beide Kreife, die die Projectionen derer 
auf der Kugel find. Folglich berühren die Projecz 
tionen einander in der Projection des Beruͤhrungspuncts 
auf der Kugel, 


16. Hieraus folgt, daß überhaupt die Projectior - 
nen zweyer Kugelfreife einander unter demfelben Winkel 
ſchneiden, wie die Kreife auf der Kugel, 


Denn fchneider ein größter Kreis der Kugel einen 
fleineren, fo ziehe man durch einen der. beiden Durch⸗ 
- fehnittspunete einen größten Kreis, welcher den Eleinerer 
berührt, fo fehneiden die Projectionen der beiden größten 
Kreiſe einander unter demfelben Winfel wie die Kreife 
auf der Kugel. Nun berührt die Projection des größten 
Kreifes, der den Fleineren berührt, die Projection diefes 
Hleineren Kreifes, und hat mit ihm in dem Beruͤhrungs⸗ 
puncte eine gemeinfchaftliche Beruͤhrungslinie. Da aber 
der Winfel zweyer Kreife der Winkel ihrer 'berührenden 
in den Durchfchnittspuneten ift, fo ift der Winfel der 
beiden größten Kreife auf der Kugel, dem Winkel des 
einen derfelben mit dem Fleineren Kreife, welchen der 
andere berührt, gleich, und eben dies gilt auch von den 
Projectionen diefer Kreife. Daher ſchneidet die Projeca 
tion des größten Kreiſes die Projection des Eleineren unter 
bemfelben Winfel wie aufder Kugel, 


Schneiden zwey Fleinere Kreife ber Kugel einander, | 
fo ziehe man durch einen der Durchfchnittspunere größte 
Kreiſe, welche die Fleineren berühren, und ber. Beweis 


bleibe, 


17. - Daß die Projectionen — ——— 
wovon der eine oder beide kleinere Kreiſe ſind, einander 
unter demſelben Winkel ſchneiden, wie die Kreiſe auf der 
Kugel, läßt ſich auch daraus ableiten, daß die Projection 
eines größten Kreiſes, welcher fenfrechr auf einen andern 
Kugelkreis ift, folglich durch feine Pole geht, die Pros 


478 Stereographiſ che Projection. 


jeetion deſſelben gleichfalls unter einem rechten Winkel 
ſchneidet. Letzteres erhellt ſo: 


Es fen J der Mittelpunct der Projection eines nach 

(0) entworfenen Kreiſes, L der Mittelpunct eines nad 

(11) entworfenen größten Kreifes, welcher vermöge der 

dortigen Vorausfegungen fenkrecht auf den erſten Kreis 

iſt, Meeiner der Durchſchnitte der beiden Projectionen, 
fifa), > 


' 
r sing oo rsinu 
cosg + cosu cosg + cosu 


und aus (11) CK=rcotg, KL=r core cotw, 
LM = rcosecg cosecw, 
r(i .+ cosg cosu) 


sing(cosg + cosu) 
_ + os (W— gr +coscw+g) 
sin g cosg + cos u)® cos u)*® 
_ ( 4 2c00sg cosu -F cosg? — sin u®) 
sing? (cosg 4 cosu)® 
__ r(cosg* + 2cosg ccsu + cosu?) 
sing*(cosg + cosu)*® 
= r? cosecg’ = r? cosec g’ cosecw’ — r? cogec g? cotu⸗ 
., z ML? — KL? Demnab it LM? + ML — * 
KL’+-KUP=LP, folglich der Winkel LMI der beiden 
Radien MI, IM en rechter, alfo auch ver Winfel der 
beiden aus LL und I mit diefen Radien durch M. befchrie= 
benen Kreife ein rechter, das iſt, der Winkel der Projecs 
tionen zweyer auf einander fenfrechten Kugelkreiſe, wo⸗ 
‚bon der eine ein größter ift, ein rechter. 


18. Kine Folge der jest bewiefenen Eigenſchaft 
ber ſtereographiſchen Projeetion, nach welcher in derfels 
ben alle Winfel auf der Kugel in gleich große projicirt 
werden, ift, daß die Projectionen der Fleinften Theile 
der Rugelfläche ihrem Urbilde auf der Kugel ähnlıch find. 
Auf Landchacten, welche nach der ſtereographiſchen Ente 








mithin KI= „ und KIM 


Stereographifche Projection. 479 


werfungsare gezeichner find, "haben alſo die Grade dei 
$änge zu denen der Breite überall das richtige Verhältz 
niß.- Diefe Eigenfchaft verbunden mit der, Daß. die 
Projeetionen der Kreife auf der Kugel wieder Kreife find, 
macht die ftereographifche Projection zu Landcharten eben 
ſo fehr empfehlungewerth. | | 


19. Der Kreis ASBR (Fig. 45) oder der Grund⸗ 
freis fen der Aquaror der fphärifchen Erde, fo ift C die. 
Projection des Pols N (Fig. 44) „und die Projectionen: 
der Meridiane find gerade durch C gehende Linien, Es 
feyn. CS, Cf die Projectionen zweyer Quadranten NS, 
N/, von eın Paar einander unendlich nahen Meridianen,, 
und auf ihnen M, m die Projectionen der Durchfchnitte 
W, w jener Quadranten mit einer lorodromifchen Linie. 
Da das unendlich Fleine zwifchen dem Quadranten NS, 
N/ enthaltene Stück der Loxodromie Ww ſich mit dem 
zwifchen denielben Endpuneten enthaltenen Elemente eis: 
nes größten duch W, w geführten Kreiſes verwechfeln 
läße, fo ift feine Projection Mm. das Element eines; 
Kreifes, welcher den Halbmeſſer CS unter demfelben 
Winkel fchneider, unter welchen der Kreis auf der Kugel 
den Quadranten NS ſchneidet. Diefer Winfel ift der. 
lorodromifche und von beiländiger Größe. Die Projec⸗ 
tion der orodromie guf die Ebene des Aquators ſchneidet 
alſo alle Halbmeſſer wie CS unter demſelben Winkel; fie 

iſt alfo eine logarithmifche Spirale (Spirale, 42.) 


20. Die Mehnung giebt dafjelbe Nefultat fo. 
Wenn die Loxodromie in B anfängt, und der Winfel‘ 
BCS,’wie bisher, ©, der lorodromifche Winfel a und 
die Breite des Puneres W auf ver Lorodromie heißt, 
fo iſt | 3 
0 =tanga.logtang(45° + 3%) „or 

(Sphäroid, 4ı, wo Y-ftatt w kommt und eo if), 
& Sest man. nun den veränderlichen Radius CM = z, 
ſo it ! - 

2 z — rtang$v(8) 
| = rtang (45° 2%): 


® 


480 Stereographifche Projection. 


Es iſt naͤmlich x der Abftand vom Pole, alfo =9—YV, i 
Dan batnun 


tang (45° +43V) = — urn 


‘ alfo, wenn noch tanga S m gemacht wird 

® = mlog (r :z). | | 
Diefes iſt die Gleichung fuͤr die Projection der Lorodro⸗ | 
mie. Gie gehört einer logarichmifchen Spirale an, in 
welcher die Radien z abnehmen, wenn die pofitiven 
Winfel B zunehmen, ' (Spirale, 39). Der Winkel 
der Spirale mit dem Radius CM iſt = a Bajearı alfo 
dem Zr Winfel gleich. Ä 


‚Die Lage ded Punctes M, ber Projection 
von W, auf dem um E mit dem Halbmeſſer — 


cosg + cosu 
befchriebenen Kreife (17. 9) wird auch durch den Durchs 
ſchnitt dieſes Kreifes mit PM beftimmt. Man ſuche alſo 
den WinfelCPM x. 
&itop=cp—cQ = = rung4g— x 
— _rsing __ (sing dos u — cos g sinu cos w) 
ı + cosg 14 cosg cosu + singsinu cos w- 
__ r(sing (1 — cosu) + (1 + cosg) sinu cos w) 
— G+ cosg) . + cosg cosu+ sing BIANCOa) 
mithin 








tansx — | 

W— - (rt + cosg) sinu sinw 

QM — sing(ı—cos u) + (1 -+ cosg) sinucos w 
cot$u sin rn cot g sin w 


* tangig + colZucosw tangzu -4 cotâg cos 
Diefe Gleichung gilt für ein ebenes Dreyeck, in 
mwelchem« zwey den Mebenwinkel zu w einſchließende 
Seiten das Verhaͤltniß von + .cos g) sinu: 
sing (1 -cosu)=colz ustang 16* = cotzg:tangzu 


bas 


Stereographifche Projection. 481 


Gaben ; x, aber ber Winkel ift, welcher der erften jener 
beiden Seiten entgegenfteht. Cie laͤßt ſich —— 
lich eonftruiren. 


Es iſt übrigens klar, daß, wenn GH der in AB 
- fallende Durchmefjer des um 1 beichriebenen Kreiſes iſt, 
der Bogen. GM die Projeetion des Bogens w auf der 
Kugel it, indem die Projection eines größten: Kreifes, 
‚welche durch P und M geht, mit AB sınen Wınfl=w 
macht (13), deſſen Maß der dem Bogen GM entipres 
chende Bogen eines Fleineren um den Pol F (Fig, 44) 
durch die Puncte D, W (4, 8) befhriebenen Kreifes iſt. 


232. Die bisherigen Säge enthalten die merkwuͤr⸗ 
digften Eigenfchaften der ſtereographiſchen Projection. 
Zum Behuf der num benzubringenden Eonjtruetionen, um, 
dieſe nämlich in der Ebene der Tafel auszuführen, ſtelle 
man fich den Kreis ANBO, fo wie jeden andern durch 
das Auge O gehenden größten , mithin auf die Tafel 
fenfrechten Kreis, um feinen Durchfchnite mır der Tafel 
AB gedreht und in diefelbe niedergelegt vor. Die Lage 
der Puncte G, P, H der AB bleibe daben ungeändert, 
die Puncte 0, N, fo wie D, F, E fallen in den Um—⸗ 
fang des Srundfreifes, und ON Far mit dem a:f AB 
fenfrechten Durchmeffer bes Grundkreiſes zufammen, 
oder in den Durchſchnitt defjelben mir einem auf ANBO 
. in der urfprünglichen Lage fenfrechten Kreiie. Daß Auge 

kann hiernach jede Stelle im Umfange des Grundfreifes 
einnehmen , und es ift alsvann leicht, durch Linen, wels 
che von demfelben ausgehn, wie OD, OF, OE Puncte 
eines fenfrechten und durchs Auge gehenden Kreiſes auf 
feinen Durchſchnitt mir dem Örunofreife AB, und dadurch 
auf die Tafel, in G, P H überzurragen, und umgekehrt 
Punete G,P,H eines Durchmeſſers AB des Grunde 
freifes auf. den Limfang eines über dieſem Durchmeffer 
auf die: Tafel fenfrechren und durchs Auge gehenden Kreis 
fes zurückzuführen. — Übrigens wird es der Kürze wes 
"gen in allen den Fällen, wo bloß die Britehung ver Pros 
jectionen zu einander. in Betracht kommen, verſtattet 


482 Stereographiſche Projection, 


ſeyn, von den Projertionen fich eberi fo. auszudruͤcken, 
wie von den ihnen entfprechenden Puneren und Kreifen 
der Kugelflähe, 3 . 

93. Die Projection eines größten Kreiſes zu-zeichs 
nen, deffen Durchſchnitt mit dem Grundkreiſe gegeben iſt. 


Es ſey NO (Fig: 46.) ber gegebene Durchſchnitt 
mit dem Grundfreife. Iſt nun ber zu entwerfende Kreis 
ſenkrecht auf den Grundfreis, fo ift NO ſelbſt die gefuchte 
‚Projestion (3). Kat aber der zu projicirende Kreis eine 

fchiefe Lage gegen den Srundfreis, fo ziehe man den 
Durchmeſſer AB fenfrecht auf NO, ſetze an CA auf der 
Seite von N oder O, je nachdem der zu entwerfende 
Kreis für ein uͤber C befindliches Auge fich über ven Halb⸗ 
freid NAO erhebt oder darunter fällt, einen Winkel 
ACD gleich dem Winfel des zu entwerfenden Kreifes mit 
dem Grundfreife, verlängere DC bis an die Peripherie 
inE und ziefe OD, OE, welche AB oder ihre Berläns 
gerung in G, FH fhneiden, befchreibe alsdann-über dem 
"Qurchmeffer GH einen Kreis; diefer iſt die geſuchte 
Projeetion. — 

Daß GH ein Durchmeſſer des Kreiſes iſt, worin 
der größte Kreis projicirt wird, erhellt aus (4) und (22), 
daß der Kreis durch O, mithin auch durch N geht, dar⸗ 
aus, daß GOH ein rechter Winkel ift, und das er die 
gehörige Lage gegen ben Grundkreis har, aus (2). 


| Man kann den Kreis NGOH auch zeichnen, wenn 
wan bloß feinen Mittelpuuct I fucht. Diefen erhälr man 
dadurch, daß man auf der Seite von NO, an welche bey 
der ſenkrechten tage des Rreifes ANBO der über bem 
Grundfreife erhabene Pol des zu projicirenden Kreifes 
fälle, von N an den Bogen NR = 2g oder gleidy dem 
doppelten Abſtande der über der Tafel erhabenen Pole des 
Grundfreifes und des zu entwerfenden Kreifes nimmt, 
und OR zieht. Diefe. fhneidef AB in dem gefuchten 
Mittelpuncte I, aus welchen dann mit dem Halbmejjer 
IO oder IN der Kreis OGNH befchrieben wird, Nach 


Stereographifche Pröjeetiom. 468 


dieſer Eonfteuction ift nämlih CE = rtangg, Ol = 
rsecg (6). — Degegnet Ol ver DE in T,, fo ift wer 
gen COI=ICT. und des gemeinfchaftlihen Winfels E 
das Dreyeck ICT dem Dreyerfe ICO ähnlich, alſo ITC 
= ICO oder OL in T fenfredht auf DE. Hieraus ergiebe 
ſich noch ein Mittel, Izu finden, wenn DE gezogen iſt. 
— 24. 4. die Pole eines größten Kreifes in der 
Projection zu finden. | a oo. 
Die Pole des Grundfreifes fallen in feinen Mittel⸗ 
punct, » Die Pole eines fenfrechten Kreifes NO liegen 
auf dem Umfange des Grundfreifes in den Endpuncten 
des auf NO ſenkrechten Durchmeſſers AB. Die Pole 
- eines fchiefen Kreifes NGOH zu finden, fuche man feinen 
Mittelpunct I und ziehe dadurch den Durchmeffer des 
Grundkreiſes AB, und auf diefen den Durchmefler NO 
fenfrecht, verbinde OL und halbire den Winfel COX 
Durch die gerade OF. Dieſe fehneidef AB in dem einen 
Pole P. Eine fenfrechte auf OP in dem Puncte O giebt 
dann durch ihren Durchſchnitt mit der AB den andern 
| Nadı der Eonftruction ift naͤmlich NF=FR=g, 
alfo NOF=4g, CP =rtangzg, Cp=rcotig, 
- wie gehörig (7). Ze | 


24. b, Da bie Pole eines Kreifes einander ger 
rade entgegenftehende Püncte find, fo ergiebt fich hieraus 
die Auflöfung der Aufgabe: Zu einem-gegebenen Puncte 
ber Projection, welcher nicht der Mittelpunct ift, den 
ihm diametral entgegengefegten zu finden. 


Man zieht nämlich durch den gegebenen Punct P 
ben Durchmefler des Grundfreifes AB, und auf diefen 
einen andern NO. fenfrecht, verbinder PO und ſetzt Op, 
welche der AB in p begegnet, fenfreche auf OP, fo ftp ° 
der geſuchte Punct. — — 
025, Auf einem größten Kreiſe ber Projection von 
einem gegebenen Puncte an einen Bogen, von gegebener 
Groͤße abzufchneiden, ————— | 


484 Stereographiſche Projection. 


Wie das verlangte in Anſehung des Grundkreiſes 
geleiſtet werde, iſt fuͤr ſich klar. Auf einem ſenkrechten 
Kreiſe AB von dem Puncte G aus einen gegebenen Bo⸗ 
gen abfchneiden, ziehe man den Durchmefjer. NO fenfs 
recht auf AB, ‚verbinde OG und, verlängere ſolche bis an 
den Umfang des Grundkreiſes in D, nehme auf diefem 
den Bogen DF nad) der gehörigen Seite von der bes 
ſtimmten Größe, und ziehe OF, welche AB’ in P fchneis 
der, ſo iſt GP, wie aus (22) und (3) erhellt, der. vers 
langte Bogen, die Projection naͤmlich von DF. | 

- Auf einem fchiefen Kreife NGOH ‚wird von; dem 
Punete Q aus ein Bogen von gegebener Größe fo abger 
lchnitten. Man fucht den innerhalb des Grundfreifes 
liegenden Pol P des.Kreifes NGOH, zieht PQ und vers 
längert folche bis an den LImfang des Grundfreifes in S, 
nimmt alsdann den Bogen SW auf diefem nach ber ges 
börigen Seite von der beſtimmten Größe, verbindet WP, 
welche den Kreis NGOH inM fchneider, fo ift der Bor 


gen QM ber verlangte, 


Denn zieht man den Halbmeſſer CW und durch 
P den Durchmeffer des Grundkreiſes AB, welcher NGO 
in G fchneider, foift, den Bogen AW = w gefeßt, im 
Drepeck CW.P 
f ‚ z j » w F 
tang CPW — a SUB 
en CP—CW.cosWCP 
— r.sin (1800 — w) 
r tangaâs —- x. cos (1 80ꝰ —w) 
sin w ea 


Fre tangig+ cosw 

welcher Ausdruck in (21) für tang x komme, wenn 
uU>=90°, mithin der. entworfene Kreis ein größter iſt. 
‚Der Bogen GM ift alfo die Projection eines dem Bogen 
AW auf der Kugel gleichen Bogens, und eben fo GQ die 
Projection eines Bogens, welcher dem Bogen AS gleich 
iſt. Daher ift der ganze Bogen QM die Projestion 


Stereographiſche Projection. 485 


eines dem SW auf der Kugel gleichen Bogens, folglich 
von der beftimmten Größe. 


26, Der Grundkreis ANBO bient zur Einthei⸗ 
fung ſowohl des fenfrechten größten Kreifes AB als des 
fhiefen NGOH vermirtelft der aus den Polen diefer 
Kreife O, P an den Umfang jenes gezogenen Linien. Er 
fuͤhrt daher den Namen eines Theilfreifes derſelben. 
Mar-Fann übrigens den fehiefen Kreis NGOH felbft als 
Zheilfreis gebrauchen. Um nämlich von des Durchmef: 
fer GH Endpuncte G aus nach O zu einen Bogen von ger _ 
gebener Größe abzufchneiden, nehme man von dem andern 
Enbpuncte H nad) der entgegengefegten Seite oder nad) 
N zu einen dem abzufchneidenden Bogen ähnlichen Yogen 
HZ, fo fchneidet die rückwärts verlängerte ZP auf: 
NGOH ben verlangten Bogen GQ ab. Denn weil OP 
den Winfel COI Halbirt (24), fo iſt CO oder CS: CP 
—OloderIZ:PZ, folglich find die bey P gleichwinkli⸗ 
gen Dreyecke CSP, FZI aͤhnlich, und die Winfel SCP, 
PIZ, fo wie ihre Nebenwinfel ACS, ZIH gleich, das 
ber bie Bogen AS und ZH Bel, folglich ee von 
der verlangten Größe (25). 


27. Durch einen Punet Moder Z, welcher nicht auf 
dem Umfange des Grundkreiſes liegt, einen groͤßten Kreis 
zu ziehen, welcher mit dem Grundkreiſe den gegebenen 
Winkel g mache, beſchreibe man aus C und M: oder aus 
O und Z als Mittelpuncten mit den durch eine einfache 
Sonftruction zu erhaltenden Halbmefjern rtangg und . 


rsecg Kreife, Diefe fehneiven einander in dem ge⸗ ’ 


fuchten Mirtelpuncte I, welcher, wenn die Kreife ein: 


ander ſchneiden, zweyfach iſt. Beruͤhren die Kreife blos 


einander, ſo giebt es nur einen Mittelpunet; treffen 
die Kreife — gar nicht, ſo iſt die Aufgabe un⸗ 
moͤglich. 


28. Durch einen gegebenen Punct der Projertion 
‚einen größten Kreis zu siegen, der auf einem andern 


Kreiſe ſenkrecht ſey. 


486. Stereographifche Projection: 


+ Man fuche die Pole des gegebenen Kreiſes, und bes. R 


fchreibe durch diefelben und den vorgegebenen Punct einen 
Kreis, welcher in dem Falle, daß der gegebene Kreis der 


Grundfreis ift, ‚fi ich in eine gerade Linie verwandelt, fo 


Aft das verlangte, sie Teicht zu fehen iſt, gefchehen. 


29. Durch zmwep gegebene Puncte der Projetion 
| einen größten Kreis zu ziehen. ' 


Iſt einer der ‘beiden Puncte der ——— Bei. 


Orundfreifes, fo ift der Durchmefjer deſſelben, welcher 
durch den andern Punct gebt, der gefuchte Kreis. Gonft 
fuche man zu dem einen der beiden gegebenen Puncte P 
den ihm diamentral entgegengefegten p (24*), und siehe 
durch P, p und-den andern gegebenen Punct M einen 
Kreis; diefer if der verlangte. Denn er iſt ein’ größter, 
weil er durch zwey einander — entgegenſtehende 
Puncte geht. 


30. Einen giößten Kreis zu beſchreiben, deſſen 
Pol P in der Projection gegeben iſt. | 


Man siehe durch P den Burchmeffer AB des Grund⸗ 
kreiſes, und ſetze auf denſelben den Durchmeſſer NO 
ſenkrecht, ziehe OP, welche den Umfang des Grundkrei⸗ 
ſes in F trifft, nehme den Bogen FD=FE= 90°, und 
ziehe OD, OE, welche dem Durchmeffer AB inG, H 
begegnen, und befchreibe um den Durchmeffer GH den 
Kreis GNHO. . Diefer ift der verlangte. (23. 24°.). 


31. An einen Punet der Projection, welcher we⸗ 
der der Mittelpunct noch ein Punct im Umfange des 
Grundkreiſes iſt, einen gegebenen Winkel zu ſetzen. 


Es ſey P der gegebene Punct. — Man befchreibe 
ben größten Kreis NGOH, deſſen Pol P ift (30.). - Um 
nun an den fenfrechren Kreis PCA einen Winkel von 
gegebener Größe indem Puncte P zu legen, nehmeman ben 
Bogen AS des Grundkreifes nach der gehörigen Seite 
von fo viel Graden als der gegebene Winkel foßt, ‚ziehe 
PS, welche ven Kreis NGO in Q, ſchneidet, und he⸗ 





Sttereographiſche Projection. 487 


ſchreibe durch P, Q (29) einen größten Kreis, ſo hat der 
Winfel APQ die verlangte Sröße, Soll aber der ger 
gebene Winfel an den fehiefen Kreis PMp in dem Puncte 
-P getragen werden, fo ziehe man durch den Durchſchnitt 
M des fehiefen Kreiſes und des. auf ihn ſenkrechten NGO 
die gerade. PIM , und ‚verlängere foldye bis an den Limes 
fang des Grundfreifes in W, nehme nun den Bogen WS 
nach der gehörigen Seite von fo viel Graden, als der zu 
zeichnende Winfel haben foll, ziehe PS, die dem Kreife 
NGO in Q begegnet, und befehreibe durch P und Q cınen ‘ 
größten Kreis PQp, fo ift an PM ein Winfel MPQ 
bon der verlangten Größe geſetzt. Es ift naͤmlich QM 
die Projeetion. eines dem WS gleichen Bogens (25), 
und das Maß des Winfeld MPQ , weil PM, PQ Qua: 
dranten find. | 

32. Durch eine leichte Umkehrung der Auflöfungen 
in (25),.(23) und (27) kann man jeden Bogen eines 
größten fenfrechten oder ſchiefen Kreiſes der Projection 
uͤnd jeden Winkel, der ſeine Spitze nicht im Mittelpuncte 
des Grundkreiſes hat, ausmeffen, indem man jenen auf 
einen Bogen des Grundfreifes, diefen auf einen Winfel 
am Mittelpuncte deſſelben zurückführt, Und nun ift man 
im Stande, vermittelft der bisherigen Vorſchriften alle 
- Aufgaben’ ver fphärifchen Trigonometrie graphiſch zu loͤ⸗ 
fen. Da aber bey aſtronomiſchen Aufgaben oft die Zeich⸗ 
nung und Eintheilung von Parallelkreiſen vorkommt, fo 
ſoll das noͤthige davon hier noch beygebracht werden, 


33. Zu einem gegebenen groͤßten Kreiſe der Pro⸗ 
jection einen Parallelkreis zu zeichnen. — — 

Der gegebene größte Kreis ſey NGOH (Fig. 47.) 
Man ziehe dur den Mittelpunce des Grundkreiſes C 
den Durchmeſſer GH deflelben, und NO, durch C fenks 
recht auf GH, ferner OG, OH, welche ben Umfang 
des. Grundfreifes in D und E fchneiden, und mache jeden 
‚der Bogen DL, EM, dem Abſtande des Parallels von 
dem größten reife am der gehörigen Seife gleich , ziehe 


488 Stereographif che Projection. | 


OL, ÖM, wolche dem Durchmeſſer AB des Grundfeeis | 
fe® in Qund R begegnen, fo ift QR der Durchmefler 
= Projection‘ des Parallelfreifes, wie aus (4) und 2) 
erhellt, | 

34. Um den gegebenen Pol einen Warallelfreis 
oder uͤberhaupt einen Fleineren Kreis, - defjen — 
vom Pole gegeben iſt, zu beſchreiben. 


P fen der innerhalb des Grundkreifes fallende Pol. 
Man ziehe Dadurch den Durchmeffer des Grundkreiſes AB 
und einen andern. auf-AB fenfrechten. NO, ferner OP 
bis an den Umfang des Grundkreiſes in F, nehme die 
Bogen FL, FM, fo groß als der Abſtand des Pas 
raliels von dem über der Zafel erhabenen Pole auf 
der Kugel ift, jiehe OL, OM, a. ergiebt ſich durch 
deren Durchſchnitte Q, R mit der Durchmeffer 
des Parallelkreiſes OR, 

Kür einen Parallel des Grundkreifes fälle F mit 
N, fo wie D und E mit A und B zuſammen. 


35. Durch einen gegebenen Punct der Projee⸗ 
tion den Parallelkreis zu einem gegebenen groͤßten 
Kreiſe zu ziehen. 


Der gegebene Punct ſey T, und der gegebene 
größte Kreis NGOH. Man ſuche den Pol’ vefjelben 
P, und befchreibe durch P und T einen groͤßten Kreis, 
meffe den Bogen PT vefjelben, fo hat mar den Abs 
ftand des Parallels, von feinem Pole, und fann dem⸗ 
felben nach (34) zeichnen. 


| 36. Auf der Projection eines Parallelfreifes 

‚oder überhaupr eines Fleineren Kreifes von einem ger 
gebenen Puncte aus einen Bogen von gegebener Größe 
abzufchneiven. 

Der Parallelfreis fey TOR und P die Projection 
bes über ber Zafel erhabenen Pols deſſelben, der ger 
gebene Punct auf feinem Umfange Y. Man nehme 
den Bogen OS des Grundfreifes , wo O wie in (34) 
gefunden BIN: gleih FL oder dem — des Pa⸗ 


Ä Stereographiſche Projection. 489 


rallels von dem naͤchſten Pole, ziehe die Chörbe OS, 
welche verlaͤngert dem Durchmeſſer AB: des Grundkrei⸗ 
ſes in V begegne. Mit dem Halbmeſſer CV befchreibe 
man um Cheirten Kreis, ziehe PY bis an den LImfang 
deijelben. in W, nehme den Bogen WX nad) der ger - 
börigen Seite von der verlangten Größe, und ziehe PX; 
welche dem Umfange des Parallels in Z begegnet, fo 
it YZ der verlangte Bogen. * san 

Denn es iſt, den Bogen NF=g, FL=05—=u 
gefest, CP = rtang$g; CV —rcot$u;' und wenn 
CW: gejogen, VCW over der Bogen VW = w ges 
fegt wird, jo har man im Drenede CWP. | 


ung pw. reden 
0. rtangzg + Tcotzu cosw 
| BE cot u sinw 
F Ttangaes + eotzucow 
folglich iſt QY die Projection eines dem VW.äßnlichen 
Bogens (21.). Eben fo it QZ die Projection eines 
‚dem VX ähnlichen Bogens, mithin YZ die Projection 
eines dem Bogen WX auf der Kugel aͤhnlichen Bo⸗ 





gene, alfo von der verlangten Größe, 

- Der Kreis VXW. ift ein Theilfreis fie ben klei⸗ 
neren Kreis QZRY, wie es der Grundfreis AOBN 
für den größten Kreis NGOH ift (26.). Befchreibt 
man um C- mit einem Halbmeſſer = rtang Fu einen. 
Kreis, fo dient folcher gleichfals, den Kreis QZRY 
durch gerade, welche in den entfernteren Pol p laufen, 


% 


einzutheilen (21.). 


Man- fann aber auch ben Kreis QZRY ſelbſt 
als Theilfreis gebrauchen. Man verlängere nämlich YP 
ruͤckwaͤrts bis an den Umkreis in y, nehme den Bos 
gen yz nad); der entgegengefegten Geite von der bers 
langten Größe, und ziehe zZP, welche verlängert dem 
Umfreife in Z begegnet, fo ift YZ der Bogen, wel⸗ 
cher abgeſchnitten werden follte, | 


u | 


490° Steereographiſche Projection. 


Denn zieht man die Halbmeſſer Iy, Iz ‚des klei⸗ 
neren Kreiſes, fo: iſt in den vorigen — 
rsing 


a= —, wy =RSk-. 
‚cI cosg + oosu 2, und ly IR = Aa 
rsinu rsing 
J cos + cosu a 9: Min? cog+ cosu 


rsin x  Fsing (I-—cosu)- | 
E m — &( ‚, und 


1 + cosg (ı + cos 8) (cosg + cos u) 
LiP= en * mE otlu:tan | 
on ar i sie 


alfo, wenn RIy=w ift, tang QPY= tang Rpfy= 


cotzu sın W t | Y bi / 
tangzg + cotzucosw IR - — 
eines dem Bogen Ay ähnlichen Bogens (21.). Eben 
fo iſt Qz die Projeetion eines dem Bogen Ra aͤhn⸗ 
lichen Bogens, folglich YZ die Projection eines dem 
Bogen yz- — Bogens, mithin von der. verlange 
sen Größe, | 


37. Kin anderer Theilfreis des Paralleld HQLR 
(Fig. 48), welcher dadurch, daß fein Halbmefler nicht 
zu "groß ausfältt,- vorzägliche Bequemlichkeit geroährt, 
finder ſich To: Man befchreibe durch den Pol P einen 
größten auf AB fenfrechten Kreis, welcher alfo durch 
die — des auf AB ſenkrechten Durchmeſſers 
N und 0 qgeht. Dieſer ſchneide den Kreis HQLR 
in H und L: zieht man nun die Chorde HL, welche 
AB ın K durchfchneider, und’ beſchreibt aus. R mit 
KH oder KL den Kreis: HML;. fo iſt diefer ein Theile 
kreis zu HQLR.. Um naͤmlich von dem Punete X aus 
auf dem Kreiſe HQLR einen Bogen von gegebener 
Groͤße nach L zu abzuichneiden, siehe man Py.bis an 
den Umfang des Kreiſes HML in S, nehme den Bo⸗ 
gen ST nach der angedeureten Geite hin von der ges 
gebenen Größe, und u PT, .. welche dem Umfange 


Stereographiſche Projection. 491 


des Rreifes HQLR in.Z Segeane, fo it Yz ber vers 
langte Bogen. 


Denn fuͤr den — u find, weil APH— 06°; 
PH aber die Projecfion des Bogens u auf der Kugel 
ift, die Werthe der Coordinaten CK, HK oder KL 
biefe | 

= | r sing cosu | 

a 1 + 005g c0su. j 

r Sinu 

‚KH zZ RL= 
1cos g cosu 

alſo ee R 

KR _rsing, — ring cosu 

14 cos g ı + .cosg cos . 

.._Feing (1 —c (1 —cosu) 


. * (1 (2 + cosg) —I + cosg cosu) 
und n( .KEP= KH: KP.= (1 Fcosg) sinu: 
—* sing (1 — cosu). 


¶Demnach find (21) QY und QZ die Projeetionen von 
"Bogen auf der Kugel, weldhe den Bogen MS und 
MT ähnlich find.: Folglich ift XZ die Projection ei⸗ 
nes dem Bogen ST auf der Kugel ähnlichen Bogens. 


Ohne den Kreis NPO zu. befchreiben findet man 
den. Durchmeffer HL des Theilfreifes fo. Man mas 
che jeden der Bogen QV, QW. einem QDuabranfen 
gleich, ziehe VP, WP, und verlängere folche bis an 
‚den Umfang des Kreifes, welcher getheilt werben foll, 
in Hund L, fo. ift die verbundene HL ver gefuchte 
Durchmeſſer Dies Verfahren beruht darauf, daß 
“man den Kreis VOWR als einen ſchiefen größten 
Kreis, deffen Pol P ift, betrachtet, und dazu den 
Grundkreis fuhe. Da nun. WR, RV Quaodranten 
find, fo find (26. und. 36) QH,.QL die Projectionen 
von Quadranten, alfo HQL die Projeetion eines Halbe 


49% Stereographiſche Projection. 


kreiſes, mithin’ HL\ber Durchmeſſer des Grundfreifes 
für VQWR als fchiefen größten Kreis. Daß HML 
alsdann aber, einen Foeilteris, zu en — ya 
ii aus (25). 


Sambert bat biefen Theilkeeis bey 5* in * 
Beytraͤgen zum Gebrauche der Mathematik Theil II. 
S. 720 und folgg. angegebenen Entwerfungsart der 
Gonnenfinfterniffe ‘und weiterhin auch der Sternbedek⸗ 
Bun in Anwendung ‚gebracht, 


38. Der Erfinder der ftereographifchen Projecs 
tion iſt der befannte griehifche Aftronom Hipparch. 
Wenigſtens eignet ihm der Biſchof von Prolemais, 
Syneſius, in der Vorrede zu feiner Schrift: De dono 
astrolabii die Erfindung derfelben zu. Nach Hipparch 
hat Prolemäus über. die ftereographifche Projection ges 
fehrieben. Seine Abhandlung darüber, weldhe nur in 
einer lateiniſchen aus: dem Arabiſchen des Maflem ges 
machten Überfegung vorhanden ift, hatte den Zitel: 

anrkwaiıg Emipaveıas oQaipas (Explicatio super- 
ficiei sphaericae in planuni). Die Eigenfchaft, daß 
alle Kreife, deren Ebenen nicht. durch's Auge gehen, 
wieder in Kreife projieire werden, wird darin mehr ans 
‚genommen als. bewiefen. Nach der Wiederherftellung 
der Wifjenfchaften hat die ftereographifche Projection 
an den Jeſuiten, Clavius, (Astrolabium beſonders 
Rom, 1593: 4. und im dritten Bande der Opp. inat 
thematicor. Christophori Clavii, Maynz, 1612.) 
Agınlonius, (Opticorum libri VI. Antwerpiae, 
1613.) Zacquet (Opera mathematica, Antwerpiae, 
1659.) und Dechales (Tractatus de Astrolabüs im 
IVten Bande des 1690 zu Lyon erfchienenen Cursus 
s. Mundus mathematicus)  fleißige Bearbeiter 
gefunden. Elavius Werk ift fo meitfchmeifig und die 
Figuren fo bunt und verwirrt, daß Tacquet felbit fagt, 

er glaube nicht, Daß Jemand das ganze Buch durche 
gelefen habe, Sein eigener Vortrag, ift fo wie ber 


Stereographiſche Projection. 493 
vou Dechales deſto kuͤrzer und netter. Von Xyuilonjus 


Diefe Schriftiteller. lehren den Sehraud) der 53 de⸗ 
ren Erfindung Clabius ſich zueignet. Die andere merk⸗ 
wuͤrdige Eigenſchaft der ſtereographiſchen Projeetion, daß 
die Winkel der Kreiſe in der Projection und auf der 
Kugel. dieſelben find, iſt indeß dieſen Geometern trotz 
der Muͤhe, welche ſie ſich um jene Entwerfungsart 
gegeben haben, ‚entgangen, und erft ſpaͤterhin aufge⸗ 
funden worden. Halley, welcher davon in ſeinem Auf⸗ 
ſatze: An easy demonstration‘ of the analogy of 
the logarithmick Tangents to te Meridian Line or 
sum of the Secants, (Philosoph, Trans. Vol. XVII. 
nro. 219) Gebrauch macht, fagt, daß er folhe von 
Moivre ‚erhalten, ſeitdem aber erfahren habe, daß ſie 
ſchon von Hook der Societaͤt mitgetheilt worden fey. 
Die Anwendung der eh a Projection zu 
$andfarten hat Hafe, theils dadurch, daß er fie in feis 
ner Schrift: Sciagraphia integri tractalus de con- 
- ‚structionemapparumomnis generis. Lipsiae, 1717» 
dazu befonders empfahl, ıheils. aber. ‚vornehmlich das 
‚duch, daß er felbft viele nach der ſtereographiſchen Ent⸗ 
werfungsart gezeichnete Karten herausgab, ‚vorzüglich 
befördert. Da Haſens in der obigen Abhandlung ans. 
gefindigtes Werk niche erfchienen, und fonit Feine voll—⸗ 
- fländige Theorie der flereographifchen Entiverfungsart 
befannt war, fo. wurde, Kaͤſtner daurch veranlaßt, Diefe 
‚Theorie. vermicrelft der analgeifch s trigonometrifchen 
Rechnung zu entwigfeln, und ſolche in feinen Dissertt,, 
mathem, et physic, Altenburgi, 1771 befannt zu 
. machen. In verfelben Manier und ſehr umftändlich 
bat auch Karften im: 7ten ‚Theile feines Lehrbegriffs die 
ſtereographiſche Projeetion abgehandelt. ſtach der ſyn⸗ 
thetiſchen Methode hat Kluͤgel in einer kleinen Schrift 
geometriſche Entwickelung der Eigenſchaften der ſtereo⸗ 
graphiſchen Projection. Berlin und Stettin, 1788. die, 
Hauptſaͤtze und Hauptaufgaben über diefelbe vorgetras 
gen, In diefem Artifel wird man einiges finden, das 


494 Stereometrie. 
die Abhandlungen dieſer Schriftſteller, ſo wie bie don 


Mayer im aten Th. feiner praktiſchen Geometrie und 


bon Delambre im zten 2. feiner Aſtronomie, ergaͤnzt. 


S tereometrie, wörtlich: Rörpermeffung, ik 
der Theil der Geometrie, in welchem die Unterſuchung 
nicht auf Linien und Siguren, die in einer ‘Ebene lier 
gen, beſchraͤnkt ift, "Kür die Stereometrie gehört 
alſo zunächft die Lehre von der Lage gerader außerhalb 
> einer Ebene gezogenen Linien gegen dieſe Ebene,‘ und 
von ber lage der ’ Ebenen gegen einander, worunter 
die Lehre von den Förperlichen Winfeln begriffen ift, 
worauf dann bie Betrachtung ber. Körper und ihrer 
Dberflächen ſelbſt, fo wie der Linien, welche in dieſen 
Oberflaͤchen durch die Duͤrchſchnitte derfelben mit ebenen 
oder krummen Flächen entitehen oder fonft nach irgend 
einem Geſetze gejogen werden’ fönnen, folgt. Die 
Stereometrie ift theils eine niedere theils eine höhere, 
über welche Einteilung der Artikel Geometrie Aus— 
kunft giebt, in welchem auch der Umfang der. Elemen⸗ 
tarftereometrie beſtimmt ift, in die man gewöhnlich 
auch noch, dem obigen Begriffe nicht zuwider, die ers 
fien und Teichreften Lehren der Sphärif von den Kugels 
ſchnitten aufnimmt. "Häufig wird das Wort Sterev⸗ 
metrie in feiner eigentlichen Bedeutung für Ausmeſſung 
der Körper ihrem Inhalte nach genommen. Go ers 
{heilt die praktiſche Stereometrie Vorſchriften zur Yes 
rechnung des Inhalts don allerley im gemeinen Leben 
vorfommenden Körpern, womit dann auch DVorfchriften 
zur Berechnung ihrer Oberflächen, in fo fern dieſe niche 
fhon nach den Negeln ber Planimetrie gefunden wer⸗ 
den koͤnnen, verbunden werben. | 


Da die Berechnung des nhalts eckiger Körper 
£heils fhon in den Art. Prisma und Pyramide enthals 
ten iſt, theils noch in dem Artikel vieleckiger Koͤrper 
vorkommen wird, fo gebe ich hier noch einige Mache 

träge zu den Artikeln, Eubirung und Complanation. 


Dre 


\ 


Stereometrie. 4696 


20° Wenn X die Area des Schnittes eines Koͤr⸗ 
pers bezeichnet, welcher ſenkrecht auf eine gegebene 
oder angenommene Abfeiffenare in dem: unbeitinsihiren - 
Abſtande x vom Anfange ver Abfeiffen geführt ift, fo 
‚giebt [X°x den Inhalt von dem Stücke des Körpers, 
welches zwiſchen den. beiden ‚parallelen durch die "nd 
puncte der x gelegten Ebenen enthalten iſt. Der Bes 
„weis hiervon wird eben fo geführt wie in bem Artikel 
Eubirung.. in. en are egahen 
. Erempel,. Es ift ABCDF(Fig 49) ein Koͤr⸗ 
per, deſſen Grundfläche ABCD ſo wie alle mie ihr pas 
rallele Schritte Quadrate find, die beiden auf vie 
Grundfläche Durch die Mitte der gegenübertiegenden Sei⸗ 
ten fenfrechten Schnitte GFH, IFK feyn. Halbfreife, 
man fucht den Inhalt dieſes Körpers. 


Es ſey LMNO irgend ein der- Grundfläche pas 
ralleler Schnitt, welcher der Are FE, dem gemeine 
ſchaftlichen Durchfchnitre der. Ebenen GFH, IFK in P 
begegne. Man fege FP=x, und den Halbmeſſer 
EG=EF=EH==a, fo daß 2a die Seite der. Grund⸗ 
fläche ift, ſo iſt vermoͤge der Natur des, Kreifes PO 
= y(22ax—x*), und die Area LMNO — gax — 4x®. 
Dezeichnet nun Z das unbeflimmte Stuͤck des Körs 
pers LMNOF, fo ilt- . -. 
urn. OA == gaxdx — 4xtöx . 

Z = 4ax— 4x3 


wo keine Conftans Binzuzufegen iſt, weil für xo, 
auch ZZ Oo. wird, Hiernach wird, wenn man x=a 


| re) Be ET 
fegt, der Inhalt des ganzen Körpers — en mithin 

ſo groß als der einer Pyramide von derſelben Grund⸗ 

flaͤche, aber von der .doppelten-Höhe. = — 


Die: gefuntene Formel dient den leeren Raum 
eines Kloftergemwolbes mir quadratifcher Örunofläche und 
elliprifchen Grarhen oder Kanten AFC, BFD zu bes 
rechnen. — Es £önnen die Schnitte GFH, IFK aud) 


N 


496 . | Stereometrie. 


andere — als Halbkreiſe ſeyn, immer wird ſich der 
Koͤrper AFC zu dem runden Koͤrper, welcher durch 

Almdrehung von FEH. um die Axe EE entſteht, ver⸗ 
halten wie das umſchriebene Quadrat ‚gu. der Kreis⸗ 
flaͤche. ee. 

Das Stuͤck EFHD des vorhin — Koͤr⸗ 
pers iſt die Haͤlfte eines eylindriſchen Hufs, deſſen In⸗ 
halt “nah nro. 2Artikel Huffoͤrmiger Äbſchnitt 
Faa XHD Jas iſt. Das gfache hiervon giebt 
den: ganzen. Körper wie vorhin. Die Frumme Ober: 
fläche. wird * nro. 3- des —— At 

= 8a”, 
3. Es fey nun N (Fig. 50) ein * einer 
krummen Flaͤche, für welche eine Gleichung zwiſchen 
den drey rechtwinkligen Coordinaten AP-Sx, PM=y, 
MN == z gegeben. ift, und es bezeichne V den förpers 
lichen Inhalt des Solidums, welches über dem Mechts 


 ede. AM als Grundfläche ſteht, die über AQ, QM, 


‘MP, PA fenfredten Ebenen‘ zu Geitenflächen und 
Das wiſchen dieſen enthaltene Stuͤck der krummen Flaͤ⸗ 
che zur oberen Grundfläche hat, fo iſt V im allgemei⸗ 
nen: eine Funetion bon x und y. Man lafle AP oder 
x um Pp=&Ax wachſen, fo waͤchſt das Solidum um 
ein Stuͤck über dem Rechtecke Pm als Grundflaͤche, 
und es iſt der Inhalt dieſes Stuͤcks 
9 de V 0 F 
= SEE 
— 00V 


x Fr 
x allein genommen find, 


Eben fo ift, wenn man y =AQ =—PM allein 
um Qgqg = Ay wachen läßt, das Über dem Rechtecke 
qM ſtehende Solidum 

28 —X — + — 
er ne AT y ; 
raͤßt 





Axt + etc. 


SON gpiifrentiofauerieneen in EEE auf 


Stereometrie. 497 


\ gäßt man aber x und y zugleich, ‚jenes um Ax, 
diefes um Ay, wachfen, fo wird nach dem auf Tune 
tionen zweyer beränderlihen Größen erweiterten Tay⸗ 
lorſchen tehrfage das Solidum über dem Gnomon 
PMQgsp ! 

oV „ oV 
„=: rt 


DV. DV | | 
R - —— — — —— r® — | A Eco, '‘ * 
—— — —— 


DV 
1.2.0x° 


00V 
dx⸗ | 
man erhält, wenn man V zweymal hinfer einander und 

zwar fo/ daß x allein als veränderlic) betrachtet wird, 


wo den Differentialquotienten anzeigt, welchen 


2 00V | 
differenfürt, * aber denjenigen, welchen man be⸗ 


| oV — 
kommt, wenn man zuerſt zu wo x allein veränderlich 


ift, ſucht, und alsdann diefen Differentialquorienten aufs 
neue, indem man bloß y als veränderlich betrachtet, 
differentüire, wobey man auch die Folge der Operationen 
umkehren Fan, - — | 


Hierdurch ergiebt ſich das Solidum Mt über dem 
Rechtecke Musm als Grundfläche 
00V 3 
== —— Axdy+ — Ay’A 
3 dxdy 5 yr 1.2.0x?0y ä 7 
— AxAy? + etc. 


. 0 
* 1.2,0x0y* 


Shen diefes Solidum fällt nun auch zmifchen 
zwey rechtwinflige, über der Grundfläche Musm ers _ 
richtete Parallelepipeda, von denen das eine die Fleinfte, 
das andere die größte der vier Ordinaten MN, mn, 
ur, st zur Höhe hat, vorausgefest, — z innerhalb 

a i 


Pr i 


498 Stereometrie. 


des Raums Mt beſtaͤndig zu⸗ oder abnimmt, welches 

immer dadurch erhalten werden kann, daß man Ax 

und Ay flein genug nimmt. Die Werthe der vier Dr: 

dinaten find — | 
MN=z 


2 00 
m=2+4 —Ax+ 2 


—— — 





Oz 00 
de + tr + etc, 


Oz 


= 
uoz+ 2 ‚Ax + Ay + — — Ax! 


1. 2 .0x® 


802 
— ER — 5 Ay® + etc. 

Hiernach wird das erfle den Ausdrücken für die 
beiden Gränzen des Solidums Mt gemeinfchaftliche 
Glied zAxAy, welchem alsdann entweder bloß in dem 
einen oder in beiden Ausdruͤcken noch andere in Ax"Ay, 
AxAy? u. ſ. mw. multiplicirte Glieder > Denis 
nach fällt dem obigen zufolge 


00V - 0>V — — 88V A — 
——— .7.1.2.0x0y® Em 


jrifchen zwey Gränzen, deren erftes Glied z iſt, bie 
- ihnen > — aber die Form pAx"Ay” haben. 


Da nun. = a fo wie V, gar nicht von Ax und Ay 
abhängt, als welche ganz willführlich find, fondern als 
lein eine Sunstion von. x, y ift, welches auch 2 iſt, 
ſo muß ſeyn | | 

00V 

dxoy 


weil in den Graͤnzausdruͤcken außer z weiter keine von 
Ax, Ay unabhängige Glieder find, 





Stereometrie. 499 


- Man fege den‘ — Differentialquotienten 
— | | 


Si w, fo iſt W eine Funetion von x, y, und 
DW _, | | 
7) 7 


Multiplieirt man hier auf beiden Seiten mit dy, fo 
erhält man linfer Hand das Differential von W, y als 
lein veraͤnderlich geſetzt, und durch Integration 
N = fa0 \ 

mo /zöy, wie gewöhnlich, das Tintegral von zoy in 
Bezug auf y, deffen Differential der Factor zu 2 iſt, 
anzeigt, und die Gonftante, welche im» Allgemeinen 
eine beliebige Runction von x, das bey der Integra⸗ 
tion als _unveränderlich betrachtet wurde, ſeyn fann, 
unter dem Zeichen [zöy mit begriffen wird, 


Es ift demnach | 
oV | 

| | dx ar ſedy 
alſo, wenn man auf beiden Seiten mit 8x multiplicirt, 
wodurch linfer Hand das Differential von V als einer 
bloßen Zunction von x erhalten wird, durd) integration 
v=foxfzöy. | | 
wo das Zeichen fOxfzöy dem einfachen Zeichen 2dy 
analog ift, und die durch die Integration nad x hin 
eingebrachte, unter föx/zdy mit zu verſtehende Con⸗ 
ſtante im Allgemeinen eine willführliche Function von: 
y ift. Ganz auf ähnliche Art wird auh Vo, /zöx- 

gefunden, 4 | 


Man erhält alſo V, wenn man bie Kormel 20x0y,‘ 
worin ftatt z fein Werth in x und y geſetzt ift, zweye 
mal nah einander, nämlich einmal in Bezug auf y, 
das andere Mal in Bezug auf. x, oder auch umger, 
kehrt das erfte Mal in Beziehung auf x, das andere 
Mil in Beziehung auf y, das iſt, fo integrirt, daß 
jedesmal nur die eine der beiden unbeftimmten x, y' 


? 
‘is 


500 Stereometrie. 


als veraͤnderlich, die andere hingegen als conſtant be: 
trachtet wird. Dieſe gedoppelte integration zeige man 
dadurch an, daß man V — fJz0xöy. ſchreibt, weiches 
Zeichen alfo den obigen fOx/zdy und foyfzox gleich 
geltend iſt. Die zur Vervollftändigung der fucceffiven 
Integrale beyzufuͤgenden Eonftanten erhalten ihre Be— 
ftimmung dadurch, daß V fowohl für xXo, als. für. 
y=o vefhmwinden muß. Diefes har zur Folge, 
daß, wenn man mit der Integration nach y anfängt, 
nicht allein 20y für y=o, fondern auch fax/zdy 
für = 0 verfhwinden muß. Verſchwindet nämlich 


oV | 

* oder ſ20y für y= o, fo verſchwindet auch Y 

oder ſoxſady für y=o, weil y in V nicht anders 
oV | 

vorkommt als in Fr Daß eben fo, wenn man mit: 


der Integration nah x anfängt, Szdx für x-o 
verfchwinden muͤſſe, ift leicht einzuſehen. 


Wenn man, wie bieher angenommen ift, das 
über dem Rechtecke APMQ — xy ſtehende Golidum 
fucht, fo find x und y nicht weifer von einander ab: 
haͤngig. Das iſt aber nicht mehr der Kall, fobald die 
Baſis des Körpers innerhalb des Winfels YAX anders 
als durch die den geraden AX, AY parallelen geraden 
QM, PM begrängt wird. Indeß drücken auch in dies 
fem Kalle die Korıneln 0xſ20y und fOyfzox das Bo: 
lumen eines Körpers, welcher ganz oder zum Theil von. 
der. durch N gehenden Frummen Släche begrängt wird, ‘ 
oder eines Abfchnittes deffelben aus. Gieht man naͤm⸗ 
lih;x in der Gleichung für die Frumme Kläche als uns 
veränderlih an, fo gilt fie für. die Curve, welche der 
Durchſchnitt der Erummen Kläche mit der Ebine PMN. 
iſt. Die Ordinate diefer Curve iff NM oder z, die 
Abſciſſe PM ober y, alfo fzöy im allgemeinen .bie 
- Area eines Schnittes des Körpers mit einer auf die. 
Are der x in dem unbeflimmten Abſtande x vom Ans 


Stereometrie. -501 


fange der Abfeiffen fenfrechten Ebene, Daher ſtellt 
nach (1) Mx/ædy den Inhalt eines unbefiimmten 
Stuͤcks des Koͤrpers, welches zwiſchen zwey auf die 
Axe der x ſeukrechten und: parallelen Ebenen enthalten 
ift, dar, nur mie dem Linterfchiede, daß fzox jest, 
eine Function von x wird, deren vollftändige Beſtim⸗ 
mung von der Figur der Baſis des Körpers abhängt. 
Auf gleiche Weife drücke foyfzox ven Juhalt eines 
unbeſtimmten Stücks des Körpers zwifchen zwey ayf 
ver Xre der y fenfrechten und unter fich paraflelen Eber 
nen aus. Die Formel ffzoxdy stellt alfo in allen 
Fällen das Volumen eines. Körpers - oder eines Fürz 
perlichen Abſchnittes zwifchen zwey parallelen Ebenen 
dar, wofern nur. die fucceffiven Integrale zwiſchen 
den gehörigen durch die Wegränzung des Körpers bez 
ſtimmten Öränzen ‚genommen werden. — Daß bie 
Formeln [fx°y2z, ‚/[yOx2z daſſelbe leiften, wird man 
leicht aus dem Vorigen abnehmen. en: 
4. Exempel. Es iſt ADB (Fig. 51.) ein 
‚ gleichfeitigee Kegel, welcher mit der Are DC parallel - 
im LKL gefchnisten if. Man fucht das Kegelftük 
KLBL, deſſen Öränzen der hyperboliſche Schnitt LKL, 
das Segment der Grundfläche LBL und das Stud 
der Kegelflaͤche KLBL find. | 


Man nehme den auf LL ſenkrechten Durchmeffer 
der Grundflähe, AB zur Abfciffenare, den Mittels 
punct der Grundfläche GC zum Anfange der Coordinaten, 
fo iſt, wenn, h die Höhe des Kegels, CD, und a den 
Halbmeſſer der Grundfläche bezeichnet, die Gleichung 
für die Kegeifläche | | 

aa(lh—z)? — hh(xx+yy) 
wie man aus 35. in dem Xrtifel, Krumme Flaͤche, 
leicht findet, wenn man daſelbſt h—z ſtatt x und z 
ſtatt x fchreibe, Hieraus if | 


. | 
„= (a-Vox+ yy) 


502° Ötereometrie. « 


| Es fm EDE ein Schnitt durd die Are dem 
Schnitte LKL parallel, ſo iſt, wenn V. den satt 
bes Solidums ECDKPL bezeichnet, Ä 


v= = Josdy. (av (xx + wm) 


Man ſehe zuerſt x und 9x als unveraͤnderlich 
an, integrire * nach y, ſo daß | 


== foxfoy (a-vVax+y) 
fo ift aus dem Art. , Integralformel, 57. u. 50. | 


| ———— ay — -yV ax m) 
vHles4m 


— log — 
— cont. 


Die Eonftante kann hier eine Function von x 
ſeyn. Alm das Stüd des Kegels zu haben, welches 
über dem unenpdlich fehmalen trapezförmigen ‚Streifen 
PLIp der Grundfläche ſteht, muß man das gefundene 
Integral von y S o bis y= PL=y (aa—xx).ce 
ſtrecken, wodurch 


| fr (av ax + ) =;a Vlaaı xx) 
re 


| — x° log 
II | 
V=- - hföxy (aa—-xx) _— — log Ay) 
— 


Den erſten Theil des Riregrol⸗ hat man aus 
57. 49. in dem Art., Integralſormel; den andern 
Theil ſucht man nach der Formel [Z8X = ZX—/[X0Z, 
indem man OK xx nimmt, So wird 


r° 


Stereometri. 500 


+Vlaa—xı) 1. a—xx) 
fx log nn og en 
a 4V (aa — xx) 

x 


1 
a) ER x3,9.lo \ 
3 5 


ns] Eve. 
te > x * ur 


x: x 


V@a—xx). 





Dos in Zi muleiplicirte integral feße man unter bie 
(xxtan) (Ox:a) 
Form aa, Te fo ergiebt fih das Inte— 
— (x: a) 
VE¶ - xx: aa) 
x * XXX 
man * ſtatt des dortigen x, alfo V/ (i — —) ſtett | 


2 ſchreibt. Man erhält auf diefe Weife 


aus Integralformel, 62., wenn 


‚=, hx y (aa—xx) + ni aah. Ang. sin — 


a-+ V (aa—xx) 
a re 


ı hx? 


Das Integral verſchwindet für x =o wie es ſeyn 
muß, wenn das Solidum in EDE anfangen fol. 
Man bemerfe hiezu, daß der $ogarithme einer unends 
lich großen Zahl zwar ſelbſt unendlich, aber ein Unend⸗ 
liches von einem unendlich niedrigen Grade it, und 
in os multiplieire wird. | EN 


Sest man xa, fo erhält man den vierten 
Theil des Kegel, DCBE, = Zraah. Hiervon 
V abgezogen, fo bleibt das Solidum KPBL, voelches 
verdoppelt dad Gegment KLBL giebt. Es wird 


504 | Sterenmetrie. 
— 1 x 2, — 
Segm. RLBL = aah Ang. gos — hx V(aa⸗xx) 


— ı hx® — at V(aa—xx) 

\ j 3 a, x 

Hier iſt aa Ang. cos — — x V (aa —xx) der 
Inhalt des Kreisabfchnittes LBL,' und hycaa xx) 
hx® — * — 
— log re der Inhalt des hyper⸗ 
bolifchen Adfchnittes LKL: daher ift | * 
Segm. KLBL - ö 


—-CD x Segm. LBL—- CP x Segm. LKL 
„cDx8 | 


fo groß nämlich, als der Unterſchied der beiden Kegel: 
ſtuͤcke DLBL und DEKL, wovon jenes die Grund: 
flähe LBL, Höhe CD, diefes die Grundfläche LKL, 
Höhe CP hat, | u 


5. _ Kepler bat fih viele Mühe gegeben, einen 
ſolchen Abſchnitt eines geraden Kegel8 wie KLBL zu 
cubiren, allein es iſt ihm nicht damit. geglückt. Man 
febe feine Noua Stereometria doliorum Blatt O3. 
und feinen Auszug aus der uralten Meffe- Kunft Ar: 
chimedis. ©. 43. Nr. 55. | | 


Noch Dechales fagt Geom. pract. _Lib, XI. 
Prop. XXIX. Cor. 2. im jweyten Theile des Mund. 
math. Esset optabilius, cognoscere soliditatem - 
portionis conicae comprehensae plano axi paral- 
lelo. Und doch ſcheint es, als habe diefem Schrift: 
fteller die. zulegt gegebene geomerrifche Beſtimmung des 
Naums KLBL nicht entgehen Eönnen, da er Lib. 
VIII. Propos. XI. den Gag hat: Omnis quanti- 
tas, cuius elementa decrescunt in ratione dupli- 
cata altitudinum est tertia paxs quantitatis inte- 


Stereometrie, 505 


grae, und das Corollarium beyfügt: Omne cylin- - 
dricum omnis conici eiusdem altitadinis'triplum 
“est. Freylich fehlte e8 an der Beſtimmung dee hyper⸗ 
boliſchen Area, von welcher Kepler ſagt, daß ſie noch 
nicht erfunden ſey. Kepler ſowohl als Dechales ſuch— 
ten die Cubirung eines ſolchen Abſchnittes, wie KLBL; 
‚sum Behuf ‚der Bıfrung liegender, nicht: * — 


— Es ſey ſetzt der Inhalt’ des über dem’ Rehe | 
tife AM a 50.) ſich ausbreitenden, von Den Ehe: 
nen ZAQ, NMQ, NMP, 'ZAP 'eingefchloffenen 
Theils der, Erummen Fläche S, fo iſt S eine Function 
bon x und y, und ed wird auf ähnliche Art wie vorhin 
dargethan, daß das krummlinige Viereck Nrin — 

068 | 88 ©: 
— ag ars -A A | 

ax, Ay — x ay 
4 035 
1.2,.0x0y?, 


durch N (Fig. 52, wo die Bezeichnungen diefelben wie in 
Fig: 50 find) eine beruͤhrende Ebene, welche die Ebenen 
Mr, rs, sn, nM in den: geraden NR, RT, TV, VN 
fchneide, und ziehe noch die Chorden Nr, rt, tn, nN, fo 
wie auch Nt. Sind nun Ax, Ay Elein genug genommen, 
daß das Stüf Nrtn der frummen Fläche gegen die 
Ebene der x, y entweder durchaus hohl, welchen Fall 
die Zeichnung darftellt, oder durchaus erhaben iſt ſo 
fälle das krummlinige Trapezium Nrtn zwifchen zwey 
Gränzen, von denen die Eleinere die Summe der beis 
den Dreyeefe Nnt und Nrt, die größere die Summe 
der dren Vierecke NATV. RTtr, TVnt und der bel⸗ 

den Dreyecke NRr und NVn iiſt. 


Wir wollen mit der Beſtimmung der groͤßeren 
Graͤnze den Anfang machen. 


Penn :4 den Neigungswinkel der beruͤhrenden 
Ebene gegen die Ebene der x, y bezeichnet, fo iſt der 


AxAxt de etc. ... iſt. Man iege 


506 Stersometrie 


Anhalt bes Vieredt NRTV = Mum x sc9 


‚EProjestion, 13.). —= Axdy sec 9. Iſt nun 
on == pox + g9y 


ie Differentialgleichung für die — Flaͤche, wo p 


— + q®) (Rrumme Kläche, ı st 5 alfo — 


va + p® + g°) und NRTV = Axdy VCi +p'+qg°). 


Kerner ift 
ANVn = 3Vn. Mm 


Trap. RTtr—%(RBr+ T). us—2(Rr+ Tı), Mm 


alfo ANVn + Trap. RTır =3(Vn+- Rr+ Tt).Mm 

und eben fo 

ANRr + Trap VTtn = $(Vn + Br + T}).Mu 

alfo ANVn + ANRr + Trap. RTtr + Zrap. VTtn 
3(Vn+ Rr+ Ti (Mm 4 Mu). 


Da für die berüßrende Ebene, in fo fern. der 
Vunca ſ ſich nicht aͤndert, 


ſind, ſe ſind die — der Eoorbinaten Vm, Ru, 
Ts folgende 


‚mn=2+17-- nA 


82 
,‚ und 5 — unveränderlich 


Ru z + Bar 


07 D 
Ts =2+, ZA day 


Hieraus und aus ben — von mn, ur, 


-. 


15, welche in (3) gegeben find, werden die Werthe 


von, Vn, Rr, Tt, erhalten, und es wird 

| (Va+ Rr+ To)(Mm-+ Mu) * * 

| 0° 

a (& A 4 5 — er 


+ EB ‘+ ee. ) | 


Stereometrie. - 507 


Die — Glieder dieſes gehoͤrig entisiselten Aus 
drucks find von der dritten Ordnung in Beziehung auf 
Ax, Ay: daher ift die größere. Gränze 
. AxAy V(a+p’+g?) +LAxs + —B 
+ 04 +.. 
wö L, M, N,O Zunerionen von x —7 y ſi fü nd, 
— kleinere Graͤnze zu finden bemerfe man, baß 


weil > — = aus der .. — die krumme Std = — 





mn= z + pAx u“ x? — * —— Ax5+,, 


u =atgayt 4 on; Ayst.. 


1.2. * 
Kur ax’ +22 Axdy 


wird. 


Den inhalt des Dreyecks Nnt kann man nah 
(Projection, 16.) finden, wenn man bemerkt, daß 
3 Mm (ts-— mn) die Area der Projection des Dreys 
ecks Nnt auf die Ebene Mn, J ms(mn—MN) bie 
‘Area der Projection auf die Ebene Me iſt. Es wird 
naͤmlich 
A Nnt = V (Mmi, ms* — Mm* (ts — mn)! 

2 ms? a 


= janay av: + (a4 art tlärt. 


* (? 5 rt.) ) 





508 Stereometrie. 
3 AxAyyi Fr +NH+ PAx’Ay' + QAxAy* 
mo P, Q Functionen von x ‚und: yfi nd, . ** 
Sen fo wird die Area des Dreyecks Nrt 


*3 —— 62 ae) 


Ä + 74) 
mE SAIV TR 4449 4 — —— 


+ etc... 
Daher ift die Eleinere Gränze 
Axdy VLEtp HE HPFPIROT HAN NIAzay! | 


4 etc.. 


Hieraus wird: auf ähnliche Art wie in (3) gelofen 
‘008, 
Var vH) + ”)), 


mirgin — 





Ss fossyy +p°+ 9). 
mo megen Der gedoppelten Integration das in (3) bes 
merfte zu berückfichtigen iſt. 


Auch Bier läßt fich zeigen, daß ſoxdyy⸗ (1 —— 
durch die gehoͤrige Begraͤnzung der Integrale in allen 
Faͤllen den Inhalt der ganzen krummen Oberflaͤche eines 
Koͤrpers oder eines Theils derſelben ausdruͤckt, nicht bloß 
in dem hier zum Grunde gelegten Falle einer rectangulaͤren 
Bafıs, Die Ausführung davon findet aber in dem ges 
genwaͤrtigen Werke wegen ihrer — feinen 


Platz. 
7. Exempel. Es iſt ABCD (Fig. 53.) «in Recht⸗ 
eck, auf deſſen Ebene das bey C rechtwinklige Dreyeck 
BCE über BC fenfrecht errichtet ift. Cine gerade Linie, 
welche fi ch on AD und BE fo hinbewegt, daß fie AD 
und BE immer pröportionirt ſchneidet, beſchreibt eine 
krumme Släche, deren Inhalt gefucht wird. 


Stereometrie. | 509 : 


& fen PR. die. befchreibende — in irgend ei⸗ 

ner * Man ziehe RQ ſenkrecht auf BC und verbinde 
PQ.. Weil. vermöge der DVorausfegung AP:PD— 
BR: RE, und nach der Eonftruciion BR: BE— 
BQ«0C, fo ift AP:PD=BQ:0C, und, weil AD 
—=BC, AP=BQ,QC=PD, alio PQ' der CD pa⸗ 
rallel. Mithin ift die (Ebene -POR der Ebene ECD 
parallel, folglid BQP ein rechter Winkel, fo wie 
APQ. Bon einem willführlichen Puncte N der PR 
jiehe man an BQ die fenfrechte NM, fo. ift NM auch 
auf der Ebene ABCD perpendifular. Man ſetze AP 
=x,PM=y, MN, fo iſt, wel BC: CE—AP 
(=BO):RQ, wenn BC:CE <= ı:m gejest wird, RQO 
mx. Ferner iſt — RQO=PM:MN,, alſo AB, 


mx 
=a a gefeht, — die Gleichung fuͤr die krumme 
Fiaͤche. | Hieraus eofge 


2 my 
>? aaa 
192 mx 


folglih, wenn das unbeſtimmte Stuͤck der krummen | 
Flaͤche, deffen Projection auf ABCD das Rechteck 
AP xPM iſt, S heißt 


tg = Joxdy V (aa Pe mmxx 4 my). 
Milan — zuerſt in Beziehung. auf y, ſo wid 
8=—- -/ ox/oy V (aa + mmxx + mmyy) 


. Dun iſt Cintegralförmd; 57. so) 


Joy v (aa + mmxx + mmyy) = 
3y V (aa+ mmxx + mmyy) 
aa + mmxx 105 @I.t V (aa-+ mmxx + — 
2m 5 V (aa -+ mmxx) 


510. Stereometrie. 


welches Integral fuͤr —o verſchwindet, wie es ſeyn 
muß, wenn die Flaͤche von AD an verlangt wird. Lim 
durch die zweyte Integration die ganze über APOB 
ftehende Fläche, welche N heißen mag, zu erhalten, 
muß man noh y=a==AB fegen, und es wird | 
N=34/OxyV(lı + m')a+m’x‘) 
‚E. 
. + — [ox(aa + — x 
mia 4 V(Cr + mtYat + m’x®) 
Va +mixt) 
Die Integration giebt, wenn man zur Abkürzung 
(t + m*®)a® — cc madt . 


/oxuxv (c? -- m’x?) = 4x V (c? + mx?) 


‚log 


0.  meH+Vle tm) 
ma 4 V (c* + m*x*) 


fox (aa + mmxx) x log — au 
. ma-+Y(c-+ m’x*') 
ET Ge 
“ 4 arten | | 
(m’— sm + 2)a? 1ög mx + = — mx) 





6 
m — ı)ad . max 
BR Arc. sın —— 
m . eV (a* + m?x?) 


wo die Integrale ſo genommen find, daß fie für. 
x—o verfehwinden, mie ſich gehört, wenn die Flaͤche 
von AB an gerechnet werden joll, i | 


- Hierdurch kommt 
_(gm-+.ı)x | 
N — V(cec+ mmxx) 


5 Stereometrie. 511 


(amm + sm + n)a® lo mx-4 V (cc+ mmxx) - 
’ ‚12m z 5 c | 
(3aa + mxx)x ma +YV(cc+ mmxx) J 


— — — — 
6maa °8 V (aa + mmxx) 

(3am—ı)aa EEE. SR u 
mm — CV (aa-+ mmxx) - 
Wird in diefem Ausdtucke x — AD geſetzt, fo er 
halt. man die ganze Frumme ‚Fläche über dem Recht—⸗ 
ecke AC, | | en 


8. Ein Beyſpiel zu haben, wo die Gränzen des 
erſten Integrals in Abficht auf y veränderlich find, ſey 
(Fig. 54.) ADCB. der Octant einer- Kugel, und Über 
dem Halbmeffer CA als Durchmeffer in der Ebene des 
Duadranten ACB der Halbfreis CLA befchrieben. 
Diefer Halbfreis fey die Grundfläche eines halben ger 
taden Cylinders, deſſen gefrinmmte Seitenflaͤche den 
Deranten der Kugelfläche in der Eurve DRA durch- 
ſchneidet. Man ſucht das Stü der Kugelflaͤche zwi⸗ 
fhen den Quadranten DB, BA und der Eure DRA. 


Setzt man den Halbmeffer ver Kugel CA— CB 
= CD=a, die rechtwinkligen Coordinaren eines 
Puncts N der Kugelflähe aber CP =x, PM =y, 
MN =z, fo ift für die Rugelfläche * 

z — VY(a—xx—yy) Bes 
Die Ebene PMN fchneide die Rugelfläche in OQ, die. 
Eplinderfläche, fo weit folche innerhalb der Kugelflaͤche 
enthalten ift, in RL, fo daß R auf dem gemeinfamen. 
Durchſchnitte beider Flaͤchen fich befindet. Bezeichnet 
nun S das unbeſtimmte Stuͤck DBOR der Flaͤche DRAB, 


ſoiſts Noxöyv(1+ +) — 


02 nr 
Dann — m — — — 
x V(a—xxı—yy) 


512 2 Stereometrie. 


— 
— — 


| 5 V (aa —xx—yy) 
a OxXoyı 

fo wird N aa Fr 

Integrirt man hier zuerſt in Bezug auf y, fa 


PT SSR y 





wird | 
Sa lol —— — 
x: NERN 2 Y7 (aa—xx—yy). 
Es iſt 

— ——*Arc. sin * Const, 
I Veaa—xx-—yy)-. SV Ga—xz) 
‚und das Integral von y—=PL=y (ax—xx) bis 
y=PQ=Y (aa—xx) zu etflreden. Dadurch ers 
hält man 








a: | x 
— afdx. Arc. € 
* — 
Es iſt | ee 
RE x | Ä BE : 
Arc. cos V — x Arc, co Ä 
J°x m Verz i ‘Vz 
| ar xocx 
+—/ 


Dadurch wird 
S—axArc.cos yY — aßx-a* Arc. sin V — 
BE, a+x ax 
wo feine Conſtans binzufomme, weil für zo, auch 
So if. Setzt man x=a, fo erhält man das von 
ven Duadranten AB, BD und der Curve DRA einges 
fchlöffene Stuͤck ver Rugelfläche —aa, wie. in dem Ar⸗ 
tifel, Slorentinifche Aufgabe, 7. gefunden ift, wo aber 
zur Vergleichung bemerkt werden muß, daß dort der 
Quadrant, welcher hier DCA heiße, zur Grundfläche 

gemacht worden iſt. “ 
9. 


‚Stereometrie, 513 


“9. &s Fann zum Behuf der Integration oder in 
‚anderer Hinficht noͤthig oder nuͤtzlich — in die — 


ſecoxdy und oxdy ( + (= =) +( =)) 


ſtatt x, y ein Paar. andere veränderliche Größen t, u, 
wovon jene Functionen find, wodurh dann auch 2 
eine Function dieſer Größen wird, einzufuͤhren, aid 
dann die, Integration zuerſt entweder nach t und dar—⸗ 
auf nach u oder. umgekehrt vorzunehmen. Hierbey 
darf man aber nicht in den obiaen Formeln ſtatt dx, 
Oy gerade zu ıhre in t, u, dt, du ausgedruckten 
Werthe fubftieuiren, fondern es müffen die zu fubftiruis 
renden Werthe der Bedingung untergeordnet feyn, daß 
bey der jedesmaligen Integration eine ber veränderlis 
chen Größen als conitant betrachtet wird, 


F Bezieht man die Punete einer Curve BM durch 

rechtwinklige Coordinaten AP=x, PM=y, auf 
die Are AX, und ziehr der-Ordinate PM die pm uns 
endlich nahe, ferner MR, mr, innerhalb der Paral: 
lelen PM, pm der AX parallel, fo iſt das Element 
des Flachen aums der Curve das Elementarrechteck 
PMRp = ydx. Dies ſelbſt aber beſteht aus unend— 
lich vielen Elementarrechtecken, we MRrm — dxdy. 
Der Slachenraum der Curve iſt alfo das Doppelins 
tegral /ſoxdy, wo offenbar, wenn man juerft nach y 
integrirt, Ox als conſtant zu betrachten iſt. 


Bezieht man, hingegen die Puncte der Curve 
durch Ordinaten CM =u, die von eınem Puncte C aus« 
gehen, und durch veränderlihe Winkel ACM = t auf 
die ber Tage nach ‚unveränderlihe ACX, fo it, wenn. 
Cm der CM unendlich nahe gezogen wird, und aus 
-C mit CM, Cm innerhalb des. Winkels MCm die | 
unendlich ' Fleinen Kreisbogen MN, mn befchrieben 
werden, das Element der Area der Glementarfector 
CMN Ju⸗dt; dieſer felbit aber befteht wieder aus un⸗ 
endlich vielen Frummlinigen er MNian 


514 Stereometrie. 


ududt; fo daß der Flaͤchenraum der Curve das 
Doppelintegral ududt iſt, wo St bey der Integra⸗ 
tion nad) u als conftant zu betrachten ifl, 


Setzt man AC=h, fo ift 
Xh — ucost 
yzusint 
alfo | | 
x = — ducost + usintöt 
Oyz du sint + ucostöt, 


Dffenbar würde man ſtatt udust ganz etwas ans 
berö erhalten, wenn man die vorigen Werthe von dx, 
Oy in Oxdy ſubſtituiren wollte. Aber das Clementars 
trape; MNmn läßt ſich im Allgemeinen auch nicht - 
dem Elementarrechteife MRmr gleich ſetzen; es iſt 
hierbey vielmehr auf eine Vertauſchung der Formen der 
Elemente der Area der verſchiedenen Entſtehungsart 
derſelben gemäß, als auf Gleichmachung derſelben ab: 
geſehen. 


Da, wenn man von‘dem Puncte M zu dem 


= Puncte N übergeßt, t allein fich ändert, x und y aber 


allgemein Functionen von t und u find, fo find die 
— — ox — 
Coordinaten von N * zx-+ (Zt wer 
8 | 

Yy-+ (Z)e nah der bekannten Bezeichnung der. 
partiellen Differentiale, Eben fo find die Coordinaten 
m. fox dy 

bon n:Ag=x+ (5; )2u, azy+ ()8% 


endlih von m:Ap =x + (ar + (=) ou, | 


pm=y-+ (Zar + (⸗u. / 


Stereometrie, 515 
Hieraus folge die unendlich Fleine Sehne MN = 


8 2 : v 
SV ( =) + a) — der unendlich £leinen | 
Gehne mn. Daher ift das unendlich Eleine von der 
Sehne MN‘, mn und von Mn, Nm begränzfe gerads 
linige Viereik, welchem das Frummlınige Zrape; MNmn 
gleich ift, ein Parallelogramm. defjen inhalt nach einem 
nicht ſchwer abzuleirenden Gaße von der Berechnung 
der Area eines or aus den Coordinaten feiner 
Winkelpuncte — 
ng.Pp-MP.gp-mp.Pq = MP Qp-+mp. PO-NQ. Pp 


OX By . Dv ©x 
= a AR if 


t du Ot du 
ae ge 
Da in dem vorliegenden Kalle z„ =usint, 
Ten a 
„an n= 7 = ucost iſt, ſo 


wird ganz richtig das ſtatt Oxöy zu — Ein 
ment der Arten — ududt. | 


| Es iſt hier zugleich der Werth gefunden, welcher 
- in den Kormeln für das an und bie Oberflaͤche 


ſroxdy und dxo⸗(2 + © ) + * =) ‚are 


dxdy zu fubftiruiren ift, wenn ſtatt x, y zwey neue 
veränberliche Größen t, u, wovon jene Sunctionen ff find, 
eingeführt werben. Denn obgleich in Beziehung auf 
eine Curve y eine Runction von x und u eine Fune— 
tion von t ift, fo find doch im Vorhergehenden ſowohl 
yundx als t und u fo behandelt worden, als feyen fie 
von einander unabhängig. Die Rormeln für das Bo: 
lumen und die Oberflaͤche — dadurch folgende: 


Da Di - 2) 


516 | Bi 4 Stereometrie. . 
und ferdux 
dy 82 
(DOG —8* Me 23.6) 
wo.z — = =) und & auch Functionen von t und 


‚ u find, die durch Die Cihffirsäienen der in t und u 
ausgedruckten Werthe von x und y erhalten werden, 


Die Werthe von — und =) laſſen ſich auch 


aus denen — er f men 
— —, —, — —, — ⸗ 
ot’ Zu’ dr’ du Dez, duſam 


figen, Es iſt naͤmlich, in fo fern z eine Function von 
x und y if, 


92 — (ex + —* 


und i in fo fern x und y an von t und u find 
OX. 
dx = —* + Sa 


oy = Tor * Ju 
alſo 


ÖZ\ OX ,02 34 | 
aD) 
| "O2 ‚9 Er: FOR u 
(DI+DD u 
| Aber wenn z eine Function bon t und u iff, fo 
bat man Ä | 
02 ‚Oo 
2 = (Ja + (zZ du 


folglih, weil t und u nicht von einander abhängen, 


Stereometri, | 517 

02 _ 02. 0x | Oz 0 

IT ed Tee 

02. 02 0x 062 0y 

| Su — x du T Dy’2u 

Hieraus wird rs \ 
| Ö ag oy 

. SOSE 

Dix Zoran — Ay OR 

60 
F &z RN oO, © D 
——— 

"a8 )-D 


Werben diefe Werthe ſubſtituirt, ſo wird der Aus: 
‚druck für Die ET 5 


ara av ) (—) &) 
Br r, — + —2 
(55 - DG SL 


10. Exempel. In ber BON für den ges 
raden Kegel (4) 


= (a- — Vox +yy)) 


feße man x = a sint — y=asintsina, fo wird 
z — h—hsintund das Volumen ath/fouct sin t cost 
(1—sint) ; die Oberfläche aaa + hh)z /fotou — 
wo die — wie: man leicht findet, vont = 

bis t = 3” und von u=o bis uz2r au — 


518 | . Stereometrie. 


fen find, um bas ganze Volumen und bie ganze. ger 
kruͤmmte Seitenfläche zu haben. 


Integrirt man zuerft nach t, fp werben die Sn 


fegrale innerhalb der angegebenen Gränzen = arhfdu | 
und = a(aa + hh)* /da; hiervon geben die Integrale 


von U=o bis u = 2m das Volumen r ra®h. und 
die gekuͤmmte Geitenfläche ra Y(aa + hh) wie befannt. 


Der Körper ſey ein gerades parabolifches Konoid 
mit elliptifcher Grundfläche, für welchen 
xx SE 

TE TE A 


Hoͤhe des Körpers find. Geßt man x == asintcosu, 
y=bsintsinu, fo wird z = ccost?; und das Vo: 
lumen abc/fordu sint costs. Hiervon ift das erſte Inte⸗ 


| | A | | 
gral von t Zo be t = — abefou und das 
zweyte integral nah u von u=o bi u — 2r, 
I | 
— mabc. 
2 | ‚ 

Die gekruͤmmte Oberfläche des Konoids wird 


[Joudtsintcost Y(a*b’-+4c*sint’(a'sinu®-+-b°cosu®)) 
wenn die Integrale innerhalb der vorigen Gränzen ge⸗ 


nommen werben. Das Doppelinzegral ift aber eben 


fo wenig als das in dem Art. Sphaͤroid, 32. durch 
einen endlichen Ausdruck angebbar. 


Iſt ab, alfo das Konoid ein durch Drehung 
einer halben Parabel um ihre Axe entſtandenes, fo wird 


Stereometrie, | 519 


die vorige Formel a ſoudt sintcost Y'la® + aetsint®)! 
Es iſt rag V (a® -F 4c*sint?) von t = o bis 


2 — as 
.t=-n7,= —, ® J 
— n,= TE mit 

du er: er dann von u — o be u — 2* 
— giebt die gekruͤmmte Oberflaͤche des Konoids 


rat 
en a ara)? gg welches mit Complanas 


tion, Er. 2. bey gehöriger Vergleichung übereinftimim, 


ırr Da die in (9). gewiefene Transformation 
ber Sormel 8xdy oder allgemeiner diefer Moxdy, wo 
Meine. Sunection’ von x, y iſt, auf. geomerriſchen 
Gründen beruht, fo folge hier die analytiſche Herlei⸗ 
tung derfelben, welche Euler zuerft gelehrt har, 


Gefest alfo, man. führe ſtatt der beränderlichen 
Groͤße y, in Beziehung auf weldhe man die Formel 
 Moxdy zuerſt zu integriren vorhaf, -eine neue u ein, 
indem man flatt y eine gegebene Function von x, wels 
ches bey der. erften integration als unveränderlich be: 
trachtet wird, und von u ſubſtituirt, fo-ift allgemein 
oy = Pdx + Qodu 
wo P und Q Tunctionen von x und u find; hier aber, 
wo x während der integration nach y als unveraͤn⸗ 
derlich angefehen wird, Oy — QOu. Dadurch perwan⸗ 
delt fich die Kormel MOxdy in M’Qdxdu, wo M’ 
der Werth ift, welcher aus M durch Subſtitution des 
MWertbs von y in x und u hervorgehen, Die Kormel 
M oxdu iſt nun zweymal nach einander ſo zu inte— 
griren, daß bey der Integration nach einer der. beiden. 
veränderlichen x, u jedesmal die andere als unveränber 

li angefehen wird, | 


Führt man aber, ehe man bie efntegration nad) 
x unternimmt, noch eine neue beränderliche t ein, in: / 
dem man flatt x eine gewiffe Bun biefer veraͤnder⸗ 


320. Stereometrie, 
lichen. und ber Km der Integration nach x als conſtant 
betrachteten u ſetzt, ſo iſt wieder allgemein 

». 0x —z Rot + Sau 
wo Bund S Sunetionen von t und u find, Gier * 
wegen der momentanen Unveraͤnderlichk it von u, 
.8x — Rot. Hierdurch wird, wenn M“ und Q' die 
Werte von’ M' uw Q- find; weldse durch. Eliminas 
tion von x ‚entftehen , aus’ der Formel M’Qdxdu diefe 
M"Q’Rötdu, in der nun. weiter. Feine veraͤnderlichen 
Größen als t und u find, und ‚ welche jwenmal, naͤm⸗ 


# 
u 


lich einmal in Beziehung auf u,' das andere mal in 


Beziehung auf. t, oder auch in umgefeprter — 
zu integriren iſt. 


Fuͤhrt man: num. ſtatt x, y: zuge stb_ neile 
veränderliche. t, u, von, denen — dunctionen ſi ind, 
ein, ſo iſt | an 

| Ä — —— Rot 4 8du 

dy—⸗ Tdot4Vdu | 

Vorher‘ war. 8y = POx + Qdu, alſo wenn 

man ſtatt x feinen Werth in t, u ſubſtituirt, wodurch 
Q zu Q', und x = Röt-+ 8du wird, 
oy'= PRöt + (Q' + PS)du. 


MWird diefe Formel mit y— Tot + Vdu iden 
tiſch gemacht, ſo ergiebt ſich daher der Werth von O4, 
Es iſt naͤmlich wegen der —— ber beiden t 
und. u von einander Ä 


A 
15 ; 





| T. FTR 
— v=0'+PS | 
Er u, BV:-— ST 
und daraus Q = — „alſo RBB = 


R 


Stöu(RV— ST), und dies iſt der gefuchte ſtatt — 
in die Formel Moxdy ju Yang: Werth. 


Da 


oo 


ÖStereometri. 20 
ſo iſt OURV-ED= — 


A - . — 
J— J 
welches mit (9) uͤbereinſtimmt. | RE 


Vertauſcht man in der en Sormel. t und 
u —— male a der ai ichungen 


E32 7 
Fre: or + * z | a 


8X 
die dadurch nicht geändert. werben, bear if, fo ers 


Säle man EIie A - DE mi 


che Formel das Entgegengeſetzte der vorigen iſt. Man 
bat es alſo immer durch. Vertauſchung der Benen⸗ 
nungen in ſeiner Gewalt, flat Oxdy gine poſitive Forz 
mel in tuͤnd a zu ſetzen. Man ann aber dieſer 
Vertauſchung ſich ganz überheben, wenn. man die Kors 
mel ‚jedesmal pofitiw- nimmt, weil dieſes in- dem Falle 


einer negativen Formel mit der Vertauſchung uf, eins 
Binausläuft, 


J 12. Die vorigen. Sorinein für das Volumen u und 
die Oberfläche eines Körpers begreifen diejenigen für die 
ähnlichen Beſtimmungen an einem durch, Drehung ente 
flandenen Körper unter ſich, wie ſich ſchon aus den 
Benfpielen in (10) abnehmen läßt, und’ It noch be⸗ 
ſonders gezeigt werden ſoll. 


Es fen alſo BND (Fig. s6.) —* eine einfach 
gekruͤmmte Curve *), durch deren Drehung um die: in 
ihrer Ebene liegende Are der z, AZ, ein runder Koͤb⸗ 


Sollte auch nrfprünglich seine doppelt gefrummte, Curve ber 
Entitebung einer Drebungsfläbe zum Srnnde geleat ſeyn, fo , 
last jich ihr immer eine einfah gektrümmte Curve, durch Deren 
Drehung um eine in Ihrer. Ebene liegende Axe dieſelbe Fläche 
erzeugt werden kann, fubitituiren, 


[4 


522 - Stereometrie. 
per entſteht, deſſen Volumen und Oberfläche gefucht 
werden, Die Gleichung: für die begränzende - Erumme 
Flaͤche ift in diefem Kalle. z — Olxx + yy), wo © 
das Functionszeichen it, wie aus: Krumme Flaͤche, 
39, folgte | — 
Man ſetze ſtatt der veraͤnderlichen x, y ein Paar 
neue t, u, wovon diefe den Abſtand NQO=AM it 
gend eines Puncts der. Frummen Fläche von der Dres 
bungsare anzeigt, .t aber den Winfel MAP -bebeuter, 
unter welchen die u gegen die Ebene der x, z geneigt 
if. Man hat alfo x = u cost, y — usint, mithin 


z = OPlu”). Serner ift F 
dx a | 
8 )= — usıntz c> — cost 
Ay. PER NEN 
e = : sint; 6 = ucost 


| .; rox. ‚,Oy Ox. ,0y 2 
und es wird Otdu —S — —— * 
— udtdu, wofuͤr man + udtdu nimmt (11.). Da 
ber iſt fuͤr das Volumen (zdxdy — fuzdudt — 
2r/uzdu, wenn man das integral nach t von t—o 
bis t— 27 nimmt, um es über die ganze Oberfläche 
rings um AZ zu erfirecfen. Integrirt man jest nad) 
u theilweife, fo wird — 

zr/fuzöu = rutz — r/u'dz. 


Diefer Ausdruck giebt das Volumen des ringföre 
migen durch die Drehung des Trilineums BMN um. 
AZ befchriebenen Körpers, Der erite Theil deſſelben 
ift der durch die Drehung bes Rechtecks AMNO be 
ſchriebene Eylinder, daher ift der durch Drehung von 
ABNO befchriebene runde Körper — rfu®9z. ' 


Die Oberfläche des runden Körpers wird, weil 
DE. .° 0) BR 
CC) = alſo (Pu =.dz ift, aus (9) = 


Stereometrie. 3528 
Naudt VGu + 832 * ynfi V(odu⸗ 4329 


wenn das erfte Integral nach t innerhalb der angege⸗nen 
Graͤnzen genommen wird. Hier iſt V(du* 4 92°) - 
das Element des Bogens BN. 


Die gefundenen Formeln ftimmen mit denen in’ 
den Artifeln, Cubirung und Complanation, nach ger 
hoͤriger Verraufhung der Bezeichnungen überein. 


13. Zuweilen fann es zur Berechnung des Bolumens 
und der Oberfläche eines Körpers vortheilhafter feyn, ſtatt 
„ parallelepipedaler Elemente pyramidale oder auch keilfoͤr⸗ 
mige zu betrachten, und den Körper aus folchen zufammen 
- zu feßen. Obwohl nun die hierauf Bezug habenden Diffee 
rentialformeln fich unmittelbar aus der zum Grunde ges 
legten Entjtefungsart des Körpers, und zwar gemeis 
niglich Fürzer als vermittelſt des in (11) auseinander 
geſetzten Principe aus den für parallelepipedale Eles 
mente geltenden Formeln herleiten laſſen, fo ſoll doch 
bier, um die Anwendung jenes Prineips noch mehr ins 
Licht zu feßen, in den nun noch folgenden Benfpielen 
folches allein gebraucht werben. 


14. Es ift ACB (Fig. s7) einer ber * 
Quadranten, welche den Octanten einer Kugelflaͤche, 
deren Mittelpunet C, Halbmeſſer CA = CB iſt, be: 
grängen, und zugleich, die orthographifche Projection 
dieſes Ditanten auf die Kläche jenes Quadranten. FG, 
DE find die Halbmeffer und zugleich. die Projectionen 
von Duadranten zweyer Fleineren auf ACB fenfrechten 
Kugelfreife, deren Pol B ift. FE ift ein Stuͤck des 
Durchmeffers und zugleich die Projection von einem 
Theile eines klemeren gleichfalld auf ACB fenfrechten 
Kreifes, deſſen Pol H ift, und der den Kreis DE inE 
berührt, den Slreis FG aber in dem Puncte F, wo dies 
fer dem Quadranten BC begegnet, fehneider, -Man 
ſucht den Inhalt des Stücks der Kugelfläche, welches 
dem Trilineum EFG der Projeition entſpricht. 


524 Stereometrie. 


Es fey BMN die Projection des Quadranten ei: 
nes groͤßten Kugelfreifes, welcher ‘den Kreifen FG, FE, 
CA inL, M, N begegne. Man feße. den Bogen 
BM=t, den Winfel CBN =u, den Halbmeffer der 
Kugel Kürze halber = ı, fo find die rechrwinfligen 
Eoordinaten des Punetes M, BCA zur Ebene der y, 
z genommen x — sintcosu, y==sintsinu, 2 — 
cost, folglich. | u 
| rdx dx 

= cost cosu; (—) = — sintsinu 


5 
| (2) = sint cosu; (—) = ‚costsinu 
2 9 * ot 


und“ 
aan r0y Ox\ /2 = 2® 
| (Z) ( — (Z) ) == sint cost u 
mithin ſtatt Oxdy zu feßen Atdusintcost. Nun iſt, 


wenn,S das unbeſtimmte Stuͤck FLM der Kugelfläche 
bezeichnet, aus (8.) 


ee 


S$ — /[Otdusint | 

| . — Joufstsint i . 

wenn zuerft nach t integrirt werden foll, Integrirt, 

man wirklich, und nimmt das Integral ſo, daß es 
für = BL= BG.= BF=a verſchwindet, fo wird 

|  5Z fOu(cosa—cost), _ 


Man verbinde HF, HM durch Vogen: größter 
Kreife, fege BH=b, HM=HE=HF=c, md 
den Winkel BHM=w, fo giebt das fphärifche Drey— 
eck BHM — au: en 

| cost = cosb cosc + sinb sinc cos w 
af rn Ä Ä 
. „S = föu(cosa— cosb cosc — sinb sinc cosw) 
==,u(cosa—-0osb cosc) — sinb sinc [ou cosw. - 


alfo u 


— 


| * | Stereometrie. 525 
In demſelben ſphaͤriſchen Dregef BAM, worin der 
Winkel HBM = 90 — u, ift Be 


sinb cosc — cosb sinc cösw. 
tang u — — — 0 —— — —— 


| sincsinw c 
folglich! | 








du ‚(cosb sinc — sinb cosc cosw)da ” 
cosu® _ — sim c sın w* 
Aber 
-sinc sin w 
cosu u — 
| oO sınt 
Daher 


— sin c(cosb since — sinb cosc cos [3157 
* Be sin t? — | 
und 4 | | | | 
— Qusinb since cosw —, | | F 
du sinbsinc? cosw(cosb sinc — sinb COSC 608%) 

—— — 


1— (cos b cose + sinbsinc cos w)® 


? ‚ a 


Sondert man in. dem Differentialfactor zu dw bie, | 
darin enthaltenen Ganzen vermircelft der Divifion des 
Zählers durch den Nenner ab, und ‚zerlegt den ruͤck⸗ 
ſtaͤndigen ächten’Bruch in Partialbruͤche, deren Men 
ner Die Faetoren des Menners find, fo wird 
— Öusinbsinc cosw — — du cosc 
., (cosb + cosc)(1 + cosb cosc)dw 
* 2(1 + cosbcosc+ sin bsin c cos w) 
(cos b - cosc)(1 — cosb cosc)dw 
E; 2(1 —cosbcosc — sinb sinccosw). 
und durch Integration nach (Integralformel, 123,) 
.  S=u(cosa—cosb cosc) — w cosc 
5 1 +cosbcoso — sinb sinc + rel = oſchoſu 
Itcosbcosctsinbsinccosw 





526 — Stereometrie. 


1c6osbcosc — sinb sino 4* (1-c[b cfe) cſo 
nn «COS — —— ⸗ — — 
1-cosbcosc-sinbsinccosw 


Y 


+ Const. | 


Heißt der Winfel BHFa, fo iR für uzo, 
wa, alfo weil S mie u zugleich — uͤber⸗ 
dies cosa ⸗ tangb cotc, 


ı + cosb cosc sinb 
‚Const, — — cos c — Ang. cos — 
‚2 sınc 








1 —cosb.cosc — sinb. 
2 


Der Winkel BFH fey 8, fo iſt 
— = inß= cos(- r—ß) 


= co "+ Du 


sin sin c 


wo - * den — Winkel oder 90° —— und 


J 1 + cosb cosc 
Const. = acosc— —— er 


— 


1 
== acosc + ß — c9sc 


Um das Reilinenm EFG zu haben, muß man 


ur fegen, wodurch w—r wird, Man befommt 
2 | 
Trilin, EFG = Er (cosa — cosbcosc) —r cosc 
2 | 


+ Are -+- cosbcosc) — = (1—cosb cosc) 
2 | | | 


Ötereometrie, 0.527 


\ 1 
| z R 
+ acosc + B— —r cosb cosc 
2 
) 


BE BE cosa ——— +B. 


Man fann diefes Ergebnif ach durch die: bes 
fannte Meffung eines fphärifchen Dreyecks und eines 


Abſchnitts der.Kugelfläche finden. - Es ift- —— aus 


dem Art. Kugel, 37- 39 
A BFH =a — 8 24 
2 


* 


segm. HFE = — (1 — c05c). 
Segm, BFG = -r ((— Cosa), 
Daraus ergiebt fich für das — EFG = ABFH 


+ Segm. HFE — Segm. BFG Derjelbe — wie 


vorhin. 


Iſt der Halbmeſſer der Kugel nicht 1, ſo iſt der 
vorige Ausdruck für EFG in das Quadrat des re 
meſſers zu muitipliciren. 


Sind ftart der Aöflände der Parallelkreiſe FG, 
DE von ihrem Pole auf der Kugelflähe ihre Halb⸗ 


meſſer FG=r, DE=R, und der Abſtand ihrer 


- Mittelpunete FD = h gegeben, fo läßt ſich das Zris 
lineum GFE dadurdy auf folgende Art ausdrucken. | 


Der Kugel Halbmeffer CA— CB fen o, fo iſt 
en  CF*®- *. rt! — oe = — CD* + 
alfo 
(CF + CD)(CF- CD) d. i. (0 + PDDF=RI-e 
michin 
BR? _ rt 


h 





cCF+-0D= 


— 


528 Stereometrie 
RRxr 4b 
| ah 

" RR—r— hh 








folglich 


ran. Fr) 


u v (A + n°+ h°] [R—n)° + he] 
J 2h. F 
Ferner — 
'sina = sinBG = — = * 
CA o 
RRæ- hh 
CA | 2ho 
coscb=cosBH=. | 
cosBCH = cosFED — DE — —— 
ee FE V(BR+ Ih) 
tangb — =: tangBH = er — h 
DE R 
und aus dem bey B ehßnintligen ſphaͤriſchen RR 
BFH, 


cosa — cosBG = 


ung =? — = 
R(RR—ır+hh) 
— Zho VRR + hh), 
__ eotß _ arY(RR+hh) . 
cos — RA-ıfhh 


cosc = cosacosb = 





u; _ RR-ır-+hh 


V(ı + tanga®) = ARrırrhh 
und 


coa — 


Stereometrie. 529 


und 


totz — —S V(RR-+Hhh) 


1—cosa ER 6 


: Hierdurch wird, wehn man zur Abfürzung CF = 
RR—rr+hh 
ch | | 
(r—a) cosc== 2(47—%a)cosc ift, erhalten 
Trilin, EFG = zroe | | 

2 Roe “= Arc.tang Y — 446) 
VRR + hh,: Fuss 
ho 


++ go Arc. tang“*. 





—.e fest, und zugleich bemerft, daß 





On den Aufgaben aus ber Koͤrperlehre von Sehe 
mus (Halle und Berlin, 1811. 8.) iſt diefe Aufgabe 
die letzte. Ihre Auflöfung nimmt dort 6 Octavſeiten 
ein. Zur Vergleichung ift zu bemerfen, daß die dier 
Flaͤche FGE bie Hälfte des dortigen Filt. 


| . An (Pig. 58.) it ABCD der Octant einer 
Kugel. "Über AE, einem Gfüdfe des Halbmeſſers 
AC, ift in der Ebene des Duadranten ACB ber 
Halbkreis AME beſchrieben, und uͤber dieſem als 
Grundflaͤche ein halber gerader Cylinder errichtet, defs 
fen gekruͤmmte Seitenflähe der Kugelflähe in der 
Curve GNA begegnet. Man fuhr den Inhalt des 
bon GNA und dem Bogen GA des Quadranten DA 
begränzten Stuͤcks der Kugelflaͤche. 

Durch N, einen beliebigen Puner des gemeinfchaftlis 
chen Durchf chnitts der Kugel⸗ und Cylinderflaͤche führe man 
den Kugelfchnirtt LNOP dem Duadranten DCB parallel, 
alfo fenfrecht auf ACB und ACD, fo fchneivder die Ebene 
deſſelben die Enlinderflähe in der Geitenlinie NM, \ 
und, wenn NP verbunden wird; fo ift der Kugelfläche . 
Durchſchmtt mic einer durch CA und NP nn Ebene 


530 k Stereometrie. 


der —* eines größten Kreiſes, ANQ, und CQ 
ber NP, fo wie PL ver CD parallel, 

Der Bogen AN heiße t, der Winkel NAB, deſ⸗ 
fen Maaß der Bogen BO iff,. u, der Halbmeſſer der 
Kugel a, fo find bie vechtwinfligen Coordinaten des 
u N 

$ CP= acost 
y= PM=asint cosu . 
| — MN= asint sinu 
alſo 


08x a t; @ AN ' 
ot. 2 


@= = — asint sinu; @ = acostcosu 


“@ fe * Br, = iin 


alſo kommt aadtdu sin = sinu flatt dxdy. 


Wird nun das Bilineum NA durch S bezeichnet, 


ſo it (8.) 
—— az 


Bi nah Subftitution der Werthe von Oxöy und z 
S— aa/[ötdusint: 
und wenn man das integral nach t zuerft und ® 


nimmt, daß es für to verſchwindet, 
= aa [du (T— cost). 


Ä Nennt man den Abſtand CF. des Mittelpuncrs 
F der Grundfläche des Eylinders vom Mittelpuncte der 
Kugel b, p ft FI=SFE=FM=a—b, FP= 
b—x = b— acost, folglic) im Kreife um F 
(b—acost)' + aꝰ sin tꝰ cos us rn 


y 


Stereometrie, 331 


) 
woraus 


aı Host) eb ——— 
alſo | — 


1 4 cos en 
= ‚ asın u 
ſich ergiebr, rem gi —z* 
Da nun 1⸗ cost 2 u + — p wird 
SS 2aau — 2ab | 
2 /z sin uw 
alfo nad) (ntegralformel, 109.) ’ 
$S= 2aau + 2abcotu * bonet. 


| Zur Beftimmung der ee bemerfe man, daß 
in A, wo bie Fläche anfängt, to, alfo aus der 





hie Sleichung zwiſchen u und.t, sinut m - - if 


Diefes sh cotu = —* F 





und 


Const. =.— 2aa —** — — a V (a—b) b, 

Es ift alfo vollftändig 

== —R * sin vd) + 2abcotu 
| | — däy (ab) b, 


Fuͤr um —r erhält man hiernach 


Bilin. GLANG= daa Arg. cos — say (a--bb, 


Faͤllt E in €, fo .ift b=a — b=-a, und 
— erhaͤlt die Flaͤche DRAO (Fig. 44) — 


"aa — aa, alſoeweil det Octant der Kugelflaͤche = 
2 & | 


I ran, DRAB aa, wie in (8). 
2 E | | 


— 


alſo 


332 Stereometrie. | 
16. Verlangt man die in der Kugel enthaltene 
cylindriſche Flaͤche GNAME feltft, fo fege man den 
Winfel EFM O, ſo iſt x= b— (a—b)cosß,. 
y=(a—b)sing, alfo Bias 


= V la xy) 2 (a— b)? b? cos = | 


Da die Eylinderfläche ſich abwickeln und in eine 
Ebene ausbreiten läßt, fo findet man das Differential 
des unbeflimmten Stuͤcks derfelben GEMN, welches 
W heißen mag, wie einer einfach gekruͤmmten Curve, 


deren Abfeiffe der Bogen EM des Limfangs der 


Grundfläche, die zuſtimmende fenfrechte Drdinare aber 
NM= z ift. Es ift alfo, weil EM = (a—b)® 

- : OW = .x(a—b)299 | 

‚= 2(a-—b)? b? cos -98p 

alfo 2 u 
— : ur I dab? be sin 20 
ohne Conſtans, weil W mit 9 zugleich verſchwindet. 
Tür Pr erhält man hieraus die Fläche GNAME — 


4(a — b)? b#, alfo, wenn b= =, die Fläche 


DRALCO (Fig. 54.) = aa DAB, 


17. Alm das Volumen des in der Kugel ent⸗ 
haltenen Theils des Cylindets, GEMA, zu finden, 
‚heiße der veraͤnderliche Winkel EAM t, und der Nas 


dius AM u, fo ifl 


x CP= a—ucost 
y=PM-= usint. '” | 
z_ NMZ= yY (2aucost — uu) 


e ='usint; >) = — cost 


Stereometrie. 8583 


Oy\ 


— = ssin t; CH) =ucost ; 


14 


rn 


= cc er, _ & 2) = u, mithin ſtatt 


dxdy zu ſubſtituiren udtdu. Nun iſt, wenn das un⸗ 
beſtimmte Stuͤck des Eylinders GNAME durch Z bes 


zeichnet wird 
2 = Ifzöxdy 


= =/ udtdu Y (2aucost— uu) 
t /udu V(2aucost - uu) 
Da für ein unterönrliß t 


9. (2 aucost — un)? — 3a00stdu (2aucost — un)? 


d. i. 


— 3 udu (2aucost— uu)? " 
fo wird 
ſudu(aau cost — wi | — /du(2aucoor ·uwi | 


— — (2aucost— uu)® 


Aber (Integralformel, 58. 55.) 


u—acost ,. .. 
Pou'zaucost— un)? — — — (2aucost — un)? 
aacost® „2 cost—u 
+ —— Ang, cos — — 
2 acost 
+ Const, 

ni | Ä 

acost-u 





I 
uduy (2aucost-uu) = — aScost> — cos 
J vc = 2 B° acost 


— z RER, (acost+u)V (2aucost— uu) 


: 4 Const. 


un IR In 
or “no gun. 
** “ es 


* . 
u NE 
ng 
. Fr. 


u 534 Stereometrie. 


In A, wo Zanfaͤngt, if u Zo, daher Const. 
=o. In Miftuz AE.cosEAM 2(a — bycost. 
Dadurch wird innerhalb dieſer Graͤnzen | 

—* r b— 
fneuy (2aucost—uu) = = cost? Ang. cos- . 
Kal | a 





Diefes mie St mulkiplicire, dann integrirt, und 
das Integral fo genommen, daß es für t—d vers 
ſchwindet, giebt Z. Da num | 


1 
dt cos t⸗ * fer (cost + — cosz3 ) | 
4 4 | 
* 1 . “ [4 . 
* —* + * sin 3t — sint — — sınt3 
1 : 1 


welches für t==o berfchwinder, fo wird en 
| 2b—a 





* 1 * — I 
Z <= (sint— z sin t) 3 a? Ang, cos 


— (ab - a) (34 - 2b) (a — 2 


> J | 
Rir == Fr erhält man hieraus das Volumen des 
ganzen in der Kugel enthaltenen Cylinderſtuͤckks GNAME 
h-a 





x 2 
—323 * Ang, cos = ab-alza-abiyta-bib 


> 


2 
welches für b — a wird —— == CLAODR 


| . — 
(Fig. 54.). Demnach, weil g 7a’ der Octant der 


Kugel, das Stüc deffelben DRALCR = as, wie 


Boſſut gefunden hat. Man ſehe den Arc. Florentini⸗ 
ſche Aufgabe, 16— 19. | 


*Stereometrie. 535 


18. Die bisherigen Benfpiele werben Binreichend 
ſeyn, um die Anwendung des in (rı.) nach Euler ers 
flärten Gubjtitutionsverfahrens zu erläutern. Ich be—⸗ 
merfe nur noch, daß man, anſtatt die in (14,) und 
(15.) zum runde gelegten Ausdrücke für 8 zu ges 
brauchen, welche ſchon auf die Kugel fich beziehen, 
auch die Formeln für S aus dem allgemeinen Auss 


drucke für die Oberfläche eines Körperd in (9.) vermits 


telft der Ausdrücke der Coordinaten x, y, z int und 
u hätte finden koͤnnen, welches freylich etwas weitläus 
figer gewefen wäre. 


| ı9. Um Abfchnitte von Körpern und Erummen 
Slächen zu meſſen iſt ed nicht immer nörhig, Integral⸗ 
rechnung anzuwenden: man gelangt oft fürgse und 
netter zum Ziele, wenn man fie in meßbare Theile zer⸗ 
legen oder ſie als Theile eines fuͤr ſich und in ſeinen 
uͤbrigen Theilen meßbaren Ganzen darſtellen kann. Die 
oben. in (4.) und (14.) vorgekommenen Beyſpiele 
beſtaͤtigen dieſes. Hier zu ihnen noch ein drittes. 


Es iſt ABCD (Fig. 59.) wieder der Octant eis 
ner Kugel, deren Mitrelpunt C, Halbmeſſer CA 
—=CB=tCD. EFG, HRL find ein Paar ven 
Duadranten ACD, BCD parallel geführte Schnitte, 
welche einander in MN fchneiten. Man ſucht fowopl 
den Inhalt des zwifchen ihnen und dem Quadranten 
BA enthaltenen Stuͤcks der Kugelfläche „KMF, ala 
Das Volumen des durch fie und jenen Quadranten 
abgeſchnittenen Rugelftüfs KuFN. 


Man ziehe von B und A, als den Polen der 
Rugelfreife GMF, KML die Bogen BM, AM größs 
ter Kreife, und verlängere ven leßteren His an den Qua⸗ 
dranten BD in ©, fo it AO aud ein Quadrant. 
Man ſetze die Bogen BKE=a, AF—=R md den 
SHalbmeffer der Kugel —r, ferner die Winkel 
MAB=y, MBA=6, BMO= &, hit CH=EN 
—rsina, CE— HN —rsin und 


‘ 


536 Stereometrie. 


‚Trilin, HMF = Trilin. BMF + ABOM 
£ 00 Quadril. BEMO 
= rölr—rsinß) -- rr&—d)—r?ysine 
= r(g—(ysina+ösin)) 
Für das Volumen des Kugelftüchs KMFN ziehe 


; man noch die Halbmeſſer CF, CK, CM und ſtelle fi 


an alle Puncte der Bogen KM, MF vergleichen ges 
zogen vor, fo entitehr ein Kugelausfchniet, begränze 
von dem Sector KCF und den: beiden Ausfchnitten 
bon Kegelflähen, CKM, CMF, Derfelbe if, wie 
man leicht eınfiehr, einer Pypramide gleich, deren Grunds 
fläche fo groß als das Stuͤck der ‘Rugelfläche KMF, 
und deren Höhe dem Halbmeſſer der Kugel gleich ift, 


Er iſt demnach * (4—(ysina + 8 in 6)). 


Hiervon find die beiden Kegelftügfe CMFN, und CMKN 
abzurechnen, um das Solidum KMFN ju erhalten. 
Die Grundflaͤche des eriten Kegelitücks iſt ein halber 
Kreisabfchnirt MNF, feine Höhe CE, Das halbe 
. Segment. MNF finder ſich aus dem ihm zugehörigen 
Winkel am Mittelpuncte MEF= d, und dem Halb: 


meller EF—= rcos ß, = - r?cosß* (d- sinö cos), 


Alto iſt das Kegelflücd CMFNS ...2r°sinß cosß' x 
. (d& — sinöcosd). Eben fo ift das Kegelſtuͤck 
GMEN= - FF sin a cosa® (ysiny cosy), Daher 

das Kugelſtuͤck KMFN | 
= ar (28, — yina(z — sin a?) — ösinß(3—sinß*) 
‚+ sing cosg?siny cosy + sinß cosß*sind cosö) 


Es iſt nun noch zu jeigen, wie die hier vorfome 
menden von a und A abhängigen Größen y, & und & 
durch dieſe beſtimmt werden. Diefes geſchieht mittels 


Stereometrie, ” ‚537 


des ſphaͤriſchen ben O rechtwinfligen Dreyecks BOM, 
in ‚welchem die Seite BO=y, OM=.a, MB 
— 90° — ß, und die Winkei OBM = — X 
BMO = 2. . Aus. demfelben ift 





sin 
cos yz — sin A 
cos 

sın 
cosß 


cos = .tanga se * cos y cos õ. 


Sind ſtatt der Abſtaͤnde auf der Kugel BR und AF 
° die Aoflände der Kreife KLH und EFG vom Mittel: 
puncte der Kugel, CH=a, und CE=b, gegeben, 
fo it rsina = a, rsind= bi und es wird 


a 
ah 
— 
YGar—aa)ır — To 
Dadurch findet ſich 


J 
Trilin, KMF= =ır Arc, F — aa)ır — — bb) 


| —ar Arc, a Te —hbr Arc, C08- 


a 
VEr — aa vr⸗ bb) 
| solid, KMIN= — ab Ylrr=aa — bb) +Z#d 


co = 


K 1086 = — 


— * a(Grt — ca)y 


wo ber Kuͤrze wegen die Srmnung Y z, — | 
vegan nn 


5388 Stereometrie. 


| Man vergleiche die 45. und 46ſte Aufgabe der in 
> (14.) angezogenen Schrift. — 


20. Laͤßt ſich die Formel Xdx, welches das Difs 
ferential eines unbeſtimmten Stuͤcks eines Koͤrpers dar⸗ 
ſtellt (1.), nicht integriren oder giebt die Integration 
derſelben Fein fuͤr die Praxis brauchbares Stefulrat, fo 
muß man fi der in dem Artikel, Quadratur, mitge⸗ 
theilten Annaͤheruagsmethoden bedienen. 


Iſt z. B. ein nicht ganz volles, gemöhnliches 
Faß, deſſen Are horizontal uf, zu vifiren, fo flelle 
man fich diefe Are als ein Stuͤck der Abſciſſenlinie eis 
ner parabolifchen Curve vor, und nehme die Ordinate 
derfelben in irgend einem Puncte der Ure dem Kreis⸗ 
abfchnitte proportional, welcher der Durchfchnirt des 
vollen Faßraums mit einer in jenem, Puncte auf- die 
Are ſenkrechten Ebene ift, fo it der angefüllte Raum 
des Faſſes dem von der Are, den beiden äußeriten Or⸗ 
dinaten, und der. Curve zwifchen diefen eingefchloffenen 
Slächenraume proportional. Da fih nun bey einem 
Faſſe wohl nicht leicht mehr als drey Ordinaten, näms 
Jich ‘die beiden aͤußerſten und die mittlere beftimmen 
loffen, fo muß man es bey der Beltimmung bes {ns 
halts nad) der eriten Eotefifchen Sormel bewenden lafs 
fen, und dem Inhalt des Faſſes, ſoweit es angefuͤllt 
if, gleich ſetzen dem Produͤcte aus der Summe der 
beiden Kreisabſchnitte, welche die Durchſchnitte des 
vollen Raums mit den Boͤden ſind, und des vierfa⸗ 
chen Kreisabſchnitts, welcher der Durchſchnitt deſſelben 
Maums mit einer mitten: dürch die Are den Boͤden pas 
rallel’gelegten Ebene ift, in den fechsten Theil der Are 
oder der Jange des Faſſes. Dieſes iſt die von Lam⸗ 
bert (Beytraͤge, Th. I, ©. 334.) gefundene Regel. 


21. Zur Beſtimmung des Inhalts einer krum⸗ 
‚men Flaͤche oder‘ eines Stuͤcks derfelben fann man auf 
ähnliche Art verfahren, welches Hier an der ſchiefen 
Regelfläche erläutert werden foll, 8 


Stereometrie. 339 
| 


In dem Artifel, Kegel, 22. ift das Differential 
eines Sectors der gefrummten Geitenflädye eines uns 
gleichfeitigen Kegeld gefunden worden, Wenn nämlich 
in der dortigen Kigur CFig. 3. des II, Th.) AC = 
CB==a, die Höhe des Kegels DE—b, der Abſtand 
bes Rußpunets derfelben vom Mittelpunte der Grunde 
fläche CE== g, der / verändrriiche Winfel am Mittel: 
puncte der Srundflähe ACM = 9, der dazu gehörige 
Sector der Regelflähe ADM = S gefegt wird, fo iſt 


os =i— ad® V (h? + (a—g cos P)*) 


Diefes ift das Differential des Flaͤchenraums eis 
ner Curve, an welcher die Abfeiffe x=—=aP und die ihre 


entfprechende (enkrechte) Ordinate y RX (a—g 


cos))). Alm alfo die Kalbe Kegelfläche zu Haben 

muß man die Area jener Curve, welche zwifchen den 
zu x o und x=ar gehörigen Ordinaten enthalten 
ift, fuchen. Diefes auf eine annähernde Art nad) den 
in dem Artikel, Quadratur, 244, 145. mitgetheilten 
Formeln, wovon die erjte von Gauß herrührr, zu vers 
richten, hat man vor allen Dingen die Ordinaten y(); 
yo; °’y; y0; y!; y6) und y, welche bejiehungss 


’ 1 a, 
| weife ben Abſciſſen o; als V 15); — v5); 


ZUR ER 
DI TZUE TUN VID ae 
zugebören, zu berechnen; für welche der Winkel ® die 
. 1 —J 1 
Werthe 0; year Zur nr 
1 I —— 
V5) 576 Vs) und m hat. Dieſe 
Berechnung erleichtert man .fich dadurch, Daß. man 


540 Stereometrie. 


a — gcos Er 
nz — + tangı oder — tang V mad, je 


nahdem a > oder <gcos® ift, als wodurch y 


ı 
—— wird. Br F 

Dun fen zu einem Zahlenbeyſpiel a—=ı, ha, 
g= 3, fo gehören nach der Decimaleintheilung des 
- Quadranten oder des rechten Winfelg folgende Werthe 
von 9 und y zufammen. 


0 1 RE 
0 ‚00000002, 236068 — y() 
0, 22540335|2, 196036 — yl!) 
. 0,. 5527864|2, 054293 = 'y 
I, 000000012, 061553 — y(?) 
.E,..4472136|2, 481625 = y* 
I, 7745967|2, 763420 = y(®) 
%, 000000012, 828437 — y(*) 


| Diefe Werrhe geben in die Formeln bes angezo: 
genen Art., in welchen £ (wegen a = ı) = ift, ge 
bracht für die halbe Kegelflaͤche zwey Graͤnzen, eine 
fleinere und eine größere, welche verdoppelt die ganze 
Kegelflaͤche zwiſchen 
— ——— 23) 


9 
und | | | 
27 1 ae 1 de a 5 


einfchliegen. Die ausgeführte Rechnung giebt dieſe 
Werthe der Kegelfläche 14, 4492 und 14,5268, zwi⸗ 
fchen welchen man, da die Sehler der angewandten Annde 
berungsformeln nahe gleich find, das arichmerifche Mite 
tel nehmen, und ihm: die Kegelfläche gleich fegen kann. 
Diefes giebt für diefelbe 14,488, Man fommt aber 
dem wahren Werthe näher, mern man, weil bas Vers 


Stereometrie. 541 
haͤltniß der entgegengeſetzten Fehler. ber Annaͤherungs⸗ 


formeln 3:4 iſt, die Summe von — de Fleineren und 
RE EN BR | | 
Be der größeren Graͤnze nimmt. Hierdurch findet - 


ſich die Kegelflähe 14, 4825. An Mayers praftis 
fher Geom. Th, V. % 93. nro. 25. iſt durch eine 
muͤhſamere Berechnung aus Graͤnzen, die etwas weirer 
als die obigen auseinander ’ liegen, für dieſelbe 
i4,4817 gefunden, | 


... 22. Von den Methoden, welche vor Erfindung 
der Tfntegralrechnung angewandt worden find, Körper - 
und ihre Oberflächen auszumeffen, find die Artikel; 
Erhauftionsmerhode, Cavaleri’s Methode des Untheilba⸗ 
ren, Centrobaryca methodus, Ringfoͤrmiger Körper, 
nachzufehen. Der Guldin’fchen Regel hat man fich 
auch wohl nad) Erfindung der Integralrechnung da bez 
dieht, wo man mit der Cintegration einer irrarionalen 
Differentialformel nicht fertig zu werden wußte. Haſe 
gebrauchte Biefelbe 5. B, noh, um den Inhalt eines 
Faffes, wenn die Kruͤmmung der Dauben Freisförmig 
angenommen wird, zu berechnen, $. 76. u. folgg. feiner 
Doliorum Dimensio, Einen vorrrefflichen tehrbegriff 
der praftifchen Stereometrie enthalt Mayers praftifche 
Geometrie in ihrem sten Theile, wovon die zweyte 
Ausgabe zu Görtingen 1320. erfchienen ifl.. Zu bes - 
merfen find noch: Ä j 


Aufgaben. aus der Körperlehre von Lehmus. 
Halle und Berlin, 1811. 8 | 


Hoßfelds niedere und höhere praftifche Stereo: 
metrie. Leipzig, 1812. 4. 


Mancherley brauchbare Aufgaben zur Ausmeſſung 
der Körper und ihrer Oberflächen finden fich auch im 
aten Thrile von Meier Hirfch’s Saminlung geome: 
trifcher Yufgaben, Berlin, 1807. 8. 


— 


542 Stereotomie. 


Stereotomie, woͤrtlich: Koͤrperſchnitt, von 
Greoeov, solidum, und reuyw, seco, iſt derjenige 
Theil der Stereometrie oder Körperlehre, welcher von 
den Durchſchnitten der Oberflächen von Körpern, die 
einander ganz oder zum Theil durchdringen, Handelt, 
Sie ift vorzüglich für die Lehre von den Gemölben ın 
der Baukunſt wichtig, findet aber auch in ben Künften 
mannichfache Anwendung. · | 

Die Methode, welche in ber Stereotomie vorzugs⸗ 
weife angewandt wird, iſt die conſtruirende oder g aphifche, 
da diefe dem arbeitenden Künftler , welcher die Ergebniffe 
der Stereotomie benugen will, am meiſten jufagt, ſowohl 
wegen ber Anfchaulichfeit, die fie mit ſich führt, als auch 
wegen der Leichtigkeit, womit die Llebertragung der Er⸗ 
gebnijfe derfelben in die Praris gefhieht, indem dazu 
weiter Feine Vorbereitung noͤthig if. Weil aber bey 
den Körpern und ihren Oberflächen alle drey Dimens 
fionen des Naums in Betracht Fommen, fo find zut 
vollſtaͤndigen Darftellung der Oberflächen und ihrer 
Durchſchnitte im allgemeinen immer die Projectionen 
derfelben auf zwey nicht parallele Ebenen erforderlich, 
welche der größern Einfachheit und Leichtigfeit wegen 
auf einander fenfrecht genommen werben, und bavon 
die eine in Beziehung auf die Ausübung - horizontal, 
die andere verfical ift, dem ſchon längft eingeführten 
Gebrauche der Grund» und Profiltifje gemäß. 


Um das Verfahren einigermaßen an einem Bey: 
fpiele kennen zu fernen, fen der Durchſchnitt zweyer ges 
raden aber ungleichen Cylinder, deren Aren ſich rechts 
voinfliche ſchneiden, zu beſtimmen. | 
| Zu dem Ende fey das Rechteck ABCD (Fig. 60.) 

ein Durchichnirt ded einen und andern Eylinders mit 
der Ebene durch die Axen EF, und GH, melde hori⸗ 
zontal ſey. über AB, BC ſeyn aus den Mittelpune⸗ 
ten E und: G mit den Halbmeſſern EA= EB, und, 
GB= GC, Halbkreife befchrieben: dieſe find die um 
AB und BC gedreheten und in die horizontale Ebene‘ 


* 


 Sterestomi 543 


niebergelegten Durckſchnitte der über ABCD fließenden 
halben Eylinder mit verticalen über AB, BC aufgerichteren 
- Ebenen. Auf den Verlängerungen von AB, CB fey 
BR=-Bk fo groß ald BG der Halbmeffer des Fleineren - 
Enlinders genommen, und durh K, k die LK, kl 


den Durchmeffern AB, BC parallel gemacht, fo bes 


rührt die leßtere den Halbfreis BIC in I, fo daß GI 
fenfreche auf BC if. Durch L ziehe man mir der 
Are EF eine parallele, welche ver AB in M, der HG 
in N und der DC in O begegne, fo ift N die korizons 
tale Projetion des böchflen Puners in dem Durchs 
fhnitre beider Eplinderflächen, und MNO die Projec⸗ 
tion der den Durchſchnitt in jenem Puncte berührenden. 


Denn denkt man fih die Halbkreiſe ALB, BIC 
‚aber AB, BC auf der Ebene der Zeichnung oder des 
Rechtecks ABCD ſenkrecht aufgerichtet, fo fallen BK, 
Bk zuſammen, LK, kI find in einer horizontalen 
Ebene, welche die größere Eylinderfläche in der durch 
L gehenden Geitenlinie ſchneidet, die Fleinere aber 
in der durch I gehenden Geitenlinie berührt. - Diefe 
©eitenlinien liegen zugleich “in den verricalen Ebe— 
nen LMO, IGH, wovon jene verlire EF pas 
rallel, dieſe duch die Are HG felbft geht. Ihre 
Projectionen auf die Ebene des Mechtefs ABCD 
find alfo die geiaden MO, HG, folglih ift N die 
Projection ihres Durchſchnitts, d. h. des hoͤchſten 
Punets des Dutchfchnitts "beider Enlinderflächen auf 
diefelbe Ebetie ABCD, Daß aber MO die horizontale 

Projection der diefen Durchſchnitt in feinem höchiten 
Pruncte berührenden ift, erhellt fo. Die Ebene der LK, 
KI berührt bey der verticalen Lage der Halbkreiſe ALB,. 
BIC den Fleineren Eplinder; eine Ebene, welche den 
größeren Eplinder in der durch L, gehenden Seitenlinie 
deffelben berühre, ift auf den Halbmeſſer EL fenfrechr, 
und wird bon der berüßrenden Ebene durch I in jener 
©eitenlinie durch L gefehnitten, die alfo den gemeins 
ſchaftlichen Durchſchnitt beider Eylinderflächen in feinem 


5° Stereotomie. 


hoͤchſten Puncte beruͤhrt. Nun iſt MO die Ptrojec⸗ 
rion dieſer Seitenlinie, folglich die Projection der 
den Durchſchnitt der Cylinderflaͤchen in feinem hoͤchſten 
Puncte berührenden. Zugleich erhellt, daß auch MO 
die horizontale Projection des Durchſchnitts berühre. 


Unm noch ändere Punere der horizontalen Projec⸗ 
tion des Durchſchnitts der beiden Eylinderflächen zu ers 
halten, ſchneide man auf BK und Bk von B aus die 
gleicher Stüce BP und Bp ab, siehe durch P und p 
die PQ-, pg parallel mit AB, BC bis an die Umringe 
der Halbkreiſe ALB und BIC, Durch Q und q Siebe 
man mit den Aren, EF, GH, patallelen, welche ven 
Durchmeſſern AB, BC in R und r begegnen, einan⸗ 
der ſelbſt aber in-S fehneiden, ſo iſt S in der gefuchten 
Projection. | 

Der Verweis ift dem borigen, wodurch gezeigt 
ward, dag N in der horizontalen Projection des 
Durchſchnitts der Eylinderflächen fey, ganz ‚ähnlich, 


Wird die horizontale Projection der berühtenden 
an einem Puncte des gemeinſchaftlichen Durchſchnitts 
der Cylinderflaͤchen, welcher nicht der hoͤchſte ift, der: 
langt, fo har man die Durchſchnitte der Ebenen, wels 
be die Enlinderflächen in jenem Puncte berüßren , mit 
der horizontalen Ebene ABCD zu fuchen, welche man 
dadurch’ erhält, daß man die Durchſchnitte der berüßs 
renden an zufammengehdrigen Puncten Q, q der Halb 
freife ALB, BIC mit den verlängerten AB und BC 
fucht, und durch diefe parallelen mit den Aren EF und 
HG legt. Der Durchſchnitt diefer parallelen ift ein 
Punet der gefuchten Projection, und da man einen 
jwepten in dem mit dem Puncte Q, q verbundenen 
Puncte S hat, fo ergiebe ſich Die gefuchte Projection 

ſehr leicht. | 
Die Kenntniß der horizontalen Abfeifjen und Dre 
binaten Gr, 15 ober ER, RS fo wie der zugehörigen 
verticalen Drdinaten gr oder QR am die verfchiedenen 
| i Punete 


Stereotomie. 445 


Puncte des gemeinſchaftlichen Durchſchnitts der Cylin⸗ 
derflaͤchen reicht nebſt der Kenntniß von der Lage der 
beruͤhrenden an jenen Puncten in ſehr vielen Faͤllen fuͤr 
die Praxis hin. Oft iſt aber auch die Abwickelung eis 
ner oder beider Cylinderflaͤchen mit ver darauf gejeich⸗ 
neten Eurve des Durchfchnitts noͤthig. Diefe auf ben 
abgewickelten Enlinderflächen zu entwerfen ift mitcelft 
ber vorigen Zeichnung leicht. Die Bogen Bq, oder 
BQ werden die Abſciſſen, und rs oder RS die dazu ges 
hörigen fenfrechten Droinasen der abgemwicfelten Curve. 


Diefes Beyſpiel wird den Gebrauch und Mugen 
einer fnitematifchen Abhandlung der Lehre von ven Proz 
jectionen auf zwey coordınirte Ebenen, der fügenannten 
Geometrie descriptive, hin'änglich vor Augen legen. 
Die Aufgabe, wovon hier eın befonderer Kal aufgeloͤſt 
ift, laͤßt ſich auch fo abfaffen: Aus der roje:tion. eis 
ner doppelt gefrümmeen Linie. auf zwey Ebenen, vie 
auf einander ſenkrecht find, ihre Projection auf eine 
dritte auf jenen beiden fenfrechte Ebene herjuleiten. 


Die Curvbe des Durchfchnites beider Cylinderflaͤ⸗ 
chen ift übrigens ein Eyfloimber, der Erklärung gemäß, 
welche davon in dem Artıfel, Cykloimber, gegeben iſt. 
Ihre auf die Kreisebene BIC fenfrechten, den Bogen 
Bq als Abſciſſen zugehörigen Ordinaten find nämlich 
diegenigen der durch die Endpunete des Durchmeffers 
BC gehenden einfach gefrümmeen Curve BSNSC, wels 
che ‚den Abfeiffen Br jugehören, die mit denen an den 
Bogen Bg übereinfommen. j 


‚Die horizontale Projection des Durchfchnitts der 
Eylinderflächen oder die Kurbe BSNSC näher fennen zu 
lernen, nehme man den Anfang der reihtwinfligen &os 
ordinaten x, y, 2 in T, dem Durchichnicte der Aren, 
lofje TN die Are der Abfeiffen x, und TE vie Are der 
horizontalen Ordinaten y feyn, fo iſt, wenn der Halbe 
mefjer des größern Cylinders a, des Eleineren b heiße, 
die Gleichung für die krumme Oberfläche des größeren 
. Eylinders KT a —— 
| Mm 


| 546 Sternfiguren, 


| xx + zz aa | 
die für bie frumme Oberfläche tes Fleineren aber 
yy+ zz = bb 


Hieraus” folge die Gleichung für die Projeetion des 
Durchichnitre beider Enlınderflächen auf die Sr der 
x,Yy, d. i. für die Curve BSNSC. 

yy = xx — (aa—bb) 
welche einer gleichfeirigen Hyperbel angehoͤrt, deren 
Mittelpunct T, halbe Zwerchaxe TN ift, 


Der hier betrachtete Fall des Durchſchnitts zweyer 
ſenkrechten Cylinder kommt in der Baukunſt vor, wenn 
ein kleineres Tonnengewoͤlbe ſenkrecht an ein groͤßeres, 
das von derſelben Grundflaͤche aus ſich erhebt, anlaͤuft, 
und ſolches durchbricht, um in das — Licht vers 
mittelſt des Fleineren zu bringen, 


Über die Stereotomie hat man ein weirläufiges 
Merf von Frezier unrer dem Titel; La 1heorie et 
la pratique de la coupe des pierres et des bois ou 
traité de Steréotomie. Strasbourg und Paris, 
1737 — 39. - in 3 Quartbänden. Diefes Werf um: 

faßt aber, wie ſchon ver Tırel zeigt, viel mehr, als die 
eigentliche Stereoromie, Kin daraus vom Verf. felbft 
beforarer Auszug it unter dem Titel; Elemens de. 
Stereotomie zu Patıs, 1760. in 2 Detavbänden ers 
fbienen. Die Hälfte des eriten Theils hievon, von. 
Koemann überfegt, ift zu a 1801. herausges 
fonımen, 


Sternfiguren, ober auch ſchlechthin Sterne, 
fönnen diejenigen ebenen oder förperfichen Figuren genannt 
twerden, welche entſtehen, wenn auf die Seiten regus, 
lärer Vielecke gleiche gleichfchenflige Dreyede., oder : 
auf Die Seitenflaͤchen der regulären Körper gleiche 
gleichfeitige Pyramiden fo gefeßt werden, daß daraus . 
ein Polygon oder ein Polyeder mir regelmäßig abwech» 
felnden aus⸗ und einwaͤrtsgehenden Winkeln und Ek⸗ 


Sternfiguen.. 84 


fen‘, — die von jeder Art einander gli find, | 
bervorget 


Cs fen ABCDE (Fig. RN ein regelmäßiges 
Vieleck von n Seiten, Über welchen die gleichen gleich⸗ 
fehenfligen Triangel AFB, BGC, CHD, DIE, EKA, 
errichtet find. Damit nun an den Winkelpuncten A, 
B, ....E einmwärtögehende Winfel entftehen, muß, 
wenn der Winfel an ver — der gleichſchenkli⸗ 


— 2 
gen Dreyecke a are wird, 2« + — . 180° > 


ſeyn als 180° j af a> Si 





d. i. größer als der 


halbe Centriwinkel des * Wird alſo der Halb⸗ 
meſſer des um das Polygon ABCDE beſchriebenen 


Kreiſes a geſetzt, ſo muß AF =-AB . seca > fepn- 


als a ang, nämlich größer als die halbe Seite 


des um den Kreis befchriebenen Polngons von n Geis 
ten, wie ſich duch ſonſt leicht ergiebt. ft diefe Ber 
Dingung erfulle, fo iſt AFBGCHDIEKA eine Sterne. 
figur oder ein (ebener) Stern mir 2 n Seiten und n 
auswärts: uno eben fo vielen’ einwaͤrtsgehenden Winz 
Feln, von denen jene fowohl als dieſe, jede für fich, unter eins 
‚ ander gleich find. Diefe Gleichbeit ift eine Kolge von der, 

Eongruenz der Dreyecke AFB, BGC, .... u. ſ. w. 


Die Spitzen des Sterns F, G, .... R find, wie 
ſich leicht erweiſen laͤßt, vom Mittelpuncte L, des um 
das Polngon ABCDE beſchriebenen Kreiſes gleichweit 
entfernt, afo aut dem — eines Kreiſes, deſſen 
Halbmeſſer FL == GT... = KL. Auch find die 
Entfernungen FG, GH ....;. KF je zweyer benach: 
barten Epigen von eıhander ‚gleich, geben alfo ein dem 
Polygon ABCDE ähnliches regelmäßiges Vieleck. 3 


! 


PET Sternfiguren. 


Die Summe der ausſpringenden Winkel F4 
G + ....+ K beträgt n(1800-209 zen. 180°—2na, 
Nun ift zna > 360°, alfo jene Summe <(n— 2). 
180°. Die einfpringenden Winfel an A, B....E ber 

{ | n—2 | 
n 

(n —'2)180°. Alſo die Summe aller Winfel des 
Stern? = (2n — 2)180°, wie ed nach (Figur, 3.) 
feyn muß. oo 





‚tragen zufammen n(2c + 180°) = one + 


„360° | 
Wenn e=—, alfo fo groß als der Centri⸗ 


winkel des Vielecks ABCDE ift, fo werden die Geis 
ten des Sterns AF, FB, BG u. f. w. die Verlaͤn- 
gerungen je zweyer an zwey naͤchſten Winfelpuncren 
des Polygons liegenden, nicht zufammenftoßenden Geis 
ten befjelben bis zu ihrem Durchſchnitt. Sterne diefer 
Art können, wenn die Anzahl ihrer Seiten ungerade ift, 
auch als eine befondere Art regelmäßiger Vielecke ange: 
fehen werden, S. Viele, Da bey ihnen jeder der 


auswärtsgehenden Winkel =-— . 180°, fo läge 


ſich aus dem gleichfeirigen Dreyecke und dem Quadrat 
kein ſolcher Stern bilden. | 


Eine andere Art von Sternen als die bisher ber 
trachtete entftehr, wenn (Fig. 62. ; wen ähnliche regele 
mäßige Vielecke ABCD und EFGH dergejtale in und 
um einen Kreis befchrieben find, daß die Geiten des 
äußern- den Kreis in den Winfelpuneten des innern: 
berühren, und alsdann jede Seite des innern Vieles 
fo weit verlängert wırd, bis fie die durch Die ihr nächs 
ſten Winfelpuncte gehenden und gleichfalls verlängerten 
Seiten des äußeren Vielecks fehneider, Die fo gebile 
dete Öternfigur QAIFK . .. .. PEQ unterſcheidet fich 
von den vorhin betrachteten dadurch, daß. die Geiten 


5 Sternfiguren. 549 


und die Entfernungen der Spitzen nichr alle unter ein: 
ander gleich find, fondern von jenen, wenn man fie 
nach der Ordnung zählt, die ıfle, 4te, ste, gte, ge. 
u. f. w., fo wie die 2te, 3te, Ote, 7te u, f. w., dieſe 
aber, eine um die andere, ; 


Man wird aus dem, mad jest von ben ebenen 
Sternen gefagt ift, fich leicht eine Vorftellung von den 
“aus den regulären Körpern entftehenden‘ förperlichen 
Sternen mahen, und alsdann bey einiger Aufmerk⸗ 
ſamkeit finden, daß folcher Sterne, wo die Seitenflächen 
der auf eine Geitenfläche des regulären Körpers aufge⸗ 
feßten Pyramiden Erweiterungen der Ebenen‘ von den | 
anſtoßenden Geitenflächen des regulären: Körpers find, 
ed nur zwey giebt, welche aus dem Dodekaeder und 
Ikoſaeder ihren Lirfprung nehmen. Der erfie. diefer 
Sterne läßt fih aber auch als ein Dodekaeder betrach⸗ 
ten, befjen Geitenflächen reguläre Fuͤnfecke der zweyten 
Art find, dergleichen (Fig. 62.) eins zeigt, und worin 
jede Seite wie AB zweyen anderen DC, DE begegnet. 
Ein Stern anderer Art entiteht noch aus dem Ikoſae⸗ 
der, wenn man die an den drey Winkelpuncten jeder 
Seitenflähe des Ikoſaeders liegenden Geitenlinien bis 
zu ‚ihrem Durchſchnitt verlängert, und diefe Durch⸗ 
ſchnitte für die Gipfel der aufjufegenden, Pyramiden 
nimmt. Auch diefer Stern läßt fih als ein Dodefaer 
der, deſſen GSeitenflächen reguläre Fuͤnfecke der zweyten 
Art find, anfegen. Es unterfcheider fih von dem nur 
gedachten darin, daß es zwanzig drenfeitige Ecfen har, 
Fr das porige zwölf fünffeitige enrhält, S. Vieleckiger 

rper. — en Ri 


Sieterarifche Nachrichten uͤber die Sterne finden 
fih in Käftners geom. Abhandl. Samml. I. Abh. 
45. Käftner erwähnt der Förperlichen Sterne nicht, 
da doch Kepler der beiden vorhin erwähnten regelmäßis 
gen Sterne aus dem Dodefaeder und Ikoſaeder in der 
Harmonice Mundi 'gedenft, welche von Käftner ans 

geführt wird, j u 


% 


SO  Stetie 


„Stetig, f. Conünuum. Dem dort bemerften 
füge. man noch bey: 5) Die Stetigkeit einer Funttion 
beſteht darin, daß ihre Werthe für unendlich kleine Anz 
derungen der veraͤnderlichen Groͤße ſich unendlich wenig 
aͤndern. Gegentheils wird die Stetigkeit unterbrochen: 
Die Function tangx z. Exempel folar von xo big 
= 90° — wm, wo @ fo klein als man will fenn Fann, 
dem Geſetze der Gterigfeit, für = 90° aber wird 


- \ 


bie Stetigfeit unterbrochen, - | 
Storchſchnabel, ſ. Pantograph. 


Subcontraria sectio heißt der Wechſelſchnitt 
des ſchiefen Cylinders und Kegels, woruͤber die Artikel, 
Cylinder und Kegel, nachzuſehen ſind. — 


Subdupla ratio heißt ben {ben Alten ein 
Verhältniß wie a: 2a, deſſen Vorderglied die Hälfte 
bes Hintergliedes it, 0000000 
Subduplicata ratio ift das aus der Theis 
lung eines Verhaͤltniſſes in zwey gleiche hervorgehende 
Rare ri Tu: —— 
Verhaͤltniß. 3. E. das Verhaͤltniß a: a? b2, oder 
a?;bt- Varyb ift das fubduplieirte von asb. 
| Subnormale ift an einer Curve derjenige 
Theil der Abfeiffenlinie, weldjer zwiſchen der Ordinate 


zu dem Beruͤhrungspuncte und der Mormale enthalten 
iſt. S. Normale, | 


Subfecante iſt an einer Curve das Stud der 
Abfeiffenare, welches die Ordinate ju dem Beruͤhrungs⸗ 
puncte und eine durch. den Berührungspunct gezogene 
ſchneidende zwifchen fich abichneiden. YHnilier hat 
diefe nicht unfchickliche Benennung eingeführt.  Prin- 
eipior, calc. different, et integral. expositio ele- 
mentar, cap. V, 5.38. 


R Subftitution beftehe im ‘per. Cinführung des 
fonft woher gegebenen oder angenommenen Werihs einer 


Subsuperparticularis ratio. 551 


Größe in einen analytifchen Ausdruck, welcher bon der⸗ 
ſelben abhängig iſt. u 


In der Algebra laſſen fich ‚die Gleichungen mit. 
mehreren unbefannten Größen auf dem Gubitirus 
tionswege, D i. dadurch auflöfen, daß man den 
Werth einer diefer Größen durch die übrıgen aus eıner 
der gegebenen Gleichungen ausdruckt, und denſelben in 
den andern Gleichungen, worin jene Größe vorfommt, 
ſubſtiturt, wodurch die Zahl. der unbekannten Größen 
und der Gleichungen um eins vermindert wird. | 


Den analyrifchen Zufammenfegungen Finnen wie⸗ 
derholte Subſtitutionen vorfommen. Um z. E. (a + 
b+c-+d? zu entwickeln, macht man erft (a + b), 
fest darin b-+c ftart b, und erhält ſo (a+b+c), 
- hierin fegt man + d ftart‘c, und gelangt Dadurch zu 
(a+b-+c+d)!. Die combinatorifche Analyſis macht 
in dem hier erwähnten Falle und in allen ihm vermands 
ten die fucceffiden Subſtitütionen entbehrlich. Den der 
Subſtitution von Reihen in Neihen bewährt fich ihr 

"ausgedehnter Mugen ebenfalls, 

”_ / l 

Wiederholte Subſtitutionen werden auch oft ans 
‘gewandt, um eine Größe, welche in einer fehr verwifs 
felten Relation zu andern fteht, und Daher auf Direcrem 
Wege nur ſehr mühfam oder vielleicht gar nicht bes ı 
flimmt werden Fann, nad) und nach durch immer weis 
fer getriebene Annäherung zu beitimmen, indem man 
ſtatt des wahren Werrhs einen ihm nahe kommenden 
fubftiruirt, und dadurch einen ‚noch näheren Werth oder 
„ die Derbefferung des ſubſtituirten finder. | 


Subsuperparticularis ratio feißt in ber 
älteren Arithmetik ein Verhaͤltniß m:m + ı, deflen -- 
Hinterglied das Vorderglied, welches eıne ganze Zahl 
und größer als 1 ift, um ı überrriffe. Es iſt das 

umgefehrte bon smperparticularis ratio, oder von 


55%  _ Suhsuperpartiens ratio. | 
m+ı:m Im Sateinifchen werden diefe Verhoaͤlt⸗ 
niſſe nach dem Theile mit vorgeſetztem sesqui bes 


nennt: Z. E. 5:4 heißt ratio sesquiquarta, 4:5 
aber ratio subsesquiguarta. Man gebraucht diefe 
Denennungen, fo wie bie im naͤchſten Arc. angezeige 
ten, miche mehr, | — 


| Subsuperpartiens ratio ift ein Verhaͤltniß 
wiem:m-+n, wo mundn relative Primzahlen, jede 
1, find, und m>n iſt. Es ift das umgefebrte 
von superpartiens ratio oder von m +n:m. Die 
Benennung wird in beiden Fällen nad) dem Bruche 


n | ; ; 
zz eingerichtet, 3. €. 5:3 heißt ratio superbipar« 


tiens tertias, 335 hingegen subsuperbipartieng 
tertias. 2 | 


r Subtangente it an einer krummen Linie das 
Stuͤck der Abſciſſenaxe, welches zwiſchen der big jum 
Durchſchnitt mit derfelben verlängerten berührenden und 
der Ordinate zu dem Derührungspunete liegt, S. bes 
rührende Jinie, Den Ausbrug Qubtangente hat nach 
Leibnitzens Bemerfung, Opp. T. III, p. 280., Huys 
ghens zuerft gebraucht. — Werden die Drdinaten aus 
einem Puncte oder Pole gejogen, fo verſteht man une 
ter Gubtangente das Stück des im Pole auf die Dre 
Dinate an. den Beruͤhrungspunet errichteten Perpendi⸗ 
kels, welches die beruͤhrende abſchneidet. | 


Subtraction, Abziehen, if ein Rechnungs⸗ 
verfahren, wodurch aus einem Ganzen und dem einen 
Thejle deffelben der andere Theil gefunden wird, Dies 
‚ fer Theil ift der Unterfchied dee Ganzen und des 
erſteren Theils, oder der Überfchuß jenes über Dies 
‚fen. Die Subtraction ift dag enfgegengefegte der Ads 
dition. Sie wird entweder mit beflimmten Zahlen, 


»  Subtraction. 553 


oder mic allgemeinen Größenzeichen vorgenommen, . Die 
Größe, von. welcher eine andere abgezogen wird, 'oder 
das Ganze heiße der Minuendus; die abzuziehende 
oder der ‘gegebene Theil der Subtrahendus; der 
a Überfchuß oder der andere Theil heißt ver 
ef. ei | 


Ben der Subtraction beftimmter ganzen Zahlen, 
unbenannrer oder benannter, wird der Linterfchied auch 
in derfelben Form ausgedruckt, welche das Ganze und 
der gegebene Theil haben, alfo in der defadifchen, 
wenn jene defadifch ausgedruckt find; in der dodekadi⸗ 
fchen, wern Minuend und Gubtrahend von biefer Form 
find. Daß diefes auf die kuͤrzeſte und einfachite Weife 
gefchehe, ift der Zweck der Rechnungsvorſchriften, wel⸗ 
che bier an einigen Beyſpielen erläutert werden follen, 


785364. "935478 640004 :- 
362152 871693 239479 
423212 03785 4905235 


Die Einer werben unter die Einer gefegr, damit 
alle gleicharrigen Ziffern unter einander fommen, Man 
zieht die Einheiten jeder Elafje oder Stelle, indem man 
bey den Einern anfängt, von den barüberftchenden ab, 
und feßt den Meft in diefelbe Stelle Sind in einer 
Stelle des Minuendus nicht fo viel Einheiten vorhan⸗ 
den, daß der Abzug gefcheben Fann, fo nimmt man 
eine Einheit der nächft höheren Gattung, welche 10 
folcher-Einheiten gilt, als wovon der Abzug gefchehen 
foll, Hinzu. geht die nächft höhere Gattung, fo nimm 
man eine Einheit der um zwey Stufen höheren Gattung, 
und bringe folche mit 9 Einheiten der naͤchſt höheren 
Gattung und 10 Einheiten der Gatrung, in welcher 
der Abzug gefcbieht, in Nechnung. Fehlt auch. die um 
zwey Stufen höhere Gattung, fo verfähre man auf 
eine ähnliche Art, indem man von den Einheiten der um 
drey Stufen höheren Gattung eine nimmt u. ſ. w. — 


r 


554 | Subtraction. 


Statt die einer Ziffer des Minuendus, wobon ber 
Abzug nicht gefchehen kann, zugelegten 10 Einheiten 
als eine Einheit der naͤchſt hoͤheren Gattung von den 
Einheiten dieſer oder der folgenden Gattungen des Mie 
nuendus adzurechnen, fann man fie auch mit der naͤchſt⸗ 
hoͤheren Zuffer des Subtrahendus zugleich wieder wege 
nehmen, indem man diefe um- eins vermehrt abjieht, 


Dieſes Verfahren gewährt mehr Gleichförmigfeit 


und erfordert weniger Aufmerkſamkeit ‚als das erjte, iſt 
alfo für die Ausübung bequemer. 


Beyſpiele fuͤr die dodekadiſche Form. 








5. 6. 11. 5. 10. .4. 10-40, 0. 4.7 
u 3. 4. 3. 6.1 4. 2. 0. 10. 8. 11 
5. * 7. 2. 4. — — — Zr 11. ‘I, Tr 8 


Veyſpiele für die byadiſche Form. 





-1L0o010110  - . 10011100101 
-JOoLIOOLE. NTOLIOLLE 
BE 57 7:7:7:7 2 Sa 100000010110 


Die Probe der Subtraction zu machen abbire 
man die. fubtrahirte Zahl zu dem Miete, fo muß die 
Summe dem Minuendus, ald dem Ganzen, gleich feyn. 


Bon der Meuner: und Eilferprobe der Gubtras 
cfion f. Rechnungsprobe. | 


Daß. die Gubtraction fih bequem in .eine Addition 
der arirhmetifchen Complemente oder Ergänzungen ver« 
wandeln laffe, iſt in dem Art., Complement, in Bes 
zug auf Logarithmen erinnert, Es fünnen aber aud) 
fonit Fälle vorfommen; wo jene Verwandlung vortheil⸗ 


haft iſt. 3. E. 


Subtraction. 566 

A 23478 D 14325 

B 9543 B 8704 

C 86204 F 24398 
s G 85675 
; H 91296 

I’ 75602 | 

871798 


„Um bon ber Summe der Zahlen A, B, C, die 
Summe der Zahlen D, E, F zu fubtrahiren, werden 
ſtatt deffen zu A, B, € die arirhmetifchen Ergänzungen 
von D, E,F ju 100000, meldye find G, H, I, ads 
Dirt und von der Summe 100000 fo viel mal weg ge= 
wotfen, als arirhmerifche Ergaͤnzungen find, fo entitehe 
das Geſuchte. Man wird den Grund hiervon bald aufs 
finden, wenn man bemerft, daß z. E. 8 von 15 fube 
trahirt eben fo viel läßt ald 8-+-2 von 15 +2, wo 2 
die’ arithmerifche Ergänzung von g ju 10 iſt. 


Das Zeichen der Subtraction ift —, welches 
zwifchen den Minuendus und Gubtrafendus gefegt wird, 


Subtraction benannter Zahlen. Man fübs 
trahirt Die gleichnamigen Größen von einander,, ins 
dem man ben den Einheiten der geringften Sorte ans 
fängt, und. nach und nach zu den Höheren fortgeht. 
Rann der Ab;ug ben einer Gorte nicht gefchehen, fo 
nimmt man eine Einheit der nächfthöheren Sorte, von 
welcher . befannt fenn muß, wie viel Einheiten der ges 
ringeren Sorte darauf gehen, dazu, und rechnet dies 
felbe von den Einheiten der nächiihöheren Sorte des 
Minuendus ab, over nimmt fie wieder mit den Eins 
beiten der naͤchſthoͤheren Sorte des Subtrahendus zus 
gleich weg. Ba | J 
8383474 19 7 6as 7 na 

4958: 20: 10: 2932 9: Be 


3388 KR IA | 354° 10! 3 





556 Subtrahiren. 


Im zweyten Exempel find bie Einheiten: Ruthe, 
Fuß und Zoll des Duodecimalmaßes. | 

Subtraction der Brüche. S. Bruchrechnung 
und Decimalbruch. 

Subtraction allgemeiner Groͤßen oder alge⸗ 
braiſche. S. Buchſtabenrechnung. 
Subtraction der Verhaͤltniſſe, ſchicklicher Zer⸗ 
legung der Verhaͤltniſſe. S. Verhaͤltniß. 


Subtrahendus. S. Subtraction. 


Subtrahiren heißt den Unterſchied zweher 
gleichartigen Groͤßen, oder, um wie viel die eine groͤ⸗ 
ßer als die andere iſt, finden. 


Subtensa f. Chorde. 


| Subtriplicata ratio ift das durch Teilung eis 

nes Verhaͤltniſſes in drey gleiche entſtehende Verhaͤltniß. 
Wenn z. E. das Berhältniß a:b durch Einfchaltung zweyer 
Mittelproportionalen in drey gleiche Verhaͤltniſſe gerheile 


2 ı ‚= 
wird, fo entſteht die Progreffion a, a>b?, 513 ‚b, wo 
a; 3b? RER, N | ; 4368 => a3b3; b= Pe} : b3 
f a. °  Y 

3 3 I 
= Va: Vb das ſubtriplicirte Verhaͤltniß von a;b iſt. 


Subtriplum iſt fo viel als ein Drittel. Z. E. 
2 iſt das Subtriplum von 6. —: Subtripla ratio ift 
ein Verhaͤltniß, wie 256 oder 359, überhaupt jedes, 
das — 133 if. ” 


Summe ift eine Größe, welche mehreren anderen 
als ihren Theilen zuſammengenommen gleich iſt. Diefe 
Summe, bey welcher jeder Theil durch fein Hinzufommen 
Die anderen vergrößerf, ift die Summe im eigentlichen 
Sinne, und heißt daher audy die arithmetifche zum Unter⸗ 
ſchiede von der algebrnifchen Summe, welche in ungigentlis 


Summe einer Reihe. 557 


dem Sinne Summe beißt, indem fie, ben dem Zuſam⸗ 
menfommen entgegengefegter Größen, auch eine Differenz 
fenn fann. Man ‚gebraucht die algebraifhe Summe: 
vorzüglich, um Saͤtze, welche man: fonft theilen oder 
der benzufügenden Einſchraͤnkungen und Bedingungen 
. wegen fehr weirläufig ausdrucken müßte, Eur; und doch 
allgemein auszudrucken. So wird in der Gtatif ges 
fagt: daß beym Gleichgewichte mehrerer an einem He⸗ 
bel wirfenden und in einer Ebene liegenden Kräfte die 
Summe ihrer Momente Null iſt. 


Summe einer Reihe von irgend einer end⸗ 
lichen Anzapl Glieder ijt ein analytiſcher aus diefer Zahl 
und gegebenen Größen zufammengefegter Ausdruck, defs 
fen Werth dem Aggregat von fo vielen Gliedern der 
Reihe, als die Zahl angiebt, gleich iff. — Die Summe 
einer Reihe von unendlich vielen Gliedern, wenn fie 
‚ eine endliche Größe hat, ift entweder eine abſolute Zahl, 
welcher fich dad Aggregat der Glieder (die algebraifche 
Summe, wenn die Glieder nicht durchaus einerley 
Vorzeichen haben) immer mehr nähert, je mehr Glies 
der jufammengenommen werden, oder wenn Feine Ane 
näherung zu einem beftimmten Werthe Start hat, der 
Unterfchied zweyer Reihen, deren Summen unendlich 
groß find. — Nimmt die Summe einer Reihe immer 
fort zu, je mehr Glieder genommen werden, fo ijt die 
Summe der in’d Linendliche fortgeſetzten Neihe zwar 
unendlih groß, mag aber doch mie der Anzahl der 
Glieder oder einer Potenz derfelben verglichen werden, 


Benfpiel. J. Die Summe ber arithmerifchen 
Reihe a5; a+d; a+ 2d3 cu. a+ (x ı)d if 


mußt de 

Die Summe der Quadrate der natäırlichen Zah⸗ 
In 1 F4 419 16 +... + x! iſt = ... 
— (8 +)@x-+ı) | 


358 Summe einer Reihe; 

Die Summe der Produrte je zweyer nächften 
ungeraden Zahlen 1.3 + 3.5 + 5:7 Hr... 
+ (x— 1)Cax *i) iſt 4 =(ax-1)(ax+ 1)x | 
(2x +3). 


* 


— & 1 1 
Die Summe der Bruͤche 4 4 * are 
| | n 


I 
t=ı—- —. 


. I f 
T x(x-++ 1) — x-+1I 
Die Summe der geomekrifhen Reihe a + ae 


, i u ae* — a ae — 1) 
+ a.” + ...+ ae = — — 





e— —  e-—ı, 

II. In einer geometriſchen Reihe ſey der Expo: 
nent e ein eigentlicher Bruch, fo iſt die Summe der 
ganzen ohne Ende fortgefesten Reihe a + ae + ae® 





+ etc ininf, = 
De ® —e 


Die Summe der reeiprofen Quadrate der natürs | 


i ch r Ba at 
lichen Zahlen nratent m + etc..in inf. iff = 


a, wo = ber halbe Umfang des Kreiſes fuͤr den 
Halbmeſſer, Eins, iſt. 
Die Summe der reciprofen Biquadrate ber .nas 
. 1 1 1 L sa 3a 
türlichen Zahlenreihe er + — er + = + eto,in inf. 
: | 
ift = a 


Summe einer Reihe, 55 9 


Die Summe der. teciprofen Quadrate: der natuͤr⸗ 
T. 


lihen Zahlen mir et: Vorzeichen Fon — 


2" 
2 nn TEN ER. — 
+5 + u ſt —* 


Die Summe der reciproken Biquadrate derſelben 
— FI —— 1 1 
ne abwechſelnden DBorzeichen Set X 
, , * 4 h 
_— + etc. in er tr j 
Bi 220 


— Summe der Brüce - _ +7 + + — 
— . etc. in inf deren Nenner z — Argon 
zoblen find, iſt rn: | 

— 

Die Summe der Quotienten Br t 3.9.7 

+ —— + etc, in inf. ft — 


5 +7 i ‘a — 
— Die Summe der Reihe 1 — e 4 er — es 
+ et — etc. in inf, iſt der ee der Brüche 





welcher i — —— — eder 
ı—e?. 1— % FJ 1460 J 


von jenen beiden — iſt —* e=ı unendlich groß, 
die Summe ber Reihe in dieſem Falle aber — | Für 


e>ı iſt die Reihe eine divergirende, und das Wort 
Summe in dieſem, wie in dem vorigen Kalle fo. zu 
— wie in dem u Reihe, 34. angegeben iſt. 


. Die Summe, der Reihe 1 — gsx + 27x — 64x38 
+ 125 x — etc, in inf, iſt der Unterſchied der Bruͤche 


"560° Sumwmirbare Reihe, 
“A FrYH2art hr), 8xlı+4x+xt) 


ax) (1—x?)* 
jeder für x — ı unendlih wird. Da aber jener Lin 
a Er 


| (1— x")! 
— 1—4x+x’ 


— ſo iſt die Summe der Reihe frx=ı, 


: ! 
m — 7% Für x > 1 iſt die Reihe einer divergente, 


‚, deren 


— 


IV. Die Summe der Quadrate der natürlichen 
Zahlen +4 +9+ 16+ etc; wählt ohne Öränzen. 


| 1 N 
Da die Summe derfelben von ı bis x! = —* 4 „a 
2 * iſt, ſo verhält fie fich zu x.x* d. i. zu x% wie 
. + —— u x, alſo für ein unendliches x 
rt a r ein unendli 


I j | 
wie — oder wie 1:3. 


Die Summe aller Würfel der natuͤrlichen Zahlen 
von ı bis x3 verhält fidy zu x+ deſto näher wie 1:4, 
je größer x ift. 

Wegen der bier angeführten Summen f. die Ar 
tifel: arithmerifche Reihe, geometriſche Reihe, Poten⸗ 
zen, ruͤcklaufende Reihe. 


Summirbare Reihe iſt, deren Summe 
durch einen endlichen Ausdruck ſich angeben laͤßt. Be⸗ 
faßt dieſer Ausdruck jede beliebige Anzahl von Gliedern 
vom eriten an, fo ift die Reihe allgemein fummirbat, 
Aus diefer allgemeinen Summe ergiebt fich die Summe 
der ins Unendliche fortgeſetzten Meihe immer, aber 


nicht umgefehre aus der Summe von einer a 


Summirbare Reihe. 561 
| Anzahl Glieder ſtets die von einer endlichen Anzahl. 
Z. E. aus der Summe der Reihe 14 t7t+2 


+ Fr 4 etc, in inf, welche =: it, laße ſich die 


Summe von n Gliedern derſelben ++ — a 


+ Tr, nicht ableiten. In andern Fällen. aber 


kann dieſes gefchehen. 3. E. die Summe der ins 
Unendliche fortgefuͤhrten geometriſchen Reihe 1 + e 
— e4 es etc. in inf. iſt = — Verlangt man | 


. 16 


die Summe; der n erflen Glieder dieſer Reihe, fo 
fuche ‚man, die Summe der vom (n+ ı)ten Gliede 
an ins Alnendliche  forfgefenten Reihe, melde iſt 
er + erta Perta + etc. in inf, = e(i+e+e! 


re oe 
4 es 4 etc. in.inf.) = — Dieſe von jener 


J abgejogen läßt die Summe ber erſten n Glieder + e 
Fet..tetz — 


* 
Is 


t« Da fi die allgeitteine Aufldfung ded Pros 
blemss jede vorgelegte Reihe zu ſummiren, fehwerlich 
je wird geben laſſen, fo Bat man fehon laͤngſt die Gas 
che umgekehrt, und auf berfchiedenen Wegen Reihen 
geſucht, welche ſich ſummiren laffen, um in dem, was 

ſich hierbey bemerken läßt, Mittel zur Summirun 
vorgegebener Reihen zu entdecken, wie man es font 
auch in der Mathematik macht. Die vorzüglichften - 
Verfahrungsarten zur Erfindung ſummirbarer Reihen 
moͤchten folgende ſeyn. F 


563 Summirbare Reihe. 


2. Wenn A,B,C0,D,E, .... eine Neiße 
von Größen ift, welche immerfore abnehmen, fo bilven 
die Unterſchiede derfelben A—=B, B—C, C—D, 
D-—E .... eine neue Nahe, deren Summe dem ü— 
berſchuſſe des erften über das Teste Glied. der erften 
Reihe gleich ift, wie denn (A—B) + (B—C) 
+(C—-D) + (D-E)=A—E Verſchwin—⸗ 
der älſo, wenn die Nahe A, B,C,D, ...: ins lim 
endliche fortgeſetzt wird, das letzte Glied, fo ift die 
Summe der. Unterſchiede (A—B) + (B—C) 
+ (C—D) + etc. in inf, bloß dem, eriten Gliede: 
A der zum Grunde gelegten Peihe gleich: ‚Kerner bil 
den die Unterſchiede A—C, B-D,C—E, ...., 
welche entitehen, wenn man von jedem Gliede der 
reihe A, B, C, D, Een. das ziwende nah ihm 
ab;ieht, eine neue Reihe, deren Summe gleicy iſt dem 
Überfchuffe der Summe der beiden erſten Gliederder Grund: 
‚reihe über die der beiden letzten Glieder, da (A— C) 
+ (BD) + (C—E) + (D-P) + (E-G)= 
Ä+B-(F +6) Verſchwinden alfo bey Fort: 
feßung der erſten Reihe A, B, C, D.... ins Linend: 
fiche die Beiden legten Glieder derfelben, fo iſt die Summe 
der Unterſchiede (A—C) + (B—D) + (C—E) 
+ etc, in inf. bloß der Summe der beiven erften 
‚Glieder A+B gleih. Eben fo ift, wenn man in der 
erſten Reihe die Linterfchtede zwiſchen jedem Gliede 
und dem rten nach ibm nimmt, die Summe derſelben 
fo groß als Die Summe der r erjlen weniger ber 
Summe der r legten Glieder der erften Reihe, folglich, 
wenn die letztere Summe bey Kortfegung der Reihe 
ins Unendliche verſchwindet, bloß der erſteren Summe 
gleich. Hiernach laſſen ſich aus einer einzigen Grund: 
reihe eine große Menge ſummirbarer Reihen ableiten. 


3. legt man z. €. die Reifen +++ 
+ etc. in inf. zum runde, fo find die Unterſchiede 


| Summirbare Reihe, 563 

X 2 :ro — 1 

r uder I ann und es > 
der Glie 2'6' a zo n in" sn 
L + = = - + ete in inf. = ı, alfo, wenn man auf‘ 
* Seiten mit 2 multiplicire, die Summe der res 


eiprofen Teigonalahten ı + - + = + — + etc, 
in inf, — — 2 Bricht, man Die Reihe 1, u. u... 


mit dem (n+ rJten Slide - 





- ab, fo findet man 
auf dieſe Art die — — n er >: Tri⸗ 


| gonaljaßlen 1 + > +7 +. —X 


2 
2 — 


n4 L 
J 1 ı 1: 
le man in ber ‚Neiße 1 +: _ — — — 


"aa = a4) 





+ etc. in inf, wieder die Untere, fo wird - _ nt er 
+z + * + etc, in inf = zer, alfo ir Mule⸗ 


| tiplication mie ? = — der reciproken Pyrami⸗ 


| ; re — 3 
— —— . — a ic, | f, = * 
dalzaplen Er + r me -F etc. in in — 


E 


| H | 1 1 | 
Die endlihe Gumme 1 — —24 Fr Foeneee 


1.2.5 


3 
— —— — —— fit — — Be — — 
"ermary" a re 


564 © Summirbare Reihe, 


Auf diefe Weife laſſen fih, wenn man weiter geht, 
die Summen der reciprofen figurirten Zahlen von allen 


höheren Ordnungen finden, 
4. Nimmt man in ber Reihe 1 4 - + > 


+ z 4 etc, in inf. die Unterſchiede zwifchen jes 


dem Gliede und dem zweyten nah ihm, fo wird 


> etc. in inf. = a welches eine von Leibnitz ges 


gebene Summation ift, die Jakob Bernoulli nach ei⸗ 
ner dem hier angewandten Verfahren ähnlichen und 
mit ihm auf einerley runde beruhenden Methode 


5. Start des von: Jakob Bernoulli "gebraudie 
ten Verfahrens, von irgend einer - angenommenen 
unendlichen Meihe, deren Glieder unendlich abneh⸗ 
men, fie felbft, mit Nusfchluß des erften, oder ber 
beiden erſten, oder der drey eriten Glieder u. f. mw. zu 
ſubtrahiren, da dann der Linterfchied dem erften, 
oder den beiden erſten, oder den dren erften Gliedern u. 
f. w. zufammen-genommen gleich ift, feste Moivre ein 
mehr analytiſches, das er in den Miscell. anal. Lib. 
VI. cap, 5. erklaͤrt. Es beſteht darin, irgend eine 
unendliche Neihe, deren Glieder nach den Potenzen der 
unbeſtimmten x fortfchreiten, und. in welcher die Coef⸗ 
ficienten unendlich abnehmen, mit einem aus beſtimmten 


Summirbare Keife 666 


Größen und der unbeftimmten x zufammengefegten zwey⸗ 
oder mehrtheiligen Factor zu muleipheiren,. dann diefen 
Bactor © zu ſetzen, wodurd ein Werth von’ x fich 
ergiebt, welcher auch das Product aus der angenoms 
menen Neihe in jenen Kactor a macht. Legt man als 
fo der unbeflimmten x diefen Werth bey, und fegt die 
erften Glieder des Products auf die andere Geite des 
Gleichheitszeichens, fo iſt die übrige unendliche Reihe 
den heruͤbergeſetzten Gliedern gleich. we 


6. Multiplieire man z. B. die Reihe a + * 
+ * 4 * + etc. in inf, * 5 mit x-, 
wird — — _. x Let 
| fo wird —— — een 


* 


Bus 1 1 1 
in inf. ⸗(x⸗ 1)8, alſo ——x — — x 
| ( 8 —— — — 


+ eo. — 3 +(x— DS. Setzt man nun X— 1 — 
wodurch x==ı wird, und dieſen Werth von x in bie 


® : e = 
letzte Gleichung, fo befomme man —z2 *4 751777 


+ ..,.==1, wiein (3.). | 
Wird diefelbe Reihe ı + * + * + ete. 


in inf. =S, durch x — 1 multiplicirt, und die beiden 
erſten Glieder des Products auf die andere Seite des 
Gleichheitszeichens geſchafft, fe entſteht 

2 2 2. | 1 
rt L- —xt-tetc, Zı+-x+(zX—1)S 
at + et Sir etn] 
Setzt man nun x==ı, fo wird erhalten. 

2. 3 

— — — etc, .... in inf. == 

1.3 * 2.4 3.5 * 2 
wie in (4.). Die Multiplication von 8 mit x — 1, 
und nachherige Annahme am, führe alſo zu demſel⸗ 


566 Summirbare Reihe, 


ben. Nefultate, als wenn man die Reihe ı + =+ — 
+ etc...... mit Ausſchluß der beiden erſten Gliede 
bon ſich ſelbſt abgezogen haͤtte. a 


Da xx—ı aub für xm—ı, Null wird, fo 
erhält man no, wenn man = — ı macht, | 
2 20 2 


I 
— — 1. — +ee=-- 


1.3 2.4 3.5 4.6 — 


| | Multiplieirt man die angenommene Meihe S mit 
‚x’—ı, und fest nachher x ı, fo erhält man dafs 


ſelbe, als wenn man die Reihe ı + — -+ r + — + etc. 
vom bierten Gliede von ſich ſelbſt abzieht 


Wird die Reihe 8 mit (x-1)* oder mit 1-ax x 
multiplicirt, und nachher xDa geſetzt, fo iſt ‚das fo 


viel, als ob man erſt von der Reihe 1 4 — + % 


+ — + etc, fie ſelbſt weniger ihrem erften Gliede _ 

abzoͤge, und mit der herborgehenden Reihe wieder eben 

fo verführe, | Ä | 
Man multiplicire die angenommene Reihe ır + „x 


2 1 en .5 ; J 
4 * + etc. in inf. =S mit 2x—ı, fo wird, 


wenn man das erfte Glied des Products auf die andere 
©eite des Gleichheitszeichens bringt, — 
3 44 5 6 — 
— > —xx + —xı + — Lee 
Te —— er | 
= ı + (2x—nNS 


* L, . 
Setzt man jetzt 2x — 10, alſo — ſo wird 


Wird — Reihe 14 * 4 * +eem$.. 


mit (x — ı)(2x— 1), d. i. mit 1 —3x + 2xx multi⸗ 
plieirt, und nachher einmal xXi, und dann 2x =ı. 
gemacht, fo.entitehen dadurch zwey ſummirbare Reihen. 
Es wird naͤmlich 











BL. ne + ec. in inf 3 
- - — ın ni. ZZ — 
1.23 2.3.4 ‚3:4+% | 2 
- - r 
1.2.3 ir — rei er 


7. Es ift nörhig, daß in der angenommenen 
Reihe S, welche allgemein duch 1 FAxX+Bxr’+Cx?, 
+ Dx* — etc. vorgeſtellt werden kann, die Coeffi⸗ 
cienten A, B, C, D.:.. über alle Srängen bingus ab: 
nehmen, damit die Producte wie («— 18, (x — 1)$ 
u. ſ. w. für den Werth x=ı felbft in dem falle, 
baf S * n Werth =o0 wäre, (mie, wenn S—. 


1 + * + x + etc;, wirklich der Fall iſt) Null 


— Dah. dieſes aber unter der vorausgeſetzten Be⸗ 
| N. Statt hat, erhellt für das Product (x—1)S 
0. Es ift 

(1) = —ı +(1—A)x + (A—B)x! + (B—C)x? 
+ etc, alfo für x ı 


K-1)8Z—r+(1-A)+ (A—B) 4 (B—C)-+etc. 


Da aber vermöge der Vorausfegung 1, A,B, ©.... 
eine abnehmende Reihe bilden, deren (egte3 Glied bey - 
Fortſetzung der Neihe ind Unendliche verſchwindet, ſo 
ift nach (2.) die Summe der Unterſchiede ( — A) + 
(A—B) — — — etc. = ı, alſo (x<—1)S 

ben fo wird der Beweis mir 


568 Summirbare Reihe, ? 
Hoͤlfe von f2.) für die Product (Kr)s, us 
u. ſ m geführt t. 
3 Es laſſen ſich nach derſelben Methode auch 
endliche ua Reiben — ans man 
— — — 
z. E. die Reihe no * * x-* — + etc. 
=$ mit x — : = ſetzt nachher, nn das erfte 
Glied des Products, — a auf die andere Seite 
der ——— aebracht — — ſo — 
— 


(n+ı)(n-++2) — (a ) tar — 


1 
in af, = 
arpı 


Maun fege man n=70, — wird Sr + * 


— — — 


inf. Fr 1 Don diefer . ſubtrahire man die 


vorige, ſo wird mtr — “ten 


en 


nFpı 
9. Daß die Summe der Reife ı + * 
+ z -} etc, in inf,, wie in (7.) angedeutet if, uns 


endlich groß ſey, erhellt baraus, daß log * — 


Sanmbare Hefe, 569. 


— lgu-)=r+ Zr + Ze + Eat dc, | 
ı 


fie x alfo, ı +7 — — — eto. 


= log == log.o6 if — | 


| Es iſt aber gar keine Frage, daß der Logarithme 
einer unendlich großen Zahl ſelbſt unendlich groß ſey, 
doch iſt derſelbe von einem unendlich niedrigern Grade 
ale die Zahl felbit, und verfehwindee gegen diefe, — 
Hieraus folge — daß die eu — einer hats 
c 
monifchen Heiße — _ re, + — 
unendlich groß ei. Denn druͤckt man fie fo aus 


c I 
nt + as an + etc } nz 


wenn m bie nohſtgriben Zabl an — — if, Die einges 


etc, 


klammerte Reihe >< — * * + austem. 


in inf, Dieſe aber * die natuͤrliche Be bon 
welcher die m—ı erften Glieder, deren Summe um 


lich ift ‚ rer fi ind, alfe ift die Summe — 


— — -+ etc, oewiß unendlich groß, folglich um 
ſo — — und daher auch die utſpruͤng⸗ 


liche Rebe a = + etc. 


10. Die Glieder der Reihe A, B, C, D etc, 
in (2,) können auch zus von einer immer größer 


Lu 


570 Summirbare Reihe, 


werdenden Anzahl Factoren fenn. Diefes führe auf 
folgende, fehr brauchbare Summarion. Es fey A=ı, 
B=b, C=bce, D=bed. E=bede, u. fr w. 

Nehmen fun auch hier 1, b, be, bed, u. ſ. w. über. 
alle Gränzen hinaus ab, fo it 


(1 = + N + bc —d) + bed(ı — e) 
‚+ bede(t —f) + etc, in inf. = ı, 


m _m-+p mg 
b=—,c= d = —— 
Wenn nun ur zn pP" wet 























m+r | _m+s a—m 
Z —b: 

— Erd de 2 

a—m a—m _m 

I c==——, 1—d-z ‚a—e—_ etc, 
aHp . Tate 0 0ar 

a— m ma—ım mm-pı—n 

 Twafptfiaurpare 

mm+-pm+qga—-m Eu 

Terrrargare ten 

a 





alfo, wenn mir R == auf beiden Seiten multiplicirt 


wird, — 
— m(m-+p) m(m+p)(m+g) 
atp (a+p) a+g) (a+p) (arg) \a+r) 


a 
a—m 





Die Bedingung, daß das Produet — ete. in inf, | 
5 ————— 
aa-pe — 

a(a+p)Ca+g)Ca+r).. 

map at Dart. 

| unendlich groß ‚werde, wird erfüllt, wenn erftlich jeder 


‚vers 


ſchwinde, alſo das reciproke 


‚Summirbare Reihe. 571 


a+p a+q 
der unendli vielen Beuch actoren — 

’ m m+p" nı+q 
u. ſJ w. — 1, alſo a>m iſt. Setzt man alſo 
a—m jur Kr A, fo muß zweytens 


DEE 


etc, in inf. — 00 fi feyn. Dun it dad Product line 
ker Hand entwickelt ' 


— —— + ee) 


en (ap Haar — 


— rer * mern nt ec] 
Br * arms — 
4 etc, | 9 
welches offenbar wadis groß ft, wenn die Summe 


! 1 
+ + —— # — + etc. unend⸗ 


m 5 — — 
lich groß wird, Wenn alſo a>m, und die Summe 


der rer + 





,»+ etc. in — unendlich groß iſt, ſo iſt 


— — + m(m+p) _ m(m+p)(m-+-d) 
(a+p)(a+g) (a+p)(a+g)(a+r) 


a 
+ etc. in inf = — 


a—m 


welche GSummation um fo merkwuͤrdiger if, weil die 
Brößen P, q. r, s etc, gar nicht in den Summen⸗ 
| ausdruck eingehen. 


\ r 


563 Summirbare Reihe, 


2 Wenn A,B,C,D,E, ... eine Neiße 
von Größen ift, welche immerfort abnehmen, fo bilden 
die Unterſchiede derfelßen A—B, B—-C, C—D, 
D—E .... eine neue Reihe, deren Summe dem ü— 
berſchuſſe des erften über das letzte Glied der erſten 
Reihe gleich ift, wie denn (A—B) + (B—C) 
+(C-D) + (D-E=A-—E. Verſchwin— 
der älſo, wenn die Reihe A, B, C, D, ...; ins Um 
endliche fortgefest wird, das letzte Glied, fo iſt bie 
Summe der. Linterfchtede (A—B) + (B— 0) 
+ (C—D) + etc. ininf, bloß dem erſten Gliede 
A der zum Grunde gelegten’ Reihe gleich: ‚Kerner bils 
den ‚die Unterſchiede A—C, B-D,C—E, ...., 
meldye entſtehen, wenn man von jedem Gliede der 
Reihe A, B, C, D, E.... das zweyte nach ihm 
abzieht, eine neue Reihe, deren Summe gleich ift dem 
Überfchuffe der Summe der beiden erſten Glieder der rund: 
‚reihe über die der beiden lebten lieder, da (A — C) 
+ B—-D) + (C—E) + (D—-F) + (E—G)= 
A+B-(F +6) Verſchwinden alfo bey Fort: 
fegung der erften Peihe-A, B, C, D.... ins Linend- 
liche die beiden legten Glieder derfelben, fo ijt die Summe 
der Linterfhiede (A—C) + (B—D) + (C—E) 
+ etc, in inf. bloß der Summe der beiven erften 
Glieder A+B gleih,. Eben fo ift, wenn man in der 
erften Reihe die Unterſchiede zwiſchen jedem Gliede 
und dem rten.nady ihm nimmt, die Summe derſelben 
fo groß ald Die Summe der x erilen weniger der 
Summe der r legten Glieder der erften Neihe, folglich, 
wenn die letztere Summe bey Fortfegung der Meihe 
ins Unendliche verſchwindet, bloß der erfteren Summe: 
gleich. Hiernach lafjen fich aus einer einzigen Grund: 
veihe eine große Menge ſummirbarer Reihen ableiten, 


3. legt man z. E. die Reihe ı +- ++, 
+ etc. in inf. zum Grunde, fo find die Linterfchiede 


- Summirbare Reihe, 563 
Der BEE Due Dee Ä N I 
er Glieder —, —, —, —, ... und e8 i jr 
der © PATER, * —— 
* — * 4ete in inf. = ı, alfo, wenn man auf‘ 
— Seiten mit 2 multiplicirt, die Summe der res 


ciprofen Trigonalgaßten ı *; * = = + — + etc, 
in inf. ⸗ 2. Bricht man die Reihe 1, ze 0... 


mit bem (n+ s)ten Slide - 





: ab, fo finder man 
auf dieſe Art die — — n erſten — Tri⸗ 


oonalhahlen 1 4 —3 z — + — 


2 — 





n4 r | 
; FE ı 1 
— man in der Reihe 1 rt _ I — — 
* etc. in ink. wieder die Unterfäiee, fo wird - _ rt Fr | 
tz +; — a etc, in inf = 1, alfo nach Mule 


Hpfkentke mit =, die — der reciproken Pyrami⸗ 


* I 1 I . “ “ 3 
: — — 4 — 5 to. ı f. — | s 
dalzaplen er + z + — eto. in inf. — 


H 


Die endliche Summe 1 + — + + -F ae 


— 75 m aa 


Sn Summirbare Reihe. 


Auf dieſe Weiſe laſſen ſich, wenn man weiter geht, 
die Summen der reciproken figurirten Zahlen von allen 
hoͤheren Ordnungen finden, — 


1 


4. Nimmt man in der Reihe ı + - + > 


+ 2 4 etc, in inf. die Linterfchiede zwiſchen je⸗ 
dem Gliede und dem zweyten nach ihm, ſo wird 
2 242 2 re, ı. 3 
—-— -- L—- + — + 0e —— 22 
— c. in in 173 7 


| va. ı 0 
alfo durch Divifion sach z * 4 * + c | 


+ etc. in inf. = = welches eine bon Leibnitz ges 
gebene Summarion ift, die Jakob Bernonfli nach eis 
ner dem hier angewandten Berfahren ähnlichen und 
mit ihm auf "einerleg Grunde beruhenden Methode 
fand. | 


. 5, Statt des von Kafob Bernoulli "gebrauch. 
ten Verfahrens, von irgend einer - angenommenen 
unendlichen Reihe, deren Glieder unendlich abneh⸗ 

men, fie felbft, mie Ausſchluß des erften, oder der 
beiden erſten, oder der drey eriten Glieder u. f. w. zu 
ſubtrahiren, da dann der Linterfchied dem erſten, 
oder den beiden erften, oder den dren erften Gliedern u. 
ſ. wm. zufammen-genommen gleich ift, feste Moivre ein 
mehr analytifches, das er in den Miscell. anal. Lib. 
VI. cap. 5. erklaͤrt. Es beſteht darin, irgend eine 
‚ unendliche Neihe, deren Glieder nach den Potenzen der 
unbeftimmten x fortfchreiten, und. in welcher die Coef⸗ 
ficienten unendlich abneßmen, mit einem aus beilimmeen 


Summirbare Reihe. = 565. 


Größen und der unbeftimmten x zuſammengeſetzten zwey⸗ 
oder mehrtheiligen Factor zu multiplieiren, dann diefen 
Ractor © zu ſetzen, wodurch ein Werth von x ſich 
ergiebt, welcher auch das Product aus der angenoms 
menen Reihe in jenen Kactor a macht. Legt man als 
ſo der unbeftimmten x diefen Werth bey, und fegt die 
erften Glieder des Products auf die andere Geite des 
Gleichheitszeichens, ſo iſt die übrige unendlihe Reihe 
den herübergefegten Gliedern gleich, en 


6. Multipfieirt man z. B. bie Reihe a + * 
| k i P " on, j 
+ — 4 Zr + etc. in inf, =$ mit x—y 

fo wird — 3 — es — 4 ——ſ—— — 
| . 1.2 R 2. 3 3 B 4 u . 


* 


— 1 1 — 
in inf. m(x—ı)S, alſo ——x — ng: 
| (x—1)$, alfe —x 7 2 — | 


4 rum IE + (x— rs. Setzt mau nun x — 1 

wodurch x==ı wırd, und diefen Werth von x in bie 
legte Gleichung , fo befommt man - — 
etzte Gle € nn he — 

N 9 arız an 


+... =, wiein (3) | 
Wird dieſelbe Reihe ı + * 4 * + ete. 


in inf, = 8, durch x — 1 multiplicirt, und die beiden 
erſten Glieder des Products auf die andere Seite des 
Gleichheitszeichens gefchafft, fe entſteht 

2 2 2 1 
ur dt xtbetc. Zı+-x+ (21) 
et, — * * 7 + ] 
Setzt man nun x=ı, fo wird erhalten. 


2 2 2 
+. + re... hf 


I . 3 2 L 4 3 ° 5 
wie in (4.). Die Multiplication von S mit x — 1, 
und nachherige Annahme XXan, führe alſo zu demſel⸗ 


566 Summirbare Reihe. 


ben Reſultate als wenn man die Reihe 14 =.+ = 


+ etc... mit Ausfchluß der beiden erften Gliede 
bon ſich ſelbſt abgezogen pätte. — 


Da xx — 1 auch für x— 1, Null wird, fo 
erhaͤlt man noch, wenn man x — — 1 macht, | 
SE DEE. DE. 


a u Multiplieirt man die angenommene Reihe 8 mit 

‚xa—ı, und fest nachher x ı, fo erhält man dafs 
felbe, als wenn man bie Reihe ı + — + nt = + etc, 
bom bierten Gliede von fich ſelbſt abzieht. 


Wiird die Reihe 8 mit (x-1)* oder mit 122x +x* 
multiplicirt, und nachher x—ı geſetzt, fo ift das fo 


viel, als ob man erft von ber Reihe ı + — + ” 


+ — 4 etc, fie ſelbſt meniger ihrem erften Gliede 
abzoͤge, und mit der hervorgehenden Reihe wieder eben 
ſo verfuͤhre. | | 
Man multiplieire die angenommene Reihe ı + * 
+ * + etc. in inf. = S mit ox— 1, fo wich, 


wenn man das erfle Glied des Products auf die andere 
Seite des Gleichheitszeichens bringt, I 


3 44 5 6 — 
—‘ — xx —— xs 4 — - etc. 
1.3 —— Le st & 

=ı+(:ıx—nNS 
** I, z ” 
Setzt man jest 22 — 10, alfo zo, fo wird 


Summirbare Reihe, - 567 


30.1 4 ı ;s 16 ı 
— — — — + —.— — — ete. 1. 
1,2 a5 2.3 4, 3-4 ——— 


Wird dieſelbe Reihe ı + * + ze +ete.=$. 5 


mit x— 1)(2x—ı), d. i. mit 1 —3x + 2xx multis 
plieirt, und nachher einmal x=ı, und dann 2x _ı. 
gemacht, fo.entitehen dadurch zmey fummirbare Reihen. 
Es wird nämlich —— 





5 —6 7 A 3 

— + —— +6eeinin = — 

1.2.3 2.3:4 :3:4+5 — 2 
und * | 


5 — 6. — 7. Er ton inf I 
— — —— u — — — [c. ın aint. — — 
1.2.3 4 2.3.4 87 3.45 16 | 4 

7. Es ift nörhig, daß in der angenommenen 
Heibe-S, welche allgemein duch 1 FAx+Bx’+Cx?, 
+ Dx* + eto. vorgeftellt werden kann, die Coeffi—⸗ 
cienten A, B, C, D.i.. über alle Graͤnzen hinqus ab: 
nehmen, damit die Producte wie (€ — 1)8, (x — 1)5 
u. ſ. mw. für den Werth xı ſelbſt in dem Ralle, 
daß S für djefen Werth —OO wäre, (mie, mern Da 


— + * —eic;, wieflih der Fall if) Null 


werben. Daß dieſes aber unter der vorausgefegten Bes 
dingung Statt har, ergellt für das Product (x — 1)8 
fo. Es ift | | 
‚&—1)5 = —ı +(1—A)x + (A—B)x' + (BC) 
+ etc, alfo für x ı | 


—— =— 14 (1A) + (AB) + (BO) + etc. 


Da aber vermöge der Vorausfegung 1, A, B, O .... 
eine obnehmende Weihe bilden, deren legtes Glied bey - 
Kortfegung der Reihe ins Lnendliche verſchwindet, ſo 
ift nach (2.) die Summe der Unterſchiede ( — A) + 
(A—B) + (B—C) te = ı, alfo — 1)8 
=— + 1 2=o, Üben fo wird der Beweis mir 


1 


568° - Summirbare Reihe, 
Houoͤlfe von (2.) für die Producte Kr), ns 
u. ſ. w. geführt, 

8. Es laſſen au nach derſelben Methode auch 
endliche — ‚Reifen Pr. rag man 

— — *“ 5 

z. E. die Neiße — 4% * s+;7 * * + etc 
Ss mit x— 1 ja ſetzt nachher ‚ nachdem das erfle 
Glied des Products, - — en auf die andere Seite 


Der Be aebracht ie s — ſo — 


ren rer trat“ 
in inf, = 


a-+ı 


Nun ſebe man no, fo wird rt ER 


3:4 
’ rent en 


inf. — 1. — dieſer — ſubtrahire man die 


vorige, ſo wird — tut re ie — 


1 
= D—, 


n—pı‘ | 
9. Daß die Summe der Reife ı + 7t7 
+ * 4 etc. in inf., wie in (7.) angedeutet iſt, un⸗ 


1 


endlich groß ſey, erhellt baraus, daß loz * 


Summirbare Reihe. 569: 


— gu M=r+ Ze ++ et tetc, 


| i ee I 
für x ı alfo, een + .eto, 


= log == 108-6 iſt. 


| & iff aber gar feine Reage, daß ber Sogarichme 
einer unendlich großen Zahl felbft unendlich groß fey, 
doch ift derfelbe von einem unendlich niedrigern Grade 
ale die Zahl felbft, und verfehwindee gegen diefe, — 
Hieraus folgt noch, daß die Summe en einer har⸗ 


moniſchen Reibe — + 4 — + — — — 
unendlich groß ſey. „Denn — man ſie ſo aus 
.c{i } 

| at u am are + ee.) fo ift, ’ 
wenn m die IRRE an F if, die einges 


etc, 


flammerte Reihe ><- ei 





* * eiue. 


in inf. Dieſe aber * die natuͤrliche — von 
welcher die m — 1 erjten Glieder, deren Summe ende 


| lich ift, weggeommen find, alfo ift die Summe — 


+ ur + etc, gewiß unendlich — folglich um 
ſo mehr die RICH und daher auch die utſpruͤng⸗ 
liche Rebe + etc. 





a E b > 
10. Die Glieber der Reihe A „B, 6, D etc, 


in (2,) können auch Produete von einer immer größer | 


» 


570 Summirbare Reihe. 


werdenden Anzahl Factoren ſeyn. Dieſes führe auf 

folgende, fehr brauchbare Summation. Ed fy Azı, 

B=b, C=bc, D=bcd. E = becde, u. fi w 

Nehmen nun auch hier 1, b, be, bed, u. ſ. w. über. 

alle Gränzen hinaus ab, fo it | 

(1 — b(I- oO + bi- h + bed( -) 
‚+ bede(t —f) + etc, ininf. 1, 


| m _m-tp 1, 
Ben nun b — —, c= d — 
a’ a+p a+yg 


_m+r .. m-+s F —m 
— — re rn 



































alfo, wenn mir auf beiden Seiten multiplicirt 
| a4m 
wird, a E 
ae emp): Bar 
arp (atp)(a+g) (atp)iatgıa+r) 
Fr etc, = — 
Aa—m 
Die Bedingung, daß das Produet bcde etc, in inf., 
.. m(m+p)(m+g)(m+r)(m+s)...... 
"  aa+p)(atglarn)lats) ur 
a(a+p)(a+g)(a+r).. 
m(m+-p)(m+- Hahn 
| unendlich groß. — wird erfüllt, wenn erftlich jeder 


ver⸗ 


ſchwinde, alſo das reciproke 


‚Summirbare Reife, 571 


2 ® ‚a a+p A 
der unendlich vielen Bruchfactoren — — * 
u. ſ. w. — 1, alſo a>m if, Setzt man alſo 
a—m zur Abkuͤrzung = A, fo muß zweytens 


, A 8: A A x 
Pr. (+2) (+5) GIG — 
etc. in inf. = 09 ſeyn. Nun iſt dad Product lin : 
ker Hand entwicelt ' | 


+ ar + etc.) 


‚ I 1 1 
A: FE —— — — — 
— oi(m-+p) mm+g)" mm) E * 

I. I — | 
Ra re 
— ST rt ee 
4 etc, F — + etc} 


welches offenbar unendlich groß iſt, wenn die Summe 
Me ee I 
+ * — Tr 


I 

— t . 4 

= — mr 4 — unend 
lich groß wird, Wenn alſo a>m, und die Summe 





der Brühe — rar + — * — 

ete. in inf. unendlich groß iſt, fo ift 
EL m(m+p) _ m(m-+-Pp)(m-+-g) 

0 AP (a+P)la+g) (a+p)a+g)a+r) 


’ 


t ‚ etc. in inf. = — 
* 


a—m 


welche Summation um fo merkwuͤrdiger iſt, weil bie 
Brößen P,q; r, s etc. gar nicht in den. Summen: 
ausdruck eingeben, ax | 


572° Gummirbare Reihe. 
RE | j 
ıu Gind m, m-+p, m+g, — age) in 


arithmetiſcher Drogreffton, fo iſt —- ar er Ip — — 


Ä + a etc, in inf, gewiß. unenblich groß (9.). 
Wird alfo g=ap, r=3p, s4p u f. w. genoms 
mien, und a+pPß geſetzt, fo it -- 
| m m({m+p) m(m--p)(m--2p) 
— inf. 
7 TAB hi e PEN — 
* BB 
|  Bp-m 
12. Setzt man in (1.) p=ı, fo entſteht 
m m({m--r) m(m+-1)(m+2) — 
inf 
rn Tr Br 
| B—ı 
B=ı—m | 
wo alfo, bamit die ee nicht .. groß 
werde, A>m-+ı fin muß, 
Nimmt man bier m=ıj5 unb pe n ſtatt P, 
fo . | 





1.33 | 
+7 Tan) — n(n--s)(n+2) 

1.2.3.4 n—ı 

+ ERBE CHET HET + etc, in inf. = => 

‚Hieraus ergeben fih, wenn man n nah und nad, 3, 

4, 5, rer. feßt, die Summen der reciprofen figurirs 


ten Zahlen "von der z3ten Ordnung am fucceffive, und , 
fo kann man noch manche andere Gummationen aus 
der gefundenen ableiten, 


Setzt mar z. €. mp 1 B=p f+1, unb 
— auf beiden Seiten mit ———— 
o w vd | 


Summirbare Reihe. 0,878 
—— 4 1 | 
@+:i +9. (P+2) — irn 


inf. = — — — — \ 
* exe. > (p+1): P+2): .... (p+f—ı) 
Schreibt man bier p-+x ſtatt p, fo wird : 


1 


Grernarer). N 


* —— — 
1 

Br -1 (P+X+1)(p+x+2).(p+x+f-1) 

Dis fo durch Subtraction 


4 etc. in inf. = — 


he 


T 
— BT PHaPHN PH) 
I | 
t7 


i BEN 
— — — — ia — — — — — — — 
— pH) (Pre) —— 


13. Eine dritte Methode ſummirbare Reihen zu 
finden, iſt, irgend eine Function der Stellenzahl n für 
die Summe der Reihe anzunehmen, und das allges 
meine Glied daraus zu fuchen, welches leicht iſt. 
Denn da die Summen von n—ı Öliedern der Reihe 
und von n Gliedern Ähnliche Functionen, jene von 
n—ı, diefe von n find, beider Summen Unterſchied 
‘aber das nte oder allgemeine Glied ift, fo giebt fich fole 
ches. ohne Schwierigfeit. Bezeichnet alfo S die für die 
Summe angenommene Function von n, s die Ahnlie 
die von n—ı, und. T das allgemeine Glied, ſo iſt 
B—87. 


Beyſpiele. L Es ſey S= An? -+Bn, alſo 
ae A dr fo ift Tzz2An—A+B. 


3714 Summirbare Reihe, 


| Setzt man bier m nach und nach 1, 2, 3, eto., fo 
wird. die Reihe A+B, 3A+B, sA+B u. * w. 
eine arithmetiſche der erſten Ordnung, in welcher die 

ve 2A iſt. | 


IL, Es fs 10-1) 


n off 
BEE — — 
ABn Bn’ 7" A+Bın—ı)' 


* 


| er mn. ne 
Kl — (Km Are] = 


AL 
(Alam mBicArndy Wird w nach und nach Mr, 
- AL Al. AL 
— — 4 — — —— — — —— 4. 
A(A+B) ” (A+B)(A+2B) ever 
— — AL Ln 


+ — —— AD 
wo man noch auf beiden Seiten mit L dividiren kannm 
‚Rinne Man n— 00, fo ift nach Divifion mit AL, 


Per 2 I. 
Kan) ° * —— + etc. in inf, = ar 


110 € ſey S=AK", ſo it s—=Ak" ‚und 
T= Ak (k—ı) Dafürn=r, S=T werden 
muß, bier aber S=Ak, T=Ak—A wird, fo muß 
man die Conſtante A, auch von der allgemeinen Summe 
abziehen, und diefe Akr— A annehmen. Die Reihe 
iſt Ak—A, Ak'— Ak, AkS— Ak?, etc. eine — 
metriſche mit dem Erponenten k. 


Dieſes einfache und einleuchtende Verfahren, ſum⸗ 
mirbare Reihe zu finden, hat weſentlichen Bezug auf 
die Differenzenrechnung. 

14. Wenn die Glieder einer Reihe, deren —— 
bekannt iſt, nach Potenzen einer unbeſtimmten Groͤße x 
fortſchreiten ſo iñ die Summe ſelbſt eine Funetion 


Summirbare Reihe, 575 

von x. Da nun die Gleichheit zwiſchen der Reihe 
‚und ihrer Summe für jeden Werth von x, alſo aud 
für x+ 0x gilt, fo iſt die Reihe mir ihrem Differen; 
tial zufammengenommen fo groß als die Summe mit 
ihrem Differential, folglich das Differential der Reihe 
gleich dem Differential ihrer Summe. Sucht man alfo 
biefe Differentiale und dividirt beiderfeits mit Ox, fo 
erhält man eine neue Reihe zugleich mir ihrer Summe. 
Durch wiederholte Anbringung diejes Verfahrens laffen 
ſich alfo_aus einer ſchon fummirten Reihe unzählig viele 

' andere fummirbare Reihen ableiten. — | 


So folge aus der geometrifchen Reihe 


| I 
ULF HN Rt rein... 


auf bie angegebene Weiſe diefe 





IX 


3 + 2x. + 3x? ı 4x3 + etc. .,. = — 
(1 — x) 
und aus dieſer wieder auf dieſelbe Art die Reihe 
246x + 12x4 20x® + etc... _ 2 — 
a ae 





ober: | 
I-+ 3x + 6x 4 1023.2., n = — 
(1x3 


Man erhält hierdurch, wenn man weiter geht, alle 


a en ! I 
Reihen, die aus der Entwickelung von fuͤr 
— De 
ein ganzes n entftehen, und in welchen die figurirten 
Zahlen der verfchiedenen Ordnungen die Eoefficienten der 
Potenzen von x bilden. 


' 15. Das angewiefene Verfahren laͤßt fich auch 
dahin abändern. daß man vor der Differentiirung noch 
mit einer Poren; von x wultiplicirt. Hierüber ſehe 

man Eulers Institt, Calc. Diff, P, II. Cap. IL, 6.21, 


570 Summirbare Reihe. 
et seqq. —, Ferner iſt klar, daß, wenn bie zum 
Grunde gelegre Reihe, deren Summe befannt ift, eine 


endliche Zahl Glieder bat, diefes auch bey den abgeleite— 
ten Reihen der Fall feyn werde. Go finder fich aus ' 
| Kumxatı 
<-ILEI Li. er = zeug 
A 
- wenn man differentürt, und nachher auf beiden Geiten 
mit dx dividirt er — 
— yn u* x 
1I142x4 3xö.... pn ar nr 
— | (1 — x)! 
und hieraus, nachdem zuvor mie x multiplicire worden, 
auf ähnliche Art | 


2 +4X + 9 2... nt | 
I+X—(n+1 —X enn+2n xt ntynt? 


(1i—x)®, 


Um hieraus die Summe 1 +2 + 34 — rn. 
zu haben, muß man x Si fegen, Alsdann aber wird 


der Ausdruck für die Summe = Dan macht daher 


ı—xo, alo 1—-w=x, fo wird ber Ausdruck 


‚ , ‚ n+ı.n n 1.n.n—1 R 
12 23 


| ntın ., 0. 
+ etc.,: alfo für w==o, — wie gehoͤrig. 
I.2 


16. Euler giebt a. a. O. $. 26. eine allgemeine 
Formel, wodurch ſich in mehreren Fällen ſummir⸗ 

bare Reihen finden laſſen. Sie iſt folgende: 

Wenn a 4 4‘x 4 a“xs Lal'xd 4 etc. 8 

und Aa + Afa'x + Ala“x L Alta ete. = Z 

fo ift | | 


x.AA , 08 xt Ara 08 
zer tn ie 
/ | xs As4 888 

| | 1.2.3 a dx5 


v. i. 


Summirbare Reihe 477 


d. i. hat man die Summe der Reihe a + ax Haze 
+ etc,.. und mültiplicire ‚die Glieder derfelben mit 
den gleichftelligen det Reihe A, A’, Afetc... foift die da- 


durch entjtehende Reihe Aa+ Ara Aratxt 4 été. 


fummirbar, wenn die Reihe A, A', Al.. zulege auf 
verſchwindende Differenzen führe. . Der Gap felöft wird 


in, dem Art., Umbildung der Reihen, erwiefen werden. 


Hier nur ein Beyſpiel zur Erläuterung deffelben, 
| . er L J 1 No 
E&fyS=ıH+ * + et — etc. 


— — log — und die Reihe A, At, ar .. die 
x I-—xX | 


der natürlichen Zahlen ı, 2, 3, 4....f0 iſt Ay, 
AAZ 1, A'A und. alle folgenden Differenzen — 


| 05 - J cr “ag 

Daher wird, weil— = — — log — ı _, 
ve | j 0X xx — I—x 
I 


- 


2=1 Territet. > los — 


Ii—xX 
2 I 
%, IX .ı1—x 
“ I 





wie bekannt. | 

17. Moivre Bat außer der Differentintion auch 
die Integration angewandt, ſummirbare Reihen zu fin 
den, Miscell, Analyt, Lib, VL c,ı. Daß diefe 
bier, und wie fie angewandt werden Eönne, erhellt aus 
(19). Wenn nämlid A + Ax + Ale ı A“xs 


+ etc. ⸗ON mo.P(x) die Funetion von x bezeichnet, 


aus deren Entwicelung die Nahe A + A'x + Aug 
+ eto, hervorgeht, fo ift, wenn auf beiden Seiten mit 


rn 


70x multiplieiee, und integrire _ wird, — 


Oo 


— 


- 


578° Summirbare Reihe, 


Alyntı AAxu* 2 A! x⸗ 

—— | + ee = 

npı . n„}2 n a+z 
Jx a-19x,6(x), wo die Conftang offenbar fo beſtimmt wer: 
den muß, daß xm i dx. OE) für xXoO vetſchwindet. 
Man erhaͤlt auf dieſem Wege ſowohl unbeſtimmte als 
beſtimmte ſummirbare Reihen, wie die folgenden. Bey—⸗ 
ee zeigen werden. N u 


Es iſt x * er +: * 4 * 4 — 





log — alſo, wenn man mit Ox auf beiden Geis 
ten — und integrirt | 


— + * — Fri + — + etc. = = log, 


Das Integral Poxlog-— wird gefunden „ wenn man 


ee integritt. Es iſt namlich füx log - — 
xox 


— = sl PR. log =xlg [Z 


* = xlog - _— + Sex - = x —(1-x) log — 


wo. feine. — hinzukommt, weil das Integral 
ſchon für x=o verſchwindet. Setzt man nun xi / 


| in welchem Salle (1-2)log— Null wird (7), fo ent 


ſteht die Heiße + + u. + etc, in inf. | 
Zu Ä Ä 
Auf ahnliche Art wird, wenn man dieſelbe Reihe 
mie x°=29x multiplicirt, nach vollbrachter Integration 


Summirbare X - 679 


— 


SL. Be, 7 DOSE nt ey Ä 
a etc. in inf, — 


— 
Ix— ER - 
— ——— ben + x] - F log ⸗— 





nln 'n-—1t. 


alſo, wenn man x1 ſetzt, 


1 u: Se I t 
at) ar Kara ern 


— 44 24) 


j —ıxı 
ft n gerade und = = or, fo wird log —— 
| n — 


auch o fuͤr x — 1. In dieſem Falle bet man alfo 
I I I 
"art Tzarte) Zarf) tr Jar) 


1 1 I I 





* etc,, 





— — — 


— — — — — | 
2712r 25 — 1 25— 2 


Setzt man aber ii in der vorigen n= “ 














fo ift 
1. ı 
2r 441 2er) + star) — Abe . er 
: 1 1 1 
wet a 


+ j j 
Aus dieſer und der eben gefundenen entſteht * 
Subttaction die neue Neihe 


1 1 | 
— — at et. in — 


— 


ar 21 —1 203 


en 


580 ‚Summirbare Reihe. 


„19, Nimmt man bie vorhin gefundene — 
ar. + * * rt + 5“ r ‘etc. in inf. 


20 23 34 





— do log 
1 


— vor, und multiplicirt auf beiden Seiten mit dx, 


ſo entſteht a ——— — 








— 
| —- #4 —— xt + x5 4 etc. in inf, = = 
‚1.2.3 2; 3: 4 3.45 
I  amaxtıx I 
=xx—-i-+ log — 
1 2 ıi—XxX 


Sit: man hier 1-ax-txx=o, wodurch x=ı 


wird, fo entſteht die Reihe 


1 1 
J 1.2.3 2.3.4, =? 45 — 


Macht man aber 1x0, ao x=—, fo 
R 2 











wird | 
/ i J r 1 1 
u  — — etc. in inf. 

23 823.4 et, .5 ‚32 T 
’ I rar I 
. m — log 2 — — 

| | — * ‚ı6 

d. i. 

Le I = 31 
- — 
1237 2.3.4 u er — 4.5. 6 ae 


N —T — J 
— 2 


.— 


20, Ein Paar Benfpiele von den Verfahrungs⸗ 


arten in (14. ) und (17.) an Meißen, deren Glieder tran⸗ 


feendense Functionen find, mögen bier noch folgen. 


‘ 


Summirbare Reihe 581- 
In dem Art., Quadratur, ‚48. * iſt geheigt, —8* 
109 = = log. sin® + los 66 * log. sep 


I 


‚EUu® Ai > sec+ G=k:.eto. 24 vor: 


I rt $ 2 res 91,247 
Differentürt. man bier. Auf beiden- ein im dividirt 
nachher mit Br ‚fo wird Se 


129 . 
1 r 
Fe +- — ‚ung * + zung 7° — 
+ — wir tc. 


alio, wenn man — zoo ern Sonibir., 
44.) fabceahist, 


| * 2002 = = ung? + Zins + "ing 9 
A N . 


j 2 ne x X 29 51 *4 


‚13 > 4 | +. a tan = Hr; etc, 


wie geile in dem Art., Quebtatut aber auf 
eine andete Art titzten iſt. * 


X 
PR | ..r 4 
* —J dd * 


lg sr: 
Aus Soniometie, 23. it, een, ‚man are 


b=a fest 


I a 


Cosa F tos2a RN cös3a 4 eoaa a? 

— 22 a 

Run 4— amd, li, 2 lu. * Bu 
ſo wirb EC 

| L 
— cosb * — — ni + —— =-- 


it 2— * — u‘ 


ober cosP — 60829 4 039 — —S + eio, = = Fr 


F 
12 — IR Li. *22— 


Multiplicirt man hier auf "seiten Seiten mit 09, und 
integrirt, wird 


| IP 7 Sanmibene⸗ Reihe. 


— — zähe 2 — J — — sin49 = etc. 


= 5 ni = — * 2* | 
wo dem Integrale vechter Hand. des Sleichbeitzeichen 
keine Eonftans bengefügt ift, weil es für PZo, wie 
die Reihe Ülinter Hand ausweiſet, vrſchwinden muß, 


Auf aͤhnliche Art, findet ſich aus 
np —sin2p + sing sing? +e eic. bu 
dieſe Gumendtion,, 

SITE cosa 9 — — ess⸗ 8 N 


2 * | | log: 2 Ei ios cos 


* 21 Ben die lee einer ER Reihe 
bekannter ‚raten. Functionen einer veraͤnderlichen 
* find ,, ei wieder in unendliche nach den 
— Die & roͤße fortſchreitende Reihen ſich auflör 
u laſſen,“ ſo erhaͤlt man durch die wirkliche Entwicke⸗ 
lung und Vergleichung mit der bekannten Summe auf 


einmal, eine — Menge ſummirbarer Reihen. 
—* M 32 nr * 
zöfee man 3 E. in der ‚Reihe . Al BI 


cosQ. — OH, 9339 7 74° cosP,-+ © pt. => 


bie Coſn nus in die ihnen gleichguͤltigen Reihen auf, und 
vibnet alsdann das“ Aggregat naß * Polenen bon 
O, fo wird 

“1 TIXAII, etc. . 


.— 


— — — 


{5 7 . 


wart — — —— 
— 24200 — Hyde 
+. + ohne) : 


"23. 
— 


Summirbare Reihe, 533. 


fſolglich itt 
1-2 141—1 ———— =. 

ae 465 -æ 6 47 —8°’+ — 26; 

—_ 2 - 34 355. Mans ale uk Haze! u za etc, — 
— fuͤr ein ganzes m 

em gem gem 4; + zem — etc, —o 
wie in dem Artifel, Potenz, 58, gefunden ift. 

Eben fo wird, wenn man in der oe 
sinP—sin2P+sin3P—sin4P-+-ete. = = —tang- -9 
auf beiden Seiten bie Entwickelungen in Reihen fee 


oa —2+3—44+5—ete) 
— Wr + te) 
> u 264 ae +5°— etc.) = 
— ats, — te | | 
ı__,\W3C) 24 — B ⸗ 0. (3) 
—— + — 4 os 


| + etc. 
wo BC), BC), BE) u. f. w. bie erfle, zweyte, dritte 
n, ſ. w. Bernoulliſche Zahl anzeigen, Hierdurch wird - 


| (22 — 1) Ber. 
1224 3- 44 5—- etc. 3 4 —— 


| . 2 1)Be) 
1s - 234 235 - 445 etc, — — (2 8 
| GE: 


15 23 - 44 ee Fer) . 
überhaupt für ganze m... ’ Te 
yta-ı — z7m-ı -+ — — — + ‚etc. 
(290 = ı) Be) 


2m 


zu (— )m=1, 


er durchfchnittenen eingebunden, 


54, Summisbare Reihe. 


wie ebenfalls in dem Art., Potenz, 60 und 65 ge 
funden ift. Ä | | 


In Goniometrie, 73, fey b= 48, fo wird 
cosa 7 C093a + cossa -+.cos7& + etc. =o; 


I 
und, wenn man a — macht, 


sind®—sin3P® + sin5 O - in 7 G etc. = 0 
Aus dieſer Reihe folge auf die vorige Arc zu ſchließen. 
1I-3+5—7+9—el,=o 
13 — 33 4 52 — 749 etc.=—D0. 

überhaupt für ein ganzes m | 
zym-ı__ — — — zum + De ⸗ etc. O0, 
Aus der Reihe (Goniom., 147.) J 
coso — C033P + c0s5P — cos70 + etc. =- sec® 
aber 
1’— 324 52 — + gm etc, —=—Jla 
3 + d— 7 +g—eic. = +4Zß 
345° 7° +96 — etc. = — 4% 
etc. | 
= lorn Pf. un T ok 
BONSZIT = * — * —— un 
geſetzt iſt. Man fehe auch den Art., Potenz, 96. 
22. Da die Glieder einer Reihe unendlich abs 
nehmen fönnen, ‚ohne‘ daß bie Reihe convergirt, d. h. 
eine endlihbe Summe bat, wie bei der harmonifchen 


Reihe ı + +++ + etc. ber Sal if, 


fo entftehe die Frage: Woran erfennt man, ob eine 
unendliche Reihe abnehmender Bruͤche eine enbliche 
Summe habe oder nicht? Ä 

Das einfachfte Mittel zue Beantwortung dieſer 
Frage ſcheint die Vergleihung der gegebenenen Reihe 
mit einer andern, deren Summe fchon befannt ift, zu 
feygn. Hierdurch erkannte Jakob Bernoulli, daß die 


Reihe der veciprofen Quadrate der narirlichen Zahlen 


EIER Reihe. 585: 


ı -— z —— — etc. m! ‚inf | ; eine endliche 
Summe. Habe , wei * naͤmlich lleiner iſt; da die 

| Sunime der. reiproken Trigonalzahlen ıi+— +3 
= =+ etc. wol th und —2 iſt. And eben 

lie; daß >bie Summe ber. Je 

fo erde * i 7 + hr = 
0 

+ — — + etc. in inf, unendlich ſey⸗ weil außen Kara | 
— jedes Glied derfelben größer iſt, als das — | 
flellige in ver naturchen barmenigen Nabe I + —_ 


+2t+7 tan | a Eur, 3 
* .r ; ..“ 9* 7 Te ur TeZr 

ui. & — 2 d drc eine ſolche Geröfeichung ke 

Graͤnzen finden, zwiſchen denen die Summe einer vor⸗ 

gelegten Reihe — iſt. Zum Beyſpiel diene die 


fi. öyge) 12 fi I : 2 
Reie, ı mn + etc. ‚ober + 
- at 5,’ 1:7 9%. u; I) 2* 1 IT: 
Er — — ete. ‚Diele mit dee Reife + 
| ; 505 


+ En 2 — deren Summe (wie ſich aus (et), 


wenn man. dorf m 1,: — B90 macht, und 

nachher auf beiden Seiten mit — multelichy, er 
I = 00227 . 

agitı) = — A Sertigen 2 zeigt nf, daß — 

4J — * Ai 


zn 
— gJa + tete > if, wahinis > | 


— 


sss Surmiirbare Reihe. 
2:8, L 
— u. w. Gene iſt 553 


nö 


11 
a 
El 
= 
&| 
a. 
En 
8 
= 
A 
un 
"03 


ofgl — — a. 
| g lid — = = 


+ 1 + etc )<: < — — -<? fg daß —— Pu ⸗ 


— er 27 E47 


—* der Werch ter Borggeenen ‚Neiße, if, fen, 


a 


Man kann auf biefemn Wege, wenn man von beis 
den mit einander verglichenen Reihen eine gleiche Anz 
zahl. Glieder vom Anfange an. zufammenrechner, einan⸗ 
der. viel. näher fommende Gränzen finden.‘ Nimmt) 
man z. B. von beiden Reihen die, erſten sein ger | 


Ä infanmen, fo Getragen folche bey det A — + — 
13 25.7. 


ne etc. oral a ber Rabe — tes | 
hingegen 0,487805, alfo die übrigen Slieer ber = 
Reihe vom zıten an N — iſt * 


L — tn # etc, ——— + ooratos 
d. i. *— Q, — — nf O, 172906 + =. 
43 . . 


9012195, d. i. < 0,785668. Yan 


Summirbave Reihe. 687 
NMaclaurin „bat in der Vergkeichung mit der har⸗ 
moniſchen Reihe ı 17 in -+ 7 + z + etc. .oder 

. A 4 r — ; + 5 ... 2 PR | * 


; d > ) c 7 ©- i 2 C ‘ 1 3 
: der allgemeinern — + — + — +..ete 
auch gem tr F II feis 


ein Mittel zu finden geglaubt, die Convergenz jeder, 
Reihe abnehmender Brüche zu beurtheilen. Er ſagt 
naͤmlich, (Treatise of fluxions art. 362) daß, wenn‘ 
A,-B, C drey hinlaͤnglich weit vom Anfange entfernte: 
und auf einander "folgende Glieder der Reihe find, und, 
A- A—B | ABTEI a, —4 


‚lb » 


| J  - 
Demut — — eto. der 
| ek gi 
Rat ift, von welcher Euler (Introd, in Analys, inf. 
Lib. I. cap XV?) gejeige hat, daß ihre Summe uns 
endlich fer. Denn obgleich das Geſetz des Korrgangs 
der Primzahlen nicht, genau, befamut iſt, fo ift doch au— 
fer Zweifel, daß jedes Glied der Reihe — — | 
+ = + eic. Feiner ſey als das gleichitellige in der 


| DE: SR, Bene | 
Reihe = Fo —+etc, 
TE a Yale 


an Gliedern daalben ns dam nten, 2 


588: Surmmirbare Neifer 


7925. In einer Abhandlung: De] progressioni. 
bus harmonicis obseruationes, Comment. Petrop,, 
T. VII. giebt Euler als Merkmal, daß die Summe’ 
einer unendlichen Reihe abnehmender Bruͤche endlich 
ſey, folgendes an. Eme ſolche Reihe, ſagt er, hat eine 
endliche Summe, wenn, indem die Reihe uͤber das 
Unendliche hinaus fortgefuͤhrt wird, , dadurd die, 
Summe feinen’ Zufag erhaͤlt: gegentheils ift die Summe‘ - 
unendlich, wenn, Durch Fortführung der Reihe über das 
Unendliche hinaus, „ein Zuſatz aan, xnhlicher Größe iu 
der EISRONE ſich ergiebt. 


So parador dieſes auch klingen niag, fo eichlg, 
i rs wenn es gehoͤrig verftanden wird. Druͤckt man 
es fo.aus: Wenn die Summe von; fo viel Gliedern 
der. Reihe als man, nur. will, je weiter das erfte derfels 
ben vom Anfange der Reihe an ‚genommen wird;: deſto 
kleiner wird, und, ‚bey. Bergrößerung jener Entfernung 
über alle Sränen hinaus, unendlich abnimmt, ſo iſ 
die Summe der Reihe endlich, im Gegentheil unends 
lich; fo ſieht man leicht, daß die ganze Behaupfung 
nichts en als der entwickelte Begriff ber Conver⸗ 
gen; iſt. 


— Bert biene "die natirlche —— 
Rahe gab ——— et. Die Summe son 


7x L 

eu. = if wegen der. Seftänbigen 

nd 1). 
ni 


I 
gu n-+ 2 
Abnahme der Stier > 








si > a a: 


Ss. — Der Ausbruck ı 1 —— ir was auch i ſeyn 


mag, — es nicht u werden — allemal endlich und 
Porn: Alfo ne man mag: auch fo viele Glieder der 


‚Summivbare Reihe, i «589 


Reihe vom Anfange an zuſammengerechnet Haben: als 
man will, immer ein Zuſatz von .endlicher Größe zu der 
Summe zu machen übrig, diefe kann fich daher Feiner 
beſtimmten we nähern, und, iſt folglich unendlich. 


Noch mehr erhellt diefes, wenn man die Eigens 
‘fchaft jever harmoniſchen Proportion, nach welcher die 
Summe der, beiden äußern Glieder, größer ift, als das 
doppelte mittlere, zum — legt. Hieraus folgt 


1 
‚nämlich, daß die Summe —— rc 











1 2 

Siſ ꝛ fr nd — ı) * i. 
2ni—1) es) 

"ad+n En nitı,de | 


Dan kann alfo, wie weit auch das erfte Glied * J 
1 


vom Anfange der Reihe genommen werden mad, von 
‚den übrigen, indem man nur 14 fegen darf, immer 


noch ſo viel dazu nehmen, daß die Summe — 
| n-+iı 


i \ LU: J t _ 
+ — +iete....+ ni mehr; als u Beträge, und 
da dies ohne Yufhören geſchehen kann, fo folgt, daß. 
die Summe der Reihe ı ++ -- etc, in inf, 
feine beſtimmte Gränze bat, fondern unendlich iſt. 


24. Da es indeß in andern Faͤllen nicht ſo leicht, 

wie in dem vorigen, ſeyn moͤchte, die Ergaͤnzung der 

Summe von irgend einer beliebigen Anzahl der erſten 
Glieder einer Reihe zu fhäsen, ſo bleibt freylich die 

Dergleichung mit einer fummirbaren Reihe immer das 

fiberfte Mittel die Convergenz oder Michtronvergenz 

“einer Reihe zu beurtheilen. Diefes Mittel hat Gauf 


‘590 Summirbare Reihe. 


auf eine ſehr feine Art zu brauchen gelehrt. In ei: 
ner r Abhandlung: Disquisitiones generales circa st- 
| 26 RER) BB, 
| ya at 
„sat Da+2) 2) BB + 1XB+ 2) — 
En VE 23— . 
“Commentatt. Goeitingens. T. II. theilt er da, 
wo bon der Summe jener es m ‚den = 2}, 


‚riem infinitam 1 rn 


“sh 


die Eonvergenz oder — — —— mit, 
wobey eine Reihe von einem ee Gliede an, im er⸗ 
mm 4 1) 
| at Fern 
+ etc, im letzten mie der nariielichen harmonifchen 
verglichen ‚wird. « Die Säge felbft find. folgende, 


Wenn M, M’, M', M'4,,., die Glieder einer 
Reihe find, welche" ven Stellenzahlen m, m-+1, 
m+2,m-+3 beziehungsweiſe entſprechen/ und der 
Quotient 

Mm _ m + Am’=7 4 Bm}? + etc. 
M mar amı-ı + bin? + etc. 


DL 


ften Falle mit der a + 


Me mw M' 
in die folgenden aber 7 ——, etc. aus entſtehen, | 


M 
’M' 
"wenn darin mı +1, an 3 etc. an die Stelle von m 
geſetzt werden, ſo werden die Glieder der Reihe M, 
M'‘, M', M'" .... je nahdem A <a oder >a ill, 
menduch abnehmen oder wachſen, in dem Falle, aber, 
wo A —ıa iſt, einer beſtimmten Graͤnze ſich näheren, 
Ferner wird in dem Falle wo Aa ift, die Summe 
der Neife M-+ M' ++ M" + M“ + etc. in inf. 
entweder endlich oder unendlich feyn, je nachdem 
a—A>ı oder nicht >r iſt. Wegen der Beweife 
dieſer Säge muß die Abhandlung ſelbſt nachgefehen 


Summirbare Reihe, 591 


‚werden: bier wird ed: genuͤgen ‚ fie an einem und ans 
derem. — zu erläutern, 


1.1  '10217.3.3 

ih ey + 7 — — 

* ——— — 

—— re. Heil | " am(2m+ı) 

4mm—ı4m-+ ı —— alfo al; 
 4umfp4m :  mm-m 

a=ı, und Aka, folglich — die Glieder der 

Reihe unendlich ab, und weil a— Aa, r. ift die . 


„Summe der Reihe endlich. Sie iſt naͤmlich —r ; wo 
* der balbe Kreisumfang für den Halbmeſſer, Eins, iſt. 





— a 
II. Die dabe ſey 1 + du + > Sr de 


2.4.4.6.6 ® M' _2m(2m-++-2) - 

— — etc. Sie — Zu 
DER Sch Fr (am + 1) — 
“ mm m 


| mmtm+7 it Aa Die Glieder neh⸗ 
mer alſo zwar beſtaͤndig ad, nähern ſich dabey aber. 


einer gewiſſen ge — — en — iſt. 


3.5, 3.5.7.9 3.5.7.9.11.13 
1m. el e 
Die R kat, 2 aa asdand | 


— —— 16mm-ı 
+ etc, 2 —* Mm ame 16mm. 


& alſo Aza=o, Mithin wachſen die 





__ mm—y 


mm — —4 
Glieder beftändig, — ſo, daß ſie einer gewiſſen end⸗ 
lichen Graͤnze ſich naͤheren, aa vaif, 


692Sunmmirbare Reihe. 


25Wenn eine Reihe nach den Potenzen einer 
veraͤnderlichen Größe x fortfchreiser,; fo kann nur die 
Frage feyn, für welche Werte von x die Reihe con 
vergire-oder nicht. Diefe laſſen ſich durch das. Vorige 
nicht beſtimmen, obwohl, wenn ein gewiffer Werth 
von x angenommen wird aber gegeben iſt, die Eonvers 
genz oder Michtcondergenz der Reihe häufig nad) den 
' obigen Saͤtzen beurtheilt werden kann. Einige Bey: 
° ‚fpiele moͤgen das hierbey zu beobachtende Verfahren an 


’ x xx .'x> x*+ 
deuten, Die Reihe 14 = + — + 


1.2.3 ' Lad 

"+ etc, convergirt; wenn auch, nicht gleich anfangs, 
doch. zuletzt gewiß für jeden endlichen Werth von x. 
Diefes: erhellt fo. Ä a u a 
' Das nte Glied -diefer: Reihe nach dem erflen if 


ar ;’ — J F BR 
—; für ein unendlich großes n aber 1.2.3.0 = 
1.2.3...N — — — 
n"tIıfor 2* — 

* „wo e bie Grundzahl der natuͤrlichen Loga⸗ 
rithmen anzeigt, wie in dem Artikel Summirung der 
Reihen, bewieſen werden wird. Dadurch ergiebt ſich 

nr 


x Rt eG (E a 
— 1.2.3.m, nutiyaor «Var " =) "n"' 
\ exN\Nn —F— 
wo beide Factoren (7) und er unendlich klein 
ſind. Alſo nehmen die Glieder der Reihe fuͤr jeden 
Werth von x wenigſtens zuletzt unendlich ab. 
Daß aber die Summe der Reihe fuͤr jeden Werth 
von x endlich fen, läßt ſich ſo einſehen. Wenn x klei⸗ 
ner als z ift, ſo nehmen die Glieder der. Reihe ftärfer 
ab als im Verhaͤltniſſe 1:x, daher iſt die Summe 
der Meihe Eleiner als die Summe . der abnehmenden 
geomerrifhen Reihe aux ++ x r eic. alfo 
RE: * 431 Be, 
<<. Mı=ı,pilıyıt = +, 


1 — x 

















Summirbare Reihe 598 





+ eto. Parse or + En 
23.4 


alfo.& 3. Iſt z>r,-fo fen r- die * auf welche zu⸗ 
N kleiner iſt als x, und es iſt be — = a2 + 
er — + 


1.2, T 


— | 


a Br N sie: Glieder in der 
+ ErerDer) — 
eingeflamimerren Meihe‘ ſtaͤrker als in dem. Verhaͤltniſſe 
von er + r:x abnehmen. Alfo iſt die. Summe detfelben 
Eleiner als die rue der A geometrifchen : 


BETT * re re re —— 
— Daber iſt die Summe 


RT r+1 
Kerne ‚t+1= 
| der urfprünglien Reihe = I +x 7: sr + , = 


* > 2: 8& 
+ E e— alfo nt nis, 


Die Reihe 1 = x + — 4 4 eto. if 


1,23 
alfo in jebem ‚Kalle zur Berechnung von e*, wovon fie 
die Entwickelung iſt, brauchbar, obwohl nur für die 
Werthe von x, welche nicht er I find ‚, bequem. 


Die — m x +2 2 — 


1.2 3.. DI x" 
— .Aus dem Art., Binomial⸗ 
5» 7. “edh, 2n — I n 


Gore, 15., folgt, 2.4 — ein unendlich großes nn 
2. . DL 
—— — vn dierdurg wird das 


— 
3 .5.7 . ... 2 — 1 aa 






594 Summirbare Reihe;; 
Ad 


| | R = 
unendlich vielte Glied der vorigen Reihe =(2 j ur 
2 nyn 


welches offenbar, ſo lange x nicht >a ift, unendlich 
flein if. Der Wert x2 mahr alfo die Gränze, 
über welche hinaus die unendliche Abnahme der Glieder 
aufhört. Daß aber für x2 die Glieder der Meike 


M' 
unendlich. abnehmen. ’ zeigt auch der Quotient — (man 


f. Bier, 25 ), als welcher fuͤr die gegenwaͤrtige 1e Heiße, 
mm 


r den Verb x 2, — — iſt. ⸗ 
und fu Ze zZ —— ir Zu— 


gleich erhellt daraus, daß a—A—=; folglich > if, 


die Endlichkeit der Summe der söne Ende fortlaufen⸗ 
den Reihe. 


Die Reihe ſtellt Arien die Hälfte des Qua⸗ 
drats eines Kreisbogens dar, deſſen Querfinus, den 
Halbmeſſer für Eins genommen, x ift. Da es feinen, 
größeren Sinus verſus als 2 giebt, fo wird begreiflich, 
warum die Neihe für größere. Werthe x als 2 dis 
vergirt. Die Divergenz zeigt bier WE Unmöglichkeit 
der durch die Reihe vorgeftellten Gräfe an. 


“m 26. Wenn die Glieder einer Jeihe mir abwech⸗ 
felnden Vorzeichen a—b+ c—d#Fe etc. unendlich 
abnehmen, fo erhellt ohne Mühe, daß die Summe der 
Reihe endlich iſt. Denn es ift, wenn s diefe Summe 
bezeichnet s <a um >a—b; ferner s<a—b+c 








und s>a—b+c—d ı. f. w. wo die Öränzen, zwi⸗ 


ſchen denen s liegt, immer näher zufammenrücken, und 
um weniger als eine gegebene Größe verfchieden. werden 
fönnen ‚. Daher. s ſich felbft einer gewiſſen endlichen 
Graͤnze nähert, welche die Summe der ohne Ende 
foregefegten Reihe iſt. 


27. Cauchy har ſich auch mit lUnterſuchung 
der Eonvergenz der FL befhäfftigt, und barüber 


Summirung der Reihen. 595 


Chap, VI. vorgetragen. —i2 :.-j no, rg 
Summirung der Reihen. ift der Inbegriff 

der Verfahrungsarten, wodurh aus dem "befahnten 
Gefe der Bildung einer Reihe von einer endlichen 
oder unendlichen. Anzahl Glieder. die Summe: derfelben 
gefunden wird, Da es nämlich Feine ganz allgemeine 
Methode zur Summirung der Reihen ‚giebt, fo kann 
nur- von Verfahrungsarten in der Mehrzahl die Rede 
ſeyn. Bon diefen Werfahrungsarten werden die allges 
meineren, welche auf "mehrere Arten oder ganze Klafs 
fen von Reihen anwendbar find, den Gegenftand des 
gegenwärtigen, Artikels ausmachen. Die. fpecielleren 
Derfahrungsarten zur Summirung arithmetiſcher und 
geomerrifcher Reihen find in den diefen Reihen befone 
ders gewidmeten Artikeln vorgetragen, J— 


1. Ein elementariſches Verfahren zur Summi⸗ 
rung unendlicher ſowohl als endlicher Reihen iſt die 
Zerlegung derſelben im andre ſummirbare Reihen. 
Hierdurch laſſen ſich unter andern ale Reihen ſummi⸗ 
ren, welche entſtehen, wenn die Glieder einer arithme⸗ 
tiſchen Reihe irgend einge Ordnung folgweiſe in bie 
Glieder einer geometriſchen, fleigenden oder. fallenden” 
Reihe multiplicire werden. Die einfachften Reihen dies 
fee Are entjtehen, wenn bie‘ figurirten Zahlen irgend 
einer Ordnung folgmweife in die Glieder einer Yeomes 
trifchen Reihe multiplicire werden, Diefe Reihen ſelbſt 
fidı Fr + + rt rt ete; 1 + or 4 31 + gr? 
+.etc;5 ı > 3r + 6r? + ıord + etc; 1 4r + 
10 >2zod zecz;ufw. Die Summe der ers 
ften, welche eine fimple geometrifche Reihe iſt, ift be⸗ 


| — | 
fannt, namli = — Auf ſie wird die Summe 


der zweyten Reihe, auf dieſe die Summe der dritten 
u. ſ. w. zuruͤckgebracht. Die zweyte Reihe laͤßt ſich 
nämlich in folgende zerlegen | 


mehrere Saͤtze in dem Cours d’Analyse, Part. I, 


596 Sumnmiruns der m 

i uhrteteteten! deren Summe = —* gie 
1—Tr 

* Unrecht Bin tn 

Ir ee 1— 

erichrt + etc PR SE EDEL ne — 


„++ et une En 





‚tete Bee Ve - 
Kr 


+ etc.. .. + etc. 

eg —— die weyt⸗ der Partinleeifen — — 
+ — 4*4 etc.), alſo kommt ihre Summe, 
Be die’ Der erfteh mit x multiplicire wird, Eben fo 
ae jede folgende Partialfumme aus ver naͤchſtvor— 
hergehenden. Daher bilden die Partialſummen ſelbſt 
wieder eine gomesifhe Be mit dem en * 


iin und, bie Totalſumme wird — BET Ui, 
wer = on 


Die dritte Reihe —* ns in folgeride zn 
tert Fr 
R I—r)® 





EEE zis 4 ar· sr + ete = —— 
aus (i-r)* 
u)! a 
ER. art si Ro etc, — — 
— Zur Hertha 4 = 
a * . ++ 316 + dc = 5 
Ks — 
x 
r6 
. (i-r)* 





— FR: + + 2r3 + etc, = 


"+ ‚etc. = 


Summirung der Reihen. 597 
wo bon den Pettiolfunmeg das vorhin bemerkte ‚gilt, 


I u 1 * 

Die Totalſumme it 5 — — = “ 

2. Die — Summen * vorigen Reihen 
laſſen ſich auf ähnliche Are finden. Kuͤrzer erhaͤlt man 
ſie dadurch, daß man die unendli Summen von 
dem Gliede an, welches zunaͤchſt auf dasjenige folgt, 
bis mit zu welchem die Summe verlangt wird, führt, | 
und folde von den eben gefundenen Summen abzieht. 


Soll z. E. die Summe der erſten n Glieder der 
Reihe 1 + 3r + 6r°-F ıord + etc. gefunden werden, 
fo muß von der vorhin gefundenen’ Summe ber ohne 

2 
forfgefegten Reihe die Summe diefer — — rj 


F 


in inf. — werden. Nun * jede Triangularzahl 
die Summe aus der ee und der 
Stellemat , alfo 

re, „ei 





— = 2“ J 
—— tat) — 
1.2 A. 2 ? 

’ u ne) ana 
++ _ (a+2)(m+3) + rs 
1.2 1.2 
„N — n+6 
etc. etc. — 


— Sie zerfällt: alf än-biefe drey 


rat, ‚seid + etc, — 


598 Summirung der Reihen, 
| En w+r+ rt RR 25 + etc. in inf.) | 
+ | "ner ar + 37° +15 * ei, in inf.) 
. re 7 2 se 6? + 10r3 + — in inf.) 
4* nat) fa rr 


deren Summeii find a BE RN 
en Sunmen a 


| Daher iſt 14 37 ꝓ6r Piorsꝓ.. nr ga 





| 'n(n+r) z or 
7 — . Sit +, ' 
In nr" 1.2 ei 
— — — —— — — —— — — J 
(ven: (don Sir tn 


Man wird Bieraus leicht den Schluß ziehen, daß 
bie Summe der. Reihe, welche entftehe, wenn die n 
erften figurirten Zahlen von der Ordnung m(r, ı, 1, 
2, etc. für die Zahlen der erften Ordnung genommen) 
beziehungsweife in die m erſten Glieder der geometris 
ſchen Reife ı, x, 1°, 3 u. ſ. w. multiplieirt werden, iſt 





—27 

Ir 7° X. Br ı Mir" 
tn — — — — eto. un 
(17% G —— — 


wo A, B, €... M die m—ı erften Eoefficienten 
aus der Entwicelung von ( — 2)** find, » 


| Wie hieraus die Summen für. den Werth rı 
abzuleiten find, ift in dem Artikel, Summirbare Reihe, 
1 5. gezeigt. 3 


3. Da die Potenzen der natürlichen Zahlen ſich 
aus den figurirten Zahlen zuſammenſetzen laſſen, jede. 
Quadratzahl nämlich aus zwey zunaͤchſt auf einander 
folgenden Zriangularjahlen, jede Cubikzahl aus drey 


Summirung der Reihen. 1,59 


nächft auf einander: folgenden Pyramidalzahlen ‚je. 
Biquadrat aus vier naͤchſt auf einander folgenden figus 
rirten Zahlen der zten Ordnung u. ſ. w., indem 
. we | 
— nin+n) — 
— Au ur we 


2 ⸗ ä ‘ | | | 


12.3 = 4 SR Sir WERE: Sc IS 
nı= | J | — 
n,,.(n n-1)..1n#2 ."in—)..(n-rI 

a4), „9 e+2), „et 

Le 1.44 IL....4 
| der (n-3),....n 
; —— 
K Ice 4 
u. ſ. w, j 


fo ſieht man leicht, wie die — der Reihen 
1° + 2!r + 397° + 4975 + 5’ + etc, 
13 + z3r + 337? + 4d13 + 5’rt + etc, 
ı* + 2° + 39 + ar? + 5’trt + etc, 
1 ſ. w. die unendlichen ſowohl als die endlichen ſi & 
vermittelft der vorigen SursmiNnngen beftimmen allen: 
Es wird nämlıd) 
ıFr z 


EERTIRFI TUT etc, ininf, = | — | 


h 8 
Höre Heat etc. in one 2 te 


! ’ mL 
— 81742 s6r34 62 5 ri} etc, in einins = 
L—HF, 


um 


Die enbfichen Summen’ einer jeden ‚diefer Meis 
= werden aus der unendlichen Summe . derfelben ' 
Reihe und aller vorhergehenden, wie es auch in (2) 
der Fall war, jufammengefege, lm dieß kurz zu über: 


* 


600 ° Summirung der Reihen. 


— 


ſehen, bezeichne Sx".r*: die Summe: der unendlichen 
Reihe 1", r +2”, 2° + 3”, rd + etc,, Sn“, r” aber 
die Summe dern eriten Glieder derfelben, fo ift 


| Ex, r = Sn=,r? + (n-+ ı Jurnt2 + (a+2)®rr+2 


+ (vn +3)"mt3 4 etc, in inf, 
db. i., wenn man (n 41)*, (n+?)", (n+3)" uf. mw. 
nach dem binomifchen Lehrfage entwickelt, und * 
Euler die Vinomnalereſſicientn zur mten Poten; nach 


“re EHE] 


bezeichnet 
= Sn," +n= CH HrtrH etc ininf,) 


+ [> (rar? + 3173 + 4% + etc. a 


+[7] n”—2 ; (1° 2 °.1r°1 3 %.r3 24° »rt.Letc ininf .) 
1 2 | 


+ 


+ 


+ [=] (19, r42®.r04 Ei 3 a 227 etc. ininf,) 


* snsarr(a. 8xo.r* +: } n®=Z, Su 


+ 6 na72 5x? rx4 [3 jes Sxt.r* 


+ or... + [=] 0 sn) 
Hieraus ift 
Sn" Sx”, r— 28 (ehe 1 Sxa r* 


+ [-e*. Sx’ rt (Ze. x. r* 


’ 
i + [www — 8x8r⸗ 
ut tee + [2] 5 


—— der Reihen. 601 


Die hier vorkommenden unendlichen Summen Sx .r”, 
Sx*.1“, u. f. w. find die vorigen 1 — 2r + 31% 4 ar3 
+ etc., T+4r+ gr? + 10r3 etc, 1+8r4 277° 
4 6gr Feed, fe w. mig r multiplieire. - 
| 4. Es ſey allgemein die Reihe a en ar + 
urn etc, in inf,, ‚von welcher die Coefs 
ficienten a, a’, a’, a’, etc, eine arithmetiſche Reihe 
der mten Ordnung bilden, ju fummiren, Bezeichnet 
man nun die Binomialcoefficienten wie in (3), Ans 
fangsglieder der Differenzreihen aber durh Di, Dr. 
D®), fo ift (Arithm. Reihen höherer Hrdnung, 7.) 
das allgemeine Glied unferer Reihe, deffen Stelle nad) | 
dem erften durch p ausgedruͤckt wird 


"CsEps Ep. [0 


Setzt man hier p nach und nach — 0, 1,2, 3.00 
etc. , fo wird die tongegebene Relhe in —— Be 1 
Partialreihen zerlegt 

a 4 ar +ar + arꝰ + a 4 ar’ + etc. 
+ Dir + 2Dier + 3Dii? + 4Dirt + 5Dir5 + etc. 
| + D"r®.+ 3D"r3 + 6D’r4 + 10D’r5. = etc, 
+D"B+ 4D’'r4 + 10Dr5 + etc, 
| + D'n4 4 5 Drugs 4* etc, 
"Dune } ec. 
Fee 

[4 





Die Summe der eriten iſt — der zweyten 
ae IT — Ci —⸗ x) 
ra 


D‘r . . 

der driften Ga seo» ber letzten oder — ı)en 
De)m 

pe" Daper iſt die Summe der Borgegebenen Reihe 


a Dir Dir: Dir: 





— — 


Ir (er). (or | (ort 





ers 


- 


602 Summirung der Reihen, 
+ Gar’ Man ſetze ſie = 
A+ArTTAE +. FA e 
ee ——— Bringt man num 
alles auf einerley Benennung, fo erhält man zur. Be 
ftimmung der Coefficienten A, Al, A.... folgende 
— —— 


en 


vo [il 


Au — D! BE D’ E= [2]: 


KI—Dt— Ban, + 1; _ F] 
überhaupt 
AO = DO— J Fr Ina 4 — + "oo 


nn —— + [-]. 


wo die oberen Vorzeichen für ein gerades A, die unteren 
für ein ungeradeg gelten, 


Um in den Ausdruck. diefer Eoeffcienten wieder 
die Glieder der Reihe a, a“, a“ u. ſ. w. einzufuͤhren, 
iſt aus — Reihen hoͤherer Ordnung, 2.) 





— — — a 
De = al —2a’ ra 
Du all al zalma, 
. * 5 4 
® 4 + * 4 


* 


Do — a * 5— — .. 


1 
: ale: 5 


| Summirung der Reihen. 603 


Die PR Vorzeichen für ein gerabes A, bie unteren 


für ein ungerades genommen. 


Subſtituirt man dieſe Werthe in dem — 
fuͤr AR), und ſetzt den. dadurch hervorgehenden Ausdruck 
von AO) = am) — c/ald-ı) + CH a2) — cla5) 4 

7 coa“— cMa, wo die oberen Vorzeichen 


für ein gerades A, die unteren für ein ungergdes gel⸗ 
ten, ſo iſt | 


= 
Pa a ae 
e=[; — FF 


—* 
| m-A+3 
3 








überfaupt 


=]: er top - 


— + mATort —— F 


0⸗1 




















Dieſer Ausdruck für c(e) läge fih noch weiter zuſam⸗ 


menziehen. Cs ift nämlih aus dem Art. Binomial: 


cöeffieienten, 22. VII., wenn man die dortigen Bes 
zeichnungen in die eg umfeßt, 


—— 


66 


Setzt man bir — 6, — a. ſtatt B, a, ‚welches ver⸗ 


ſtattet iſt, ‚und verwandelt alsdann die Coefficienten der 


— 


— 


% 


604 Summirung der Reihen 


negativen Potenzen in die ihnen gleichgeltenben der. po⸗ 
ſitiven nach der Formel 


ee] 


wo das obere Vorzeichen für ein gerades, das untere 
für ein ungerades g genommen wird, ‚fo-erhäle man 


B+n-ı B-+tn-2] pa - 

Er He 
A nn 

Macht: man nun fen=o, Btn—ı=A, a 


=m—A+1ı, fogi aß +n—ı=m+r, 


ru wird 


5 -ej2]: 

















EN u —t 7 | 
G—1 
— [* ıW 
| alfo | 
c(e) — — 
Demnach iſt 
AR) = a9) — 





De» + —— -/- = 7 ads) +. 
er; + [I ] 


— 1 

5. ‚Zu dem eben gefundenen Reſultate gelangt 
man n kürzer ‚ wenn man die u. Reihe a + ar 
+ a’'r + a“ x5 4 a““xi 4 aa) ri + etc. mif 


Summirung ‚der Reihen. 605 


(r—r)etr multiplicirt, und das Product = * — J 
+ Alte + AS 4 etc. ſetzt. 

Um alsdann AR) zu finden, darf man nur die Glie— 
ber der Entwickelung von (1-r)"** vom erſten an bis zu 
dem, welches in x? multiplicirt ift, in umgekehrter Ord⸗ 
nung unter die Glieder der Reife at-ar +a'r ... 
tar? + etc,-feßen, und jedes untere Glied in- das 
. barüber ſtehende multipliciren, fo erhält man. alle Pro: 
ducte, welche in 1* multiplicirt find, und ſo den vori⸗ 
gen —* für AR, 

— | 


A+z) wird hiernach 
m-4 
9 ta 


ES Er, — am) + re 

— = 

wo das ‚obere Vorzeichen für ein ungerades, das un: 
tere für ein gerades m. en und Die legten Koefficienten 


nach der Formel E —]= DZ .J an⸗ 


ders ausgedruͤckt ſind. 


Da aber a, a“, a”, ... in einer arithmetiſchen 
Meihe der mten Ordnung find, fo iſt (Arithmetiſche 
Reihen hoͤherer Ordnungen, 5) der in der vorigen 
Gleichung, rechter Hand des Gleichheite zeichens ſtehende 
Ausdruck, und alfo auch Art) — o, und eben fo 
Amt2), At3) u. fm. =o, fo daß AMIrm das 
legte Glied des Products ift, 

Wird diefes Product nun wieder durch — 
dividirt, ſo entſteht | 
a 4 alr 4 ar? + ar + arg ‚}p ‚etc. in inf. 

A'+ Alt + Alt te... + Alm)rm 
*— er (1 — r)atı 
welches mit dem vorhin gefundenen ER 





+ 


‚606 Summirung der Reihen, 


6. Iſt das allgemeine Glied a?) ber Reihe 
a, a', a”, etc. eine ſolche Function der Stellenzahl x, 
"welche für x = o verfchwinder, fo ift, wenn man o 
als das Anfangsglied der Reihe anfieht (und das darf 
man in Beziehung, auf die me beftändige Differenz, 


oder noch höhere), die (m-+ ı)re Differenz, d. i. 

a) — Ed + [> ee» si. 

| 1 Be er ! 
Ä | + 


m-+ 17], 
auch =0,di., AD =o. Tin diefem Falle bright 
alfo_das Product in (5) mit Alm-ı)rm=z ab, weldes 
zugleich das höchfte Glied des Zählers iſt. 

7. Die mten Potenzen der natürlichen Zahlen: 
reihe 1m, 2", 38, etc. bilden eine Reihe der mten 
Drdnung von der eben angezeigren Art, daher it 
ı® 1 gmr + 3%, 72 + 4®.15 + etc. in inf, 

_A+ArT+Ar+AUP@r 44Acd-iyrro 
BR | . (= zjut2 





wo ..° 
A ——- 
A 2 28 — — I” 
I / 
+17 +1 
au 23 |. —— [19 
ae, 
Ar = mm * (m— 1)" 


| + Fle-9—.- F >=] 


. P m 1 


Summirung der Reihen 607 


die oberen Vorzeichen für ein: ungerades, bie unteren _ 
für ein gerades. m genommen. 


Hier find nun noch .die Coefficienten, welche vom 


erſten und legten gleichweir abſtehen, einander: gleich, 
naͤmlich A= AM), 2 — : A(®=2), Au A(a-3) 


few. Denn für * ungerades m. iff, wenn man 
den Werth von am rickwaͤrre ſchreibt 


AUD— A— — 1— —— 


. 
| * — Be ed ni + mm, 


d.i.=o, weil (ı)n, oO", m, . Glieder 
einer arithmetifchen Reihe der mten Da find, 
(Arithmet. Reihen höherer Ordn., 3), - Iſt m 2 gerade, 
fo iſt auf eben die Art BE a 


| KA (-1)— 2a? on. 


»BE-Erje 


m-+ı 


..+ — mu)" — m", 








und aus gleichen Gründen =o; alſo iſt beiden Faͤllen 
u | 

Auf ähnliche Weife erhellt, daß —E Ac-2), Zu 
AYZAC) u. ſ. w. Iſt alfo m ungerade, fo giebe 
ed einen mittelften Eoefficienten, welcher ift AI 


. Alles diefes kann man fich an den in 1) sufsefüßeten 
Summen erläutern. 


Setzt man rm, und Täße m erg 
| =3p fern ‚ fo wird 


x 


f 


608 Summirung der BR 


UP — 21P * 38 — q®P- 7 5 etc. 


‚A—A' * AN—AUL ae) — — 


Aber Zahler des rechter "Han ftehenden Bruches 
ift Oo, weil A Ali), — Alte) I tee 0ı% 
"Aeı)— AP), daher ift . 
—— Ligen a? 4.5 — æto. Deo 
übereinftimmig mit Gotend 38), und (fummirbare 
Reihe, 219. 
Iſt Mehtens m — = 2p—ı, fo wird 
| er DEP2 bergaPTt m gap tr Pt — etc.ininf. 
OK AHA AM AB) 4 AQrıı) 
ST EEE erg — 
alſo, wenn man’ bie. no Glieder zuſammennimmt, 
Ama — ae) + 2 Atı) 
an TEE ET 
das obere Vorzeichen für ein ungerades p, das untere 
für ein gerades genommen; Diefe Summe ift aber auch 
(Potenz, “60, und 65. oder, Gummiebare Reihe, 21.) 


— (P) 
=(- ir — — ‚wo BR, bie pte Bernoul⸗ 


liſche Zahl anzeigt. Daher entſteht folgender, ganz in⸗ 

dependente Ausdruck fuͤr die Bernoulliſchen Zahlen 
AAA“ (P=®) ). 

BO + — BAT er u —, 

| (2°?—1) — 

wo von den Vorzeichen das vorhin bemerkte gilt. 


Saplace har diefen Ausdruck für Br) auf eine 
andere, ſehr Eünftliche Art gefunden. Die vorherges 
hende Ableitung verdanke ich im weſentlichen Pfaff. 
Die bisher erklaͤrte Summirungsmethode aber hat Ja⸗ 
kob EN zuerft angewandt. 


Die gefundenen Summationen fi nd nicht 


* — praftifchen Mugen, ſondern werden zuweilen 
| im 


Summirung der Reihen. 609. 


in der Rentenrechnung gebraucht. Man ſehe daruͤber 
Tetens Einleitung zur Berechnung der Leibrenten und 
Anwartſchaften Th. J. in den Zuſaͤtzen zum erſten Ka⸗ 
pitel. Um ein einfaches Beyfpiel der Anwendung. zu 
haben, ſetze man, eine Rente werde n Jahre hindurch, 
am: Ende des erſten Jahrs mit a, am Ende des zwey⸗ 
ten mit a+d, am Ende des dritten mit a4 2d; 
und fo am Einde- jedes folgenden Jahrs mit d mehr 
als am Ende des naͤchſt vorhergehenden bezahle, und: 
ed folle der baare Werth derfelben s gefunden werden? 
wenn für das CApital ı an ee Intereſſ en u ge⸗ 

rechnet wird. | 





Es if — — 4 | 
| | a+d 424 St 
(tu) ra TFTuSe 
il: *5 Fate ru bee) 
a nr “ 

ur + — teten) 


alfo nach (2) 
— 
= Kurs u®(ı — ur +9 


„(® + Kar 1) nd 
m — — — 
| ‚ud + u)% 
RR Iſt a 500, d= 10, I 360, =, oA} daß 
alfo 4 Procent jaͤhrlich gerechnet werden, ſo wird 
= 750, Cı Erz m og m 3,243308, 
und | ..,/4 * * 
ur _. 250759, 21243398 — 300), 
GE | 3,243398 . ‘ 


== 10719,432 — 


610 Summirung der Reihen. 


In einer zu Leipzig, 1830. herausgekommenen Anwei— 


fung zur Waldwerthberechnung von Pernitzſch ift 


dieſes Exempel ©. 54. $. 24. nach einer ganz falſchen 
Formel berechnet. 

10, Um die Anwendbarkeit der erklaͤrten Sum: 
Mmirungsmerhode an einem etwas sufammengefegteten 
Benfpiele zu zeigen, wähle ji die Meihe = 


Kl le a +3] —— 
2 — — 


welche in Fiſchers Ba der Dimenfionszeichen 
Th. J. $. 157. vorkommt, und deren Summe S hei: 








1 ı b, b bpo Dee, EB 
a+b a aa. — 
wo die oberen Vorzeichen für ein gerades r, die un: 
teren für ein. ungerades gelten, fo wird, wenn man , 


bzn+ı,r=n—ı nimmt, und a nad) und nad) 


S1, 2, 3. n ſetzt | 
I 2 n+r (n+1) (n4,) _(m+ı)» 
Br ET Fi 00 TEE ET He Do er 
+ ı. 1 1 1 >. 
| + a4) 
’ (n+2).1”7: 
ı 2 n+ı (n+1) (n+ı) (n+ıyne . 
— 27 ia: — —— — LE = 
n+3 2 2 2 94 zum 


De 
 (n+3),a"7t 


} » . . ie [7 








” “ [} f} 7 3 
1 x n+ı (nt) (nt)  _ (n}+ı)2=® 
antı u n* | n> n+ ".r nm 

Pen 


 antı) 





Summirung der Reihen. 611 
Durch Subſtitution dieſer Reihenausdrůcke für 
1 I 


I 
a ne a bie vorgegebene Neiße in, 
n+2'n+3 ' 2n-+I. 


n Bari zerlegt, ſo daß Br Ze 
Sz | 


* 


BE 


tn en ————— 


‚ 

+ erfllr vr = — .33.. 
| + nt 

— ei. ) 


er. ElesBl.sie 


* 


——— n+2 Ela 143 Elsa — 


— — 


en+tı) 
iſt, wo die oberen Vorzeichen überall für ein ungerade 


Es iſt Quithmetiſche Reeihen * Ordnun⸗ 
gen, 2.) 5 


+ (0 [=]. a4 2-2] th tn”) 


das Anfangsglied der Hten Linterfchiedsteiße für die . 
Hauncteihe 0", * 2 n, alſo (a. a. or 20, 


612. ESummiruns der Reihen. 


8.6.) 0 fo lange m n iſt. Daher fallen von 
den vorſtehenden Reihen alle bis auf bie legte an, 
und, es ift 


— Nr I. n+3 


| | ; n 
„U Gl” zn —| 
ein 


| — Mn—ı u 
— 2 5 


an +1 
E⸗ iſt, das obere Vorjeichen — ein — n ge⸗ 
nommen, 


n—ı7. ı 
u 4 re 
n—1I —— + u u 
Ga tar Ban — 


das Anfangsglied der n— ıtew ER für die 
Hauptreihe — 

en — — — 1 

— Peer. etc, 

n+a' n+3. n+y4 n+5 n+ı Ä 
Sucht man die Anfangsalieder der. Siffemjreigen 2. 
wirffiche Subtraction, fo wird 
die ‚ße ———— 























t 
·— —, · — ⸗ —, tc 
— — (n+4)(n+5) : 


; bie ar. 
Ares Tre 


"&ummirung der Reigen, 3613 
| — J 
ae 


af das Anfungegi ber (n— sten — 


1. 2. I u... n—-I 
% chayaralars). sur: 
jeichen fuͤr ein ungerades m — Hierdurch wird 


ee AR! 
s- — — — — * 
2 * (a+2n+3)n+4) ni... Tech “ + = A 
wo das obere Vorzeichen, wie bisher, für ein. unges 
tades n gilt, oder aus ame dieſe Vorſchrift 
423.* 


an u. 
11. Die in dem Art., Summirbare Neiße, 16;, 


mitgetheilte Formel von Euler kann als eine Verall⸗ 


gemeinerung der Formel in (4) in ihrer erſten Geſtale 
angeſehen werden. Iſt naͤmlich 
atraxtatx al? et. I: ) 


| die-drifte „ .. “ | 


und | 
‚Aa+ A'a'x J Aa“xꝰ 4 Aui alu xs 4 etc; 22 
ſo iſt, wenn A,.A/, AU, Aw, als Glieder einer 
" arichwretifchen Reihe einer hoͤheren Ordnung betrachtee 
werden, ‚allgemein das Glied in Z, deſſen Stelle * 
dem erſten durch p bezeichnet wird, 


an a + 12 * + —— r 
. — +[#]a AA + ara) 


wo. AA, Ark, Asa; ; u; £ w. die Anfangsglieder der 
erſten, zweyten, dritten, u. ſ. w. Linterfchiedsreige fuͤt 
‚die Haupereihe A, A, AU, AM. etc, finds 

Wird nun pP nach und nad) =0,'3, 2, 3," et 
geſetzt, fd wird 2 ar in Melt" Partialreihen 
erlegt, fo daß 


6 Sunmmirung der Reihen. 


Z = Ala +a'x + age Lat Latxs + etc,) 
“Ex .AAl(a/ Loa'x Hgallig®l gal'xah sa’xs Liete) . 
+2 x’, ArAla' + 3a 46a —— etc.). 
+x3 AsA(a“ L4a''x-troa” x’ 20a’ ’x3-35a7l'x „+ete.) 
+. na Erz Pag ee 
‚rp etc. 


Die in: A multipficre Heiße if 8 risk, ; die bi 
| xAA muleiplicirte, wie man leicht —— wird, 





—X 
"die in x ara multiplicirte, —⸗R, ; die in 
dx’ ip inte x 1,2,0X nn 
0'5 | — 
AA mut, — u. w. ** 
Folglich = 4 * | = c 
*. x®. A® e 
AS en — — — 
47 * 0x 1.2. 02° 
ee * | x. AA 08 PR R 
1.8.3. Dxe TAN, 


Ein A, Al, AU... wirklich Glieder einer arichmeris 
fhen Neihe von irgend einer höheren Ordnung, ſo daß 
die Differenzen von einer gewiffen Ordnung an ſaͤmmt⸗ 
lich verſchwinden, fo finder man hierdurch wirklich die 
Summe von Z, vorausgeſetzt, daß die Reihe 80 oder 
a aſx tax’ etc, ſelbſt nicht irgendwo abbricht, 


08 
in welchem ‚Sale einer ber Diferentauocieten Zr’ 


.g° des es 
— u. ſ. w. * alle — fofgenden Null wer⸗ 
den — Sonſt erhaͤlt man nur ſtatt der urſpruͤng⸗ 
Jichen Reihe Z eine. andre , Die manchmel ſchneller con⸗ 
pergirt, als jene. — RU 
12. —* der Sainirungemechebe 
iſt diejenige, nach welcher die einzelnen Glieder einer 
au ſummirenden unendlichen Reihe felbft wieder in un⸗ 
endliche Reihen aufgeloͤſ't werden, deren Glieder in gis 


Summirung der Reihen; 45 


ner andern Verbindung als der urfpränglichen wieder 
neue ſummirbare Reihen bilden. Dieſe Methode iſt 
von Pfaff in einer kleinen Schrift: Verſuch einer 
neuen Summationsmethode. Derlin, 1788. vorgetra⸗ 
gen, und durch viele wichtige Anwendungen erlaͤutert 

worden, Man wird ſich von. ihr einigermaßen einen 


Begriff machen koͤnnen, wenn man-in dem Art., Sum; 


mirbare Reihe, 21. die Gumme: der daſelbſt in die 


- Porenzen von ‚G..multiplieirten unendlichen Reihen als 


* 


anders woher. (z. B. aus 8. des gegenwärtigen Art.) 
befannt; anſiehet; es wird nämlich alsdann —— 
in Beziehung auf-die. dortige Abſicht 
cos — cos 20 + c0s3P — cos 404 ete, = = i 
welches dort als befannt angenommen wurde. 


13. Wenn das allgemeine Glied einer Reihe Kr | 
eine Funetion der: Stellenzahl gegeben ift, fo hängt bie , 
Erfindung des funmatorifchen Gliedes (ſ. den Artikel, 
Meike, 36.) von der umgekehrten Differenzenrehnung 
ab. Bezeichnet nämlich y das allgemeine oder ber 
Stelle x Angehörige Glied einer Reihe a, a“, a“ etc,, 
8 das fummatorifche Glied derfelben, fo baß s—= a+ 
apa... Hy iſt, fo iſt S—y die Summe Dies 
fer. Meihe bis zu dem vorlegten Gliede oder von —i 
Gliedern. Wenn alfo x in x— ı. übergeht, fo ver— 
wandele fih S in S—y, und umgefehrt. Daher iſt 
y die endliche Differenz von S—y für Ax=ı, bi, 
MS—y)=y, alſo S-y=:2y+C, wo Z das In⸗ 
gegrationszeichen. für endliche. Differenzen ift, und S= 
Zy+y+TC. Das Integral Zy müß in der Vor⸗ 
ausfeßung, daß Ax unveränderlich und — ı iſt, ge 
fucht, und die Conſtante C dadurch beſtimmt werben, 
dag für x=ı, S=a, oder für x=o, So wers 
den muß. — Da yZ=zAy fo hat man aub S= 
zZy+zAy+C=2ly-+Ay)+C,wo y+ Ay das 
der Stelle x + ı entfprechende Glied if, Man f. 
Diſſerenzennechnun⸗ 66. und folgo. 


616 Summirung der Reihen. 


14. Beyſpiele von Reihen, auf welche" dieſe 
Summirungsmethode anwendbar iſt, giebt der Art. 
Differenzenrechnung, 72. — 81; nur hätte dorf das 
Zeichen 8 nicht gleichbedeutend mit T gebraucht werden 
ſollen. , Unter den Reihen, deren allgemeines Glied eine 
algebraiſche Function der Stellenzahl ift, werben‘, wie 
aus den dortigen Benfpielen zum Theil erhellt, nach 
dieſer Methode fehr Teiche fummire diejenigen, deren 
Glieder Produite aus den auf einander- folgenden Glies 
bern einer arithmetiſchen Reihe find, Biefe Glieder im⸗ 
mer in gleicher Anzahl und fo genommen ; daß der erſte 
* jedes Products mit dem zweyten des naͤchſtvor⸗ 

ergehenden uͤbereinkommt, ferner die Reihen von Bruͤ⸗ 
chen, deren Zaͤhler die Glieder. einer arithmetiſchen 
Reihe irgend einer Ordnung, die Nenner aber Pros 
bucte bon der eben angezeigten Beſchaffenheit find, wos 
ben jedoch die Zahl der Factoren in. jedem Nenner! die 
Ordnungszahl der arirhmerifchen Reihe der Zähler wes 
nigftens um 2 übertreffen muß, wovon der. Grund ifk, 


daß, Fr fich nicht algebraifeh angeben Lift. „ Abe 


auch Neihen, deren allgemeines Glied eine tranfcendente 
Function der Stellenzahl iſt, entziehen fich dieſer 
Bummirungsmerhode nicht. In dem angezogenen Art. 
finder man z. B. die Reihen fummirf, deren Glieder 
die Sinus oder Eofinus der Vielfachen eines Winfels 
« find. Hier foll noch die Anwendung auf die ruͤck⸗ 
Taufenden Reihen gemacht werden, unter welchen“ die - 
arithmetiſchen jeder Ordnung und die gegmetrifchen 
begriffen find, a 
—15. Die jege vorzunehmende Summirung ruͤck⸗ 
laufender Meipen ſetzt die Kennenig des allgemeinen 
Gliedes derfelben yoraus. In dem Art., Nücklaufende 
Reihe, iſt gezeigt, wie daſſelbb aus dem erzeugenden 
Druche gefunden werde. Es Fann aber ſolches auch, 
nach der dort in (79) geſchehenen Anzeige, anf andere. 
Art, durch Integrirung einer Jinenren Gleichung mit 


ı 


Summirung der: Reihen, | ‚617 


abdlichen ‚Differenzen, aus einer⸗ hinlaͤnglichen Anzahl 
der erſten Glieder, und der Beziehungsſcale gefunden 
worden ſeyn, ohne erſt zu dem Urbruche zuruͤckzugehen. 
Ein zweytes Erſorderniß zu der durch die obige Sum⸗ 
— — zu bewerkſtelligenden Summation ruͤck⸗ 
laufender Reihen iſt, daß man Zar, Dxa*, LRx?a* 
u. ſ. w. anzugeben wiſſe. Da der Artikel, Differen 
zenrechnung, hierüber nichts enchält, fo foll das nörhige 
Davon hier erſt beygebradht werden, und zwar unter 
ber allein hier brauchbaren Vorausſetzung, daß Ax 
zw eine unveränderliche Größe * 


16; Da :A,at act — en Sr. DZ 2); 
fo iſt umgetehrt za. ee? ie 


x +0 


a — 1 PR) 


Pe | 


zu — 





Ferner ift 
A, a, (+ warte I — — 
| = ara) + we 
ei ungefähr ® | 
(a 1) = Zara” — war. Zar 





Auf biefe Art kann man weiter. ‚gehen, und Ix'a® 
aus za”, Zxa”ın f. w. finden. 


37 Dun fe bie ruͤcklaufende Reihe 
Ir 4, 44, 46, 146, etc 
‚gegeben, deren allgemeines, der Stelie x+ı angehorl⸗ 
ges Glied, wie aus dem Att. Ruͤcklaufende Reihe, 15., 
erhellt, — 2° + 2.3" ft, fo wird das ſummato— 
sifche Glied, derfelben S=— E,2X + 2.23% d. I, 
nach der vorigen Formel für za, wenn w- Darin. X 
gemacht wird, =—2° — 3* Ai Conste Fuͤr — 


u 618 Summirung: ber. Reihen: 


wird So, alfo ‘Const. =o0, und 8 (elehrain 
mem! 3*. Fuͤr xX5 hat man alſo 
— 24 464 146 mai +80 
31. =—324243 
— SU E t 
wie u — wirkliche Zufammenrehnung der Sie 
ber gefunden wird, | 


. Die Summe’ de img Unendliche, —— Reihe 
ala Werth des Urbruchs für — 1 genommen, kann, 
weil dabey die Anzahl der Glieder nicht in Betracht 
kommt, keine andere, als die gefundene Conſtante ſeyn, 
welche —o iſt. “And fo finder fich auch. diefelbe aus 


1—2z. 
dem Urbruche — wenn man darin 221 


ſetzt. 


18. Die Rahe fey — 
Lı 37 1, 43: 167, 631, etc 
von welcher das allgemeine der Stelle x+Hı angehoͤ⸗ 


rige Glied MWuͤcklaufende Reihe, —— —— 
6 Zu | J | 
+2.2* iſt. Für dieſe wird alſo S=—Ex.3°— F3% 
un 2 . i 
+2.2, pi d, ixr — den — Formeln (w=ı 


gxtı 
deſetzt)/ =— 


Const. —x. — x 5% Y axtı 4 — Die Son 

ftans wird, da S für x=o, auch —o wird, =—ı, 

Daher SZ RZ). Fuͤr 6 

wird alfo ur 

+3 +43 416748505 3. 364271" 
= —:729 + 128— 4 

856 
tie fih au bung wirkliches Zufammenrene findet. 





#42. er 





Summirung der Reihen. 619 
Die Conſtante — 1 giebt ben — be Ur⸗ 
bruchs — — 8 * fir 2 Fr = > — 


12824 —— 


* 19. Iſt das allgemeine Glied einer eäelauifenden 
Reihe durch Winkelfunctionen gegeben, fo möchte es 
am kuͤrzeſten ſeyn, ſtatt dieſer ihre Werthe in Expo⸗ 
nentialausdruͤcken zu ſetzen, um alsdann von den vori⸗ 
gen Formeln Gebrauch machen zu koͤnnen. IC) Di 


a 3 B. dad ber Stelle xhi amgebörigt Glied 


b 
* Pro — + 7 ⸗in x wo f und (0) aus 


der Scale der — a und b aber aus ben bei⸗ F 


den erſten oder irgend ein Paar andern Gliedern der . 
. Neiße le werden, fo erhält man dafür, wenn ' 
ftcos$ + sind. VY—ı)=p r 
und f{ cos —sin®, vey=qg x , 


(pXtI — .artı 
gemacht wird, | den Ausdruck orten 


— ea ET A en ED Ze 
Pg:—ep4- 2 jprege 9 cr ori 


— p=q'p-ı, p—qgq-—ı | 
Und nad Beſtimmung ber —— aus dem Falle 
Bo, für 250: 
in. MPI= ap + bg- Hab apg-äg+bp-b 
B- — . ı PrOP-rig-e).. 


N +2 und wenn wur: t und — d 
Er ‘ 
P-14-2)., ee 


:q wien hautelt 


620 — der Rehhen 
8 — 3 a ich | 


af? b BrsinzO_ Bu Petssinf41)9 


1-2fcosp+f sind Tr2fcosp4k — sind 
—— —— ab 


— Auer 1- 2800504 sind” — — 


Sram, — die Reihe 
I, —3, —ı, 1, eto. 
it Räclaufende Neiße, 19) amı,'bz=2, f&1, 


o — alſo wird fuͤr dieſelbe 


F ec — —— + — -sinzp 
E :-8in®. Be 

4 * eincx - — —— 8* 20039 ri — F— 
ſin * | 


dsiuv 8 








a 


+3 
‚83 


Sur x—=6 erhält — | bernach 
sind — sin 9 Sr 


"=: — 2c008{r 
— sin} nn StR on 


=— war +3=o 
Und es iſt auch 3ůαα. 


Die Eonſtante 3 iſt auch hier der Werth des Ur⸗ 


— 

— —— zZ . 
bruße_- —— für nl 
‚== 20, : Die Summen — sihen lafjen fi 
übrigens, wenn außer der Veziehungsfcale fo viele von 
den erfien ‚und letzten Gliedern der Reihe gegeben ſind, 
als die Scale der Relation Glieder har, auf. eine-eles 
mentarifhe, ſchon von Moivre gewiefene Are finden, 


er 4 fen nämlih A, B, G, 2. G, H Ölieder 
einer folchen Neiße, deren Vesiehungsfcale +a,—Bß, 
f,w ArRB+C+..+ G@+ Ns, fo if 


#. 


Surmmirung der Reihen. 624 


A= A 

N B * B 
C= Ba—Aß 
D= Ca—Bß 
6* Fa—Eß 
H—= Ga—FB: 


alſo, wenn man auf beiden Seiten addirt, 
S-A+B+$-A-H.a— Bon 
und bieraus 


s— A+B-A+Mec+CH+ MB 
—— 


Auf. ähnliche Arc Täße fich die Summe der Reihe fine 
den, wenn die Gcale ber —— aus drey oder mehr 
Gliedern beſteht. 


. 21 Verlangt man die Summe ber ohne Ende 
fortlaufenden Reihe, ſo faͤllt die Betrachtung der letze 
ten Glieder aus, und es iſt daher in dem angenom⸗ 
menen Falle 
u A A+ B— Au 
| ..:.—a$ß 

Dieß dient den Urbruch einer rücläufenden Reihe zü 
finden, wozu aber’ die Glieder der Beziehungsfcale, fu 
wie die in den Ausdruck für S eingehenden erften Glies 
der. der Reihe noch in die erforderlichen Ban ber 
unbeftimmten 2 zu multiplieiren find. 


‚Kür die Reihe re 
ı + 42 + 142° + 4625 + 14624 4 etc. 
z. E. hat man Azı, zu a 52, B= 6z*, 
ı +42 — ER —2z h 
aſſe iſt =. re = 152 462° | 
22. * ſich aus der Beziehungsſcale einer rück: 
laufenden Reihe der Nenner des un Bruches | 


628 Summirung der Neipem 


‚ Teiche ergiebt, fo läßt ſich der Zähler dazu auch durch | 


‘die Merhode der unbeftimmmten -Coefficienten finden, 


Der Urbruch felbit jiebt aledann-, wenn man darin die 
unbeflimmte 2, in deren auf einander folgende Poten⸗ 
zen die Glieder der -rücklaufenden Reihe multiplicire 

werden, —ı feßt, die Summe der ohne Ende forrger 


ſetzten Reihe. 


Um nun die Summe bis zu einem gewiſſen 


beſtimmten Gliede zu erhalten, muß man auf die vo⸗ 
tige Art die Summe der unendlichen Reihe, welche das 


jenem Gliede zunaͤchſt folgende zum Anfangsgliede hat, 


ſuchen, wozu außer dieſem Gliede von der naͤchſtfolgen⸗ 


den noch fo viele als die Beziehungsſcale Glieder weni⸗ 
ger eins enrhält, durch Runctionen ihrer Stellen ges 
geben ſeyn müfjen. Der Unterſchied beider Iinendlichen 


- Summen giebt die verlangte endlihe, 


223. Wenn der Nenner der gebrochenen Function, 
ans welcher die rücklaufende Meihe entſteht, Null iſt für 
z—ı, fo läßt ſich die Summe eines- endlichen Stuͤcks 


der Reihe durch das Verfahren in (20) nicht finden, 


! 0. WG 
indem folches dieſe Summe — = giebt, Bey dem 
Berfahren in (22) wird, wenn 21 gemacht wird, 
diefe Summe gleichfalls —; man muß alsdann die 


Differentialrechnung nad ber in. dem Art, Function, 


50%, gerwiefenen Art zu Hülfe nehmen, oder fie durch 
ein anderes gleichgultiges Verfahren erfegen, um den 
Werth der Summe in dem vorliegenden Falle zu ers 
halten... | Ä 

Exempel. Don der Reihe 2, 11, 29, 65, etc, 
fuͤr welche. die Beziehungsſcale + 3, — 25 iſt, ſucht 


man die Summe der acht erſten Glieder, Der Urs 


IN 2 4 u 
i i — — — * 14 
bruch der Deite I FETT, und“ das allge⸗ 





Summirung der Reihen. 628 


meine Glieb-ber aus diefem Bruche entwickelten Reihe 
2-+ 112 4 292° +ete..... (927 — 7)2® ,alfö 
bie Neihe vom 'gten Gliede an 24972% + 460129 
+ 92092'° + ete,— z8(2297 $ 46012 4+ 92092* 
+ etc). Der erzeugende Bruch. der’ eingefchlofferien 
- 2297 — 22902 . er VER 


eihe iſt — > 
— ae · De 


Daher if SU ERS 8 | 
TRF+UZFBIE HH nase 
24.52 — 229728 +.229029 .., . 


welcher Bruch E wird für zen. Differentlire-man 
Zähler und Nenner jeden für fich ‚ fo ift der Quotient 


U Em 7 8 

ber Differentiale $ 72297. 82° #3290.928 
Er 5 2707} 

= 2239 für 2S 1 wird. Und diefes iſt auch die 
verlangte Summe, = mut os 
... 24 In dem eben erwähnten Kalle, wo der 
Nenner des Urbruchs 1 — 2 oder eine Potenz von 
12 als Factor enthält, kann man auch die Summe 
einer endlichen Anzahl Glieder der ruͤcklaufenden Reihe 
dadurch ‚finden, daß man den Urbruch in zwey Brüche, 
deren einer die Potenz don 1 — 2 jlim Nenner bat, 
zerlegt. . Die Neihe, welche aus der Entwickelung dies 
ſes Bruchs hervorgeht, ift in Abficht der. Coeffit lenten 
eine, arithmetifche von einer um- a niedrigern Ordnun 
als’ der Erponent der Potenz von r— 2; der andere 
Bruch giebt entwickelt eine rücklaufende Reihe, für 
welche die Vorausfegung in (23): nicht mehr State 
finder, Die vorgegebene Reihe wird alfo in zwey zers 
legt, die einzeln nach Arithmet. Reihen . höherer Order 
nungen, 12., und nach dem. hier gewiefenen- Verfahren 
bis zu irgendwelchen Gliede ſummirt werden Fünnen. 


welcher 


622 Summirling der Reihen, | 


‚ Teiche ergiebt, fo laßt fich der Zähler dazu auch durch i 


‘die Methode der unbeſtimmten Eoefficienten finden. 


Der Urbruch ſelbſt giebt alsddann, wenn man darin die 
unbeftimmte 2, in deren auf einander folgende Poreu: 
zen die Glieder der -rüclaufenden Reihe multiplicirt 

werden, —ı fest, die Summe der-oßne Ende fortge⸗ 


festen Reihe. J | 


Um nun bie Summe bis zu einem gewifen 


beſtimmten Gliede zu erhalten, muß man auf die, vo⸗ 
tige Art die Summe ber. unendlichen. Reihe, welche das 


jenem Gliede zunächft ‚folgende zum Anfangsgliede bar, 


ſuchen, wozu außer diefem Gliede von der nächftfolgens 


den noch fo viele als die Beziehungsſcale Glieder wenis 
ger eins enrhält, durch Functionen ihrer Stellen ge: 
geben ſeyn müfjen. Der Unterſchied beider tinendlichen 


- Summen giebt die verlangte endlihe, _ 


93. Wenn der Menner der gebrochenen Function, 
aus welcher die rücklaufende Meihe entſteht, Null iſt für 
z—ı, fo läßt fih die Summe eines- endlichen Stuͤcks 


"der Meihe durch das Verfahren in (20): nicht finden, 


o ut 
indem folches dieſe Summe = giebt, Bey dem 
Verfahren in (22) mird, wenn 2 = ı gemacht wird, 


diefe Summe gleichfalls — man muß alsdann die 


Differentialrechnung nach ber in. dem Art. Function, 


56, gewieſenen Art zu Huͤlfe nehmen, oder fie durch 


ein anderes gleichgültiges Verfahren erfegen, um den 
Werth der Summe in dem vorliegenden Falle zu ers 
balten.. | | | 

Srempel. Don der Reihe 2, 11, 29, 65, etc. 
für welche- die Beziehungsſcale + 3, — 2; iſt, fuck, 


man die Summe. der acht erften Glieder, Der Urs 


Ba den; 2 252 0, " 
N nieht ———— ” ® 
bruch, der Neiße if — und das allge⸗ 


Summirung der Reihen. 628 


meine Glied-ber aus biefem Bruche entwickelten Reihe 
24 112 + 292° etc. .... (0428 —- 7)z®,.alfe 
die Reihe vom gten Gliede an 239723 -+ 460129 
+ 92092'° + tes z8(2297 $ 46012 4 92092* 
+ eta).. Der erzeugende Bruch der’ eingefchlofferien 
- 2297 — 22902 — Ace ir 


eihe iſt — * 
Reib Tin 


Daher it m 
241124 292 ic, # rıg5zt 
ne 2 752 — 229722 + 229029 — 


welcher Bruch wird fir ze. Differentlirt- man 
Zäpler und Nenner jeden für ſich, fo ift der Quotient 
2 en 7 8 
ber Differentiale 3 72297. 827 # 3290 .928 
73* TI | 
= 2239 für 21 wird, And diefes iſt auch bie 
verlangte Summe, = — Ber 
.. 24 In dem chen erwähnten Kalle, mo der 
Nenner des Urbruchs 1 — 2 oder «ine Potenz; von 
12 als Factor enthält, kann man auch die Sum̃me 
einer endlichen Anzahl Glieder der ruͤcklaufenden Reihe 
dadurch finden, daß man den Urbruch in zweh Brüche, 
deren einet die Potenz von r —'z jum Nenner har, 
zerlegt. - Die Reihe, welche aus der Entwicfelung dies 
fes Bruchs hervorgeht, ift in Abficht der Coeffitientei 
eine arithmetiſche von, einer um- x niedrigern Orbnun 
als’ der Exponent der Potenz von r— z; der andere 
Bruch giebt entwickelt eine rücklaufende Reihe, für 
welche die Vorausſetzung in (23). nicht mehr Gtatr 
finder, Die vorgegebene Meihe wird alfo in ziwen zers 
legt, die einzeln’ nach Arithmet. Neihen . höherer Orb: \ 
nungen, 12,, und.nach dem hier Hewiefenen- Derfahren 
bis zu irgend; welchem Gliede fundtirt: werden Fünnen, 


welcher 


624 Summirung der Neben 


— — Will mah: Die Summirung der arithmeti⸗ 
ſchen Reihen hoͤherer Ordnungen nicht aus dem anges 
führten Artikel vorausſetzen, fo kann man ſolche durch 
die nur erflärte Summirungsmerhode - finden. Da 
nämlich das der :Stelle x + ı entfprechende Glied 
y-+-4y einer arithmetifchen Meihe, deren erſtes Glied 
A, Anfangsgliever der Differenzreifen AA, A*A, 
A5A, u. ſ. w. ſind, iſt LE 
x(x-1),,,, xGr-ı)(=2), ;' 
„AAt——— AA. 
— AA, 
fo wird, wenn Sy die Summe von x Gliedern der 
Heihe bezeichnet, | | 
| — AA nn, | 
Sy Alu? AA, Ex + ers E(x=-1)8. rn 
| 2 AS 5 | | —* 
‚„ —— E(x=2)(x-ı)2 + etö, 
ung J 112.3 0 SER 33 
d. i. aus Differenzenrechnung, 1. und 58., 
Kö 1. IB ne 2X DE ve. 
1.2 








en x- ERRES> < "4 i 
4 ETF He 
1l.,2::.;4 4 


ohne Conſtans, weil für xo, auch Sy=o win 
den muß. | BR dr 
26. Es ift aber zu bemerfen, daß Sy ſich auch 
noch : auf -verfehiedene andere Weiſe ausdrucken läßt, 
So ift 


Sy==A, * — A ** INT ER 
1 1.2 1.2.3 


x(k+ Deu (&+ 4) 43A_; eie. X 

ur Lo Beoioniecie Er Be 

wo As, Aly, A-a + Az, etc. bie der Stellenzahlen 

0, 1, 2, —3 etc: entfprechenden, Ölieder anz 

zeigen ,: alſo Die’. Reihe ruͤckwaͤrts forrgefegt werben 
muß | 


Summirung der Reihen. 625 


Iſt z. B. ySxt, fo ih A,=o, AAL,=—ı, 
 AA,=+14, AA_,——36, MA_, +24, 
alle übrigen Differenzen aber Zo, daher iſt 
Er) 

| 1. 2 — 
ſ2 x(x + 1)..(x 
+14 (+. —— (X+ 1) “+3 

——  ? 3 ET 


2 
(F) ..... V. 
sen 


24. —— 
Ren 


. ae 5. 


| Herr Prof, Schweins giebt diefe Formel nebft 
mehreren andern in feiner Analyfis, ©. 326. unter 
Mr. 565 *), und ſcheint fie für neu zu halten. Neu 
ift fie aber nicht, fondern fie ſteht im wefenclichen eben 
fo, wie hier, ausgedruckt fchon in Meifners Stern 
und ‘Kern der Algebra, wovon die zweyte Ausgabe zu 
Hamburg, 1740. ‚erfchienen if. Das Verfahren die 
Ölieder der rückwärts forfgefegten Reihe und deren 
Differenzen in Betracht zu ziehen wird dort Halcken, 
‚einem gefchickten Nechner des ſiebzehnten Jahrhunderts, 
jugefchrieben, = 3 


Die beiden Formeln fuͤr Sy.find übrigens bloß 
befondere Fälle folgender allgemeineren 


x(x+2r—ı) 


— xA) Ai — : AA_c--ı) 
ehe, 
2% ,? u 
+ eic, 


‘wo x jede beliebige ganze, pofifive oder negafive, Zahl 
ſeyn kann. Für die erfte (gewöhnliche) Formel: ift 
ro, für die jweyte r=1ı, —— 


*) Wird dieſe Formel mit Nr. 561., welche dieſelben Litteralpro⸗ 
ducte enthält, zuſammengehalten, fo zeigt ſich, daß letztere 


Rr 


unrichtig iſt. 


626 Summirung der Rethen. 


Don der Richtigkeit dieſer Formel, deren Herlei⸗ 
tung hier zu weitlaͤufig werden wuͤrde, kann man ſich 
leicht a posteriori verfichern, wenn man A-(r-ı)r 
BA.(ar-1),, DPA-Gr-1), u. ſ. w. nach (Arithmet. Reihen 
böherer Drdn., 9.) duch A, AA, AA, u. ſ. w. 
ausdrückt, und die gefundenen Werthe in ber obigen 
- Kormel fubftieuirt, wodurch fie in die von (25) übers 
geht. Es iſt aber nicht zu überfehen, daß dort das 
Anfangsglied A die Stellenzahl o hat, welche hier ı 
ift, daher r, 2r, 3r u. ſ. w. flart z fommen, um 
Ac-ı), A-ar-ı), Aar-i) zu finden. 


Mimmt man y—x®, r aber erſtlich —2, und 

dann = — I, fo wird 

Scmx—6s. er) + Pre 
I. 5 


e 2 
XXFS— 
I. 2. 3. 4 
XXMMASM6) 
— (HIN HS) HNIRr 

I 2% 3. + 5e 
und Be | | | 
z=ı6.x+ 175. 123) + 303. xx) 5) 

| 5-8: . 3 S, 
x(x— )(x—6)(x—7 
> 6 — — 
* 15 I. 2. 3. .4 
| x(x—6)(x—7)(xX—8)(x—9) 
L 23a. — — — 
au nn 2: 4 5. 
Es wird ſich weiterhin Gelegenheit zeigem, die Zahl: 
evefficienten. in den vorigen Kormeln für Sx* ander 
auszudrudfen. | 


27. Fuͤr bie Reihen, deren allgemeines Glied 
y005) gegeben ift, läßt ſich vermittelt des Taylor⸗ 
fchen Tehrſatzes leicht ein allgemeiner Summen-Aus— 


“ 


Summirung ber Reihen 637 


druck — Es bejeichne nämlih s bie Summe 
von x Gliedern der Reihe bis mit zu y, ſo daß 
— Pa) + — —D—— 


96 
06* —*— + a — — 


— Pl (x 2) 
dey 


IK) +. Jane 


| — — 
u)=P9x—(x— ı)) 


| ı_oy ,„ey 


= etc. 
1.2,3.0x5 = 
alfo durch Zufammenrehnen  - - 


— . — * 


2.3. — + * 








— (z—1).- 





szxıy— — 8- 1) *7 


* 
1.2.,30x* 


wo S(x—ı), Sx—ı)*, — etc. aus ben 
in dem Art, Potenz, 39. gegebenen Ausdruͤcken fie 


628 Summirung der Reihen. 


8X, 8x?, 8xs, u. f. w. gefunden werben, wenn- man 
von berfelben beziehungsweife x, x*, xs u, ſ. w. abziehr, 
oder auch, was auf daſſelbe hinauskommt, überall 
x—ıflatt x feßt. . 


Man ann aber leicht Sx, Sx?, Sx? u. ſ. w. 


ſelbſt in den Summenausdruck bringen, wenn man das 


— dy 02*y 
Glied PO)=y— X. +x. — — etc. 


och mit einrechnet, und dann wieder abzieht. Da dies 
be der Stelle o entfprechende Glied nach der in (13) 
angenommenen Bezeichnung durch ‘a vorzuftellen: it, fo 
wird Ä | 

| 0 dey 

arg — ——, 8 8 
er )y Be T 1.2.0x° * 

— o’y 

1.2.3.0x3 





s 5x3 + etc, 


28. Nach Eulers Bemerkung, welcher ben er- 
ften Ausdruck für s in den Institt. calc. dif. P. IL 
$. 60. den andern ebendafelbft $. 136. giebt, find dieſe 
Ausdrücke zur wirklichen Summirung der Neihen mes 
nig brauchbar, weil für große x die Coefficienten fehr 
groß werden. Alm den zweyten Summenausdruck ins 


deß durch ein Erempel zu erläutern, ſey y=x”, fo ift 


oy — y n—2 o’y 

— n — 220 — n — — un 

* ze — 0x3 
n(n—ı)(n—2)x""3, u. ſ. w., alfo, weil ‘ao if, 


n(n-1) 


n 
Sk" (x+ Ext — Fe u ——— ‚xur2 Sx! 


_ Mana 2) xn-3 Sc + —— 


I. 2. 


n(n—ı).... 1 — 


I» 2, ..o., Mi 


4 


Y 


Summirung der Reihen, - 629 — 


Setzt man n=1ı, fo wird 
— sx tx + I), - 5ä 
x i — 
alſo Sx = — 
L. 2.— Pe: 
Fuͤr n2 if | 
Sxt — (x + ı)x* — 2x.5x + Sx°® gi 
- welches wieder auf das vorige führe, fo daß die Fore 
mel’ die Summen der geraden Potenzen unbeſtimmt 
läßt, die der ungeraden Potenzen abet auf eine dop⸗ 
pelte Art giebt, Be 


29, Da durch das Taylorſche Theorem die Dif⸗ 
ferenz Ay durch Ax und bie fucceffiven Differential: 
öy Oy Oy 
und daraus weiter A’y, Ay, Aiy u. f. m. durch 
eben dieſe Größen ausgedrucke fi finden laffen R, ſo 


1) 
laffen fich auch umgekehrt die Differentialquotienten ar 


quofienten u. ſ. mw. ausgebrucft. wird, - 


dey Ody 
—, — uf... duch Ay, A’y, Aſsy u. ſ. w. und durch 
Oxt 0x5 | | | 
Ax ausdrucken. Durch eine Ausführung, welche für 
diefen Art. zu weitläufig werden würde, hat tagrange 
zuerft gefunden, und taplace erwiefen, daß. allgemein 
Bi Ax" =! log(ı1 +ay)] | 
a TU 2 
ift, vorausgefegt, daß man in dem Gliede rechter Hand 
bey der. Entwickelung die Erponenten Des Potenzirens 
von Ay in Erponenten des Differenzivens umwandelt. 


Hiernach iſt alſo, Ax, wie ed hier ber Fall iſt, 
=—ı geſetzt 
2) Man ſehe Eulers Institt, ealc. di, P. IL c. III. $. 56 


8 Summirung der Reihen. j 
= Ar-tay+tay a + ec 
_— | A'y — Asy4 —Aty — etc, 
u. | Acy 4 4 et 


u. ſ. w. ). a. u. ſ. w. 


| 1 | dy dey dsy 
| Bringt man biefe Werthe bon ur Fre ſ. 
w., fo wie diejenigen von S(x-ı), S(x-1)*, S(x-ı)3u.f, 
w. in den erften Ausdruck fürs, fo wird durch Zerfätlung 
ber Eoefficienten von Ay, A'y, Ay u. ſ. w. in ihre Factoren 

| (x - 1)x -1)X(X1) 

s DXxXy — — — A — — — A— 

m — * J Y 
— —— — — + etc. 

I. 2. 3 — 


Dieſer Ausdruck iſt zwar nur durch Induction 
gefunden, man kann ſich aber ſehr leicht von der Rich—⸗ 
tigkeit deſſelben a posteriori überzeugen, wenn man 
darnach die Summe einer geometriſchen Reihe fucht, 
und foldhe mit dem. befannten Werthe berfelden vers 
gleiht, Zu dem Ende fy Y= e*“, fo ift Ay= 
EL EZ (e—1)e*, und eben fo Ay (e—ı)!e“, 

eitI__e 2 
= 





Ayz(e—ı)e"ufmw Da nun s= 


c— 1 


(e!— 1)e 





ua ift, fo muß ſeyn 


*) Man. leitet diefe dormeln auch leicht aus den Eulerlſchen 
0 a.· O. ab. 


Summirung ber Reihen. Eu 


a (x Rom) en 
o — 1 
+ Ko nxtc+ — — 
1. 2. 3 | 
anne + 
oder 


ey 





9 az (a8 
— mut — =? — ec.) 


I. 2 


* (1 en} = 0-1) 
— ——— (e— 1) + ex.) ) 


i. 2. 


= ed (1 te 1) —— 5 
—— 





— 6. 


wie gehoͤrig. 


30. Exempel. Es fy y=x*, fo wird 


ss= x see Ex — —— ea —E 
che F — IX·*x At, 
L, Zee ie 


Die Differenzen Axt, Arxt, Axt u. ſ. w. laſ⸗ 
ſen ſich als Summe von Eombinationen, in welcher 
die verbundenen Elemente Factoren ſind, darſtellen, 
und zwar hier, wo Ax 1 iſt, aus den Elementen 
x, xt+ı1,x+2u.f.w. Da eine umſtaͤndlichere, tie⸗ 
fer. geſchoͤpfte Ausfuͤhrung hier nicht an ihrem dit⸗ 
ſeyn würde, fo muß eine elementariſche Darſtellung 
ihre Stelle vertreten. 


— 


632 Summirung der Reihen. 


| ift mie Zuziefung don (Buchftabenrechnung, 
18. x.). | Zr 
Ax (HI Klar) + ++ I)x 
EA +@+ı)x'+Xx) 
= u (@® +xXlc<+HI)+xX +1) +x+1)3) 
und hieraus | 


Atze Eee 


T&FD’-(X+1)3-x(X+ ı)'-x’(x+1 =) 


u ZIEH HH. 
Yo | —+(x+ 2)?—x’) 
er’ 


I EN ELCHERNEHD) HN 

AI (22) HI) 
| Dadurch wird, wenn man alles gehörig ordner, 

Axt ı.a | "HL NFC +2) + (x) 
| +a+ nat +@t a] 

und hieraus | — | J | 
A 1.2 en II(X+2)H(x-+-I)(x-3) 
j +&+D'+Ha&+2)(K +3) ++ 3)° 
-KFHD’A(SHUIKCH+2)-X(X+HI)-(x+ 2)’ 
| Ä -x(x+ | Ä 
| IR “+ 3—x)(X FI) Fax) 2) 
++ 


Fi2sltatdt+a+)+a+2) 


Summirung der: Rahen 633 | 
Hieransndlih ur 
Artzı 243 («+ 19) + +2 * —8* 


— tet) ar 


—* —1.2,34 4 > 
wie bekannt, j 


Bedient man fich alſo der Hindenburgifen Zei 
den — — i8, 2) und erinnert fich, 
daß t—xuxx, ſo iſt | 


s.x°=x.D— (x=1)x,/C + "(x-1%x-+ * B 
| (@) 2 


(ar) (z,X+1, — 


— — 1)Xxx-Fo). 


x1, Sr x+5) 
ı _ Az Ix(x+ 1 — 2)x+ 3). 


So hat Herr —* Schweins in feiner Analyfis die 
von ibm für S.x$ gegebenen Ausdruͤcke eingerichtet, 
Den eben — hat er nicht. 


a4. GE Behandelt man den zweyten Auedruck fuͤr s 

in (27) eben ſo, wie jetzt mit dem erſten geſchehen iſt, 
ober kuͤrzer, ſetzt mian in dem transformirten Ausdrucke 
in (28) x-+ı ſtatt x, wobey aber y als terminus 
a quo ſammt den davon abhängenden Ay, A’y u. ſ. 
w. ungeändert bleibt, fo wird nach Abrechnung des der 
Stelle o entfprechenden und mit, eingerechneten Glie⸗ 
des ‘a 


L) x(x {)(x+2),, 
= x+ny— —— + nee: 
— ia 
 x&hn).. x+3 — eo 


1. v7 ro 4 


! 


634 _ Summirun der Reihen. 


. Dieſe Formel laͤßt ſich mit der erſten in 6 für 
a ı 8y vergleichen. 


4, '3% Exempel. Sf yzxt, fo ift 0; und 
es wird Fr | ee .g 
Bx E1)x ee 

— ——— + XXPINRH2: Atys 
I. 2 I. 2 3 
+ 4 RER RR SER, om 


N gr 


PETEIR Sch 4) — 


I. 2 44 


xt D- - xt 2) 'C ı xx ı)(x+2),‘B 


%x,x+1) 3 & x+1,X42) 


‚TU 
— — Ix+2Ix+3), A 


(% xti, z+2, x43) 
— xt. site. 
Da S.xt — —='5.(x+Fı)—(z-+1)4, fo wird nach 
eben diefer —— weil (x 4 1) x — *8 —WMW 
(X-) 
Stıı,'D --x(s+1), Cc- isch) BB 


(z+ı) (x+1, 2) . (+r1,242,243) 


— A 


(41, Xr2,.0.244) - 
+ Sr (sH)(E2)(<+3) (x+4): 


Diefen Auedruck hat Herr Prof. Schweins unter 

Nr. — 
Vermittelſt der vorhin gelehrten Zuruͤckfuͤh⸗ 
rung Art, Art u. ſ. w. auf Summen von 
Producren nach ben: Combinationselaſſen mir Wieder 


Summirung der Reihen ‚635 


"Solungen laſſen ih nun auch die Ausdruͤcke fuͤr Si 
in: (26) anders darſtellen. Der erfle und legte geben 


St=—-xctr). 0 +-aatı)lat2), B3 
— 2 4) 3% | (1,2) 


— et ı)(x<+e)(x+ 3): i iA 


1,2, 5) 


SEC 


—x.'D-# (2-3) 10 + —x(x-ga-5). B_ 
772 84)" 3 -. (4, 5,6% 


I - 
+ ra-5)a-Ha-7). A 
— * x 2) (5, 6,7, 8)- 


re IC ICH] re 


34: Da die Bernoullifchen Zahlen nichts anders 
als die Eoefficienten von x in den Summen der geras 
den Potenzen der natürlichen Zahlen von ı bis x oder 
in Sx?, Sx+, Sx u. ſ. w. ohne Ruͤckſicht auf die 
Vorzeichen find, fo fieht man, wie mittels jener Sums 
men, wenn fie nach der hier gewieſenen Are gefuche 
und dargeftellt worden, fi die Bernoulliſchen Zahlen 
durch Producte der natürlichen Zahlen, ı, 2, 3... 
nach ven Combinationsclaſſen mit Wiederholungen aus, 
drucken laffen. So erhält man z. B. für die zweyte 
Wernoullifhe Zahl WB) aus dem Ausdrucke für Sxr 
‚in (30) und dem legten Ausdrucke in (32) wenn man, 
nachdem jeder mif x dividirt worden, x=o feßt 
Ba)— — Be — =) 

2 2 (ı) 3 -(1,2) 4 (1,2,5) 5 


— RUE ıC ne" ei IA 
(1) 2 (52) 32) 4 (2 


1.2.3.4 
+7) 


636 Summirung der Reihen. 


Aus den beiden Ausdrücken fürS.x*.in (33) aber wird 
L;5'. . nu En 
—* — en 4 123 — 1234 | 
RR, ae 
— IC a> IB au 3.67 IA 
(2) - 2.984) 3 445,6) 4 6,6,7,8) 
| 6.7.8.9 
ur 


Es dürfte nicht ſchwer ſeyn, dieſe Formeln, mos 
von. die erſte die einfachfle, die dritte die zierlichfte 
iſt, allgemein zu machen, wenn es. von Mugen feyn 
koͤnnte. EU ar 
Ä 35. Da die Coefficienfen in ber erften allgemeis 

nen Summationsformel in (27) veränderliche Größen 
find, die zweyte aber in (29) außer diefer Unbequem⸗ 
lichkeit auch noch die hat, daß darin die fucceffiven 
endlichen Differenzen des allgemeinen Gliedes y vor: 
fommen, wodurd ihre Gebrauch fat nur auf folche 
Reihen befchränft wird, deren allgemeines Glied eine 
ganze, rationale Function von x iff, fo ift es nörhig 
eine andere Formel zu fuchen, welche von diefen Un— 
bequemlichfeiten frey iſt. Eine ſolche erhält man auf 
folgendem Wege. 


Man ſetze in ber erſten Kormel in (27) flat 
S(x—ı), Sx—ı), S(x— 1) u. ſ. w. ihre duch 
die Bernoulliihen Zahlen BA), BI, BI u ſ. w. 
ausgedruckten Werthe aus (Potenz, 44.) z. B. 
Sa rl + ax: — — Ba)x 
9... 2 2. 2.3.4 

| ., 6.5.4.3.2 

= So) 
| F * 2.3.4.5.6 ® 

und orbne das Aggregat fo, daß alles was in diefelbe 
Bernoulliſche Zahl multiplicirt ift, zufammengenommen 
wird. Setzt man nun die Rechnung weit genug fort, 
ſo findet ſich 


Summirung der Reihen, 637 
| x" xö 98 x9 
‘= on 4 z 


| 2 dx | 3.1.2.0x° 4 1.2.,30x3 


+ “ 


+ etc, 





> a 5⸗ x 09 
+ Er EEE — ⸗ | Y i 
2 ox 2 0X . 3 1.2,0x? 


+  d% | . 
 — wi. a to. 3 
BO a a Bin 


j1.2, X 2 x 3 "1.2.0x% 
x? o°y 


— _- tC, 
| 4 1,2,3.0x° ER 
SM. 7 a x—— 


X, —. * —— 
1.2. 3.4 Oxt 2 x 3 1.2.0x6 


2* a + ec. ) 


.“ 





| | ei 4 1.2.3.0x7 
TRIER A a Fa. 
1.26 "a 2087 | 3 '1.2.0x8 


— a 4 ec, ) 











| 4 "4,2.3.0x9 
— etc. 


i BO) Na) 

Die hier in —, Sn. 8 

5. ER Tuch | 

plicirten Reihen entftehen offenbar aus der erffen 
x®. Oy | ’ 

ay——nn r eto. wenn man batin y nach und 

.0y O°y O'y | * 

nach mit — 5 — u. f. w, vertauſcht. Laͤßt ſich 


alſo für die erſte Reihe ein geſchloſſener Ausdruck ge⸗ 
ben, ſo hat man auch einen ſolchen fuͤr die uͤbrigen. 
Die erſte Reihe iſt aber Feine andere als die Bernoul— 
lifche Integrationsreihe (Integralformel, 145.), wel⸗ 





„u. few. multis 


638 Summirung der Reihen. 


che fih aus dem hie lehrſate auf folgende Art 
ergiebt. 


Es fep 2 — Guten von — ſo iſt 





| nn 
— — . 3 
Axt) + “+ 1.2, dx® " 
) 
. 832 RN 
D FIT or + en Nun ſey mx, fo 


wird Olx 23 w)=9(o) = > Eonst. ‚ und 
zZ. x Oz x oz 


ons. = z—x, — — — — 
c | "dx Zt Oxa 3." 1.2,0x3 
x4 oz 


— — — S 
— 122. 3,0x% — 


alſo mit Bepfeitefegung der Conſtans 


82 xe 9 x DZ 
— x — — — — — — —— 
2 0x 3° 1.2.0%3 
| x4 04Z 
a a ne ae 
4 — 


Setzt man nun hier zuerſt z— ydx, wo dann 
02 0*z _. ey 

= =yY a7. u. fe w. wird, fo verwandelt 
fih die Neihe rechter Hand des Gleichheitszeichens in 
die erſte der obigen Reihen in dem en für s, 


Setzt man z=y, fo entſteht die zweyte, in > multi⸗ 


Sy 
| pliciee, Heiße. Wird zZ a a fe w. ges 


nommen, ſo entſtehen die britte, vierte, fünfte u. ſ. 


BU Ba) BO) 
w., in re er u. ſ. w. multiplicirten, Reis 


ben Deie iſt nach Wiederherſtellung der Conſtanten 


- Summirung der Reihen. 639 - 


1 Ba) 5 Be) By 
= jyr+—yt — ee: = 


er ae etc. 4 Const, 
mo die Const. aus den Conſtanten aller Partialreihen 
zuſammengeſetzt iſt, und dadurch beſtimmt wird, daß 
für x=Zo, auch s—o werden, oder uͤberhaupt fuͤr 
einen gewiſſen Werth von x der durch die Formel fuͤr 
die Summe von ſo viel Gliedern der Reihe, als jener 
Werth von x angiebt, gefundene Werth mit dem, auf 
gewoͤhnlichem Wege erhaltenen Werthe dieſer Summe 
übereinfommen muß. 

Die fo eben gewonnene Summationsformel , ums 
terfcheidet jich von der, aus welcher fie abgeleitet wors 
ven, dadurch, daß die Coefficienten der Differentials 
quotienten in ihr beſtimmte Zaplgrößen find, daß diefe 
Differentialquorienten nur eine ungerade Ordnungszahl 
haben, und daß ein Glied der Hormel eine Integra⸗ 
tionsgröße if. Euler hat in den Institt. Calc, Diff, 
P. J. c. 5. diefe Kormel auf einem andern, etwas ums 
ftändlicheren Wege, entwickelt, allein feine Abficht das 
Key war mit auf die Darfiellung der Relationen der 
Bernoullifchen Zahlen gerichtet. Hier kam es anf eine 
kurze Herleitung an, wobey der Zuſammenhang der 
Kormel mie der in (27) klar dargelegt werden konnte. 

35. Kühre man in die gefundene Summations⸗ 
formel wieder pr Ary, Ay uf. w. ein, indem man 

o'y 
ftart 2,7 Fer er u f. w. ihre durch Ay, A’y, A’y 
u.  w. — Werthe aus (29) und ſtatt 
Br, BI, BO u. ſ. w. die numeriſchen Werthe 
berfelben fest, fo erhält man eine neue Gummationds 
formel, nad BASE: 


= /yox+ y+ Ay Ay + Ay--—Ary 
ne etc. 
-r Const. 


638 Summirung der Reihen. 
che fich aus dem Taylorſchen lehrſate auf folgende Art 
— | 


Es fen 2 gr e Bonchen von = ſo iſt 
tat zw + 


R 85 
* — 


wird 6— w)=—0(o) = - Const, ‚und 
02 x zZ x 0% 
Kt znaox 
xa oz | 

— 1.2. 3,0x4 — 

alſo mit Beyſeiteſetzung der Conſtans 
82 xe 02 x OZ . 

em En Te a 
| x4 az 


| — 2 . T.2.3.0x + etc, 
Setzt man nun hier zuerft z— ydx, wo dann 
oz 0'2 _. ey 
== =yY ai. u. ſ. mw. wird, fo verwandelt 
fih die Reihe rechter Hand des Gleichheitszeichens in 
die erſte der obigen Reihen in dem — fuͤr s. 





‚w*. + etc. Run fy w=—x, fo 


Cons. = z—X., 


Set man zy, fo entſteht die zweyte, in — Z multie 


oy o'y 0°y 


na 3 MD 


| oliciete, Reihe. Wird z 


nommen, ſo entſtehen die dritte, vierte, fünfte u. ſ. 


we, in —, —, Xu. ſ. w. multiplicirten, Rei⸗ 


hen. Daher ift Pre Wiederherſtellung der Conſtanten | 


Bummirung der Reihen. 639 - 
DB) 5 Be) ‚Fr 





— x 1.2.3.4 5 
| BO) 9y 
— ee ae: 1 
zur At er. etc. 4 Const 


wo die Const. aus den Conſtanten aller Partialreihen 
zuſammengeſetzt iſt, und dadurch beſtimmt wird, daß 
fuͤr xo, auch s=o werden, oder überhaupt für 


einen gewiffen Werth von x der durch die Formel für 


die Summe von fo viel Gliedern der Reihe, als jener 
Werth von x angiebr, gefandene Werth mit dem, auf 
gewoͤhnlichem Wege erhaltenen Werthe dieſer Summe 
übereinfommen muß. 

Die fo eben gewonnene Gummationsformel , un: 
terfcheidet jich von der, aus welcher fie abgeleitet wors 
ven, dadurch, daß die Eoefficinten der Differential 
quotienten in ihr beſtimmte Zaplgrößen find, daß diefe 
Differentialquorienten nur eine ungerade Ordnungszahl 
haben, und daß ein Glied der Formel eine Integra⸗ 
tionsgröße if. Euler bat in ven Institt. Calc, Diff, 
P. I. c. 5. diefe Kormel auf einem andern, etivas ums 
ſtaͤndlicheren Wege, entwickelt, allein feine Abficht das 
Sen war mit auf die Darfiellung der Relationen der 
Bernoulliſchen Zahlen gerichtet. Hier kam es anf eine 
' £urze Herleitung an, wobey der Zufammenhang ber 
Kormel mit der in (27) Flar dargelegt werden Eonnte, _ 

35. Führe man in die gefundene Summations⸗ 
formel wieder Ay, A'y, A’y u, f. w. ein, indem man 
— durch Ay, Aey, Aiy 
ſtatt 555 u. ſ. mw, ihre durch Ay, A’y, 

u. ſ. w. ausgebruckten Werthe aus (29) und ſtatt 
BI, BI, BI u. f. m. die numerifchen Werthe 
derfelben fest, fo erhält man eine neue Gummationds 
formel, nad — | 
= fort y+ Ay A BE —äy--— Any 
+ etc, 
-r Const. 


640 Summirung der Reihen, 


Um durchaus abwechſelnde Vorzeichen in ben Reihen⸗ 
ausbruc zu bringen, und das Gefeß der: Eoefficieuten 
befjer zu 'erfennen, bemerfe man, daß s=2y+y | 
4 Const, if. Gegt man Bm Werth in die Fors 
mel, fo wird 


1 
—00 — * a 7 * Ay 


N etc, + Const. 
> fey 
— fyox + ae + a'dy + alläty-+ eto'+ C, 
Die Eoefficienten «', a, a, u, f. w. Fönnen 
nach folgender Methode Geftimmt werben, die derjenigen 
nachgebildet ift, welche Euler in den Nov. Act, Pe- 
trop, T. XI au Beſtimmung der Eoeffiienten ges 


| b 
lehrt hat, wenn. Een (ı + ac0sP)3, und aͤhn⸗ 
liche Ausdruͤcke in Reihen von der Form A-+-Bcos® 
+ Ccos2P + Dcos3P + etc. zu entwickeln find. 


Man fege, weil a’, a", a! u. f. w. beftimmte 
Zahlen find, alfo gar nicht davon abhängen, welche 
Function y von x ift, ſtatt y folche rationale ganze 
Sunctionen, bey denen ſich nicht allein Zy, fondern auch 
Ay, Aty, Ay, u.ſ. w. leicht beftimmen laſſen. Hierdurch 
erhält man, weil einmal eine der fucceffiven Differenzen 
Ay, A'y, Ady,. beitändig, alle folgenden aber. o 
werben, in jedem befonderen Kalle aus der obigen Ans 
nahme Zy = [y%x + a'y+a"fy-r- etc. + Const. 
eine Gleihung mit einer endlichen Anzahl Glieder, in⸗ 
dem die Meihe rechter Hand irgendwo abbricht. Iſt 
y fo gewählte, daß es mit den fämmtlichen Diffes 
renzen Ay, A'y, A’y, u. ſ. w. bis auf die legte bes 
- fländige für x=o verſchwindet, fo fällt, wenn man die 
Integrale Zy, [yOx mit xo anfangen läßt, das in die 
‚ beftändige Differenz multiplicirte Glied, indem es mie 
der Const. zuſammen o wird, aus. Verſchwindet 

| nun 


° 


Summirung der Reihen 641 


nun überdieß y und das einfeitig beflimmte Zy, fo wie _ 
die veränderlichen Differenzen bis auf eine für einen . 
gewiſſen andern Werth von x, wie ı, fo fann man 
durch Annahme diefes Werths von x alle Glieder jener 
Gleihung bis auf ydx, welches nun ein beftimmtes 
Integral wird, und dasjenige Glied, welches die nicht 
für x — 1' verſchwindende Differenz zum Factor hat, 
wegſchaffen, und ſo einen der Coefficienten a“, a'', al, 
u. ſ. w. durch ein beſtimmtes Integral ausdrucen, 
wie fich fogleich zeigen wird. 

Dan mache zuerſt yx, fo. ift Zy= a _—, 


welches für x—o ſchon verfhmwinder, und fir= 
J2x; ferner Ay=ı (weil Ax=ı if), Ayo 


ei — fköx +ax+ a + Const, 


I. 





Das Integral werde ſo genommen, wi ed 
‘ für xZo verfhwinde, fo wird, wenn x o gemacht 
wird, Const. — a, alfo 


Wird Bier nun x ı gefest, fo — 
a' — — 10 X 
das Integral von x=o bis x1 genommen. 


— 





Zweytens ſey = e , fo if (Differenzens 


rechnung, 58.) Zy= Be ı Ay (ebendaf. 
g.) =, Aymı, Ayo, uf. mw. Daher 
x(x—1)(xX—2) 21), (x -1) 


— a! "x 
2° 3° a A 
BE 
Sf 


642 Summirung der Reihen, 


Ninmt man das Integral En Ox fo, daß es fuͤr 


x o verſchwindet, fo wird für xX0o, Const, = —a”, 
und wenn man nun x—ı feßt, e 


EZ o 


das Integral innerhalb der Gränzen x — o und 
x Zı genommen. 





&—a)a—ı)x 
- Drittens fen nn bit Sy — 


1. 
—MM—), (x— ı)x : 
14 2. 3» 4 Is 2 


Aymı,Ayuf.w. —Zo. Mithin | 
— Ele, 
is 8 5 ; 





+ a’. u), Men + allix 
' 2 


I» 2 ; 3 Is 
5 + a'r + Const. 


Hieraus ‚folgt nach derſelben Art zu ſchließen wie 
vorhin, | 
— —— NR), 
I. 2. 3 


das Integral von xXXo bis x=1 erſtreckt. 


Das Geſetz der Fortſchreitung zeige ſich nun klar, 
und es iſt — 


——— 
—— Dee 
* * la .ı 
Das juregral von x=o bis x=ı genommen. 
Hieraus entwickelt man feicht folgende Ausdruͤcke für 


Die Eoefficienten a’, a", a! see 


Summirung der. Reihen. | 643 


= 3 + 3 u 
“ 1,2) 
a'— —— 2-20) 
2.3. 4 
. c 2,5) 
I I Bee En, 1 
a —⸗ — — ———-A-B—0— -D 
2.3.4586 5 + 3: r ) 
C1,2,5,4) 


etc, | - 


wo bie Zeichen A, B', C .... Summen von Pros 
ducten ber natürlichen Zahlen, weldye der jedesihalige - 
Zeiger angiebt, nach den Combinationsclaffen ohne 
Wiederholungen anzeigen. 


Das Bildungs » Gefeg diefer Coefficienten läßt 
fih auch noch, auf eine andere Weiſe darſtellen, naͤm⸗ 
lich folgendergeſtalt. 


Man formire eine nach den Potenzen einer unbe⸗ 
ſtimmten u fortſchreitende Reihe 
ß * Bu + But + us 4 ne etc, wo 


x(Xx— 


— fax, B'— [xox Br— — dx, Bu 


— — en u fe w., die Integrale fo genom⸗ 
I. 

men, daß fie für x 0 verfchwinden, und B’, B”, 

PB" u. f. w. für den Werth Er ı fih in at, —a", 
—a“ u. ſ. w. verwandeln. Man ſetze nun die Summe 

der obigen Reihe P, wo P eine gewiſſe Function von x 

und u iſt, fo wird, wenn man borctfeit die Differen⸗ 

tiale nach x nimmt, 


Summirung ber Reihen. 


| Re wann — 
ee) 
= ox(ı Fu)” 
folglich durch h Integration (in Beziehung auf *) 
ı + u)“ 
| —jogı Fu) + Const. 
Da P für verſchwinden muß, fo wird Const. 
u — +w' alle. 
G+ruWt—r. 
* 108014 u) 


Setzt m man x—ı, fo verwandelt fih P in 
Tr ad — aut — au — etc. Daher iſt 


B 


1 — alu — au? — alu — „etc, = — — 
tr | log(ı + u) 


ı 
ober — 8* alu— alu etc Beer 
fo ba fü fh «, a’, auf. e auch durch die Ent⸗ 


| SB des Quotienten —— — u) — oder der Potenz 


Hog(r * u)]* — laſſen. Man erhaͤlt da⸗ 
durch für a’, a’, a’! u, ſ. w. folgende recurrirende 


Sormeln 


N 2 
2 3 
I I 
at — — — — af — — 
2 3 4 
1 1 1 
dr all ae m 
J 2 4 5 
1 1 
av — un EEE 7 — — 
2 a, en 5 6 


r 


Summirung der Reihen, - 645 < 


Beylaͤufig kann man bemerfen, daß hieraus, u==ı 
Hefegt, folge s | 
fox + [0x + fu —— 
= I. .2 j I. 24 3° 

4 ete. in inf., = — 
| log 2 
wo die Integrale fo genommen werden,. daß fie fämmt: 
lih für x—o verfchwinden, Setzt man noch x=ı, 
fo wird | 


Du al u a a a etc, — — 
log2 
alfo die Summe der unendlichen Reihe 
J UL gi Iy ee a 
«+ruoa'+ra + a'v etc, ininf. = ı Pr 
Sest man aber u=—ı, fo wird P=o, alſo 
B— B' + B" — PH — etc =o 
und nun x=ı gemacht, EN 
staat alt — al L’eto = o 
alſo | 
a a a Lat — a’ tete = 1. | 
Da die Coefficienten a’, a", a’! uf. w. abwechfelnd 
negativ und pofitiv find, fo befommen: in der Reihe 
— at + at — al. + etc, wenn flatt a’, a’, a’! 
u. ſ. w. ihre numerifchen Werthe gefegt werden, ſaͤmmt⸗ 
liche Glieder das Vorzeichen +. Hieraus folgt, daß 
die Glieder dieſer Reihe —a', + a”, — a", ohne 
- Ende abnehmen, und zuletzt unendlich Flein werben 
müffen , weil fonft die Summe der Neihe nicht endlih - 
und —ı fern koͤnnte. Diefes Ergebniß iſt nicht uns 
wichtig. — 
36°, Die eben entwickelte Summenformel ergiebt 
fi auch aus dem oben in (28) angeführten Gase von. - 
!agrange, wenn man darin — — und [yOx, Zy 
k —— 
und y beziehungsweiſe ſtatt = A=!y und A°y ſetzt, 


2 z 4 
648 Summirung der Reihen. 


In diefer allgemeinern Form ift die Formel in 
bem Art., Quadrafur, 134. angeführt. Auf der zwey⸗ 


J O 
ten Sormel fü 2 in (36) beruht die in eben dem 


Art. 150., mitgerheilte Formel von gaplace zu den 
mechaniſchen Duadraturen., Bey der Anwendung auf 
die Gummitung der Reihen ift Zy=Sy- y ober 
—=s+y,und w=ı, mit Beyfügung einer willführ: 
lichen Eonftans zu dem einen oder andern Theile der 
Kormeln, welche auch fonft, wenn fie nicht ausdrücs 
lich hinzugeſetzt wird, als in Zy oder yox mit begrifs 
fen gedacht werden muß, 


39. Was nun ben Gebrauch der beiden zuletzt, 
nämlih in (34) und (35), gefundenen Gummas 
tionsformeln betrifft, fo briche fowohl die eine als 
die andere ab, wenn y oder dad allgemeine Glied der 
zu fummirenden Reihe eine rationale ganze Function 
ber Stellenzahl x ifl, Denn alsdann verfchwinden 
nicht bloß die Differentialquotienten, fondern auch die 
Differenzen derjenigen Ordnungen, welche höher. find 
als der Erponent der höchften Potenz von x in y. Iſt 
diefes nicht der Fall, fo erhält man durch die eine 
Formel ſowohl als durch die andere für die Summe 
einer Reihe felbft wieder eine Neihe, und zwar mit uns 
endlich vielen Gliedern, wo es alsdann darauf anfommt, 
ob ſolche fich dem Totalwerthe fchnellee nähert, als die 
vorgegebene zu fummirende Reihe. Sollte diefes aber 
auch nicht feyn, fo mag fie doch in analytifcher Ruͤck⸗ 
ſicht, durch die veränderte Form der Summe, brauche 
bar feyn. Die erfte Formel hat vor der zweyten den 


| :d 
Vorzug, daß darin die Differentialquotienten 2 


* 
d2y 85 | 
— u. ſ. m. vorkommen, welche faſt ohne Aus— 


nahme nicht allein ungleich leichter zu finden find, fons 


} 


Summirung der Reihen. 649 


bern auch einfacher ausgedruckt werben, als die fuccefe 
fiven Differenzen Ay, A'y, Asy ut w. Dagegen . 
nehmen in ber zweyten Formel die numeriſchen Coeffi⸗ 
cienten ohne Ende ab, da in der erſten die Bernoulli⸗ 
fchen Zahlen eine höchfldivergente Reihe bilden, wodurch 
der nach der Formel gefundene Summenausdruck in 
beftimmten Sällen, wenigftens in den. weiter vom Ans 
fange entferntern Gliedern, gleichfalls Divergent werden 
wird. — Es ift jeßt noch der Gebrauch der gefundes 
nen Formeln durch einige Beyſpiele zu erlaͤutern. 


— Es de Summe der harmoniſchen Reihe 
er =+- u tree + 


I 


zu finden, z it y=-, alfo ydx == logx, 


yo. 1 — 


| ri es l 9x3 — 1. 2. 3. X — — 
— 1.2. 3.4.5 x° u fe w. Daher nach der erſten 


Formel in (34) . 
). Ba Beo 
soul. on 


ax: 2x8 . 4x! 6x6 


BE) Bcb) 


— 
— 0000 





Da die Eonflante C aus dem: Kalle x—o nicht 
beſtimmt werden kann, ſo ſetze man xSi. Fuͤr die⸗ 
ſen Werth von x iſt s=ı, alfo | 

ı BU . BI) BON) Bch 

—0 —— —— ———4 — ete. 
— e 

5“ Ba) BE Bi 

ee EM Re  AREÄRTEDNT 
4 6, 

Da die Bernoullifchen Zahlen eine divergirende 
Reihe bilden, fo ift biefe Reihe zur Beſtimmung der 


% 
650 Summirung der Reihen. 


Sonftante nicht tauglih. Weil indeß die Vorzeichen 
in ihr abwechfeln, fo wird der Totalwerth, wenn man 
zur Berechnung defjelben fters ein Glied mehr zuzieht, 
immer jwifchen zwey Graͤnzen eingefchränft, die, fo lange 
die Reihe convergirt, immer näher zufammen rücken, 
Hält man fih an die vier erſten Gliever, weil das 
fünfte fhon eine Entfernung von dem Totalmerthe bei 
wirfen würde, fo findet fich | 
C>0,35 
< 0, 58333 
| — 0, 57500 
< 0, 57397 | ; 

Daß die Conftans wirklich zwifchen diefe Grän: 
zen fälle, zeige ſich, wenn man fie auf einem anderen 
Wege fucht. Wendet man nämlich zur Summirung der 
vorgegebeiten Reihe die zweyte Kormel in (35) an, fo 


N — — ee 2 en | I. 2 
nt TR 
= V alhæ 


I ı I 
= .Cı+1 ——— 
er 12 x(x+1) 





1 I. 2 Ig I, ’ 2: 7 
24 xist1)a+2) 720 zis+1)(ah2)+3) 
J— — etc. 


Der allgemeine Ausbrud für A"y ergiebt ſich leicht nach 
net U n(n-1) n(n-I)(n-2) 
der Formel A’y =(y-7 .y’+ — * —— 


Da + etc) „ (— 1)" 
vermittelft des Satzes, daß 


ı n 1 n(n-ı) I n(n-ı)(n-2) ı 


m a "n+r'ı.a2 "mtar I. 2. 3 "m+Ö3r 





1. 2. are ‚n. r?® 


— m(m+-r) (n+2r).. (m4+r)' 
welcher aus der oben (4.) angeführten und gebrauchten Rela— 
tion der Binomial-Coefſicienten abgeleitet werden kann. 


Summirung der Reihen. . 651 


Die Eonftante hier, C’, iſt mit der vorigen. einer- 
ley, wie fogleich erhellt, wenn man x unendlich groß 
ſetzt. Es wird nämlich aus der eriten Formel für s, 
wenn n eine — große Zahl iſt, 


0=1+— + — + +4. 4 2 —logm. 


Aus, der — — ehr s aber bey derfelben Ans 
nahme des —— von x 


ER. RE — 
| C=ı + _ = 3 — + ..t+ z logn. 
Daher 0* 


Um uun C’ oder C vermittelſt der zwenten Kor: 
mel bequem zu berechnen, füche man die Summe der 
sehn erften Glieder der Reihe durch wirfliche Addition. 
Haßt folche der Kürze wegen h, fo ift x 10 gemadhr, 
h=C'.+ logıo +5: a > 


12 10.11 24 10.11.12 
19 1. 2.3 3 1. 2.3.4 


— — — — — — — —— — — — 


720 10,11,12.13 160 10. Il. 14 











— etc. 


alfo 
ED 1:2 


20 12 10. 11 24 10,112 
19 1:94 7° 
T etc. 


740 10.1112.13 

Die Reihe convergirt durchaus (35), obwohl im 
mer langfamer. Sie giebt, wenn die zwölf erften 
Glieder in Nechnung gebracht werden, und biefe felbft 
mit acht Decimalſtellen gefuͤhrt wird, 

C'== 0, 57721566. 

Dieſer Werth von C’ oder C, welcher hoͤchſtens 
in der letzten Decimalſtelle fehlergaft ſeyn Fann, ‚fällt - 
zwiſchen die oben angegebeneh Gränzen, und zeige da: 
duch, daß die Reihe für C in ihrem convergenten 
Stücke doch eine Annäherung an G gewährt, : 








652°  Summirung der Reihen, 


Um jest C in mehreren Decimalftellen genau zu 
erhalten, fege man in der erften Reihe für s gleichfalls 


'xı0, fo wird 
| ı 90 () @ 
‚cC=h—log ı0 — — B — Karl 
20 2,10° 4.10% 6. 106 





und hieraus, indem De 

| . 2520 

C= 0,5772156649015328606065 

wo zu der Verechnung nur das convergirende Stuͤck 
der Reihe zugezogen wird. Die Neihe nämlich gehöre _ 
“fo wie die erfte für s felbft, wie groß man auch x 
nehmen mag, zu der Gattung der halbeonvergirenden 
(Meihe, 32°.). Der divergente Theil derfelben ift die . 
Entwicfelung einer Function, welche fich häufig auf ein 
beftimmtes Integral bringen, und fo mit dem lesen 
in Rechnung gezogenen Gliede vergleichen läßt. Dias 
mentlich ift diefes bey unferer Meihe ver Fall. Man 
fehe darüber. Erhingers ſchoͤne Ausführung in 
Schraders Commentatio de summatione seriei 


= u t 6, Hi 
J NT ee 


mag die Übereinffimmung des gefundenen Werths von 
C in den acht erften Decimaljtellen mit dem, auf 
einem andern Wege erhaltenen, welche Liebereinftime 
mung nicht zufällig feyn kann, hinreichen, Die Sicher⸗ 
heit der Anwendung der Reihe für C zu bewaͤhren. 


40. Gebt man x==ı in der zweyten Reihe für 
8, fo wird, weil alddann s=1 iſt, 


ci’ ei — A 1 
Zu TEE 24 3. 720 4 160 5 
+ etc. 


Diefes iſt auch der Werth der bey dem Integral⸗ 


3 1 


— | 


Summirung der Reihen, 653 Ä 


, | — :» Ze | 
logarithmen oder der Function — vorkommenden 


Conſtante. Da namlich 
log, int. (1 —x) = 
er a = Jlogı—z). 
| 2 5 
= Const, + ler I 
2 122.24 3 
19 x 3 x 


720° 4 160° 5 
fo wird , wenn log. int, o= 0 feyn foll, für = 


11 1 1 1 1 
IS 2 24 3.720 4 
— IC, 


alfo 

ER EEE 
ons — — sg Tonne —— — —— eto. 
12 Tre 3 720 4 


Mafcheroni und Soldner haben diefes Ergebniß, 
jeder auf einem andern Wege, herausgebracht. 


Man Eann der erften Summenformel in 
(34) Er efwas veränderte Einrichtung geben, fo daß 
die darnach gefundenen Summen der Reihen, wofern 
fein gefchloffener Ausdruck dafür gefunden werden Fann, 
durch etwas convergentere Reihen dargeftellt werden. 
Diefes gefchieht auf folgende Art, 


Da y=9x, fo fy T=Px+3), fo daß y aus 
T wird, wenn flatt x gefeßt wird x — zZ. 


Weil hun T felbft wieber eine Sunetion von x 
ift, fo giebt der Taylorſche Lehrſatz 


654 Summirung der Reihen. 


ı eT ı %T 1 ST 
20x ar 20x 0, 1.2.30x3 
| 1 247 


— — — — etc, " 
2% 1.2,3440x* 


eT ı @T ı _&T 
2" x "24 Oxt 2.4.6 98 
I oT 
6% 7 — —— a * 
wo s das Summengeichen iſt. Man fuche nun nah 
der Formel in (34) 


Sy Const. + /y6x — —y + 
| ı 0% fi 


FERNE Schi META HEERES SRRSETN 
“20 0x3 30846 "9x5 
2 


1 dy 
12 Ox 


oT T 
die Werthe von ST, 8,8 8—, n. ſ. w., indem man 


8x 8 
oT &T 
für y nach und nad T, — 
ſubſtituire ſolche in dem obigen. Ausdrucke fir Sy, fo 
wird nach gehoͤriger —— — 


syConst. + [Töx—— 2, 
on — — 
= 24 at 0x8 


51 &T 
967680" dx5 T m 
Um zur Einf cht dee Gefeßes, nach welchem die 
Eoefficienten diefer Reihe gebildet werden, zu gelangen, 
ſey | 


Sy=ConstH Testen; — 24 8. 


u. ſ. w. ſetzt, und 


oT 

Ox3 

7 
4 +5. 5 Teil 


Summirung der Reihen. 655 


Da die Coefficienten a, B, Ys... zu den Diffe: 
7 oT 867T 

Eee beſtimmte Zahlen ſind, 
deren Werch ſich Ei Andert, die Function T oder y 
mag ſeyn, welche fie will, fo kann man, zur Beſtim— 
mung bderfelben jede beliebige Funetion von x für y 
wählen. 


Man nehme eine ſolche, bey BR ſich nit al 


oy 
6 Ö 
lein y, fondern auch fyox, — Se 


ST ST 
‚hin auh /T0x, — SE f w. leicht beftimmen 
laſſen. Die triß ein für y—e”*, wo e die Grund: 
zahl des natürlichen dogarithmenſyſtems if. Es wird 
nämlich bey diefer Annahme 
Sy — e en ne 
en(emx— 1) | 


e"— 1 


rentialquotienten — 


nf w., mit: 


a I I 
Ferner ift TZe”tz, eb fix = tm —T, 
m 


\ m 
ST o5T ” Br | 
22 =m, T, — —=m?.T u. f. w., folglich nach 


der Formel 

Sy= Const, + rl tram+Am®+ym5+ ec.) 
Weil Sy für x=o verfchwinder, fo iſt 

Const. = — e!" (+ am+ßu’+yms+ ec. ) 


mithin 





ar) = eier — I) [x + am + Bm3 


+ — + 6m7 + ee. 


Ä Aber 


656Summirung der Reihen. 


hi 


oder | 
en _ B. .». — 2 
— ef—ey m Tue 
F 4 öm? + etc, 
Man fee m — ſo wird 
SUR 
OV EV v7 gr 
* 79 — 697 + etc, 


alfo wenn man auf beiden Seiten mit ay—ı mul 
tiplicirt 


2 

— — ren 

— 279° + 2897 — etc, 

eaPV- I_ eFJVv-ı Ä 
2V —ıI 





= sin-P daher 


| 3 — 200 + 20 — 2yP° + 2897 — etc, | 


/ 


4.38 
= Mr 


a8. (23 —1)B). 
u BT — 
2{2°—1 I ) .p + etc. 


aus Cyklometrie, 21. Die, nn der Eoeffis 
cienten zu den gleichnamigen Potenzen von P giebt 
@—1)%0) 
I. 2 2 J 
BEN 


1.2.3.4» 2° 


Sunmmirung der Reihen. 657 


_ _ WE) 


— — — — — 


1. 2..... 6. 2* 
Zn AH (4 
— (2 ı)d > 


1.3.8547 
i ee 
Demnach ift Sy over - | 
— | — u) ST 
s— Const. + Tox - > | 








4, "4.4. 506 
28 —1 Da) BT 











+et. 
wo y==9%k und TZ (« + =) iſt. 


Dieſe Formel, in welcher die Coefficienten etwas 
kleiner ſind, als in der urſpruͤnglichen, laͤßt ſich mit 
der in dem Art. Quadratur, 137. angeführten zwey— 
ten Maclaurinfchen Formel vergleichen oder if viel: 
mehr mit derfelben einerley. Nach ihr wird, weil fr 


” —— —— 
die au: Heide y= J alſo T= —A 7 
Tox =ios(x+ =) w f. w. ift, die Summe 


derfelben fo ausgedruckt. 
— I I I 
ee un do 
32.3 4 * 
| I 2—ı Bm 
== Const, — 10g( 7 =) T — —eS 
Bd 3) 25 DM 


a 
m etc, Ze 
Tt 


658 Summirung der Reihen, 


1 
oder x — — ſtatt x geſetzt. 





1 1 1 SER 
1 Kr Tr oe * — — 
— Const. + logx + = 
| | 2, 2x° 
23 —1ı)BI) , (25°— ı)B%) 
ww _— — — — ete. 





25. 4x4 25 6x® 
Die Conſtans ift mie der vorigen C diefelbe, wie fich 
ſogleich ergiebe, wenn x unendlich groß geſetzt wird. 


Setzt man in. der legten Formel x _— = ı0, 
fo wird 
Const. —=h—logai + log2 — 

9 BON. 197 B@) 


2 80 132) ., 


— — — — etc. 


Fi, U 3, .21° 4. 21 
Die gefundene Summirung der barmonifchen 

Heiße giebt zu mehreren merkwürdigen Folgerungen 

Gelegenheit, wovon hier nur die Pla finden mag, 

welche aus dem.legten Ausdrucke — ergiebt. 

xt) zZ I 

— 


——— 1 — ) 
+ 2, 2. ar y)® 





— 


(2 1)B6) BE 
=, ang. At CHF) 
(25 —ı)BO) oa 
+58 * Br 


_ Übrigens fehe man Euleri Institt. Sale. Diff. P. II. 
VI 8. 145. 


| Summirung der Reihen, 659 


ar. Die zu fummirende Reihe fey die der reci⸗ 
profen — der uns Zahlen 


14 Pr + te + 


Si ift y-5 —, alſo fax - m — — 
X | 
Te Eid 3 — 3. 4 x; 
0° au — 
= — — IL, 2. 422 6 x 75 u, ſ. w. Ferner 
——— u: = 
= —— um [Ir — — = 
a 
. PT 
— 1.2(&X+3 = una 
etc, Xlfo 
PR I ı B0) PO 6) 
S— = Cl—- L —— Lo __ 
— er x 4 x. x ae 


ı  (@—-ı)B0) (23—1)B0) 
xt3 2&+3° 2%.a+3° 
BED 
2x +37 
Die Sonftanten C und C’ find gleich, weil die 
eine ſowohl als die andere der Totalwerth der -ins Ans 
endliche fortgeſetzten Reihe iſt. Um fie bequem zu bes 
ſtimmen, ſuche man die Summe ber zo erſten Ölies 
der der Reihe durch wirkliche Addition, und fege folche 
h, fo if h= ı, 549767731166... .. und num, 
x 10 gemacht, 





— etc. 





ı.. Ba HB) (3) 
10 200 10° 10° 7 
a Bo) Ba) 31B6) | 
7 BR ı GBR BE? Sn 21° | 217 


30° Guminirung der Reihen. 
Die ausgefuͤhrte Rechnung giebt 
C == ı, 644954066848. ... 
Da die Summe der ohne Ende fortlaufenden 


Reihe auch — ift Potenz, V. 3), fo folgt, C =7, 


wie e& auch die wirkliche Verechnung ausweiſet. Dies 
fes zeigt wieder, Daß das conbergente Stück der Reihe 
fuͤr °C, welche anlegt divergent wird, ficher zur Berech⸗ 
nung von C gebraucht werden kann. 


42. Es fey =; Y J daß 


— — * ee 


| r 0y 
iſt. Man hat nun /yo — — — 4; 
iſt un in 3x; 


83 0° 
en =z—g,4. sw; 34 — — etc. 


8x OX 


| BT «+. 
Serner [Tax = — r 3 


— rB = _ 049%; 


ST | 

* 5 77353 4.743); 

u. fr 10. - Daher 8- oder 

I 2380) 5B 7% 
+ 


2x° 9x» 9x4 2x° maß} 
+ etc. 
C he 3a —ı)B) ) 5% — v 
Ted 
| s— 3). 
—— 5* — etc, 
EHEN 


wo aus bemfelben Grunde wie borhin CC if, 


Summirung der Reihen. 6 


Die Summe ber erften 10 lieder. des Reihe, 
durch wirfliche Addition gefucht, iſt | 

h= 1, 197531985674 ««. * 

und | Ze 5 

C = 1,202056907T59.u.. 

welches auch der Totalwerth der ins Linendliche forte 

laufenden Reihe ift, | 


43. Auf diefelbe Are werden die Summen. aller 
Reihen der reciprofen Potenzen der natürlichen Zahlen 
gefunden. Die Summen der geraden Potenzen find, 
- Motenzen deffelben Grades von m mit einem Factor 
multipficirt, der durch den Exponenten der Potenzen 
beftimme wird. Euler giebt diefe Summen bi zu 
der von der 16ten Potenz in den Institt. Calc, difk, 
P. II. $. 15:1. auf 16 Decimalftellen. In 15 De: 
cimalftellen berechnet ftehen fie bis mit zu der von der 
35. Potenz in fegendre’s Exercices de Calc. integr. 

IV. Part. J. 73., wo zugleich einige. Fehler in; den Eue 
Terifchen Angaben: berichtiger find, | 


44. Es ſey y Zlogx, ot 
s— logr + log2 + log3 + loga +.....+ lagm. 
fo it /yox= [öxlogx— xlogx — x nach Integral⸗ 


9: 
formel, 93. Ferner = — = zu 2. x% 


oy 5 
mt 2.3. 4x; u. ſ. w. Mo | 
— sr Ba) Her 
a 08x. + en) 
3 i 
— + etc. 
6.23% 4.38% 


Da die Conſtans aus dem Kalle x=o nicht bes 
ſtimmt werden kann, ber all, x=ı aber wo 
s—logı =o ift, eine, wegen der bald eintretenden 
Divergenz,' zur Berechnung von C nicht ſehr taugliche 


662° Summirung der Reihen, 


Reihe giebt, fo feße man x — 10, und logı + j 
log2 + ...„.+ logro =1log3628800 — h; fo iſt 


h=.15, 104413573075 N f se 
| 2 (1) 2 
2 I.2. 10 3.4.10 
65) | 
—h — — t M 
5.6.10° un 


Die ausgeführte Rechnung giebt 
 C= 0, 918938533205 | 
- Der Werth diefer Conftante läßt fich aber auch durch 
einen gefchlofjenen Ausdruck darftellen, und zwar, wels 
ches merkwürdig ift, durch einen bon der halben Peris 
pherie m zum Halbmefjer ı abhängigen. Da nämlich, 
wie. Wallis gefunden bat, J 
=m_2 22.4. 4: 6. 6. 8. 8. LO. 10. 12. Eic, .. 


— — 


| „2 1.3.3.35.5.7.7.9. 9. 11. 11. etc 
fo ift wenn’ man im Nenner mit einem ganzen Paar 
— (2x— 1)? abbricht, und x unendlich groß 
etzt, — 


logr—log2 = 2 (1022 —logı + logg—log3 + 


log6—1log5 +... +log2x—lög(2x— 1) —logar 


“ Kür ein unendlich großes x aber ift nach der 
Formel | 
logı + loga + log3 + ...... + logx 
=C+&+ Dog 
alfo 2x ſtatt x geſetzt | 
logı + log2 + log3 + ..... + log2x 
| 3 —=C-+ (2x+%)log2x— 2x 
und log2 +log4 +1l0g6 +... + log2x 
= xlog2 +logı +loga +... +1logx 
=—=CG-+xlogıx + $logx—x 
mirhin, wenn man die-legte Reihe von der vorletzten 
abziehe, F | 


Summirung der Reifen. 663 | 


log ı + log3 + log 85 +... + logax— ı) 
= (x+Hlog2x—4logx—x 
und dieſe Reihe wieder von der letzten fubtrabire 
loga —logı + log4 — log3 + logb — log; +. 
+ log2x—log (2x— )=C—H#logex+ logx 
Dadurch wird 


2C6-—2log2x + 2logx = log— 


d. i. Se . 2C—ly= log— 
alfo | 2C = logar 
| : j 
und C= — log2r. 
2 


Hierdurch ift alfo b 
1 | a). 
— —logär + (x+3)lege—x+ — 
2) 963) 934) 
— n.* 5.6. 2 7.8.87 


45. Da in dem vorigen Beyſpiele y=logx, | 
ſo wird T= log(x +4), /Töx = — foxlog(<+ 5) 


xlog(x TOITArT — log(x+#). Manerhält für bies 








- fes Integral, wenn man x — ſtatt x in ydx ſchreibt = 
- (x+#)log (HB—6+D, welches mit dem vorigen 
auf N, weil der Linterfchied von z mie 


— 


oT 
zur Conſtans gezogen werden Eann. Kerner if Falk 


3T oT * 
+9"; 53 7 1.2 (<-+3); 55 


1.2.3.4(% +3); eto. Folglich 


664 Summirung der Reihen, 


= c * XIogs V — ie 

._ &— 1). (a5 a 1)B 

na (+3) 233.40 +43 235.004 
+ eic, 
Die Sonftante Bier, C’, ift mit der vorigen C einerley, 
wie rheils die unmittelbare Berechnung aus dem Kalle 
x==ı0 lehrt, cheils fo: erhellt, Man fee x —%, fo 
wird, da nach (Einfhaltung, 51) das in der Meihe 
Stellenjaßlen 0, 15.9, 9.4 u. f. w. 
Slide Tr, 3, . 12. 123. 1.2344 m 


ber Stelle — angehörige Glied — — V ", iſt, s= 


I R SE 
Zrlogr — logz mE daher 








— 1)BG) 3⸗1)B(2) 
C-lg=l im AB) B 
2 1,2 2, 3,4 
I 5). 
— 4 etc, 
e% 2°, 5. 


- Gest man in * ſtatt C feinen aus vn te — 
gefundenen. Werth, welcher ift- | 
DB) BI 7 BI: 


— — — — — etc, 
F 3.4 5. 6 ag 
fo wirb 30 
—— 


(2) — ON — 
Be) * 1 2% w—ı — 
5 5.6 





mb nın x T2 gemacht, wo s logı + log2 =log2 


iſt, 
(d — 1)0,(62- ) B 
1. 2.2 ä — 4. 2 
— + etc 





Summirung der Reiben. | 665 


db. i. 
. — 1) r) Sr 2) 
3 er (2— 1)B _ta 1)B 
2 I. 2. 2 3.4.23 
ee (25—1)B) 
6.2 a. 


Diefer Werth von. . > log giebf, in. die Gleichung zwi⸗ 

ſchen C und C* — | 
— —— 

Alſo A | 

— log2r + (<+- 5 -)— - (x+: =) 


_2 ne) (23>—1)B@) 
1.2. 1.2.2(x+4) 3.4.2°(x+3)° | 


— eto. 





oder x * x gefeßt 


logı + -iog> £ 1083 + — 4.. 4 log — 


_@—1)80) 
2 oe * * — 46 2, 2X 


| (sn) B@) — 6 
Zu 3.42) 5.6. (2x5 


- 46, Die gefundenen Formeln. für die Summe 
einer - Anzahl von $ogarichmen der natürlichen Zahlen - 
gelten für Anperbolifche oder narürliche Logarithmen. 
Wird die Summe verfelben Anzahl gewöhnlicher oder 
Briggifcher Logarithmen verlangt, fo find die gefundes 
nen Ausdrücke noch auf beiden Seiten mit dem Mor 
dulus der gewöhnlichen Logarirhmen 
k== 0,43429448190525...,. zu multipliciren. Da⸗ 
buch verwandeln fih m bem Summenausdrucke 


+ e 


666 Summirung der ER 


— logar, ZIEH uf mw. in — log. vulg, 2r; 


— vulg.x; u fü w., bie — Glieder aber wie 
Ba) 21)B65 

x, — — — u. fe m. bekommen noch den 
I. 2x. I, 2, 2X i | 


Factor K. 


So wird nach der letzten Formel die Summe s s 
der — 500 Bern Logarithmen 


— valg 2r ER — log valg, 1001-1og. vulg.2) 





1001 











— 
2 
J ) (ie (2-1) 
1. 2. 1001 3+ 4, 1001° 5.6. 10018 
— etc, 


Ze wu 
* log.vulg. 2r = — 99341 J 


1001 





(log.v. or ⸗io v.2) 
— = 1351,05174 29485 7639 . 
Summe — 1351,45083 28827 5545 =O 
1001 | 
k= 217,36438 81925 7754 





j 2 
28 (.— 1)B(60) 


k=-+ 0,00003 61550 5177 
I, 2. IOOI — — — —— — 
217,36442 43476 2931 
(23—1)%(2) \ 
— — li 7 0,00000 00000 0842 
3.4. 1001ä ———— 
Net 217, 36442 43476 2089—P 
sSs— 0— P-1134,08640 85351 3456 


Moivre hat, als ihm die Summenformel noch 
nicht bekannt war, diefe Summe durch. wirkliche Ad⸗ 





Summirung der Reihen, 667 


dition gefucht, und ſolche — 1134,0864 1709783568 
gefunden, Miscell, analyt, p. 104, Es müffen aber - 
berrächtliche Nechnungsfehler vorgefallen feyn. Denn 
fhon die Summe der erften 16 Logarithmen ift in der 
sten Decimalftelle, wo eine 7 flatt 6 fteht, fehlerhaft. 
Nachher hat Moivre feldft die erfte Summenformel, naͤm⸗ 
lich die in (44) bier, in dem Suppl. ad miscell anal. 
befannt gemacht. Die zweyte Formel in (45) giebe 
©titling, Method. difl. Prop. XXVIII., welcher 
auch juerft bemerkt hat, daß der Werrh der Conftante 


Cor c— —log 2m iſt. 


47. Wenn # unendlich groß genommen wird, fo 
folgt aus der erfien Summenformel 


I I 

log (2.3.4.0. 3) 508 27 + (x + —) logx 

a — X 

d. i. 
log. Y2r log xxt — log e* 
alſo, wenn man ‚bon den” Logarittuen zu den Zahlen 
zuruͤckgeht, 

a 


1. 2. > de X — . Var. 


Das Ergebniß, welches die zweyte Formel Pe 
ein unendlich großes x liefert, 
I1x+i 
I,2. 3..... x — — ara 2) V2r 
ext! 


ift von dem vorigen nit verſchieden, da (x + 2 = 
wi * — , und für ein unendlich großes i 


it(: +) — (. 9 —e! r- 


wirgin («+ HR ‚ei wird, 


7 


668 Summirung der Reihen. 
Von diefer Formel ift in dem Air., Summirbare 
Meihe, 25. Gebrauch gemacht. 


Aus der gefundenen Formel folgt 
ru (x + zyxtzrt 
1.2, Zoran x+2)= — — 
alſo dieſe Formel durch jene dividirt, 


*42 
— +2)... ren 


ext 


„Vor 


2**8 
und wenn man bier mit 1.2. 3. ee, ZE—— Var 
e” 


dibidirt, wo z gleichfalls unendlich groß iſt, 
1)2).... (X +Z) (+ ZH 
ER FE RER xıttizetl Var | 
| (x+z)"” x+z 
my 
xxz amXZ 


und, +3 zw gefeßt, wodurch x ı =zw—z-+ 1 





Ä wiw-ı)'w-2). ——— — wW ev w 
Il, 2. J —— 2* 2m2(z-w) 


Das ift ein Mäherungsausdruf für einen weit. vom 
Unfange oder vom Ende der Entwickelung entfernten 
Binomialcoefficienten, deffen Stelle durch z angegeben 
yird, in,einer fehr hohen Potenz. 


Wenn wen, zn ift, fo wird 


2n. 20 — 1........ 'n-+ı (an)?" en 
—— | — — —— 
1. . n n”.n” . 2rınn 


— zen, — 
nr. 


Dieß if bie größere Graͤnze für ben mitsferen 
Soefficienten in. der Potenz; an, . Man f. Binomiale 


Summirung der Keihen. ‘669 


coefficienten, 26. Wir werden aber fogleich Mittel 
finden, dieſen Eoefficienten genauer zu beftimmen. 


48. Es fy KO; KX=Oatı); Xu 
=Olkx+2),; uf. m Man foll die Summe ver 
unendlichen Reihe mit abmwechfelnden Vorzeichen. der 
lieder 

X-XH- XI XULXY’- ete 
beffimmen. | 0 

Es bejeichne S diefe Summe, welche alfo eine 

Function von x— x fern wird, fo daf 

X— X +- XI— X -XY—ec.oS . 
it. Setzt man nun überall x-+ ı ſtatt x, fo wird 
XXX '- X — XY+-X’—ec—S5 zv(i+1) 
alfo PEN 


St-S—-X. 
Mach dem Taylorfchen Sehrfage iſt 
— 05 828 058 
| Tat ain 1. 2. 3 0x° a 
mithin | 
os 0°S 055 
2:S+— + 4 4 eto. X 


dx ——— 1,2.30x5 


| ‚Hieraus ift näherungsweife zuerſt s=-—x, 
— —— 2 


a 1 t 88 ı ı 0X 
Genauer mh S=- -X— -, — = -X— -,—, 
2 2 0x 2 4 0x 


Man fese alfo 
— En oX ß 0X 0X i 
Zu ET 5*7. 775 te 


Da die Coeffieienten «, ß, Y... zu den Differential: 
quotienten beſtimmte Zahlen find, deren Werth fich 
nicht: ändert, die Junction X mag feyn, welche fie 
will, fo fann man zur Beſtimmung vderfelben jede bes - 
liebige ‚Function von x für X -mählen. Es fe 


f 


668 | Summirung der Reihen, 


’ 


Don diefer Formel ift in dem %it., Summirbare 
Neiße, 25. Gebrauch gemacht. 


Aus der gefundenen Formel folgt 
| her 
un Zoran x+2)= re 
alfo diefe Formel durch jene dividirt, 


2 \xtz+4 
Dre a4) 


e⸗.xxt 


«Var 


224 
und wenn man hier mit 1.2. 9. 2 a Var 


dibidirt, wo z gleichfalls unendlich groß wi 
KHNEA+2ND.....(X +2) (x + zyrH 





Be | 2. —— tige Var 
_ +2) x+2 
——— amXZ 


und, xt zw — wodurch x — IZw—z +1 
wird, 





W(w=-1Xw-2).(w-z+1) _ w“ iu w 
4 Be ——— 2r2(2-w) 


Das iſt ein Mäherungsauspruf für einen weit. vom 
Anfange oder vom Ende der Entwicfelung entfernten 
‚Binomialeoeffiiienten, defjen Stelle durdy z angegeben 
yird, in,einer fehr hohen Potenz. 


Wenn w=a2n, zn ift, fo wird 





2n. 20 — Leere n441 (an)?* 2n 
— ——— — — , Vo 
An 2.64Nn n",n®  ?2rnn 
en V 3 
— 2 — 
- 2nr. 


Dieß iſt die groͤßere Graͤnze fuͤr den ideen 
Soefficienten in der Poren; 2n. Man f. Binomiafe 


Summirung der Keihen. 669 


coefficienten, 16. Wir werben aber fogkeich Mittel 
finden, diefen Eoefficienten genauer zu beſtimmen. 


48. Es ſey X ax); X=0(x+1)3 Ph 
— 0642); uf w. Man fol die Summe der 
unendlichen Reihe mie abwechfelnden Vorzeichen. der 
Ölieder 

X—X X Xx tXY— etc 

beſtimmen. 
Es bezeichne 8 dieſe —— welche alfo e eine 
Function von x— x femn wird, fo daß 

X— X + KU LXT— eo 5 
if. Setzt man nun überall x+ ſtatt x, fo wird 

— K' + XU—XY-+-X’—etc — S=vatı) 
alfo — 

548 2 X. 


Nach — Taylorſchen Lehrſatze iſt 
— — — ges RER 
1.20x® 1.2.30x5 
mithin 


— — 85 88 


1.2 0x® 1.2.30x3 





+ etc. = X 


Hieraus ift näßerungsweife zuerſt S= ey 
2 





I 
Genauer no — x— _ min 
Man fee alfo 
— er oX ß 0%, DR 
a Fan 


Da die Eoefficienten a, ß, Y... zu den Differential: 
quotienten beftimmee Zahlen find, deren Werth fich 
nicht: ändert, die Function X mag feyn, welche fie 
will, fo fann man zur Beſtimmung verfelben jede ber - 
liebige Zunetion von x für X-mählen, Es ſey 


668 | Summirung der Reihen. | 
Von diefer Formel ift in dem Arr., Summirbare 
Meihe, 25. Gebrauch gemacht. 


Aus der gefundenen Formel folgt 
| — 
132. 3er000 (x+z)= — 
alſo dieſe Formel durch jene dividirt, 


| \xtz+4 
———— u are 


e⸗ . xxt 


«Var 


zztHi 
und wenn man bier mit 1.2. 3. — — — Var 


Dividirt, wo z gleichfalls unendlich groß it 
864 I) + 2)... (X-++ zZ) &+ zyrt2+4 











— 


J 1. 2... * Z xıtizztt, Var 
ES nn) x+z 
ze | amXZ 


und, +3 z — w gefeßt, wodurch x T IZw—z +1 
wird, 





 w(w=1)w-2). (w-z+1) _ ww u w 
I, 2. PEN —— — —— 


Das iſt ein Naͤherungsausdruck fuͤr einen weit vom 
Anfange oder vom Ende der Entwickelung entfernten 
Binomialcoefficienten, deſſen Stelle durch z angegeben 
wird, in einer ſehr hohen Potenz. 


Wenn w=en, zn iſt, fo wird 


2n. 20 — 1........ nrı I (an)?r en 
m — — — ç — — — —— 
I» Zirerserriege M n".n" . 2rnn 
en .V = 
| nr. 


Dieß if bie größere Gränze für den OR 
Soefficienten in der Potenz; an, Man f. Binomiale 


Summirung der Keihen, 669 


coefficienten, 16. Wit werben aber ſogleich Mittel 


finden, diefen Coefficienten genauer zu beſtimmen. 

48. Es fy X; Koch); Ku 
=Pex+2); uf. w. Man foll die Summe der 
unendlichen Reihe mit abmwechfelnden Vorzeichen. der 
Ölieder FR 
XXL XI XULNr_ ec 
beffimmen. en Y 

Es bezeichne 8 diefe Summe, welche alfo eine 
Function von <= x fern wird, fo da 
 Z-X+-XM Xu Leon, 
iſt. Setzt man nun überall x + ſtatt x, fo wird 
er KUPXU- X + Xen =Seyatn 
alfo nn | 


% 


SsSs+sSs’=_X 


Mach dem Taylorfchen Lehrſatze ift 
f I: 05 828 038 
j Far Ox r 1. 2 dx⸗ * — 
65 Ss 35. u 
— — 0. zum 
1,2.30x3 ae 


Hieraus ift näherungsweife zuerſt S— —X, | 
Genauer noch S— 2 x = — ei 
2 .ı23 0x 9 4 & 
Man fege alfo | | | 
I oX oX 0X 
— cXre tr. Pr rer + etc, 


Da die Eoefficienten a, ß, 7... zu den Differential: 
quotienten beſtimmte Zahlen find, deren Werth fih 
nicht. ändert, die Function X mag feyn, welche fie 
will, fo fann man zur Beſtimmung derfelben jede bes - 
liebige ‚Zunetion von x für Xwaͤhlen. Es fep 


f 


668 Summirung der Reihen. 
Bon diefer Formel ift in dem Kit., Summirbare 
Meihe, 25. Gebrauch gemacht. 


Aus der gefundenen Formel folge 
| = (x+ zyxtztt 
1,2, Zorn (x+z)= re 
alfo diefe Formel durch jene dividirr, 


\xtz44 
Eh a4.) et 


er xt 


«Var 


zıH 
und wenn man bier mit 1.2.9..... = 





dibidirt, wo z gleichfalls unendlich groß * 
(x+ I) + 2).....(X + Z) 6 zyrt2+4 
ar Aue IT ze, Var 
——— x+z 
—— 
und, x+2 z — w gefeßt, wodurch x ar IZw—zti 
wird, 





w(w=-1)/w-2).(w-z+ ı)__ w“ v w 
I, 2. FREE  (w=z)W 2,2% 272(2-w) 


Das ift ein Mäherungsausdrucf für einen weit. vom 
Unfange oder vom Ende der Entwickelung entfernten 
Binomialcoefficienten, defjen Stelle durdy z angegeben 
wird, in, einer fehr hohen Potenz. 


Penn w=o2n, zn ift, fo wird 





2n. 20 — 1........ 'n-+ı (an)?n on 
= — — .V — 
m Zirereerreege M n",n" 27nn 
en J 
un — 
. 2nr. 


Dieß iſt die größere Gränze für den mittleren 
Soefficienten in. der Poren; an, Man f. Binomiale 


Summirung der Reihen. 669 


coefficienten, 16. Wir werden aber fogkeich Mittel 
finden, diefen Eoefficienten genauer zu beſtimmen. 


48. Es fy XZ0@; X=iatı) Xu 
OP (kx+2); uf. m Man foll die Summe der 
unendlichen Reihe mit abwechſelnden Vorzeichen. der 
lieder 

— XXX RT etc. 
beſtimmen. 

Es bezeichne 8 dieſe Summe, welche alfo e eine 
Funetion von x— x fern wird, fo daß | 
x— X +- XI Xu LXY_ec.oS 
iſt. Setzt man nun überall x + ı flatt x, fo wird 
KK HXU-XT+K—e — * 8 ut) 
alfo 





s+Ss'’=- X 
Mach > Zaylorfchen Lehrſatze iſt 
s⸗ s+= — — r 
1.2 0x® 1.2.30x3 — 
nuhn 
8 0°5 038 R 
— — tc. = 
z + + 1,2.3 0x3 — 
Hieraus iſt naͤherungsweiſe aß S= —X, 
t88 1 ı. X 
Genauer noch — -X— -. — 2Xx —-2. —. 
2 80x 2 4 0x 
Man ſetze alſo 
X: 


| X 
S=-{Xta+B a etc, 


Da die Eoefficienten a, ß, Y... zu den — 
quotienten beſtimmte Zahlen ſind, deren Werth ſich 
nicht: ändert, die Function X mag ſeyn, welche fie 
will, fo fann man zur Beſtimmung derfelben jede bes - 
liebige Function von x für X wählen, Es fey 


” 


670  Summirung der Reihen. 


Xu— em(x+3); etc. aifo 
8— enx — gmxtm + emx+2m — eux+gm +: etc. 
emx (1 — emr zu em — e5m 4 etc.) 








BR 
2: 1 iten em" 
- 6X — mx. oX. — 2 mx» 
| Da nun — = m.e De exrrʒ 
X. ur en 
Per — — u. ſ. w. iſt, ſo wird 
emx 
— e* — m s t 
— G+ a + pm +m + etc.) 
alfo 
£ I | | | 
ı re" — am * m? + ym3 + etc 
- Man — bier m in — m, fo iſt 
1 e” I 
— ⸗ — — — —— e— yms tc, 
ıtpe”" ı-te" 2 m 
folglich, beide Reihen addirt, ‚ 
== —14 26m⸗ + 20m·4 — 1 etc, 
A ee” 


oder 


o= ßm® + öm# 4 ZmS + $ms rn etc. 


Hieraue folgt, wegen der unbeſtimmten m, 6 — 0; 


= 05 42.05 d= 0; etc, fo daß bie fämmelichen 
Goefficienten ber geraden Potenzen von m = o find, 
Man ſetze > 


o=- + Am + Bm + ‘Cm + Dm’ + etc, 


0°X o°X 


S=-x+A. —+B.— tz tet 


_ Summirung der Reihen, 671 
iſt, fo wird | 


a: | — 

— 3 5 \ 
Ihen = ı + 2Am + 2Bm3 + 2Cm + etc, ı 
und 


—* = 2Am-+ 2Bm’-+-2Cm°+ 2Dm’ + etc, 
alfo m = 26y — ı gemacht 
i— e?PV-ı 


It e2PV-ı — V—r 2, AQ-24,BQ3-F 26,005 
I e .., 


— 23, D97 F ei.) 
und | 05 
e2PV-ı_, 


nenne BLOND) un 20. A 4 BO3 
(e2PV-E, NV -—ı gp P+2 0) 
— 295,095 + etc, 
| X iſt (Cyklometrie, 17). | 
22H) 424 1)930) 
tang = — mn + an 
+ I. 2. 3,4 


2%26 — 1)B6) 
— — t 5 
I. 2.....6 p 7 eto. 
| — (1) FR : 
Mirkin a— — — B— + 80 
— (3) 
_ N 


— — — — ? 
I. 2..4 6 I, “EIER 8 





G== 





und 
| NEN X (BR X 
3» ‘De 1.2.3.4 5 
HD 3) 85X 
Id. 6. 0x5 +.etc. 


I 
S=—-X — 
2 





63 Summirung der Reihen. 


| Euler bringe diefe Formel auf einem etwas weit: 
läufigeren Wege heraus, Nou, Act, Petrop. T. II. 
Übrigens iſt zu bemerken, daß nach ihr nur in dem 
alle, wo XP, XC9 +2), XCR +2) u. ſ. w. ſaͤmmtlich 
verfchwinden, die wahre arichmetifche Summe erhalten 
wied ,. in jedem anderen Falle iſt die Summe bloß eine 
analytiſche. Dieſes erhelle aus der Art, wie die 
Gleichung 


8 + !!=X 
gefunden worden, 


HER: CURSE NEN 
49 & 0 x= 2, fill — = 37", 
Ox 
x, X. 
Gare en o; etc, Daher 
— 1? + (x+2)3 — 39 + + etc, 
ei a —— 
alſo x=o gemacht, und a beiden Seiten das Ents 


gegengefegte genommen 
(2+—1)d2) 
— | 


— —x5 


3-23 + 3°-4+ — inf, ⸗ — 


So laſſen ſich die Summen aller Potenzen der 
natuͤrlichen Zahlen mit abwechſelnden Vorzeichen finden, 
Umgekehrt, werden 'diefe Summen als bekannt vors 
ausgefegr, fo ergiebt. ſich die Formel leicht durch wie⸗ 
derholte Anwendung des Taylorſchen Lehrſatzes wie die 
in (27). 

Setzt man in der erhaltenen Summirung 
2—6446)⸗ — + etc, in ze 


1 
2 4 8 


1 
x=—, und multiplicirt mit 2° auf beiden Seiten, 


fo 


Summirung der Reihen. 678 
| fo wird | | . | 
3—3? +5? — 78 4 93 —etcsininf =o- 
wie bekannt. | I ‚ 
- Hier zeige fih nun auch ein Mittel, wenn secO 


=ı+ — 9°’ — 9244 —* 


1.2. 3. 1. 2. 3. 4.5. 6 


+ etc... 


gefegt wird, die Größen a, 6, y durch die Wernouls 
lifhen Zahlen linearifch auszudrucken. Sucht man ;. 
B. 18 — 38 + 5t — 7% + 98— etc, auf die vos 


rige Art, fo erhält man, da diefe Summe auch 224 
Wa. ‘ 2 
iſt 











Br. a) UN) ze 
1.2.3.4 1234 1.2 1.23 
, GER 20 
| 1.2.3.4 ı” 


Aus 10 — 304 50 rg ee ⸗ — * 
aber wird | | 

Yo. { 1 — 2° 
23.6  Vnam6 m 2:0.” 1. 2.3. 4.5. 
ee RE 











1.2.3.4 1.2.3 a 
welche Formeln leicht verallgemeinert werden Finnen, 
und fid) auch mittels der Gleihung sec$ — cos® 
+ tang® . sin® ergeben, wenn flatt.cosP, tang9, 
sind, ihre Entwickelungen in Reihen gefegt werden, 

50. Die Summe ber Reihe 
XXX - X U XU LXUT — etc, 
läßt ſich auch noch auf eine andere Art ausdrucken, 
Uu 


674 Summirung der Reihen 
- Wenn nämlich diefe Summe wie vorhin 8 heißt, 


wo S= Yx, p ſey T= v(% + =). ſo daß 8 


| | I | 
WU x+ 22) aus T enrfteht, wenn ſtatt 


J 


x geſetzt wird x un Da nun S—=Y(x+r) = 


1,1 | 1 
a +24) fo wird S’, aus T, wenn x 4* — 


ſtatt x gefeßt wird, Der Taylorſche Satz giebt , 
ı 2T,ı. - ®&T 1 >sT 


| | + etc« 
ı oT 1 o°T 1 OT 


— TE —,— ; — 
8* * 2 X 22 1.20x? , 25 1.2.30x3 


+ etc, 


BR ARENA. BE BB 
| _ 2 "1.20x°.° 23° 1.2.3.40x# t 
= X. — | 
wo T durch eine Reihe ausgedruckt wird, deren Ans 
Bu Ä 
fang offenbar Xen = de, 


2° 1.20x° 
Man fege alfo Ä 
— A- 9X ..B Sax 
, er * 2* 4. 2 dx⸗ 7* 1.2. 3.4 Ix3 
PR © 96x Ba cn 
—— — — eice 
ur er 


und um bie Coefficlenten A,B,C,wf.w. zu be⸗ 
ſtimmen, nach der ſchon gebrauchten Art, X emw, 


Summirung der Reihen. 675 


| X 


IRRE >» < | ex 

fo it =— amiet=, 22.m.. eins, 
OxX ox? 5 

24, mꝰ. etmx, — nr | | 





| B ° 
* 1.2.3. 4 an 2b se 


An + eie) 
ermx 

Sun ift S, tie vorhin, = —— alſo 

eꝛmx· m 

— mithin — * 
2 ewm | u. BB 

— — — m? ni int 
tem er A + 1.2: 3.4 


+ 





m® : 
I, 2....46 T eilt 


dimmt man Gier mzpV-ı ‚ fowird < —* 
— 


2 I 


Tree Teen — 











Il . Er —— FF 
= sech. Setzt man alfo secp, wie vorhin; 


| +- & 9 6 
—1 — 0° 
se ; —, — 
ſo wird, aus der vorigen Steihung, 
2B 20 , 
„2 1,2,3:4 12,446 
+ etc; 
, durch Bergleichung der Eoeffteienten zu den gleich⸗ 





zo⸗ + etc 








9 


I 
namigen Pofenzen von @, Am ——a; B=1B j 
| | a 2 


676 Summirung ber Reihen. 


— —F 
0*- 71 D=+ 5; etc, wo das Gefes für 


die Zahlen a, 6, Yr.-- aus dem vorhergehenden bes 
anne ift. | 


Demnach iſt 


1 952X 84Xx 
2 05 1.20x" ‚25 1.2.3.40x* 
| Y 36x 


— — — 7 etc, 
07 1,2 nie. 688° * 


ı 0X 5 X 
23 1.20x° | 25'1.2.3.4 Oxt 


_iı 
— 2 


61 0X 1383 88Xx BR 
—— 27 "1.2....60x° 29 "Ie2.0...80x8 er 


woraus alsdenn S leicht gefunden wird. - Euler giebt 
diefe Formel ebenfalls a. a. D. Zugleich erhellt, daß. 
wern Y=9x+3), ab Y=Px+3), Y" = 
. Plx+ 3) u fe m. iſt, bie Summe der Reihe 


Y—Y'+ YUY—Y'+ etc, in inf, 


ſey 
1 ı &®Y 5 04Y 
ZT aox | 23°1.2.3.40x% 
6: DY | 
/ 2 60x4 — 


X 
51. Erempel. Es ſey Xxc, fo iſt * = 


dex .. 9X 0°X 
ud wiuhiz 3. ; 5 = 4.3. 2. 13 5 — 05 
etc. Daher | 
—— EI et 


2 23 1.2 25° 1.2.3.4 


N > 


Summirung der Reihen. 677 


Afo . e F | 
— (xt) + +2) — (+3)? + a+a)t — etc, 


I int? a 43 N»; B 
2 2 2 12 2 2° 


1 
und nun x — gemacht 


Et Se 4 | 4 4 je 
S-HHH-- 
- cc. = Ze u 


folglich ° 
Ece 34 + 5* — 7* + g* — eic, — —B. 


52. Es darf wohl Faum angemerft werben, 
daß weder die eine noch die andere der beiden Summi⸗ 
rungsformeln in (48) und. (50) abbriht, wenn X 
feine rationale ganze Function von x ift, fondern in , 
diefem Kalle nur eine Llmbildung der. vorgegebenen 
Reihe darbieret, die aber wegen fchnellerer Convergenz 
an den Zotalwerth zur Berechnung defjelben den Vor⸗ 
zug vor der urfprünglichen Reihe haben kann. 


Dieſes ift der Sall in dem folgenden Beyſpiele. | 
a I X _ 
Es fey x=-=X 3, fo ift an! 


EG > _., 9X 


Ox® 
1.2.3. 4x”5; etc, alfo nach der erften Formel 
1 1 1 1 





EEE A Ah BE A 
x er gt etc. in in 
1, @ı)Bı) (2+)BR) (2 —1)B) 
2 2* Zu 4x+ + 6x6 

— Et. 


678 Summirung der Reihen, 
Nimmt man hier zuerſi x 1, fo wird, weil 
| ee OBER — 
1 — - — —— — — etc. —loga iff 
777 | er Mh 
rn BE BN (TB. 
wBazt — 


BE) 2 


- * — —* ete. 
* ee 





Mache man aber *7 ſo wird 


n nn. n. — 
— — — —— — + etc, 
m mn m-+2n m-3n-. 


n Kae) m (2 1)B() — 


— — 


3m 2 m?® a — 








e 


— .. @H)BO) no 
+ u Sun; — eto. 


oder wenn man je zwey naͤchſte Glieder der erſten 
Reihe gufammenzieht, und allgs mie m? dividirt, 


I I I 
m(m+n) = (m+ 2n)(m-+ 3n) — (m+-4n)(m-++-5n) 
+ etc. 


I MBH) 1 NV) ne 

mn 02 'm 4 m 
EB m. ’ 

| + Zar a. — etc, 

Wenn m bier mäßig groß gegen n ift, fo reichen wer 
nige Ölieber der letzten Reihe hin, eine ftarfe Annäs 
berung an den Totalwerth zu erhalten, welcher aus 
der urfprünglichen Reihe, weil die Glieder fich beynahe 
gleich bleiben, nur fehr mühfam gefunden werden wuͤrde. 


‚Man fege n=2, fo wird, nachdem man alles 
mie 2 dividirt hat, aus der vorlesten Formel 


SDummirung der Reihen 679 


1. 2* 1 — 
m m+2 m+4 m—6 * — 
(Be) 72 ADB) 2% 





— am. I m 2 "mi 
> 
ne Der ern — CC, 


Dieſes dient den Werth von vermittelſt der Leib⸗ 


nitziſchen Reihe ı — +5 — — — — etc. 


doch auf“ viele Dieimalisien — * rn 
Man ſuche naͤmlich die Summe einer beliebigen An— 
zahl Glieder der Reihe vom Anfange au 


I I I 
ne Dover. 
7 m—2 


auf die gene X, ‚fo ift das noch fehlende Stud 


I 





der Reihe — — —— — 
be*7 2m 2m# m‘+ m“ ms 








1.128 691.2 | 
R nie Ba = ren) 


11*0 m’? 


Wolfram, der großen Gefallen am Rechnen fand, 
Hat nach diefer Vorſchrift, welche Maclaurin, Treatise 
of fluxions, $. 845. (aber mit einem Sehler in dem 


numeriſchen Zähler des sten Glicdes) giebt, 7” ge⸗ 


ſucht. Die Hauptreſultate ſeiner as hie finden. 
fich in Lamberts Briefwechſel, B. IV., ©. 455 und 
481. Daß une an fo die Ganoformire der urſpruͤng⸗ 


lichen Reihe — ur T -+ Tuch — eto. gebrauchen 
1 


koͤnne, um mittels der Meike u — — — ns — 
3 | 





680 Summirung der Reihen, 


+ etc, den log. 2. in mehreren Decimalftellen genau 
zu berechnen, ift von felbft klar. Auch erhellt aus dem 
obigen, daß Newton die Ergänzung eines Stücks der . 
Leibnitziſchen Reihe fehr richtig gefchägt hat, in dem, 
zweyten Schreiben an Oldenburg, Opusc. Tom, * 
345. 


- Mach der zweyten Summenformel ift 


— — 5 | 
—— 4 — + etc. 


2x 25,x5 26. x⸗ 





alfo x — ſtatt x geſetzt 


1 1 I L. I 
SEE SET TurT Te Zar 
I 2x1  @x—ı)3 Au (2x— 1)? —* 5 ae 
ig folgt auf “nude Are wie vorhin 
LT. 

Beet 
| + etc. 
ur n sn? 61n° 
= (am-n)n “ @m-n)® (am-.n)® (zm-n)? 

| 13%5n7 


(2m-n)? 


Kir m= 102, n=3 geben die vier erften 
Glieder der fummargrifchen Reihe die Summe von 
I 











+ etc. in inf. 
101:104 107. 110 —— 


== 0,001674661626. .. .., welche nach ber vorigen 
fummatorifchen Reihe gleichfalls durch die vier erjten 
Glieder — 0,001674661625 .... gefunden wird. In 
Schraders oben (38) angeführter Schrift ift dieſe 
Summe $. 11. nach einer anderen Umwandelungsfor⸗ 


Summirung der Reihen, 684 


mel durch mehr ale doppelt fo viele Glieder sn weis 
tem nicht fo geuau gefunden worden, 


Aus dem Werthe von T folgt unmittelbae 


1 
Pre Tee Ten 


1 1 5 





2x 268., xs 





I Be I 
—* te + etc.) 
I I 5 61 1385 


4x 16xs 64x 256x7 | 1024x9 + er 
welche Reihe ebenfalls dient, die Ergänzung eines 


GSruͤcks der Leibnigifchen Reihe für Fr ju berechnen. 


—“ 





—— —— a R— 
Es ſey x* — ,‚ fo if = 
2 


| X 0X. : 
— ax, — + 23x, — m 2,3.4X°55 


dx 0x3 
0X ui 
— —— 206 
= + 2. 3. 4.5 x70 — 
Daher 
1. I 1 


Er a a re 

(2? —ı)B0) —— as) 

= ax® x * x’ a5 x7 
— — ze ale + etc. 


Alfo, wenn man x ı made 


| 682° Summirung der u, | 
I | L 
1— — — — Zei *7 — (FE 
_ NBOLF@A-NBR — etc. 


* Berechnung der Summe der Reihe ı — 7 


Fo — — ec. ift diefe Reihe gar nicht brauchbar, 


Da er jene Summen andersmwoher bekannt und = 

2 DB | 

u ift, ſo hat man bie Summe der. fehr 

divergirendeh Reihe 

5 (2?-1) BC: a 7 (26-1)G) — etc. 
-1)B0 ꝓF⸗ 


I. 2; 


l 
* 


Wollte man die Summe der Reihe — + = 


— + etc. ER wirkliche Berechnung — 


muͤß man zuerſt das Aggregat einer etwas großen 
Anzahl Glieder auf die gewoͤhnliche Are ſuchen, und 
dann die Ergaͤnzung nach der obigen Su —— 


1 
Ein gleiches gilt von der Reihe 1 — +. Fr — 
= 1 


I 
r / , ' 
— — 


Nach der zweyten Formel wird 


* 34 BP "Ws ' 
en ee — eich 
2x? re ys rer 
wamı, B=35, 7* 61, d=H1385, 650521, 
u. ſ. w. iſt. 


——— 





‚Summirung der Reiben. 683. 


alle x ⸗ffatt x geſebt, 8, Bir 


1 I. I 
rent — — 
2x-)(62- an” (2x—1)8 


+: etc, 





"Ferner unmittelbar aus dem Werthe von T 


I 1 1 Tr 
Gchıy aha Tr are nee 
3 I 38 0.30 Ay a I 

+ etc. 


—— — — —— 


(2X). (2x,4." (ax) a 





| 54 Es ſey X logx, fo ift — | 
BL — X x 


> SE, . X = 
— 1x rer a ie. 3X 43 


— Fr 1.2.3,.4xX7"°; etc, 


alſo S=Zlogx—log(x+ 1)-Hlogfs+a) - loge 
+ log(x+ 5) — etc. in inf, d. i. 
xXXKH2)KHI)KHO..... etc ı. 
log —— ———— ——— 2 —logx 
HN)ats)atnatn.. eo 2 
AND AN) -1)BR, 
——— rg? 0 
-r etc, 
B — 


75 7 27,6x° 





Gern T=— logx + — 


2 + et 
| 29. 8x8 


684 Summirung der Reihen. 


mithin x — — ſtatt x geſetzt, 
——— etc. 


lo -1 — 
— sen. en 2 > 

a ee — 

* 4(2x — 1) — 12(2x—ı)° 

|  I6(2x— 1) + * 


Dieſe Formeln dienen den mittelſten Coefficienten in 
(a+b)*, wenn n fehr groß ift, zu finden. 

Man fege naͤmlich x—=2an-+ ı, fo giebt die erfte 
Kormel 
„entnlent ent sl. et Ey gan+ı) 
Santayantaantö)..eie 2 

_@ 30) (2 - 1) B) 
L.2. —— I) 3.4.(2n-+1)? 








eur. —1)8@) 

net ee 
Yun ift * Walliſens in (44) angefuͤhrtem Ausdrucke 
24.6. 8.. 20 (2n+2)(2n+4)(2n+6).. etc, 


27 1.3.5.7. 2n-ı (2an+ı)(2n-+3)(2n+5).. etc. 
alfo (Binomial: Eoefflcienten, 13.) 
ga — 2: A» 6. er... 2N 
aM 1 3. 5.. 201 
| __ (@n+1Xan+3)(2n+5) etc. # 


 @n+2)an+4K2n+6) etc, 2 


und 
en 1 
warn a—N30 
nn 2 2 I.2.(2n+1) 


(24 - 1) B2) (2 IBM) 
3.4.2041)? 5.6.(2n+1) . 


Summirung der Reihen. ‚685 


wo bie Logarithmen⸗ natuͤrliche ſind. Folglich, wenn 
man den Modulus des gewöhnlichen Syſtems 
re durch k bezeichnet 


log, vulge 5* =— — log. vulg. un | 
— (—yB.1 
122n1 cc5 


EN KK 
5. * "@n+ı) + etc, 


Diefe Formel gewährt eine etwas fchnellere Anz 
näherung als die Eulerifche, Institt. calc. diff. $, 160. 
Die numerifchen Eoefficienten find diefelben, 


Exempel. 2n==100, 











9100 10m I k 
log. vulg. = log. vulg. =. or 
* 1 
— . — etc. 
| | 24 1013 
log ı0ı = 2,0043213738 
log = = 0,4971498726 
log # = 9,6989700043 





” | 
log ===  2,3004413507 











= 1,1002206253 


— — , — =— 0)0010749863 





1,0991456390 
+— — — = + 0,0000000176 
100 


log —— 1,09914565 66 


— r— — m — 


686 | Summirung der Reähen. 
Nach der zwehten Formel wird auf eben die Ar 





ru I (4n 4 1) 6 
log — =—log ——— 42 — 
am 2 A a. — 
— — 
— — — 


wo, wenn die Logarithmen aus dem gewoͤhnlichen Sy⸗ 
ſien genommen werden, die nicht slogarithmifchen Glie— 
der noch den Factor k befommen. 


Für das vorige Beyſpiel iſt andı = 
log(4n+ı)= 2, 30319605 74 
log ”"Z  0,4971498726 
lg 14 913979400087 
2,1982859337 





I, (gi-kı)e | Ä 
ls = 1,0991429693 
ec k u se 
* — + 0,0000026874 
. 1,0991456567 . 
. k | 5 
— 7 — = 0,0000000002 
— — —. 


an 


log — 1, 0991456565 | 


7 say} 
folglich log = 879008543434 


Ins 


N — 
und ** 0,0795892374 naͤchſtens. 


Geht man von den Logarithmen zu den Zahlen 
zuruͤck, fo iſt nach der erfien Formel 





u 1 1 > 
au (st 128@n42)° 


Summirung der Reihen. 687 








21 | 599 — 869 
 2048(antı)t T Sigatanyı) 7 65536001070 
tc, 
; A T =: oo: 
nach ber zweyten aber wird 2 
nr L'g Pi 
ml Hr — 
2 4 43 (an+ı)t 
— 11.61 J 
3.16 — — u) ae 
fo daß "IR wiſchen die ———— gen — 


und at, faͤllt, welche einander viel naͤher | 


kommen als die in dem Artifel, Winomial: « Eoefficiene 
ten, 16. gefundenen, Aus der zweyten Formel folge 
der Annaͤherungsausdruck, den Stirling, Method, 


diff, Prop. 23., giebt, Stirling ſelbſt hat den Rei— | 


2eny 


hen für — — eine andre Form gegeben. Dieß hat 


auch MER gethan, deffen Ausdruck aus den bier vor⸗ 
getragenen Saͤtzen ſich ſo ableiten laͤßt. | 


Da Ä 
any — ZU 2TT 2. NHL 
I. 2. 3. 244420 nn 


I, 2. Feostsrasaeegegine nein an 
— — 
pe Le —— — — 


‚8 2 Fo sprpdeye n)* 
fo wird 


‚log, any) log. ı -L log a + log 3 4. Sröey + log sn 


— 2(log ı -i- log 532 + log 3 urrs * logh n) 


Nach der erflen Kormel in (44) ift nun - | 
dogı + log2 + lög3 1... + logan -1) 


- 


688 Summirung der Reihen. 


= -log 2r + (m-2) logan—r) — — 1) 
B(c BI BO) 


1.2(2n—1) . .3.4(2n—1)? 5.6(2n—ı) 
nach der andern in (45) aber 
logı + 1log2 + log3 + ....... + — = 


-- log2r + (n—-) log (a--) — (n—-) 
= (2 1) BR (25°—ı)B0) 


1.2(2n—1) . 3,4(2n—1ı)? u 5.6(2n—1)? 
und hierdurch | 


log a — log2n — 2logn— log ar 


— ⸗ etc. 


+etc, 


| u; 
+ He) log(an—ı) — (2n—1I) log(n——) 
cr ı)B0I (24 1)82) ER 


ı 1202n—1) 3.4(2n—1)? = Slanıy 
alfo reducirt 2: 


log"I = anlog2—logn — -logr + log( — -) 
. .@® DB ar + J 
12(2n—ı) 3 4an<ı)? ’ 








& ift 
' er 45 
=log(n—)4— =———+ + etc. 


an-ıI 5 3(2n-ı)3 
Diefer Werth von logn in den vorigen Ausdruck ges 
bracht giebt 


| eu: | I 
1 — rg — — — — — — — 
*7 Lies( 2  4(2n-1) * 2(2n-ı)* 
das a: — — — + etc, 


San-ı9 7 san 4(2n-ı)* z0(2n-1)° 
und 


Fa 


Summirung der Reihen. 689 
und dadurch, went man von ben rodarithmen zu den 
Zahlen zuruͤckgeht, | 
ausy) —A 1 ü 25 
zu — — — 32(2n-ı)? 
105 . 1659 | 
15 28(2n-1)3 ur 204$8,2n-ı)* etc. j' 
ii ift Laplacẽs Ausdruck, wenn die gehörigen Ent: 


wicfelimgen und Meductionen: vorgenommen werden, - 
tan fieht, daß er bey weitem fo ſtark nicht convergirt, 


als die vorhin angegebenen Reihen fuͤr me aber 


durch die Art feiner Herleitung wird er fehr merfwürs 
dig. Laplace giebt eine doppelte, wovon hier nur von 
der zweyten, einfacheren, Bericht erjlattet werden kann. 


Zuerſt wird Ba daß 
a _ 
mr => Jopleospjm 


iſ das Integral aſchen den Graͤnzen P=0, und — 
* genommen. Hiervon aͤberzeugt man ſich leicht 


vermittelſt (Goniometrie, 141.), wenn man nur bee 
merft, daß oPcos2rY zwiſchen den angegebenen Graͤn⸗ 
zen o iſt. Macht man nun ne 9 s9= 
Y(ı—uu), fo. wird 
j aum 2 4 
— Z— ou = uu)”° 
 m=— Pu u) 
das integral von u=o bis u=ı genommen. Nun 


I I © ed 
wird et, und T—uu=e-#, alo u= 


VC—e-") beſht, ferner 

va =e#)- — alt(ıta. ga), er + .a° ‚ge, t+ 
+ 23,99, ı° + 4 etc.) 

angenommen. Dadurch wird 

| r 


60 ° Summirung der Reihen 


Pt my =e : föte”t(i+ 3a. qC).t:ꝰ4 50° .g®, 14 
| +7a3.q(®).t°+-etc.) 
wo ie Integrale /ote firöte”; — uf. 
w. von t=o bis to, und jiwar -F oo, zu erflref: 


en find, damit nämlich die Reihe rechter Hand zwi⸗ 


ſchen ihren Graͤnzen ſtets poſitiv bleibe, wie es 
ſduci — uu) zwiſchen den correſpondirenden Graͤnzen 
uo0 und u=r bleibt. Nun iſt, wie nachher ges 
jeigt werden foll, zwifchen den angegebenen Gränzen 


— 1 Vr 
* =. 


’ rdie⸗u — 1.Vr 
' i — n* 
figte-i — 1.3VF 
' — 
1.3.5.Vr 
24 


fete* = 
u. ſ. w. 
— wird 

—— 4. PDT etc I at gı 
zn — Yar ar 

+ 35T + a 

25 
wo nur noch die Coefficienten qc), qC), ga u. ſ. 
w. zu beſtimmen ſind. Zu dem Ende nehme man in 
der Gleichung 
—R— * tt + arg Ni etc.) = VC(I -e-) 
auf beiden Seiten die Logarithmen und differenelire 
alsdann, fo wird 
1+ 30.90) + sat. q( ).ta + 7a? ae tö + etc. = 
X te. gar ar.g,tt a, ga»). 3) 16 + etc. 
at.e* at 


1 ent — gn1 


/ 


Summirung der Reihen. 691 





4 at? — aẽtf * at. ® 
1,2 1.23 1.2,34 * ) 


Hieraus folgt, wenn man übers. Kreuz multiplicirt, | 
und in. den Producten, welche gleich find, die Coeffi— 
cienten der gleichnamigen Potenzen von at? gleich ſetzt, 
O=—_- 
a | 
| I 390) 
) = u Inn 
ne a; + 33 rs 
B, CO) gg} - 
TOR Zu Frewaee | 
| 1.2.3.4 12.3 12 





überhaupt | en 
3 GE Ct) 
arg) = — BE „it: 
| 1.2.3...7yI 123..r 
59%) 799) 


1.2..... x — 1 1.2.,1—2 
.., @r—ı\gG-n 
+ us. + * 


Laplace hat das Geſetz etwas anders, aber nicht 
einfacher angegeben, Theorie. des probabilites, 


Chap, 2. No, 34, Man erhälc hiernach g)=—, 
Dei / se 
— — 79 

O=+; 400 ; (du —2.. 
q’=+ 06,4 — a el 
w. melde Werthe, wenn fie in den Reihenausdruck 
für — gebracht werden, ſolchen mit dem vorhin ge⸗ 


fundenen uͤbereinſtimmig machen. 


55. Was den Werth des Integrals fe-t"dt von 
‚tZobi tZ.oo genommen betrifft, fo findet ſich der: 


692 Summirung der Reihen. 


felbe am Fürzeften. auf folgende von Laplace zur Bes 
ftimmung beflelben” angewandre Art, die auch Euler 
in einem Schreiben an Condorcet, Mem.. de Paris, 
1778- ©. 603. und in der Abhandlung, Noua me- 
thodus quantitates integrales determinandi, Nov, 
Comm, Petrop,, ‚Tom, XVL erflärt, und bey ans 
deren Integralen gebraucht hat. Ä Ä 


Man nehme dad Doppel⸗Integral [[oxdyerrC:+=”), 
wo x und y von einander unabhängig find,, fo ift Elar, 
daß der Werrh defjelden einerley gefunden werden muß, 
man mag entweder zuerſt nach y und dann nad x, 
oder zuerft nach x und Dann nady y integriren, wofern 
nur, die äußerjten Werthe von x und y beidesmal dies 


ſelben find. 


3 Fängt man mit der integration nach y an, ſo iſt 
MNoxdy e +xx) — [ex foye’C tx) 





Aber — 
—14xx 
foyCt9) cConst. — — 
und zwiſchen den Graͤnzen, y=o, und yZo, 
erlre) - —- 
| | — ı xx 
Dadurch wird | | 
Ox 
xöyevrttn) = (| 
Mo — — 4xx 


= Const, + Ang.tangx 


Alfo, von zo bis x wo, 


i 1 
— —. 


| g . 
Mithin iſt fin die aͤußerſten Werthe o und © don 
xundy | | 
Sfoxdys rt) = — 


r 


Summirung der Rechen. 6983 


Fuͤhrt man jest flatt x und y zwey neue variable .t 
und u ein, fo Daß 


x — 
u 
= um uf 
Eh | t 
dl © Ox— Zr — — Qu 
| u u 


öy= 0.dt + 2udu 
ift, fo ift nach (Stereometrie, xı.), wo das dortige 


u ge 
R= end T=o, V=au, flatt 8Bxdy zu 


feßen —. audtöu, bi ‚, 20r0u und die Formel 


[fesöye +) verwandelt ſich in dieſe 2/foröue "+", 
wo man nun beliebig zuerft die Integration nach t ober 
nah u vornehmen kann. Die Öränzen von € und u 


* t 
find, vermoͤge der Annahme <= — und y ve, ent⸗ 


weder o und — oder 0 und — ©, wovon nur 
jene bier in Betracht kommen, Integrirt man bie 

Formel 2/fordue-t”t"?) zuerft nad) t, und fegt [Ote”"* 
zwifchen den Gränzgen, t=o, und tZ+»,—B, 
fo ift 2/foröue-t*+tw?) = 2BfOuer"",. alfo, weil das 
Integrai von foue"” von JAte”, wenn die Gräns 
‚jen bey beiden diefelben find, nicht verſchieden iſt, das 
Integral von 2BfOue"", von u=o bs u= +» 
genommen, — 2BB, weldes, da es mit dem vorhin 
gefundenen Werte von [fOxdyert+) einerlen ift, 


2BB=—r, alfo B, d. h., fetöt von t=o bis 1° 
+ % genommen — 7V⸗ giebt. 


Auf dieſes Integral werden bie übrigen feT’dr; 
fer; u. fi w. folgendergeftale zuruͤckgebracht, wos 


/ 


\ 


694 Summirung der Reihen. 


zu wir aber des Satzes beduͤrfen, daß der Logarithme 
einer unendlich großen Zahl gegen die Zahl ſelbſt uns 
‚endlich Flein iſt, oder verichwinder, Der Beweis defs 
felben * folgender. Es iſt 


log- 





1 — x 








— 4 
— —— — 





i—x 
ı 1 I 
za) x+- X +-x+-xt 
EEE: 3. - er 
+ etc, ) 
, | 
= x— Let nt Zuten) 
4 


1.2 3 


Alſo, für xea, wenn ä eine unendliche große Zabl 
bezeichnet, 


—— — 
⸗úã 1 — — + = 77* ex.) 
Aber die Summe der Neiße - — + — er . * etc, 


in inf. - aus — ate * —F — 
i 

mithin — F — 0, 

Es wenn man theilweiſe integrirt, 

* — 

ſerutdt — — u ©; va + IT fort map, 

5 2 

one Conſtans, weil für t=o, die Integrale auf beis 

den Seiten verfhwinden. Gest man = @, fo ver: 

ſchwindet est”, Denn es ift, wenn man zur Abs 


€ — — 
kuͤrzung AD—-1Z P, feßst a. 
I Y 


Summirung ber Reifen, | 695 


p(lögt®  p — t)3 








ı + plogt + — 4 * + etc. 
14 
ır tt — es T — 


wo vom zweyten Gliede an, jedes Glied des Zaͤhlers 
gegen das gleichſtellige im Nenner für (= oo, ſelbſt 
wenn nur p unendlich groß werden ſollte, zufolge des 
e wieſenen verſchwindet. Da aber ſowohl im Zähler 
als im Nenner die Summen der nach dem erſten 
Gliede folgenden unendlich groß ſind, ſo verſchwinden 
die erſten Glieder ſelbſt gegen jene Summen, und.ed 
ift für ein unendlich großes t 


t‘ :n—3 
an 
mithin zwifchen den Grängen t=o und = wo 





2n—I | en 
fewät = = ‚fett, 


Setzt man hier für. n nah und nach n—ı1,n—2, | 
n —3....1 ſo wird, 


an— 
fer = fertn-agt 
2 


feten-i9t — —— fer ‘ot 
| i 2 | 


® 


er ” * + * 


»[|- Be 


ffwit = 
alfoe = 


fest 


694 Summirung der Reihen. 


zu wir aber des Satzes beduͤrfen, daß der Logarithme 
einer unendlich großen Zahl gegen die Zahl ſelbſt uns 
‚endlich Flein ift, oder. verſchwindet. Der Beweis defs 
felben « folgenter, Es iſt 


log 





Dem X 








1 





= (ix) log- - 


1 —x 


1 


G—x)(x + zeiten 
+ etc.) 


1.2 2.3 


Alfo, für xDa, wenn 3 eine unendliche große Zahl 
bezeichner, 


j | 
— X— Le+ ot Uster) 
3.4 


Aber die Summe der Reihe - — — + — ae . — etc, 


in inf. ift aus Summiedar Kite, x se — 
iĩ 
mithin re °. 


Es ift, wenn man an — 
ſerutedt ⸗ — —tt wa — — ten⸗· ↄt. 
2 


ohne Conſtans, weil für to, die — auf bei⸗ 
den Seiten verſchwinden. Setzt man t — @, fo ver⸗ 
ſchwindet een, Denn es iſt, wenn man jur Abs 


. 2n⸗4 
kuͤrzung 2u — 1 P, ſetzt —— — 
| z 


— * ⸗ 


Summirung der Reifen, | 695 
p’(l a La p’(logt): 











I A ploge y FÜ + 3 + etc. 
— — 
rt tt + = + ee 


wo vom zwenten Gliede an, jedes Glied des Zählers 
gegen das gleichitellige im Menner für =», felbft 
wenn nur p unendlich groß werben follte, kufolge des 
e:wiefenen verfhwinder. Da aber fowohl im Zaͤhler 
als im Nenner die Summen der nach dem erften 
Gliede folgenden unendlich groß find, fo verfchwinden 
die erften Glieder felbft gegen jene Summen, und. es 
iſt für ein unendlich großes t 
I u 


i ett N 
mithin zwifchen den Graͤnzen mo und imo 


1 a BEE 
jewa= — ‚[evrt, 





Setzt man hier für n nach und nd n—ı,n—2, 
DZ fo wird, f 


an— 
fertemat = —— ſerutꝰn·adt 
2 





2n — | 
feat = 4 feuer dt 


® 


er * — 4 * 


12—**2* — 


ffwi = 


alfo = - 


f ettot 


696 -  Summirung der Reihen. 


‚ 1 % . „.. on — 1 | 
fer EEE MOL — 


2 u 





9» 
‚innerhalb der Graͤnzen t=o und t= 


56. Die Summe. der ‚endlichen * mit ab⸗ 
wechſelnden Vorzeichen der Glieder Plı) — 662) 
+ 603) — Ol) ..... + Olx), das obere Vor⸗ 
zeichen für ein ungerades, das untere Vorzeichen * 
ein gerades x genommen, ergiebt ſich ſo. 


Man ſuche die Summe der unendlichen Reihe 
OC1) — 62) + 603) — Pla) + etc, in inf. indem 
man in Pix) — Px+ı) + Px+2)— Px+3) 
+ etc. ininf, = S, x=1r fest. Nennt man 
diefe Summe S, fo ift für ein ungerades x 
91) — Pl2) + (3) — ... — O(x—ı) = &6—S5 
alfo 
6) — HD -MO+. .— Pk) 
—=&+ WS 
und auf ähnliche Art für ein gerades x 
| RATEN ZERT + P&—1)— 9) 
=6— R—$)i 
Da © eine unveränderliche — iſt, ſo kann 

man auch fagen, die Summe a der Reihe 

(1) — 002) + 93) — .... 3 = 
Const, + (P(x) — S) unter der angegebenen Bedins 
gung der Worzeichen, und die Conſtante dadurd) zu 
beftiminen, daß fir x<=o, au =o, für x=ı, 
o—Plı), für x=2, 0 =Pı) — 92) u. ſ. w. 
werden müfle. Setzt man Pl) = y, Pı)= a, 
(2) = a’, 93) = a” u. : w., wird aus (48) 
a — apa, +y= 

bon = (= + Wan. 0 dy 


1.2 "dx 


Summirung der Keifen. 697 | 


(A-N)B) diy (28-1)B 0°y 
13, »4 ae a Pr PEFRR de⸗ 


— ec. ) ! 


— Euler hat dieſe Formel in den Institt, — dk, 
P, I. c. VII $. 183, 


57. Die eben erhaltene Formel‘ laͤßt fich auch 
aus den beiden Summirungsformeln in (35) und (4) 
folgendergeſtalt — 


Aus (35) iſt * | f 
HIFI) DS 
ad + Jy°x 8 — —y — = 7 
x 
0 * —* — 


1.2.3.4 408 7 12..6 8% 


Au⸗ (40) * wenn man x ſettxſchreibt, 


wodurch ſich T in 2 oder y und y in —— 
verwandelt, 
HOFF He. + — u 


| (1), 
Const, + J[y®x — — 
I: 2 * 


BB) ya) Sy 
1.2.3.4 (2X) ec. 6 '(20x,6 
alfo durch Subtraction, wenn 9(#) mit zur Conſtans 
gezgzogen wird, 
| III PH H.. + 9x-4 )+ 9x) 


| Ba) 9 
— Consu + y eg — 
2 I, 2 "20x 


‚696 Summirung der Reihen. 


—— —— 
Be —* zu 
3.7. an — 1 
| EEE Se A 
innerhalb der Graͤnzen t=o und t= =, 


56. Die Summe. der endlihen Neihe mit abs 
wechfelnden WBorzeichen ber Glieder - Plı) — $(2) 
+ 05) — 664) +... + Olx), das obere Vor⸗ 
zeichen für ein ungerades, das untere Vorzeichen für 
ein gerades x genommen, ergiebe fich ſo. 


Man fuche die Summe ber unendlichen Reihe 
OCc1) — 6(2) + 6003) — Pla) + etc. in inf. indem 
man in Pix) — Px+ı) + Px+2)— Px+3) 
+ ‚etc. in inf, = 8, x=1r fest. Nennt man 
diefe Summe. S, fo ift für ein ungerades x 

O(1) — 'P(2) + P(3) — .. — O(x—ı) = 6—S5 
alfo Ä 
AH)—PRD+ 93). — (4) — * — | 


O(x)—S 





und auf ähnliche Art für ein — x 
006— ic Juri: a rap a 
| PR— 5 

Da S eine RE — iſt, ſo kann 
man auch fagen, die Summe a der Reihe 
9a) — O2) + 93) — .... 3 = 
Const, + (9x) — S) unter der angegebenen Bedins 
gung der Worzeichen, und die Conftante dadurch zu 
beftiminen, daß fir x=o, auch a=o, für xı, 
o—6(ı), für x=2, 0 0) — (2) u. ſ. w. 
werden muͤſſe. Gest man Pkx) = y, Pı)= a, 
92) =a', 93) = a“ u. ſ. w., : wird aus (48) 
a— apa. + 


I (ET oy 
st, — — — — — 
N (ar +! 1. 2 "dx 


Summicung der Reifen. 697 | 


(+ —1)B0), diy en 0°y 
1.2: 3.4 Fr " diene "dxs 


u) 


Euler hat diefe Bormel in den Institt, calc, ak, 
P, I, c. VII. $. 183, - 


57. Die eben erhaltene Formel läßt fih auch 
aus den beiden Summicungsformeln in (35) und (40) 
folgendergeftalt BRAIN: Ä 


Aus (35) iſt 
PA) TO) + 963) « u 98) = = 
Ga) 9 
en +höc+ —y + — 


%(2) O’y 05) d 
— — er a 2 wa GE, 


1.2.3.4 a 2.6880 


Au (40) * wenn man xſett xſchreibe, | 


wodurch ſich T in 2 oder y und y in | 
verwandelt, 


IF HIN Her + ee — 


(1), 
Const, + J[y®x — CB. 2 
IL. 2 EL 


BD By ENT By 
1.2.3.4 *(z0x)3 1.2.0. 6 (20x, 
alfo durd) Subttaction, wenn P(3) mit zur Conftans 
...gejogen wird, 
MIDI PDH- +9 x-Z2)+0(x) 
(2’°—ı)B0) day 


= Const, += _ — 
— 


698 Summirung der Reihen. 


(2 ) B) 0°y EN. Hy - 
1.2.3.4 (29x) ' 12.2.6 (2x5 
« — etc, 


Hier hat das letzte Glied Plx) dad Vorzeichen 
+. Da es aber auh — haben fann, fo ‚gebe man 
der Neihe, indem man fie rückwärts ſchreibt, wodurch 
es unbeſtimmt bleibt, wie weit fie ſich nach diefer Rich: 
tung erſtreckt, doppelte Vorzeichen, Alsdann wird 


t (99 9(x-Z) + PR) — 96) 
| + etc, 


— Const, + I—Y GB By, 
2 I, 2 "20x 
dm 1 1332 5 
X — ad 0 Y + ec. 
| - 1.2.3.4 (20x)? 
wo die Conftans, welche im allgemeinen immer als ad: 
ditiv betrachtet werden Fann, ohne doppeltes Vorzei⸗ 
chen geblieben ift. Ihre Beſtimmung hängt nun das 
von ab, wie weit man in der Meihe Pfx) — P(x—3) 
+ 9x — 1) — etc. zurücgeht. In diefer Meihe iſt 
o(x—}) das naͤchſte Glied an Plx) oder y und 
* — oy Oy ’ Ar 30 
were: | u 1.2(20%)’ 152.3 (20x)3 
-+- etc, 
Soll Pcx— ı) das nächfte Glied werden, fo hat mar, 
weil — | 


95 3 
oQx—)=y- she are ee + etc. 





und dieſer Ausdruck aus dem von Plx— 3) hervor: 
geht, wenn ftatt 20x überall bloß Ox gejegt wird, nur 
nöthig, dieſelbe Veränderung in der erhaftenen- Sum⸗ 
“ menformel vorzunehmen. Dadurdy wird 


Summirung der Reihen. 699 
+ (RI— Ox—1)+ O(x—2) — Ö(x—3) + etc.) 


»*— ) © 
—— Const. + (=r+ Br - ec 


1. 2 °x 
.1:29:4 x ) 


Setzt man + — — Ok—1) + P(x— 2) — ... 
+ OCI)), wo 0(61) das Vorzeichen + bey einem uns 
geraden x erhält, —=o, alfo = P1)—P(2) +96) 
— 0... 49%), fo gelangt man wieder zu der vori⸗ 
gen Formel. Man wird gegen dieſe Herleitung weiter 
kein Bedenken haben, wenn man bemerkt, daß in den 
beiden Reihen 
a P&x—3) + re 3) + et, 
un 
x) — Ox—1) + 9x —2) — P(xX—3) + etc, 
die Ölieder der zwenten P(x— 2), Px—3), Pix—4) : 
u. ſ. w. aus den gleichitelligen Gliedern der erften 
Hx—ı), Ox—}), Pa—2) u. ſ. w. eben fo 
entiteben, wie e8 vorhin von den Gliedern O(x— ı) 
und O(x— 5) gezeigt iſt. Plz) oder y bleibt dabey 
ungeändert, 


| "7", Vermittelſt der Formel fuͤr die Panne 
ber Reihe Pd — Pa) + 9a) - PH-+. | 
— O(x— 43) + 9x) läßt fi der oben in (45) Pr 
fundene Ausdruck für Zlog2r auf folgende, vielleicht 
weniger Einwendungen ausgefesste Art erhälten. 

Es ſey nämlich y oder O(x) = log 2x, alſo 
? — Ilog(2x — 1); P(x—ı)=log(ax—2);.' 

9 Ilog; — log 43 0(63) = log3; 


05 
j — *3 u. ſ. w. alſo 


log2—log3 — es .— -logax A log:x 


700 Summirung der Reihen. 

EINE 5 (N) 

* ne u — logax + — 
(2) B, 2- B 


3.4. (2x)).5.6. (25)8 
ER man bier zur Beſtimmung der Conſtans = 
fo wird 


log2 = Const. + — log2 + 


— etc. 


(2 —ı)Bı) 
I. 2 2 


BF) BO) (2 BO) 








- — etc, 
3. 4. 2° 5.6. 2° * 
und —— | Ä 
24.6.8. 2X-2 I (21) 0) 
oe ——— =- 2 
05 5.1.9. 28-1 a Be 1 2,3 — 
(2 1)B6) 18c6-)B 
| * — tz) 3. 4, 2° nt rue 
alfo für ein unendlich großes x 
6. ._ Aı) 
„24 8.. 2X-2 ya x=!l0g:- (2· ⸗-)B 
a 5.7.9. 2X-1 I. 2. 2 
421)B( 
2 * — eto. 
1. 2. 23 


Aber nach Wallifens befanntem Ausdrucke ift für ein 


2.4.0... 2X—2 


unendlich großes x der —————yax, 
ıdlidy großes x der Werth von — —— 


* =V- —, Daher, weil logV-_ _ —=—logr ——10g2 


— Aogar — loga if, 
HN) B) : (=) BR) 


1. 2. 2 N 
* — eic, 


I 3 
—log2r = —log2 


In (45) iſt gefunden 


Summirung der Reihen. 701 


* — (1) 5__ (2) 
ga + —— DD „een B 


1. 2,2 3. 4. 28 
0 EB 
I Te 


Bringt man diefen Werth in den vorigen Ausdruck, 
ſo wird erhalten — 

ER | BU) RI) 5) 

2 — 1.23.4 5.6 —— 
wie in (44) und (45) gefunden iſt. 

58. Man ſieht, wie die Saͤtze von 54. bis 57. 

dienen koͤnnen die Logarithmen von Factorieilen (Facul— 
täten) mit gebrochenen Exponenten zu finden. 


Die Factorielle 13!" nah Kramps Bezeichnung 
iff, wenn man in dem Xrr., Hypergeometriſche Reihe, 
a=zı,bzr,n=$un, a=ı feßt, und x ſtatt 
i ſchreibt — 


_ 1. (+ — 5 PRSSSREFERR + 
[ONE Oro TOmEp wer» 
a | x (+ mi 

u - A) AH)enne < + 2x—2 | 


ee 
 CEHIEHICH un It aan 


CH) 


für ein unendlich großes x, 





Dun fey Olx) oder y = l0g(- + 2x), alſo 
26-9 * leg (= + 2x— 1); 9x1) 


7» Summirung ver Rehhen. I 
= log(> + 2-2); 92) =1os(2+ ) 

9) = 1og(2 +2); = 108(= + ) 

90) = log” ferne 7 =; er) 


I= (+3) s — 2.3.4 (* +3); s 





u ſ. w. daher 


los — Iog(—- + + ) + 1 + ) | 
— gl + ya 10 (2 +x— ) 
| u + log( — +) 


— Const. ne 1og(-+2x) b 


— (22 — 1)B() ro ABI ı 73 
12 "2(ıHrX) - 3.4: "alıreo 
| + (208 1)BO) u 


| s.6 . "2S(ı-Fra)s 
2 | 
alfo, da für x=o die Summe =1og— feyn muß, 


2 — 1B(0) 
Const. = — log = u EN. — 
2 1.2 


— — «ic. 


Dadurch wird 


Sammirung der Reihen. | 703° 
ne + 2)(— +4).- en + 21-2 


* EHE 
SICHED EICH) 

=- en — 
— Dt: f- T — 
— af — — 


| = etc. 
folglih x unendlich groß gemacht 


22Bcò FEN 2) 
lg tr ——. —— — 8 — .& 
22 2 


—— * 
alſo, wenn man die — von BO, BA), 


2] FR einführt, und von den fogarichmen ju ben 
Zaßlen zurückgeht 


Pe: : r\? 
dl eat t | mr — 
399, In? , _869 
2048 un Pi 8192 ' ICE, 65536. © 
wo die Eoefficienten zu den Potenzen von — bis auf die 




















— 


— — I: 
Vorzeichen einerley find mie denen der Potenzen von —— 


in der erſten Reihe für — in (54), wovon man den 


704 Summirung der Reihen. 


Grund leicht auffinden wird. Der gefundene Ausdruck 
ſtimmt mit dem von Kramp, Analyse des refru- 
ctions, Nro. 139. überein. | 


59 Es fey jest. die Weihe, deren allgemeines 
Glied p*y ift, zu fummiren, fo daß alfo die Summe 
von ap + a'p* + a”p® +... + ‘yp“” Typ“ 
verlangt wird, wo die Bezeichnungen aus dem vorher: 
gehenden bekannt find. Man fege diefe Summe Z s. 
Druckt man nun hier, wie in (27), y, “y, .... a“, 

a’, a nach dem Taylorfchen. Lehrfage aus, und rechnet 
man, wie dort, zuerſt das der Stelle o angehörige 
‚Glied ’a mit ein, nachher aber wieder ab, fo wird, 


| | 1 8y x 
4* pry tr Pvy — — 


— 'A Ox p* 
— Et 
x — . s⸗ 
| | TP a 
9 5 
— — 9. 
1,2.30x5 p“ 
; xx 1* oT 3* 4* x’ 
wo tt if 
pP pp." PpP.:Pr.. p* 


Da die in diefem Summenausdrucke vorkommende 


x 


® EN 
Summen — 5, S—_; u. f. w. der Reihen = 
— -P | r 


3.89.04 1,4,9 16 
+ RT 4 tt me 


1 8.2 6 


Größen find, die unendlichen Summen biefer Reihen 
aber, wie aus (3) erhellt, einen beſtimmten (nicht von 
x abhängigen) Werth haben, fo führe man letztere 
ſtatt der erſteren in die Formel ein, Dezeichner man: 

RE is 


\ 


\ 


Sunmmaung der Keen. .705 
in dieſer Abſicht die Biden Summen jener Rei— 
ben durch u Sn —— * u. ſ. w. fo giebt (3), 


das dortige — — ‚ und die ütrigen Bueihe 
nungen gehoͤrig vertauſcht, 


8 1 es I I 

p“ pP pip—ı) 
s“_ x X I x 

p* P.: pp—i. 
s* * x RR 


21 ı x? 





u, f, w,. * 


| m | 
Hierdurch wird, wenn man flatt — ſeinen 


| 
Werth — ſetzt, und alles gehoͤrig ordnet 


pt! ii oy > 0° [ 
er a Tu — 


Ss 








ER 9 
en. 


0X Tæco 
— 20” 

I 
| | 1.2, 30x) 23 ec.) 
Y» | 


706 Summirung. der. Reihen. 


x Oy o’y er o'y / 
u u Ken —— 
87 —— — 1,20x3 


9 | 
— > nnd 2ER 4 ec. ) 


1,.2.30x8 








ı _"/oy Öy o'y 
— — — —2 x.— e·——— 
1,2 = 0 , 0% * * 1. 2044 
x?’ wi 
« 1.9.00x5 + ec. ) 
I 3 ydy o'y 4 sy 
1.2.3 p* (0x? 0x4 1.20x5 
| 0°y | 
a en : 
1,2. 30x® — ec. ) 
— eto. | 
1 
Da die hier in = multiplicirte Reihe, y — 
öy us My | | 
— — etc. 
x. re et Dal ber Stellenzahl o 


angehörige Glied der Reihe, deren allgemeines Glied. 
y, oder. der Werth von y für x0, alfo =/a, iſt, 











I oO _ o®y. 
id a — X, — es 
fo wird ‘a+ — (7 Ken Tran 
| | r Ä ' 
— etc.) a —— , az . d. i., 
p-ı — p—ı 





s I 
der Werth von P - fir x=o, Üben fo find die 
21 er 
in 8-5 — S— S—; u. ſ. w. multiplicir⸗ 
p‘ 1.2 p* 1.2.3 p* | 
ten Reihen bezicehungsweife die der Stellenzahl o an⸗ 
gehörigen Glieder der Reihen, deren allgemeine Glieder 


öy dry 9 | Ä 
* ei =; u, f mw. find, oder die Werte von 





Summirung der Reiben. . 707 


DD PE | 
2*. — u. ſ. m für xZo Werden diefe 


Werthe durch [: 7) jE3! [a u. ſ. en 


bezeichnet, fo wird 





p’*!y — dy x y . CH 

——— P 5* © —— Rn 
. I ER 

— P 28 — bar + etc, 


-G-2) WER, 
| rn - er] e= + =) 


Es ift alfo 3 der er zweyer heißen wovon 





die zweyte, weil e u. ſ. w. von x 


ganz unabhängig — ze Werth der erften fuͤr 
x==0, ober die der erſten beyzufuͤgende Conſtano if, 
damit für x ZOo, auch s=o — 


Demnach ijſt 
p*t! ö 7. x z x⸗ 
a Tr Au : at. ——— * 
;x * —* + etc. Const 
ET ne nn 
wo vum 7) 
= 
m-ı ms il; p3 mi 
Apr Ann Anger Al Eu. hACmöp 


r#- * 
nd 


708 Summirung der Reihen. 


| E- en [>] 
‚000 + — — ® a a 2 £} ı” 
3 a 


iſt und die Const. dadurch beſtimmt werden muß, 
daß für x—=o, auch SO werde. | 


AZ u + ea. 





60. Will man. die Summe der Neihe ap + 
a'p® + a’'p? + ap! +... p'y finden, ohne die 
Kenntnig der unendlichen Summen, die fo eben dur) 

{ 2 5 : k 
So SS en; u. ſ. m. bezeichnet wurden, vor⸗ 
aus zuſetzen, fo ſetze man jene Summe oder s — prtis, 
wo’ S” eine Function von x iſt. Iſt alfo 'S die ähn: 
Tiche Function von X—1, fo daß. ’S aus S entſteht, 
wein datin x—ı. flatt x gefest wird, fo iſt ap + 
ap ap... +py=Pp"S, alfo, dieſe 
Summe von der vorigen abgezogen, 
u pts — eXspYy 
und auf beiden Seiten mit p* dividirt, 
—F ps—!' — 
wo ſich zugleich der Grund der Annahme von ps 
für die Summe zeigt. — 
05 a 
x ao 1,2.30x° 
ſo erhaͤlt man aus der vorigen Gleichung dieſe 


J Da “5— 8— 4 etc. 


)S+- en DI ee 
E x 1.20x%  1.2,30x° 
. =y(®) 


| Hieraus iſt näherungsmweife S = — und 


wenn man dieſen Werth gebraucht, noch naͤher 


Sunmmirung der Reihen, 709 - 


° nr 
JJ SEHE 000 Es fey alfo 


y. a’. BB Sy 1 By 








ö 540 
+ — — — etc, 
ſo wird F 
OX 3 . 
p—-)S=y— Be + Pi rl pete 
08 I «X 
+ > — — ur = etc. 
SS _ | 1 X 
naar a Tao) 
DS.:._ | RR | 1 
1.2.5008 en erc· 
— etc, | —etc, 
-y =—-y 


woraus vermöge (©) zur Beſtimmung von a, 6, Y«» 
ſich folgende Gleichungen ergeben 


ap—ı)— ı=0 





1 

—— Ken 
@ J 
EN Se a ee 
Ä a « 
Ö — — — — — — — — — 
2 7 1.2 1.2.3 1.2,3.4 

uU, f. w, : 


Aus diefen Gleichungen wird 


10 Summirung der Reihen, 


1 / 
| —— 
I 0 A 
1.2(p—ı)? 
y-  Pppt4r+ı 
1.2.3(p— 1)? 
tr tr ııpti 
1.2.3.4(p—1)t 





em 


u. f. w. gefunden. 


Das Geſetz, nad welchem bie Soefficienten a, 
B,y, & uf. w. unter einander jufammenfängen, 
. Überfehbarer zu machen, und, wo möglich zu vereins 
fahen, formire man eine Meihe mit denfelben Eoeffis 
eienten 1 -->at+ At? Hyt3+ött + etc, und feße 
. bie Summe derfelben v, PR daß £ 

v=1-+oet+ Pt? +yt} +ött-tete,. - 
Dun formire man nach Anleitung der obigen Nelatios 
‚nen zwifhen a, 6, Y, Ö, u. f. w. folgende Reihen 


(p-i)v =p-ı-+(p-nat+fp-ı)Bt-+H(p-ı)yP +etc, 


tv | . 1 
— — — — — Bil, 
1,2 1.2 1.2 
Uv 
E77 nd Zr 2 1% 
eto, etc, 


fo entſteht durchs — ; weil rechter Hand 
alle in t und feine Potenzen multiplieirten Slieder 
wegfallen 


| .: 9» t⸗ 
( i, 2 123 A 4 er 
d. i. | | 


v(p—e) = p—ı 


- und ft = 


3 


Summirung der Reihen. ii | 


I 





alfo x X 
— et 
Hier läßt fich die tranſcendente et durch Differentiatio 
wegbringen, und dadurch ein einfacheres Bildungsge⸗ 
ſetz für a, ß, Yı 5, u fr w. erhalten. Zu dem 
Ende ft u | 
pvop+rı | 


| em = | \ 
alfo t = log(pv—p+1)—logv Bi 
pov - ON. (p—ı)ov 





pr—p+tı v vov—p+ 

woraus | | — 
Zu); j | 

| P-)z pP" r p—1)v=o0 

folgt. Es ift | ze: 

. OV ur 
Br) = p-1)ata(p-rAt}3p-Yyt Feto. 
— pr’ mm ?)— 2pa — pa* — eic. 

| | —  2apß —etc. 
+@-)v=+p-ı+(p-na rpm) Ten 
alfa, weil die Summe linker Hand — 0 iſt, 
(p—ıla= ı 

2(p—nB=(p-+ ı)« 

30 — (p -*136 4 pa* 

40 - 1)0 ò * —. 206 

sp—nDe=(p+tıö+p@artPD 

KP—ıa zlprn)etpzaör By) 

eis | etc. 
wo das Gefeß des Fortgangs Flar if, Die Factoren 
zu p+ ı nämlid) find die Coeffirienten des Polynoms 
at + Pt? + yt + öt* + etc, nad) der Meihe, die 
Factoren zu p aber die Eoefficienten von (at + Br* 
+ yt3 + 51% + etc.)*, welde zu einerley Potenz 
von € mit jenen gehören, | a 


712 h Summirung der Reihen. J 


Euler hat die Formeln fuͤr die Soefficienten a, 
B,.Y, d, uf w. Institt, Calo. diff. P. IL. c. VII. 
$. 175., die Coefficienten felbft bis mit zu 7, ebendas 
felbft $. 173, 


Hätte man anfangs die Summe der Reihe ’a 
| — ap rap Fa/p? +... pry, ode "n.n 


Br ‘a ap + a’p® * a“ps + 28N06 4 p” Yı u. ſ. 
wepꝛaes geſetzt, fo würde man zur Beſtimmung von 
S diefelbe Hleihung wie oben | 
ps — p"S=p’y 
oder ‚P8=.10=7 
erhalten Gaben. Es bleibt alfo, wenn S auf biefe 
Weiſe beftimme wird, in der That unbeflimmt, wie 
viel Glieder der Reihe von dem Gliede p*y an ruͤck⸗ 
wärs genommen zu der Summe gezogen fi nd, wie auch 
daraus erhellt, daß wenn man ap-+- a’p ® -a'p 
7 +... tr p'y = pt!TS + Const, EEE 
hätte, ‚ebenfalls die .Sleihung p+"S — p"S = p’y 
gefommen feyn würde, Daher iſt S. : yo 


p*ta 
te dx Tora | 
+5. — *)* + Const, 
welcher Ausdrud, wenn hier — a,-ß, 9 ‚uk 


w. und in (59) Marc Sn = en u ſ. w. 


ihre Werthe in p geſetzt werden, mit * in (59) ge⸗ 
fundenen vollkommen uͤbereinſtimmt. 





Ein dritter Weg, die Summe ber Reihe 


— a“pe Le... — pP'Y iu finden, it 
folgender, 


— 


Summirung der Reihen. 718 


‚Es iſt, wie ſich aus (4) leicht ergiebt 

ap + a’p® + a’p3 4 atips 4 etc. in inf, 
| ap - PP p® 
zu — Ai Ein iR 
= .p-ı ja (pP) (p—ı)3 
Er re 

I + 61% 

wo die Reihe rechter Hand des Gleichheitszeicheng eine 

mal irgendwo abbricht, wenn die Reihe a, a’, a’, 
ad... auf verfehwindende Differenzen führe ſonſi 
aber ins Unendliche fortlaͤuft. 


Auf dieſelbe Weiſe iſt | 
yp* + y'pxt: + a a + ytpx+3 + etc, in inf, 


y p | p’ | 
— * —— + A u A? 
( p-ı (p—ı) * (p— ı)? { 


p? — 

— to. 
Tora” er.) 

Sind nun y,y', y', y! 2... bie den Stellen: 
zahlen x, x+ı, x+2,x+ 3,... jugehörigen Glie⸗ 
ber der Reihe a, a’, a”, a',..., fo giebt die legte - 
Summe von der erfien abgezogen die Summe von ap 
+ ap? + ap? +... +p”'yb.i. 8. py- pry. 
Daher wird nach Hinzufügung des Gliedes pry zu dem 
Reſte 8.pry oder s 





Ada — etc. | 

















1 Ba 1 p 
— — — — ERBE De 
p—ı\? p-ı BA, e 
PP 
— 43 
— y+en) 





p p | PP 
= a —— Aa} ——— Aa 
J Et P—2 Re 1) 


* ne“ 3a — — 





7714 Summirung der. Reihen. 
* — p 
In der Reihe, womit — 
man ’a, Aa, Ara, u. ſ. *. an a, Aa, Ara, u f. 


w. ein, indem man a — a Aa, Aa Ara 
+ ara, Aa — Ara + Ada, u. ſ. w. mad, 


- multiplieirt ift, führe 





ſo berwandelt ſich dieſelbe in a — _— ara 
2 PP 
— — AUG As/a - etc,, wel⸗ 
(p—ı) op—n? Mr old 
che mit jener — Anzahl Glieder hat, und mit der 








Reihe — Aey — etc, wor⸗ 
bey — dr any y 





xX+I 
. ein mulcylitet iſt, ſich vergleichen laͤßt. Die 


Vergleichung zeigt, daß jene nichts anders als der 
Werth dieſer für x=o iſt, indem naͤmlich, fo wie 
‘a der Werth von-y für x=o ift, eben fo Aa, 
Ara, m ſ. w., die Werthe von Ay, A’yu.f. m, 
für denfelben Werth von x find, detzteres erhellt ſo. 








Da 
RR 1% | 8y — 22 
— *5* Kr 12x — 1.2.50x3 
und 4° | En pp — 
ey. — 
az = yen? Ho) — - (1 —— — 
4 etc, 
ſo wird 
at -(2 x) + ( 3x’ 3x 4 — 
Ox 2. Er 
oiy 
_ (1Xi—ex + 4x1) ——— + et0. 


L.2.5 3. 40x 


Summirung m. 7485 


. e 3 
— 0°y 





x dx⸗ 1.2,0x3 ‘1. 1.2. — 302 1080. 
0° = Ay oy 
x Kengs — 5. 1,2.30x$ 

+ ec. ) 

Er — 0° — 
ER (Ge DE — x, 4 A, Ya 
1.2.3 0x? * 1,20x° 1.2.30x° 


+ te) 


a eto, | | Br ; 
Die u Reihe bieſee Ausdrucks für Ala iſt der 
| Werth von = = für x-o; die zweyte Reihe der Verth 

o'y 

von . für —— Werth von x; die dritte 

1,20x” | | | | u 
By'z 

der Werth von — >. für x=zouf.mw Alſo if 
A’a der Wert von — ir -retc 
1, — 1,.2.30x3 ! 7. 
d. i., von Ay für x0. Üben fo läßr fich zeigen, 


daß Ara, A%a, u. few. Die Verthe von A’y, Ady, 
u. ſ. w. für xzo find. 


! 


2 
Da alfo 7a + aa — eto. 


-a 
der Wert von — — 4⸗ 
Werth von y — ar; ye 


fir x=o it , und died von dem Factor — in An⸗ 
P—u 


716 — der Reihen. 





ſehung des Faetors * — — gtechfal gilt, fo iſt das 


| | j 
Product a — — dat r A’a- ec.) 
p—-ı p—ı Pu .. 


x+ı 
der Werth des Products P (7 _ = Ay 
- P= Pp—1ı 
FREIEN. URAN cs | 
+ — y— ec. ) für x=o, d. i., die dem 
letzteren — Conſtante, damit für x o auch 
so werde. Man har alfo 


et I 
— (1-74 47 

















RT EBEN SEN | 
— — — etc, C. 
(p-ı)? . (p-ı)? ä ) % 
Um diefe Kormel, deren Glieder ein fehr einfas 
ches Kortfchreitungsgefeß befolgen, durch ein Erempel 
a — ſey y=x?®, fo iſt ay - 33— 35413; 
—.6x + 65 Aasy S 63; 445 und alle folgende 
Differengen =o, Daher ift so . .. 
p“ (x _ 3px?  (3p+3)x 
Pi .p-n 
_ PP +4P+ riet) 
C 
(p— 1)? 8 
Die Conſtans, aus dem Ralle x = o beſtimmt, ift 
_pp?+4p+1) — 

—— —. Gii der Totalwerth der ins 
———— ſ b 
Unendliche fortgeſetzten Reihe 13.p + 2°p? + 3?.p? 

+ etc, Man vergleiche 17. 18. und 19. = 
Führt man in die Formel für sdie Differentialquotienten 

oy 4 ö°y 

dx ox? 0x 3 





— | 


$,x’p"— 


— u.f.w,ein, indem man flatt Ay, A?y, Asy, 


Summirung ber Reihen. 














717 


| T 0?y os y 
u. f w. ihre durch — Du’ Due’ Dust u. ſ. w. ausgedruckten 
Werthe ſetzt, welche, weil Ax—1 iſt, ſind ) 
55 97... 20% | 
nz — 1.20x* 1.2.30x 1.2: 5, — 
2dey.68 r40* ray 
Ay 2 
. 1,20x°?_ 1.2.30x3 1,2,3,40x* Pen 
| 60°y 368 
Aly 
r 1,2.30xX3  1.2.3.40x* — — ee. 
Alyz | Be t 
ae 1.2. 3. 40x +ete. 
etc, etc, 
fo wird 
I pt r öy p+1!- dey 
p—ı d p=ı 9% 1.2(p-1)? dxe 
a _P+4p+ı &y 


1.2.3(p-ı)® “oxs 
p’trıp'Frip+r Öd'y 
1.2.3.  1.2.3.4(p-1)% - . ‚ox4 * — nr 
eben fo, wie vorhin gefunden iſt. 


Um die von x unabhängigen Encne zu zT, 
o®’y ö®y 
“ Dxe’ Oxs 


rag — zu RR „rege man 


—— Ay etc, | 


—, U fe w. in dem eingefehloffenen Factor dies 


———— A — — ‚DA? 
p—ı "tr 77 — 

0° o°y 
=y—a tl yo u nem —_ + ee. 


NR &, Eulers Institt, cale, diff, P. I, C, IH. $. 56. 


718 Summirung der Reihen, 

Nimmt man bier y=e%, fo wird, weil Ax—r, 
M— em x —⸗ —erx(ew⸗· 1 —3 Aey — eler- 1 
Asy * zen uf. w. alſo 

pe 

















| — — — — * De Are Tut A + etc, 
— — (e”—1) T — (e — 1 
— ——— * 1) (e—)5 + etc, 
— * >; ud ae, Ger — ‚ (e®— 1) 
FE EEE 
te )) 
I 
| =e(? = — (ee). 
p-ı 0. 
J * 1 —— (e 1) 
_ po, 
= ne 
| dey 
Ferner wird, da 2m me”*, = — mie" 


dꝛy 
— — nie, . fe . . 
* m u * w 


J = u _. — 
— un am Ri — — a“ms + etc,) 
Hierdurch ergiebt fich 
(p— ı)e” 1 Um? / 
tm amf em — at'm® + etc, 
pe” —ı 
und wenn man m in — m verwandelt 
P ei — m + all! + aim + ets, 


Summirung der. Reihen, 719 


Die Eoeffirienten a’, a, a’, u. f. w. find alfo 


einerley mit denen ber Entwicelung von — in 


en 





eine Reihe nach. den fleigenven Potenzen von m, wel⸗ 


ches ſchon in (60) gefunden ift. 
Da dieſe Beſtimmung der Goefficienten eine res 


eurrivende iſt, ſo ſoll hier noch eine independente beye⸗ 


1 9 
gefuͤgt werden. E⸗ ſey alſo y= 7 fo ift = — 


en 8 EN 
u. ſ. w. Daher 
4% ö°y 
Be a Bra —— — 


1..a“ 1.2071.2. 34 








= —24 a re Ta a 4 etc, 
erner ift Ay — Ay — 
F ; y TE — 18 
1.2 A3 — I. 2. 3 
a — 
u. ſ. w. Mithin 
p _p 
— A Fee — _A3 “ 
pi nn (prı)? IT pn: * 
1 1 1 u 
eo 
x p-ı wann — "x(x+ı)(x+2) 
| 4. pP 1.2.3 
(p—1)° xx+ı). a 
| Hieraus wird | 
pl el zuge + etc; 


* 


720: Summirung der Reihen. 


=14 sp To rer) 
"pain, ERS des 


(pn)? — 


Man ſetze hier fatt —— Zr — 


RE IRRE he 
(tı%X x+2)x+2)' u. ſ. w. ihre Entwickelungen 


nach den Potenzen von =, indem man 





BE 5 “A co ,'D 
Tr To x? eure 
(1) | 
1 4 ‘A B-- °C 
— 
2,9) . 
. ı 4A. ..'B 
— — — —_ + — er. 
GreHete =, 5 
1 2, 


u. few. macht, fo giebt die Vergleichung * Coeſſ⸗ 
cienten zu den gleichnamigen Potenen von ⸗ 


——— 
N Pp 
ee en — A 


(p-ı)? pP-ı (6) 

1.2,3p? 22P ,,. 1 | 

en A EN 5 B 

"pP? — 0 
__1.2.3.4pP® _ 1.2.3p" “ 21.2p 

3 a” En a x 23) (P-1)* (1,2). 





| j Summirung der Reihen. 721 | 
u. ſ. w., wo das Geſetz des Fortgangs offenbar iſt. 


Dieſe Ausdruͤcke für die Coefficienten a’, a’, a4, u. 


go 


ſ. w. find freglich nicht fo bequem, als Die in (59) 
aus (7) mitgetheilten. Die letzteren Iaffen fich übris 
gend auf) aus ber. erften hier gefundenen Formel für 
8 ableiten, wovon jedoch die Ausführung für dieſen 


Artikel zu weitläufig werden wuͤrde. 


62. Man fee p=—ı, und bezeichne bie 
Werthe, welche a‘, a", a’! u. f. w. für diefen Werth 
bon p erhalten, durch B', 8", 8 u. ſ. w., fo wird, 
je nachdem x gerade oder ungerade-ifl, * 


| | - F 
aaa... +yZCH (- yo Bi. 


Ra PET N 
+oß *dxt * zurzr 7 etc.) | 


Oben in (56) wurde gefunden 
a — aa AH. 42604 y 


ö OB Ay 

* IL. 2 ‘x — "9x5 
—— (2ñ )B ). dy 

7 dere ) 
Weil beide Summenformeln ibdentiſch ſeyn muͤſ⸗ 

fen, ſo folge zuerſt Bo, öο σ«οu. f. 

w., d. i. | 


L. | 
TOR 4 og 


N ng, — 


-- —d 
(ı) 2 (1,2) 2° (172,5) 2? 
R Ha 2. Er 1.2.4 
ED uk —· — von * 
(ı) 2 (1,2) 2 (1,2,3) 2 (1,2..4) 
J 228 I m 1.2.6 — 
Ft (1,2.,.5) 2° 
u. ſ. w. 


31 


u 


wo Summirung ber, Reihen. 
4 2 Ferner ergeben ſich and) noch folgende Ausdruͤcke 





fuͤr die Bernoulliſchen Zahlen 

RER TEEN Te | 
CHE 

# 0. % fe23 12 EEE 
Be = = 7 ONE B| 
— re 
wo m ac +im 
te | 2° (125) Bra) 2.6) 


Will man hiernach einen Ausdruck für die mie 
Bernoulliſche Zahl bilden, fo führe die Hindenburgi: 
ſche Bezeichnungsart; wo ber Claſſenexponent durch bie 
Stelle des Slaffenjeichens im Alphabete angezeigt wird, 
in der Bezeichnung der (am — 2)ten Staffe auf Um⸗ 
ſchweife. Diefe werden vermieden, wenn man mif 
Poffelt (Dissertatio de quibusdam functionibus 
“ Symrnetrieis, - Götting., 1818, $. 3) die mte Claſſe 
der Sombinationen mit Wiederholungen aus den n er, 
ften Elementen. des Inder durch "(0)" bezeichnet, 
Wendet man diefe auch in anderer Ruͤckſicht vorzuͤg⸗ 
uͤche Bezeichnungsart Hier an, fo wird ee 
— M 1.2. 3... 2m — 1 
m ee 
Ber* regre | gem " . 
I. 2, 3...2 — 2 
2222 256 


kr 
€ 


„ım—3 


| 1.2.3.0. 2m—g' 
x ——— — — —— 


1222 
gem-s dal Oz 


Bed Hua. 


J (1, 2, 3, —R 


— 


Sunmmirung der Reihen. | 723 

63: Die Summe der unendlichen Neiße * ab⸗ 
wechſelnden Vorzeichen der Glieder | 

By pH pay peter and 


wo y=9x, Y=O(x+i), y"=Ox-+-2) u. ſ. w. 
iſt aus (61), wenn . dort — ſtatt p ſetzt, 





Stra era Er 
— | 


+ 
1 





— * 
Druͤckt man die eingeklammerte — ſo aus 


— ati, ZA YP omas ann En tt A’y 
P+ıy —J "er * °y 
Ady - 


A 
r Ä As 
* (Pren?® 5 — y + EN 
fo laͤßt fi auf die in p multiplicirte Reihe bie in (61) 
ge Umwandlung, nach welcher 
—XE p® | N. 
— — Ay — 3 tc, 
i — a ee ’ 5— y-tetc, 
a pri 
7 p=ı dx- 1.2(p—ı)? Or 
en Bhap Fr By... 
$ 1.2.3 (pr)? Ox Tett 
iſt, onen, wenn * p negativ ſetzt, als wodurch 
p® ! 
— — A’ — 
— | — TESFB — 
25* 1 Pı — —— 
“pri — ap 


* oꝛy — 











| 1,2.3(p-+ı)3 or 
alſo | 
p’y —— pꝛiy⸗· + priey⸗/ — penyn g etc, 


724 Sunmmirung der Reihen. 
———— . pet — 
*750 —7T-. 
_Pp—aphn) y. 
r2,3(p+n® ‘öx3 j 
— —1p® + ip) —— 
— —E 1. 2.3. ern RD 


— *) 
wird, ” 


Das Geſet ‚nach — die Eoefftienten ber 
eingeſchloſſenen Reihe aus einander entſtehen, ergiebt 
ſich ſo. | 
Dieſe — ſey 
| °y C o'y 
— gr DT pr "Hr 
| “ D ody ., i 
F 
Ferner ſetze man die Reihe, welche entſteht, wenn 
man in der in dem Ausdrucke für S.yp* mie > muls 
— 1 
tiplicirten Reihe p negativ — u 
°y y 
a — ıralman 


, — 
ſ⸗ it | 7 A — ) Y F 
———— 
ar BEE NE, 


— 
(pt na | 
c = m r)°ß" 
D=pp+n% 
en · ſ. w. 


I 


Summirung der Reihen. 725 


Aus (60) aber ift 
Oo @E+rNMe=ı | En 
a(p+ ı)B’ = (p—r)a' — 
3(p + 1)y' = (p—1)B'—pa'a’ 
— = (p—nIy'—pı2e'ß‘ 
u. ſ. w. | | 
Werden diefe Gleichungen nach ber Reihe mic 
pr Pp+D, pp rn, w f. w. multiplieirt 
und ſtatt p(p + ı)a‘, p(p + °P, pp+ )’y%r 
u. f. w. ihre Werthe gefest, fo erhält man folgende 
Relationen | | ge 
..BZP j 
20 = (p=ı)B .“ 
sD=(p—ı)C—BB 
4E = (p—r)D—2BC 
sFz= (p—ı)E —2BD—CC 
66 ,(p— ı)F —2BE —2CD 
etc, Ä 
Euler giebt die Summenformel und diefe Rela⸗ 
tionen in den Nou, Act, Petrop. T. II; nur ſteht 
bey ihm n flatt p, und X, X’, X’ uf. w. ſtatt y, 
y,y'ufw. Geine Ableitung ift eine andere. 


| 64. So wie ſich Differentialformeln und Diffes 
rentialgleichtungen durch Meihen integriren laffen, fo 
fann man umgefehrt zu einer vorgegebenen Reihe, bie 
Differentialformel oder Differentialgleihung fuchen, des 
ven Integration die vorgegebene Reihe giebt, raͤßt 
ſich alsdann das Integral noch auf eine andere Weiſe, 
und zwar durch einen geſchloſſenen Ausdruck, darſtellen, 
ſo erhaͤlt man die Summe der vorgegebenen Reihe. 
In andern Faͤllen wird zwar nicht die wirkliche 
Summe, aber doch ein veraͤnderter Ausdruck der Reihe 
erhalten, der dazu dienen kann, der Summe bet Reihe 
ſich leichter und ſchneller als auf dem gewoͤhnlichen 
Wege zu naͤheren. Leibnitz und Joh. Bernoulli 
haben dieſe Summirungsmethode zuerſt erdacht (Com- 
merc, epistol, T. I. p. 213.); Euler hat fie nach: 


726 Summitung der Reihen. 


ber verbollfommnet, Sie fest übrigens voraus, daß 
die Glieder der zu ſummirenden Reihe in die Potenzen 
einer unbeflimmten = multiplicire ‘find, Wofern alfo 
dieſes nicht der Fall ift, fo muß man-erft eine Reihe - 
formiren, in melcher die angezeigte Beſchaffenheit der 
Glieder Statt hat, und von der Die vorgegebene Reihe 
ein beſonderer Falk ift, d. h., aus ihr hervorgeht, wenn 
dem x ein beftiminter Werth, wofür man am einfachs 
ſten und bequemfien 1 nimmt, beygelege wird, und 
djefe Reihe num zu fummiren fuchen, Die Erponens 
ten vom x in der zu formirenden Reihe hat man fo 
zu wählen, daß daducch die Hauptabficht der ganzen 
Operation, swelche ifk, durch, eins ober mehrmaliges 
Differentiiren, der angenommenen Reihe mit anderen 
Ummandlungsmitteln. nad) Befinden verbunden, ent 
weder zu einer für fich fummirbaren Reihe, von wel⸗ 
cher alsdann der Ruͤckweg zu der vorgegebenen durch 
Integration genommen wird, gder wieder zu der urs 
" fprünglichen Reihe felbft zu gelangen, in welchem leg: 
teren Falle die Summirung dann auf die Integration 
einer Differentialgleihung gebracht wird. Beyſpiele 
werden diefe allgemeirien Bemerkungen am beften exs 
laͤutern. = 


Far ; | 
6 % N N —— —r — — Û — 
— Es ſey die Reihe >= + Are 

| — — * ⸗ F 
— Prar)g+ 2r) * = 2 * zu ſummiren. 
| zu dem Ende nehme man die Reihe * 4 


— — 
*— 25) | 
Die vorgegebene wird, wenn x—r ift, und feße bie 
Summe derfelben s. Durch Differentiirung entſteht 
nun 


xatr | | 
(p+r)(g+r) 
guter 
+ etc, in inf, aus welcher 


— 


yıtr-ı xiter—ı : ds | 
— — > —— + ei, = — 
p ptr- ptar 0.08 


727° 


Summirung der Reihen, 
un. 


| ‚Man multiplicire beiderſeits mit xmah, 
nehme aufs neue wieder bie Differentiale N fo. wind 


ae er een) 
- ar. es ! 41 — 
| | 2. xP-P >) 
d, i. \. s * 
— ———— he 
| em? > * 
1 pri 


ol y wenn man intaarirt; | 
za, — = 2.08 — 

5x 1 —— er 
wo, weil bie Größe linker Hand für x=o berſchwin⸗ 
det, auch das Integral rechter Hand für x Zo dere 
ſchwinden muß, Man hat nun ferner 


oo = — ——— 8 


Lex! 





— 


alſo SE 
. p-19x: & v 





Es if durch cheilweiſe Integration 














p-Idx xı? e⸗ a dx 
xa-r- 10x _ — — — 
y g71%x 

— — — * 


— für <=o Weſſchvithet ſo 





ut 


muß aud) * für xo berſchwinden, damit 


für xxo0, auch 80 werde. 
Wird xæ S1 geſetzt, ſo entſteht 


728 Summirung der Neihen. 


1 1 
TuS HMO) + ei. ini 
nu x P-Idx 1 —RX 





g9— FE Zu =D" I—x 

1 — I — 
—p 1 — 

— die ntegrale ven ==d bis x⸗ 1 au erſtrecken 





1 


Iſt p=g, fo ſetze man -&, WoW un⸗ 
. endlich Hein m r f wid 3 =r+ 


— 2 Krdefı) 





gep! — ot — 
Ze | — x 8 1 
* 1 — x* x 


—E 


— -læx = log dt. 


u Sat man 





1 
rare tote + etc, ininf, 
P=I 
=f > log — 


ix x 
das Integral von x=0 hsxzei genommen, 


| — I 

65®, Nimmt man in der Neiße 5 T5 

— — J 

* (Dane - etc, p=ermı, fo wird nad) ber 

legten. — * +5 +5 +3 + etc, in'inf, 
= / — log = das — der ange⸗ 

gebenen Graͤnzen genommen. Man wird dieſes nicht 


Summirung der Reihen. 729 
gebrauchen, um die Summe ber Reihe 4 + 

On ee, 9 
+ * Eto., welche anderswoher bekannt, und 


| — = in iſt, zu finden; fonbern bielmehr durch die * | 


— Summe der Reihe den Werth des befimmien 


Integrals angeben. E⸗ iſt a bon x= 0,‘ bis 
31 en 


Ei 


Setzt man p=ir = =g, ® if innerhalb berſelben 
— — 


x 





Tog ı — — —. 





Per lg = = ı+ — +2 + te etc, 
| — — | 
u 


Hieraus folgt, da überfaupt, wenn bie ie Sntegae 
für x=o — | 








* 
1 —-los— — — 
lost = top! 
bon xx0 * x | 
Br :) zu EEE 5 
= lo — “= —n., : 
Sr‘ 5x 12 


Zet man aber Pz=3r 2; fo wird auf aͤhnliche 
—— 
f 


1x’ 


— BR I 1 
* pn — . 
24. 





Verlangt man von der eben ſummirten un⸗ 
— Rahe bloß die Summe der n erſten Glieder, 
fo ſuche man bie unendliche Summe von dem mp xten 


we; Sunimirung der Rethen ⸗ 


Stiche a an; b.- ie, die Summe bon a nit 
ne P+FnD)atm) 


ı 
+ etc, und siehe 


Pt+a+H)Dg+Em+ nr) 





ſolche von der vorigen Summe ab, fo bleibt die geſuchte. | 


— 


657 


Die abzuziehende Summe finder fih aus der vorigen, £ 
wenn p+nr, g+hr heziehungsweiſe flatt p, 4 
gefest werden. ‚Daher iſt, 


— * — 
— 


——— 
tate re” — — 
—— en — 

7p — — 
1 Fa xrT PC — ei) 


u 


—— — 
g-p 1x 





ſaͤmmtliche. Integrale von xo bis x genommen. 


67. Exempel. Es ſey P= 2, 96, 32 
fo wird 
— v⸗a —2 1 Bee 


or IX I—x 
* x +x’) 


| i | | ie 44m) | 


welches für —— verſchwindet. Dat man nun 
x—ı, fo m 


J ,„ı ı 3 3. 
—+7- — etc, ininf. = —. =-=—. 
re * in 44716 


Ferner he 
1 Pr ox(1 ri P)(T en 
——n — — — — 


— 


irP Bux 


Summirung der Reihen. 731 
BTL = 1er ba ER | 


; Zu 7 2 
— for * EX Tu a 
| m * Pads — Be en 


(ie x! +4 IA? Et * — 75) 
2n+ 2 an +4 
welches für x=o, (öon © witd. man nun 





x, fo iſt i 
AN 


2.06 7.48 "680 ' 2n{2n+4-4) * 


Be 5 
— =4(2— en in. 5 2 
2 at+ımFr2)/ 

So oft als q — p, wie in dieſem Beyſpiel, ein 


Vielfaches von r oder —r ift, laͤßt ſich ſowohl bie 
2 endliche als die —— Summe der ſReibe — 
| PG 


Ferne EN 


gebraiſch angeben. 





1 — | — 
68. Ba —⸗ | 
: Graaren g—p "ptzr 
I 
— wie na bein in d 3 
g—p — Zr — — ſich ch em Art., 


Function, 20., u. ſ. wi geleheten Verfahren ergiebt, 
| bie Reihe — 

fo iſt die Reih 55755 er ee © 5 
| He etc. ber untecſhied weyer Meißen, wovon die fe 


732  Summirung ber Reifen, | 





1 ger = = — + are andere aber 


gtr' g+ar 


Die Summe der erften ins — fortgeſehe 
ten Reihe nach der eben erklaͤrten Methode geſucht iſt 


—— + e “) iſt. 


= ‘bie ähnliche Summe ‚ber anderen 





r xıı0 
RR — beide Opntegrale von x=o biex=r. 


erſtreckt. Daher ift 
roman? — * 
22 P7IOx 3 


— — 
— nd 





g—p 1 —x x! 
ı aMToxlI—xi Tr) 
— — 1 — x ve 


wo die Gränzen der Integrale in Klammern beygefügt 
find. Die fo erhaltene Summe iſt mit der vorigen 
einerley, Die endlihe Summe wird entweder tie vor⸗ 
bin oder aus den endlichen Summen der Partialteipen 
gefunden. — 


69. Es iſt leicht, die vorgegebene Reihe ſo um⸗ 
zuformen, daß der Unterſchied in der Reihe der Erpo- 
nenten von x — ı wird. Zu dem Ende fege man 
p-Ar, g=pr, fo wird 
1 1 


— —J—— a Grat 
— 


+ etc 


1 
— ——— — (A+>) — ee) 


. Summirung der Neihen. 733 


Die Summe ber ingefammerte Reihe findet fich nach 
-19d Aa -\ 
\ ber bier gelehrten Art = — — — wi) 


1 — x 
und dadurch 
1 1 
pg * —A75* ẽ — — 


—— — 


x(g-p) EX 


| 70, Eine foldhe Umbildung der vorgegebenen 
Reihe, wie jet quögeführt worden, iſt alsdann noth⸗ 
wendig, wenn in den arithmetiſchen Reihen, deren 
gleichſtellige Glieder die Factoren der Nenner in der 
——— Reihe ſind, die Differenz nicht dieſelbe 
iſt. | 


Es fey z. E. zu fummiren die Neiße 
ig 1 1 | 
mrermar) Bragtmn 
Setzt man hier p=Ar, q=upt, fo erhält man , 


Statt der vorgegebenen Reihe diefe zu fummiren 
ıfı ‚ı 

— — un — — — fe — 7 to. 
— te 
beren Summe | 








— Mögen) 
ap) 1x 








ur 
— 1 — al it r 
D qr — pt 2 
bie — bon x—0 bis 51 genommen, iſt. 


Jr - — eine ganze, poſi tive oder negative Zahl, ſo 
laͤßt — ch * Summe algebraiſch angeben. In dieſem 


734 ra der 
Falle r nämich 1⸗* ein il von. 1—x 
f 


q 


—2 
t r 

De .» 
oder von x t,, Es if aber xt 7 


— Exempel. p=3, 45, ta, 1 
Hier wird DE 


i en ( — |— J er 
L xt Oxloxt Tr | 
— — — — — — — 





qt ⸗ pt | IX 


FE — —— 


I—X 1 —x 1 — x 





u 5 Sn 
OR _ a2 log- Ent 


1 —x 1x} 








7,108 (r + x} F x!) 


| — 

Hieraus wird, weil | 

| | | — 1 — x Fat 
logl—x})—loglı—xi)=log ——; +aital 


= lo (1 50 *4 2) 
EEE Faitet) 


x! 
R 3t. — 





‚Summirung der Reihen. 35° 
welcher Ausdruck für x—o fchon verfchwindet, alfo 


‚feiner Conſtante nn I ac hun eh fo 
: wird ! 


1 I: ; 
a Ha etc. ini £ 
rt * * 


Lorgna, aus beffen ——— Re — cori= 


‚vergentibus, $. XIX. Exemp, IV, die Neiße: ges | 


nommen if, giebt ihre Summe — = log. | 


v3 2 
alfo in Derimaltheilen — 0,6916385 .. ». an, welches 
irrig iſt, da die Guam der _ offenbar kleiner als 


vi Senke von — — eto. in inf,; 
ie rt 


bi, <— iſt. — aber auch den * 


log(t — x}) gegen — log(i — x) firx—ı fih 
aufeben zu laſſen, und rechnet den Bogen 


tan — doppelt, ſtatt ihn einfach zu nehmen. Daß 
der bier gegebene Ausbru für die Summe richtig fen, . 


bavon überzeuge man fich leicht, wenn man nad) der 
in dem Art., Summirbare Reihe, 22. gezeigten = 


a fie die u ber vorgegebenen Reihe * 


+% + 5 etc — indem man ſie mit der 


— 


—* —— = — + etc, veslide, beren 


5.7 9.12 


| — wie vorhin angegeben iM, = Beträge. Die 


Summe der ro erfien Glicher — naͤmlich iſt 


— 


736. Summirung der Reihen. | 


== 0,1302480; bey dieſer iſt die Summe der 10 er⸗ 
ſten Glieder —:0,1449276; daher die Ergänzung 
zu dem Totalwerthe = 0,0217391. Da nun die Ers 


gaͤnzung ber erſten Reihe weniger als — und mehr als 


be Ergänzung ber zweyten beträgt, fo ift der Zoe 


talwerth der erften Neife > 0,1447407 und < 
. 0,2457759. Mach dem gefundenen Ausdrucke wird 
derfelbe — 0,1452656,.% u 


72. Das von 65. bis hierher angewandte Sum⸗ 
mirungsverfahren iſt einer Abkürzung fähig, Anſtatt 
daß man nämlich, von einer vorgegebenen Weihe auss 
gehend durch Differentiation ‚zu . einer fummirbaren 
Meihe zu "gelangen fucht, von welcher alsdann der 
Ruͤckweg zu der zu fummirenden Reihe durch die ents 
gegengefegte Operation des Integrirens genommen 
yoird, kann man fogleich von einer angenommenen 
- fummirbaren Meihe ausgehen. Damit man aber bon 
ihr durch. integration oder Differentiafion oder beides 
zugleich zu ber vorgegebenen Reihe kommen koͤnne, 
muß die angenommene Neihe, von ber man ausgeht, 
einem Theile der Form noch fehon in der zu fummirens 
den Meihe enthalten ſeyn. Es müffen daher die Eoefs 
fieienten berfelben in ben .Eoefficienten ber vorgegebe⸗ 
nen Reihe als Factoren vorkommen. Ferner muß die 
Reihe der Exponenten von x ‚in der angenommenen 
Reihe, wofern fie nicht ſchon anderweitig beſtimmt iſt, 
ſo beſchaffen ſeyn, daß durch die nach einer vorlaͤufi⸗ 
gen Multiplication mit einer Potenz von x angebrach⸗ 
ten Operationen des Integrirens und Differentürens 
die Übrigen Factoren der Coeffisienten ber zu fummirene 
den Reihe nach und nah als Factoren den Eoefficienten 
der angenommenen Reihe zugefelle werden mögen, 


Bepyſpiele werben auch hier die befte Erläuterung 
des gefagten geben, a 


Summirung der. Reihe. 737 
73. Es ſey die Reihe 


1 1 
———— # etc, ih inf, 
124 rer " 


zu fummiren, - 


Eine Reihe bon belannter — deren Eoeffi⸗ 
eienten in den Coefficienten der vorgegebenen ſchon ent⸗ 
halten ſind, und in welcher der Unterſchied in der 
Reihe der Exponenten von x fo groß iſt als in den 
drey arithmetiſchen Reihen, aus denen die. Kactoren der 
Nenner ber. ren — genommen werden, 


iſt 
x+- x’ — Ep Ir + ei = wi), | 


* PIE zweyte Factor in den Nennern der vor⸗ 
gegebenen Reihe um ı größer if, als jeder erfte, fo 
multiplieire man in ()) auf beiden Geiren mit 9x, fo 
wird — — | 

> | I . 
ar + + etc. = fox log-—— (h) 
wo das — — Hand fir x=o berſchwinden 
maß. — Weil ferner die dritten Factoren der Nen— 
ner der zu fummirenden Reihe um 2 größer find als 
bie zweyten, fo multiplieire man in (h) noch auf. bei: 
den Seiten mit a fo entſteht durch ill 


x*+ x5 
> — +ete = Fsöxfoxlog — 


1.2.4 r 2.3.5 34.6 ; 
das integral fo geaommmen, daß es fuͤr x0 * 
ſchwindet. | 


Macht man jetzt x 1, fo wird 
ı 1 








1 
— — + etc, in inf, 
1.2.4 En 2:3+5 — 3.4.6 


1 —*— 
— [x0 _—— 
—* — —AN | 
Aaa 


738 Summirung der Reihen, 


wo bie Jutedration noch auszufügten iſt, welche wei⸗ 
ter keine Schwierigkeiten hat. Ds 


Die Summe der erfin n Ole der vorge 
— — ven geht man von der Neife 

| — —— 

=+- + hu + => 


aus, und verfäßet übrigen wie — 
74. Die zu fummirende Reihe ſey 
a 46b — a +: a | 
ä ——— —S— ——— 
* 


. m- n 
Man feße — Bi —4A, ps =. U, — 
fo wird die — ſo ausgedruckt 
b — x 7 a41 + a + 2 
gre\ Au» ° A+IICE+Nb+ı) A+2I+2)0+2) 


4 “) 


Die eingeflammerte. Reihe zu — iſt 

ya - yatı xAt2 at dr 

ıtririt r%+2 + — 
das Integral rechter Hand. fo genommen, F — 
wird für xX0. 

Multiplicirt man bier , auf beiden Seiten mit 
xa-A-ı9x und integrirt, ſo wird 











XxM 4 xurı ri xut2 — 
mtrarmerm'ürsern 
— A-1 

— —— = 


wo das Integral rechts für x=o verſchwinden muß. 


Summirung der. Reihen, 739 


Wird hier aufs neue beiderfeits mit · x rdx 
multiplicirt, um Ar ‚fo enffiche 
x. | xvr2 


—* Tome + et 
‚= [xre- Off ea 


wo das integral rechter Sand geicfate * — 
Null werden muß. 


Um endlich noch die Faetoren *x,,a1 BER: 
AM. f. mw. in bie Zähler der letzten Reihe zu bringen, 
multiplieire man in (2}) auf beiden. Seiten mit za, 
“nehme die Differentiale, und. dibidire alles. dung. öx. 
Dadurch wird | | 
ax — (a, ı)x“ ———— [dh 
-(A+)Cu+NO+) duo) > 








= (a— y)xe-r-ı far-»- öxfgu 0, Pr = 
— X J 
i> -19x 
| zen rfgn-g 
i ee + eh, r — X 


Integrirt man cheilweiſe und reducirt gehoͤrig, ſo 
wird A 
ax * (a-fı)x® -- . (at 2)xatı — 

dar Terran — 

Auv (Ara)  (A4+2)(+2)(v+2) 

_ka—A)xetı xAıdx (a—p)xa ut 19x | 
2 —— — x60—u) Fa —x 

(am y)xav-ı  yv-ı9x 
— —x 
ſaͤmmtliche Integral⸗ ſo genommen— daß fie u x=o 
verfchwinden. 

Setzt man jetzt x=1, fo wird erhalten. 

& RT a41 ER, — FA. - 
Auv "(AH (utn)(+r) A+2)u42)42) 





* 


et 


74 Surmwmirung dee Reihen. 


—8* 4 — * F Vx — u; ende 
a EP a 
WÄR AERO)" 1 x 


Rd — — 
F O) J TTT Ws 4— 
DE ini 





Das am 2 ah Ex v 
— —0—— —u): (A—1U) (vo?) WA) (er). 
fo erhält man auch für die vorige Summe folgende 
drey zweygliedrige Ausdruͤcke, in welchen alle Inte⸗ 


grale, don x 0 bis X zu nehmen. find, w 
a rd Kur) 
— in feld — 
(v—A)W—A) I—x . 
tg ed. PTR TUN, . 
ar )u—W) . ATX. 
ne TORI — x.) Ä 
, Amu)o—R) 1—x | 
Re X) xu1dx(r —xR®) 
, 3 2 yxv-\ 
N ER 0 Imst PR: 
(k—A)(v—A) 1—x | 
rn en Bm a a 
mm’ 1x 


Dieſe Ausdruͤcke, von denen der zweyte aus dem 
erſten dutch” gegenfeitige Vertauſchung von A und I2, 
der dritte aus dem erften durch Vertauſchung von 1 
und v gegen einander entſteht, zeigen, daß bie Summe 


. BER a NEN — 
der Reihe —— — ern — etc, mithin 
a 


BEER amp au (m+qXa+r)(prt) 


+ etc, algebraiſch iſt, wenn uU — und nV 


Suminirung der Reihen. „4 


m £ | 
be md ——E ganze Zahlen, fie mögen | po 
ſitiv oder negativ Fön, — wodurch auch v—X eine 
ſolche Zahl wird. Übrigens wähle man in einem, vors 
fommenden Falle von den obigen drey Ausdruͤcken jedes⸗ 
mal den, welcher die leichteſte Rechnung gewaͤhrt. | 
75. Exempel. a=ı, bZ3, m — a4 


p=74g9=1, 772,172, aiſo a u Ai, = 


7 i 
yo Hier wird. wach her eiſter gormel | 


, 
— — — ete. = 
1.4.7 Fo tem + 


at 38 esta) x 
r —— — 5 
an 19 — 
rn a 


— » 
15 


450 er en, 
Lorgna giebe in der. vorhin. (70) angezogenen 
Schrift „S. 75. , die Summe‘ durch einen Rechnungs⸗ 





fehler wieder unrichtig, nämlich — — — o⸗ = 


Ä PRECLPELCHRRER alfo Eleiner ald das erſte Sin — 


,035714...., an. Übrigens hat er nach einer For⸗ 
mel gerechnet, welche mit der dritten der zuletzt gege⸗ 
benen uͤbereinkommt. 


76. Um die Summe der Reihe mit abweg⸗ 
ſelnden Vorzeichen der Glieder | 

— —A — 442 * 
Av TOUCH) A+2)(a+2)W+2) 
— etc, und dadurch auch dieſer | 


7142 Summirung der Reihen. 


a a En b 
mnp ar ++ (pt) 
| -r —— ven etc 
(m-++F2g)(n-+2r)(p-+2t) 


zu haben, hat man nur nöthig in den Nennern der 
Intkegrale in (73) ı +x flatt x zu feßen, alles 
übrige aber ungeänvdert zu laffen.: Sind alsdann u—A 
und K—v, mithin auch vi, pofitive oder negative 
gerade Zahlen, fo mird bie Summe algebraiſch. 


Exempel. a—2,b=1, m=ı, n=5,p=;5, 
ge, rzı,tzı Hier iſt am2ma 2* 
ızm y=3Zn,VvZ5Zp und es nn der 
erſten Formel 

a, 20 4 5 





13.5 2.4.6 3.5:7 : 46.8 
0a SxL—x). 3 Axcx — 
— — — —— 
=7 Jox(ı —x) +3 — ferdslt —x) 
I I 3 


6 "32732 
wenn man die Integrale, wie erfordert wird, von 
‚x0 bis x=ı erſtreckt. 


77. Die Summe der J erſten Glieder der Reihe 
m +2 a+ı m «a 2 
A+nfetı)o+ı) A+aer+23err2.. 
- — findet ſich nach Anleitung von (65) | 


— —E a Oxn — xl xeR) 
— I—x 

av Kö —xl)(—xRr) 

+ NETT INN I 


⸗ 


1 — X 


A—v)u—») 


Sunmmirung der Reihen, 743 
wo die Integrale innerhalb ber oft genannten Graͤn⸗ 
zen zu nehmen find, und wo man auch A und gr oder 
k und u gegenfeitig vertaufchen Fann, 


Schreibt man hier in den Mennern der Tinte: 
grale 1 -+x ſtatt 1 —x, fo erhält. man die Suman 
der 1 erſten Glieder der Reihe 

a at+ı — — 442 

Auv SFarmerN A-+2) (#42 742) 
— etc., wofern 1 gerade ift. Iſt e8 ungerade, fo 
fomme in den Zahlern der Integrale noch ı + x! ftate 
1 —. Die Bedingungen, umter denen die Summe - 
algebraiſch wird, find diefelben wie in (74) und (76). 


Hiernach wird die Summe der 1 erften Glieder 


i 2 4 
der Reihe — — etoc. 
| 1.3.5246 357 7 








ir are) 
54 ir "la "143 Dir) 
bie oberen Vorzeichen für ein gerades 1, die unteren 
für ein ungerades genommen. Lorgna hat nur den 
Sal, wo Ken if. = ſteht bey ihm wieder 


fehlerhaft — ſta att * indem naͤmlich 1—2z 


iſt. | 

73. Die Glieder der zu ſummirenden Reihe koͤn—⸗ 
nen auch-in die Glieder einer geometrifchen Reihe muls 
tiplicire feyn, ohne daß das Verfahren fich ändert, 


Es ſey je B. zu as die » 











2 1 3 21 5 
—,-—t—. ar — — .4 etc.ininf. 
13:3. 35 27 79 8ı 
. Da... 
x. X: xi x” 
— — — etc, == 


fo wird, wenn Er — — Seiten mit multi⸗ 
plicirt, und integrirt | 


2 


744 Summirung der Reihen. 


— — +2 x3 Je 2 —21 

— re — 
das Integral rechter "san fo — daß. es ef 
xo verſchwindet. 


Multiplicirt man bier aufs neue mit Zöx und 
integrirt,, fo wird 








1 x} — 1 x: + 1 — 
—— f} — —— — — — Cc . 
1,3 3 3.5, 3° 5.73? | 
1 0x 
— — x/ 


wo daß Ru rechts gleichfalls für xXo verſchwin⸗ 
den muß. 


NUm noch die Factoren 2, 3, 4, u. e; w., welche 
die Zähler der vorgegebenen Reihe bilden, in die Zaͤh— 
ler der Glieder der letzten Reihe zu bringen, multipli⸗ 
cire man beiderſeits mit x?, nehme die Differentiale 
und on = mit x, Baus wird erhalten 


2 

— — = tc, 

13.3 6 a + 56 }) rec 
or I 

— 71 —x Hin 

Es iſt durch theilweiſe Integration 


ef = Bi = — 


I=3X 














wo, 0 man es ſieht, auch - 
Beni . ‚Hierdurch — 


m —+ =. (2 +: — (= -) + etc. in inf. 


xiöx 
— für zo ver⸗ 
x 








„1! 
19x L xiöx 


und, wenn mal X ı — 


⁊ 


Sunmmirung der Reihen, 745 


3. ı 4 10. 6-m.. 
—.— + .— + —,— +Hetc, 
3.5 3° 5.7 3° 7.9 3% u 


1 RZ: 
— 7 


1—3X 4 
| 7x60 I 
u eſ En 
xZı "4 


. Die Summe ber erfien m Glieder ber borgegebes 
nen Reihe zu finden, geht man von der Reihe 
x xt x 3 ı; xlı(an® 
— ++ he + a 
3 3... 3 3 I—3x: 


aus ‚ und verfährt übrigens wie vorhin. 


2 Se 
13 3 


79. Das erklärte Summirungsverfahren laͤßt 
ſich auch bey Neihen, deren Glieder tranſcendente Groͤ— 
Ben find, anbringen, | | 


Es fey z. E. die Reihe 
m sinp— —mtsina® + —msinz9 — ete. 


zu ſummiren. Wenn man hier ſtatt sin, sin20, sinz$, 

u. ſ. w. ihre Werthe in Exponentialausdruͤcken, und 
eV -ı x ſetzt, fo wird die Neiße, | 

ı '(mx—3m’x?+-3m3x?>—Imtx?--etc,} 

— ay—ı |-(mt-im®x+imsx-Imixi+etc)f 


Die Summe der erften eingeflammerten Reihe iſt, 


\ 


wie man leicht bemerkt, log(ı +mx). Geſetzt aber, 


dieſes wäre niche bekannt, fo laͤßt es fich fo finden, 
Da U 
m j 
m — m?’x + mdx? N m4x3 + eIc, mm: ng 
) ı-mx 


fo wird, wenn man auf beiden Seiten mit 9x multis 
plieirt, und integrirt — | 


! 


R 


746 Summirung der Reihen. 


mox 





I 
mx — mex⸗ — meẽx⸗ etc. = f 
2 3 . “Imx. 


= lost I ie 


- für xZo, auch — 





* Conftans, damit Fe 


werde. 


Hieraus folgt,] wenn man x in x" verwan⸗ 
belt, die Summe der zweyten — — und ſub⸗ 
tractiven Reihe = log(i + mx’); mithin iſt die 
Summe ‚ber vorgegebenen Reihe — 

ıtmx .ı 1 4met 1 
——— 
ayv—ı —— — i-mepv! 
und wenn flatt eV -!, ePV-T ihre Werthe gefest 

I . + mcosP + msindy— ı 
2y—ı 5 I + mcos$ — msindy—ı 


msin® 


x 





werden, = 











m sind ei IL. ı--tangzyY-ı 
ı-m meos$’ 2/Y-ı "ı—tangzV-ı 





Arc, tang— 


—2 2. 
go. Die eben erhaltene Summation foll uns 
dienen die zen folgender Reihe 


a a 
Arc, ang; + Arc. ae; + Arc. — 
+ etc, in inf., deren allgemeines Slied 
Arc, ang; — zu ie 


wenn 
Da nämlid — z —— rn — ſo wird, 


Summirung der Reihen Be 77, 





| BIER a he 

man 5 to, und va 2 ) zm feßt, und 

zur Abelurzund — > bb) = c : mai, — 

musinv — 

F — * | — 

Arc. tan —S—- ine. 
—— Se a 


de. Ir — 
— Geinsy 2.5 sinsy + etc, 


Setzt man = x nach und u =1, 2, 3,4 etc. 
‘fo wird die zu fummirende Neiße in joigente Dartials 
reihen 

.c® 1--08 


c 1 | 
— sin — — .— sin? — . an — CLC. 
er Y- — y+ — 3 


| I: — | 

Find : — sinay + = 7 anz⸗ — etc. 
ı ı 8 

—— — sinay + = 36 sinzv— etc. 


2 y- I. 0 v+ ı © — die 
ein — — ,— 512 — — 8 — 
| 24 3.28 


8 
ie etc. in inf, | 


Zieht man hier die Verticalreihen zuſammen, fo 
erhält man ſtatt der vorgegebenen Reihe dieſe zu ſum⸗ 
miren 


BU rtc ı 25) mic! , 
Ä sin 














1.2 02 123.4 ** 
2 SB) rc . v 1.2 BHrdek , 
3 1. 2...6 ⸗ —— 
+ elc, 


wo BU, Ba), BG6), u. ſ. w., die erſte, zwente, 


748 Summirung der Reihen. 


dritte, uf. w., Bernoulliſche Zahl bezeichnen. Setzt 
man in dieſer Reihe ſtatt sin), sinz%b, sinz, u. ſ. 
w., ‚die ihnen gleichgeltenden Exponentialausdruůcke und 
uͤber dieſes ceσ« x, Iy, fo vers 
— ſie ſich in 


wa | — 
23m 21 28Bo ) ı 2596) 
I. 2 2 1.2.3.4 4 3 BR 


\ 237 2 152.3, 4 3 1:2. I) 
Die Summe der erffen der beiben eingeflammer; 
ten 1 Heien heiße s, fo entſteht durch Differentiation 
es 2%(0:) 2590) 25360) 


AB. 25B) 1 258@ 
— — r - — * 








in — x*— eto, 
ax I. 2 . 1.2.3. 4; —— Erw ö 
Es ift aus Cyklometrie, 16. — 
29) 08%(2) . - EB) + ea . _sorp 
1. 2 12,34 ° 12. 20 29 


BER 25  erpv-t. 
= — ne rl, 
20 20 edVY 1 — 6 OY I 
alfo, wenn man P=VYx.V—r maht; | 
ad) 25 2568) | 
2: 23 * 1. 2...6 — 
| — 1 1 rest 
— aVx eV Sn 67 Yx' 








x — e 7 5 





Man hat demnach | 
x , ax. er* 7 — 
ayx' er — ex 


und 
3x er’* re er: 


ver“) 


=—-logs 


Summirung der. Reihen, - 749 


x Es fe. erh, al —— Vx=logz; 


3 dx 8 er . 
h \ x 
nd — —— nah. Be — s 
* ayx 9 2 ae a Be 
dx er*+ert* — 
—— — — — — —— — * 
— NEE, 8* 202⸗ 12 _ i ! 
GET \Nchg "IIIHZ ID 9 
2 +1. z—ı zZ 
* wer 
| = leg .+6 | 
STE hear a) 2 


ie wi 
Sm — logx + lögler” ers * 3— 





Be er N BE vi — * 
— lo C 
s Vx MG — 
a ET 8 3% gm 





— KA > + — 
| m mn — etc.: 
Bi — tt | 
far x 5 aber s=o werben muß, ſo wird 
C=—1og2; daher 
=1e ee 
‚s==1o 
og — 


Man haͤtte diele⸗ Ergebniß auch ſooleich « aus der 
Reihe für log.sin® in N. 23., berleiten 
fönnen, 


Die Summe ber Heiße in y ift hiernach = 
log s vr und bie Summe’ der urſpruͤnglichen 

















750 Summirung der Reihen, 





F eVx-ex 
| — ev! F — — 
er” Yx 
=— — — lo — 
| va’ 5 —— * log ln A 
Da 7 er 2 a £ — . * Er \ 
ey”: 2; + — — 


—— —ı - 
.»M(&bb-+aa). 
und e = V(bb'+ aa), fo wird x — r!cew/-ı 
— r’(b-4 avuvu 1), und auf. gleiche Weife, oder, 
wenn man V—ı in — V — ı ummandelt, -y= 
"(b—=-ay—rı), Gest man alſo bFaVY—ı 
(Btay—ı), wodurch b-ay—ızB—ay—ı)! 
wird, ſo eiſt VE = mB+aV =), Vy= 
r(ß +avV — 1), und die Summe nie Ar 
‚ bay I : 
uy-ı os b=av—ı — 
| _ „erBtar'-12) — e-r(Ate/-1) 
er lo er 
va  erlßBrat' I) „erlßTet?) 





Weil | | 
I  Xibuy HL... f 
— log — — Arc. FE 


fo iſt das erſte Glied 20 Summenausdrude — = 


— — Arc, tang 2 Um das zweyte Glied — 


falls uf einen. — zuruͤckzufuͤhren, ſehe man 
14 ıtruVv-r — er(Btar-r) — e-r(Btar-1) 


rau T FIN 
und es wird | 


Summirung der Reihen, . 751 
I. er(ßtar'-1)er( ar“ ter | 
vo roter tere) nBter ng Bari) 
1 erß(erav” 1-graY -N-te- (erx; _ rar) 
ya — — ler Themen) ) 
Forte el 
— ep et BR r 


— 4J 


| 








. Pi ** xX * J ® * 
® — D6 . ef Pr 29 vw» - 4 * 


Die Summe der vorgegebenen Heiße ft se 
27 en 8 


tangra 
Bere 000 


N 





— - „Arc ung. _ 5 + Arc-iung 


ne 
— — 


Da der Spgeh im zweyten liebe dieſes Auss 
bruds >ra ift, fo-zerlege man in noch in zwey Bos 
gen, wovon, der, eine, ‚ma iſt, permictelft der Formel 


— tangp = = Arc,tangq + —— Pr4.::: 
ı7pg {A 


xB 
indem man p= ae tangra, und q 


‚erd— eB 

— tangra macht, Dadurch wird 
erB-Le-xß... ii 

| —— | LANDET — tang⸗ ma 

p-g 2 erß —etB. 


pa 1 — iaps ro⸗ A 
ni 2eP.sinmacosra . ., 
— erf(cosra*+sinna‘) - eP(cosma’-sinra‘) 
sinira 


— — — — 
TB COST 


752 Summirung der Reihen. | 
| Hiedutch mn, + 


Arc. ung; — gr Arc. sang; +Are.tan —+t ec, 


* — 
sin2zr« 
= a — _ — Arc, ung + Arc, as" 
too. a x und F durch die Gleichung BLtıV—y—= 
b+ray—ı ‚gegeben. find. . Es wird aber = 


— = +bb) , —— — 


— wenn man J Shit, B= —— Vz | 


am 9 —S Maht man uͤber dieſes 
| Re —tangX, ud tang(45°- — Veotra —tangu, 
ſo iſt die Summe der Reihe = ey 


Auf aͤhnliche Are verwandelt ſich die unendliche 
Reihe mit abwechſelnden FEN, der Glieder 


ar 


- 





a 

Art, ung SWEET + 5 Bang 
| a etc, 
in eolgenbe 


B-N)BOrte — RER ‚ 


siny in2 ı 
Is 2 — * Is 2 3. 4 
5_ 9. | 27-5) m 
EEE b rin a 
| Ä 7} etc. 


Die Summe dieſer Reihe u bie. vorige Art, 
ober aus der Reihe für log. tang— 9 (Cyklometrie, 
26.) geſucht, wird bey den vorigen Bezeichnungen 


Summirung der Reihen,“ 753 


| I x : EB. „(Rote + ı) 

— — log ⸗ — —-10 — — — 

4aV —ı y 2V—ı (er? ++ I) Y m I) 

* Arc, fang ——EE— 
2° | 


er 


Es ift aber zu bemerfen, daß die Summe der 


Neihe mit abwechfelnden Vorzeichen der Glieder auch 


aus der Summe der Reihe mit einerleh Vorzeichen der 
Glieder abgeleitet werden kann. Man ſehe deswegen 
Pfaffs Bisquisiti. analyt. Vol. L;, wo die Summe 
der Reihe mit denſelben Vorzeichen der Glieder p. 65. 

+. XCIIL, und aus ihr p. 70. $. XCIX, diejenige 


| der Reihe mit nbwechfelnden Worzeichen der lieder . 


gefunden wird. Die ganze erfte Abhandlung dieſes 
Werks betrifft nämlid ‚die Summirung von Reihen, 
deren Glieder Kreisbogen find,” wovon die Tangenten 
nach einem gewiſſen Gefege fortfchreiten. Die Sum— 
mirung felbft wird nach einek für Reihen dieſer Mer 
eigens ſehr ſcharfſinnig ausgedachten Methode in ſehr 
großer Allgemeinheit zu Stande gebracht, da Euler nur 
mit ein Paar ziemlich eingefchränften Fällen, und zwar 
durch ein. indirectes Werfähren, hatte fertig werden 
koͤnnen. Übrigens ſetzt die obige Summirung, wie 
die Anwendung ber, Öleichung a 


msin® 


Arc, tang = msind — = m?sin®&b 


 1+mcos$ 
+ n m’sinzo — etc, ſogleich zeigt, voraus, daß 


unter den Bogen, welche die Glieder der —— bil: 
den, die Fleinften zu verfteßen find, welche den angen⸗ 
a4 a 

t — , — — U. 8, n,. 
en — Fb > Fb | fh“ zugehoͤre fo wie 
dieſes auch von den Bogen, welche in den Summen⸗ 
ausdruͤcken vorkommen, gilt, | | 
— B66 


— 


’ 8% Erempel,. 1*7 b 0. Sie wird 
. | 
gu * B= =S;=wurg alfo 2 
= ar Demnach iſt | 
1. | r 
Arc, tang— Arc, tans— —— 
rc, tang— + ar ir Frege 
F Arc. tang — + etc, ininf, = m, 
4 
Diefe Reihe iſt eine von den beiden, welche Eu⸗ 
lern Veranlaſſung zur Betrachtung der Reihen dieſer 
Art Ra Die andere iſt 
Arc. ung + Arc, tung — + — tung — 
| + Arc. tang—— + Arc, Ling — + etc, in inf, 
2 | 
— Fi 5 
Dan gelangt zu ihnen auf folgende Art, 
FE IS 
Es iſt tangy = Zr wo ma eine ganze Zahl if; 
man fol den Bogen y in zwey andere « und ß fo 
zerlegen, daß tanga — = ; tangß = 5 werde, 


wo n und p gleichfalls ganze Zahlen find. 
Da 


— —tang(a+Pp) = 





1 
zn 


Summirung der Reihen. 756 | 


ar 
— 1.i 
fo wird | 
— ma + mp np 1 (2) 
und Ä | REEL 
—* Bi EEE. | 
er n— m „ug n—m 


Damit alfo der Forderung ein Genuͤge geſchehen 
koͤnne, muß n—m ein Theiler von mm-+- x feyn. 


Man feße, um nut bey dem allgemeinen..ftehen 
zu bleiben, I. — ar PR I we wird 
AEREREN alſo -F- -- : 


Arc, tang— = —Arc ‚tang 





— m-+ı — — 


Wird bier nach und nah m+r, — m+3,. u. f 
w. ſtatt m geſetzt, fo entficht 


Ara ung >= Arc, tang 











—— E——— 
| I 
' Acc.tan — 
Ä si AR: — 
Arc,tang — == Arc, — — | 
Ä ‚m+2 mmi+sm47 
+ Arc,tang- r 
| — J — 
Arc, tan Ae, ung — 
na Wr A NE m+7mtı3 
+ Arc, tang — 
etd, | eto. 


Hieraus wird durch Additien — mit it Aublaſung deſ⸗ 
tn was i ch auſbeot | 


4 


1 
— — „ra — — — — 
Arc. tang nn = Arc ng — 


* Arc. —— 


Arc, tanı — t —⸗ a 
re Samtmirt" 
+ Arc, tang — — 
mm-+-(2x-)m4+xr’-x+ı 
un etc. in inf, 
alſo mı guy 
= — — tung * Arc, ung + Arc. tung. 


— ng + ei. in inf, 
+ nn 4 


Diefe iſt die vente der vorhin erwähnten Reihen. 


Iſt m ungerade — aq+ı, fo wird 
mm Fı72(2949 + 2q +1) Nimmt man alfo 
I: n—m=2, folgi n= 2q + 3, fo wird p= 
agg +29 +rF2g+rı=2g r —* Demnach iſt 


Arc. an = Arc. t 





are 


: B + Arc, ung, 
Hieraus wird nach ber vorhin gccearhn Art zu 
ſchließen 


Arc, ung. = 


* 





= Ant 


+ Arc. — F En, 


1 
+ Arc, tang ——— +etc, in inf. 
+ Arc 87 (q Type c,in 


Summirung ber —— — 
en wenn man ee macht, - 


* =Arstang + Arstang— + Arctang— tu 


— Arctang— + etc, in inf, 


welches die erſte der oben — Reihen iſt. 


Beylaͤufig mag noch angemerkt werden, daß man 
vermittelſt der ig entwicelten Formel unter andes 


ven Zerlogungen von Bar auch diefe erhaͤlt 


ri 5 Arc, tan &, +2 aAratang,, +3 Arc tung 


Ds nun 


2 x? 24 x. 0) 
J— er EBEN = — — 


6 
+ Ey — 


wie in dem Art., Umbildung der Reihen, gezeigt wer⸗ 
den wird, ſo ergiebt ſich 














1 8 

era +] — 
| a See 2 
zw.‘ 2 1,12. 6. 

— —b—— + —c— 
+ fr 73 TERN HTT: u 

| + erc.} 

al, +7 et ———— 


3250 3 3250 5 9250 ° 7 3250, 


2 ec} 


TE Samen) der Reihen . 


wo A, B, C, u. ſ. mw; a, b c, u. ſ. w.; a, P Yo 
ſ. w., die auf einander folgenden Glieder ver drey 
Reihen bedeuten. Hat man die Glieder- der erſten 
eingeflammerten Reihe einmal berechnet, fo ergeben ſich 
daraus leicht. —— der äwenfen,. und aus diefen die 
der dritten Weihe, weil 325 — 5. 65,.und 32350 = 
10. 325. Das iſt der Vortheil dieſer Zerlegung, 
Alle * Reihen convergiren ſehr ſtark, ſo daß man, 


am * bis auf zehn Decimalſtellen genau zu haben, 


in allem 13 Glieder zu berechnen hat, und uͤberhaupt 
16 in Rechnung kommen. — Dieſes iſt ein ide, 
au be Artikel, Eyllotechnie. 


82. Andere Beyſpiele von * Summirung fol; 
—J Reihen, deren Glieder tranſcendente Groͤßen ſind, 
durch Differentiation und Integration giebt die in 80. 
angefuͤhrte Abbandluns von Pfaff ‚in. $._CXI- CXIII. 
und CXXX, 


Sn 79. warb u Er befannten Summe ber 


Reihe m m + r mi— —mt+ete.logtrtm) 
die Summe diefer msi — —mtsinig + mein 


— Zain? + etc. gefunden. Mach der dabey ger 


brauchten Art, nämlich durch Subſtitution der gleiche 
geltenden Erponentialqusdrügke ſtatt der Sinus und 
Eofinus, laͤßt fi) überhaupt zeigen, daß, wenn 
A+Bx+Cx’+Dx’ + Ext-+ etc. 
eine fummirbare Reihe ift, auch die Reihen 
A+ Bxsin® 4 Cx?sin2P r- Dxsin3$ + etc. 
AGòJ Bxcos® + Ux’cos29 + Dxäcog3P + etc. 
fummirbar find. Daſſelbe laͤßt fich auch bey derfelben 
Dorausfegung von ben Reihen 


- Summirung der Reihen. 769 


A + Bxsin(@-+-9) + Cx’sin(a+ 29) | 
+ Diödsin(a + 30) + etc, 
A+ Bxcos(« + 6) + Cx’cos(@a-+ 29) 
+ Dx’cosf« +30) + etc, 
darthun. Diefer Sag wird zur Cegdngung des Art., 
- Summirbare Neiße, bier nachgehoßle. 


83. Mehrere der durch das bisher erläuterte. 
Verfahren fummirbaren Reihen laſſen ſich auch durch 
die umgekehrte Methode der Differenzen ſummiren, wos 
zu aber oft eine leicht fi) ergebende Transformation 
nörhig iſt, um nämlid den Gliedern der Reihe die 


in (14) angezeigte Deſchaffenheit zu geben. | * 
hier noch an der in (67) ſummirten Rap — 


+ ie etc, gezeigt werden 


Man drude dieſe Reihe fo aus: n 

a 3 4 
EEE He 

fo iſt das (x + ı)te Glied der eingefchloffenen Reihe 


‚ alfo wenn man den fehlenden 


———— 5 
6 —— 


1 
DET—5 
Factor x2 ergaͤnzt = 


xX1 
—— looooce a) 


aa rn — ER ERTFOEE EIER & 

”G +29(<+ 3) ” —— —— — 
ar die Summe der eingeflammerten Reihe 8, 
o i | 


— FDM—3) 


760. Summirung dei en | 


* Cconit. ⸗ 


— 
Da 5-2 werden muß e x=0, fo wird. 


ve ie 1 3. 

Const, = = — — — — 
| 2 — 4 4 

alfo Ä | 

| | Pt EHE 1 x 
"4 "x+2 2z@+ı)&Hta) 

— FE. ER | 

2 4 aRt)at 

und | 

1 - uk * 

— — — + = —S 

2.0 * 48 6.1 * en 


—— 1201.21 

16 8 02) 

wie in (67) — iſt, weil hier x ſtatt des dorti⸗ 
gen n ſteht. Man wird leicht bemerken, daß diefe 
Summe, hier viel fürger gefunden worden, als. in (67); 
dennoch aber behält die Summirung durch Differentias 
tion. und. integration vor der GSummirung mittels der 
umgekehrten Methode der Differenzen den Vorzug, 
weil fie allgemeiner ift, welches noch mehr erhelten 
wird, wenn man "auf das“ folgende Mückfiche nimmt, 
Übrigens hat Lorgna in dem oben -(71) angeführten 
Öpecimen de seriebus convergentibus, Veronae, 
1775. das _Gummirungsberfahren buch Differens 
tiation und Integration, jedoch nur in fo weit, als 
Dazu bloß Die Integration don Differentialformeln er⸗ 
fordert wird, mit ermüdender Weitlaͤufigkeit abgehan⸗ 
delt, da das Allgemeine davon doch nur auf wenige 
Puncte ankommt. Im zten Cap, bringt er die Gums 
mation der Reihen der veciprofen Potenzen Der na⸗ 


türlichen Zahlen 


>> Summirung der Reihen, 761, 


N 32 1 1/ J 1 1 F W* * FL . % en N 
11% er Non, + ale + etc. auf das beftimmtee 
Integral — 





x 0x Oox O Tx=o 
.»... etc.  — em — — ji di 
— — 

qui: (man vergleiche oben, 65*), und fucht ‚die 
erthe deſſelben durch die Eotefifchen in dem Artikel, 
Quadratur, mitgetheilten Formeln, eine überfläffige und 
daher unnüge, Arbeit, Be 
84. In den bis jetzt nach der. Leibnis- Berk 
noulliſchen Summirungsmethode fummirten Reihen 
enthielten die den Potenzen von x zugehörigen Coeffi⸗ 
cienten der Glieder in ihren Nennern immer diefelbe 
- Zahl von Factoren, und ein gleiches ‘hatte bey den 
Zählen Start, Nimme die Zahl diefer Factoren ir 
den Nennern oder Zählern oder in-beiden zugleich re⸗ 
gelmaͤßig zu, fo kommt die Summation auf Integri⸗ 
rung einer linearen Differentialgleichung an, wie die 
nun folgenden Exempel, bey denen man ſich an das im 
(64) und (72) gefagte erinnern muß, zeigen werden. 


‚85. Es ſey die Reihe 1 + — + s 





12,3 


\ 

r ” 
fi 

— 





— + etc, in inf, zu ſummiren. Man 

F.2. 3. 4 — ne "x 
— — —— Er x+- 2a .\ 
ormire Die Reihe X — ———— — etc. 
f er 1.2.3 1.2.5.4 


in inf., aus welcher die vorgegebene entiteht, wenn 
xzı ift, und fege die Summe derfelben y, ſo giebt 
die Differentiation - - Ä 


x. we x 5” y 
1 — — — mn 
2 Pt, me dx 
d. i. Si 
| ER dy 
1 = — — 
7 (7 | 


oder dy—yox—dx-o. 


763 Summirung der Reihen. 


Dieſe Gleichung laßt ſich leicht duch Sonderung ber 
-peränderlichen Groͤßen integriren, indem | 


alſo log(i -y) = Con > 
wird, Da y für x==o verſchwindet, fo wird Const; 
— 0, alſo 1 >y=e, mithin y=e'—tL, folglich, 
xzı gemacht, bie Summe der vorgegebenen Reihe 
— e— ı, wie es auch die Vergleihung mit dem bes 
kannten Werte von e zeigt. | 
| u — 
86. Die zu ſummirende Meihe ſey 74 7, 
. 2 * u, e 
un + eo Man fege die Summe 
east * ſetz 
der Reihe — 4 ——— 4 une 
der Reihe — tz ten 
| of * 1.3 * 1.3.5 r 135.7 ” 
welcher jene begriffen iſt, = Yı fo entſteht duch Dife . 


ferentiation 
REN, 
r LI * 1,3 + 1.3.5. * ox 
Da nun | 
x⸗ x4 * Eu & 25 
ı 0 13 r 35 I * 1.3 
— | ns 
— etc, 
te) 
.,- = ı%. 
fo wird 
| Br 
BER 
ober dy — xydx = 0x, 


Der integrirende Factor zu dieſer Differentialgleichung 
iſt eEi2, und es wird 


\ 


Summirung der Reihen. 763° 


| ymewn (g-ıxndx 
wo Feine Eonftante noͤthig ift, wenn man das Inte⸗ 
gral je”?x mit x=o anfangen läßt. 


Weil aber das integral fe-x2dx von X—o an 
genommen fich Durch feinen geſchloſſenen Ausdruck dar⸗ 
ſtellen läßt, fo erhält man nur eine ia ber 

vorgegebenen Neiße, £ 


Setzt ar ndmti ſtatt e⸗*2 feinen Werth 
9 etc, fo wird nad a 





2 — 2.46 
hrachter integration 
x x> x? 
BT — — 4 — — —— oto. 
* ( 53* 5 F 
alſo die vorgegebene Reihe 


1 1 I 
I 13 135 1.3.5.7 r | 


4 u X i 

—— et I ee mm — — — — — etc, n 

( alas 4607 7 jr | 

Die Glieder der eingefchloffenen Reihe werben gegen 


die gleichftelligen Glieder der urfprünglichen Reihe ims 
mer kleiner. Das Verhaͤltniß der (n + i)ten Glieder 


— EL N 2 näche 


s 2.4.6 B ...... an ge 5 
ſtens (54.), daher die ſummatoriſche Reihe eine ſchnel⸗ 
lere Annaͤherung gewaͤhrt als die urſpruͤngliche. 





Man * aber auch die Sache umkehren, und 


x3 x6 x7 
die Reihe + tot + etc, ges 


brauchen, um * Werth des Integrals fe"0x, 
* xo0 an genommen, darzuſtellen. Cs wird naͤm—⸗ 
| ich 


4 Summirung der Reihen. 
x, x xs <; 
ı2 nn -ır:2 int — — — 
Jr * — | (: * 1.3 * 1.3.5 * 1.3.5.7 
| + et. ) 





und wenn man xx—ätt ſetzt 


» 
at , (at) (ardj3 
. ferWitme"tf ı — 4 — — 


Dieſe Reihe, welche 6 wird für to, findet 
ſich auch, wenn bie Formel edt theilweiſe integrirt, 
uud hei dem fummatorifchen Theile wieder eben fo vers 
fahren wird u. f. m. | | 
87 Diefe beſondern Beiſpiele mögen als Eins 

Teitung zu der folgenden Auflöfung dienen, welche Euler 
(Institt. calc. integr. T.II. $: 1059) von dem allgemeis 
neren Problem gegeben Hat, die Summe der unendlihen 


ei 
A Vox + Cx? +Dx3 +...+ Mix“! + Nil + etc, 


om-+h : ım-+h 
i — —— — 2 Cm — 
worin B== — zA; = „B; D 


_am4+h, u. G-n)m+h , . 
* — uͤberhaupt N= —— M iſt, 
zu finden. ——— 

Heißt naͤmlich die Summe dieſer Reihe y, fo daß 
y=A+Bx-+Cx...+ Mx"+ Nz + etc, 
fo wird durch Differentiation und Multiplikation mit x 





| I m Bx-+ 20x +3Dxri +... 
und + G—1)Maxi-' +iNzi+ etc, 
= +kymkA+ln+k)BxH(2n+Kckt . ..... 


Gn Nxi- etc, 


NB. Dieſe Blaͤtter er 


Summirung der Reihen. 765 
ferner - | 
— F )⸗ = om hAcHm+ De. .. | 


+ (Gi— rm -+ h)Mx' Fete. 

d. i. — der gefegten Relationen jwifchen B und 
A; C und B; uf w. N und M, u. f! w. 

= n+kBx+ (2A+k)lk +. 
+ (in+k)Nxi+ etc. 





Offenbar ift alfo 








I 4 hy = kA + * + * 
— a © 
—hx $ kAdx 
ey + = - mx) Tele x(n— mx) . 


hervorgeht. Diefe Differentialgleihung mie der in 
dem Art., Integralgleichung 12., behandelten 


8y * Pyöx = = * 
zuſammengehalten, giebt Pox = 


k&%ıx mk—nh 9 = 
og ng rn, und /Pox vor 


k— hx)öx 
x(rt — mx) 





n x nn n—-m 
| ku °: mk— nh | 
YPo&x=- logx — 1 — 
(loge\/Pöx = logx — og(n mx) 
4 ‚nh-mk k — 


* lage" (nm) m ,alfo ef? * —E — 

Aber eſ iſt, wie die Ausfuͤhrung in dem — 

ten Art. zeigt, der integrirende Factor zu der Glei⸗ 

hung dy 4 Pyöx = - Qax, a wird unfere Gleichung 
oh-mk 

durch Multiplicatldn mit ER. - 7 * Integer, 


und man erhält 


766 Sunmmirung der, Reihen. 


nh=mk k | k R nh-mk- } 
(n—-mx) "® x"y — kAfx" öxfn—mx) 


wo das Integral fo zu nehmen ift, daß für mo 
yA werde, wie ed die vorgegebene Reihe erfordert. 
Iſt diefe Bedingung erfüllt, fo hat man | 
k — mk-nh ‚k — nb-mk_ 
y= kAx" (a—mx) "" fr" Ox(n-mx) "* 


88. Eine befondere Entwickelung erforbert ber 
Soll, wo mo jft. In diefem ift die Differentiale 
gleichung = — er 

k—hx kAdx 
öy + — yödx * , 
+ nx — 





. nx 
k _hx 


“and der infegrivende Factor z’o®, 


Die Integration giebt | | 
Ko kA Ku 


— — — 


alle 


89. Auch der Kall no muß beſonders auf⸗ 
geloͤſſt werben. - Die Differentialgleichung wird für 
denfelben - - Zur 





hx—k RN KAbx 
oy * mx — 
h k 


und der integrirende Factor ifl Km gmR, Man ber 


fomme 


| Summirung der Reiben, 767 


k: bh. k h 


— — 


— — — 
a e re ın fe”x in ex 
. m » 


das integral auf die vorhin beftimmte Art genommen. 


J 90. Stk 0, fo wird y algebraiſch ausge⸗ 
druckt, indem naͤmlih 
aA—mı)"y=C 
Br | — 
oder y=(C(a—mx) ” 


3 — — — — 
wird, Für x So entſteht hieraus A—=n " C, alfo 

h' | | ‚ | 
6G=An?”, mithin ift 


Ä n N 
ya 4; er =) . 
_ Aber auch wenn k ein Vielfaches von n, — pn 
ift, wird yıalgebraifh, In dieſem Falle ift nämlich 
k nh-mk_. X 


—1 — 
———— 





pi up 
Jz ®x(n—mx) 


welches Integral nach (ntegralformel, 60. J.) alges 
braiſch wird, | 


91, Exempel. Die Reihe 


j 2: . 1.3 1.3.5 44 
2 24 . 2.46 Te | : er 


iu fummiren, 


J 


Hier it Aa Si, ma h=ı, n—2, KF0. 
Daher die Summe der Reihe oder 2 


MB Summirung der Reihen. 
65) — = 
wie balannt. a ee 


92, *Exempel. Die zu — Reihe ſey 
1:3.5 ed 
erh | 

he * x⸗ 25 | 

— +, a — 
ſo iB in Ben ae — hzı,nZ=2 ka; 
und. rs 


— x)ytxy 2* —* x) 


"= Kt + 6 
Sie x=o A. *, alſo 
St era BR 2° + C- 
mithin | 
ft; r * 2 
u er ae are — 
(a — * 
und 


— vü on). 


Hieraus kommt für x=ı.die Summe der vor⸗ 
gegebenen Reihe ma  . 


934 Exempel. Die Reihe 
5 57,519. 31378 
id: 6. 46 46.8: 8.10 
zu ſummiren. 


IE eic. in inf, 


Man fege — * PR — etc. =Y, 


und » nf in (87) x negaen, wodurch auch dx gi 


REN der, Reihen, 769 N 
tiv wird, fit A = _ ‘m: =; h= 7 nm, 
——— und V F 
(ı — H — +28 

Es ift aus (ntegralformel, 59. IV.) 
Foxlı + = ee + Por ri 

\ * x— D3 + — F se, 
Dar — 

(a ” er ztx— 23 + 2 * Const, 


Da für xo, ‚= Po wird Comsty 


- 


3x® r 3x Hr 
Macht man nun x=ı, fo. kommt | | 
- | 57 579 _ 57.911 
— — — ‚etc, 
rasen — 4.6.8. 10 Lin 


— 








BE 
| 6... 
n 1,1I,2 
94. — Die * — ++ 
| 2.3.5 
f 1,1.2,3 - 
Ä etc, in inf. u funmiren. 
rer funım 


cc 


770 Summirung der Reihen. 
— — le 3 
— ur 1555 


Ze ei. =y, fo iſt in CE A=— = — hr, 


n==2, Kr, And es in. 
> (2x =)! — == & — x) 


—ñi 


= — are. sin, vers, X = 6. 


zen 23 


auf Gomera, 35.) Da für — * 
ihr fo wird. C=o ' za 


rer = + — 2* — 
— A 


“Gh: R A 2 . . 
y ; . x. 
3 E- *s— Are sin vers. 
on man xZı fetst, | 
1.2. .12.2,:.23 \ I 

—— — En Lee 
| 5 an "4 
wo m. ber halbe Kreisumfang zum —— 1 iſt. 


Man hat bieram noch 


— 4— 


— vers. x* ne Gi: Hi * — En ?+ Tr 
FF © * | 4.2.3. ‘4 } e 
| — —— +e etc. \y (2x — xx) 
BE: 3.5.79. 
and denn man Vax—xx) nach dem Binoniſche 
Lehrſatze entwickelt ae 
* + gr 
— I + = a 2 13 . — 
— nn 2 2.3 024 2°%5 
; m + etc, IV ax 
— 2.4.6 28.7 j 


Diefe Reiben. fehlen in dem Artikel, Cyklometrie. 


Sunmirung der Reihen. vi 
Setzt man’ x sin. vers, 20 S2 singe; alfo 


60829 = ı—x, fo wird rien —* sap, 
und durch die erfte ** 


B= ainpennp( 1 + Sinn + Enge 


an .. — 


6 
a7 t \ 
nn. 424 333 5a He) 
Dieſe Reihe, welche eine Transformation der ben 
| — Reihe fuͤr einen Kreisbogen aus ſeinem Sinus 
iſt, dient ſehr gut P durch ‚einen; Hettenhruch darzu⸗ 
ftellen *), Davon i in dem Art. Umbildung er Reihen. 


1,95. Exempel. Die zu ſummikende Neiße feg. — 
— 4 — 3 4 
A * 142,3. * — + ‘I a 5 F es nn inf, 
sit. m Yu 
ib - — —⸗xX — x⸗ RIED 
—* FE 1.2, 3 + 1.2,3.4 #7 1.2.... 


etc. =y geſettt, fo iſt in (87) Az — 


h=zy n=ı, k=2, alſo aus (38) 
xte”’y = ‚veröx 
= C—e”ı 4) 
zufolge sntegsalformel, ; 160% 3): Fuͤr =, iſt 


1 
yaz Dadurch findet 5 c=ı, und — 


&—(i+x) 


 „_ 





at BP Be TER ie, ut — er Een = 
d. i. — 
I 5 ’ > 1 * 2 a 1. e — (r-+ +x n 
1,2 1,2,3 L.2,344 °:” x: ; 


2 —J ihr el die oben in (81.) gebrauchte Reihe fuͤt Arc. argu 


| m Summirung der. Reihen. 


man auch ohne Integration bey einiger Aufmerk⸗ 
feit und Übung Teiche entdeckt. Multiplicirt man 

ier beiderfeitö ‚mit x, und dividirt die hierauf ges 

nommenen Differeneiale, mit öx, fo entſteht 


1 0-9 (x—1r)e*+ı 
— * etc. = — 

5 F x+ Bew + z | 
Ks wenn MARKT macht | 


* 1.2 02.3 12:34. 1,2005 





die Reihe nähert ſich dem * ober bet 
Graͤnze ihrer Summe ſchnell. Die Summe der bei⸗ 


den erſten Glieder hu 1 — an ‚ der dry: — 


Ak tt tv⸗ y 
— — BEST BERN ; 
2 44243. ri ve wir aſen 1.2... nn ® r = 
Die Reiht entſteht Anne we, der Näfe r +- _ 
RE | 


— 4 — 4 'etc,, wenn man auf dieſe bad 


Verfahren in dem Art., Sumnmitbare Reihe, 2. vergl, 
10., anwendet. Man ſehe Joh. Bernoullis — 


TV. p: 9 wo anch gezeigt wich, * die Reihe — — 


"PL. FO 16°" 1 
— —— Sic, — + 





+——+ 


u, SE Lu 


+ —+ 


etc, d. i. ——1 es 
1.3.3 1.2.3.4 4 e . 





ſich aus der obigen Gleichung pl ber Reihe — 


+ 15 5" + etc, und. ihren Summe, wenn man. Die 





Summirung der Reihen. 773 


| Multiplie ation mie x, Differentiation,, und Diwiſton 

mir dx noch einmal —— leicht findet. Auf gleiche 

( 8 237... 64 
Weiſe ergiebt + — — — 

ß u IE) I, 2+3 + a Fr J 
+ etc = — — w. 

96. Exempel. Die —— — — Reihe | 
I—1+12— 1234 1.2.3.4 — eto. in inf, 
v du fummiren. | 

Setzt man 1 — 1x + — -12.3884ſeætc. 
=y ” x in er negativ, fo iſt Amm a 


ı Fe Ani * % } 
1 — 
* — * dx 
e 2% _— — 
| x 


Da für xo, wo ymı if, die Größe linker 
Hand des Gleichheitszeichens verfchwindet, fo muß das 
Integral rechter Hand gleichfalls für = o verſchwin⸗ 
ben, Unter dieſer Bedingung alfo ijt 


EEE 7 il 
e* dx | 
y„_ — — — J —— 
X X 


| folglich x—ı gemadt, .. 
1—ı+ a — — in nk 


Er "ae 


Auf dieſe Weiſe iſt alfo die Summe auf ein be 
ſtimmtes integral gebracht. Euler hat dadurch in der 
Abhandlung, De seriebus — a (Nov; 





Comment, Petrop. T. vr indem er — al⸗ die 


— 


der Abſciſſe x zugehoͤrige Ordinate einer Curve be⸗ 
> 


| | 774 ® Summicung ber Reihen. . 


trachtete, und den zwifchen den Ordinaten in den Ends 
puneten der Abfeiffe x, ‘ver Curve und der Abfeiffenare 
enthaltenen Flächenraum vermittelft der Annäherungs: 
formel i4..(134) des Ark... Qundratur, für no 
fuchte, die Summe der Reihe 1—ı 1. 2 — 123 
 r ete. Z 0,59657164 gefunden Die Kormeln in 
(144) und «245 ): jenes Artshgeben; mir die Summe 
== 0,5 962238, welches aber noch fehr von der, Wahr⸗ 
heit ‚abweicht. . Die. genaue. Summe ift. nämlich 
= 01596347362323. vermoͤge einer von Ma: 
fheroni aufgefundenen : Relation. zwiſchen derſelben 
und der bey der. Summe der natürlichen harmonifchen 
Reihe “und den Integrallogarithmen ‚vorkommenden 
Eonftante.(40). Man ſehe den, Traite du calc. diff. 
et. du-cälc. integr« T. IEL.'$. 1227. von Lacroix. Übri⸗ 
gens ergiebt ſich hieraus noch die Summe der. hyper⸗ 
geometrifhen Reihe ı — 2 + 6— 24 + 120-720 
+ etc. == 0,40365 2637676 :..;, wie in bem AÄrt., 
Heiße, 315, angegeben iſt. — > 2 a 
97. Wenn in (87) A=ı, m=ı, k=p—1, 
und n=ı,' fo verwandelt ſich die Nähe A-+ Bx 
+ Cx’ 4 Dx3 + etc, in diefe I +3 He 
‚„h(fh+ı)(h+2 Zi, SB EEE N 
m x 3: etc. dere ey durch 
Eiperipta” + era deren Gumme y bung 
arte (pi r)faralı x) 
eſtimmt wird, Wenn p>ı ift (für p=ır iſt die 
Summe der Reihe cr—x)h), fo verſchwindet der 
Theil linfer Hand des. Sleichheitszeichens für x o, 
‚ indem alsvann y=ı ill. Das integral rechter, 
Wand muß alſo gleichfalls für xso verfchwinden, 
s werde fo genommen, fo ift, p>h geſetzt, 


2 — Ir hend x)p-h-1 * ; 
y nn | ——— Aſxxraox(i — x)-(P-b) 


Es iſt aus (Integralformel, 59. VL.) 


— der un ” | 


Fr . og 
u 


” 





> — — 


» iQ ii. 
Da ber —— —— * 
grals für x Zo verſchwindet, eek daß p 
nicht =h+ı iſt, ſo muß auch der fummatoriſche 
Theil unter dieſer Vorausſetzung für jenen Werth von 
x verſchwinden. Iſt nun über diefed ph eine ganze 
Zahl, fo kann man die Neductionen auf die angefan⸗ 
gene Weiſe fortſetzen, "bis. man auf ‘das; Integral 
[ar?°x(1—x) gefommen iſt. Wofern nun noch p 
eine ganze Zahl iſt, ſo laͤßt ſich das letzte Integral 
entweder durch Diviſion oder nach (Integralfotmel, 5% 
Iy.) auf — bringen. Auf dieſe Weiſe wird 
p hih ̃ Ga)" 

P- p-h-2 


— — —— — — 
ee oT -3)° 


Hua). reader P-3 —— 
— —— 


= h(h-+ı).. Be / 
en. dire 1 — Tasse 
4 
* — tt er 


e hih+r)... u. p-ı (aR)Pin} 

Pen ne —— — —— 
(p-h-ı)(p-h-2)..» ı yp-ı 

wo bie oberen Vorzeichen für ein gerades , die unteren 

für ein ungerades p—h gelten. 


— x) 


4 


Setzt man xı, fo verſchwinden alle Glieder 
dieſes Ausdrucks außer dem erſten Cmegen des Vers 
fhwindens von (1 —x)log(ı x) fir x 1. fehe 
man den Seite, Summirbare Reihe, 7.), und e& wird 


770 Bummfeng, der Reihen. 


pe, re, „pr 
 PÜPpPp+tı)  pptn)p+2)  ° ph 
Dieſes Reſultat ſtimmt nun zwar mit dem in dem 
Art, Summirbate Reihe, 12., gefundenen überein, iſt 
aber wegen der Einfchränfung auf ganze Werrhe von 
p und h bey weitem: nicht fo allgemein. Es wird fich 
indeß bald ein Weg zeigen, daſſelbe eben fo allgemein 


J 


als dort zu begruͤnden. TEE 
998. Sn. den von (85) dig hieher fummirten Rei⸗ 
hen waren die Zahlen, womit die Coefficienten der ges 
gebenen oder angenommenen Reihe in x in den Melas 
tionen derſelben multiplieiet werden, Glieder einer 
einfachen arithmerifchen Forefehreitung, und die Sum⸗ 
mirung der Reihe hing von der integration einer ‚lis 
hearen „Differentialgleichung des erften Grades ab. 
Sind jene Zahlen von zwey Dimenfionen oder Pro: 
| —J aus je. zwey Gliedern einfacher arithmetiſcher 
Fortſchreitungen, ſo kommt die Summirung auf die 
Integration einer linearen Differentialgleichung des 
‚äwenten Grades an, wie folgendes von “oh, Ber 
oulli (Commerc, epistol, Leibn, et Bernoul. 
. I. p. 220) gegebene Benfpiel zeigt, 


I 





Die unendliche Reihe + — 


1.2* * 1.263* 


+ + eie. auf eine Differentialgleichung 


1,.2°,3°.4* 
zu reduciren. 
wi ee: 
I © x’. ,.25-_ x+ 
—227 — etc 
* re Tr 
fo wird . | 
——— IR a; x⸗ | — 
+ + oh — — eto. 
v. x 1 * at I I r 1.2°,3°.4 2 * 


Summirung ber Wehen, 777 


alle: wenn — beiden Seiten (mitte 
und noch einmal — * conſtant gefegt;-- - 


2 9 —— * x 
xt. K..'l. + — 

b; i ee 7 5— x1 Hin a LEER 4 B * TE 3. rd 

Pi *2 — 5 * vr To 
1 2 ge N nn Hl 5 2* 

Hieraus kommt * REN N FA RE jaef. 

0" Ox — a Kae‘ 
/ + on⸗ u It 


eine — Differencitefeihung, des —*8* —**— 
welche ihtegrirt werden — um die Summen dee 
borgegebenen Neiße zu haben. FR tel ar 
99. E⸗ ſey jest allgemein die Site bet uns 
ı ‚endlichen Neihe, : 
au + BYu-+ CEu + Dduniyr * * Mu 
‚s +NRu+ etc 
Deren Eoeffieienten eine ſolche Beziehung zu — ** 
haben ‚daß | 


— mh en | am-+h 


ark ra 3n—k ’"" 
nr. N ee; u. ſ. w. 

rel He... 
. N — etc 


iſt, zu finden, 


Die gefuchte- Summe heiße y, ho daß | 
y=AY+ BBu + CEu® + DDu: + etc, 

iſt. Man nehme die Reihe | 

| A + Bux + Cu’x? + Duſsxs + eto, 


* 


778 Summirung der Ste 


und ſetze ihre Summe zZ, fo Re aus Ey wenn man 
ux —8 macht, ⸗ 
k ge k um | 


— —r ee | 


"zkäs "(n-ms) ” fe "gi n- ms) - 


das Integral ſo genonmen, — z==A werde für 
s=o. = 


— multipficiee nun bie Heiße 
— A+ Bux + Cu’x* + Du’x? + etc, 
— Pöx, wo P eine Function von x ift, und nehme 
die Integrale, indem man u als unveraͤnderlich ber 
trachter, in Beziehung auf x, fo entftehe.. i 
JPzöx = vn + Bu/Pxöx + Cu®/Px*dx tie 
+ Nu jPx0x * etc, 


Laͤßt fi & nun bie Function P fo Geffimmen, ‚ daß, 
bie Integrale innerhalb gewiſſer Grängen (von ‚einem 


gewiflen Werthe der —— x bis zu einem an⸗ 
dern) genommen, | 


[Pxdx = — | 
 [Px'öx = 5 =. Pxdx = = jpox 


JPx°°x ⸗ = [Px°9x = = [Pox 


\ 
.» 2 2% #» + * 


+ 
% 
« 
+ 
* 
e 


* * . + * + 


überhaupt | | | 
/Pxiex = —— fP°x 


iſt, fo wird. 


Summirung der Reihen 779 
— = A-+ —* + Zu + ei.) /Rox , 


* 


J— 

folglich BEE 
a —Meee 
ir 7 , 


Alm bie Function P: fo zu beftimmen, daß die an⸗ 
gezeigten Relationen Statt haben, bemerke man', daß, 


- weil_die Gleichung. 
jPxiöx — ne [Pxim1öx = er ae 
M + Rue 


nur innerhalb gewiſſer Werthe von x gilt, man übers 
haupt annehmen kann, es ſee | 
Gv+S)/Pxix = (d— nat H)/Pxöx+xig 

wo Q eine Function von x ift, wofern nur das Glied 
xQ für die Grängen, der Integrale berſchwinder. 
Differentürt man die letzte Gleichung, und dividirt bei— 
derſeits mit Xi”, fo. wird > 

‚+ s)Pxdx=(i— ı)u+y)Pox +xöQ +iQäx.. 


Da biefe Gleichheit für jeden Werch von i, be⸗ 
ſtehen muß, fo entſtehen daher die beiden folgenden 
Gleichungen | 





er vPx%x — K"Pöx + Q°x 
und SPxöx = (4-u)Pox +x00 
Aus der erften folge 
' | | QO%x 
Pöx. zu me nn, 
FT eye 
aus ber anderen aber 
P%x — — zu - 
IX 


und aus diefen 


780 Summirung der Reihen, 
°Q_ Oxly— K—9x) _ (1 —Wex Möx Out | 


TaR—m) TI pr po) 
woraus durch Integration 
= # Fr 


B kV 
—— v2). "x Const. 
wird. Get man, um Pox poſitiv zu erhalten, 
Const. = — ı (eine allgemeinere Annahme derfelben, 
etwa = — C’ iſt nicht nöthig, weil C’ aus ber, 
Rehnung von ſelbſt wieder weggehen würde), alſo — 
4 2 —— 
Net 
fo wird Ä 
gr | N: E Su 


Pox = x" öxlu— x) "” 


"Da nun überhaupt 
(iv+2) — >> (d— I)u 4a) JPx"öx 
Ä y Iya-yv 
ir | ——+H 
* "x 7 (u—vx) KV 
fo zeigt fi, daß, wenn die Integrale von x—o bis 


126 genommen werden, bie Relation 


(iv+ 3) [Pxiex — (d— na +4) [Px0x 
Statt findet, weil nämlich für jene Werthe von x 
der algebraifehe Theil der vorigen En verſchwin⸗ 
det, wofern nur 


ij 2753 
7 


Su—ıv 
und zugleich — +1>o 
iſt. Werden biefe Bedingungen, die erſte auch fuͤr 
den kleinſten m von izı, erfüllt, fo it 


Summirung der Reihen. 81 


2 BE . m 


* ee As“ zös | 
wo 2 aus der Summe der Reife A + Bs a Ct 
+ Ds5 + ete. bekannt ift, und aus derſelben hervor⸗ 
seh wenn 8 ux gefetzt Pe Bey der Integra⸗ 
4 ; 
--1 
tion von pr or ir dann u ale 
conftant betrachtet, und bie Integrale EN wodurch 


y beftimmt wird, von x So bie x — * uff — 


Die Function Q geht war lg fetöft in bie 

Schlubformel ein, ihre Kenntniß ift aber doch noͤthig, 
um die Gränzen der Integrale feſt zuſetzen. Wenn u 

oder vo, ilt, fo muß fie befonbers er were, 


Im erſten Falle iſt a: en & 
| 22 286 ee _. 90x 5x j : 


—X Q7 | —7 vx SIR. - YXK 9) 
‚9 9 * 3 — 
de ; 

woraus — x.) alte —* * wird, wels 


het niht =o werden Fann, — wenn —— _ en r. 


’ 


alfo x o, wird. 


In dem andern Fallen me vo iſt, hat man. 
A. Sud rk x Box 


QaToor Rx m 
— Na | * —e 


und hieraus Q=zetxt, micfin um 2A. 


9 
welches, wenn 7* poſit ti. iſt, für x x o verſchwindet, 


| 


782 Sunmiruns | der Reihen. 


fuͤr ein negalises 2 bingeden für . 5* 2 —_»n. Da 


alfo in beiden Faͤllen xQ nur ie e einen Werth von x 
verſchwindet, fo ift nicht noͤthig, fich mic der Beſtim⸗ 
ung, von, Pox ‚weiter aufzuhalten: 


Weil Übrigens, die Relationen der ‚Glieder in dep 
beiden. Coefficientenreihen A, B, C, D, u ſ. w., und 
A, B, C, D, u. few, einander voilkommen ähnlich 
ſind, ſo catffeht daher, wenn man jene Reihe unter 
ſich bertanfat, noch ein anderer Ausdruck fuͤr y, ſo daß 
man alſo hierdurch zwey Er he es: bie 
Summe erhal * 


100. Man fege kit, daß mie dem fo in 
aufgelöf ten Problem zugleich das folgende aufgelöft ift: 


Es iſt die Summe der Reihe ir ge 

es + Bx + Cx! + Dxrd +etc.... =X 

Ä gegeben , man foll die San: der Reihe AU + BYBu 

+ CEu® + DDu3 + etc. finden, deren Coefficienten ent 

ftehen, wenn die Eoefficientenreihe jenee A, B, C,D .... 

| Sg für Glied in die gleichftelligen Glieder ver Reihe A, 

B, C, D, ...., zwiſchen welchen die in (100) anges 

zeigten Nelationen Statt haben, mulciplieirt wird, 

Die vorhin durch z bezeichnete Größe iſt nämlich das, 

worin fih X verwandelt, wenn darin ux flatt x ges 

fegt wird; 

101. — Die Siam ber unenblichen 

1.3::8 1.35 87. 

Reihe s =. — m etc. . zu 

b +; | te: - —— ei ‚ 
finden. ’ 


Man u "zu, fo wird di Die fo. ausge⸗ 
| druͤckt 


ru, 123 ue⸗ 1.3.5 
1 — — — — Bei Mer * to. u. — 
( x + . N: 7 ZERY, | 


u. 


Summirung der Reihen. 783. | 
Die Summe dee eingeklantmerten Reihe Beiße y. | 
Aus Tor) oder ſonſt woher — baf, wenn 
14 Zur + Lusx eur Deut + etc, —.z 
gelegt wird, = Guy ir. In (95) iſ alſo 
—* en e—- = Sei 


X 7 em 








8 ‚uf 0, fol FF ARN y°Z1 
— — 1 ſu — nat LA 
e” N KT — — 
*0 erfuͤlt, und. *8 Wied. re — — Hi 
Yy em = —— — 
te | RE I 91 BE Bi Et 
Da von x0 bis x—E — 
! — — | 2 ee 

—————— re ee —— 


ER I ar * 3 
ſxſoxci —un)to — Aꝝc.cos(t = 2u) 





| 2 | 
— apArcsin.uf, 
u ut 
| Arc,sin.ut | 

fo wird y— ‚ alfo — Arc sinu! — 
Arc.sins, mi — 
= SE ——— 
— rar are + etc, 
| 2 2 Bi 5.4657 

nn Aue Zee = Arc.sins Er 


wie betannt. J | 
10%; Exempel. Die. Bike, 


784 Summirung der Neiheiir.. 


ein. 
: 1 — ar, Aꝙ⸗ 29.4". en® + etc. ın inf; 








zu ſummiren. ig 
\.. Man beide die Reihe au  , 
vYlf 37 1/7 gr ange EI N Er 
— I — — — — 
und ſetze = — a En 
Dr 193 Mer ft: Dt, 1 CS 2 
14 F — * * 24 FEED + etc, =y, 
Nunut man nu * 
1.3 1.3.5 | , 
zze1..+> -ux+ —u’x’+t - usxs 4 etc. 
er TETBR 0. % ( RX: — 
αα 
fo iſt aus (92) 2 * — ri und. in (99} 
Ga]: 5 3 3 


. . ® L y 
Ai, i, ua, 92, v=2, al ——ı= 


ı u—w. RR a — 
— — — - {mithin ip 7 — 1, für i=ı, 
2 ‚MV 2- - ı | 


Au —ıV — 
—>o und. er ı >’ E8- wird alſo 
yfxtoxß—2x)t= — fx töx(a—2x)( 1—(1—ux)}) 
oder MEHR En 


— — fatdsi—a)t (Ct u) 


Das Integral, welches ſich „rechter Hand des 
Gleichheitszeichens befindet, haͤngt im allgemeinen von 
der Mectification deu Ellipfe ab. Da hier ‚aber nur 
der Werth von y für u=ı geſucht wird, und über 
diefeg u bey der integration als conftant zu betrach⸗ 
ten iſt, ſo kann man auch vor der Integration in dem 

Diffe⸗ 


- 


Summirung der Neben. 766 

. -Differentialfacter ur ſetzen, um jenen Werth von 

y/ welcher & heißen mag, zu erhalten. Es wird alſo 
 ofx-löx(1 im 2/x* :Ox(1— 


— 2fxöxlı — 


Ss if ¶Integralformel, H5. V. und 359 Rh — 
— Arcsin.vers.ax + Const, 


je 


r von x=o bis x1 =; genompıen 


* 


Ferner (Ebendaſelbſt, 59. I. und 55. | 
f ee re em EN 1-2)? - - Argsin,yers.axt G 
Un 

KrOx( IX) axt- _ axt 22 ca 
Daher 
* öxfı Rt farlöxtı-2)= ax —— 
— Arc, sin, vers. 2x + C'— 6 


1 
ZZ“, 
2 


Ein ZZ EEE en et, 


» iſt der algebraifche Theil der epntegralgröfe == = 3x! * 
* * etc, alſo =o für — 0. Da die ganze 
Groͤße für xXO verſchwinden muß, fo wird — 
C+=o, mithin 

falöxli—x)t—felöxlı-x) bon zszohbexzı 
genommen. 4—r, ige 


. 0 = — — 


* 1 * FA, ehes bie Summe der vorgegebenen 
* er — =. te 
Ä 0, Dbb 


Man nehme i 
——— —* 1.1.3 543 1.1.3.5 
3 = 2 4.6 — * 
e — 
= Y(i—ux) 
fo ift, i — 
— - SER Ben 1.17.3%.5° ı 
— % 7* * 22 * PPC Fr 2°.4°.6°.8° 
— 
+ etc, geſetzt, in (99) — B⸗—7 
1.1 1 1.1.3 3 
— — — — PER £ i w. 
e 2.4 — 2.4.6 58; u, f 
Demnach J — — 1, 1=2,9=0,9Z2, um 
u PR: Sei 
R nel mv . Hier wird alfo zwar 


Su—yv .. 
‚die Bedingung — +17>o, aber nicht bie 


i+ a. ı>o für — | erfüllt, fondern letttere 


erſt für i —2 und größere Werthe von ĩ. Deshalb 
kann man y nicht durch die Endformel in (99) finden, 
fondern man muß zu den Grundformeln zurückgeben. 


Es war aber | | 
[Pzöx = A/Pox -+ Bu/Pxdx + Tw/Px’öx + etc. 


Da die Nelation [Pxöx = 2 ‚[Pöx vermöge bed 
vorigen niche Statt hat, wohl aber die folgenden 
JPx:0x = SjPx0x / Reiö=Ofpxtx= 2 /radH; 


’ 


Summirung ber ‚Reihen, 987 


FRE rer — u. ſ. w. — > fi 
man 


JPzdx = Ajrox Bez x + Du 


ER | | + — | 
d. i. TUE u 
= A/Pox +7  joxöx. 





a woraus ö 


y/Pxöx — —E AB [Pox + Aura 
wird, die Integrale bon x Ddo Bi = hier = 
genommen. —— 


Sn uhnſerem dalle if — | 
Pıx x" ix —ax)t | e 
Pxöx — x!öx(2— 2x 
‚ Pzöx —' ——— —üX 0 
und, weil bloß 6, der Werth von y für ut, ges 
ſage wird, 


! 


t 


— x:0x(2: — 2x)!(1—x)! 
= 21x” ‚öx(ı—x) 
Dodurch wird mun | 
SPxxx=— 23x 4ı —x)t 9% Arc.sin.vörs, * cr Ä 
SPxöx=  alxtlı —x)! + 2-3. Arc.sin,vers.2x 
ohne Eonftans, weil es für x—o fon verſchwindet. 
JPzexx=m—aix1— 2ixt + C”, | 
alfo DfPzox— AB/Pox  ; 4 * — 
Be— a Sen ?(1-x)?-+2tArc.sin.vers,2x 
+ cr), 
Da diefer Ausbruck o werden muß für x 0, fo wird: 


788 Summirung der Reihen. 
* in 02) Ü—C=o, und wenn man jetzt i, 


und fir 2 8 und BA ihre Werbe — — und ı fegt 


Yin * 
9J 4 


Quake Ze 3 


| Va — — 
alfo i | 
— 4 
un 
7 


wie vethin 

Die Summe anferer Heiße, welche in ber Hin: 
| Berburgifehen Bezeichnungsart der Binomialcoefficiens | 
ten fo ausgebruckt wird | 
1° + (+ GB + CO+EDI + etc, in inf, 
| läßt ſich auch durch den don Lagrange gefundenen und 
in dem Arts, Winomial: Coefficienten, 17. vorgetra⸗ 
genen Satz ‚erhalten. Dazu aber bedarf es eines. 
Ausdrucks für die Binomialcoefficienten, welcher die 
Interpolation berfelben möglih macht. Ein PR 
nr ſich folgendergeftall. 


"Aus 87. bes Artikels, —— ergiebt 
ſich leicht, wenn man dort a—=ı, n—ı ſetzt, daß 
zwiſchen den. Graͤnzen xXo und xXXi ft 

1. PO SIE 
mm+1)(m+2)(m+3).(m+r) 
wo aber erfordert wird, daß ma nicht ı und r po= 
ſitiv fey. Macht man bier. nun m+r=n-+ı, alſo 
m=n—r+1, fo wird, wenn man bie dolge der 
Faetoren im Nenner er. 


f gamı Ox( i x 


Kt) = Ir 3. 2204 —— 
 (@a+ Deren 

alſo 

—2. Porz 1 


1. u 2, 5. — r = ar nferiam) — 


Sumahirung der Reihen 7 89 | | 


Es⸗ if aber ne); der ze Dir 


nömialcoefficient is der Potenz n; , und da derſelbe 
nn, p abalt man foͤr ihn 


I. en n— 


.—..... 


voch den Auedwuc er a ’ 


naͤmlich in dem vordergehenden n — ſtatt r ſchreibt. 
Jeder dieſer beiden Ausdrücke Fann nun jur Juterpo⸗ 
lation der Reihe der Binomialcoefficienten einer gewiſe 
fen Potenz dienen; indem, x ein roh tiver Bruch fon 
Tann, | te oh 


Die Summe der Reihe * [N 5 : Are 
1 + an" + ( CB) + eo° rec = N 


iſt nun zufolge des vorhin amgeſtürin Satzes %; alſo 
der —— zu der Stelle — - in der Potenz 433 fol 


üb, wenn man DZ ı, und = ht, na bem 
3: 
einen ober dem oben ‚Ausdrucke = 75 x aa! 


das Integral von x=o bis x—i genommen. Es 
ft aber ofx!oxlı — x)! von xZ'o an genommen die 
Area eines Segments, deſſen Sagitte oder Sinus 3 dep. 
fus x iſt, in einem Kreife, deſſen Durchmeſſer 35 . 


olfo für x ı, die ganze Kreisfläche = ru Daber 


| Fr | —— 2 :,4%° 
FEW FED + ED ete. — 
*) In den Institutt, calc. diſt. P. . e. XVIE - € 4o2. 


Lxemp. Ul. findet Euter für den Binomialcoefficionten ber »ien 


l. 


- 


790 Eunntun der — 


se » “€. 


vnciarum bingmai j in den ae — X. p, J. 
nach. 


104. Exempel. Die Reihe 
LI 1.1. 1.33 1. 1.1. 353.5 
— — — — etc. ininf. . 
47 2.2 — 
zu ſummiren. "ie dor „el | 





Setzt man. Ä | 
‚I tu. T. 1.2 
me u te 13.35, — el. 
Ä 22 — 22.4466 | 
und nimmt TR 3 
1 I. 1. 
BZ —UuxX- —ur-- 2 —— uix3- Mr = un)! 


) > + { 


Deinen Sue z im nun 2,2488. 
"1.3.5. 1. en 





J 
Si man fie us, — wich I Auen, wie oben. 


Eulers Ausdruck folgt ſehr leicht aus dem weiter unten 107) —2* 
zubringenden Ausbeucke für das Sutegrat into 

Mach bemfetben iſt nämlich Rr-r9s (a X)h — mM — 
2n1 

2(2n+4)4an4+6)6(an+8).. :(2n-F2)(4n-+4)(2n-$4).. ete, 

 Sant3)s(kan+5)7(20+ 2. .(20+3)(4n+3)(2n+5).. ter 


‚2,42 44,6. be > * 3.8. 7..... 20h 
— T. 3. 3. 4. 5. ERS us Mack 6.8 era 17 
2 ‚x 1.3.5.7... an+r | 

— — —— 40 
*— 2,2.4.6.8..,. anta ant2 5 


gi 


: I Mhr 2 246 8°:  20+2 
dee FETTE a 2n+2 ” 1.35. 7... A 


2 2.4. 6. 8..... 2n 
er EHER (2n-ı) 


Summirung der Reihen, 794 
a at TI 
4 wi, ao y=ı, 22, *0, va, = 
Iu—ıv 


ZErnE 
Ip nv 


I ° 3 * 
=. it fwi=ı und 





Fı>o, "Sololih, went man 1073 den 


— v2 aufhebt, 
Y x!öx(ı — x* * Aloat- —— az) 


die Zutat von x*0 bis — genommen, 


"op o der Werth,von.y für. usı, di, die 
Summe der vorgegebenen Neihe, fo folge 
ofxt0x(r —x)+ — [x!0x | 
Dei, wenn man die Jutegrale inueccais her vorge⸗ 
ſchriebenen Gränzen nimmt, - 
rn = 2 


a —11 PR N 
Ä \ 
* 72 
’ - 2 
| 
| / 


a 
Die Reihe folgt and ber Rectification der Ellipfe. 

LI 4 

* naͤmlich MRectification, 9) * ( — e* 

| Bert 13 EEE | en: 
— TRUE - etc. ) ber Qua⸗ 
drant einer Ellipſe iſt, deren halbe große Are Su, halbe 
kleine =VCı —e’), und, wenn e Dr, bie Eilipfe 
in eine gerade Linie fich verwandelt, welche mit Des 
. großen Are zufammenfällt, dev, Quadrant diefer zur ges 

_ xoden Linie gewordenen Ellipſe * x if, ſo ergibt 
fi 9 auf der Stelle - 


792 Sunmicunt der Reifen. > 


I 8. I» IIAI. 
— 2* u *— 4 
2. 2 — — 4 


woraus g wie ori fe, 


"Den Gebrauch, len il: ‚Kon der- 2* — 
mirten Reihe zur. Transformation der Reihe fuͤr den 
ellptiſchen Quabranten gemacht hat, ſehe man in defe 
fen Opuscul. arü artzumenti, 1. I: p. 338. u. 


Ya # u 
—J ———— Avis 
Es iſt ganz ai Ve —— By ugs — 


ber dalbbe Umfang einer Ellipſe, deren halbe goße Axe 
=; halbe klein· = VCr =u)’ift, 


705., Grempel, Die, Reihe 
ERST DR NEN BER MC 


—E— —ete .· in in 
2* 2* ** —* ia — 
zu ſummiren. 
* man A 


3 25° 13° sn 





Zu ur 7 ur — wu — 7 ‚6° — 
— etc. —yY 
— und i j 
1.3. 5 
Im Zux 3 5x5 4-6tc, —(fı Fur)” 
* + — — — + + ) 


himme, fo findet fi) ganz fo wie in (104) 
 yfRtoxı —x)t = frtoxlı —x):(ı+ ur)! 
bie Integrale innerhalb der Öränjen xXo, und x5i 
genommen, 


Das utegtal rechter Hand Känge für. —* 
Werth von u von der Reetiſication der Ellipſe ab 
Sür u Si ſey a der Werth von y, fo wird 

2 F 


SGummirung der Reihen 793 
Kine -ı)}m — it 


d. i. F “A 
| ra. = = jest ap Gr 


n ! ; 
Set — =, fo, wird | 
ανο 7 


— — — F 


bon, 20 bie ze z=ı1 Senne, 


| Es —J— =. von 2260 bi: zı die | 
KLaͤnge der rechrwinfligen. Elaffica. Man ſehe Jak 
Bernoulli's Werke T. I. ©. 964, Sr, mau eiß 


jene Fänge = fo wird | rn 
Lit — EA r F a A . 
1) ALIEN en rue 8 


Stirliug finder, (Method. aitterent Brop, 
- XL. Exem pl. IV). A 311028777146..... ein 
Daraus agiebt fih 5.=.0,834626841674.00sc00r 

Man Ar — Summe auch durch das beſtlmmnte 


2z — 


Integral — J ausdrucken. 


V = — m; wor! 
Aus Integralformel, 64.) naͤmlich folgt, "Daß, 
innerhalb der Örängen x 6 ud, xmer, ift - 
Ir xindx xarıdy 1 — 
V(ı—xx) Va) ahrs. v 
Seht man hier x ⸗ ZA, wo-A pofitiv if, wodurch bie 
Gränjen nun, 370,» md 2 ı werden, fo wird 
erhalten | | 
——— 22 3 
N — zZ 2 02 _ BR. Z | 
Va—aa) v (m) anki'n 
und wenn Man jegt 2An+A—ıu ſetzt, — 
An + 2— 1 2 und eat Marti 
wird, fo entſteht 


> 





du ſummiren. * 4 * * ji 
Man druͤcke die Reihe fo aus _ 


en RE re 
— > ap een — — etc. 
—— nn ZEN 1 wi 4° ae 4°,6° Darege Tr ‚I * AU 
und ſetze ö N | 
in: #_ He. sd 
| x BR RE BL 
— 7* T PTR Te — 
Nimmt man nun sm —— _ 1 | 
1 113 \ 1.3.5 
ze 1. —ux+ —u’x’+ ——u’x? 4 etc. 
1 * Ach u 4:0 — *·* 468 A! ai 


fo iſt aus on = ER, und. in (99} 


> 


f 


Fi) 





— 2 


- ! — — ku ’ 
Ai, i, 13, 42, v=2, alſo ——ı= 


— — —0 — — Löwe 9’, 
Pa t 0% an, N 


uam Leni. 
— nmithin ip ——ı, fürizı, 
2 ‚MV 2- 28 1% 


9 —y1y — 7 
>o und. — 1 6Es wird alſo 


— —t0xa— a2} (1 um?) 


oder er 


Ei’. —— 4 


— ET — 
MA— 7 Sr0x(ı—x)t (r—(ı —ux)?) 


Das integral, welches ſich rechter Hand des 
Gleichheitszeichens befinder, hängt - im allgemeinen von 
der Nectification dee Ellipfe ab. Da hier ‚aber nur 
der Werth von y für u=ı geſucht wird, und über 
dieſes u bey der Integration als conftant zu betrach⸗ 
ten iſt, ſo kann man auch vor der Integration * 

iffe⸗ 


- 


Summirung der Reihen. 7686 


Differentialfaeter ur ſetzen, um jenen Werth von 

y/ welcher & heißen mag, zu. erhalten. Es wird alſo 
 ofx-löx(t—x)! = 2/x* :Ox(1 — 

| Bye 


Ss iſt ¶Integralformel, 58. vV un 
z Pets Sei Zrcainsenau Con 


= voy x=o bis == — — 


1 N 
er Pau 


U — — 
— S. — — 


Ferner Ebendaſelbſt, 59. md... 
a der Fat - - Argsin,yers.axt c 


5 ——E I-x) 2x1 ax 7 CH | — 

Daher 

FR Ri — — — — — 9 
— Arc, sin, vers.2x T C— 61 


Da — 2x är) +xt}+ * tet, 
fo ift der algebraifche Theil der epntegralgeäfe == = 3x! + 


* + etc, alſo =o für x2=0 Da die ganze 


Groͤße für xXO verſchwinden muß, fo wird 6* 
C —o, mithin 

ferdxi—s)i—frtörlı=x) von zsZzobs x i 
genommen. 4-— 7 Y ws ich 


0 * — 
2 
und 1 gr rad, welches die Summe der vorgegebene 


Marin, a 
Br | ODdd 


l 


786° Summirung der Reihen. 


203. Die eben gefundene Summe wird aud) fo 
erhalten. | 
Man nehme 5 | 
z=ı ET ae 1,1,3.5 
2 2:4 j 2 4.6 2.4.6.8 
5 Ä ⸗ete. 


| ı°® ir 12.17.32 wir’ 3.58 ° 
29,4” ee ae ° 


4 etc, gefegt, in (99) 4=1; B=—-=—-L; 








24 4 2.466 
N Ä En an 
em, mm Hier wird alfo zwar 
we 
‚bie Bebingung — 1 *0, aber nicht die 
i 4 — 1>o für i=ı | erfüllt, ſondern letztere 
erſt für i — 2 und größere Werthe von ĩ. Deshalb 


kann man y nicht Durch die Endformel in (99) finden, 
fondern man muß zu den Grundformeln zurücgeben. 


Es war aber | | 
[Pzöx = A/Pöx -+ Bu/Pxöx + Lu/Px’öx 4 etc. 
Da die Relation [Pxöx = 2 ‚[Pöx vermöge bes 
vorigen niche Statt hät, wohl aber die folgenden 
JPx°x = S: [Pxöx Ä Pexrs= a fx0x = pri 5 


Summicung ber. Reihen. 787 


— — Fa uf w. fo sit 


man | 

JPzdx = Aerox + Bis +5 — u. + Do, 

d. i. | i N 
= A/Pox — pexdæ 





* woraus a 


y/Pxöx = Box AB/Pox r Kirase 
wird, die Integrale von zo Big = hier =, 


genommen 


In unſerem Sate it oo | 
Pxexrö@—an 
Pxöx = x10x(2- — 2x 
‚Pzöx = riöxl2 — 2 int 0 
und, weil bloß 6, der Werth von y für ut, ge 
ſagt wird, 
| | — x20x(2: — 2x)!(1—x)! 
m = air löxlı—x) 
Dadurch wird mun | 
SPrıx=— ix hı —x)tzegtArc.sin.vörs, 2x0! 
JPxöx=  al,xt(ı —x)! + 2"}.Arc.sin,vers.2x 
‚ohne Eonftans, weil e8 für x=o ſchon verſchwindet. 
JPexx=—2:x1— 2’x: +0”, 
alfo DfPzox— AB/Pox — . is wer ; 
Ic— — 23x 3(1-X)!-+2tArc.sin.Vers,2x 
+ cc‘) 
Da diefer Ausbruck ð werden muß für x 0, fo wird 


. 


788 Bummirung der Reihen. 


me. in (102) le und wenn man jetzt x=ı, 


und für B und an ihre Werte — und ı far" 


119 } wär o 


+ x x“ . 
Ds Be — re — 
| ‚V2 Va 


| Ya 
alſo } 


— a 
J — 
R : 


wie Achin — | . 

Die Summe unferer Reihe, welche in der Hin⸗ 
Benburgifchen Bezeichnungsart der Binomialeoefficien. | 
ten fo ausgebruckt wird | 

1° FEB) + LO + ED)" + eie. in inf, 

| laßt fich ‘auch durch den don Lagrange gefundenen und 
in dem Arts, Binomial:Coefficienten, 17. vorgetra⸗ 
genen Satz erhalten. Dazu aber bedarf es eines. 
Ausdrucks für die Binomialcoefficienten, welcher vie 
Interpolation berfelben möglich macht. Ein — 
ei fich, folgendergeftal. 


Aug 87. bes Artikels, S$ntegralformel, ergiebt 
fi) Teiht, wenn man dort a=ı, nı feßt, daß 
zwiſchen den. Gränzen x=o und x=1 iſt 

I: 2. Zei. T 
a 3 A — —  \ 
TE 
wo aber erfordert wird, daß ma nicht I und r po: 
ſitiv ſey. Macht man hier: nun m+-r—=n-+ı, alſo 
m=n—r+1, fo wird, wenn man bie Solge der 
Faetoren im Nenner Iran | 


Fer = 2. Bearueee ET 
re aa)... art 

alfo 

n(in—ı)(n—2). fan—r+ı). : 1 


er 5 arten 8 —— — 


Summirung der eher 7 89 | | 


& if aber a ea — X 


nomialcoefficient der Potenz m, und da derſelbe 


a eh, p abau man fuͤr ihn 


| 
u den uöden — — — venn man 
| u x ck — * won — 
naͤmlich in dem vordergehenden n—r- flatt r ſchreibt. 
Jeder dieſer beiden Ausdruͤcke kann nun zur Spnterpos 
lation der Reihe der Binomialcoefficienten einer gemife, 
fen Potenz dienen; indem. r..ein. poſi a, [eg 
Tann. ts: BE a) if * 


Die Summe der Reihe REN u 5. — 
+ N +EB + eo° + etc, e ak, 


iſt nun zufolge des vorhin — Satzes %; alſo 
der —— zu der Stelle - in ber Potenz 13 folgs 


der rte Bi⸗ 


I. Zee n—r 


is, wenn man Bu und = ht, na dem 


7 
einen — dem andern Ausdrucke — — 


das Integral von x80 bis x=E genommen. Es 

iſt aber afx!axtı — x)! von x o an genommen Die 

Area eines Segments, deſſen Sagitte oder Sinus 3. Dee. 

fus x iſt, in einem Kreife, deſſen Dirchmeflee 135 . 
5 

alfo für x 1, die ganze Kreisfläche — 57 Daber 

1 49 

1 +. FED + + + etc = — Rn 

Fr w, 

*) In ben Institut. calc. di. P. D, e. XVII. $. 402. 

Exemp. Ul. findet Euler für den Binomialcoefficinten ber »ten 


I) 


788 Summirung der Reihen. 
— in a 02) C'—0=o, und wenn man vet x, 


m für a und Ari ihre Werte — — und ı fege 


Yo ‚Va 


” ne . r < ” Ey 
nr m IT — 
'2 


3 * u 
| V "Vz Va 
‘ale " | : 

a | R 
s=— 
2. 


wie aettin 
Die Summe unferer Reihe, welche in der Hin⸗ 

| —“ Bezeichnungsart der Binomialcoefficiens | 
ten fo ausgedruckt wird 

+++ (E) + (ID)? + etc, in inf, 
| läßt fich ‘auch durch den von Lagrange gefundenen und 
in dem Arts, WBinomial:Coefficienten, 17. vorgetra⸗ 
genen Sag erhalten. Dazu aber bedarf es eines 
Ausdrucks für die Binomialcoefficienten, welcher die 
Interpolation berfelben möglich macht. Ein Eeiae 
oh ſich folgendergeftalt, 


Aus 87. bes Artikels, Integralformel, ergiebt 
fi Teiche, wenn man dort a=ı, nı fest, daß 
zwiſchen den. Graͤnzen x=o und Xß ifl 

L; 2a Zersar. LT 


m(m+1)(m+-2)(m+3).(m+r) 
wo aber erfordert wird, daß ma nicht —ı und r po: 
ſitiv ſey. Macht man hier nun m+r=n-+ı, Alf 
m=n—r+ ı, fo wird, wenn man bie dolge der 
Faetoren im Nenner ea | 


Ka) = vn 2» rare — 
— — 2)... — 


Soli) = 


alſo 
—2. (a—r+ı)__ 1 
I. 4. 5. 002,902 8 “er fa" dx —x)" 


Summirung der Reihen. 189 | 


Es if aber ee); der rte Bi⸗ 


nomialeoefficient aus der Poren; n, ‚und da derſelbe 
— nahen p er, man ‚für ihn 


auch —— 
9 I. ee n— r 


v den et 
00 en A ggg 


naͤmlich in dem borhergehenden n—xflatt r ſchreibt. 
Jeder dieſer beiden Ausdruͤcke Fann nun zur Interpo⸗ 
lation der Reihe der Binomialcoefficienten einer gewiſe 
fen Potenz dienen ; indem x ein poſt civer Bruch ſeyn 


Tann, 87 fi * 


Die Summe der Heike Te FR 
+ m + Dr + 9° eie in 3 


iſt num zufolge des vorhin engeren Satzes %; alſo 
der er zu der Stelle — in der Potenz 15. fo 





üb, wenn man Zu und. = at, ni dem 
einen ober dem ordern Ausdrucke — ———— 
das Integral von x=o bis xi genommen. Es 
iſt aber ofx!axlı — x)! von xzo an genommen bie 
Area eines Segments, beffen. Sagitte ober Sinus > Dept. 
fus x ift, in einem Kreife, deſſen Durchmeſſer 135 . 
1 

alſo für x 1, die ganze Kreisfläche mn Daber 
| : | EEE ER u 
MID HOUSE. 


*) In den Institut. cale. diſt P. U. ce. XVIE 6. 402. 
Exemp. Hl, findet Euler für den Binomialcoefficienten ber Dten 


J 


- 


* Suhmicung der Reihen: 


| Man ſehe der letzten Summirungsart wegen die 
Abgandfung. Eulers de mirabilibus en 


vnciarum bingmii, in den Act.. Petrop, T . V. Pl 
nach. 
104. Exempel. Die Reihe 
LI 1.T.13 — EN 


| 35 etc. ininf. 
CR 244 ——— 


au ſummiren. ie 
Setzt man :. . id 
er LI . 14.1.3 — 1. I.L.3. 3. 5 


| 22... 92,44 | rc 
und nimmt — 


1 — — — — — 





— 





us m etc. 


1.1 un 
air mr ur -—— 


3 RE Pr — "2.46, 


Born ohefn Selen ze den A⸗sdeuch — — — 
355.5 en 





u3x3 ⸗ ‚etc, a! 


— 





| a 4 
Seit‘ man pi ni, — wie I ——— wie oben. 


Eulers Ausdruck folgt ſehr leicht aus dem weiter unten (107) bey⸗ 

zubringenden Ausdrucke le: das ker] i 

VNach demſelben iſt nämlich. pe 29801 re 42*4 
i 

— — 

Sant F)5(2n+5)7(20+7). (2n+3)(4n+3)(2n+3),. eter 


2 92,4,4.6. 6* —* 3. 6. 7er... 2nh1 
"ana 3.3.55. REN 2.4 6.8.04..,2n+2, f 

RR 2 — — a | 
antı 2 2,2.4.0.8,.,. ant2 


alfa 
I— — 24 2 2.4. 6. 4... 2042 
——— an+2 m ET" . au+f 
2..2.4.6.8.:... 2n 
er #13. FERRSE TEN 


Summirung der Reihen, 79 


Br: z — ge iR ———— 1.3 3 
fo IE.) Am = der = 
| | J 
u — ⸗ 1 u ER 
- Fe — al — — | — 
—— mir, fr i= ı, und 


u — 
uv 








Fı>0 ; Folalch va vr den 


Factor Ya aufhebt, 
— — x* — —X —-yß— ux)E 


ie cargle von x 8 0 bis =. genommen, 


on o * Werh von y für. us, d. i. bie 
Summe der vorgegebenen Reihe, ſo folgt 
ofztdx(r —x)+t = [x!0x 
Dei,’ wenn man die Jutegrale tuerteiß ber borges 
fchriebenen Gränzen nimmt, - 
| J. = 2 6 J J 


Die Reihe folgt aus der Rectification der Ellipfe. 
Da nämlich (Rectification, 9). * ( nd 


2,2 


. 


— —— — ec. ) ber Qua⸗ 
2.2.4.4 2.2.4.4. 6.6 

drant einer Ellipſe iſt, deren halbe große Are 1, halbe 

kleine =V/Cı —e), und, wenn e Dxr, die Eilipſe 

in eine gerade Linie ſich verwandelt, welche mit der 

- großen Are zufammenfällt, dev, Quadrant diefer zur ges 
raden ‚Linie gewordenen Ellipſe wer = if, fo ugieht 

fi 5 auf der. Stelle - 


792: Sam der — I 


‚x J pr Ba... WR used 23. 
2 2.2 — —E 4 


* 
- Kr “ 
/ j k i 
x ’« ’ 2— * — gap *8* uf — ‚etc, 
} 
" a bar W 
—— 


woraus wie ori folge, a 
"Den Gebrauch, welchen RR ‚son der — — 
mirten Reihe zur Transformation der Reihe fuͤr den 


elliptiſchen Quadranten gemacht haty fehe man in defſe 
fen Opuscul. varii argumenti, Te IL p. 338. u. 


folas. 5 
Ki | ivaz Mo 
— 
ern san —ñ—û— 
der Kalbe Umfang einer‘ Ellipſe, deren halbe — — 
— halbe kleinẽ = vu zu) 
Le, Sreurt,. Bi, Hefe... 
x 7 2 gi 
FERBE SIE SEHEN — weni, 
BET IT SET 
äu ſummiren. 5. 
Wenn man hier 
. ä „? 2n8 p8 „9 
E 2 ge tt 38° 12. 32.5*.7 ar 
8 a 2*4 | 2°.4°.6° el. ‚gi 4 ‚62, g* 
u — F Ba A — etl, —y 




















fegt ‚und 


I —E SER PEHE 
2.4 
nimmt, ſo findet ſi Mi ganz fo wie in (104) 
yrtdxı —x)t Z Artöxlı x) + un)! 
bie Integrale innerhalb der Öränjen x=o, und x1 
genommen, 


Das Integral rechter Hand Känge für. jo 
Werth von u von der Reetification der. Ellipſe ab 
Sür u=ı fey a der Werth von y, fo wird 

j N 


| 1.3. 5 
us etc, —(ı Fur) 
2.46" + + ) 


SGummirung ver Reihen. 793 


De —** ** — x J 
db. i. | J 
| z = a 


Set yon x=z', fo. en — 


— pe (1 =; a 


von, 20 bis z=1' genominen, 


nt — "yon 20 bis 221 die | 
| Sänge der rechtwinfligen Elaffica. Man ſehe Jet⸗ 
Bernoullis Werke T. IL, ©. 964, Sur man m | 


jene ‚Fänge A, fo wird | 2 
| hit, N ud ren 
j gr® 38386 Fr „gaben rT% * —— 
244 se Win ve . ie 


"Seirling. finder‘ (Method. älteren. Prop, 
xl. Exem pl. IV.) Aa 4, 311028777446eruneon: * 
Daraus Et fih © = 0,83462684167An aaueer- 


— Man kann dieſe Summe auch durch das beſtlminte 
20 
Integral —— * II J— ausdrucken. 


va⸗2* 
Aus Integralformel, 64.) naͤmlich folgt, "dag, 
innerhalb der Graͤnzen «6 und, x=ı, iſt 


xindx xutıd% 1 * 

—— Vıx). Fahr is v 
Setzt man hier x 2X, wo.A pofitib ift, wodurch bie 
Graͤnzen nun. 230: md 2 ı werden, fo wird 
erhalten | | 
zat-idz zenHiıdz 1 | 2 
vu- Gaza) va—) anfr 
wid ı wenn Man jege An HA—ı u ſetzt, — 
2a + A—-ı—uH+i,: und arten 1 
wird, ſo entſteht 


"794° Summirung der Reihen, 


S—- — —* zu 7202 — Se 3 F 
—e vVa—z%) Mut 2 
Nimmt man Gier u 12, und regt ben 


Lerch des Integtals SI — — 0520 bie 
21 genommen, —B, , fo fe rn | 
*8 510 
a; WR — AR = © en 5. gt 
Aid 0. BED BET -S Wh ev TIERES ’ 
und Ä —* — Se 7} 0 
., aß 


| Die Größe B, welches die Ordinate zu dem Ends 
puncte der tectangulären Elgſtica ift, hat Stirling a. 

0. O Exemp. IE %leichfalls berächnet,) und =. . 
0,599070117367 x... gefünden. Gaufß hat feine 
Rechnung beſtaͤtigt in ben Abhandlung Disquisitiones 
generales circa seriem infinitam etc. Commentatt. 
Göttingens. a. a. 1812, _ Ä 


106. Durch die Reetification ber Ellipſe wer⸗ 
den die Größen A, und B folgendergeftalt beſtimmt. 


N ift ganz allgemein - —— | J 
202 — dı ı + 2)d2 
ran 5 tr — —29 "ylu- 2%) | 
/av( : = = >=) 
Es ſey 1 — 2 ub, alſo im und 


Zain 


Eee) 





= vw); z=r 





N 


Summirung der Reihen, 795 


ı +22 


, Nimmt man ‚foavV (= =) von 2ı=o dis. 


*5*2, ſo muß man ee. von u=ı 


bis u=o nehmen der Gleichung ı — z’==u* gemäß. 
Nun weiß man aber auch, daß wenn man die Gräns 
zen, eines Integrals umkehtt, das Sphtegral dadurch 
den entgegengefegren Werth ‚von dem, welchen es vors 


bin hatte, befommt. Denn der Werth des vollftäns . 


digen Integrals Ex) + C, wo F das Functions⸗ 
zeichen ift, von x—a bis x b genommen, iſt — 
F(b)—F(a), von; x—b bis x—a genommen aber, 
Fa)— Fb) = — (Fb) —F@)). Aal | 

Hiernach wird alſo 


— — 
=Puv I — —* = 2 


de] 


Es iſt, wie ſich aus —— 8) leicht er⸗ 


giebt, (v >). ‚fouvV (u) von uZo bis 


azı —— der Quadrant einer Elipſe; fuͤr 


welche a == vare * =) * b = aycı — et‘) 
=. Sotä in (vv) 


die halbe Peripherie einer Ellipfen, deren Are v3 und 


1 find. - Hieraus erhellt die Nichtigkeit ver Ber 
hauptung Stirlings a 0: O. Exempl. IV. 


Sest man den Quadranten einer Ellipfe, deren Halbe 


YArna=ı, b vi find, —E, fo ift der Duadrant 


einer ihr ähnlichen ade deren halbe Aren a*VA 


796 Summirung der Reihen. 


b find, Evf# und die Laͤnge der halben Peri⸗ 
pherie — 2EVEZ.EV2. Vermittelſt des jegt und 
in (105) erwiefenen_bat man nun 

5 A B Ba 


4 


woraus, weil AB, re: | 


Ä 2 
! 1B Ey V(eaEE—r) 


— — 2 | oo. . 
folgt. Sucht man, alfo einen Winkel ſo, daß 


Vmrı WR... 
sin / * = zn en 
A rs x or 


= j en . 
—— 


Die Groͤße E- Fann man aus einer Tafel (Tab, 
VIIL) in tegendre’s Eixercices de calc, intégr. 
P: III nehmen. Gie ift = 1,350643881048.., und 
log. vulg. E= 0, 130540885400... zufolge Tab. I, 
eben dafelbft. Damit finden fih A und B wie vor 
bin angegeben iſſt. Di 

107: Es ift noch ein Weg übrig, die Summe 
unferer Reihe zu finden, nämlich die Darftellung der 
beſtimmten Integrale durch die von Kramp (nach Ars 
bogaft) ſogenannten Factoriellen (Faeultaͤten), wovon 
Euler in ſeiner Integralrechnung, T. J. c. X., und in 
vielen, den afademifchen Sammlungen einverleibten 
- Schriften gehandelt Hat, und die von ben Analyften 
nach ihm, unter andern von Legendre und Gauß, 
fleißig bearbeitet, zum Theil vereinfacht, und betraͤcht⸗ 
lich erweitert worden ift. Einen Sundamentalfas die⸗ 
ſes Theorie, welcher Bier gebraucht wird, werde ich auf 


N er , 


u Summirung ber Reihen, 797 


eine andere Art, als von jenen ——— geſchehen if, 
ju begründen fuchen. 

Es iff, wenn man Ga nach dem Binomi⸗ 
ſchen Lehrſatze entwickelt, 


ya ymtr 
— — x’)? — ns — — 8 —— — 
m ı m-+r 


nm me mnanen te 





— —— —— — |, 
1.2 "mar t.. 2.3. m-+oa3r 


+ eic, vo... u C. 


Sind alſo m und x pofitive Zahlen, fo har man ins 
| nerhalb der Örängen x 0 und xX1 

| n. 2. U Ss 
— * — n1 


— 





——— — m+ar 


n,.n-1.n-2 . 
— — + e etc, 
02 2. 3 Fe 3r 


p. ie, — des in der — zu (39.) ange⸗ 
is ae Ä 





I 


7 — — .N. r" 


SE ——— 
m(m+r)(m+-27)(m+31)..(m+ne) © 

wo aber vorausgefegt wird, daß nn eine ganze poſitive 

Zahl‘ iſt. Schreibt man jet mr ſtatt m, fo wird 


2. 3: .... „er, N 

mem öxli-Kj— a 
F a: 7 (m+r)m4+2)(m+3). .„.(m-+n) 

Soll n hier — beliebigen Werth erhalten Fön: 
nen, fo muß der Ausdruck. rechter Hand des Gleich- 
beirszeichens eine ſolche Geftale annehmen, wobey fein 
Werth zwar ungeändert, aber die Befchaffenpeit von, 
ob es eine game oder; gebrochene, pofitipe oder nega= 
tive Zahl ift, ohne Einfluß bleibt. Nun beftimme n 
in der jegigen Geſtalt des Ausdrucks die Zahl ber 
Kactoren im Zähler und Nenner deffelben. Kann man 
| alfo jenen Ausdruck dahin abändern, daß, unbefchadet 
feines Werthes, die Factorenreihe im Zähler und Nenner 
nicht abbricht, fo kommt die Defchaffenpeit bon nn weiter 
in feinen Berracht, indem für alle Werthe von n bie 


"8 Summirung der Reiben. 


Anzahl; der Factoren dieſelbe (unendlich. größ) ift. Je⸗ 
nes wird dadurch erhalten, daß man Zähler und Pen: 
ner, mit (n+ 1)(an+2)(n+3);..... etc. in inf, 
x (mn +i)m+Hn+2)mHn+g rn 
etc. in inf. multiplieirt. Dadurch wird nämlich 
mrfxmroxlı x)" ER 2 


Eu ı(mtntı)a(mtng42)3(mtnt3)..:. . etc,in inf, 
* (ntı)(m+ı )n+2)(m+2)(n+3)(m+3). etc. ininf, 
wo nn jede beliebige Zahl, nur Feine ganze negative 
ſeyn kann, wenn der Werth des Integrals nicht un 
endlich weiden foll, 2 

Einen Beweis a pösteriori. von der Richtig⸗ 
keit diefes Ausdrucks gewährt der befannte, aus andern 


- Gründen erweisbare, Walliſiſche Ausdruck fuͤr =. Wenn 


— ——— ZI 
nämlih mr— ı = 0, 1=2, n=— ‚alfo mZo, 


m-+n=o if, fo mir, mr ar öx(ı — x’j* 
ö EEE | 
— —, welches von xZzobis xZı ge⸗ 


V(r—xx) 


| ‚. nommen nach Integralformel, TR — ift. Der: 


- möge unferet Formel ift alfo- 
”*:- 1.1.22 3.3.0.0000 etc, 
— —— 2 * 4 
2 J. IE DE IE De DEREE EL 107 
2. 2. 4. 4. 6. 6: 22... etc. in inf, 
1.32.3255 Teoo... eto, ininf, 


welches Wallifend Ausorud iſt. 


Bezeichnet man nun mit Gauß lin der unter 105. 
angeführten Abhandlung) die Gränze, welcher ſich die 
Größe 


-Suminirung: der Reihen. 799 


eg rien Ki 
“  E&FNMZRFEEH ZI... (z+k) | 
‚bey unendlich wachſendem k ohne Ende nähert, durch 
Ne, fo verwändele ſich die, obige Gleichung in diefe , 
et x I-xv — | 
TE — 
Iſt mi 170, = 4, n= — Er alſo 


m=-,m+n=- eV ſo entſteht hieraus 


4 
FL U [ 
| Vu—x‘) 1-4) 
und auf ähnliche Are, wenn mr— 1222 if, 
T: x*%x  -MS-H 
VG 
Die Werte der Function ITz für hegative des 
brochene Werthe von z ergeben fich aus denen für po: 
fitive gebrochene z. - Da nämlich. det obigen Erklärung 
zufolge oe - | . 
"DNZ+1) _ (z+ık 2.0. z#i 
u, nn —— 


— 7 
’ 





I 
| k 

| für k= © aber 1 +’imı ift, fo wird 
= IZ@-+1) = @+1)Iz 


; —— 
und hiernach, wenn — iſt 


IK-3) = 214) 
und eben fo | | 


14) = nqh | 


800 | Summirung der Reihen. 


Gauß hat. feiner Abhandlung eine Tafel anges 
hänge, welche die Werte von logHz von zo bis 
‚ z=ı für alle Hunderttheile vermittelſt der Formeln 

in’ (44) und (45). auf zwanzig Decimalftellen berech—⸗ 

net enthaͤlt. Eine Ähnliche Tafel’ finder ſich in Legen⸗ 
dre's Exercices T. II, p. 86, et. suivv, für alle 
Tauſendtheile des Intervalls on zo bis 213 
boch find die Logarithmen nur in 12 Decimalftellen 
angegeben, - Zur Vergleichung iſt zu bemerken, daß die 
Function, welche Gauß durch IIz bezeichnet, bey tes 
gendre I’z+1) Heißt. . Vermittelſt ber einen oder ber 
andern dieſer beiden Tafeln laſſen fih nun die Werte 

| x xtöx 


SEEN 
ber beftiimten Integrab [I —— I — ar 


— a — — 1°, 3? 
und damit die Summe der Reihe — — 7 — 
8* r * J « 


1, 30/58 | Moon | . 2 u 4 £ \ 
— 2.0 4 etc, (105) leicht finden. 
| | z⸗ 12, 3°, 5* 


BB U 5 
0b Die Reihe a rg: 


+ etc. kommt in dem Ausdrucke für die Zeit des 
Falls eines ſchweren Körpers durch Den Quadranten eis 
nes verticalen Halbkreiſes vor. Heißt nämlich die Zeit 
des Kalls durch einen Bogen, deffen Endpunet in bie 
Ruhelinie fällt, und deſſen Sagitte oder Sinus verfus 
c für-den Halbmeſſer x ift,. t, fo iſt Ze 

m r | it © u 2) 


2 V(2r—c)g 2° 2r-c. 2",4° \2r-C 


—F — 8 ® 2 E ‚© 5. j 
oma 133 . (—) + etc, 
Ä | 2°,.4°,6* Nor-c 
wo g bie Höhe des freyen Falls in einer Ge an⸗ 
jeigt. Kür den Quadranten iſt er, daher bie Zeit 


des Falls durch benfelben 


— 
— 


‚Summirung ber Reifen, 80 


vn’. 1 sng® _13%5* I; 

IZal — 2°; 28,4% 2 21.48.08 6° ea -etc, ):vi 

| Diefe Zeit Bert 4 fi 6 alſo zu der Zeit des — 
durch einen "unendlich kleinen Bogen, für welchen —— 

En wie. bie Summe der eingeflanunerten: Reihe zu 





Wr d. F wie 918346268 ; 17011068 "ober wie 


59: 350 naͤchſtens. uhgens (giebt im erften, Aa 
feines ‚Horolog, oscillator, (Opp. var, RE 38) 

für jenes Verhaͤltniß das annaͤhernde 34: 29 an, mel 
ches bon dem 59:50 nicht ſehr beruht, ee aber 
‚hitgends ‚ wie er ſolches gefunden habe. | 


‚Aus dem. gewoͤhnlichen Ausdrucke fuͤr die Zeit. £ 
| det — durch einen Kreisbogen, welcher Her. 


SCH tr 


* Fe Fe & + Eur 


folgt das Verhaͤltniß der Fallzeit durch den Quadran⸗ 
ten ‚DW Berienig. durch einen — — Bogen 


een ge 
— — WIE 3 


A M 5 





I 


r „etc, ? 21. 
Die Sum Ser Reihe im Vorderolebe dieſes 
| Berkältniffes ergiebt: ſich aus (205), wenn man dort 
= macht, und iſt * ER 

Ox. 


EEE RER A Mac TREE BE UR SE 
= Va—x)ı—4x)| xl 
— * wird 


—— 
—* Setzt man 


———— -] x—o 
en .KE a 


: 802 Bo au — 


„4 — 
Be In RI — 

— — he r 9 s 

2 A — iR 2 * * be 

neh a 3 H- en — =“) 2*1 


4 


{ei Te jr 4 aeg 
2—o0 
Das Semmte Sntga FR. — 


ad in Cı 109), als bie änge, ‚der Frtengaldrn la⸗ 
iea angegeben worden, it andy die Knge eines Qua⸗ 
vranten er were ©. he ———— De 
| gr man it Bezeichnung von (105) ben, fo wird dos 
Derhätmiß:der Zeit des Falls durch den Quadranten 
eines. Kreifes jun der — einen unendlich kleinen Bo⸗ 


der‘ ah Be = £ — pet dies mit va vorhin 
woeerbenen —— | AM 
No, hie — * F — 


| af Pie 1557 — 9,58 „5%. . * 9 
urn a" ® ge — * * — zii gu v 
d 
| * ——— * — —* 


— ua i 3 


Br OR air fi s nu leicht, daß die Summe 
ber Beige 1 kur 24 tr si — + et, Auyende 


‚lad 


lich droß if Miete — ir naͤmlich aus (105) 


1 — 44 
+. J 


wenn man dort u —1 nmiacht, ⸗ 
— Ba xo]| 
nie töxlı- |: u Eam ase —* 
—A 





ſo genommen, daß es für x=20 verſchucnde,, ig ve 
welche, wenn man K=a ſeht, unenblid) groß wis. 


Summirung der. Reihen. bg 


enter men auf bie ‚Neiße, t +- vi — * etc, 


2?,42 
bie in dem Art. Summitbare ale 22,, aus Maelau⸗ 
rin angefuͤhrte Regel an, indem man A, B, C das mte, 


— te und (m+-2)te Glied ſeyn läßt, fo. finder fich 
(zm):(2m-}+-A): otı- ArB ; Zwar Gm—ı) 
— (amd B-C” LE | 


‚Sal er: wi ER, fodieh a 0 


24 


* (am)'(am, +3) Im — 5— 


I6m⸗ + 1200" = 


Regel „die Montuela ſehr Tab ae 
"Summe'zer 9 — Bla ® doch nicht 1 
Fuͤr die | ber. Gaußiſchen in jenem Art Fr 


M'‘ ‘ — 
mm — 4m T I 
iſt — F 
mitgetheilten Dr iſt MR 7 — 
mm—-m-+7' vr w' j ra 


— — alſo —— = 0x. Berl 


mm 
nehmen ,. ‚weil A < a. ift,. zwar bie. Glieder der eibe 
unendlich. ab-, 8 die una 9 Reihe ift gi eil 
a—Azı, dennoch unendlich. Es muß, indeß zur 
re Diaolawein’3 Hier angefüger werden, daß die obige 
von Montucla ihm zugeſchriebene Regel nicht von ihm 
ſelbſt herruͤhrt. Er nennt aber den Urbeber derſelden 
nich t mit Namen € 
a nd), BIER —B i — Br A | 
109. : Epeitipelit Die zu —S Reihe fey 
— En 1), — 
— . 2 Ya 3) Auto 
tete) BEHNEH) 
F = 2. F Az — — 
— | F —— 








14 


# 


> Summirung der Nahen. 


Nimmt man hier 


— ———— zx⸗ 

8 ne . + etc, 

ö (tun) | J — 
BB. 


fo- ft im. (99.) “=. ee = 48 


— I; ſenr — = 
—— Dante die Beingungen i * — 


9 
nd. 


an, iu haben, muß B= 1 >60 und y—ß>o 
ſeyn. Folglich müffen 6 und y pofitiv,. und y>P 
Be Hat biefes Statt, fo wird die Gumme ber 
Mei 





ua 1 >>, und ale jene von i= 


— idxci —x)y-B-1(r— ux)* 

J a y= Proz —xjy Pr J 
Die Opntegrafe von zo bi. genommen, und 
m; als Eonftante behandelt, | 


Die Summe 0 für den Geftiiameen Wer u= 
gi en durch folgende Formel dargeftelle, 
e Jr öRlı- Ox(r — M⸗ "Br — J— 


— 
Jsrröxti - 'öx(i — * x} 


Aus (1 07) if. 
— „Fr=27. m HB. Iiy-a-ß-1) 
1% Or —xyr er — Be) 


ut, ad RN 


Summicung ber Reifen, | 805. 


1 BER y us. IIB.TH(y-B-1) 7 
fap- öx(1 x)y Pr 55* % 


Rn) 

Dadurch wird | R | 
u Ay). FHy-a-P=r) 

IICy-a-1).IICy-ß-1). 
wo aber, damit a nicht unendlich werde, noch erforder: 
wird, daß y—a—ß weder o noch eine ganze negative 
Zabi ſey. — Der gefundene Ausdruck für a ſtimmt 
mit dem von Gauß auf ‚einem. anderen Wege — 
nen uͤberein. Pe 


At a=ı, ſo wird — 


B. BB+n . BBHıXB +2) .. | 
* 7 5 1) Eee 


_ 2-1), Iy—B—2) 

— Iy—2).Ugß—i). 
folglich, da (107) Hy—ı) =(y—ı)Ily—2), ab 
eben fo a 

—— | 

—— vB: 
wo nur erfordert wird, daß 4 und 7 poſiti itiv, und 
Y>B+r fey, wenn die Summe nicht unendlich were 
* ſoll. Dieſes iſt die oben in (97) verſprochene all: 
gemeinere Begründung ber gegebenen Summe, Üübri⸗ 
gens Fann auch A eine negative. ganze Zahl ſeyn, und 
dann folgt die GSummirung ‚entweder aus der ſchon 
mehrmals erwähnten Melation der Binomialevefftciens 
ten, oder aus dem Eulerifchen in (11) beygebrachten 

Sage auf folgende Art. 


Es ift, + —* — BR 


— etc. für die dortige Reihe a + ax + ax" + etc. 
genommen, s=zu—n)P; alſo 5* — Bu—x)e-; ; 


SB  Summining: der Reifen. 
* | 
| nr * = 


s > — alt er; 
u. . 104 Gene iſt — 15 Az F Aa/V — 
en us f wi, und es ergiebt: ſich 
KM —— A⸗ “= —R — 
T 7 -7+2° 
isrfeie — — — Dadurch wird 
— die Simme ber Re ı "x + er“ nun 
EB: 2) ; + eo 
ern — 
= - ti —x) + Bar 2) u 
| _r 7 


Sit ß: eitie a. 2a. fo Seide bieſe Reihe mit dem 
Gliede — | 
— 
ſo verſchwinden ale Glieder in Z bis auf das legte, 
und es wird 
_ _ BBYB—) — 
770 —) y+B-ı 


og”. Wenn von Meihen ber Art, als von 2 an 
bis hieher ſummirt worden, nicht die ganze unendliche 
Summe, ſondern nur die einer beitimmten. Anzahl Glie⸗ 
der vom Anfang der m. an gefucht al fo ijt die 





— ab. Macht man nun X1, 


| Summirung Der. Reiben, 807 


bisherige Methode fo gut wie unausfuͤhrbar. Wollte J 
man z. E. ton der in (92) ſummirten Reihe die 
Summe der re Ölieder haben, ſo müßte bie. 


Neiße ı+ * 4 Zar -+ etc. vom dem Gliebe an, 


welches in — — iſt, ſummirt, und. der 
Werth diefer Summe für x i von dem in (92) ger 
fundenen Totalwerthe abgezogen werden. Man wüßte, 


alfo die Summe von. ° =" | hi 
1.3.30: 1999 1.5, 14 — a2001. 2003 ze 
4.6.8.... 2002 —* 2004. 2006 
u + etc. in inf. 


fuchen, wo bie Cıman der — Reibe =y 
durch die Gleichung | 


(ix)! xeoy == 1001 — X. 


beſtimmt werden wuͤrde. Welche menſchliche Geduld 
möchte aber hinreichen, die Entwickelung des Integrals 
zu vollfuͤhren! Man muß alſo zu den allgemeinen 
Gliedern diefer Reihen zurückkehren, und aus ihnen die 
Summe durch die umgekehrte Methode der Differens 
zen ſuchen. Die allgemeinen Glieder gehoͤren freylich 
zu den ſogenannten inerplicabeln Functionen, laſſen ſich 
aber doch, wie die Factoriellen mit gebrochenen Expo⸗ 
nenten (man ſehe hier, 58) gleichfalls vermittelſt der 
umgekehrten Methode der Differenzen durch unendliche 
Reihen darſtellen. Diefe Reihen müfjen aber nach den 
‚fallenden Potenzen der Stellenzahl x georbner feyn, 
damit für große Werrhe von x wenige Glieber ' ‚ber 
Reihe hinreichen den Werth des xten Gliedes ober die 
Summe von x Gliedern der gegebenen Reihe zu_bes 
rechnen, indem, wenn die Summe verlangt wird, für 
Eleine Werthe von x der gemeine Weg der Addition 
einzufchlagen ift. Es wird alfo zuerft nörhig feyn, von 
der Erfindung der allgemeinen Glieder zu handeln. 


BOB: | Sommicung der Reihen. 


u, PIOs Es ſeyen FT und: Th} zwey zunaͤchſt Auf 
einander folombe: N einer Reihe / zwiſchen denen 


die Relation I PT T, wo x die Steliengahl 


don T oder T’ Ay aber eine unperänberfiche Größe iſt, 
Statt ber, man ſo irgend ein: ‚Glied dieſer. Reihe 
Ye 
Da wr =ıT = x(C+ AT), fo wich 
— xA 
Mar fee‘ der Erinnerung in (1 09°) gemäß. 
T- Ax" + Bxun CH? + Dx" Tr etc, 
fo wird, weil Ax—=ı if, 
— x") + B((x+ 1) —x"-') 
+ C((x+ ı)"2—x?-2) + etc, 
* wenn man nach * Binomiſchen gcheſade ent 
wickelt und mit x multiplicirt, | 


| ——— —* —8 er 





Ax’=2}. etc, 


— 5 — R * —— ap pci 


Pr "aa 
Da nun 


nT. = nAx” + nBaxn-ı 4 nCx- er etc. ift, fo 
giebt die Vergleichung der Eoefiicieninn zu den gleiche. 
namigen Potenzen von x, 
B a 
I. 2 


| .n-2 | | 
05 Er) — 
| Es n- — — | 
— Ho pm a 
RT 7 3. FR = 
"E= meter „nn, 
4 


3. 
n(n-ı)(n-2) 


3. 4. 5 











Summirung der Reifen - 809 


wo das Geſetz des Fortgangs Klar iſt. Der Coefficient 
A bleibt — und “muß in jedem Falle befon⸗ 
ders beſtimmt erden. — 
Die vorgetragene Aufloͤſung giebt Strielin g 
Methòd. diff. Prop. XXVI., und ya. ihm Emer: 
fon- Method. of increments, Probi. XVI. Keiner 
von ‚beiden ‚fagt, wie er zu. der Annahme FT Axı- 
tr etc. gekommen ifl. Zu dem Ende bemerfe ich, 


Pa — 5 OT oT, ’ Nr 
daß/ da nT xXAT FE *— +) 


* - 


1.20x* 
xoT -..., 
ift, man naͤherungsweiſe aT = u bat, woraus 
T= Axt folgt, wo A die durch die Integration her⸗ 
eifigebrachte Conſtans iſt. u SE 
> Auf den Fall nı iſt die gegebene Auflöfung 
nicht anwendbar. Dieſes gilt auch, wenn.x nicht die 
Stellenzahl, ſondern eine lineare Function derſelben iſt, 
weil der Factor — 1 in allen Gliedern außer dem 
erften bleibt. Wie man, wenn n=r ift, helfen 
Tann, wird weiter unten (122) gezeigt werden. - | 


\ . I J 
au. Exempel. Die Reife fen. 1, —a, Zr 


6 i . j . 
Reihe nach der Ordnung anzeigen, fo ift, wenn x die 


Stelle des Glicnes T if, = T= — alfo 


Er 4 u. ſ. w., wo a, b, c,'d bie Glieder der 


in. (ie) n=— — rund man erhat © 


N 


810. Summürung der Reifen, 





— F 
5 nee 
»5(8- — — 
6 
—— — 24 

32 —* 
39 RE F 

Fu E— -—D ——— I) 
En ie ur euer — 
ve ade . Du N Sb. gr? 6237 Pr 
ere. — Er j Er . 00. eg 263144 
Dicken iſt = | | 
2. : wog: 2 1659 

Ä 1* nö. Br Tees. 
F * + * me „+ no2gx? 32768x*;, 


.: „6237 _ 1) 
+, . 26214435 — 


Um den Soefftiencen A u beftimmen, berechne 
man ein etwas weit vom Anfange der Reihe entferntes, 
Glied nach dem bekannten Bildungsgeſetze der Reihe 


| wirklich, J E. das 16te, Es ift —— 2 


—R ...Dieſen Werth ſchreibe man für 
T, und für x — eg — 16, fo iſt 


A 
6 — — 1 etc, 
0,144464448 = | + 3* — ) 


Die Summe der — Reihe finder fih — 
1,92422627, und dadurch A—0,564189583+ i .” 
“ —* 


¶ Dieſer Werth iſt aber au, = * wie folgen⸗ 
dergeſtalt erhellt. Man fege,x—n, wo n unendlich 
groß ift, fo ift der terminus infinitesimus dem ger 
A’ ;- ER 
fundenen Ausdrucke zufolge = vermoͤge ded Ge⸗ 
\ 


Summirung der Reifen, sit; 
re 1.3.4.7. 20 ! | 
| — — 
ſetzes der Reihe aber — = — — Kun iſt 
nach Sens betanntem Ausdrucke F — der — r- 
1.3. 5. ... .2n— si 
2.4.6..... 20 ev@ >. —* 
v- 2 
nes Glied auch — — iſt. r ein unendl 
9 = Zap N Se is 
großes nm ift aber.V —J von Vn nicht. berſchie⸗ 
den, daher A— v-= = 0,564189583547756.. +: 


Werth von 





Man alſo 


*4 


„105, 
— — 


T= 4 
— x 4 er * 4024x8 
nnabagii u 
— ⸗¶ — t 
* 32768x * .) 


wodurch nun die etwas weit vom Anfange der Reihe 
abſtehenden Glieder leicht gefunden werden koͤnnen. 


Da (Binomiafeoefficienten, 13.) für wi , den 
mitteiſten Coefficienten in der Potenz an, iſt 
N. 1.3.5.7. 000. 20n—I 
zen 2 .4.6. 8....... 2D, 
die Groͤße rechter Hand aber das (n+ ı)te Glied uns 
‚ferer Reihe darſtellt, fo wird, wenn man “at L 
macht, 
en | | ER 
= Var 6 IT — * 32(2n+2)® . 

1 105 1659 
— ——— — ———— ———— t 
* — ie «.) 


HD Summirung der Reihen 
Hier fi r nd die. Coeffielenten des Reihenausdrucks 
bis auf die Vorzeichen einerley mit denen in. taplace's 


Ausdruck fuͤr — in (54), und laffen. fi ch daher 


auch durch bie daſelbſt gegebenen Formeln leicht weiter 
fortſetzen. Dan’ ah übrigens. — Bergleigjung 


beider Ausdrücke für 
+ 2 

an) EN 

4105 
| r ı28(an+32)° + en. 
Ä — — 
—— — — — — 

ie) 4(2n—ı) + 32(2n1)' 

e u — 105 

128(2n—ı)? r a) 
wo n jeben beliebigen Werth haben kann. | 


el + 





Auch ergiebt fi ch aus dem Werthe von log wi 


| woraus die Saplacifche Formel für — in in (54) abge⸗ 
leitet iſt, noch leicht Felgenber — fuͤr ——— 


Logarithmen 
21 — 
+ —— — ru —  _— +eis, 


s(n+ 2) q(en ve, — 


a, 


M 
fo daß man alfo in allem vier Reihen für les 7 7 


und eben (ie ie dat, 


y 


Summirung der Reihen. 813 


D 


| 11. Senne. — ße m 1 707 2, 


Fa Za, u. [. mr wo a, b, E37 Die vorige 


den — ſind; man ſucht den ‚allgemeinen Autdeuc 


eines Gliedes der Reihe. — dh 


Denn x—ı bie Gtelle von T, alfo x bie Stille 
2x—3.. x 


Ti 0 at man T' = ——T-—r,; 
von — — * 


ER 

Ei ng 
atfäee Besung ' 
T — 24 328544725 


= — 
| — * 128x804024x· 





FR 2284 27 
2 ZU, m) 


32768x° 262144x° 

Um A zu beftimmen, fuche man das ıgte Glied der 

Neiße, indem man x—ı==19, alſo x 20 ſetzt. 
5.23. 29. 31.33. I 

Es ift — — ———— 58; und man 

erhält | # j 

Pi 0,35 


A I. 
6 ee Fre a er 
IR 950558 = V 30\20 * ‚8.20° r 128.203 


Ex — V20 . 0,9550947 | 
woraus u 
A= 0,5641892 

gefunden -wird, - -Diefer Werrh ſtimmt mit dem in 
(sa) für das — A gefundenen in den erſten ichs 


+ e) 


! 


\ 


814 Summirung der Reihen. 
| Decimalfieiien. & überein, ‚und es pt fig auch, wie dort 


da 8 
zeiten, doß berfelbe genau = F — m in dem für ein 
aungndlich grohes u —* —* 
Ru R FE In. TEILE 2n—I._; 


4.6.5.....,2072\ Save u 


- 
4 | — X 
ee 2 


| Ais. ——— einer  Deihe fi nd tour bie 
Gleichung To | -— Bu; —T —— wo x eine uineare 
Function der Sallſecahl ift, 5 oder and) die Stellenjahl 


felbſt feyn kann, man foll den, ‚Allgemeinen Uuarug 
eines Gliedes finden. | 


Da (x -+r)T = — = xx(T +AT): ſo 
wird T=xsAT. Hieraus ift näßerungsmeife‘ ıT= 


— Piss, weil ſich x mit der Stellenzahl 


Tr 


PER 


— BT. 

geisfomi — — alſo Ax. nam äh, nz — 
xxx” = 

woraus du) Antara 7 T=Ae Fa = 


aim au — .— + ec.) De; 
j Man ir a | Be. 
= 24 +— — + +5 tete fo ift, wenn 


man — —— * 


Au Bw Bu? — 4 — 
xx 3 x4 x5 
c 3062 3 
VE ET ao" "Di 3 3983 — etc. 
— 


J e 
ft I ar er — —E—— 6Dæei won 
x* x> 
tee ee ds. Ei) 
ne ne er LE ee Tri tnste. 


* - ' . , er 
Gr a Mi .: o. 1. * y X X vo. - ZZ...“ Grit; 24 
z x 5 — et 


x? x x+ 
——— 3 -— But — 
—— — Feic. 


11 dX * x. x’ 7 xt j X 
; 230 Cu? „ Cw3 Cw+ 
( — 28 un — 
Kb ir Ei .y* x a > = x+ 
3Dw 6Dw? 10Dw? 
za. 7 09) ze. | 





233 -F FIRE FOREN 4 J * J Eieic. J 
m bie Bersleihung de APR igen Potenzen m 
2 siebt Gear ch 








C= B— — J 
2W rn BRETT u ri | 

„sww=n)e—Bws ne er VER, 

⸗— nn Er - 

zw. | 
x—⸗  6Gww—n)D—4Cw34 Bas 
4w z 
_ Tıoww NE oDws+ sEwi—Biws : 
— — — — — —— — — 


sw 
An + a RN * | 


u. 





J 1 
* 
etc, 





816° ·Summirung der Reihen 


wo man das Geſetz des Fortgangs leicht bemerken 
wird, . . 3 > — 

Eine andere Yuflöfung erhaͤlt man fo. Man be⸗ 
zeichne die ſucceſſiven Werthe der unbeſtimmten x, wels 
che find % x+w,x+ 2, x+3w, u, ſ. w., durch 
SR IE U 7 


- — —* — —18 — 20 


y 
. 33 u T z. 1 J 
x x 200% x — -X Kor, X x — — 8* ir 
z 2 * a "2 ':m \ 


—— — e— 


I — = " — (= — 1 ) 
ME —— x\x "x+(arı)w 


EEK. X 
2 n+ı 


Nun ſey De 

7 ‚ B u C - i D. * E | 
TA — — — En Sig e 
Pt ah + x er Tr ge 


z ı®2 8 





ſo wird pn 
Bw  2Cw Dw Ew J 
XX XXX Äs.,X Kor.‘ * 
1 ı 2 3 
alfo i 





— .x . x 
1 ı 2 u A 4 
an = etc, 
x? x®..., 
Hier find; nun nad =—, ——, u. ſ. w. in andere 
nn. BX XXX | * 
112 F 


Bruͤche, deren Zähler unveraͤnderliche Groͤßen find, au, 
serlegen, damit die Toefprienten A, B, Un = 


- Summirung der Reihen. 817 


' Gängig von der unbeflimmten x ausgedruckt werben 
fönnen. Zu dem Ende ſey 











xx _ A u B + € 
XXX K,y.» X xx X,. X XX 44» xX > — X 
12 n —12 mer: 1 n-1ı n 


wo A, B, C noch zu beftimmende RR find, 
Bringt man rechter Hand alles auf einerley‘ Benen— 
nung, und ſetzt ſtatt x, x * Werthe x Ha, 


x -+ (n— ı)w, fo wird | 
x" Ax⸗ + (an ı)w 4x + nn — Dur‘ 
+8 B 


„+ nw 


Hieraus wird A— ı, 83 — — (n=1)o, © 
anw*; fo daß 





* 1 (ann nnw?® 
XXX... X XX.... x XX.... X XX. .... X 
12 n I n2  ı.m=ı _ı n 


Um die Zerlegung von = zu haben, mulkiplicire 
man beiberfeitd mit x x..... x, ſo wirb 
23 n 
x x (2n— ı)wx 


xx — z nnw?® 


—— — — 
— 








= xx x ar 


und ivenn man nun n=ı macht, und fi erinnert, 
daB * 


x w w* 
> x * 


Die uͤbrigen Sälle geben fich durch die allgemeine 
Formel. | 
Man hat nun 


rB r0 rD 

rl. rA Le — 
an 

‘x 12 


818 Summirung der Reihen. 


und, . wenn man auf die gewiefene Art reducirt, 
Bu? Beos 2.4Cw3 





* XXX 
12 
20 2: C: Zi Dw*® 
BEE br Mei ARE Beil — + etc, 
>. 
x z > 
* 3Dw 4Ew 
— — — ett 
xxXxx 
| x ı2 
11 
woraus durch Vergleichung der Coefficienten zu — 
1 
u. ſ. w. entſteht J 
| A 
——— 
| w 
ww—r 
I B 
2w | 
D=- (2.30 —r)C—Bw3 
a &smnD 2.4008 
or ae 
zu Gme—HB-3.0Bu 
N = a 
6 ⸗* (5.9uu -)F-4. 16E“5s 
— 6w 
etc, 


wo dad Geſetz des Fortgangs nicht — zu uͤber⸗ 
ſehen iſt. 


114. Exempel. Den allgemeinen Ausdruck ei⸗ 


un... BR i 6, 6.8 8.10 
nes Gliedes der Reihe 1, —a —— —c — 
G he Zee 7,7 / 


u. ſ. w. zu finden. 


Summirung der Reihen. 819 


Es ſey z die Stelle von T, alfo — 1 bie von 
3 (2 iſt | 
22(22 + 2), 
(22 + — 


Macht man 22 4 ı x, wodurch Ax oder 202 
232 wird, fo hat man 
(x oc Dr 
ax 
‚xetI 


To 


er 





xx 


folglich rn (113) 3 — 1. Nach der erſten Yuflds 
fung wird nun 


1 / 





= —A 
c=2B=2A 
4 8 | 
—— — 
6‘ 16 | 
E— 235D—52C+ı6B _- 33, 
u 128 
aE—8g0D+800C—32B __ 143 
FE —70- —A 
10 256 
6ıF—ı60E-+240D—ı92C+64B _ 625 \ 
——— ——— —*77 
12 1024 
u. ſ. w. 
Mithin 
11.83. , 143 
ae bez 1 T.z ++ et — 256x° 
— etc, 
3 * * ) 


820 ——— der Reihen. 
Zur Beſtimmung von A berechne man das rote 
Glied der Reihe wirklich. Es iſt ———— 
| 5.11°,13°%,17°.19 


= 0,80527224. Durch die Formel für T e8 zu er: 
halten, hat man 2 10, .. x21. Es wird 


alfo jenes Glied = W 4 = +: — at) 


—— 0447, mithin Pt la 
‚02530447, mir 102530447 


Zu . Dieſes ift fehr genau ber Werth 


bon m, fo daß. Amon und 





I=- — — — — etc, 
"(1+2 F teten 2 ) 
if, Wenn x u groß ift, fo ergiebt fich hier: 
‚aus, daß das legte Glied der Reihe oder, das Product 
RE: : — | 

1 x 2x Aut etc, in inf, ⸗ = = iſt, wel⸗ 

9 25 49 81 4 

ches der von Wallis gefundene Sag ift, den man als 
fo auf dieſe Weife haͤtte herausbringen koͤnnen, wenn 
er noch nicht bekannt geweſen waͤre. 


Nach der zweyten Xuflöfung wird 





B=-A 
2 
cC—=-B — 
4 8 
— 8B 
32280 — 
6 16 


61D—64C 1251 


E= — 
B 128 


\ 


 Summirung der Reihen, 821 


F— 1 — 27359, 


„20 256 
181F—512EäE 632385 
6= — — me „40.7 | 
eic, | 
Demnach iſt 
—— 1251 


z=Aalı2 1235, ng 15T 


2X SxxX  j6xxx 128x,.,x 
1 ı2 3 
I 632 | 
7559 * 32385 J etc) 
256x,..xX 1024X,.,.xX j 
a Ä 4 5 = 
N N . | 16'° 
Das 221 Glied der Nee — 
| 3.(7.13.17.19.23)% 
— 0,8919275. Da für dafjelbe 2= 12 ift, fo wird 
22 Pı 25, mithin x — xV 27, 
1 
“— Xp 2W ag, ſ. w.; daber 


2 u: 5 
‚8019275 =4(ı r 2.25 — 8.25.27 


31 — 
7 16.25.27. 29 * ) 
= AX 1,0810457 | 
SERIE 
woraus A tie vorhin — 0,785398 = ergiebt, 


Da A ſich bier, wie in (112) auch noch auf ans 
bere Art beftimmen laͤßt, fo zeige fich, daß, ohngeach⸗ 
tet des ſtarken Anwachſens der Coefficienten in der | 
Reihe für T ſowohl Bier als in (112) die Meihe in 
ihrem conbergenten Theile ficher zur Berechnung von 

T gebrauche werde, an vergleiche oben (39). 


15 Wenn die Gfieber einer Reihe durch die 


| ze | 
Gleichung TV — ——⸗ daſſelbe, wie in 
chung T' : ti x baffe " 


822 Summirung der Reihen, 


(114) ift, beſtimmt werben, ben allgemeinen Ausdruck 
eines Öliedes der Reihe duch x, x, x, x u, ſ. w. zu 
finden, z 203 


Da T= * 
XX 





T, fo wird xT’ +- TUT = 
1 


xxT oder xx(T +AT) + ı = xxT,, woraus 
I4 XxAIZ o folgt. | 


Man fee nun, | 
E 





B cC D . | 
a Aa ange 
i I 12 3 
welche Annahme ſich auf aͤhnliche Weiſe, wie in (113) 
rechtfertigen laͤßt, fo wird, X+Ax oder x Fo ſtatt 
x geſetzt | | 

















- B-.:0 .°D: .. 
U un — — Ic, 
———— x..x RSe— 
x12 1123 - u Br ee 
alfo J 
rBrCTDC ILE 
I, A ER — — —— etc 
* — er ee ee 
m ı 12 123 1 4 
Ferner iſt 
Bw 2C 38D E 
Area N AN an 
| XX XXX x,» X Kouk 
I ı 2 3 4 
alfo 


Bu 2Cxw 3Dxw 4Exw | 


xx AT = —— — — - — — etc. 
X. XX _XXX Koax 


” 1 12 123 1 4 
Um hier die unbeſtimmte x aus den Zaͤhlern weqzu⸗ 
ſchaffen, und zugleich xxAT auf die Form von 175u 
bringen, bemerke man, va ne eg 
x x nw 0. DW 


—— — 1 — — 1 
x Xxn x nw | x; . 
EZ i 











Summirung ber Reihen, 823 
| alfo 


ee ee — er 
X 12 ı 23 
20 D Ew 
x XKX XXX 
12 


ER 
— =. | 
c — — a 
Zw " w, 2w \ 
— — NO DICHTE SM 
w, 2w, 3 
Ro BR: FR En te or) (wor) Gut, 
a A Zi Kin 
etc, | Ä 
wo das Geſetz des Fortgangs Elar iſt. 
Demnach iſt 
— A: +, 2 — B4 Hector.) | 


wo A, B, Cu. ſ. w. ie nißforfenehenen Glieder 
anzeigen. 

Stirling hat die Aufgabe und ihre Aufloͤſung, 
‚Method, diff., Prop, XXVII; ig ‚ Method 
‚of Inerements, Probl, XVII, 


824° Summirung der Reihen. 


116. Exempel. Den Werth des Products 
2. 2. 6. 6. 10. 10. 14. 14. etc. in 
— h ne — — —— — 
— — 9. 11. 13. 15. etc, in inf, 
zu finden. | 


4 


66 
Man formire die Reihe I, * —b, 1020, 
I, 


5.7 9.11 
ee „u. ſ. w., und ſuche den — Ausdruck 
eines Gliedes derſelben. 

Da, wenn z die Stelle bes She T if, 
————— 


| | (42— 3) (42 — 1) 
fo wird, wenn man 42 —2 = x macht, wodurdh w = 
Ax 44224 il, | | 








XX 
T=-—-T 
xx—1I 
und man erfält — (232 > rel ei 
=1(1-- m +; tr: 12x + * 


30 + — ) 


Um A zu beſtimmen, hetechn man das 1306 Glied 


24 
der Reihe. Es iſt ————— — = 
| 9. 15. 29. 31. 33. 37. 41. 43 
1,4068706, Nach dem gefundenen Ausdrude für T 
3 man dafür 
| I 1.15 ae ME 63 


Zn — — — — — — — 
4.50. 4.8. 50.54 486. 12. 50.5 4. * 
und eic, 
= A 2 0,9948079. Diefes gie Az1,414213.. 


oder = V 2. ; Wenn z, alfo auch x unendlich groß 
wird, fo ift das fegte Glied der Reife = A, d. i., 


Summirung der Neihen. 826 
2.2.6.6, 10, 10,14, 14, etc, in inf. u: 
13. 5.7. 9 11.13.15, etc. in inf, = V% 
wie fi 5 aus dem Werthe von c0s— in Cyklometrie 


(27), wenn man m=ı, n=2 nimmt, ergiebt, 
Kehrt man = Bruch um, und — auf beiden 


Seiten mit =, fo wird 


3.5.7. 9. ER — 2 


— * V2r 
2.6.6.10.10.14..... etc, V⸗ Vv 
wie in dem Art., Summirbare Reihe, 24, ZH. ans 
. gegeben ift. 


117. Erempel. Die Glieder einer Reihe find 1; 


2.2. 44, 66 8:8 - | 
a, =, 0, 4, u. ſ. w., den allgemeinen 


35.57 7 
Ausdruck für ein Glied dieſer Reihe zu finden, 
Es bejeichne z die Stelle des Sliedes T, ſo iſt 
42Z Me 
To 


| (22.—ı)(22+ Sg 
‘ und wenn man 22 —x macht, 





xx i " 
T- T- 
XI 
Demnach iſt in (115) r=Z—ı, ferner w=Ax— 
Bäz2, = — Zeh _ — x +4 u. ſ. w., mithin 
3. .. 15 
T= 6* — Be 
4542) —— 
35 
+ * 50 4 ac. ) 
Zur Beſtimmung von A ſuche man dad zote 
16 
Glied der Reihee. Es u — — 


‚81%. 13°, 17%, ig 


826° Summirung der Reihen. 


145300172735. Nach der Formel wird es, weil 
143 


I 
x 92:30 Äfl, — Al Du — — — — 
B 2.20 2.4.20, 22 


1.3.15 


— — — — etc }=AXo 20 
2. 4. 6. 20. 22.20 ) 12<0,9740392454 


JJ | — 
Hieraus folgt A = 1,57079633 = >73 fo daß 
z _: 2. 4. 4 6: 6. 8. 8. 10. 10. etc, in inf, 


‚1,3. 3. 5. 5. 7. 7. 9. 9 11. etc. in inf. 

wie ea 

118. Es laſſen fh noch mehrere Säge, wie 
die in (110), (113), (115) find, finden, je nachdem 
man andere und andere Nelationen jwifchen ven Glie— 
dern der Reihe annimmt; es mag aber an den boyge⸗ 
brachten genug ſeyn. — iſt noch uͤbrig zu zeigen, wie 
die ſummatoriſchen Glieder ſolcher Reihen, als von 
(110) bis hierher betrachtet find + gefunden werden 
koͤnnen. 


119. Das ſummatoriſche Glied einer Reihe, fuͤr 
_ | 
welhe T’ = 
von T oder T’ anzeigt, zu finden. 


Es ſey die Summe der Reihe bis mit zu dem 
Gliede «T, welches T zunaͤchſt vorhergeht, s, fo erhellt 
aus (13), vn 


n 
T, wo x; wie in (r 10), die Stelle 





AT 
alfo x-F ı flart x gefegt 





DI 1772 T 
michin ı x 

| Aas — as oo —T 
| d. 1, n 


* 
Sunmwmirung der Reihen, 877 
ober 


alſo 


xAAs — nAs 


Z(xAAs) ns 
if, Um das Integral Z(xAAs) zu finden ; infegrire 
man theilweife nad) der Formel | | 
Zuät = ut — ZtAu | 
welche man leicht aus Differenzenrechnung, 6.) ablei⸗ 
tet. Man ſetze naͤmlich u=x, At — AAs , ſo iſt 
Au=Ax=ı,t=äs, ts, und 
iz I 
Z(xAAs) — xAs — ZAs 
1J 
= xAäs—s-C. 
I 
Folglich ift | | 
. m=xT—(s+4A)+C 
—xT—s—T+C 
und 


(n+ıs=(x—ı)T-+C, 

Die Beltimmung der Eonftans haͤngt num davon 
ab, ob x die Stelle von T oder T’ iſt. Iſt das erfte, 
fo it fr x=ı, Ta, dem erften Gliede, und,s 
(die Summe der erſten x — 1 Glieder) = o, daher 
C=o,.und | Ä | 


n 1 
‚s= —T,. 
n-+ı 


| Bezeichnet x die Stelle von T’, fo ift s bie 
Summe von x— 2 Gliedern der Meihe, alfo. für 
„ @z2UT za s 
— —7 n4 = 
120. Exempel. Die Summe einer Anzahl der 


erſten Glieder der Reihe r + — + zb + —* + etc, 


Ä 828 |  Summirung der Reihen. 


wo a, b, c, u. ſ. w. die naͤchſtvorhergehenden Glieder 
find, zu finden, 


Fuͤr diefe Reihe ift, wenn x die Stelle von T ifl, 
| an L, 
T’= —T (111). Alſo bezeichnet 8 in (119) die 


* , Summe der erfien x—ı Glieder, und man erhaͤlt, 


— — 
wenn man ſtatt n feinen Werth 22 und ſtatt T 


den in (111) gefundenen — — 





28—2 | 
= —— a — 
Vrx ur ur, — F — 3 
Hiernach iſt die — der 100 erſten Glieder 
200 3 25 re 105 
—yıoın\ 8.101  128.101* " i024,1013 


+ ac.) 
mr I, 1269695 5.44 


Wenn x fehr groß ift, fo ift ſehr nahe s 
== V —. Die Summe der ganzen ins Unendliche 
fortgeſetzten Reihe iſt unendlich groß. 

120°, Exempel. Don der Reihe 14 * 


— 2b+ ec 4 —d + ete, eine beliebige (aber et: 
was — — Cie vom Anfange der Neihe an 
zu fummiren, 


Kür diefe Reihe iſt „wenn x die Stelle des Glie— 
des T’, alſo x— 1 die von T anzeigt, aus (112) 


X — 
18 — 
x 


Summirung der Reiben. 829 

Bezeichnet alfo s die Summe von x—2 Glie⸗ 
dern, fo hat man aus (120), a=——, und a 
gemacht, 


= 22x -ı)T - 
und, wenn man — T feinen _ aus (112) — 








2x—2/1, 385, _ 
=a "Va tr + eu.) 
WR 
=ı-- ze —(: TE u 128x° * ec.) 


Die Summe der — 1000 Glieder der Neiße, 
wo x 1002 ift, wird — 


2002 
22 — le + 


1002 1002” 





"385 
Ä  — 
', 128.1002° 


4 ec. ) 
| = 2 — 0,03567447.. = = 196432552... 
Sf x ſebr groß, ſo hat man ſehr nahe s — 


2 — Die Summe der ganzen ins Unendliche 
Vrx 


fortgeſetzten Reihe aber, für welche x o ifl ’ iR 
= 2, wie ſchon in (92) gefunden . 


6.8 
20°, Die Reihe ı a 
— b * VF FT 
8.10 . 


+ u — etc, allgemein ju fummiren, 


Es fey s die Summe von z—ı Gliedern der 
Reihe, T das Glied in der Stelle z, fo ift As — 
Diefe Gleichung bleibe, wenn auch ſtatt z eine neue 
variable x geſetzt wird, welche eine Function jener ift, 
nur muß dann freylich darauf Ruͤckſicht genommen 


830  Summirung der Reihen, 


werben, daß nun Ax nicht —r iſt, wie fonft, wo x 
die Stellenzahl ſelbſt bezeichner. 

| In (114) wo 22 + 1X gefeßt ward, wodurch 
Ax oder w— 2423 iſt, iſt gefunden 





6 
T= (1 +2 ge tet) 
> 
TI: 
wo A= = / 384 — 11,33753 8 


— 9,77343 € 68,595 = * — u. ſ. . iſt. 
Man hat alſo | 


as=a(ıHZ 4m Brut, — 














12 
mithin 
1 
pe Gonst, A Pi a — * — 
s >= Const, + + as +B + =; 
ı 2 
2 etc, 
* — + 
- 3 
Da (113) = 
1 n 1 )w 
XX..4440 -X XXX. -.. X 
1 u⸗ ı2 ntı 
fo, ift umgefehre — 
J— 1 1 
= nn mu — — —— — ⸗ 
Xx..-.. · X (n-- 1)» XX.....·. X 
1 n+I | 1 n 


— 


| 
zı Us ſ. w. Was 


Lxo ‚betrifft, fo iſt, weil ** — — wix® 


= ZAx=x, alle 2° — Noch iſt 2 übrig 





| a 
Hieraus ergeben ſich 2, 2 


Summirung der Reihen. 881 


Diefes bat man mittelſt der in (36b.) angeführten alle 
gemeineren Formel, nach welcher Ä 


Zu fuhen, indem man y — — ſetzt. Dadurch wird 


ı lx ı o : 193 
x ww 2X I2xx I2XXX 120x +4. X 
12 3 
9004 
En — — — eic, 
20X,,...X 2 
4 


Auf diefe Weiſe entſteht | 
s = Const, + Al = + er — —6 FR —* 


— Yy\ı aw® A 1 
12 2 2w/xx 12° 39w 
. 





\ 12 
e I9aw? e J 


120 4w X......x 


- 


3 / j 
und, wenn man flatt A, a, B, y, u. ſ. w. ihre Werthe, 
und für w feinen Werth 2 ſubſtituirt, 

== Const, - —r (— — el an 
i | T 4 2 * 4 16x 12xX 


. ‚x i 
10,7734 9,207 - 65,36 | 
6XXxX Kor. X x . X N 
1.2 ae N 


Die Eonftans zu beftimmen, fuche man die Summe 
der erfien 12 Glieder der Reihe durch wirkliche Be⸗ 
rechnung; fie iſt — 10,0649126, Da für diefelbe 


832 : ° Summirung der Reihen, 


z—17—1r2,alfo z=ı3 ift, fo wird x 27, alſo 
x=229, zus, uf w., und 

2 
27 1og27 9 
2 4 16,27 
6 
— 10,7734 — eic.) 
ur ‚27.29 \ 6 27.29.31 


Die ausgeführte — giebt Const. 1,1 68097 i, 
daß 


| 10,0649126 == = Const, + 


logx 9 
/ 68097 + (4 — — 
6,8125 10,7734 
u — — — t 
E23 6xXxX . c.) 
ı 2 


gir ein ſehr großes x re man näherungsweife 
1 
—— ———— Die Summe 


der ganzen ins Unendliche fortgefegten Reihe aber it 
unendlich groß. au bergleichen, Summirbare Reihe, 


24. Il. 
121. Auf diefelbe Art, wie die Reihe ı + a 


— * — + * + etc, jest ſummirt worden, laſſen 


ſich die — i +- —a +: — — * c-+etc; 

| 4.4 6,6 
1 * —b + —c etc.; ı — 
* + 3.5 7 + ; ir z 


+: & En 2” 5° + etc, fummiren. Das allgemeine 


— der — iſt in (116), dasjehige ber anderen in 


(117) gefunden, Für die dritte Meihe wird das alls- 
gemeine 


Summirung der. Reihen. 833- 
gemeine Glied ganz fo ausgebrückt, wie bey ber andern, 
wofern z +7 die Stelle des Gliedes T ift, und. 


22+3 x gemacht wird, j Die Conſtante iſt 


2* 6 J 
122. Die Reihe "+ Fa + -b+ + 12a. 
— 1 3 5 12: 8 
-+ etc, zu fummiren, v | 
Es ſey 2 bie Stelle des Gliedes T, fo Gar man 
Tr — 22.+2,, ze 

= 2zr1 


alfo, wenn 22-2 x gefegt wird “wodurch Ax 
oder = 2 wird, x 
| * 


Tr == 





-T, 
x . 

Aus diefer Gleichung folge durch eine, ganz aͤhnli⸗ 
che Rechnung wie in (119), nur mit dem Untere 
fhiede, daß Ax dort = ı war, hier aber — 2 iſt, 

3» z(x—2)T+C. s 
wo s die Summe von z— ı Gliedern. der, Reihe ans 
zeigt. Da alfo für 2 1, s Zo werden muß, x aber 
alsdann —=3 und T=a if, ſo wid 0o=a+Cc— 
2+C, folglich C=— 2, und 

| . "7 = )T—a 
s = MD — 
| | 3 | 

Weil T fi duch x der Bemerkung in (110) 
zufolge nicht darſtellen laͤßt, fo quadrire man die ° 
Sleihung Nr | 


7* u DR r 7 
X 





Dee 


fo wird Ä Be 
Ti Urt 
xx 


Sag 


834 Summirung der Reihen, 


-- und wenn man TTV ſetzt, wodurch —X — 

wird, ſo entſteht 
—0— 

d. i. xxcv4 AV) 2XI)V 

und. hieraus (2x + 1)V — xxav =o. Aus dieſer 

Gleichung folgt zu einer erſten Annäerung 


‚oV "oV 
x - ı)V = x, —— — alſo 
a = ox 
oV dx Öx a 
— u a —, wor Vz=Axec%ı 
V x 2xx 


I ACH: CR 
= Ax( ı 2 + eic.) — Ax Er + etc. 
hervorgeht. 
Man ſetze daher 
— to» 
=A}+B+- + DE re 


fo wird 








Ferner 
2Dx oEx 
axV —2Axx+ aBr + 2CH I — 





a wenn man bier ſtatt 


20 
die ihnen gleichgeltenden Werthe 1 1 — — 


1 2 
zw i 
1 —— u. ſ. w. ſchreibt, 
8 


Summirung der. Reihen. 835 





| ,.2D 2Dw 4Ea 
‚—2aAux+2Bx+2C + —— __ I eo 
| * ae x XXX xxx ie 
N > F * 
2B 2F 
—H— etc, 
* xx — retc 
x 12 
Weiter ift | 
ER CuxX  2Dwoxx 
| xx XXX X...x 


1 12 3 
und wenn man die in (113) gewiefenen Reductionen 
anbringt, | | * | | 








x xx XXX 
I ı2 
2Dw 6Dw*! ı15Ew 
—— ie — + etc, 
X xx xxx 
; 1 12 
3sEw 4Fw 
k — een |‘ 
xx xxx 
x € Ten, 


ji Setzt man die reducirten Werthe bon. xxAV, 
2xV in die Öleihung zxV-V—xxAV o, und 
für ® oder Ax feinen Werth 2, fo werden folgende 
Beſtimmungen der Coeffieienten erhalten, AA, 
1 1 1 Be; ; 
= z-AD=Z=-—AE=—-A 
j en ac z“ 6’ 128 
48 361 Ä 
= ——A, G= —A uf. w. 
— / — u. ſ. w 


Demnach iſt V oder 


1 $ = Ir. 
TT:=A x m. — — csßs — 
| 2 * 8x au ı6xx F I28xxX 
ı ı2 





45 26: 
— — etc, 

r 256X...xX ARTE * ) 
3 24 


836 Summirung der Reihen. 


ET FEE SE 
Der Coefficient A ift 7 wie es theils bie unmit—⸗ 


telbare Berechnung aus dem Falle z=10, wo xzat, 
** 23, 25, uch w. iſt, lehrt, theils ſich * 


aus ergiebt, daß für ein unendlich er z nad dem 
Wallifiſchen Ausdrucke 


u via4mev® 
1. 3.5.... 22-1 


iſt. Man hat alſo 


— 3 1 
| ER + ec. ) 
Hiernach erhalt man die Summe der 100 erſten 
| Glieder. der Reihe, wo 2— 1100, alſo z= 101, 


und x—22 + 177 203 ift, — 1194,2783. Für 
ein ſehr großes’ z ift die Summe näherungsweife 





Zr * ZaVrz Die Summe, ‚ber ganzen 
| in’d Unenblidhe fortlaufenden Reihe iſt unendlich — 


123. Die J — a + ar 


+ 2a + etc,, deren Kotalifertf, N ſich * 
F — 


(101) oder aus (Cytlometrie, 1.) erh, a” iſt, alls 


gemein ju fummiren, 
Es ſey z die Stelle des Glieder T der Neiße, 
ſo it 


(22. —ı)°, 


TazGz + ı) 


Summirung der Reiben. 837: 


oder, wenn man 22 X fetzt, mo dann w ober —* 
= 3 iſt, 
ie Be, | 
x(x+1) 

Bezeichnet s die Summe der z—r erffen Glie⸗ 
der der — ſo iſt As — T, und, went z in — 1 
übergeht, A T’, mithin 

| | Br 
— (&- er * 

I - xa+ +1) | 
woraus, went flott As fein Werth As — AAs geſetzt 
1 
wird, folgt —— 
(3x — 1)As + x(x+ — wu 3 

Um diefe Gleichung zu integriren, ſey s — vAs, | 

wo v eine Junction von x ift, fo wird 2. 
A=(v-+ Av) (As-+ AAs)— vAs | 
= Avds + (v-+Av)A4s 
= Avas + vAAs 
X 





alſo 
vAAs 


'ı 
1 — Av 
Wird biefer Perth von As in die obige Steigung * 
bracht, ſo entſteht 
(3x — 1)9 4 xXxMi—AavV) — 0 
4 


As * 


oder u 
(G-2)r #6+ aan =0 
1. ®J/r-”\ | 


Fuͤr ein großes x ift näherungsmweife 
3v + si—A)=o 
Fr 


ov 
oder, wenn man vv Farmvt Au = 
x 


— 


838 Summirung der Keihen. 
2d5 adv — 
vr Fe alfo a — macht, 
dv RR Ov FIRE 
sv+ „res =0 
| dv | 
Laͤßt man bier noch 62= , als umnbeträchrlich gegen 


En eg, fo kommt 
Fan 9. Ä 


ov 
"ay — 2X — 
'3y t x = 0 
oder 


Ov — — — 9x 
2X 2 


! 


der integeiene Factor für biefe Gleichung iſt x: und 
es wird 
wi = C=xt" 
alfo 
| v.—x+t Cx} 

Man kann das Glied Cx! nicht zum Anfangs 
gliede der Reihe für v machen, weil fonft in ven 
Ausdru fürs durch T zufolge der Gleichung s= 
vAs 4 Const, = vT + Const. zwey willkuͤhrliche 
Eonftanten kommen würben, welches nicht feyn darf, 
da wenn 6 durch T vermittelft der Gleichung As—=T 
beſtimmt wird, nur eine ſolche hineinkommt. Daß 
man v — — x + etcfeßen muͤſſe, ergiebe ſich ganz 
— aus Zuziehung des Werthes von T. E⸗ iſt 
naͤmlich 
1. 1. 3. 3.5. —* (22 — 3) (22—3) 
2.3.4.5.6, 7... . (227 - 2) (22) 
.3.5. 7**. 22 — 3 1 
— 4. 6.8.... 22 — 2 22221 


In (111) ſetze man nz — ı, fo wird 


T= 1% 





\ 


Summirung der Reihen 839 


I. 3. 5..... 22 - 3 25. id 


2.4.6.. .22 —2 7 =: — 32.(22°C | 
! 105 1659 ° , 
0 “) 


. 128. —8 —— 
mi Imx\ — 4x +7 * | 





+ * + — 2059 + ea) 


128x3 20483*% 
‚weil 22x. Mithin wird 


J 25 „205, 
T=—— — — * — ns, .. 
— * 4% + 323*  128x® 


r etc) 
— | 
xarx 
. xv. Aus der Gleichung As — =T hat man 


alſo für ein ſehr großes x nahe 7T 


——F * 
08... 
zu einer erſten Annäßerung & =. ax: = rFhi 29 
Tox, alſo ds * — ox — 8 — Const, — 
‚2V 37 


— ‚xt — — — xr, welches zeigt, daß —ı 
Vir 
Das, erfte Glied in v iſt, 





Es ſeh alſo 
vz Ax+-B+ et. @Ec, 
1 12 


840 Summirung der Reihen. 


de Ax FB 28 EEE — 


1 TR r23 


C :D-Ci E- D 
= Arten + Hu Enke 


— XXX 








w 
+ etc. 


u 
und G-H= Ash HAu%EB) + = 


- —— — 2, + etc, 





-B 
——E n.= 


ee. ern | 
x ‚12 | 
„. 3F-ge+nE . 
we en 
3 
Kerner | 
at-An={i-Au)‘ + erect 7 - © pero 
„0-00 | — 
XXX 
rı 2 
= — + etc. 


SteArtT en 


—— 
3 
und 


Summirung der Reihen. 641 


& FF U-An -— Aue + 1 — Aw + * 
+ @D-Co+C)w er E-4Da+3D)% 


fl ” RUE TE © I 
232 
rm Ew+3E | 
ER Gr—oEu+ Em 4 eic, 
= BE Er 7 eG «* ey. 8 »x p ä 
F 23 


F Werden die reducirten Werthe von G = )r 
und («+1)G—Av) in die Olihung (3 — -)v 

+@a+ı/ı —4v)=o gebracht ‚und flatt w fein 
Werth 2 geſetzt, fo. erhält man A=—1, B=_, 


12 2 ‚ 20. 

o=—L p E=p=2 

Br BER * 5 | er 21 

—2E=— esr eurer uf m 
11 33" “833, ,. 18 

Demnach) iſt a 

a #20 

| 3 15X — 2IXXX 33x. . x 

— — —— 

— eic, 


und — ——— 2 
> sets 244 + 

\ 2 * F + ec) 
Bill man den Zolalverth der Reihe, welger—r 


ift, nicht: als, bekannt annehmen, ſo ſuche man zur 


842 Summirung der Reihen, 
Veſtinmung der Conſtans quf dem gewoͤhnlichen Wege 
der Addition die Summe der erſten 10 Glieder der 
Reihe. Sie ift 1,39169464, und das zıte Glied — 
0,008390336. Dieſe Werthe fege-man für-s und T, 
und für z—1 — entſprechenden Werth zo, alſo 
zZ 11, und xx22 22, fo wird 


15.22 


u: 6. 
RENTE Wi. — —— + et ) 


u ee | 
= C—0,77910168 — | 


1,39 169464=C— 008 3903 Ger — — 


und — — 
= 1,39169464 4 0,17910168= EN 
Diefes ift fehr genän der Berti von * fo daß 
demnach ——— — N, 
1 
— 1 s—- — 
— re) 


353%. 


I) 


a wo man zur Verechnung bon T entiveber bie vor⸗ 
bin gegebene Reihe Bent oder u beit —— ver⸗ 
mittelſt der Formel 


log. vulg. Fz= los vule (x- 1) ——æa ,*n! 


+ +++ ad) 


2x28x8 

ſucht, in welcher * 0,4342 944819. OR 
Diie Summe der eften 1000 Glieder der Reihe, 
wo 2 — 1 == 1000, X ZZ 2002, und log.vulg.T 


== 8,2513707 ift, — ſich hiernach — 1,5529543. 
Man ſieht hieraus, wie langſam die Reihe an den To⸗ 
talwerth convergirt, und daß man eine ron größe Ans 


zahl Glieder zufammenrechnen müßte, um * mittels 


Sutnirung ber Reihen. 843 


ber Reihe in 7 Deeimalftellen genau zu erhalten, Dan 
kann diefed fo. ... Da für ein. großes. x 


Zr fo finder fi H bag wenn. 





1 
ſehr nahe = — — 


— J 
200000900 feynfoll, >254647908947052° 





— 
ſeyn muß, welches über 127 Millionen Glieder iebt. 
Auf aͤhnliche Arc laͤßt ſich in andern Fällen den Übers 
ſchlag machen, mwobon hier noch ein Beyſpiel ſtehen 
mag, um eine Behauptung in dem Artikel, * 


30., ruͤckſichtlich der Reihe ı m +77 +... 


zu rechtfertigen. Es fenen — * — 2x 
Glieder zuſammengenommen, ſo betraͤgt die Ergaͤnzung 


d ? J be — I * > x 


ee ——— — Date * = 


Nach (52) iſt diefes = 





— u — 5 J 





+ — — etc, alſo fuͤr = großes ® feßr 
bepnaße — Soll dieſes kleiner ſeyn als u 


| re fo wird erforder, daß 4X+1>2. 109 
und 2% > 999999 999 alfo wenigftens — 1809: 
z0® ſey. 


124. haͤßt fi eine Dt duch die — 
Methoden entweder gar nicht, oder nur auf eine ſehr 
verwickelte Art ſummiren, ſo kann man zuweilen eine 
Annäherung za der Summe dadurch erhalten, daß 


844 Suminirung der Reifen 
man fie als eine geometriſche oder arithmetiſche betrach⸗ 
tet, wovon hier noch ein Beyſpiel beygefuͤgt werben foll, 
Die Wahrfcheinlichfeit mit einem Würfel von. p 
Seiten in q Würfen n beflimmte Seiten zu werfen iſt 


»-]e»+[2]e»- — je» + etc, 








— — | p‘ | Ä 
wo bie Reihe im Zähler, ‚bey welcher der Kürze wegen 
die Eulerifche Vezeichnungsart der Binomialcoefficienten 
gebraucht ift, fo lange forrgefegt wird, bis fie irgend⸗ 
wo abbricht, a | 

Wird num die Zahl der Würfe gefucht, in benen 
Jemand mit gleicher Ausficht auf Gewinn oder Ver 
luft. es unternehmen kann, m Geiten zu werfen, d. i., 


t 1 
wo die Wahrſcheinlichkeit — wird, ſo iſt der vorige 


Ausdruck — — zu fegen, und q aus der fo erhalten 


ven Gleichung zu beftimmen. Da diefed direct. nicht 
gefchehen kann, das Probiren aber höchft langweilig iſt, 
fo. muß man die Summe der Reihe im Zähler des . 
Ausdrucks auf eine annähernde Weife zu beflinmen füs 
chen, zumal da die Frage die höchite Genauigfeir nicht 
verlange. Man erhält viefes am Fürzeften dadurch, 
daß man mit Moidre. (Doctrine of Chances, p- 
rır, sec. ed.) die Neifep, P—1, P—2, ...: als 
eine abnehmende geometrifche Reihe mit dem Exponen⸗ 


con EZ anſieht. Dadurch verwandelt ſich der obige 


P 
| —ınd. 
. Ausdruck in diefen 1 — [=] >) 


— 





Summirung der Reihe. 845 


2 | pP ıNINT oo ehe, 
F ( mus Fr) ) f ER = z geſetzt, 
| , 1 





log * 
—E 
17 pgp—log(p—ı) 


giebt. Zu einem Zahlenbeyfpiele ſey p—=6, n = 6: 
‚oder es werde gefragt, in wie viel Würfen jemand, 1 
gegen x fegend, e8 unternehmen kann, mit einem ges 
meinen Spielmürfel ‚alte ſechs Seiten zu werfen, Man 
0,9621700 
0,0791813 | 
12 und 13 MWürfen. In der That iff auch die Wahr: 
fheinlichfeit das Verlangte in ı2 MWürfen zu leiften 
953029440, 1 — 
— — oo, und in 13 Wuͤrfen daſſelbe 
2176782336 "2°. 3: f ſel | 
6709904640 _ 1 
13060694016 2 


„. Ben einer Ähnlichen Frage in Verreff des Zah: 
lenlotto läßt ſich daſſelbe Mittel: zur Erhaltung einer 
genäherten Summe anwenden. taplace Theorie 
des probabilites, Liv, II, nro. 4.,:wo man aber . 
auch die vollfommmere Merhode finder, er 


Einige hieher zu ziehende Beyſpiele ſind noch fol 
gende. | — 


Moivre nahm, um die Berechnung der Leib⸗ 
renten, ſowohl der einfachen als der zuſammengeſetzten, 
zu erleichtern, an, daß das Abſterben gleichmaͤßig er: 
‚folge, d. h., er betrachtete die Zahlen der Sterbliche 
feitstafeln, welche angeben, wie viel von- einer Anzahl 
zugleich Lebender eined gewiſſen Alters nach ein, zwey, 
drey u, ſ. w. Jahren noch übrig find, als tie Glieder 
einer abnehmenden einfachen erirhmerifchen Reihe, wor 


durch freylich die Berechnung leicht genug wird, das 


‚erhält q — > 12— circa; alfo zwiſchen 


zu thun = 


846 Summirung der Reihe, 


Ergebniß berfelben fich aber doch zu fehr von der Wahr: 
heit 'entfernt. Thom. GSimpfon verbefjerte Moi⸗ 
vre's Hypotheſe auf eine fcharffinnige Art, wodurch 
. der Fehler vermindert wird. ©. Tetens Einleit. zu der, 
Berechn. der Leibrenten, Th. L ©. 103 u. folgg. 
Kramp hat die Zahlen der Sterblichkeitstafeln als 
Glieder einer ruͤcklaufenden Reihe der erſten Ordnung 
betrachtet -in dem Leipziger Magazine für reine und ans 
gewandte Mathematik von 1787., ©. 130. u, folgg, 


Bey der genäherten Beftimmung des Berhältnifs 
ſes der Summe der Glieder des entwickelten Bino⸗ 
miums (m--n)=+, wo rm und rn fehr große Zah⸗ 
Ien find, von dem Gliede an, das in der Stelle 
nr Fg-+ı flieht, bis mit zu dem größten der Ente. 
wickelung, deſſen Stelle rn +ı iſt, ju der Summe 
- aller Glieder hat Nikol. Bernoufli fi auf eine 
ähnliche Yet, wie von Moivre eben jest angeführt if, 
verhalten. Er fah nämlich die Factoren - 

ım+gqg zmrg—ı rm-+ ı 
\m-g+i m—g+t.2 a 
. I @m4+g)em+g-I(rm+g-2).(em+r) 
8 Prͤduets⸗ꝰ—Ni 
bes Priduets + Km —g+r2)m—g+3). m’ 
wodurch das Verhaͤltniß des größten Gliedes zu dem 
in der Stelle tn—q-+ ı ausgedrückt wird, als die 
Glieder einer abnehmenden geometrifchen Reihe an, 
deren Logarithmen alfo in arichmetifcher Progreffion find, 
wodurch dann allerdings ein genäherter- Werth jenes 
Products ſehr Teiche erhalten werben kann. Moidre 
beſtimmte den Werth dieſes Products weit genauer, 
Doctrine of Chances, p. 242. sec. ed, 2aplace 
‚hat Moivre's Beſtimmung vervollfommnet, Theorie 
‘des probabilites, Liv. IE, ch, III. nro. 16. 


125. Hutton hat:in feinen Tracts on ma- 
thematical and philosophical subjects Vol.L p- 
176. eine Summirungsart beftimmter Reihen mit ab» 
mwechfelnden Vorzeichen der Glieder ‚angegeben, welche 





- Rummirung.der Reihen. 847 


barin beſteht, daß man zuerſt eine groͤßere ober ge⸗ 
ringere Anzahl Glieder, je nachdem der Grad der Com: 
bergen; der Reihe es mit fich bringe, vom. Anfange 
der Reihe an wirklich zufammenzieht, und dadurch 
eine Reihe von Werthen bilder, welche abmwechfelnn 
größer und Fleiner find, als bie wahre Summe, : Man 
nimmt alsdann zwifchen je zwey dieſer Graͤnzen, wo⸗ 
von die eine groͤßer, die andere kleiner iſt, als die ge⸗ 
ſuchte Summe, das arichmetiſche Mittel, und bildet 
ſo eine neue Reihe von Werthen, zwiſchen welchen die 
Summe enthalten iſt, die aber nicht ſo weit aus ein⸗ 
ander liegen als die vorigen Graͤnzen. Auf dieſe ſo 
erhaltenen neuen Graͤnzen wendet man wieder das vo 
rige Verfahren an, und ſetzt dieſes ſo lange fort, als 
die Graͤnzen noch ungleich find, oder bis nur noch ein 
einziges Paar übrig ift. In jenem Falle giebt jedes 
der zuletzt erhaltenen gleichen arichmerifchen Mittel die 
verlangte Summe genau, in diefem erhält man in 
dent arichmetifchen Mittel des übriggebliebenen Paars 
Graͤnzen einen genaͤherten Werth der Summe, welcher 
um: fo genauer feyn wird, je naͤher die zulest zugezo⸗ 

enen Graͤnzen einander kommen. Hutton bringe dies 
* Verfahren auf allgemeine Formeln, indem: er Darts 
nach die fucceffiven genäherten Werthe der Summe der 
Reife a -b+c—d--e—f-retc, ſucht, welche 


ſind Ja; u; mat, u f. Wr von wels 


hen Formeln er auch das ‚allgemeine Geſetz angiebt. 
Dieſe Formeln ergeben ſich leicht daraus, daß, wenn 
a—b-+c—d-+ e—eto.— 3 gefegt wird, man 
auch, wie in dem Artikel, Umwandlung der Reihen, 
gezeigt werden wird, hat F | 


I I og Di 
3 8 16 
wo Aa, A®a, Ada, .... ‚die Anfangsglieder der aus: 


‚ber Örundreiße a, b, c, d.... abgeleiteten Differenzs 
reihen find, Br Er — | 


848 Summirung der Reihen - 


Hutton bringe. bey feiner Merhöbe. noch. einige 
Modificationen an, um. fie. auch auf ſtark Divergirende 
Reihen anwendbar. zu machen, Da man aber nad 
dieſer Methode nichts findet, was man nicht: auch 
durch die in dieſem Art, vorgetragenen Summirungss 
methoden, und zwar weit vollkommner erhalten kann, 
ſo gebe ich kein Beyſpiel zur Erlaͤuterung derſelben, ſon⸗ 
dern uͤberiaſſe es jedem, ſich nach dem hier gegebenen 
Abriß ſelbſt eins zu, machen. Montuela bat übris. 
gens ein folches, Histoire des mathem, T.IIL. p,242. 
sec, ed. — J— 

u 126, In den Phil. Transaet. von 1784 iſt ein 
Aufſatz von Waring befindlich, worin mehrere Sum⸗ 
mirungsarten kurz durchgegangen werden. Sie ſind 
ſaͤmmtlich unter den von mir erklaͤrten begriffen bis 
auf eine, welche hier noch eine Erwähnung verdient, 
und auf folgendes hinausfommt. Es ſey S die Summe 
einer Reihe a 4 bx + cx" + dx? + ete., und es feyen 
a, By. fi we bie Wurzeln der Gleichung 
ro Wenn nun A, B, C, m f. w. die 
Werthe find, worin fi) 8 verwandelt, wenn darin ax, 
x, yx, uf. w. ſtatt x gefchrieben werden, fo if 


| B G etc, En . 2 2 . & 
——— die Summe einer Reihe, deren Glie⸗ 


per das erſte, (n P aNe, (2n-+tı)te, u. ſ. mw. der 
zum Grunde gelegeen Weihe ſind. Wegen des Bewei⸗ 
fes dieſes Satzes, welcher auf den Eigenſchaften der 
Wurzeln der zwengliedrigen Gleichung Mt —ı zo be 
rubt,. muß ic) bie siebhaber auf einen über eben diefen 
Gegenftand ſehr Elav abgefaßten Auffas von Thom, 
&impfon in den Phil, Transact. von 1757 bermeis 
fen. Die Reihen, welche durch diefe Methode ſummir⸗ 
har find, koͤnnen zwar auch durch bie reibnitz⸗Bernoul⸗ 
liſche Methode ſummirt werden, allein man erhaͤlt ſie 
nach jener Art doch leichter. Ja man wird hierdurch 
oft das Integral einer Differentialgleihung finden koͤn⸗ 
nen, welches auf, dem gewöhnlichen Wege nur ſehr 


' 


Supplementardreyef. 849 


muͤhſam zu erhalten ſteht. 3. B. die Summirung der 
E 1.3 a 1.3.5.7 1, 3: 5.7.9. 11 
Reihe 14 — NZ — — —— 


4 etc,, deren Summe 3 (5 — x) F Yı 7) 


it, hänge bon — Integration der Gleichung — 
5x öy 3 





— —y 0, wo dx an 

 d—IX "dx 4(1— xx) 

iſt, ab. Die Gleichungen y=3(r —x)T?, und y 
Z(ı +x)—* find particuläre Integrale jener Gleis 

Hung; das vollftändige Sintegral it y=Cli—x)—!. 

“+ C’(1+x)-, wo C und C ein Paar willführliche 

Eonftanten find, 


‚Supplement, eigentlich fo viel als Comple⸗ 
ment, Ergänzung, Es ift aber jegt faſt durchgängig 
eingeführt, unter Supplement dasjenige zu verſtehen, 
was einem Bogen oder Winfel an 190° fehlt, und 
Somplement allein auf das einzufchränfen, was mis 
einem Bogen oder Winkel zufammen go° ausmacht. 


Schon Albert Girard hat in feinen, 1629 
zu Haag erfchienenen, trigonometriſchen Tafeln an eine 
verfchiedene Benennung der beiden Ergänzungen ges 
dacht. Supplementum als Ergänzung zu 180° kommt 
in Sasmwells Trigonometrie, welde fich am Ende des 
zweyten Bandes von Wallis’ Werfen befindet, vor. 


| Supplementardreyed heißt in der Sohaͤrik 
und ſphaͤriſchen Trigonometrie ein Kligeldreyeck in Be⸗ 
ziehung auf ein anderes, deſſen Winkelpuncte die Pole 
der groͤßten Kreiſe ſind, welche durch ihren Durchſchnitt 
jenes bilden. Da aber auf dieſe Weiſe acht Dreyecke 
anf der Kugelflaͤche entſtehen, indem jene Kreiſe ein: 
ander in ſechs Punkten, welche wiederum die Pole der 


DET: 


r 


850 | Surdesolidum. 


Seiten des Grunddreyecks find, fchneiden, fo bedarf 
die: obige Erklärung noch einer näheren Beſtimmung. 
Zuerſt alſo iſt zu bemerken, daß, da jene acht Dreyecke 
paariweife in den Seiten und Winkeln übereinfommen, 
ur bie vier dem urſpruͤnglichen Dreyecke naͤchſten, und 
die halbe Kugelfläche einnehmenden, Dreyecke in Ber 
tracht zu kommen brauchen, Unter dieſen Dreyecken 
iſt das Supplementardreyeck zwiſchen denjenigen Polen 
her Seiten des, Grunddreyecks enthalten, welche in 
Anfehung ver sugehörigen Kreisbogen mit den. Winkeln 
pes Grunddreyecks, welche denfelben gegenüber ‚liegen, 


an einerley Seite fallen. | Ä 


Das Supplementardreyeck welches auch aus einem | 
feicht abzunehmenden ‚Grunde Polardreyeck genannt 
wird, ſteht mie dem Grunddrenecke in einer ſolchen 


MWechfelbeziehung , daß die Seiten des einen die Sup⸗ 


plemente der Winkel des andern (verfteht ſich Bloß in 
Ruͤckſicht der Gradanzahl) find. Durch Zuziehung 
Des Supplementardreyecks laſſen ſich manche Saͤtze der 
Sphaͤrik und ſphaͤriſchen Trigonometrie leichter erwei⸗ 
ſen, als es ſonſt wohl geſchehen koͤnnte. Phil. Lande 
berg ſcheint fich "des Supplementardreyecks oder viel: 
mehr des jwifchen den einander nächften Polen der 
Seiten Des Srunddreyecks enthaltenen in diefer Abſicht 


zuerſt bedient zu haben. Aber abgefehen hiervon, iſt 
die Beziehung ſchon an und für fich merkwürdig. 


Surdesolidum, eine in der ältern Algebra 
gebräuchliche, jest abgefommene Penennung der fünfs 
fen Potenz einer Zahl. Davon furdefolidalifd, 
die fünfte Potenz angehend. Man findet au Sur- 
solidum in derfelben Bedeutung. 


Surdus.numerus, ſurdiſche Zahl, eine bers 
altete Benennung der Irrationalzahlen, die aber noch 


Sursolidum problema. 8 


in England. gebräuchlich if. "Die Rechnung mit ders 
gleichen Zahlen in dem Arıifel, Wurzelgroͤße. — 


Sursolidum s. hypersolidum pro- 
blema ift ein ſolches, zu deffen Auflöfung Linien von 
einer höheren Ordnung als der zweyten erfordert wer⸗ 
ben. Solida problemata hießen nämlich ben dei dis 
teren Geometern, wie Pappus in der Vorrede zum fies 
benten Buche feiner mathem. Samml. bey.der Inhalts— 
“anzeige von des Apollonius Büchern de inclinationi.; 
bus anführt, Aufgaben, zu deren Auflöfung die Kegels, 
ſchnitte zuzuziehen find. Huygens und die ihm gleiche; 
zeitigen Geometer, wie Jak. Bernoulli, bedienen ſich 
der angegebenen Benennungen noch. Jetzt werden fie 
nicht mehr gebraucht. ie ER | 


. Was aber die Sache felbft betrifft, fo merke ich 
‚noch am, daß Huygens bey der Aufloͤſung von Aufga⸗ 
"ben, welche auf cubifche Gleichungen mit dien möglichen; 
Wurzeln führen, der Theilung des Winkels in drey 
gleiche Teile den Vorzug vor den Kegelfchnitten gab. - 
Et haec construendi ratio (per trisectionem. an-: 
guli scil,), fage er in dem Anfange zu der Schrift; 
e circuli magnitudine inventa, quodamnıodo, 
simpläcissima videtur atque ad:usum maxime 
eccommmodata, — 


Don af: Bernoulli iſt in den Act, erudit. 1689 
eine ſinnreiche Conſtruction der eubiſchen Gleichungen: 
durch Kreis und gerade Linie enthalten, wobey das ges _ 
fuchte durch einen nach demſelben Gefeg zu wiederholen⸗ 
ben Eyclus einfacher Eonftructionen gefunden wird, 
und zwar nad) MWollendung eines Cyclus immer ges _ 
nauer, und duch eine ohne Ende fortgeſetzte Reihe von 
Eonftructionen völlig. genau. Die Gründe des Vers 
fohrens, welche Bernouli a. a, Ds niche angezeigt 
hatte, machte er nachher im zweyten Theile der Positio- 
num de seriebus infinitis befaunt, Man fehe die : 


852 u Sursolidum problema.. 


" Sammlung feiner Werfe T. I. Nro, XXXVIL und 
LIV,.; aud die sections coniques: von LHopital, 
©. 351 — 358 Hier 'mag als Beyſpiel diefer Ans 
näherungsmethode die durch fortgefegtes. Ausziehen der 
Duadratwurzel zu. Stande gebrachte Erfindung zweyer 
$Mirtelproportionalen x und Y..jwifchen * gegebenen 
Groͤßen a und b Plag finden, 

Es ſey naͤmlich Y bepV ap— Pu V bp’—p"', 
Vap" —p", vbp"=pv m ſ. w., fo iſt x das 
leiste Glied der ohne Ende fortgefesten Reihe p', pP, 
pP", int f. w,, y aber babjenige der Neiße p“, p'”, p"" etc. 
in inf. 


* Denn es ſeyen u und. p (2241) zwey nachſe 
Glieder der Reihe p', ps ps m ſ. w., ſo iſt 
nach dem —— dieſer Reihe p GH) 
—ylalVbpe=—Y)), Naͤheren fi nun die Glies 
der. p', put, p”, u. f. w. ohne Aufhoͤren einer gewiſſen 
Graͤnze x, fo. it für ein unendlich großes z, pe) 
u p @44) = x, & i. x=y (alvbx)), alfo 
xx=aybx, und x+—aabx, folglih x®—aab; 
demnach x die erfte zweyer Mittelproportionalen ii 
ſchen a und b. Eben fo erhellt, vaß yS=abb, er 
' y'bie andere der beiden Mittelproportionalen iſt. | 


—* Der Beweis laͤßt ſich auch ſo fuͤhren. Es iſt — 
at bi; p“—ai+t bi re; —— 


aberhaupt — F tete — 





1 1 
= A — bl — 2 für ein unendlich 


großes 2, =aib!—x, daher x⸗ Zarb. Eben ſo wird 
—** as bi, 
Näpme man anfangs: — =qg, und dann 


. Vbg=g‘, Vag’=q‘, vbq — u. ſ. w., ſo 
wuͤrde x das letzte Glied der Neibe g’, ꝗꝰ, qꝰ, u fe We 


NRZ Symmetrie, ee; 853 


y aber das ber Reihe q', 9“, gr, et, in, inf, 
werden, = — 


Zu einem Beyſpiele in Zahlen ſey ag, b23. 
Vermittelſt der Logarithmen wird gefunden log pru: 
 =logp“=logx'z 1,0791813 = log ı2, und 
log px = logp®" == 1,2552725 =logy=log ı$, 
Diefes dient, einen Begriff von dem bey diefer Merhode 
Statt habenden Grade der Convergenz zu geben, Man 
kann ‚aber die Rechnung in diefem Kalle, fo wie in aͤhn— 
lichen Källen, durch folgenden Sag von Stirling 
(Meth. differ, Prop. XXX) beträchtlicy abfürzen, Es 
feyen A, B, C, D, u, ſ. w., in umgekehrter Ordnung ges 
nommene Ölieder einer Reihe, deren Differenzen nahe in 
geomerrifcher Progreffion, nämlich wie 1, r, x*, r3 


| | BER 
u, ſ. w. find, fo ift das Teste Glied der Reife -A+ — 


„, A-(tHı)B+C , Are +rtn)BHr tr 41)C-D 
T (-ı)(?-ı) vn tr. don. 
‚etc, — Sn dem. obigen Beyſpiele ift log pi. 
0,8093859346—D; log p = 1,0177324182 —C; 
log p’Y = 1,0623190392 — B; log p" — 
1,0749656943 = A; und in Zehntaufendmilliontheils 
den A—B = 126466551, B— C== 505866210, 
C—D=2023464836, welche Linterfchiede fich ſehr 
nahe wie 1, 4, 16 verhalten, Daher wird das Iegre 
Ölied der Reihe, d. i. — 
A-B A—;B+C 
lgı=A+ —— + — + etc, 
3 3. 5 
= | 0,01264665518 
. =10749656943 + — 
| 010000000006 A 
3.15 — 


= 1,0791812460 = logı2, 


354. Spmmeike. 


rr Gtirlings Formel folge übrigens aus einer fehr alle 
gemeinen Kormel von Laplace zur Interpolation der Reis 
ben, in denen die letzte Nelation der Glieder die einer 
‚rückfaufenden Reihe von irgend einer Ordnung iſt. 
Theorie des probabilites, Livr, I. Nro, 6. _ 


Es verdient noch angemerkt zu werben, daß Bus 
teo, der auch fonft als ein fharffinniger Kopf bekannt 
iſt, Die Verdoppelung eines Würfels durch ein ganz ähns 
liches Verfahren, wie das obige, gefucht hat, Kaͤſt⸗ 
ners Geſch. der Math. Bd. J. ©, 47% 


Symmetrie, Ebens oder Gleichmaß, iſt die ges 
börige Übereinftimmung der Theile eines Ganzen unter 
einander, Davon fymmerrifch, ‚jene Übereinftims 
mung beobachtend oder darin gegründet,  Gymmetrie- 
kann fowohl bey arithmetifchen als geometrifchen Zuſam⸗ 
menfesungen Statt finden.. Die Symmetrie arichmelis 
ſcher Zufammenfegungen befteht in der übereinftimmigen 
Bildung der fämmtlichen oder gruppweife genommenen 
Theile eines Aggregats aus gewiſſen formlofen oder eins 
theiligen Größen, und fie ift volljtändig, wenn die Nuss 
wahl der. in die Zufammenfegung der einzelnen Theile 
eingehenden einfachen Größen aus der ‚ganzen in dem 
Aggregate enthaltenen Reihe derſelben Feiner- fremdarti⸗ 


; gen Bedingung unterliegt, unvollftändig hingegen, wenn 


dieſes der Fall ift. Jene findet bey den ſymmetriſchen 
Funetionen, wovon ein eigener Artikel handelt, diefe ben 
ven fommetrifchen Formeln Statt, Ein Beyſpiel einer 
ſolchen Formel ift folgendes, —— 


Es ſeyen a, c,£, d die vier Seiten eines ebenen ges 
radlinigen Vierecks, b und e die beiden Diagonalen defs 
felben, und zwar b diejenige, welche die Puncte verbindet, 
in denen die Seiten a ımd c, fo wie d und £ zufammens 


treffen, fo iſt 


Symmetrie, 855 


af(—a® + ph? +c+ Le j 
+btet( a—b’ HC HR— er +f") | — 
4602 de( as be 2de· aee46f9 


— at b! a —a° d*! e — b? ee 


- Der erſte Theil diefer Gleichung ift eine — 

triſche Formel. Die erſte Gruppe der Glieder, welche die 
drey erſten Zeilen einnimmt, iſt die Summe der Pro⸗ 
ducte, welche entſtehen, wenn das Product aus den Qua⸗ 
draten je zweyer nicht (mir den Endpuncten) zufammens 
ſtoßenden Linien des Vierecks in den Überſchuß der Qua⸗ 
drate der vier uͤbrigen uͤber jene beiden multiplicirt wird, 
die zweyte in der letzten Zeile ſtehende Gruppe enthaͤlt die 
fubtractiven Quadrate der Producte aus je dreyen zu 
einem Dreyeck ſich vereinigenden Linien. Die Formel 
entfteht übrigens, wenn man die in dem Art, Pyramide, ” 
17., für den Inhalt einer drenfeitigen Pyramide aus den. 
fech8 Seitenlinien derfelben gegebene —=o fest, 1os 
- von man den Grund leicht auffinden wird. Durch die 
in ihr herefchende Symmetrie wird eine Formel leichter 
zu überfehen und aufjufaffen., In Carnot's Men. 
. sur la relation, qui existe entre les distances re- 
'spectives de cing points. quelconques pris dans 
V’espace, fommt $. 58. eine ſymmetriſche Formel vor, 
welche 130 Glieder hat, die. ſich aber in fünf Gruppen 
bringen laffen, im deren jeder einerley REEER 


herrſcht. 


Die Symmetrie geometriſcher — 
beſteht, wie die im der Baukunſt geforderte, in der übers 
einftinnmigen Lage ähnlicher und gleicher Theile zu beiden 
Seiten eines ungleichen Mittelg, welches bier eine gerade 

"Linie oder eine Ebene ift, Wenn z. D. in den beiden die 
Grundlime AD gemein habenden Vierecfen ABCD und 
AEFD (Fig. 64.) AB=-AB; CD=DF, BAD=DAE, 
CDAZADEF, fo iſt auch ABO=ABF, BCZEF, und 


8566 Symmetrie. 


BCDZEFD, Ferner find BE, CF ſenkrecht auf AD, 
und werden von ihr in G und H halbirt, ſo daß BumdE, 
fo wie C und F gegen die beiden Geiten der AD-ähnliche 
Lage haben. Die Figur ABCDFEA iſt alſo ein ſymme⸗ 
trifches Ganze, und ABCDA und AEFDA fünnen ihre 
ſymmetriſchen Hälften heißen. Der ganze Unterſchied 
der beiden Figuren ABCDA und AEFDA kommt daw 
auf hinaus, daß bey denfelben rechts und links verwechs 
fele ‚werden, wie wenn AD der Durchfchnitt einer auf 
der Ebene des Papiers fenfrechten ebenen Spiegelflaͤche 
mit diefer Ebene wäre, wo dann AEFDA das Bild von 
ABCDAſeyn würde. Die Folge hiervon iff, daß, wenn 
man fich innerhalb der genannten Figuren gejtellt, und 
das Auge nach und nad) gegen alle Geiten der Figur 
gewandt denkt, die gleichen Umfangsſtuͤcke von A.ab ger 
zähle in der Figur ABCDA von ber rechfen zur linfen, 
in der Figur AEFDA aber von der linfen zur rechten 
auf einander folgen, fo daß man von A ausgehend den 
Umfang beider nach entgegengefegten Nichtungen durchs 
gehen muß, um die gleichen Seiten in derfelben Ord⸗ 
nung zu durchfchreiten, und beym Wbergange aus. einer 
derfelben in die nächfte gleichviel, aber nach entgegens 
gefeßten Seiten, abzuweichen. Stellt man fi die 
Figur AEFDA um A nad) der Seite, wo E und F 
liegen, gedreht vor, bis AD einen Winfel von 180° 
befchrieben hat, fo hat man ein Paar gleiche und aͤhn⸗ 
liche, aber nicht ähnlich liegende Figuren. ° Dennoch 
koͤnnen beide leicht zum Decken oder zwiſchen biefelben 
Graͤnzen gebracht, und eben dadurch ihre Gleichheit 
erwiefen werden, daher es nicht nörhig ift, auf den ans 
gegebenen Unterſchied zu achten. Bey körperlichen Fi⸗ 
guren aber verhaͤlt ſich die Sache anders, wie das 
folgende zeigen wird. 


Es ſey ABCD (Fig, 65,) eine dreyſeitige Pyra⸗ 
mibe, ABC ihre Grundfläche, D ihre Spitze, von wels 
cher auf die Ebene der Grundfläche der Perpendikel 


Symmetrie. 857 


DE gefäfle und an ber andern: Seite derſelben nad) 
D verlängert fey, bit DE’—=ED if, Werden num 
D’A, D‘B, D’C verbunden, -fo ift DACBD’ ein. fyma 
merrifches Heraeder (Körper von ſechs Seitenflähen 
eingeſchloſſen), indem in demfelben auf der einen Geite 
der Ebene ABC alles ift, wie auf der andern. Es | 
iſt namlich AABDZ AABDY, AACDZAACD, 
 ABEDZ-ABCD'; auch find die Slächenwinfel an AB, 
BC, CA, fo wie an, AD und AD’, BD und BD’, 
| cD und CD‘ gleich, ferner bie Neigungsmwinfel dee 
inien DA und D’A, DB und D’B, DC. und D’/G 
gegen die Ebene ABC gleich. Dennoch ‚aber: koͤnnen 
im Allgemeinen die beiden Pyramiden ABCD und 
ABCD' nicht zwifchen diefelben Graͤnzen oder - zum 
Decken gebracht werven, wie folgenvdergeftalt erhellt, 


Man verlängere CA, BA, DA, EA über A Bin: 
aus nach C’, B, D", E/, bis AC'ZAC, AB'—AB, 
AD"=AD, AE—AE geworden ilt, und verbinde 
B., C’D”, B'D", DEN, fo ift AC/B'D* die Py: 
ramide ABCD- nur in einer anderen Lage, welche aus der 
urfprünglichen entficht, wenn die Grundflaͤche ABC in 
in ihrer Ebene um A aus der fage ABC in die AB’C* 
gedreht wird, wodurch D’E in DE’ zu liegen kommt 
u. fe w. Laͤßt man nun die Pyramide ACBD“ fh 
nach einer Richtung fort fo um A drehen, daß‘ dag 
BAD’”E' immer in’ der Ebene ADE bleibt, fo werden 
zwar, wenn die Ebene AB’C’ wieder mit der ABC zus 
fammenfällt, AD’ und AD, aber im Allgemeinen niche 
die Dreyecfe AB’C’ und ABC einander decken, außer 
_ wenn AB==AC, und dadurd ‚auch AB’=AC/ ift, 
und AE, AE’ die Winfel BAC und B’AC’ halbiren. 
Die Pyramiden ABCD und ABCD“ congruiren alfo 
im allgemeinen nicht, folglich auch nit ABCD und 
ABCD 


Diefes Umſtandes ohngeachtet ſind beide Pyra⸗ 
miden einander gleich, wie aus Elem. XIL, 5. folgt, 


858 Symmetrie. 


Hier alſo wird eine Unterſcheidung swöifehen Körpern, 
Die gleich und Äbnlih aus oder mit Congruenz, und 
folchen, die gleich und ähnlih ohme Congruenz find, 
noͤthig. Will man bloß letztere ſymmetriſch nennen, 
fo ändert man bie urfprüngliche Bedeutung des Worts 
96: Denn wennAB==AC, und BAE=CAE iſt, fo 
\ hören: die Ppramiden‘ABCD und ABCD’. nicht auf, 
in dem eigentlichen Wortverftande, ſymmetriſch zu feyn, 
ſie congruiren aber auch, Daß fie allgemein nice 
eongruiren, hänge von dem Almftande ab, daß bey den 
drenfeifigen Ecken an A vie gleichen. ebenen Winkel, 
welhe DA und D’/A mit AB und AC einfchließen, 
‚ihre Sage gegen den’ britten BAC vermechfelt haben, 
Man Eönnte alfo die Pyramiden BACD und BACD' 
verkehrt ähnlich nennen, um diefe Ähnlichkeit von der, 

wo die gleichen ebenen Winfel der Ecken an A in bers 
felben Ordnung liegen, zu unterſcheiden. Euflives hat 
dieſen Ulnterfchied nicht beachter. Er erkläre aͤhnliche 
(eckige) Körper überhaupt als folche, welche von gleich 
vielen. ähnlichen Ebenen begränze werden, Vielleicht 
ift er zu der DVernachläffigung jenes Unterſchiedes dar 
durch bewogen worden, daß folder bey den Paralles 
lepipeden wegfälle, Diefe find, wenn fie. bey einerley 
Beftimmungsfiücken verkehrt ähnlich (ſymmetriſch in 
der eingefchränften Bedeutung des Worts) find, alles 
mal congruent. Indeß haͤngt diefe Michtbeachtung 
eines an fich nicht fehr- bedeutenden Unterſchiedes mif 
efivas anderem, welches wichtiger ift, zufammen. Quflis 
des macht von der Congruenz gar feinen Gebrauch, um 
die Gleichheit zweyer Körper, die zu einerlen Claſſe der 
von ihm betrachteten ecligen Körper gehören, als zweyer 
Marallelepipeden, zweyer Prismen oder zweyer Pyras 
miden unter gewifjen borausgefesten Bedingungen zu 
erweifen, ſondern ex leiter ihre Gleichheit aus einem 
-fehr allgemeinen, in der 10. Def. des eilften Buchs 
enthaltenen Gage ab. Und doch fonnte — fo fcheint 
es — ihm wicht entgehen, daß die förperlichen Winkel, 


Symmetrie. 859 


welche er XI, 26. gleich nennt, congruent ſind. Wie 
kommt «8 alſo, daß Euklides die Congruenz in den 
Beweiſen der Saͤtze uͤber die Gleichheit der Koͤrper ganz 
zuruͤckgeſetzt hat, da Archimedes in einem an ſich ziemlich 
offenbaren Kalle, Prop. XX de Sphaeroidibus et 
- Conoidibus, fie anwendet? Man EFann nicht anders 
vermuthen, als daß Euflives, da er einfah, daß die 
Stereometrie feine dem Gange, den die Planimetrie 
nimmt, ganz adäquate Behandlungsweiſe zuläßt, eine 
weitläufige, für Elemente, feiner Meinung nach, zu um⸗ 
ftändliche Behandlung der Jehren von der Gleichheit der 
ecfigen Köper vermeiden wollte. - Auch iſt eg in der That 
nur ein einziger Satz, welcher Anftoß erregt har, ver 
28fte des eilften Buchs, bie Gleichheit der beiden Priss 
men betreffend, worein ein Parallelepipedon durch vie 

Diagonalfläche zerlegt wird; alles Übrige ift leicht zu. 
ergänzen, | 


Daß übrigens die älteren Geometer den Linterfchied 
groifchen Gleichheit aus Eongruenz und ohne Congruenz 
bey denfelben Seftimmungsftücken ger wohl gefannt has 
ben, beweifer ihre Behandlungsart der Sphärif, wo bey den 
fphärifchen Dreyerfen jener Linterfchied wieder hervor⸗ 
tritt. Man darf nur die erſten Säge im dritten Buche 
bes Theodofius, und einige der erften im erſten Buche 
bes Menelaus anfehen, um.fich davon zu überzeugen. 
Wolf muß dieſe beiden Schriftfteller gar nicht zu Mathe 
gezogen haben, weil er im zweyten Kapitel feiner Sphäs 
rik (in den lateinifchen Elementen) ihr DBerfahren fo 
wenig nachgeahme bat, Gegner fcheint zuerft unter 
‚uns darauf aufmerffam gemacht zu haben, daß ein Paar 
drenfeitige Ecken bey denfelben Beftimmungsftücken gleich 
feyn fönnen, ohne congruent zu ſeyn. Er zeigt diefes auf 
eine fehr einleuchtende Weiſe in der 1741 berausges 
gebenen Defensio adversüus censuram Berolinen- 
sem ©. 32, Man fehe audy feine Vorleſungen über 
‚die Rechenkunſt und Geometrie, ©, 594 und 592 ber 

# 


860 Symmetriſche Funetion. 


sten Aueg. Dadurch wurde Karſten veranlaßt, in feis 
ner Mathesis theoretica, Rostoch,, 1760, im Zus 
ſatze zu ſ. 296. der Geom. ©, 146 jenes Unterſchiedes 
gleichfalls zu, erwähnen, und den angefochtenen Satz in 
Euklids Elementen. (XI, 28.) auf eine andere Weife, 
durch die Erhauftionsmerhode nämlih, zu begründen, 
In den fpäter herausgegebenen Anfangsgründen hat er 
Diefes noch bündiger; geleitet, Kaͤſtner hat den oft ers 
waͤhnten Unterſchied entweder gar nicht gekannt, oder 
nicht für beachtungswerrh gehalten. Man fehe feine 
Anfangsgrönde der; Geom., 59 Lehrſ. und die geometr. 
Abhandl. II, 31, Mo; 23. Käftners Beyſpiel hat die 
Verfaſſer mehrerer deutfcher Lehrbücher, welche nach dem 
Käftnerfchen erfchienen find, verleitet, jenen Unterſchied 
gleichfalls zu vernachläffigen, u 


Symmetriſche Function irgend welcher uns 
beſtimmten Größen a, b, c etc. iſt eine folche, worin 
diefe: Größen. alle auf diefslde Ark vorfommen, bie alfo 
ungeändert bleibt, man mag jene Größen unter einander 
bertaufchen, wie inan will. 3. &.a+b+c; abe; 
ab +atb+be -+b’c-Hac’+arc, find rationale 
ganze. fpmmerrifche Runctionen der Örößen a, b, c; bin: 
gegen iſt rue eine rationale gebrochene ſym⸗ 
metriſche Function derfelben Größen. Die Area eined Dreys 
ecks zV ab + eb’ +2aie—at— b#+— c‘) 
ift eine irrarionale ſymmetriſche Function der drey Seiten 
a, b, c defielben. Aber (a — b) (bc) (c—a) ift 
Feine ſymmetriſche Function ber Größen a, b, c, weil, 
wenn "man a und b gegenfeitig vertaufcht, fie in 
(ba) (c—b)(a—c) übergeht, welches das Entges 
gengefegte des vorigen Werths ie 
Unter ben rationalen ſymmetriſchen Functionen 


verdienen vor allen diejenigen zuerſt unterſucht zu wers 
den, deren Glieder die Form Ma«bBcY,.... haben, 


Symmetriſche Function, g861 


wo M ein von den Grundgroͤßen ä,b, o. unab⸗ 
haͤngiger Coefficient iſt, und a, ßB, y. "ganze. poſitive 
oder negative Zahlen bedeuten, Denn aus ſolchen 
Functionen find. nicht allein alle ‚ganze ſymmetriſche 
Kunctionen der Größen a, b, c...., wenn man ihre 
Glieder gruppweife sufommennittiine, fondern auch eine 
Heoße Menge gebrochengr fyminetrifcher: Functionen zu⸗ 
ſammengeſetzt. ‚Eine ſymmetriſche Function der. and 
gegebenen Art, fuͤr welche Mas bß ov.... die Stelle 
des allgemeinen Gliedes vertritt, indem daraus durch 
gehörige Vertauſchung der Größen a, b, c... gegen 
einander alle übrigen abgeleitet werden Fönnen, kann 
nun, wie ed bisher in diefem MWörterbuche gefchehen ift, 
füglich durch [Mae bPcv..., oder weil M:von a, b, c... 
nicht abhängt, durh M/arbPcv.... bezeichnet. werben. 
Sie begreift, wenn der gemeinfchaftliche Factor M bey 
Seite gefegt wird, wie man fieht, alle Combinationse 
formen einer’ geroiffen Gattung, naͤmlich bie, worin von 
den Elementen a,b, c.... ein Element & mal, ein ana 
deres B mal, ein drittes ymal u. ſ. w. vorfommt, und 
fann in fo fern einfürmig beißen. Dach der Zahl 
der in dem allgemeinen Gliede arbPcY..... enthaltenen 
Elemente a,.b, o;.. aber, oder der Zahl der Wieder: 
Golungserponenten. a; ß, Yır-. Fann- fie unarifh, 
binariſch, ternarifch u. f. w. genannt werden. 
So ift Ja: bP=a«bP + aßbe --bech-+-bPc* 4 arch 

t aßc« eine einförmige binarifche Function der Groͤ⸗ 

fena,b,c; abcd — eine —— der 
Größen a, b,c,d... 


I» Die einfbemigen nie gunetionen, 
für welche alle Wiederholungserponenten — 1, find 
nichts anders, als die Summen von Combinationen 
der Grundgrößen ohne Wiederholungen, In den Ars 
tifeln, Combination, 43, und Combinationslehre, 53, 
find ſie durch die Symbole A, B, C, D u. ſ. w. be 
zeichnet worden. Eben zafelbſi ift gejeigt, wie die fom: 


862 Symmetriſche Function: 


metrifchen Functionen von der Form fan ober bie Pas 
tenzenſummen ber. Srundgedßen ä, b, Cr. im Kalle. 
eines ganzen poſitiven Erponenten m durch A,B,C,D. 
u. ſ. w. ſowohl abhängig als unabhängig ausgedruckt 
werben. Vermittelſt -eben dieſer Formeln laſſen ſich 
aber auch die Summen der reciprofen Potenzen der 
Orundgrößen, d. i., die fpmmetrifchen: Funetionen von 
ber, Sorm- fan in dem Kalle eines- ganzen negativen m, 
duch ‚A, B, C u. f..w. ausdrucken, wenn die Zahl der 
Grundgrößen befannt iſt. Sind. decſellen » ° ff 
a,b, > d,. ° fo aM man 


1 abedꝓ — 4 Luutbede 
J-# + ++ — — 


a abcde 


— 


= 
„Blofl- — 
0 


a 
um 


ts; EM 1 abe abd N.Fede 
rl de _.°-  abede 


+, 


* 
M 


— 


—— — -+da 
m rm — bed 
a | 

TE | | 

1 1 f a+bf..te 

I. abcd — urn "ee abede 
iR A | | 

RE 


ER ER. 
S abcde abcde E 


J Sommetriſche Function. 863 


Henn alfo in ven Kormeln — 

Ja =a+tb+.... + e=A.. 
Jab=ab + ach...» dB 
Sabo Zabe-Fabd +... +cde=c 

uf w., flatt a,b, a. d, a ihre reciproken n rl 


’ ee — a ee D ae * 
geſetzt werden, ſo verwandelt ſich A in Er Bin Ei 


C in Zu f. w. Diefe Subſtitutionen find alfo auch 


in den Formeln. für far, welche gelten, die Größen 
a, b, cC,..,... mögen feyn, was man nur will, zu 
machen, um die für fa” zu erhalten, Dadurch ent 
ſtehen alfo zuerft folgende abhängige Kormeln — 


— 
E > 
D C 
nn I 2— 
D .,C: B 
I (2 nn [a — 
Ja a — 43 = 
C 


ferner diefe unabhängigen” 


D 
— - iu I 
ra’=z | 
j A, a". _ 
—  CE—_—,D: 
nr De DEI 4 Ä 
— TrE.gEB E? 





/ 


86 Spinniekrifche Funckion. 











EN 1 
N Zu Er er ve 3 game: 
Go gi - 2% —4 J mi 
u BE’, 2C he n 
ww 2 I j . 2 | —— 
12 — Br E3 & 
— 4 A_4 3BD+CT 4 sur 
an ⏑—3 
| a 
\ J N | 4 7 
Be Ant taBDE-HCE)H cD’E-*p} 
q LEST u — 9 


u. ſ. m Ber — 


Die unabhängigen Kormeln für Ja" ergeben ſich 
bey fünf Grundgrößen auch aus den gleichartigen Kor 
meln für fa”, wenn man in diefen ſtatt A, B, C, D, B 
die Größen D, CE, BE’, AE®, E* ſchreibt, E, G u. ſ. w. 
aber —o feßt, und das fo erhaltene. Reſultat mit E* 
bividirt. Daß F,G, Hu. f. w. auch aus den abhän- 
gigen Kormeln ‘für dieſelbe Anzahl Grundgrößen weg⸗ 
fallen, braucht wohl kaum erinnert zu werden. 


2. Umgekehrt Taffen fi A, B, c‚Dufm 
durch fa, Ja’, Ja u. f. w., oder wenn man die Be⸗ 
zeichnung von 53. des Art., Combinatoriſche Analyfıs, 
beybehält, durch P, Q, R, S u. ſ. w. ausdrucken, Da 
nämlid) nach dem, was dort gezeigt ill, 


log(i-FAz+Bz’+Cz’+Dz?-+etc) 
—Pz—3+0z’+3 Rz’ — 152% 4 etc. 
ao -.  . ne, er 
ı+Az+Be’+C2’+ etc, ame Pa 1Q=? + 5Rz? etc. 
| | fo 


* 


Symmetriſ⸗ che Function. 865 


fo. twird- aus 49. deſſelben Art., wenn man daſelbſt 
u-=o feßt, wodurd ae" ı. wird, a aber —P, 
b=—30,c=+3Rwf, w, mad, 

| > 


A=Pp 


sc=B_, FR, 
3P°Q farh, 0‘ 88 
24 DZ=P—4.-—— rl a - I \oo4— 
24 4 — —* — 47 
ui ABER. (#3 3PQ* 
EP; 4 — 4 I 
120 Sa. 1,20 Tree | 
| PS 20R T 
— 60 —— — 120,— 
n 0 ae 7 
u. ſ. w. 


Das Bildungsgeſetz dieſer Ausdruͤcke iſt folgen: 
bes: Die Summe der ntionen multiplicirt in 
n(n—ı)(n—2)....r. enthält alle Combinationen 
ber Größen P,Q,R, S u. f. we, deren Localſumme 


‚ 190 EN 
für den Zeiger P,Q,R, s) —n. Jede Com⸗ 


bination wird mit der Verſetzungs zahl ihrer Elemente mul⸗ 


tiplicirt, und durch die ihr entfprechende Zahlencompferion, 


als Product der Elemente betrachtet, hividirt, Außerdem 


bekommt noch jede Elaffe der Combinationen einen nume— 


rifhen Factor, welcher für die höchfte Claſſe S r, für 


jede andere mre Elaffe aber =n (n—ı).... m-+ı 
ift. Die Vorzeichen wechfeln mie den Elaffen von der 
böchften bis zur niedriaften ab, 


Die abhängigen Formeln, welche A,B,C,Du.f.w. 
durch P,Q, R, S u. ſ. w. geben, werden aus (50) des 


Jii 


. 866 Symmetrifche Function, 


angeführten Artikels, ober noch leichter aus dem rt, 
' Kombination, 48., erhalten. Sie find 


A=P 
sB=AP=-OQ _ 
3C=BP—AQ+R 
4D=CP—BQ-+-AR—S 
sE=DP—CQ-+BR—AS-+-T 
u. ſ. w. | 


3. Einen Hauptgegenftand in der Lehre von den 
fommerrifchen Sunctionen macht die Zuruͤckfuͤhrung der 
einförmigen fymmetrifchen Functionen mit mehreren Ex⸗ 
ponehten auf bloße Potenzenfummen oder einförmige 
unarifche Sunetionen aus. Diefe Neduetion ift immer 
möglich, wie das folgende überfehen laffen wird. 


4. Es ift Ja« . [a® — [a«+P + fa«bP 

Denn zu den Partisiprodueten, melche das Product ber 
beiden Reihen — 

ſas ⸗a⸗e 4 ba per 4 de 4 etc. 

ſas ⸗ as +bp + 4 da 4 etc 
enthaͤlt, liefert jede Reihe einen Factor. Beide Faetoren 
werden nun entweder in derſelben Stelle oder an verſchie⸗ 
denen Stellen gewmmen. In jenem Falle iſt das 


Partialproduct von der Form as6, in dieſem von der 
Form a®bP, welches den Gag giebt, 


5. Es ift far. fa. fay=fartfıy + fastPbv 
| + fasıybP + faRtyb« 
+ fa« bPcY, 


Denn zu den Partialproducten, woraus das Pros 
duct der drey Reihen 
y 


Symmetriſche Function, 867 


ſas =as ꝓ ba c⸗da 4 etc, 
ſasb ab +bP4+cB +dP + etc, 
Jay Zay+by+ cr-+dY+ etc. 


beſteht, wird aus ‚jeder Neihe ein Factor genommen. 
Dieſe drey Factoren befinden ſich nun entweder alle in 
einerley Stelle, oder zwey von ihnen find;gleichftellig und 
der dritte mit dieſen ungleichftöllig, oder alle, drey find 
ungleich ſtellig. Im erften Falle ift das Product von der 
Form as+P+Y, im andern iſt c&, je nachdem die beiden 
gleichſtelligen Factoren entweder aus der erffen und zwey⸗ 
ten, oder aus der erſten und dritten, oder aus der zweyten 
und dritren Reihe genommen werden, entweder bon der 
Form artßby, oder ac+ybP, oder aß+y be; im dritten 
und festen Falle endlich hat das Product. die Form 
a®bPcy, welches der Gas ilt. Ba ne 

6. Auf ähnliche Arc Eann man die Zufammens 
fegung der Prodirte von vier und mehr Potenzenfummen 
entwickeln Man wird aber hierbey bald gewahr werden, 
daß man nur die Exponenten der verſchiedenartigen 
Theile zu kennen braucht, um ſogleich den ganzen Com⸗ 
plerus derfelben Hinfchreiben zu fönnen. Diefe Expo⸗ 
nenten aber lehrt die folgende involutorifche Anordnung 
Eennen. 2 —— TER 


— 
868° ESymwmetriſche Function. 


a) PßIlY 
44417 
a+y, 6 
647 & 
@a+Pß+Y 
@a+ö, ß; 
' B+Ö, a, 


yv+ö, 0; eto. 


2 den oa oo 





Diefe Involution zeigt, fo weit fie hier fortgeſetzt 
iſt, die verſchiedenen Arten, auf welche die Summe 
a+BßB+y+ö aus den Größen a, 6, 7, 8 und 
ihren Verbindungen zu zwey, drey, vier, ohne eine ders 
felben zu wiederholen, gebildet werden Fann. Die in 
diefer Art möglichen Zufammenfegungsweifen einer 
Summe werben aus denen für die nächfiniedrige 
Summe, welche der Winfelfafen abfonvert, erhalten, 
wenn man allen Complexionen zu ber vorhergehenden 
Summe rechter Hand das naͤchſthoͤhere Clement beys 
fügt, und den fo entftandenen Complerionen noch dies 
jenigen zufegt, welche aus der Verbindung diefes naͤchſt⸗ 
höheren Elements mit jedem der in den Complerionen 
der niedern Summe ſchon vorhandenen zu einem here 
vorgehen, die hbrigen Elemente aber ungeändert bins 


Spmmetrifche Zuncon. 869 


Hiernas if nun - 
. fe 2 far: ‚fa? = ⸗as ab tvid 4 ſaetpav bd 
4 Jas+P+? by-+ fastrtd b£ 


+ faP+Y+d b«+ fas+P by+3 
+ fa«+Y bB+ö+ far+5-bB+Yy 


; +farıPbycö+farrybßcd 
‚+ ‚far? bBcyY-+faß+ybec® 
+-faß+öbecy-+ Jar bec$ 
= | tfarbeord, | 
7. Es if 
Ja bP= fa« faß — farıB 
Echiebt ſich ſogleich durch ac tion aus (M 
8 . Es iſt 
— — ſa⸗s as „far — fast? ‚far — farsv faß u 
| — Vſabty ſas + 2 ‚fas+PtY, 
Denn aus (5) ift 
farbber= ſas fa? ‚fay — far? by — fas+ybP 
— fa+y be — ſasibtv. 
Druͤckt man die hier vorfommenden binarifchen Se 
nen nach (7) aus, indem man 
| Jar br= far? Jay — ſatiar 
aufm. macht, fo entficht nach geboͤriger Reduction 
der angegebene Ausdruck. 
9. Es iſt auf aͤhnliche Art 
as bo o do ja ‚aß ‚faY [ad — fas+P ſav. fe? 
— fasıy . [aß „fa? — far+d. ſab. [av 
— faßıy. fa« „fa? — faß+}. Ja° .faY 
— far} . fa® .fa® + 2 fartPıv . fa 
+2 es Jar + 2 far? ui 


» 


870 Spmmetrifihe Functiom 
# 


— * —V far + farp‘, faya® 
r Er 3 a + fary . Ja baꝰ + fa? ‚ [aßıy 


bar 


"70, . Die Ausdrücke in (7), (8) und (9) zeigen 
- allgemein die Zufammenfegung der einförmigen binari⸗ 
fchen, ternariſchen und quaternarifchen ſymmettiſchen 
Sungtionen ans unarifchen',öder bloßen Potenzenfums 
“men. : Das allgemeine Geſetz dieſer Zufammenfegungen 
betreffend, fo find die Erponenten diefelben, wie in (4), 
C5) und (G), alfo durch die Involution in (6) gege⸗ 
ben,:.e&’bleiben alfo nur noch die Vorzeichen und die 
Coefficienten zu beſtimmen übrig. Das Gefeg für dieſe 
hat Waring: in feinen Miscellan, analyt, und-Me- 
ditat, algebraic. ganz allgemein, aber ohne Be⸗ 
weiß, angegeben, welchen Paoli in dem Supple- 
mento agli :elementi di Algebra (Pisa, 1804), 
Op. IL ‘9:28, erfegt und durch die umgekehrte Mes 
thode der Differenzen geführt hat. Meier Hirſch 
has in feiner Sammlung von Aufgaben aus der Theorie 
der ülgebraifchen Gleichungen, Berlin, 1809. $. 25. 
einen mehr elementarifchen Beweis burd) den Schluß 
von m.auf m-+ gegeben, der aber, wie der Kaͤſt⸗ 
nerfche Beweis des binomifchen Lehrſatzes, im Grunde 
gleichfalls auf der Differenzenmerhode beruhet. 


17. Die vorigen Saͤtze erleiden. einige Modifi 
gationen, wenn in dem allgemeinen Ausdrucke einer eins 
förmigen ſymmetriſchen Function far bPcvd?.... zwen 
oder mehrere der Erponenten &, Br 7, ürr.. gleich 
werden, und jwar aus einem jwiefachen Grunde. Cr: 
ſtens nämlich werden dadurch mehrere Glieder des Gums 
menausdrucks [as bAcydd,... felbft gleich und in eins 
zuſammengezogen. Wenn z. E. in far bA= ar bA 
+aßbe- ar ch ab ce +... +bred+bPes + etc. 
«—ß wird, fo verwandelt ſich far bP in as be + as b* 
+eo+aor +... pbec+ beca + etc. —2uarb® 


Ä ESymmetriſche Function. 871 


Koaarca +... 2bsca-tetc,, di i., in zfarbe, 
Eben fo gehe farbPcv, wenn a=ßB=Yy wird, in 
6 far bres über, JarbPcy.dder hingegen verwandelt 
fi in. ı2 [a“b« cadded, wenn a=ß=Yy, und de 
wird, wie daraus fich ergieht, daß jede Combinationse 
form wie abcde, wenn alle Erponenten ungleich find, 
zu fa« bBcy dd er durch Derfegung der Erponenten 
1+2.3.4-5 Ölieder, wenn dr a = B=ymbäze, 
Glieder liefert. 
1.2.3. 1:2 
Zweytens werden aber auch in ber Zufammenfesung bon 
JarbPcrdd..... ans Potenzenſummen und Probucten 
von Potenzenfummen durch Gleichfegung zweyer oder 
stiehrerer Erponenten mehrere Glieder gleich, und in eins 
zufammengezogen, So werden 4, B. in farbAcyd?, 
wenn a=ß=y wird, die drey Ölieder — fas+P. faY. Jad; 
— fanıy. faR.fad; — farıv ſas. fa? glei, und jedes 
= — fa’ fas. [ad ; fie vereinigen ſich alfo zu dem eins 
zigen Gliede — 3 fa's. far. fat, fo daß aus beiden 
Gründen die Gleihung in (9), wenn a2 A == wird, 
und man überall: ſtatt 5 mieder 4 ſchreibt, in Ölgende 
übergeht: ® | 
6 as be ca de = (fas)5 — 3 fat«. far. faß 
3 far+P ‚(fas)* + 2 Ja®* fa® 
+6 far. far + zfar«.faB 
Se 


woraus nun | m . 
fa becad? = 4 (fa)? —3 fa ‚far. ſab asıB.(far)® 
L + ſasa, faR + fateıP , far + 3 fatr. faıß 
— | far 


— 
zu [as be ce dd eꝰ ‚nur 


hervorgebt. | 
Das allgemeine Geſetz, nach welchem ſolche einförs 
mige ſymmetriſche Funetionen mit wiederholten Erpos 
‚nenten. aus Potenzenfummen zufammengefegt werden, 


872 Shymmetriſche Funetion. 


hat Meier Hitfch In der vorhin (ro) angezogenen 
Schrift, 9. 26 — 31., ſehr gut entwickelt. Fruͤher 
hat Bandermonde daſſelbe in einem den Mem: da 
Paris fuͤr 1771 einberleibten Auflage, der auch ſonſt 
viel merkwuͤrdiges zur Theorie und’ Aufloͤſung der- abs 
gebraiſchen Gleichungen enthaͤlt, in einer einfachen und 
ſchicklichen Bezeichnung, welche Meier Hirſch ange⸗ 
nommen bat, aber ohne Beweis, vorgetragen, nür daß 
er die Involution nicht gebraucht, ſondern ſtatt ihrer 
Bie Aufldfung unbeſtimmter Gleichungen ſetzt. Begreif—⸗ 
lich. enthaͤlt die allgemeine Aufloͤſung, wobey die Expo⸗ 
nenten a, 6, % 8... bejiehungsweife. a, b, c, d.... 
mal wiederholt augenommen werden, auch ben Fall uns 
tex ſich, wo jeder Exponent nur einmal vorkommt, alſo 
alle verſchieden ſind. Vandermonde's Aufloͤſung 
giebt daher auch die Formeln in (7) ⸗(9), und die 
ihnen aͤhnlichen hoͤheren. Übrigens hat Vandermonde 
den. Ausdruck für fa” durch A, B,:C, D, etc. in dem 
Falle eines gauzen ‚pofitiven nr gleichfalls von der Aufs 
löfung einer unbeftimmren Gleichung, einer fogenannten 
Bedingungegleichung, abhängig gemacht. c 


12. Das von (4) bis hierher beygebrachte wird 
hinreichen, - die- Behauptung in’(3), daß jede eine 
förmige ſymmetriſche Function far bPcydd.... ſich für 
irgend weiche Beſchaffenheit der Erponenten a, A, 
Y 5... durch bloße Potenzenſummen ausdrucken laſſe, 
zu rechtfertigen. 


Sind a, Bs, y, d.r.. ganze pofitive oder negas 
tive: Zahlen und im lesterem Falle die Anzahl der 
Grundgroͤßen a, b, c, d.... befannt, fo laſſen ſich, 
wie aus dem obigen erhellet, die Portenzenfummen, mit 
bin auch farbAcyd®..... durch A, B, C, D, u. fe w. 
rational ausdrucken. Insbeſondere wird far bP cv dd... 
eine rationale ganze Runction der Groͤßen A, B; C, D, 
u, ſ. wi, wenn die Erponenten’ &, By, dis. lauter 
poficive ganze Zahlen find, — 


— 


| Symmetriſche Funetion. 873 


mietriſche Function der Größen a, b, c, d,,,.'entwes 
der ſelbſt eine einfürmige fommetrifche Function, oder 
ans folchen .einförmigen Functionen zufammengefegt. ift, 
fo-folgt, daß alle- ganze. ſymmetriſche Functionen- der 
Größen a, b, c, d,.... durch rationale ganze Functio⸗ 


“nen der Größen 4, B, €,D, u. f w. dargeſtellt wer⸗ 
den fönnen. 


13. Der Sig, daß Tee Tan ——— 
oder — Function der Groͤßen a, b, c, d.... 
ſich durch A, B, C, D, u J. w, rational‘ darſtellen 
fäfle, findet fich swerft in einer Abhandlung Eulers in 
ben Berliner Memviren für 1748, Demonstration 
sur Je.nombre des points d’intersection de deux 
lignes courbes, allgemein aufgeftelle, und an einigen 
befonderen Fällen dargetban. Nachher hat Cramer 
um ‘Ende feiner Iytroduction die Daritellung einförmis 
miger fpmmetrifcher Functionen duch Formeln mit den 
Groͤßen A,B,C,D, u. ſ. w. umſtaͤndlicher ausgeführt 
und ihebefondere für die Entwicfelung der Producte 
zweyer foldyer Funetionen, die er Facteurs-secondä 
nennt, Vorſchriften gegeben. , Einen durch feine, Kürze 
und Buͤndigkeit ausgezeichneten Beweis des Testen 
Gases in. (12) trifft man in der: Abhandlung von 
Gauß, Demonstratio altera noua theorematig, 
omnem functioneni algebraicam rationalem inte- 
gram ‚vnius variabilis in factores reales primi 
vel secundi gradus resolui pose, be 4. an. 


— 14. Zur Erläuterung des eben erwähnten Satzes 
dienen die Formeln in dem Artifel, Combination, 48. 
welche aus dei Sägen in 0) und folgg. fich ergeben. 


Es iſt, wenn man in (7) a3 macht, und 
‘ct 7) in Anwendung bringt | 


— . red oft: 


: ; aa’, '2. 


874 Symmetriſche Function, 
und, wenn man für fa’, fat ihre Werthe durch A, B, 
C, D aus (Combinaforifce Analofis, 53.) fett. — 


__ (AA sBy—Ai+4AB—4AC—aBB+4D 
=BB—2A6+2D 
Eben ſo wird mit Zuziehung von (11) aus (8) 


— [a4. fa? 6 
— Br red DIOR 


1 a | 2* 
und nach Gupftitution der Werthe von fa’, far, Ja’ 
— =C06—2BD-+2AE—2F. 


u. fe w. Diefelben Kormeln werden auch erhalten, 
wenn man in (2) die formlofen Größen a, b, 0, d, 
u. ſ. w. mit ihren Quadraten a’, b’, c’, d’, u. ſ. w. 
bertauſcht, wodurch AZ fa*, B=fa’b’, C=fa'b’e", 
B — P aber aꝰ, Q=/fa, R=fa; u. ſ. w. 
wird. 


15. Die ſymmetriſchen Funetionen ſpielen eine 
Hauptrolle in der Theorie der algebraiſchen Gleichungen, 
bey der Verwandlung und Aufloͤſung derſelben, bey dem 
Elimnationsproceß, und der Wegſchaffung der Wurzel⸗ 
groͤßen aus denſelben. Darüber ertheilt die mehrmals 
"angeführte Schrift von Meier Hirfch fehr guten 
Unterricht. Aber auch fonft, wo Größen vorfominen, 
welche aus anderen fo beftimmt werden, daß Feine der» 
felben dabey vor den übrigen efmas voraus bat, bietet 
die Lehre von den ſymmetriſchen Functionen Abfürs 
jungen und Neductionen dar. Ein Beyſpiel diefer Art 
giebt eine Abhandlung von Euler Solutio facilis 
problematum quorumdam geometricorum in den 
Nov. Commentar. Petrop. T. XI, worin er bie Ents 
fernungen je zweyer der bier merfmürdigen Puncte 
eined Dreyecks, des Schwerpuncts, ber beiden Mittels 


Syntakti,,. 68765 


punete bes’ eingefchriehenen und umfchriebeinen: Mreifed; 


und des Durchſchnittspuncts der drey Perpendifel von den 
Winkelfpigen auf die gegenüber liegenden Seiten durch 
pP, 9 r, wo p der Umfang des Dreyecks, q.die Summe 
der Produere aus je zwey Geiten, und r das Product 
‚ aller drey Seiten iſt, ausdrückt, und Die dadurch ents 
ftehenden Ausdrücke mistelft des Ausdrucks für die Area 
des Dreyecks durch p, q, x, noch weiter vereinfacht. 

In Kramps Elémens d’Arithmetique uni 
verselle enthalt das Zofte Kap. das wichtigſte ber 
Lehre von den fommerrifchen Functionen in einem Furs 
zen, aber doch lichtvollen Vortrage. Zur Ergänzung 
einiger mehr angedeuteten als ausführlich entwickelten 
Saͤtze, fo wie zur Kenntniß der Anwendungen dienf 
das Werk von Meier Hirſch, deſſen Studium alfg 
mit dem des KRrampifchen nüglich, verbunden wird. 

Poſſelts Abhandlung De functionibus qui- 
busdam symmetricis, Goettingae, 1818, : betrifft 
- einige von Euler zuerſt im 2ten Bande der. Integralrech⸗ 
nung 6.1168. aufgeltellsen Säße über gewiſſe rationale 
gebrochene ſymmetriſche Functionen, welche der Verfaſſer 
hier auf eine elementarifche Weiſe darthut, erweitert, und 
ihnen noch andere neue. Säge derfelden Art beyfuͤgt. Mit 
den Eulerifchen Saͤtzen hat fi) auch Ruß, Act, Acad, 


Petropol. T. I, beſchaͤfftigt. | 


u Syntaktik iſt einerley mit Combinationslehre. 
Lorenz hat dieſe Benennung derſelben eingefuͤhrt und 
gebraucht. | 


Synthefis (compositio, Zufammenfegung) ift 
das Merfahren, wobey man in der Erforfhung und 
Mittheilung von Erfenntniffen von den Gründen zu 
ben Kolgen fortfchreitet, fo wie man umgekehrt bey der 
Analyfis von den Folgen zu den Gründen zuruͤckgeht. 
Mach der Syntheſis wird alfo ein Satz directe (a prior) 
mictelft einer Combination von Sägen bewiefen, die als 


876 — Syntheſis. 


richtig anerkannt werden, und eine Aufgabe ſo aufge⸗ 
lboͤſet, daß man bloß aus den gegebenen Groͤßen und 
den mittelbar durch ſie gegebenen die unbekannte findet, 
und dieſe aus jenen zuſammenſetzt. Nach der Analyſis 
hingegen (a posteriori) beweiſet man einen Satz das | 
durch, daß man zeigt, daß man von demſelben auf einen 
als wahr ausgemachten Satz kommt, und loͤſet eine 
Aufgabe fo auf, daß man von dem geſuchten auf et⸗ 
was, Hegebenes "geführte wird, Beide Verfahrungss 
arten find in dem Vortrage mathematiſcher Erfennts 
nifje anwendbar. und üblich, 

Zur Erläuterung des. angegebenen Unterſchiedes 
in ber Beweisführung mag der Gag dienen, daß, wenn 
man an je zwey von drey ungleichen Kreifen ein Paar 
gemeinfchaftlicher - Beruͤhrungslinien fo zieht, daß jede 
derfelben- die Kreife gqn einerley Seite der die Mittelr 
puncte verbindenden geraden berührt, und folche bis zu 
ihrem Durchſchnitt verlängert, Die drey Durchſchnitts⸗ 
puncte in gerader Linie liegen. 


Synthetiſch wird diefee Gas fo bewiefen: 


Es feyen (Fig. 66.) C, C’, C' die Mirttelpunete 
Der dren reife, deren Halbmeſſer beziehungsweiſe 
r, r‘, vr’ find, und M, M‘, M“ die Durchfchnirtes 
puncte der drey Paare berührender HM, IM; H'M', 
I’M'; HM“, I'M”, fo foll bewiefen- werden, daß 
M, M', M“ in gerader Linie find, 

Zu dem Ende werde CK, welde der C’M” in 
HK begegnet, der MM“ parallel gezogen, fo ift nad 
einem befannten Gate (Elem. VI, 2.) 

CM ; CM =C'!M“; KM“ 

Nun ift, wenn man fih von C und CO’ Halbmefjer an 
die Berührungspunete der Kreife um C und C‘ mit MH 
gezogen vorſtellt, 
CM:CM=ıf:: 


Spnthefis. 877 
Däher ir CM": ‚KM? 
und. r': CM"= ri; KM“. | 
Denke man fih von C und C’ gleichfalls Halb 
meſſer an die. Beruhrungspunete auf: H‘M' gezogen, 
fo ergiebe fi “ 
Y': cMu— 2 sg 


Falglig iſt — J 
un , rl: GUMMI rt KM! } 
oder 3 r!2p = CuM'.KM" 


d. i. CM: CM‘ = C"M":KM' 


> Daher ift MM! ver CK parallel, und Fotglich 
MM!'M' eine einzige geräde Linie, weil nämlich hier 
nah MMC" + C"’M"M’= M'RC + cKc= — 
zwey rechten Winkeln, | 


Diefer Beweis ift fontherifch, indem bloß — 
Saͤtze, welche ſich theils durch Anwendung allgemeiner 
geometriſcher Lehrfäge auf die vorliegende Größenver: 
bindung ergeben, theils aus der allgemeinen Propor: 
tionslehre entlehnt find, darin fo verbunden. werden, 
daß der zu beweifende En das Ergebniß des legten 
Schlußſatzes iſt. 


Ein analytiſcher Beweis deſſelben Satzes nimmt 
an, daß M, M!',M’ in gerader Linie find, und folgert 
daraus, daß, wenn nun von den Puncten M”, M die 
Perpendikel Mm“, M’m’ auf MG gefällt werden, . 


Mm‘: Mm‘ —= M'm‘ : Mm" 


ſey, welches auch in der That ſo befunden wird, wie 
man in Meier Hirſch's Sammlung geometriſcher 
Aufgaben, Th. 2, 6. 271, erfehen kann, wo der Bes 
weis auf diefe_ Art geführt iſt. Feeylich er da⸗ 
durch nicht * kuͤrzeſten — | 


‚878 . Syutheſis. 


Die Syntheſts bleibt weſentlich daſſelbe Verfahren, 
man mag ſich algebraiſcher Zeichen bedienen oder die in 
einem geometriſchen Schema vorkommenden Größen tits 
mitcelbar andenten. | 


Indeß muß man doch zwey Arten derſelben unter⸗ 
ſcheiden, diejenige, deren ſich die Alten bedienten, und die 
algebraifche, welche bey den Neueren die uͤblichſte iſt. 


Die Syntheſis der Alten gebraucht gleichſam als 
Bindemittel bey der Zuſammenſetzung der ſchon gefuns 
denen Saͤtze und Aufdfungen nichts. als die Addition, 
Subtraction und die nF —— Muls 
tipficarion und Divifion fommen nur vor, wo Vielfache 
einer Größe zu nehmen find, oder eine Groͤße in eine 
Anzahl gleicher Theile zu theilen ift.  Ansziehung einer 
Duadratwurzel iſt Erfindung einer mittleren geometri— 
fchen Proportionalgröße zwifchen zweh gegebenen; und 
die Ausziehung einer Eubifwurzef iſt die Erfindung einer 
von zwen mittleren Proportionalgrößen zwiſchen zwey 
gegebenen. Was nad) der neueren Mechnungsart ein 
Product aus zwey Linien heißt, ift in der alten Geome⸗ 
trie Rechteck; ein Product aus drey Linien oder aus einer 
Linie in eine Flaͤche — rechtwinkliges Parallelepipedon. 
Ein Product von vier finien, einer Linie in einen Koͤrper, 
oder von zwey Slächen, von Klächen in Körper, und ders 
gleichen Producte von mehr als drey Dimenfionen konn⸗ 
ten gar nicht vorfommen, Bey: diefen wenigen und eine 
fachen Hülfsmitreln zur Verknuͤpfung bet Größen war 
e8 viel fehmwerer die Nelationen derfelben zu entdecken, als 
nach dem Verfahren der Meueren. Die Algebra und 
Analyſis bieten uns einen reichen Vorrath von allgemeis 
nen Sägen und Aufldſungen dar, aus denen man nur Die 
paffenden auszuheben, und mit den befonderen Beſtim⸗ 
mungen jedes Falles einer Relation zu verbinden braucht. 
Daher hat der Gang der neueren mathematiſchen Mes 
thode viel ‚gleichförmiges, welches in manchen Faͤllen 
leicht nachgeahlut werden kann. Die Alten mußten 


Syntheſis. 879 


faſt Für jeden Sag einen eigenen Weg auffinden. Defto 
mehr muß man ſich wundern, wie ſie bey ſo wenigen 
— ſo einfachen Huͤlfsmitteln ſo vieles haben leiſten 
koͤnnen. — | -_ 


Ein Umſtand, der mit dem Verfahren der’ alten 
Geometer, es mochte daffelbe Syntheſis oder Analnfis in 
der vorhin angegebenen Bedeutung diefer Ausdruͤcke feyn, 
nothwendig verbunden war, ift bie ununterbrochene Ber 
trachtung der Figur, und die Aufmerffamfeit auf diefelbe 
vom Anfarige der Schlußfette bis zu Ende. Das als 
Yebraifche Werfahren der Meueren erfordert diefe Auf— 
merffamfeit nur: bis ju einem gewiſſen Puncte, bis dahin 
nämlich, wo die in der Vorausſetzung der aufgeftellten 
Stage, es mag dadurch der Ermeis eines Lehrſatzes oder 
die Auflöfung einer Aufgabe gefucht werden, enthaltenen 
Bedingungen analyrifch oder durch Gleihungen ausge: 
druckt find. Don diefem Puncte an nämlich beginnt das 
eigentliche Gefhäft der Algebra, woben man der Betrach⸗ 
tung der Figur fi ganz überheben kann, und nicht eher 
zu derfelben zurückzufehren braucht, als um das Mefultat 
der algebraifchen Operationen auf diefelbe zu beziehen und 
geometrifch zu deuten. In den neueften Zeiten hat man 
die algebraifche Behandlung geomerrifher Gegenitände 
Dadurch von der Werrachtung der Kigur noch unabhaͤn⸗ 
giger zu machen geſucht, daß man die Lage aller Puncre : 
im Raume, und damit auch den Zug gerader ſowohl als 
frummer Linien, und die Verbreitung ebener und ges 
kruͤmmter Siächen in demfelben durch Coordinaten, wozu 
man in der Megel rechrwinflige wähle, beſtimmt, übrir 
gens aber diefelbe Maxime, welche die alten Geomerer 
ruͤckſichtlich der Einmifhung der Arithmetik in die eos 
metrie beobachreten, in Hinfiche der Zuziehung der Geo⸗ 
metrie befolgt, d. h., nur die zur Aufitellung der Funda⸗ 
mentalgleichungen unumgänglid noͤthigen allgemeineren 
Saͤtze der Geometrie, welche unmittelbaren Bezug auf 
die Eoordinatenmerhode haben, in Anwendung bringr; 


! - 


880 ESEhyntheſis. 


ohne erſt vorlaͤufige Conſtruetionen zu machen, und da⸗ 
durch die Anwendung ſpeciellerer Saͤtze vorzubereiten. 
Dieſes Verfahren iſt es, welches man jetzt gewoͤhnlich 
unter der Benennung des analytiſchen verſteht, und 
ſolches dem geometriſchen ganz auf Betrachtung der 
Figur ‚gegründeten Verfahren der alten Geometer, das 
den Namen des ſynthetiſchen bekonmt, entgegen⸗ 
ſetzt. Es iſt durch. feine. Einfachheit und Gleichfoͤrmig⸗ 
keit, ſo wie durch. die Eleganz, die es in der Behand⸗ 
lung zulaͤßt, gleich bewundernswerth, durch ſeine große 
Ausdehnung und Staͤrke aber verdient es den Vorzug 
vor dem ſynthetiſchen Verfahren der Alten. Dieſen 
Vorzug verdankt es unter andern mit dem Gebrauch 
der entgegengeſetzten Groͤßen. | 


| Die Einfachheit der Sonftructionen nö, wo 
Durch nach der alten Syntheſis die. Deftandrheile eines 
Beweiſes verbunden. werden oder das, Gefuchte. heraus⸗ 
gebracht wird, ‚macht es nothwendig, jeden Fall ‚einer 
Größenverbindung , worin die Lage der Linien eine, ans 
dere iſt, befonders Horzunghmen. Die neuere Mathe— 
matik begreift durch den Gebrauch des Entgegengeſetze 
ten. alle verwandten Kalle unter einer einzigen Unter— 
fuchung, die an einem der verwandten Kalle angeitellt, 
und mit der gehörigen Veränderung der Vorzeichen 
+ und — auf alle übrigen angewandt wird, Dieſes 
Verfahren kuͤrzt Die Unterfuchüngen fehr ab, wogegen 
bie Betrachtung ver einzelnen Källe augen d;einlicher 
ift, weil fie jeden finnlich darſtellt. Überhaupt, weil 
die Syntheſis der Alten Feine Rechnungsformeln ger 
braucht, fondern jeden Schritt zur Anfchauung bringt, 
ift fie befriedigender als die Merhode der. Meueren, die 
aber dennoch eben die Gewißheit gewährt, wenn man 
fie gehörig gefaße hat, und einfieht, wie das Wefondere 
im Allgemeinen enthalten iſt, und daher wieder aus ber 
Betrachtung eines befonderen Falls jeden anderen fich 
darftellen kann. 


Syntheſis. 881 


Dadurch, daß bey der Behandlungsart in der 
Mathematik der Alten der Beweis jedes Gases und 
bie Auflöfung jeder Aufgabe eine eigene Verfnüpfung 
von Saͤtzen und Conftructionen bar, iff es oft fchwer, 
den Weg, auf welchem ein Beweis oder eine Auflöfung 
gefunden find, aufjufpüren. Daher Heiße Syntheſis 
auch überhaupt das Verfahren, wobey die Kette von 
Schluͤſſen, die zu einem Gäße oder einer Auflöfung ges 
führe haben, nicht bemerkbar iſt, fo wie Analnfis im 
Gegenfage die Darlegung der ganzen Kolge von Saͤtzen 
und Conſtruetionen, in welcher das Vorgetragene ge⸗ 
funden iſt. 


In dieſer Ruͤckſicht iſt Analyſis mit der heuriſti⸗ 
ſchen Methode einerley. Newtons Principien ſind 
ein ſynthetiſch abgefaßtes Werk, indem ihr Verfaſſer 
ganz und gar Feine Spur des Weges gelaffen bat, auf 
welchem er zu feinen großen und wichtigen Entdeckungen 
gelangt iſt, ſondern bloß die Saͤtze und Aufloͤſungen mit 
ihren auf die Betrachtung der Figur gegruͤndeten Be⸗ 
weiſen auſſtellt, die aber Wolfs Urtheile nach doch - 
nicht die Achte Form der ſynthetiſchen Beweiſe der als 
ten Geometer haben. In einem noch höheren Grade 
gile dieſes Urtheil von Hermanns Phorononie. Euler 
klagt daher in der Vorrede zum erſten Theile feiner 
Alteren Mechanik, daß er durch das Studium dieſer 
Werke nicht in den Stand geſetzt worden fey, Aufga⸗ 
ben, welche nur in etwas von den in ihnen aufgelöften 


verſchieden geweſen waͤren, fuͤr ſich aufzuͤloͤſen, ohngeach⸗ 


tet er die gegebenen Aufloͤſungen ſehr wohl gefaßt zu 
haben geglaubt hätte. Mit dem, was bier über Dem: 
tons Prineipien erinnere iſt, ſtimmt Saplaces Urtheil 
in ber Exposition du systeme du monde, Liv, ı ee 
chap. 5., wo Ddiefer große Mathematiker zugleich die 
Syntheſis mit der Analyfis vergleiche, überein. Man 
barf jedoch Hierdurch fich nicht erwa auf die Meinung 
bringen lafjen, als ob Mewton das analytiſche Verfah⸗ 
Kkk 


882 Syntheſis. 


ren nicht in ſeiner Gewalt gehabt haͤtte. Die Aufloͤ⸗ 
fungen, welche er in der Arithm, univers, Probl. LXI. 
von einigen die Vefchreibung der Kegelfchnitte betreffen: 
den Aufgaben giebt, zeigen dad Gegentheil. Gie find 
tein analytifh und haben eine große Eleganz. Indeß 
find Newtons Vorliebe für .das ſynthetiſche Verfahren 
der Alten, feine Empfehlung deffelben und eigenes Bey⸗ 
fiel Beranlafjung geworden, daß die Engländer lange 
Zeit faft ausfchließlidh jenes Verfahren auch außerhalb 
der. Geometrie angewandt, und die Rechnung immer 
gern mit der Zeichnung verbunden ‚Haben. Go ift 
Smiths Optik ein durchaus fontherifches Werk, welches 
Käftner in den algebraifhen Vortrag gebracht har. 


Um das, was vorhin über das Weſen der analys 
tifchen Geometrie bemerkt worden, durch ein Beyſpiel 
zu erläutern, foll der in dem Artikel, Kreis, 49. ent⸗ 
baltene Gag, daß die Summe der Quadrate von den 
Segmenten zweyer fih rechtwinklig fehneidenden Geb: 
nen des Kreiſes fo groß ift als das Quadrat des Durchs 
mefjerö, dienen, indem bier ein analytiſcher Beweis 
defjelben folgt, 


Man Tege alfo die Abfeiffenlinie durch den Mirs 
telpunct des Kreifes,. und nehme den Mittelpunce felbft 
zum Anfange der rechtwinfligen Coordinaten x, y, fo 
ift die Öleihung für den Kreis, wenn x den Halb: 

meſſer bezeichner 
| I xx+- yy=ır 


Die Gleihung für eine gerade, deren Abſtand vom Ans 

fangspuncte der Coordinaten d ift, und bey welcher d 

mit der Abfeifjenlinie den Winfel & einfchließe, ift 
I. xcose-+-ysina—d 


Eben fo ift die Gleichung für eine andere gerade, für 
welche d’, a' das find, was für die erite d, « waren, 


xcosa' +-ysina'—d’ 


Syntheſis. 883 


Da die zweyte Linie die erfte rechtwinklig fehneiden foll, 
fo iſt a“ =g0°+a, alfo die Gleichung für big, zweyte 
Linie — 

II. —xsina+ ycosa=d! 


Aus II. und III, ergeben fich die Coorbinaten a, b 
des Durchſchnitts der beiden- geraden 


a=dcosa—d'sin« 

b=dsine-+d’cosa 
Aus I, und II aber erhält man für die Coordinaten 
x, Y des Durchſchnitts der erften geraden mit dem 
Kreiſe | . 
X=dcosa +(rr— dd)’ sin« 
Y—=dsina} (rr—dd)?cos« 
welches zeigt, daß zur Möglichkeit zweyer Durchſchnitts⸗ 
puncte, dergleichen bei einer Sehne Statt haben, d<r ° 
feyn muß, Die Duadrate von den Stuͤcken der erften 
geraden, welche zwifchen den Durchfchnittspuncten ders 
felben mit dem Kreife und dem, gemeinfamen Durch: 
ſchnitt beider geraden enthalten find, find (X'’—a)! 
rc — 5b) und (X"— a)’ + (Y’—b), wo X’, Y' 
fi) auf den einen, X“, X“ auf ben andern Durchs 
ſchnittspunet beziehen. | 


Es iſt nach Subſtitution ber obigen Werrhe 
K— a + (V—bP—ld+Y (r—dd)) 
und Ka) + by (er—da)) 
Daher | | 
X a)® + (V—b E (Kt a) 4 (Yu b)8 
=2dd-zrr—add. | Ä | 
Um die Summe der Quadrate von den Stücken 
der zweyten geraden, welche zwifchen den Durchſchnitts⸗ 


J 


884 Syntheſis. 


puncten derſelben mit dem Kreiſe und bem Punete des 
Durchſchnitts beider geraden enthalten ſind, zu haben, 
darf man in dem eben gefundenen Ausdruck nur d und 
d’ mit einander vertauſchen, und es wird dieſe Summe 
—2dd+2rr—2dd, Daher ift die Summe von 
den Quadraten aller vier, zwifchen dem Durchſchnitte der 
beiden geraden und ihren Durchfchnirtspuncten mit dem 
Kreiſe enthaltenen Segmente =4rr—(ar)*, weldes 
zu bemweifen war, 


Diefer Beweis gruͤndet fih bloß auf die befannte 
Grundeigenfchaft.des Kreifes und auf die Lehre von der 
Ähnlichkeit der Dreyecke, vermittelft welcher der zuges 
zogene Pythagoriſche Lehrſatz bekanntlich dargerhan 
werden kann *). Zugleich erhellt, daß, da ruͤckſichtlich 
der Coordinaten a, b weiter Feine Bedingung Start 
bat, ale a +b’— d! + d“, d. i. <art, der Durch⸗ 
fhniftöpunet der beiden geraden auch außerhalb des 
Kreifes fallen Eann, wofern nur fein Abſtand vom Mit 
telpuncre nicht größer als die Seite des eingefchries 
benen Quadrate iſt. 


Vergleicht man mit diefem Beweiſe den geomes 
frifchen in dem angezogenen Art., fo erfcheine der leßs 
tere viel kuͤrzer. Allein es find auch bey bemfelben 
mehr Hülfsfäre gebraucht, und die durch den Pytha— 
gorifchen- Lehrfag ſchon reducirte Summe von AE® 
+EB’+-EC’+ED? (Th. III, Fig, 20,) noch weis 
fer reducirt worden. Faͤllt man übrigens vom Mittel: 
puncte des. Kreifes. auf die Chorden oder Gecanten 
Perpendikel, fo laͤßt fih dem obigen algebraifcdhen 
Beweiſe vermittelt des 9ten und ıofen Gaged im 
zweyten Buche bed Euklides eine mehr geometrifche 
Born geben. 


*) Nicht umgekehrt, wie man wohl glauben könnte. Die In: 
commenfurabilität ſteht dieſer Derleitung im Weges 


Syntheſis. "885 


Als ein Benfpiel einer wahrhaft analytifchen Auf⸗ 
löfung einer geometrifchen Aufgabe weiß ich Fein befjeres 
anzuführen, als die Auflöfung, welche Gauß in der 
Monarl, Correſp. B. XXIL ©. 112 u, folgg. von 
ber Aufgabe, in ein. gegebenes Viereck die größte Els 
lipſe, welche die vier Seiten des Vierecks berührt, zu 
befchreiben, gegeben bat. Es ift daben von den Eigens 
fchaften der Eilipfe weiter Feine in Betracht gezogen, 
als die, welche der von Euler in ver introduction, 
B. II. $. 144. zuletzt erwiefene Sag ausfagt. Die 
von mir ebendafelbft S. 227 mitgerheilte Auflöfung 
braucht mehr vorbereitende Conftructionen und Huͤlfs⸗ 
fäße von der Ellipfe, und darunter einen. entfernteren ; 
fie kann daher nicht als rein. analyeifh angeſehen 
werden. ! i 


: Wenn bie zur Erfindung des gefuchten Größe 
einer Trage nöthigen Befimmungen von. diefer Größe 
ſelbſt wieder abhängen, dann ift die Aufgabe eigentlich 
analyeifch, und Fann nur durch die algebrnifche Methode 
auf dem Fürzeften Wege aufgelöfet werden, Um z. B. 
die Kraft zu beftimmen, welche der Grundlinie einer 
fchiefen. Ebene parallel wirfend einer gegebenen Laſt auf 
derſelben und zugleich der Start habenden Reibung 
das Gleichgewicht hält, muß man zur Beftimmung - 
ber Reibung den Mormaldruc auf die fehiefe Ebene 
Fennen. Diefer Druck hängt aber mie von’ der gefuch- 
ten Kraft ab. Will man hierbey fo verfahren, daß 
man ſucht, um wie viel die zum Gleichgewicht ohne 
Meibung erforderliche Kraft vermehrte werden. muß, um 
zugleich die Reibung zu überwältigen, fo verfällt man, 
auf eine unendliche Reihe, weil das, was man der Kraft 
zulege, um die von ihr und der Saft herrührende Meier 
bung zu überwinden, wieder neuen Druck und damit 
auch neue Reibung. hervorbringt. Die Beſſimmung 
der Zeit bes Aufs und Untergangs ded Mondes gehört 
gleichfalls Hierher, Alm fie zu machen, muß die Abwei: 


386 Sdyſtem, wiſſenſchaftliches. 


chung des Mondes zur Zeit des Aufs und Unterganges, 
welche aber noch gefucht wird, "befannt feyn. Man fehe 
hierüber eine Bemerkung Taf. Bernouflits zu Huys 
gens Schrift, De ratiociniis in Judo aleae, Prop. 
XIV. in der Ars conjectandi ©. 47 u.:485 Lambert 
rechnet in dem Aftron. Jahrb. für 1780, ©. 47, IL; die 
Frage nach der Zeit, wo ein Paar Planeten einander 
bedecken oder nahe bey einander vorbeygehen,. gu den ums 

gefehrten oder eigentlich analytifchen Aufgaben der 
GSternfunde, Ä ——— a 


Syſtem, wiſſenſchaftliches, iſt eine geord⸗ 
nete Sammlung in einander gegruͤndeter Wahrheiten 
von einerley Art und Beſchaffenheit. So begreift ein 
Syſtem der Aſtronomie alle bekannten Hauptfäge über 
die Bewegung der Himmelsförper in ihrem natürlichen 
Sufammenhange, d. i. von den einfachiten' und allges 
meinften Erfcheinungen der täglichen Bewegung an bis 
zu der zufammengefegteren des durch genenfeitfige Ans 
ziehung mannichfaltig geflörten und mobificirten Plas 
netenlaufs. 


Der Hauptzweck eines wiffenfchaftlichen Spſtems 
geht auf die Verknüpfung der Wahrheiten unter eins 
ander und zu einem Öanzen. Sieraus ergeben fich die 
Haupteigenſchaften vefielden, welche find: Gründliche 
feit, Ordnung und Deutlichkeit. Die erfte ift durch 
die Benennung, wiſſenſchaftliches Syſtem, felbft 
bedingte, und kann ohne Ordnung oder Methode, wo⸗ 
durch das Begründende dem dadurch Wegründeren, das 
Einfachere dem Zufammengefesteren, das Allgemeinere 
dem Beſonderen vorangeht und zur Grundlage dient, 
nicht beſtehen. Eben fo wenig aber auch ohne Deute 
lichfeit. Denn ohne deurliche Grundbegriffe und ohne 
klare Einfiht in den Zufammenhang der Wahrheiten 
findet Feine Gewißheit Statt; ungewiffe Erfennenifje 
find aber ganz unbrauchbar, 


Syſtem, wiſſenſchaftliches. 887 


Sn einem wiſſenſchaftlichen Syſtem muß fo mer 
nig als moͤglich unbewieſen bleiben. .. Diefes erfordert 
der Begriff der Wiſſenſchaft. Daher darf die Anzahl 
ber Axiome nicht ohne Noch vermehrt, fondern. fie muß 
vielmehr auf. die. möglich . Eleinfte. gebracht werden, 
Diefe find: aber beym Wortrage des Syſtems insges 
ſammt deutlich und beſtimmt anzugeben, damit jeder in 
den Stand geſetzt werde, die Tuͤchtigkeit des Grundes, 
worauf das Gebaͤude ruht, ſelbſt zu unterſuchen. Ars 
chimedes hat dieſes unter andern in den Buͤchern vom 
Glleichgewichte ſorgfaͤltig beobachtet, und die Principien, 
worauf er die Lehren des Gleichgewichts am Hebel und 
vom Schwerpuncte gründet, genau und vollſtaͤndig ans 
gegeben. Die neueren Lehrbuͤcher der Statik verfahren 
bierin nicht immer fo gewiſſenhaft. 


Zur leichteren Einſicht in den Zuſammenhang der 
Wahrheiten eines wiſſenſchaftlichen Syſtems dient es 
gar ſehr, daß jeder Satz abgeſondert fuͤr ſich und ſo 
viel als moͤglich rein, d. h., ohne Bezug auf einen 
individuellen Fall, vorgetragen werde, weil dadurch die 
Verbindung zwifchen der Hypotheſis und Thefis oder 
zwiſchen den Daris und dem Geſuchten bemerklicher, 
und fo die Anwendung des Ganges erleichtert wird, 
Die Are des Vortrages, welche die alten . Geometer 
erwäßle haben, iſt Feine Pedanterey, wie manche vor: 
nehmthuende mathematifche Schrifefteller vorgeben, fons 
dern befördert in der That das richtige Auffaffen der 
Wahrheiten. Euler hat diefelbe in feinen wiſſen⸗ 
fhaftlihen Syftemen überall, wo ed anging, faft uns 
verändert beybehalten. | | 


Die Anordnung ber verfchiedenen Theile. eines - 
Syſtems wird am beften durch die Einrheilung des 
Hauptobjects beſtimmt. Je natürlicher und einfacher 
der Eintheilungsgrund ift, deſto faßlicher und beffer 
zu überfehen wird das Ganze, und befto leichten fügen 


888. Soyſtem, wiſſenſchaftliches. 


ſich die einzelnen Theile an einander. Eulers aͤlteres 
Werk uͤber die Mechanik, worin bloß die Bewegung 
der Puncte abgehandelt iſt, giebt ein Muſter einer eins 
fachen. und natürlichen Anordnung Daß. die. ein 
facheren Theile vor. den zufammengefeßferen abgehandelt 
werden, kann nur: in fo fern zur Megel gemacht wer 
den, als ſich jene ohne: dieſe gründlich abhandeln laſſen. 


Beym Vortrage der einzelnen Saͤtze des Syſtems 
muß oft der ſpeciellere Satz dem allgemeineren voraus⸗ 
geben, und ihm zur Grundlage dienen, wenn das all⸗ 
gemeinere zufommengefegter ift als das beſondere. Eus 
klides beweifer den: allgemeineren Gas, daß Parallelos 
gramme auf gleichen Grundlinien und von einerley 
Hoͤhe einander gleich, find, vermittelſt des ſpeeielleren, 
daß Parallelogramme auf derfelben Grundlinie und 
von einerley Höhe einander: gleich find, Der fperiellere 
Satz ift durchaus: nörhig, um. den allgemeineren darzu⸗ 
thun, wenn man. nice etwa den. allgemeineren Gag 
auf die von Gegner angewandte, minder firenge Art 
darthun will. Alpbonf, Borelli hat in feinem 
Euclides restitutus ben fpecielleren Satz nicht befon: 
vers aufgeftelt, kann ihn aber: doch nicht entbehren, 
fondern ift genöthigt, den Beweis deffelben: in den Be— 
weis des allgemeineren Gates zu verflechten, und überr 
dies noch einen Satz, die Congruenz der Parallelo- 
gramme betreffend, vorauszufchichen, wodurch fein Vers 
fahren in der That weitläufiger und: minder nett als 
das Euflidifche geworden ift. Übrigens. wird man 
immer fuchen muͤſſen, bald Die allgemeineren Gäse zu 
gewinnen und aufzuftellen, aus denen die befonderen 
als eben fo vielen Eorollarien und Anwendungen fließen, 
3. B. In der Statik find die allgemeinen Geſetze des 
Gleichgewichts unter einer beliebigen Anzahl von Kräfr 
ten, welche nach irgend welchen Richtungen an den ver: 
fehiedenen Puncten eines Syſtems wirken, vor allen 
Dingen feftzufegen, und mir ihnen alsdann die beſon⸗ 


Spftem, wiſſenſchaftliches. 889 


deren Beſtimmungen jedes Falls, wo Gleichgewicht 
Statt findet, zu verbinden. Die neueſten franzoͤſiſchen 
Lehrbücher und Spſteme der Statik find Muſter dieſer 
aͤcht wiſſenſchaftlichen Behandlungsart, welche in ihnen 
mit großer Conſequenz durchgefuͤhrt wird, ohne durch 
eine zu umſtaͤndliche Auseinanderſetzung in ermuͤdende 

Weitlaͤufigkeiten auszuarten. 


— ann — 


Druckfehler und Verbeſſerungen. 
Seite 23 Zeil⸗ 2 iſt bie 3 gu durchſtreichen. 


— 141 


ee 


— 300 


— 28 — 3 iſt ſtatt 20 in dem mittelften Fache des vr 


‚ten Hüufsquadrat 6 zu fegen 10. 
— 13.lies [yOx für [yOy- 
— 8v. u. 1. /ydx f. syox. 


— (DE +), * —S—— * 


— 5 % S. 201 3.3 1. (Fig. 22.) f. (Fig. 23.) 
— 51. BAB f. RAD, | 


— 325 find in No. 3. die Ordnungszahlen der arithmeiiſchen 


— 329 Beile 6 


— 335 


— 400 


— 455 
— 4067 


— 130.4 


Reihen —— um 1 > > — 






al. . 

17 v. u. I. Entwerfungslinien f. Entwerfungslinie 

v. u. 1. KMf. LM. 

v. u. I. PY f. Py. | 

v. u, ſchalte nach: und, das er die, ein. 

— 15 fehlt die Hinmeifung auf (Fig, 55 | 

— 18 I. (Fig. 63.) f. (Fig. 62.) 

— 27 I, anfehen f. anfegen. 

— 10 fchalte man — m Wert: an, ein. 

— 7u. 8 v. u.l. IrIxt3r’ —etc f. 1 x® 
+Hix3+ etc. — 


— 8 L, a7ı f. XMI. 


7 
3 
4 
6 


c 
— II l. b f. — 
a 
— 12 [, (n+1)?x” f. (n+ı)’x. 
— 7 v. u. I. Summen f. Summe. 
— gLj(x—ı)x(x+1) f. 3(x—ı1)(x+) 
— 7 l. 2. f. 27: . 
720 4 39V —I 
— 4 fehlt 16 „Minus -Beiten zwiſchen ce? 
‚und e mıpv—ı im Nenner des Bruce. 
— 4Lhf.k 
= u — Er f. + 1.2.x3 
w „Pi u 
— ex 1 axlı—x ).ı 0 OX(I-x) 
1x! ud ER 


— 7 dv. u. l. v+Y f. 149. 
— 8 dv. u. l. a En 
u ,M 


—— — 


XRXX 


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